UNIDADE VIII ENSAIOS FATORIAIS

UNIDADE VIII ENSAIOS FATORIAIS CUIABÁ, MT 015/ PROF.: RÔMULO MÔRA 1. INTRODUÇÃO Ensaos fatoras são aqueles em que se estudam smultaneamente dos ou mas fatores, cada um deles com dos ou mas níves. O fatoral é um tpo de esquema, ou sea, uma das maneras de organzar os tratamentos e não um tpo de delneamento, que representa a manera pela qual os tratamentos são dstruídos às undades expermentas. Na verdade, os expermentos fatoras são montados segundo um tpo de delneamento expermental, como por exemplo: o DIC e o DBC. Nos expermentos fatoras, os tratamentos são otdos pelas comnações dos níves dos fatores. A smologa comumente utlzada, para expermentos fatoras é ndcar o produto dos níves dos fatores em teste. Por exemplo: Expermento Fatoral xx6. O produto xx6 nforma que no expermento foram testados smultaneamente 3 fatores. O prmero possu níves, o segundo níves e o tercero 6 níves. Quando o número de níves é gual para todos os fatores, pode-se utlzar a segunte smologa: n F, em que F é o número de fatores n é o número de níves de cada fator. Por exemplo: Expermento Fatoral 3. A potênca 3 nforma que o expermento tem 3 fatores com níves cada um.. EFEITOS AVALIADOS NUM EXPERIMENTO EM FATORIAL EFEITO PRINCIPAL - é o efeto de cada fator, ndependente do efeto dos outros fatores; EFEITO DE INTERAÇÃO - é o efeto smultâneo dos fatores sore a varável em estudo. Dzemos que ocorre nteração entre os fatores quando os efetos dos níves de um fator são modfcados pelos níves do outro fator. Consdere o segunte Fatoral 3x com 3 varedades (V) e espaçamentos (E). V1E1 VE1 V3E1 V1E VE V3E Suponha os seguntes resultados fctícos, para a varável altura de plantas (cm), deste expermento, nas seguntes stuações: Com Interação Sem Interação 1

3. QUADRO DE TABULAÇÃO DE DADOS Uma manera de ular os dados de um expermento fatoral, com dos fatores A e B, com I e J níves, respectvamente, nstalados segundo o DIC, com K repetções, é fornecda a segur: Deste quando pode-se retrar algumas nformações de nteresse: - Número de undades expermentas: N = IJK Total Geral: G I, J, K Y k k 1 1 1 1 J, K A Y k 1, k 1 I A J 1 Total do -ésmo nível do fator A : Total do -ésmo nível do fator B : I, K Y k 1, k1 B I, J 1 1 ( AB) Méda do -ésmo nível do fator A: Méda do -ésmo tratamento (AB) : A A JK B Méda do -ésmo nível do fator B: IK Méda Geral: G G N A AB K Pode-se montar um quadro auxlar contendo os totas de tratamentos, cuos valores são otdos pela soma de todas as repetções para o tratamento em questão. Este quadro faclta o cálculo das somas de quadrados devdo aos fatores A e B, e da nteração entre eles. Para a stuação ctada, o quadro de totas de tratamentos é do segunte tpo:. MODELO ESTATÍSTICO Consdere um expermento fatoral, com dos fatores: o fator A com I níves e o fator B com J níves, nstalados segundo o DIC, com K repetções. O modelo estatístco para um expermento como este é: Y k em que: m a a ek = 1,,..., I = 1,,..., J Y k = é o valor oservado para a varável em estudo referente a k-ésma repetção da comnação do -ésmo nível do fator A com o -ésmo nível do fator B; m = é a méda de todas as undades expermentas para a varável em estudo; a = é o efeto do -ésmo nível do fator A no valor oservado Y k ; = é o efeto do -ésmo nível do fator B no valor oservado Y k ; k = 1,,..., K a = o efeto da nteração do -ésmo nível do fator A com o -ésmo nível do fator B; e k = é o erro assocado a oservação Y (k) ou sea é o efeto dos fatores não controlados na parcela; Consdere um expermento fatoral, com dos fatores: o fator A com I níves e o fator B com J níves, nstalados segundo o DBC, com K repetções. O modelo estatístco para um expermento como este é: Y k em que: m l k a a ek l k = é o efeto do k-ésmo loco na oservação Y k Todas as outras varáves foram defndas anterormente = 1,,..., I = 1,,..., J k = 1,,..., K

5. ANÁLISE DE VARIÂNCIA A análse de varânca de um expermento fatoral é feta desdorando-se a soma de quadrados de tratamentos nas partes devdo aos efetos prncpas de cada fator e na parte devdo à nteração entre os fatores. O quadro a segur apresenta como sera a análse de um expermento fatoral, com fatores A e B, com I e J níves, respectvamente, e K repetções, nstalado segundo o DIC. F Fator A (I-1) SQA SQA/(I-1) QMA/ [(I-1);n ] Fator B (J-1) SQB SQB/(J-1) QMB/ Int(AxB) (I-1)(J-1) SQAxB SQAxB/ (I-1)(J-1) QMAxB/ [(J-1);n ] [(I-1)(J-1);n ] (Trat) (IJ-1) (SQTrat) - - - Resíduo n =IJ(K-1) SQRes SQRes/ IJ(K-1) - - Total IJK-1 SQTotal - - - Sendo: FV = Fonte de Varação; GL = Graus de Lerdade; SQ = Soma de Quadrados; QM = Quadrado Médo; F cal = Valor de F calculado; F = Valor de F elado. Com as seguntes fórmulas defndas: - Soma de Quadrados do Total SQTotal I, J, K Yk 1, 1, k 1 SQTrat SQ( AB) C - Soma de Quadrados do Tratamento K ( AB) k 1 K I A SQA C JK 1 C C I, J, K Y k 1, 1, k 1 IJK - Soma de Quadrados do Fator A - Soma de Quadrados do Fator B J B SQB C IK 1 - Soma de Quadrados da Interação AxB - Soma de Quadrados do Resíduo SQAxB SQTrat SQA SQB SQRe sduo SQTotal SQTrat O quadro aaxo apresenta como sera a análse de um expermento fatoral, com fatores A e B, com I e J níves, respectvamente, e K repetções (ou locos), nstalado segundo o DBC. F Fator A (I-1) SQA SQA/(I-1) QMA/ [(I-1);n ] Fator B (J-1) SQB SQB/(J-1) QMB/ Int(AxB) (I-1)(J-1) SQAxB SQAxB/ (I-1)(J-1) QMAxB/ [(J-1);n ] [(I-1)(J-1);n ] (Trat) (IJ-1) (SQTrat) - - - Blocos (K-1) SQBloc - - - Resíduo n =(IJ-1)(K-1) SQRes SQRes/ (IJ-1)(K-1) - - Total IJK-1 SQTotal - - - Com as seguntes fórmulas defndas: - Soma de Quadrado de Blocos I, J SQBloc - Total de Blocos 1, 1 K Bloc k Bloc k k1 Bloc C IJ - Soma de Quadrado dos Resíduos para DBC SQRe sduo SQTotal STrat SQBloco Sendo: FV = Fonte de Varação; GL = Graus de Lerdade; SQ = Soma de Quadrados; QM = Quadrado Médo; F cal = Valor de F calculado; F = Valor de F elado. As hpóteses para realzar o teste F para os efetos prncpas são Fator A H 0 : m A1 = m A =... = m A = m A, ou sea, todos os possíves contrastes entre as médas dos níves do fator A, são estatstcamente nulos, ao nível de proaldade em que fo executado o teste. H a : não H 0, ou sea, exste pelo menos um contraste entre as médas dos níves do fator A, que é estatstcamente dferente de zero, ao nível de proaldade em que fo executado o teste. Fator B H 0 : m B1 = m B =... = m B = m B, ou sea, todos os possíves contrastes entre as médas dos níves do fator A, são estatstcamente nulos, ao nível de proaldade em que fo executado o teste. H a : não H 0, ou sea, exste pelo menos um contraste entre as médas dos níves do fator B, que é estatstcamente dferente de zero, ao nível de proaldade em que fo executado o teste. A regra decsóra para os efetos prncpas a partr do teste F é a segunte: - F cal F, reeta-se H 0 ao nível de α% de proaldade, ou sea, exste pelo menos um contraste entre as médas dos níves do fator A ou B estatstcamente dferente de zero. -F cal < F, não reeta-se H 0 ao nível de α% de proaldade, ou sea, todos os possíves contrastes entre as médas dos níves do fator A ou B são estatstcamente nulos. OBSERVAÇÃO: FAZ UMA REGRA PARA CADA FATOR PRINCIPAL, POIS PODEM TER CONCLUSÕES DIFERENTES 3

As hpóteses para realzar o teste F para a nteração AxB Interação AxB H 0 : os fatores atuam ndependentemente H a : os fatores não atuam ndependentemente A regra decsóra para a nteração AxB a partr do teste F é a segunte: - F cal F, reeta-se H 0 ao nível de α% de proaldade, ou sea, os fatores não atuam ndependentemente e há uma nteração entre eles. -F cal < F, não reeta-se H 0 ao nível de α% de proaldade, ou sea, os fatores autuam ndependentemente e não há nteração entre eles. 5.1 INTERAÇÃO NÃO SIGNIFICATIVA Se os fatores A e B forem qualtatvos, e o teste F para A e/ou B, for não sgnfcatvo, a aplcação do teste de médas é desnecessára. Se o teste F for sgnfcatvo, para A e/ou B, aplca-se um teste de médas para comparar os níves do fator. As estmatvas das médas dos níves dos fatores são otdas por Para realzar o teste de Tukey para comparar as medas dos níves dos fatores em teste temos que usar OBSERVAÇÃO: PRIMEIRO CONCLUI-SE PARA A INTERAÇÃO E SOMENTE SE NÃO REJEITAR H 0 ESTUDA-SE OS FATORES PRINCIPAIS, SE NÃO FAZ-SE O ESTUDO DE UM FATOR DENTRO DO OUTRO...CASO QUE SERÁ VISTO A ADIANTE 5. INTERAÇÃO SIGNIFICATIVA Este caso ocorre quando a hpótese H 0 para a nteração entre os fatores é reetada. Este resultado mplca que os efetos dos fatores atuam de forma dependente. Neste caso as comparações entre os níves de um fator levam em consderação o nível do outro fator, pos o resultado sgnfcatvo para a nteração ndca que o efeto de um fator depende do nível do outro fator. Portanto, não é recomendado realzar o teste F para cada fator soladamente tal como fo apresentado para o caso da nteração não sgnfcatva. O procedmento recomendado é realzar o desdoramento do efeto da nteração. Para realzar este desdoramento deve-se fazer uma nova análse de varânca em que os níves de um fator são comparados dentro de cada nível do outro fator, tal como apresentado nas elas a segur. Desdoramento para comparar os níves de A dentro de cada nível de B, ou sea, estudar A/B Desdoramento para comparar os níves de A dentro de cada nível de B, ou sea, estudar A/B F A/B 1 (I-1) SQA/B 1 SQA/B 1 QMA/B 1 [(I-1);n ] (I -1) QMRes A/B (I-1) SQA/B SQA/B QMA/B [(I-1);n ] (I -1) QMRes.................. A/B n (I-1) SQA/B n SQA/B n QMA/B n [(I-1);n ] (I -1) QMRes Resíduo n =GLRes* SQRes* QMRes* - - *Valores retrados do quadro de análse de varânca prncpal Desdoramento para comparar os níves de B dentro de cada nível de A, ou sea, estudar B/A F B/A 1 (J-1) SQB/A 1 SQB/A 1 QMB/A 1 [(J-1);n ] (J - 1) QMRes B/A (J-1) SQB/A SQB/A QMB/A [(J-1);n ] (J -1) QMRes.................. B/A n (J-1) SQB/A n SQB/A n QMB/A n [(J-1);n ] (J -1) QMRes Resíduo n =GLRes* SQRes* QMRes* - - *Valores retrados do quadro de análse de varânca prncpal Se os fatores forem qualtatvos, procede-se ao teste F para cada fonte de varação do desdoramento. Nas fontes de varação em que o teste F fo sgnfcatvo e o fator tem mas de dos níves, recomenda-se a aplcação de um teste de médas. As estmatvas das médas dos níves dos fatores são otdas por A B / B / A Fator A dentro B - ma Fator B dentro de A mb B K A K Para realzar o teste de Tukey para comparar as médas dos níves dos fatores em teste temos que usar H 0 : m m H0 : m m Ha : m A A m A A K Ha : A A m A B A

EXEMPLO INTERAÇÃO NÃO SIGNIFICATIVA Vamos consderar os dados de um expermento casualzado em locos, no esquema fatoral 3 x 3, em que foram estudados os efetos de 3 Peneras comercas, assocadas a 3 Densdades de planto, na produtvdade do amendom (Arachs hypogaea L.) varedade Tatu V53. (Adaptado e Banzatto e Kronka, 006). As Peneras comercas (P) e as Densdades de Planto (D) estudadas foram: P 1 = penera 18 P = penera 0 P 3 = penera D 1 = 10 plantas por metro lnear D = 15 plantas por metro lnear D 3 = 0 plantas por metro lnear Proceder a análse de varânca e realzar o teste de Tukey se necessáro. Para os cálculos utlze α=. Blocos Tratamentos 1 3 Totas 1 P 1 D 1 11,8 1,03 1,55 36,0 P 1 D 1,3 1,08 1,13 38,55 3 P 1 D 3 13,1 1,98 13,35 39,7 P D 1 6,97 10,6 9,0 6,5 5 P D 8,96 9,0 9,8 7,8 6 P D 3 8,8 9,66 8,50 6,6 7 P 3 D 1 7,53 7,67 7,81 3,01 8 P 3 D 6,71 7,87 9,9,07 9 P 3 D 3 7,8 9, 9,37 6,63 Totas 8,0 93,01 9,06 69,11 Resolução: Hpóteses Fator P Fator D H 0 : m P1 = m P = m P3 = m P H 0 : m D1 = m D = m D3 = m D H a : não H 0 H a : não H 0 Interação PxD H 0 : os fatores atuam ndependentemente H a : os fatores não atuam ndependentemente - Quadro Auxlar P/D D 1 D D 3 Totas P 1 36,0 (3) 38,55 (3) 39,7 (3) 11,69 (9) Totas 69,11 (7) P 6,5 (3) 7,8 (3) 6,6 (3) 80,71 (9) P 3 3,01 (3),07 (3) 6,63 (3) 73,71 (9) Totas 85,66 (9) 90, (9) 93,01 (9) 69,11 (7) Bloco Totas Bl 1 8,0 (9) Bl 93,01 (9) Bl 3 9,06 (9) - Quadro deanálse de Varânca Fator P 106,7778 53,3889 86,98* Fator D 3,0917 1,559,5 ns Int PxD 1,5733 0,3933 0,6 ns (Trat) (8) (111,8) - - Bloco 5,3957 - - Resíduo 16 9,803 0,6138 - Total 6 16,6588 - - F F F F (;16) 3,63 (;16) 3,01 - Calculando Soma de Quadrados SQTotal 8,0 SQBloc 36,0 SQ( PD) 3 (69,11) (11,8... 9,37 ).3 93,01 9,06 6,63... 3 69,11 7 16,6588 69,11 7 5,3957 111,8 11,69 SQP 85,66 SQD 80,71 90, 73,71 (69,11).3 93,01 (69,11).3 SQPxD 111,8106,77783,09171,5753 106,7778 3,0917 SQRe s 16,6588 111,8 5,3957 9,803 5

Fator P 106,7778 53,3889 86,98* Fator D 3,0917 1,559,5 ns Int PxD 1,5733 0,3933 0,6 ns (Trat) (8) (111,8) - - Bloco 5,3957 - - Resíduo 16 9,803 0,6138 - Total 6 16,6588 - - F F F F (;16) 3,63 (;16) 3,01 - Conclusões - Interação F cal < F 0,6 < 3,01 não reeta-se H 0 ao nível de de proaldade, ou sea, os fatores atuam ndependentemente. - Fator P F cal > F 86,98 > 3,63 reeta-se H 0 ao nível de de proaldade, ou sea, exste pelo menos um contraste entre as médas dos níves do fator P estatstcamente dferente de zero. Teste de Tukey H 0 : m P = m P, p/ H a : m P m P 1,7g a P1 P P3 8,97g 8,19g q0 (3;16) 3,65,05 0,6138 3,65 0,95g 9 Conclusão: as médas dos níves do fator P segudas de pelo menos uma letra não dferem entre s, ao nível de de proaldade, pelo teste de Tukey. - Fator D F cal < F,5 < 3,63 não reeta-se H 0 ao nível de de proaldade, ou sea, todos os possíves contrastes entre médas dos níves do fator D são estatstcamente nulos. EXEMPLO INTERAÇÃO SIGNIFICATIVA Vamos consderar os dados de um expermento nteramente casualzado, com repetções, no esquema fatoral 3 x, para testar os efetos de 3 Recpentes (R 1, R e R 3 ) para produção de mudas e espéces de eucalptos (E 1 e E ) quanto ao desenvolvmento das mudas. (Adaptado e Banzatto e Kronka, 006). Os Recpentes e as Espéces testados foram: R 1 = saco plástco pequeno R = saco plástco grande R 3 = lamnado E 1 = Eucalyptus ctrodora E = Eucalyptus grands Proceder a análse de varânca e realzar o teste de Tukey se necessáro. Para os cálculos utlze α=. As alturas médas das mudas, em cm, aos 80 das de dade são apresentados no quadro segunte. Repetções Tratamentos 1 3 Totas 1 R 1 E 1 6, 6,0 5,0 5, 10,6 R 1 E,8,6 6,7 5, 101,3 3 R E 1 5,7 6,3 5,1 6, 103,5 R E 19,6 1,1 19,0 18,6 78,3 5 R 3 E 1,8 19, 18,8 19, 80, 6 R 3 E 19,8 1,,8 1,3 85,3 R/E E 1 E Totas R 1 10,6 () 101,3 () 03,9 (8) R 103,5 () 78,3 () 181,8 (8) R 3 80, () 85,3 () 165,5 (8) Totas 86,3 (1) 6,9 (1) 551, () Resolução: Hpóteses Fator R Fator E H 0 : m R1 = m R = m R3 = m P H 0 : m E1 = m E =m E H a : não H 0 H a : não H 0 Interação PxD H 0 : os fatores atuam ndependentemente H a : os fatores não atuam ndependentemente Fator R 9,86 6,3 36,7 Fator E 1 19,08 19,08 1,91 Int RxE 63,76 31,88,91 * (Trat) (5) (175,70) - - Resíduo 18 3,09 1,8 - Total 3 198,79 - - F F (1;18),1 F F (;18) 3,55 6

(551,) SQTotal (6,... 1,3 ) 198,79 3.. 10,6 85,3 551, SQ( RE)... 175,70 SQRe s 198,79175,70 3,09 03,9 SQR. 86,3 SQE 3. 181,8. 165,5. 6,9 3. (551,) (551,) 9,86 19,08 Fator R 9,86 6,3 36,7 Fator E 1 19,08 19,08 1,91 Int RxE 63,76 31,88,91 * (Trat) (5) (175,70) - - Resíduo 18 3,09 1,8 - Total 3 198,79 - - F F F F (1;18),1 (;18) 3,55 - Conclusões - Interação F cal > F,91 < 3,55, reeta-se H 0 ao nível de de proaldade, ou sea, os fatores não atuam ndependentemente. SQRxE 175,709,8619,08 63,76 Estudo do fator R dentro dos níves do fator E R/E 1 87,1 3,56 3,03* R/E 69,50 3,50 7,15* Resíduo 18 3,09 1,8 - F 10,6 103,5 80, (86,3) 1 1 / E 87, 1 SQ R 101,3 78,3 85,3 (6,9) 1 / E 69, 50 SQ R F (;18) 5 % 3,55 - Conclusão Dentro dos níves E 1 e E, exste pelo menos um contraste entre as médas dos níves do fator R estatstcamente dferente de zero. Teste de Tukey H 0 : mr m R para = 1,, 3 E E Ha : m R E R E1 R1 E1 R3 E1 m 5,9 a 5,7 a q0 (3;18) 3,61,05 1,8 3,61, R E 0,1 = 1, R1 E R3 E R E 5,3 1,3 19,6 a Conclusão: Dentro dos níves E 1 e E, as médas dos níves do fator R segudas de pelo menos uma letra não dferem entre s, ao nível de de proaldade, pelo teste de Tukey. Estudo do fator E dentro dos níves do fator R E/R 1 1 0,1 0,1 0,16 ns E/R 1 79,38 79,38 6,0* E/R 3 1 3,5 3,5,5 ns Resíduo 18 3,09 1,8 - F F (1;18) 5 %,1 SQ E 10,6 101,3 (03,9) 8 SQ E / R 103,5 78,3 (181,8) 8 SQ E / R 80, 85,3 (165,5) 8 / R 0, 1 1 79, 38 3, 5 3 - Conclusões Dentro dos níves R 1 e R 3, todos os possíves contrastes entre níves do fator E são estatstcamente nulos ao nível de 5 % de proaldade. Dentro do nível R, todos os possíves contrastes entre as médas dos níves do fator E são estatstcamente dferente de zero ao nível de de proaldade. 7

FIM 8