Universidade Federal do ABC Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica Circuitos Elétricos II José Azcue, Prof. Dr. Aplicação da Transformada de Laplace 1
Lei de Ohm no domínio de Laplace Se não houver nenhuma energia armazenada no indutor ou capacitor, a relação entre a tensão e a corrente em cada elemento é dado por: V( s) Z( s) I( s) (Lei de Ohm no domínio de Laplace) Sendo: Z(s) = impedância do elemento no domínio da frequência Impedância do resistor = R [ ] Impedância do indutor = sl [ ] Impedância do capacitor = 1/sC [ ] 2
Lei de Ohm no domínio de Laplace Se não houver nenhuma energia armazenada no indutor ou capacitor, a relação entre a tensão e a corrente em cada elemento é dado por: Sendo: I( s) Y( s) V( s) (Lei de Ohm no domínio de Laplace) Y(s) = admitância do elemento no domínio da frequência Admitância do resistor = G=1/R [S] Admitância do indutor = 1/sL [S] Admitância do capacitor = sc [S] 3
Teoremas Teorema da Derivada L df t dt = sf s f(0 ) Teorema da Integral t L f τ dτ 0 = F s s + 0 f τ dτ s 4
Resistor no domínio de Laplace No domínio do tempo: No domínio da frequência: sendo: V R s = L{V R (t)} V R t = R. i R (t) V R s = R. I R (s) e I R s = L{I R (t)} i R (t) R v R (t) I R (s) R V R (s) 5
Capacitor no domínio de Laplace No domínio do tempo: i C t = C dv C(t) dt No domínio da frequência: (Teorema da Derivada) I C s = C sv C s v C (0 ) I C s = s. C. V C s C. v C (0 ) i C (t) C v C (t) sendo: I C s = L{i C (t)} V C s = L{v C (t)} 6
Fonte equivalente da condição inicial Tempo i C t = C dv C(t) dt Frequência I C s = s. C. V C s C. v C (0 ) I C s = s. C. V C s C. V 0 7
Condições iniciais nulas Tempo i C t = C dv C(t) dt Frequência V 0 = 0 I C s = s. C. V C s 8
Capacitor no domínio de Laplace No domínio do tempo: No domínio da frequência: i C t = C dv C(t) dt I C s = s. C. V C s C. v C (0 ) i C (t) C v C (t) Isolando V c (s), tem-se: V C s = I C sc + V C(0 ) s V C s = L v c t = L 1 C t i C τ dτ 9
C - fonte equivalente da condição inicial Tempo Frequência V C t = 1 C t i C τ dτ V C s = I C sc + V C(0 ) s V C s = I C sc + V 0 s 10
Condição inicial nula Tempo V C t = 1 C t i C τ dτ Frequência V 0 = 0 V C s = I C sc 11
Indutor no domínio de Laplace No domínio do tempo: No domínio da frequência: (Teorema da Derivada) v L t = L di L(t) dt V L s = L si L s i L (0 ) V L s = s. L. I L s L. i L (0 ) i L (t) L v L (t) sendo: V L s = L{v L (t)} I L s = L{i L (t)} 12
L - fonte equivalente da condição inicial Tempo v L t = L di L(t) dt Frequência V L s = s. L. I L s L. i L (0 ) V L s = s. L. I L s L. I 0 13
Condição inicial nula Tempo v L t = L di L(t) dt Frequência i 0 = I 0 = 0 V L s = s. L. I L s 14
Indutor no domínio de Laplace No domínio do tempo: No domínio da frequência: v L t = L di L(t) dt V L s = L si L s i L (0 ) Isolando I L (s), tem-se: i L (t) L v L (t) I L s = V L(s) s. L + i(0 ) s t I L s = L i L t = L 1 L v L τ dτ 15
L - fonte equivalente da condição inicial Tempo i L t = 1 L t v L τ dτ Frequência I L s = V L(s) s. L + i(0 ) s I L s = V L(s) s. L + I o s 16
Condição inicial nula Tempo i L t = 1 L t v L τ dτ Frequência I 0 = 0 I L s = V L(s) s. L 17
Análise de circuitos no domínio de Laplace 1. Transformar o circuito do domínio do tempo para o domínio da frequência complexa s. 2. Substituir as condições iniciais pelas fontes equivalentes. 3. Resolver o circuito usando análise de malhas, análise nodal, transformação de fontes, superposição ou qualquer outra técnica de análise de circuitos. 4. Efetuar a transformada inversa da resposta de interesse, obtendo a solução no domínio do tempo. 18
Análise de circuitos no domínio de Laplace As regras para associações e simplificações valem no domínio da frequência s. As Leis de Kirchhoff continuam válidas no domínio s, ou seja: I s = 0 V s = 0 Todos os métodos de análise podem ser aplicados no domínio de Laplace (para circuitos lineares!). 19
Problema prático 16.1 Determine vo(t) no circuito da Figura abaixo supondo condições nulas. A Rpta: 40*(1-exp(-2t)-2*t*exp(-2t))*u(t) V 20
Problema prático 16.1 v 0 (t) [V] Vo(t)=40*(1-exp(-2t)-2*t*exp(-2t))*u(t) V tempo [s] 21
Problema prático 16.3 A chave na figura abaixo esteve na posição b por muito tempo. Ela é comutada para a posição a em t=0. Determine v(t) para t>0. Rpta: v(t)=(vo-io*r)*exp(-t/tau) + Io*R ; para t>0, onde Tau=R*C 22
Problema 16.63 Considere o circuito RLC em paralelo da figura abaixo. Determine v(t) e i(t) dado que v(0)=5 V e i(0)=-2 A. Rptas: v t = 5e 4t cos 2t + 230e 4t sin 2t u(t) i t = 4 6e 4t cos 2t 11,38e 4t sin 2t. u(t) 23
Próxima Aula Leitura: Cap 14 livro texto 1. Resposta em frequência. 24
Referências 1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013. 2. Slides da prof. Denise, https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profadenise/aulas, acesso em fevereiro de 2018. 3. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. Curso de Circuitos Elétricos, Vol. 1( 2ª Ed. 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo. 4. CONSONNI, D. Transparências de Circuitos Elétricos I, EPUSP. 5. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. Circuitos Elétricos, 8ª Ed., Editora Pearson, 2009. 25