Notas de aula de Matemática Fiaceira Professores: Gelso Augusto
SUMÁRIO 1. Sistema de capitalização simples...3 1.1 Itrodução:...3 1.2 Coceitos Iiciais....3 1.3 Juros Simples...5 1.3.1 Motate simples...5 1.4 Método Hamburguês:...6 1.5 Saldo médio e Prazo Médio...7 1.5.1 Saldo Médio...7 1.5.2 Prazo Médio...8 2. Descotos Simples...9 2.1 Itrodução...9 2.2 Descoto...9 2.2.1Descoto Racioal Simples...10 2.2.2 Descoto Comercial Simples...11 2.3 Taxa efetiva de juros...12 2.4 Equivalêcia de Capitais e Fluxo de Caixa...13 2.4.1 Fluxo de caixa...13 2.4.2 Equivalêcia de capitais...13 2.4.3 Equivalêcia etre Cojuto de Capitais...14 3. Sistema de capitalização composta...15 3.1 Juros compostos....15 3.2 Coveções...15 3.3 Cálculo do juro e motate composto...16 3.4 Juros e Motate a taxa variável...17 3.5 Taxa de juro o regime de capitalização composta...17 3.5.1 Taxas equivaletes...18 4. Descotos Compostos...19 4.1 Descoto Racioal Composto...19 4.2 Descoto Comercial...19 4.3 Equivalêcia de Capitais...20 5. Fiaciametos e Capitalização...21 5.1 Fluxo de Caixa...21 5.2 Modelo Básico de Fiaciameto...21 5.3 Modelo Básico de Capitalização...23 5.4 Sistema de Amortização...25 5.4.1 Sistema de prestação Costate (Sistema Fracês)...25 5.4.2 Sistema de Amortizações Costates (SAC)...26 5.4.3 Sistema de Juro Costate ou Sistema Americao...27 5.4.5 Sistema de Amortização Mixto (SAM)...27 6) Aálise de Ivestimetos...30 6.1 Taxa Itera de Retoro (IRR)...30 6.2 Método do Valor Presete Líquido (NPV ou VPL)...32 8. BIBLIOGRAFIA...36 2
1. Sistema de capitalização simples 1.1 Itrodução: Quato vale o diheiro? Vivemos tato tempo em uma ecoomia com altas taxas de iflação, que perdemos a oção do valor do diheiro, pricipalmete das pequeas quatias gastas o dia a dia. Quem liga para uma despesa de 2 reais por dia, por exemplo, de uma esmola para aquela velhiha simpática perto do seu prédio? Alguém prevê isto o orçameto? Etretato esta despesa de 2 reais por dia desprezada por você represeta o ao, 730 reais, praticamete o valor de uma geladeira ou 2 televisões. Se você gaha 1500,00 reais por mês, será a metade de seu décimo terceiro! E aquela revista de fofocas que compro toda semaa, pois só custa 5 reais; ela vai represetar um gasto aual de 260 reais! Se somarmos pequeas despesas diárias que ão computamos, 1 real para isto, 2 reais para aquilo etc., o fial de um ao isto poderá represetar uma despesa cosiderável. Não estou acoselhado a ão dar esmolas, ão comprar revistas ou deixar de gastar em pequeos prazeres, mas sim em ter cosciêcia do valor destes gastos em relação aos seus gahos. A solução para isto é você fazer seu orçameto em bases auais. Nossos íveis de iflação já permitem isto e este tipo orçameto aual você poderá ter uma clara idéia do que represetarão estas "pequeas" despesas o total de seus gastos e admiistrar melhor seu caixa. Com fim de estudar o comportameto do diheiro o tempo daremos iício ao osso estudo de Matemática Fiaceira 1.2 Coceitos Iiciais. Juro: Remueração que o tomador de um empréstimo deve pagar ao doo do capital com compesação pelo uso do diheiro. Idicaremos o juro por J. Capital: qualquer valor expresso em diheiro e dispoível em uma determiada data. O capital que dá iício a uma determiada operação é chamado de Valor Presete (PV). O capital é idicado apeas pela letra C por algus autores. Tempo: è o prazo que decorre desde o iício até o fial de uma dada operação fiaceira. O tempo pode ser cotado em dias, bimestres, trimestres, quadrimestres, aos, etc. Idicaremos por. Na prática o tempo pode ser cotado de duas formas. Tempo exato: é aquele que leva em cota a data real, ode o ao pode coter 365 ou 366 dias. (Ver tabela 1 em aexo) Tempo Comercial (ou aproximado): é aquele que leva em cota o chamado ao comercial, isto é o mês cotedo 30 dias e o ao 360 dias. 3
CONTAGEM DE DIAS PARA O ANO CIVIL NÃO BISSEXTO Dia do 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 mês Ja Fev Marc Abr Mai Ju Jul Ago Set Out Nov Dez Dia do mês 1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 1 2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 2 3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 3 4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 4 5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5 6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 6 7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 7 8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 8 9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9 10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10 11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 11 12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 12 13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 13 14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 14 15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 15 16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 16 17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 17 18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 18 19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 19 20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 20 21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 21 22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 22 23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 23 24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 24 25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 25 26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 26 27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 27 28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 28 29 29-88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 29 30 30-89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 30 31 31-90 - 151-212 243-304 - 365 31 Tabela 1 Taxa de juro: é a razão etre o juro obtido o fim do primeiro período fiaceiro e o capital iicial. Idicaremos por i. A taxa i costuma apresetar-se de duas formas: Forma percetual: represeta o juro de 100 uidades do capital, o período tomado como uidade de tempo. Forma uitária; ou cetesimal. Observe exemplo, coforme tabela 2, abaixo. 4
Taxa de juro Forma Forma Referêcia percetual uitária temporal 2 por ceto ao dia 2,00% 0,0200 ad 24 por ceto ao mês 24,00% 0,2400 am 50,3 por ceto ao bimestre 50,30% 0,5030 ab 90,03 por ceto ao semestre 90,05% 0,9005 as 315 por ceto ao ao 315,00% 3,1500 aa Tabela 2 Motate (FV) : Valor acumulado, relativo à aplicação de um capital C (PV), é defiido como o capital acrescido de seu respectivo juro J. FV = PV +J 1.3 Juros Simples O juro evolvido em certa operação fiaceira é chamado Juro Simples quado sua geração, em cada período a que se refere à taxa, durate todo o seu prazo de aplicação, for feita exclusivamete com base o capital iicial. Assim, aplicado um capital C a uma taxa de juro i por um período teremos: J = Ci Obs: I e devem referir-se a mesma uidade de tempo. 1.3.1 Motate simples M = C (1 + i) ou FV = PV (1+ i) Exercícios: 1) Qual o tempo exato de uma aplicação fiaceira iiciada em 7 de juho de 2004 e com vecimeto em 14 de ovembro de 2004? (160 dias) 2) A quatos aos, meses e dias correspodem, pelo critério do tempo comercial, 1926 dias? (5a 4m 6d) 3) Calcular o juro simples gerado por uma capital de R$35.000,00, quado aplicado por 10 meses à taxa de 9% am.(r$31.500,00) 4) Ecotrar o capital que aplicado à taxa de 21,5% am, durate 4 meses, produz o juro simples de R$62.178,00. (R$ 72.300,00) 5) Ecotrar a taxa de juro simples mesal, proporcioal a 48% aa. (4%am) 6) Ecotrar a taxa de juros simples aual, proporcioal a 20,05%am. (240,6%aa) 7) Calcular o Juro simples produzido pelo capital de R$15.300,00, tomado a 84%aa, durate três meses. (R$3.213,00) 5
8) Ivo aplicou um capital por 3 meses, à taxa de juros simples de 7% am. Decorridos os três meses, o mesmo capital iicial foi aplicado por mais 2 meses, à taxa de 48%aa. A soma do juro obtido as duas trasações foi R$ 36.250,00. Qual foi o capital iicial aplicado? ( R$125.000,00) 9) Fiz uma aplicação de R$ 300.000,00 a juros simples, esperado que o diheiro redesse à taxa de 60%aa. No etato, após certo período de tempo, a taxa foi reduzida a 4%am. Qual foi o prazo em que vigorou a seguda taxa se, após 10 meses, o capital rede R$ 141.000,00 de juros simples? ( 3 meses) 10) Dois capitais foram colocados a juros simples, à mesma taxa. O primeiro gerou de juros em 1 ao e 8 meses, uma quatia igual a si próprio, e o segudo redeu de juro R$ 52.500,00, em 15 meses. Calcular a taxa e os capitais evolvidos essa operação sabedo-se que o segudo capital supera o primeiro em R$ 20.000,00. (C1 = R$ 50.000,00, C2 =R $70.000,00 e i = 5% am) 11) Um baco emprestou a quatia de R$70.000,00, á taxa de 91,25% aa, o dia 2 de agosto de 2004, com data de vecimeto para 4 de dezembro de 2004. Quato de juro simples exato ele recebeu?(r$ 21.640,71) 12) No dia 8 de março de 2004, uma pessoa tomou emprestada a quatia de R$ 185.500,00, comprometedo-se a liquidar a dívida em 1 mês e 10 dias, pagado por ela R$ 296.000,00. A que taxa diária de juros simples deu-se essa operação?(1,5%ad) 13) Uma loja vede um aparelho de som por R$1.800,00 a vista. A prazo o aparelho é vedido por R$ 2.016,00, sedo R$ 360,00 de etrada e o restate pago após 45 dias. Qual a taxa mesal de juros simples adotada esta operação? (10%am) 14) Em quatos meses um capital dobra de valor, se aplicado a juros simples de 2% am?(50 meses) 1.4 Método Hamburguês: Existe um método de se calcular os juros produzidos por k capitais C 1,C 2,C 3,..., C k. Aplicados pelos prazos 1, 2, 3... K à taxa de juros simples i. J 1 =C 1 1 i J 2 =C 2 2 i J 3 =C 3 3 i J 4 =C 4 4 i... J k =C k k i J = J 1 + J 2 +... + J k J = i (C 1 1 + C 2 2 +... + C k k ) J i q1 C q q Este método é usado para calcular, por exemplo, o juro sobre saldos devedores dos cheques especiais. 6
Exemplo 1: Um Cliete recebeu o extrato abaixo. Sabe-se que o baco cobra uma taxa de juros de 30% am sobre os saldos devedores. Quato este cliete deverá pagar de juros? Data Histórico Valor (D/C) Saldo (D/C) 1/5/2003 Trasporte R$ - R$ 40.000,00 C 8/5/2003 Cheque R$ 5.000,00 C R$ 45.000,00 C 16/5/2003 Cheque R$(50.000,00) D R$ (5.000,00) D 22/5/2003 Cheque R$(25.000,00) D R$(30.000,00) D 26/5/2003 Cheque R$ 40.000,00 C R$ 10.000,00 C 27/5/2003 Cheque R$(30.000,00) D R$(20.000,00) D 1/6/2003 Cheque R$ 40.000,00 C R$ 20.000,00 C Tabela 3 Solução: Lembramos que o mês de maio tem 31 dias. Para cálculo do juro motamos uma tabela usado apeas os saldos devedores e o prazo desses débitos. Cosidere a última colua da tabela 1. A partir da tabela 2, abaixo, temos: Saldo devedor Número de dias Total R$ (5.000,00) 6 R$ (30.000,00) R$(30.000,00) 4 R$(120.000,00) R$(20.000,00) 5 R$(100.000,00) Logo: 0,3 Taxa diária: 0, 010 30 Juro = 0,010 (250.000) = 2.500 TOTAL DEVIDO Tabela 4 R$(250.000,00) 1.5 Saldo médio e Prazo Médio 1.5.1 Saldo Médio Sabe-se que freqüetemete, as istituições bacárias exigem saldo médio de seus clietes para cocessão de empréstimos, descoto de duplicatas ou de outro título qualquer. Veja como se calcula o saldo médio. S m C11 C 22... C k... 1 2 k k Ode, C 1,C 2,...C k são os saldos credores e 1, 2,..., k os prazos. 7
Exemplo 2: Em julho um cliete apresetou os saldos credores que aparecem o quadro a seguir.qual o saldo médio desse cliete? Solução: Saldo credor Número de dias R$250,00 7 R$500,00 3 R$50,00 10 Tabela 5 Saldo credor Número de dias AxB R$250,00 7 R$1.750,00 R$500,00 3 R$1.500,00 R$50,00 10 R$500,00 Total 20 R$3.750,00 Tabela 6 S m 3750 187,50 20 1.5.2 Prazo Médio Sejam C 1,C 2,...C k, k capitais colocados à mesma taxa i, durate os tempos 1, 2,..., k, respectivamete. Deomia-se prazo médio o tempo sobre o qual deve ser colocada a soma desses capitais, à mesma taxa, de modo que o juro produzido seja igual à soma dos juros produzidos pelos k capitais dados. Temos etão, pela defiição dada; T m C11 C22... Ck C C... C 1 2 k k Exemplo 3: Os capitais R$6.000,00, R4 10.000,00 e R$ 8.000,00 foram colocados à mesma taxa durate 9,5 e 8 meses, respectivamete. Durate quato tempo deveria ser empregada a soma desses capitais, à mesma taxa, para que o juro produzido fosse igual a soma dos juros daqueles capitais os prazos dados? 60009 100005 80008 T m 7m 6000 10000 8000 8
2. Descotos Simples 2.1 Itrodução São muito comus, o mudo dos egócios, as operações em que uma pessoa (física ou jurídica) recebe algo de imediato e só efetua o devido pagameto depois de determiado período de tempo, previamete combiado etre as partes evolvidas: Tais operações são chamadas operações de crédito e são realizadas mediate documeto comprobatório da dívida chamado título de crédito. Detre os títulos de crédito recohecidos pelo Direito Comercial Brasileiro, destaca-se: Nota promissória: documeto oficial pelo qual uma pessoa, declarado-se devedora de certa quatia a outra, compromete-se a pagá-la em certa data, combiada etre as partes. Letra de câmbio comercial: documeto oficial pelo qual uma pessoa ordea à outra que lhe pague certa quatia em determiada data. Duplicata: documeto oficial pelo qual uma pessoa se declara devedora de certa quatia a outra, relativa à compra de mercadorias. Edosso: As leis que regem as operações fiaceiras permitem a trasferêcia de propriedade dos títulos de crédito mediate a operação chamada edosso: o proprietário do título laça o documeto sua assiatura, torado-a assim ao portador, isto é, de propriedade de seu evetual possuidor. 2.2 Descoto È o abatimeto sobre o valor de um título ao qual alguém faz jus por comprá-lo em data aterior a seu vecimeto. Idicaremos o descoto por D. Nas operações evolvedo um título de crédito, destacamos algus elemetos relativos à data posterior à aálise do problema: Valor Nomial: é o valor do título a data de vecimeto. Idicaremos o valor omial por N. Valor atual ou valor presete do título: é o valor do título a data de aálise do problema. Idicaremos o valor atual por A. Exemplo 2: No caso de uma pessoa possuidora de uma duplicata de R$ 20.000,00 que a vedeu a um baco, uma data aterior à de seu vecimeto, por R$ 15.000,00. Temos: N = 20000 A = 15000 D = N A = 5000 Na prática, o descoto cosiste o juro cobrado pelo comprador do título pelo aluguel do diheiro. Quado esse juro é cobrado pelo úico valor do título, o descoto é chamado descoto simples. 9
2.2.1Descoto Racioal Simples Também chamado descoto por detro ou real é sempre calculado sobre o valor atual do título A. A relação abaixo forece esse descoto para o valor atual A, tempo e taxa de descoto i: D = Ai Como trabalhemos sempre a partir do valor omial trabalharemos a relação para que fique apropriada. D = Ai e A = N - D D = (N D) i D = Ni Di D + Di = Ni D (1 + i) = Ni Ni D 1 i Agora acompahe a relação etre A e N: Ni A N D N 1 i Portato: N Nim Ni N 1 Ni 1 i N = A (1 + i) Obs: I e devem se referir ao mesmo período de tempo Exercícios: 15) Uma pessoa pretede saldar uma dívida cujo valor omial é de R$ 6.462,50, dois meses ates da data do vecimeto. Qual o descoto que fará jus se a taxa correte o mercado é de 60%aa e o critério adotado foi o racioal simples? (R$ 587,50) 16) Qual o valor atual de uma ota promissória de R$7.500,00, quatro meses ates de seu vecimeto, á taxa de 60%aa? (Cosidere o descoto racioal simples) (R$6.250,00). 17) Uma ota promissória, resgatada 90 dias ates do vecimeto, foi egociada por R$53.409,00, à taxa de descoto racioal de 84%aa. Qual era o valor omial desse título?(r$ 64.624,89) 18) Dois títulos, A e B, fora, resgatados racioalmete 2 e 3 meses, respectivamete, ates de suas datas de vecimeto. A soma dos valores omiais dos dois títulos é de R$ 201.000,00, equato o valor de resgate do título A supera o do título B em R$ 20.000,00. Ecotre o valor de resgate de cada título, sabedo que ambos foram egociados a taxa de 10%am. (A = R$ 90.800,00 e B = R$ 70.800,00) 10
19) Um título foi resgatado racioalmete 2 meses ates de seu vecimeto. Qual foi a taxa simples adotada essa operação, se o descoto cocedido foi igual à metade de seu valor atual a data de resgate?(25%am) 2.2.2 Descoto Comercial Simples Também chamado descoto por fora, é o descoto simples aplicado sobre o valor omial do título. Idicaremos o descoto comercial por D c. Assim, para um título de valor omial N, descotado períodos de tempo ates de seu vecimeto, a uma taxa de descoto comercial i c, temos: D c = N i c Vamos ecotrar agora o valor atual comercial em fução do Nomial. A c = N - D c A c = N - N i c A c = N(1 - i c ) OBS: i c e devem referir-se a um mesmo período de tempo. Exercícios 20) Em 2004 um título com valor omial de R$ 35.000,00 foi resgatado 40 dias ates de sua data de vecimeto, à taxa de 30%am. Qual o descoto comercial cocedido? (R$ 14.000,00) 21) Em 2004 resolvi quitar uma dívida de R$ 8.500,00, faltado 23dias para o seu vecimeto. Que valor devo pagar, se meu credor exigiu que a operação se realizasse com base a taxa de descoto comercial de 36%am?(R$ 6.154,00) 22) Por uma duplicata de R$ 20.000,00, um baco pagou o líquido de R$ 19.250,00. Quatos dias aida faltavam para o vecimeto do título, se a operação deu-se à taxa comercial de 30%aa? (45 dias) 23) Um baco opera o descoto de títulos à taxa comercial simples de 20%am. O sacador de uma duplicata de R$ 3.000,00 deseja vedê-la a esse baco 7 meses ates de sua data de vecimeto. Vale a pea realizar essa operação?(não) 24) O quociete etre os descotos comercial e racioal em um título é de 1,5. Qual a taxa de descoto comercial adotada operação, se i = 2i c e o período de atecipação foi de 5 meses?(20%am) 25) Uma empresa descotou em um baco uma duplicata de R$ 600.000,00, recebedo o líquido de R$ 516.000,00. Sabedo-se que o baco cobra uma comissão de 2% sobre o valor do título, que o regime é de juros simples comerciais, sedo a taxa de juros 96%aa, qual o prazo de descoto da operação?(45 dias) 11
2.3 Taxa efetiva de juros È aquela que coduz, pelo critério racioal, ao mesmo valor que a taxa comercial coduziria pelo descoto comercial. Idicaremos: A taxa de juro efetiva por i. A taxa de descoto comercial por i c. Para que i correspoda a i c, demos ter D = D c. D = D c Ai = N i c (cacelado os dois membros) Ai = Ni c N(1 i c )i = Ni c (cacelado N os dois membros) (1 - i c )i = i c ic i 1 i c Exercícios 26) Uma duplicata foi resgatada 2 meses ates de seu vecimeto, à taxa de descoto comercial de 18%am. Qual a taxa de juro efetiva relativa a essa operação? (28,125%am) 27) Um baco deseja lucrar em suas operações de descotos de títulos, à taxa de juro efetiva de 26%aa. Que taxa aual comercial deverá exigir de um cliete a atecipação de um título por 6 meses?(23%aa) 28) Um baco descota títulos de crédito, comercialmete, à taxa de 20% am. Idepedetemete do prazo de atecipação do título, cobra aida uma taxa de 2% de despesas admiistrativas. Qual a taxa de juro efetiva cobrada por esse baco, o caso de um título descotado 2 meses ates do vecimeto. (36,2%am) Letra do tesouro Nacioal È qualquer título emitido pelo govero federal com prazo fixo e que paga juros de mercado. As LTNs são usadas como istrumeto de cotrole do diheiro circulate e também para a captação de recursos para o fiaciameto de obras públicas. Recebem também o ome de títulos da dívida Pública. Nas operações com LTNs, o juro e o descoto são calculados o sistema de capitalização simples. 12
Exercício: 25) Um lote de LTNs o valor omial de R$ 10.000.000,00 é adquirido o Baco Cetral com prazo de resgate de 69 dias, à taxa de descoto comercial de 22%am. Pede-se ecotrar: a) O preço de compra do lote das LTNs.(R$4.940.000,00) b) A taxa de retabilidade (taxa de juros efetiva) da operação.(44,53%am) 2.4 Equivalêcia de Capitais e Fluxo de Caixa 2.4.1 Fluxo de caixa Chama-se fluxo de caixa à sucessão de pagametos ou recebimetos previsto ao logo do tempo. Para facilitar a visualização de um fluxo, utilizamos uma reapresetação gráfica chamada de fluxo de caixa. 0 1 2 3 4 5 6 7 Nele, covecioamos: Um eixo horizotal, orietado para direita, idica os períodos de tempo (dias, meses, aos, etc). As setas orietadas para cima represetam as saídas de caixa (pagametos, desembolsos, etc). As setas orietadas para baixo represetam as etradas de caixa (recebimetos, reembolsos, etc). 2.4.2 Equivalêcia de capitais Dois ou mais capitais são ditos equivaletes quado, trasportados para uma mesma data, à mesma taxa, produzirem, essa data, valores iguais. A data para qual os capitais serão trasferidos será chamada data focal. 13
Exercícios: 26)Verificar se os capitais R$ 6.400,00, com vecimeto para 3 meses, e R$ 10.000,00, com vecimeto para 7 meses, são ou ão equivaletes pelo critério da taxa comercial simples a 10%am, a data focal 5. (Sim) 27)Desejo substituir um título de R$ 50.000,00 que vece hoje por outro que vecerá daqui a três meses. Para esse tipo de trasação, o baco aplica a taxa comercial simples de 20%am e, par os cálculos, adota a data focal 3. Qual o valor do ovo título?(r$125.000,00) 28)Uma pessoa trocou um título de R$ 159.500,00, com vecimeto para 45 dias, por outro a ele equivalete, a uma determiada taxa de descoto racioal, com vecimeto para 10 dias e valor omial R$ 121.000,00. Qual o valor dessa taxa racioal, cosiderado-se a data focal zero?(1%ad) 2.4.3 Equivalêcia etre Cojuto de Capitais Dois ou mais cojutos de capitais são ditos equivaletes quado a soma dos capitais de cada cojuto, trasportados para uma mesma data, a uma mesma taxa, produzir valores iguais. Exercícios 29) Uma pessoa deve a um baco os seguites valores: R$ 30.000,00 com vecimeto hoje, R$ 50.000,00 com vecimeto para 30 dias e R$ 70.000,00 com vecimeto em 60 dias. No etato, setido que ão poderá pagar essas quatias as datas previstas, propõe a seu credor o pagameto total da dívida, em uma só vez, daqui a 90 dias. Qual o valor desse pagameto úico, se foi usada a trasação a taxa simples racioal?(r$ 189.000,00) 30) Uma pessoa deve, em um baco, dois títulos: o primeiro o valor de R$ 15.000,00, para pagameto imediato, e o segudo o valor de R$ 70.000,00, para pagameto em 6 meses. Por lhe ser coveiete, o devedor propõe ao baco o pagameto total da dívida em uma só vez, em três meses. Qual o valor desse pagameto úico, se a operação será realizada comercialmete a 84%aa, a data focal 3?(R$ 74.287,34) 31) Um automóvel é vedido a vista por R$ 23.000,00. A prazo, o automóvel é vedido em dois pagametos de R$ 13.200,00 mesais, sedo o primeiro em 30 dias. Qual foi a taxa racioal de juro adotada essa operação? (10%am) 14
3. Sistema de capitalização composta 3.1 Juros compostos. No sistema de capitalização simples o juro de cada período é calculado sempre com base o capital iicial. No sistema de capitalização composto o juro é calculado sempre com base o saldo do iício do período. Vejamos a tabela 7, abaixo Movimetação para juros simples de 10%am Período Saldo o Iício do mês Juro de cada mês Motate 1 10000 10% de 10000 11000 2 11000 10% de 10000 12000 3 12000 10% de 10000 13000 4 13000 10% de 10000 14000 Tabela 7 Movimetação para juros compostos de 10%am Período Saldo o Iício do mês Juro de cada mês Motate 1 10000 10% de 10000 11000 2 11000 10% de 11000 12100 3 12100 10% de 12100 13310 4 13310 10% de 13310 14641 Tabela 8 O motate simples pode ser represetado por uma reta, já o composto por uma expoecial. Percebe-se que o regime de juros compostos o motate obtido a cada período foi calculado com base o motate aterior, e ão o capital iicial, como ocorria os juro simples. Portato, o juro composto é um sistema de juro sobre juro, que é o que ocorre a maioria das trasações comerciais. Em fução disto, seu estudo é mais importate que o estudo do juro simples. O úico icoveiete da teoria de juros compostos é que seu cálculo é mais complexo que o de juros simples, fato que pode ser miimizado se o estudate de utilizar uma calculadora cietífica ou o Excel. 3.2 Coveções Se um exercício ão especifica o regime de capitalização, etedemos ser um regime composto. Se ão especifica se o sistema é racioal ou comercial, etedemos ser um regime racioal. 15
3.3 Cálculo do juro e motate composto Acompahe a seqüêcia abaixo: M1 = C(1+ i) M2 = M1(1+ i) = C(1+ i) (1+ i) = C(1+ i) 2 M3 = M2(1+ i) = C(1+ i) 2 (1+ i) = C(1+ i) 3 M = C(1+ i) J = M C = C(1+ i) C = C[(1+ i) -1] J = C[(1+ i) -1] Ode: J = Juro composto C = capital iicial = tempo de aplicação do capital iicial i = taxa de juros da operação. Obs: Taxa e tempo deve estar a mesma uidade de tempo. Exercícios 32) Um ivestidor aplicou a quatia de R$ 300.000,00, à taxa de juro composto de 7% am. Que motate este capital irá gerar após 5 meses? (R$ 420.765,52) 33) Calcular o juro composto que se obterá a operação de R$ 100.000,00 a 15% aa, durate 48 meses. (R$ 74.900,60) 34) Um capital de R$ 10.000,00 esteve aplicado por 4 meses e gerou um motate de R$ 12155,06. A que taxa mesal esteve aplicado? (5%am) 35) Durate quato tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 35.000,00, à taxa composta de 10%am, para que o mesmo produza juro de R$ 11585,00?(3 meses) 36) O capital de R$ 25.000,00 foi aplicado a juros composto de 3% am. Qual o motate o fial de 3 aos e 8 meses? (R$ 91.786,31) 37) Calcule a taxa mesal de juro composto que, aplicada ao capital de R$ 700.000,00, o trasforma em um motate de R$ 958.230,00 em 2 meses. (17%am) 38) Em 2004, um capital o valor de R$ 500.000,00 foi aplicado à taxa de juro composto de 23% am, e se elevou a R$ 756.450,00. Por quatos meses esse capital foi aplicado?(2 meses) 39) O preço de um objeto é de R$ 1.200,00, podedo ser pago daqui a três meses. Na compra desse objeto, a vista, dá-se um descoto de 15%. Qual a taxa de juro composto evolvida essa operação?(5,56%am) 16
3.4 Juros e Motate a taxa variável De acordo com as defiições dadas para juro e motate composto, podemos observar: i 1 i 1 i... M C 1 1 1 2 3 i J C Ode: M = motate J = Juro C = capital iicial i = taxa de juros o tempo Exercícios i 1 i 1 i... 1 i 1 1 2 3 1 40) Uma pessoa aplicou, em cadereta de poupaça, a quatia de R$ 300.000,00 por 3 meses. Qual o seu saldo o fim desse prazo, se o redimeto do diheiro esses meses deu-se com base as taxas 1,2% ; 1,5% e 1%? (R$ 311.235,54) 41) Tomei emprestado R$ 150.000,00 pelo prazo de 4 meses, comprometedo-me a pagar juro com base as taxas de iflação de cada período. Quato pagarei de juro, se as taxas de iflação de cada período foram, respectivamete, 7%; 5,5%; 4% e 5%?(R$ 34.905,60) 3.5 Taxa de juro o regime de capitalização composta Em algus tipos de operação fiaceira costuma-se expressar a taxa de juro em tempos auais. No etato, essas mesmas operações são realizadas em períodos de capitalização mesais, bimestrais, etc. desse fato decorrem situações em que a taxa de juro é expressa em um período de capitalização ão coicidete com o período de tempo ao qual a taxa se refere. Nesses casos, faz-se ecessária a distição etre taxa efetiva e taxa omial. Taxa efetiva: è aquela que, como o próprio ome já diz, efetivamete verifica a operação fiaceira. Taxa Nomial: taxa aparete que só pode ser defiida quado a uidade à qual a taxa se refere ão coicide com a uidade do período de capitalização, e a coversão é feita calculado-se a taxa proporcioal. A fim de evitarmos iterpretações ambíguas, vamos covecioar: Toda vez que a uidade à qual a taxa se refere coicidir com o período de capitalização, estaremos os referido a uma taxa efetiva. Assim, são exemplos de taxas efetivas: 5% ao mês, capitalizados mesalmete. 7% ab, capitalizados bimestralmete. 17
No caso da taxa efetiva, costuma-se omitir o período de capitalização. Toda vez que a uidade à qual a taxa se refere ão coicidir com o período de capitalização, estaremos os referido a um taxa omial. Assim, são exemplos de taxas omiais: 10% aa, capitalizados mesalmete. 7% ab, capitalizados diariamete. Por coveção a obteção da taxa efetiva embutida em uma dada taxa omial é feita o sistema de capitalização simples, isto é calcula-se a taxa proporcioal à dada, relativa à uidade de tempo mecioada para capitalização. Assim: i i k k k Sedo: i = taxa efetiva i k = taxa omial k = úmero de vezes em que o período correspodete á taxa foi dividido. 3.5.1 Taxas equivaletes Duas taxas de juros são ditas equivaletes quado aplicadas ao mesmo capital produzem o mesmo motate. Assim: M M 1 C 1 i 1 a 1 12 C a m a 2 C 1 im Aalogamete podemos escrever: i 1 i 1 i 4 1 i 2 1 i 1 C1 i 12 1 i i 12 12 1 i 360 1 a m t s d Exercícios 42) Calcular a taxa de juro efetiva, relativa `a taxa omial de 36%aa, com capitalização mesal e com capitalização bimestral(3%am e 6%ab). 43) Calcular a taxa mesal de juro composto, equivalete a 9,2727%at.(3%am) 44) Qual a taxa efetiva aual, relativa à taxa de 36%aa, com capitalização mesal?(42,6%aa) 45) No Brasil, as caderetas de poupaça pagam, além da correção moetária, juro à taxa omial de 6%aa, com capitalização mesal. Perguta-se: a) Qual a taxa efetiva mesal?(0,5%am) b) Qual a taxa efetiva aual?(6,1678%aa) 46) Uma istituição fiaceira empresta diheiro a 96%aa, adotado a capitalização mesal de juro. Qual seria o motate a ser pago por um empréstimo de R$ 45.000,00 feito por 1 ao?(r$ 113.317,65) 47) Um ivestidor está ideciso se aplica uma quatia em diheiro dispoível o baco A, que oferece a taxa composta de 2%am, ou o baco B, que oferece 27%aa, também de juro composto. Qual dos dois oferece melhor oportuidade de ivestimeto?(o baco B) 18 m
4. Descotos Compostos Os descotos compostos podem ser de dois tipos: descoto comercial composto e descoto racioal composto. No etato, o descoto comercial composto quase ão apreseta a prática aplicação o Sistema Fiaceiro Brasileiro, razão pela qual apresetamos de forma sucita, dedicado a maior parte desta uidade ao descoto racioal composto. A simbologia que adotaremos o trato com o descoto composto é a seguite: D c = descoto composto comercial D = descoto racioal composto N= valor omial A = valor atual racioal A c = valor atual comercial i = taxa de descoto racioal i c = taxa de descoto comercial = prazo de atecipação 4.1 Descoto Racioal Composto È a difereça etre o valor omial e o valor atual de um título, os quais são determiados com base o sistema de capitalização composta. Assim, temos: N = A(1+ i ) N 1 ; A e 1 i D N 1 1 i Exercícios 48) Calcular o descoto racioal composto, cocedido o resgate de um título de R$ 50.000,00, recebido 2 meses ates de seu vecimeto, à taxa de 3% am. (R$ 2.870,20) 49) Qual o valor atual de um título de R$ 100.000,00, resgatado racioalmete à taxa composta de 4% am, 3 meses ates de seu vecimeto?(r$ 88.899,60) 50) Por ter pagado uma dívida de R$ 300.000,00, 4 meses ates de seu vecimeto, uma pessoa obteve um descoto de R$ 22.846,50. Qual a taxa de descoto racioal evolvida essa operação?(2%am) 51) Uma empresa tomou emprestada de um baco a quatia de R$ 2.000.000,00, à taxa de juro composto de 12%am, por 7 meses. No etato, 15 dias ates da data prevista para o vecimeto, a empresa decidiu liquidar a dívida. Qual o valor pago, se essa data o baco estava operado a 15%am?(R$ 4.122.941,32) 4.2 Descoto Comercial As fórmulas de juro composto comercial composto, relativo a um dado título de crédito, são obtidas pelas fórmulas do descoto comercial simples, aplicadas período a período. Assim, temos: 19
A N Dc Exercícios c N 1 i c A c 1 i c N A N 1 1 i c c 52) Calcular o descoto comercial composto, cocedido o resgate de um título de R$ 50.000,00, 2 meses ates de seu vecimeto, à taxa de 3%am.(R$ 2.955,00) 53) Qual o valor de um título de R$ 100.000,00, 3 meses ates de seu vecimeto, cosiderado-se a taxa composta de 4%am, sob o critério do descoto comercial? (R$ 88.473,60) 4.3 Equivalêcia de Capitais Já trabalhamos com os pricipais coceitos evolvedo equivalêcia de capitais, o sistema de capitalização simples. È claro que os coceitos e a maeira de ecararmos os problemas serão os mesmos. Mudaremos apeas o regime de capitalização e o fato de que a escolha da data focal o sistema composto é irrelevate. Exercícios 54) Uma pessoa deseja substituir um título de valor omial de R$ 85.000,00, com vecimeto daqui a 2 meses, por outro título, com vecimeto para 5 meses. Qual o valor omial do ovo título, sabedo-se que o baco em questão adota, esse tipo de operação, a taxa composta de 9%am e o critério do descoto racioal? (R$ 110.077,46) 55) Um comerciate deve dois títulos: um de R$ 90.000,00, com vecimeto para 5 meses, e outro de R$ 140.000,00, com vecimeto para 7 meses, e deseja pagá-los hoje. Quato deverá desembolsar, se a operação vai se realizar a 4%am, sob o critério do descoto racioal composto?(r$ 180.361,95) 56) Uma pessoa deve, em um baco, dois títulos: R$ 100.000,00 para pagameto imediato e R$ 70.000,00 para pagameto em 6 meses. Por lhe ser coveiete, o devedor propõe ao baco a substituição da dívida por um pagameto de R$ 150.000,00 em 3 meses e o saldo restate em 9 meses. Qual o valor do saldo restate se o baco realiza essa operação a 10%am, sob o critério do descoto racioal composto?(r$ 63.230,65) 57) Uma loja vede suas mercadorias a prazo em 3 pagametos mesais iguais, acrescetado ao preço destas 20% sobre o preço a vista; o primeiro pagameto é feito o ato da compra. Qual a taxa de juro composto cobrada por essa loja?(21,53%am) 20