Geometria na Luísa orreia e João raújo Lisboa Novembro de 2010
1 1. Triângulos hama-se triângulo a um polígono determinado por três rectas que se cortam duas a duas en três pontos (que não se encontram alinhados). Os pontos de intersecção das rectas são os vértices eossegmentosde recta determinados são os lados do triângulo. ada dois lados contíguos formam um ângulo interno do triângulo. Portanto, um triângulo tem: 3 ângulos (internos), 3 lados, 3 vértices. enotamos um triângulo pelo símbolo seguido pelas letras dos seus vértices. ssim denota o triângulo com laramente temos vértices nos pontos,, ; lados nos segmentos [], [] e[]; ângulos,, ( a ). = = = = = pois os vértices, os lados e os ângulos são coincidentes. Os triângulos, quanto à grandeza relativa dos lados, classificam-se em: quiláteros Isósceles scalenos se têm os três lados iguais. se têm dois lados iguais. se têm os três lados desiguais. I F equilátero isósceles G escaleno H Os triângulos, quanto à natureza dos seus ângulos classificam-se em: Rectângulos cutângulos Obtusângulos se têm um ângulo recto. se têm todos os ângulos agudos. se têm um ângulo obtuso. F I rectângulo acutângulo G obtusângulo H a Note que = = é o ângulo com vértice no ponto e lados nas semi-rectas e.
2 Num triângulo rectângulo: cateto 90 cateto hipotenusa o lado oposto ao ângulo recto chama-se hipotenusa, e é o maior lado do triângulo. Os outros dois lados chamam-se catetos. soma dos ângulos internos de um triângulo é 180. ssim um triângulo tem no máximo um ângulo recto ou um ângulo obtuso. O conceito de igualdade nos triângulos pode ser estendido do modo seguinte. Triângulos iguais ou congruentes: ois triângulos dizem-se iguais ou congruentes se coincidem ou se deslocando um deles se pode fazer coincidir com o outro. F m dois triângulos iguais, a cada elemento de um corresponde no outro um elemento igual. Os elementos iguais dizem-se correspondentes ou homólogos. sses elementos são lados ou ângulos. esta forma, sendo F temos [] =[], [] =[F], [] =[F] =, =, = F Observação 1. Para a congruência de triângulos é importante a ordem com que escrevemos os vértices. mbora =, ao escrevermos estamos a afirmar que ou seja que o é equilátero. [] =[], [] =[], [] =[], e =, =, =, Observação 2. Resulta da definição de congruência de triângulos que: a) m triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais. b) m triângulos iguais, ângulos iguais opõem-se lados iguais.
omo vimos, dois triângulos iguais têm os três lados e os três ângulos iguais. Os casos de igualdade de triângulos afirmam que basta sabermos que três determinados elementos de cada um deles são iguais, para termos a garantia que os outros três também o são. 3 asos de igualdade/congruência de triângulos: caso L caso LL caso LLL ois triângulos são iguais se tiverem um lado igual e os dois ângulos adjacentes iguais, cada um a cada um, isto é: se =, =, = então F ois triângulos são iguais se tiverem dois lados iguais, cada um a cada um, e o ângulo por eles formado igual, isto é: se = F, =, = então F ois triângulos são iguais se tiverem os três lados iguais, cada um a cada um, isto é: se =, = F, = F então F stes resultados são provados num curso básico de Geometria. plicação 1. onsidere a figura abaixo Se = e é r e c t o e n t ã o é isósceles. Resolução. onsideremos os triângulos e. omo é recto também, é recto porque são ângulos suplementares (soma igual a um ângulo raso). Portanto temos =, [] =[], = e, pelo caso L podemos concluir que. a congruência, resulta que são iguais todos os lados correspondentes. Logo temos [] =[], o que prova que é isósceles. xercício 1. a) ados os triângulos e F tais que [] =[F] e = F. Indique, se possível, outra condição para garantir que = F.
4 b) Sejam e F dois triângulos equiláteros. Justifique que se [] =[] então F. Triângulos semelhantes: ois triângulos dizem-se semelhantes quando têm os ângulos respectivamente iguais e os lados correspondentes proporcionais. F Para designarmos que e F são semelhantes escrevemos F e, portanto, temos =, =, = F, (Nota: é a medida do segmento []. segmentos.) = F = F. Igual para os outro O valor comum k = = = diz-se a razão de semelhança F F entre os triângulos e F. Tal como na congruência de triângulos temos as observações seguintes: Observação 3. a) Para a semelhança de triângulos é importante a ordem com que escrevemos os vértices. b) m triângulos semelhantes, a lados correspondentes proporcionais opõem-se ângulos iguais. c) m triângulos semelhantes, ângulos iguais opõem-se lados correspondentes proporcionais. plicação 2. É claro da definição de semelhança de triângulos que: Se F com razão de semelhança k =1,então F. Resolução. Se F com razão de semelhança k =1,entãotemos =, =, = F, Portanto, para os lados, temos = F = F =1. [] =[], [] =[F], [] =[F] o que justifica que F.
plicação 3. razão dos perímetros de dois triângulos semelhantes é igual à razão de semelhança. Quer dizer que se F com razão de semelhança k e p, p F são os perímetros de ede F, respectivamente, então p p F = k. Resolução. omo F com razão de semelhança k, entãotemos Quer dizer que = F = F = k. = k, = kf, = kf. Por definição o perímetro é a soma das medidas dos lados de um triângulo. Logo p = + +, p F = + F + F. 5 Portanto, temos p p F = + + + F + F = k + kf + kf + F + F = k como queríamos. xercício 2. a) No, temos =20cm, =12cme =25cm. Quantomede cada um dos lados de um triângulo semelhante ao dado, mas maior sendo a razão de semelhança k =6/5. b) Num triângulo os lados medem 15cm, 20cm e 25cm; noutro triângulo semelhante o maior lado mede 35cm. etermine a medida de cada um dos dois lados deste último triângulo e a razão de semelhança do triângulo maior para o mais pequeno. c) O perímetro de um triângulo é 18cm e dois dos lados de outro semelhante medem 4cm e 5cm. Sendo a razão de semelhança do primeiro triângulo para o segundo igual a 3/2, determine a medida do outro lado deste último triângulo. d) Os perímetros de dois triângulos isósceles semelhantes são 22cm e 33cm. etermine a medida de cada um dos lados do triângulo maior, sabendo que abasedomenormede6cm. e) razão de semelhança de dois triângulos isósceles é 3/5, medindo a base do menor 6cm e um dos lados iguais do maior 15cm. etermine o perímetro de cada um dos triângulos. Por definição, se dois triângulos iguais têm os três ângulos iguais, cada um a cada um, e os lados correspondentes directamente proporcionais, são semelhantes. Os casos de semelhança de triângulos afirmam que basta conhecermos apenas algumas daquelas condições, para termos a garantia que dois triângulos são semelhantes.
6 asos de semelhança de triângulos: caso caso LLL sem caso LL sem ois triângulos são semelhantes se tiverem dois ângulos iguais, isto é: se =, = então F ois triângulos são semelhantes se tiverem os três lados proporcionais, isto é: se = = F F então F ois triângulos são semelhantes se tiverem dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado igual, isto é: e = então F se = F stes resultados são consequência do conhecido Teorema de Thales. xercício 3. a) No temos =75 e =45. No F temos =45. Quanto devem medir os ângulos e F para que F. b) É possível que F se =89 e =95? Justifique a resposta. c) onsidere a figura e suponha que =8, =10, =6, =18. 71 71 Justifique que. etermine e. d) No, temos =9cm, =15cme =21cm,eno F o lado menor mede 12cm. etermine as medidas dos lados de F de modo a que F. e) No, temos =67, 5, =12cme =8cm. No F, temos F =75, F =6cmeF = 9cm. Justifique que F. etermine todas as medidas de ângulos e lados desconhecidas.