5. PRINCIPAIS MODELOS CONTÍNUOS 00
5.. Modelo uniforme Uma v.a. contínua X tem distribuição uniforme com parâmetros α e β (α β) se sua função densidade de probabilidade é dada por f ( ) β α 0, Notação: X ~ U(α, β). 0, α β α,, se α c.c. A função de distribuição acumulada é dada por F( ), se se α > β α, β. β, Propriedades: α + β E( X ) e Var( X ) ( α β ).
Eemplo A dureza de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável aleatória uniforme no intervalo (50,70) unidades. Qual a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60? Solução. X representa a dureza de uma peça de aço, sendo que X ~ U(50, 70) e f ( ), 0 0, 50 c. c. 70, Portanto, P(55 60 X 60) d 0 55 5 0 0,5. 3
5.. Modelo eponencial Uma v.a. contínua X tem distribuição eponencial com parâmetro λ > 0 se sua função de densidade é dada por f ( ) λ e λ 0, Notação: X ~ E(λ)., c.c. 0, A função de distribuição acumulada é dada por F( ) Propriedades: E( X ) e 0, λ, c.c. 0 / λ e Var( X ) / λ. f() 0 λ F() 0 0 0 4
5.. Modelo eponencial Propriedade. Se X ~ E(λ), então P(X > a + b X > b) P(X > a). É a única distribuição contínua com esta propriedade ( falta de memória ). Observação. Também encontramos X ~ E(α), em que f ( ) α e 0, α, c.c. 0, Relação: α / λ. α: escala e λ: taa. Eemplo. Diferentes valores de λ. f() λ 3 λ λ 5
Eemplo O intervalo de tempo entre a passagem de veículos por um ponto em uma estrada tem distribuição eponencial com média de 0,55 minutos. Qual a probabilidade de que o tempo seja no máimo segundos? Solução. Se X é o intervalo de tempo entre a passagem de veículos, temos E(X) 0,55 min, α E(X) 0,55 e X ~ E(α 0,55). Ou seja, F( ) e 0, 0,55, 0, c.c. P( X s) P( X / 60 min) e 0, 0,55 0,305. Em Ecel: DISTEXPON(0,; /0,55; VERDADEIRO) 6
7 5.3. Modelo normal (ou gaussiano) Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal com média µ e variância σ se sua função densidade é dada por., ) ( R e f σ µ σ π Notação: X ~ N(µ, σ ). Propriedades: E(X) µ, Var(X) σ e mediana moda µ.
Eemplos Distribuições normais com médias diferentes e variâncias iguais. Distribuições normais com médias iguais e variâncias diferentes. 8
Eemplos σ σ µ µ µ µ σ σ µ µ
Propriedades (a) A distribuição é simétrica em relação à média. (b) Como a área total sob curva é igual a, à esquerda e à direita de µ a área é igual a 0,5. (c) P( µ σ X µ + σ ) 0,6896, P( µ P( µ σ 3σ X X µ + µ + σ ) 3σ ) 0,9546 0,9973. e 0
Propriedades A função de distribuição acumulada de uma v.a. X ~ N(µ, σ ) é F( ) π σ ep t µ σ dt. Normal padrão ou reduzida. Se é uma v.a. normal com média 0 e variância, então é chamada de uma v.a. normal padrão ou reduzida e sua função densidade é f ( z) e π z, z R. Integral sem solução analítica. Cálculo de probabilidades com o auílio de tabelas. A função de distribuição acumulada de uma v.a. ~ N(0,) é Φ( z) P( z) z ep( π f(z) 0.0 0. 0. 0.3 0.4 t ) dt. -4-3 - - 0 3 4 z
Uso da tabela normal Table A.3. Areas under the normal curve. ~ N(0,): distribuição normal padrão. Valores no corpo da tabela: Φ(z) P( z), z com duas decimais. Φ ( z) P( z) z π ep( t ) dt, 3,40 z 3,49.
Uso da tabela normal a coluna: parte inteira de z e a decimal. a linha: a decimal de z. Eemplo. P( -,5) é encontrada na interseção da linha correspondente a, com a coluna 0,05: a decimal Parte inteira e a decimal z 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-3,4... -, 0,056... 3,4 Resposta. P( -,5) 0,056. 3
Eemplo Se ~ N(0,), calcule (a) P(,80), (b) P(0,80,40), (c) P( > -0,57) e (d) o valor de k tal que P( k) 0,05. Em Ecel: (a) DIST.NORMP(,8). (b) DIST.NORMP(,4) DIST.NORMP(0,8). (c) -DIST.NORMP(-0,57). (d) INV.NORMP(0,05). Solução. Da tabela normal padrão tem-se (a)p(,80) Φ (,80) 0,964, (b) P(0,80,40) Φ (,40) - Φ (0,80) 0,99-0,788 0,3, (c) P( > 0,57) P( 0,57) 0,843 0,757, (d) P( k) 0,05 k,64. Observação. Para todo k > 0, ( i) P( k) P( k) e ( ii)p( k k) P( k) P( k). 4
Eemplo (b) A B C, sendo que B e C são encontradas na tabela normal. f(z) z A 0.8.4 f(z) B z.4 f(z) C z 0.8 5
Transformação linear de uma variável normal Se X ~ N(µ, σ ), então Y a + bx ~ N(µ Y, σ Y ), sendo que µ Y a + bµ e σ Y b σ. Tomando a - µ / σ e b / σ obtemos a padronização X σ µ ~ N(0,). Distribuição normal padrão ou reduzida. Eemplo. Se X ~ N(90,00), determinar P(80 X 00), P( X - 90 30) e o valor de a tal que P(90 - a X 90 + a) 0,99. 6
7 0,686. 0,843,00) P(,00),00 P( ) 0 90 00 0 90 80 P( 00) ) P(80 ( X X a σ µ 0,9974. 0,9987-3,00) P( 3,00) 3,00 P( ) 0 30 0 90 0 30 P( 30) 90 30 P( 30) 90 P( ) ( X X X b,85.,57 5 0,995 ) 5 P( 0,99 ) 5 P( 0 0 90 0 P ) 90 P( ) 90 ) P(90 ( + a a a a a X a a X a a X a c Eemplo Eercício. Resolver o eemplo utilizando o Ecel.
Eemplo A resistência à compressão de blocos de concreto tem distribuição normal com média 0 N/mm e desvio padrão 5 N/mm. Qual a probabilidade de que a resistência seja inferior a 00 N/mm? Solução. Definimos X como a resistência dos blocos à compressão. Pelo enunciado, X ~ N(0, 5 ). Calculamos 00 0 P( X 00) P P(,33) 5 Φ (,33) 0,098. Em Ecel: DIST.NORM(00; 0; 5;VERDADEIRO) 8
Eemplo (b) Qual a resistência correspondente a 95% dos blocos de menor resistência? Solução. Devemos encontrar tal que P(X ) 0,95. Após uma transformação, 0 P ( X ) P 0,95. 5 Iniciamos encontrando z tal que Φ(z) 0,95. Da tabela normal, z,64. Logo, 0 +,64 5 44,6 N/mm. Em Ecel: INV.NORM(0,95; 0; 5) 44,678. Obs. Este valor é o quantil (ou percentil) 95% da distribuição. 9
Eemplo (c) Qual o intervalo central correspondente a 80% de todos os valores da resistência? Solução. Devemos encontrar e tais que 0 P( X ) 0,80 P 5 0 5 0,80. Em Ecel: Procuramos z tal que Φ(z) 0,90. Da tabela normal, z,8. Logo, 0 5 0 5 INV.NORM(0,0; 0; 5) 00,7767,8,8 e INV.NORM(0,90; 0; 5) 39,36. Probabilidade acumulada até o ponto z é igual a 0,90. 0 5,8 00,8 N/mm 0 + 5,8 39, N/mm., 0
A escala sigma Utilizada para medir o nível de qualidade de um processo de produção. Quanto maior o número de sigmas (σ), melhor. X representa uma característica de um item, sendo que X ~ N(VN, σ ). µ VN valor nominal. Limites de especificação: LIE VN 6σ e LSE VN + 6σ. P(X VN 6σ) + P(X > VN + 6σ) P(X VN 6σ) 9,865876 0 0,97375 0 9. f() Em Ecel: *DIST.NORMP(-6),9804 0 9. Corresponde, em média, a cerca de dois itens que não atendem às especificações a cada bilhão de itens produzidos. VN - 6 σ VN VN + 6 σ *DIST.NORMP(-6)* E9,980.
A escala sigma O processo sofre uma alteração. A média passa a ser µ VN,5σ ou µ VN +,5σ. Considere X ~ N(µ, σ ), em que µ VN +,5σ. P(X VN 6σ) + P(X > VN + 6σ) 3,397673 0 6. f() Em Ecel: DIST.NORM(-6;,5;; VERDADEIRO) + DIST.NORM(6;,5;; VERDADEIRO) 3,4008 0 6. Corresponde, em média, a cerca de 3,4 itens que não atendem às especificações a cada milhão de itens produzidos. VN - 6 σ VN VN +,5 σ VN + 6 σ
A escala sigma Nível Média de defeitos por milhão σ 308537 3 σ 66807 4 σ 60 5 σ 33 6 σ 3,4 4 σ 6 σ Sete horas de falta de energia por mês Uma hora de falta de energia a cada 34 anos 5000 cirurgias incorretas por semana,7 cirurgia incorreta por semana 5 minutos de fornecimento de Um minuto de fornecimento de água não potável por dia água não potável a cada sete meses Fonte: Keene, S. (000), Reliability Review 0, p.9. 3
Propriedade Se X,, X são v.a. independentes tais que X n i ~ N(µ, σ para i,...,n, então, a v.a. Y é tal que Y ~ N(nµ, nσ ). Padronização: X + + n X n X i i ), i n X i nµ X µ n( X nσ σ / n σ µ ) ~ N(0,). Eemplo. O peso de uma caia de peças é uma v.a. normal com média 65 kg e desvio padrão de 4 kg. Um carregamento de 0 caias de peças é despachado. Qual a probabilidade de que a carga pese entre 7.893 kg e 7.90 kg? 4
Eemplo Solução. Pelo enunciado, X i : peso da i - ésima caia X ~ N(65,6), i,,0. Logo, Y : peso da carga Y Y ~ N(7800,90). 0 i i X i ~ N(0 65,0 6), Calculamos 7893 7800 P(7893 Y 790) P 90 P(,,5) Φ (,5) Φ (,) 0,4940 0,4830 0,00. 790 90 7800 5
Teorema central do limite Se X, X,..., X n é uma amostra aleatória de tamanho n de uma distribuição com média µ e desvio padrão σ (0 σ ), então a distribuição aproimada de n( X σ sendo que µ ) é normal padrão N(0,), X n n i X i é a média amostral. Observações. () Quanto maior n, melhor a aproimação. () A distribuição das variáveis X pode ser discreta ou contínua. (3) A distribuição aproimada de n X i é N( nµ, nσ ). i 6
Teorema central do limite Distribuição eponencial Densidade 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 n Densidade 0.00.0.0.30.4 n 0-4 - 0 4-4 - 0 4 Densidade 0.0 0. 0. 0.3 0.4 n 50 Densidade 0.0 0. 0. 0.3 0.4 n 00 - - 0-0 7
Teorema central do limite Distribuição Bernoulli (p 0,45) n n 0 Densidade 0.0.0.0 Densidade 0.0 0. 0.4 -.0-0.5 0.0 0.5.0-3 - - 0 3 n 50 n 00 Densidade 0.0 0. 0.4 Densidade 0.0 0. 0.4-3 - - 0 3-3 - - 0 3 8
Eemplo Após arredondamento para o inteiro mais próimo, 48 números são somados. Os erros de arredondamento individuais são uniformemente distribuídos no intervalo (-0,5; 0,5). Qual a probabilidade de que a soma dos números arredondados seja diferente da verdadeira soma por mais de 3 unidades (em ambos os sentidos)? Solução. Utilizando o teorema central do limite obtemos uma solução aproimada. X i, i,...,48 são os erros de arredondamento tais que X i ~ U(-0,5; 0,5), E(X i ) (-0,5 + 0,5) / 0 e Var(X i ) [0,5 (-0,5)] / / (veja lâmina ). O erro de arredondamento E é dado por E X + X +... + X 48, sendo que a distribuição aproimada é E ~ N(48 0, 48 /) N(0,4). Devemos calcular P((E -3) (E > 3)), que é igual a P(E -3) + P(E > 3). Usando a distribuição aproimada, P(E -3) + P(E > 3) P(E -3) E - 0 3 0 P P(,50) 0,0668 0,336. 9
30 5.4. Modelo de Weibull Uma variável aleatória contínua X tem distribuição de Weibull com parâmetros de escala α > 0 e forma β > 0 se sua função densidade é dada por 0., ) ( e f β α β α α β Notação: X ~ W(α, β). 0., ) ( ) ( e X P F β α Função distribuição acumulada: Obs. Se β, X ~ E(α) (lâmina 5).
Eemplos α β f() 0.0 0.5.0.5 β 4 f() 0.0 0. 0.4 0.6 0.8.0 α 3 0 3 4 5 6 7 0 3 4 5 6 7 Outras distribuições contínuas: gama, Gumbel, log-normal, Fréchet, Pearson, valor etremo, etc. 3
Período de retorno Eventos etremos: cheias, secas, velocidade do vento, etc. X: vazão máima anual em uma certa estação de medição (v. a. contínua). X i : vazão máima ocorrida no ano i, i,,... T: intervalo, em anos, entre ocorrências de vazões que ultrapassam um certo valor v. Passamos ao cálculo da probabilidade de que o número de anos seja k. Notamos que T k equivale a X v, X v,..., X k- v, X k > v. Supondo que X, X,... são independentes, calculamos P(T k) P((X v) (X v)... (X k- v) (X k > v)) P(X v) P(X v)... P(X k- v) P(X k > v) {P(X v)} k- P(X > v), k,,... Portanto, a distribuição de T é geométrica com parâmetro p P(X > v). 3
Período de retorno O período de retorno (TR) é o tempo médio entre ecedências de um valor especificado (v). TR E( T ) P( X >. v) TR é o recíproco da probabilidade de ecedência. Função distribuição acumulada F() 0 P(X > v) P(X > v) - F(v) 0 v 33