UA ATRIZ DOS PESOS ALTERNATIVA PARA O AJUSTAENTO DOS NIVELAENTOS DIRETOS An Aterntve Weght trx for the Drect Leveng Adjustment JULIO CESAR FARRET CARLITO VIEIRA DE ORAES ADRIANO LUIS SCÜNEANN ROGÉRIO SILVA DOS SANTOS Unversdde Feder de Snt r (UFS) Centro de Cêncs Rurs (CCR) Deprtmento de Engenhr Rur (DER) Setor de Geodés Progrm de Pós-Grdução em Geomátc, Snt r-rs (jcfrret@sm.ufsm.br, crto@sm.ufsm.br, drnoschunemnn@hotm.com, sv-rogero@pop.com.br RESUO Costum-se pcr o teste qu-qudrdo n form qudrátc dos resíduos pr rezr náse d dscrepânc entre vrânc d undde de peso pror e vrânc d undde de peso posteror no justmento peo método dos mínmos qudrdos em evntmentos geodéscos tmétrcos dretos. Se hpótese básc é rejetd, condcond à sgnfcânc do teste, há dferençs sgnfctvs entres s grndezs testds. A rejeção d hpótese básc pont pr probems no justmento que comprometem qudde do trbho rezdo. Dferentes cuss podem contrbur pr ess rejeção. Dentre esss, o presente trbho procur nsr ponderção ds observções, confgurd n mtrz dos pesos ds observções geodéscs, devdo certo gru de subjetvdde ou questonbdde envovdos em su formção. Ess náse é mprd n revsão dos concetos e modeos mtemátcos que fundmentm o justmento de observções e nd pe execução de um expermento prátco rezdo em condções representtvs d redde dos evntmentos desse tpo, tendo-se utzdo o método dos mínmos qudrdos prtcurzdo n form prmétrc. Os resutdos mostrm que forms terntvs de confecconr mtrz dos pesos, ém d form cássc que utz o nverso ds dstâncs nveds, podem ser ms dequds. Pvrs-chve: Nvemento, mtrz dos pesos, teste qu-qudrdo. Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
66 Um mtrz dos pesos terntv pr o justmento... ABSTRACT It s common sense to use the ch-squre test of the resdue s qudrtc form to nyse the dscrepnces between the pror unt of weght vrnce nd the posteror one n the Lest Squre ethod djustment for drect tmetrc geodetc surveys. The rejecton of the bsc hypothess pont to probems n the djustment thn compromse the rebty of the work. Dfferent resons my to contrbute to ths rejecton. Among those, the present pper nyses the observtons weghtng, on the weght mtrx, becuse some dffcuty eve or subjectve wrped on ths mkng. Ths nsys s supported by the conceptu nd mthemtc revsons nd st by the executon of prctce experment, mke on representtve fed condtons of ths type of surveys. It ws used the Lest Squre ethod n the prmetrc form. The resuts ndctes terntve wys to mke the weght mtrx, nd not by the cssc form thn use the nverse of eveng dstnces, cn be more pproprte. Keywords: Leveng, weght mtrx, ch-squre test.. INTRODUÇÃO Em evntmentos geodéscos tmétrcos, de cordo com o tpo de pcção que se destn, fz-se necessáro conhecer qudde ds ttudes estmds. Pr sso, em Geodés, justm-se observções e estmm-se os prâmetros peo étodo dos ínmos Qudrdos (Q) n form combnd que em prtcur pode ser degenerdo n form prmétrc (equções de observções) ou corret (equções de condção). Nesse contexto, costum-se pcr o teste qu-qudrdo n form qudrátc dos resíduos (VANÍČEK & KRAKIWSKY, 96, p. 7-4) pr rezr náse d dscrepânc entre vrânc d undde de peso pror ( σ ) e vrânc d undde de peso posteror ( σˆ ) tmbém conhecdo como teste gob sobre o ftor de vrânc (KAVOURAS, 9, p. ) e é o prmero psso pr verfcr qudde do justmento. A vrânc σ chm-se vrânc de um observção de peso untáro (KOC & POPE, 969, p. 9), e pode ser entendd como vrânc d popução, pos espernç d vrânc mostr s é vrânc popucon σ. Após o justmento de redes tmétrcs geométrcs é comum rejeção d hpótese básc. Est rejeção pont pr probems no justmento que comprometem confbdde do trbho rezdo. Entre s cuss que podem contrbur pr ess rejeção, o presente trbho ns ponderção ds observções, confgurd n mtrz dos pesos, devdo à dfcudde e certo gru de subjetvdde ou questonbdde envovdos em su formção. Ess náse está mprd n revsão concetu do justmento de redes tmétrcs geométrcs e peos modeos mtemátcos envovdos e nd pe execução de um expermento prátco rezdo em condções representtvs d redde dos evntmentos Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
Frret, J. C. ; ores, C. V. ; Schunemnn, A. L. ; Sntos, R. S. desse tpo, tendo-se utzdo o método dos mínmos qudrdos n form prmétrc. CONCEITOS FUNDAENTAIS. Ajustmento O justmento ds observções peo método dos mínmos qudrdos resove o probem d superbundânc de observções, extrndo um resutdo únco que represent com mor confnç grndez medd e os prâmetros estmdos. O modeo de justmento é um form mtemátc de se expressr um redde físc com mehor proxmção possíve (DALOLIN,, p. )... odeo prmétrco O justmento ds observções se process peo modeo prmétrco (tmbém chmdo de modeo ds equções de observção), qundo os vores observdos justdos podem ser escrtos como função expíct dos prâmetros justdos, sto é, qundo se verfc o modeo mtemátco (que pode ser ner ou não): = f ( x ). (.) O vetor dos vores observdos justdos vem d som do vetor dos vores observdos b com o vetor dos resíduos v e é expresso d segunte form: b = + v. (.) Os dethes do desenvovmento mtemátco do modeo prmétrco, desde nerzção té form qudrátc mnmzd, podem ser encontrds n tertur específc, por exempo, DIN.79 Te 4 (94), GEAEL (994), DALOLIN () e NIEEIER (). Os eementos d mtrz A são formdos pe dervd d equção de observção em reção os prâmetros. Após mnmzção n form qudrátc fundment v T Pv que crcterz o método dos mínmos qudrdos e com gums mnpuções gébrcs (GEAEL, 994, p. 9), obtém-se soução do sstem de equções norms, que evdenc mportânc d mtrz dos pesos P no processo de justmento: T T ( A PA) A P x =, (.) onde P é mtrz dos pesos defnd pe (.6); b =, (.4) e x ( ) é o vetor de prâmetros proxmdos. = f x (.5) 67 Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
6 Um mtrz dos pesos terntv pr o justmento..... O probem d rejeção d hpótese básc A rejeção d hpótese básc é trduzd pe exstênc de probems no justmento, como resíduos tos que tum n form qudrátc fundment, eevndo o seu vor, o que ndc possíves erros no sstem. Segundo GEAEL (994, p. ) s possíves cuss do vor eevdo n form qudrátc fundment são erros grosseros, modeo mtemátco ndequdo, sstem m condcondo, erros de cácuo, probem n nerzção e ponderção errône ds observções. No presente trbho, os erros grosseros form descrtdos peo emprego do teste Dt Snoopng de Brd. O probem d nerzção é descrtdo, pos o modeo é ner. Probems com o modeo mtemátco e o condconmento tmbém form desconsderdos pe consgrção do modeo e pe verfcção cuddos ds mtrzes envovds, o mesmo vendo pr eventus erros de cácuo. Esses tens, ncusve, se prestm de form dequd pr um verfcção e correção de eventus probems. O mesmo não pode ser dto em reção um eventu ponderção ndequd ds observções, motvndo um nvestgção cuddos d mtrz dos pesos... trzes de covrâncs Pr GEAEL (994, p. ), ntes do justmento se necesst estmr precsão ds medds efetuds pr compor mtrz ds covrâncs dos vores observdos Σ b e, prtr d vrânc de undde de peso pror σ, chegr à mtrz dos pesos: P = σ. (.6) n n n b n Como s covrâncs ds observções pr um nvemento germente são dmtds nus, usou-se ess stução no presente trbho. Sendo Σ um mtrz dgon e, portnto, mtrz dos pesos tmbém o será. Apresent-se segur mtrz dos pesos formd com vrâncs proporcons os comprmentos ds nhs do nvemento, como é um ds forms nsds no presente trbho é o cso cássco em justmento de redes geodéscs tmétrcs drets: d K K d K K O P = σ K d K. (.7) O K K dn K K dn b Aguns pesqusdores nçm gums dúvds cerc do pressuposto de ndependênc entre s observções, como LUCT (97), ÜLLER & Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
Frret, J. C. ; ores, C. V. ; Schunemnn, A. L. ; Sntos, R. S. SCNEIDER (96) e REER (975) pud FARRET (99). Segundo esses utores, esse pressuposto é um dos cusdores d sgnfctv dferenç entre o desvo pdrão re e o tomdo como pror, qu se refete n rejeção d hpótese básc do teste qu-qudrdo, que ocorre em guns csos. Abordgens teórcs sobre o séro probem ds covrâncs pr formr mtrz dos pesos nos justmentos geodéscos tmétrcos geométrcos podem ser profunddos, por exempo, em VANÍČEK & GRAFAREND (9) pud FARRET (99). Esses utores ctm tmbém várs possíves expcções pr sgnfctv dferenç entre σ e ˆσ, como: o vor re do desvo pdrão por undde de comprmento ser mor que o esperdo, efetos pouco ou não modedos ou sstemátcos nos desníves meddos, pressuposto de ndependênc esttístc entre os desníves meddos não ser totmente correto (como n hpótese pdrão pr comprção utzd no presente trbho) ou, nd, som desses ftores. No presente trbho procur-se nsr tmbém o pressuposto de WITTE & SCIDT (4, p. 9), segundo o qu dstânc, em quômetros, utzd n mtrz dos pesos sofre nfuênc d curác do nstrumento utzdo no nvemento, como mostrdo em Σ segur: b 69 4σ I d K K 4σ I d K K O = b K 4σ I d K. (.) O K K 4σI dn K K 4σI dn onde σ I é o desvo pdrão nomn do nstrumento e d,, K, n é dstânc horzont de cd nh express em quômetros. Como vsto, esses utores propõem que s dstâncs nveds sejm mutpcds por 4, como resutdo do ftor (nvemento e contr-nvemento) ser eevdo o qudrdo pr formção ds vrâncs, o que represent um pressuposto de menor precsão nomn pr o sstem de medds. Esse pressuposto pode ser dequdo, um vez que permte evr em cont o desgste tempor do preho, o qu fet dretmente precsão nomn deste, com refexo n mtrz dos pesos. O equpmento utzdo no expermento tem guns nos de uso, possundo um desvo pdrão dferente dquee ndcdo peo fbrcnte qundo d síd d fábrc. A mehor opção pr mnmzr-se esse efeto ser rezr os procedmentos de cmpo pr náse de curác de nstrumentos geodéscos Níves, como é descrto n DIN.7 (Te ), pr se obter curác do Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
7 Um mtrz dos pesos terntv pr o justmento... preho dentro de um vor ms correto. Esse fto mostr mportânc de norms como s d Deutsches Insttut für Normung (DIN) pr corret cssfcção dos equpmentos e, prncpmente, do reenqudrmento dees em termos de precsão. A vrânc σ I obtém-se eevndo o desvo pdrão nomn do nstrumento σ I o qudrdo: σ I = ( σi ). (.9)..4 trz ds covrâncs do vetor dos prâmetros estmdos x A mtrz ds covrâncs do vetor dos prâmetros estmdos se obtém mutpcndo vrânc pror σ peo nverso d mtrz N dd por A T PA, qundo est dmtr nvers ordnár, e se escreve: u T ( ) ( ) = σ A PA = σ N x. (.) u No presente trbho mtrz A é formd pe dervd ds equções de observção em reção os prâmetros que pr o cso ds equções serem neres ts eementos serão, ou. A mtrz dos pesos P tmbém pode ser escrto d segunte form: σ = σ σ σ P dg L L, (.) σ b σ b σ b σ b n onde σ é vrânc d undde de peso pror (vor rbtrdo) e σ,, K,n, é vrânc d observção. ATERIAL E ETODOLOGIA. ter ) O Servço de Comutção Bbográfc (COUT) que provdenc referêncs bbográfcs de outrs bbotecs brsers e estrngers; b) Acervo d Bbotec Setor do Centro de Cêncs Rurs d Unversdde Feder de Snt r; c) Arquvos dsponíves pe Internet; d) Níve N d Cr Zess; e) crômetro de pcs pns; f) Régu de ínvr, com grdução de 5 mm; g) Spt pr poo d mr; h) Recursos computcons do setor de Geodés do DER/UFS; Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
Frret, J. C. ; ores, C. V. ; Schunemnn, A. L. ; Sntos, R. S. ) Progrm computcon tlb 5.; j) Progrm computcon AutoCd ; k) Progrm computcon Posção ; ) Estção Tot Lec TC-7 com precsão de mm + ppm. 7. etodoog Pr os procedmentos de justmento e náse do comportmento ds dscrepâncs entre σ e ˆσ, prtu-se de ddos res de cmpo, de form gerr um exempo pr fctr o compnhmento e o entendmento dos concetos e ds etps envovds. Pr sso, mterzou-se um rede tmétrc geométrc de dez pontos devdmente monumentdos no Cmpus d Unversdde Feder de Snt r, os qus form nvedos como descrto segur... Expermento A fgur mostr áre experment com pontos numerdos de, s nhs de desníve (,,..., 7 ) e os pontos de njunção (PA e PA). Fgur Croqu d áre experment 9 4 PA 5 6 4 7 6 6 PA 4 5 7 Fonte: SCÜNEANN (5, p. 54) 7 5 Dos pontos monumentdos, (numerdos de ) tverm sus cots (qu chmds de ) estmds no justmento. O vetor ds ncógnts, portnto, tem dmensão x e é desgndo por x. O evntmento fo tredo dos pontos fxos cujs coordends tmétrcs form njunconds no justmento. São ees o ponto PA ( PA = 9,54m) e o ponto PA ( PA = 6,5m). As dstâncs horzonts entre os pontos (necessár pr confecção d mtrz dos pesos) form medds com um estção tot eetrônc Lec TC7, cuj precsão ner é de mm + ppm. O vetor d ds dstâncs horzonts, em quômetros, é formdo peos seguntes vores: T = d [,75,6,67,77,67,569,65,9, 57,945,445,66,7,494,79,7,9]( km) Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
7 Um mtrz dos pesos terntv pr o justmento..... As medds Procedeu-se à medção dos desníves usndo-se um níve NI-ZEISS com mcrômetro de pcs pns e mr de ínvr, com grdução de 5 mm. Utzou-se spt de régu pr o trnsporte d cot de um ponto outro. Pr mnmzr fontes prmárs de erros (prncpmente curvtur terrestre), s vsds form sempre nferores m. Obtverm-se 7 desníves, sendo cets dferençs de té, mm/km entre o nvemento e o contr-nvemento, mte este que dz respeto à precsão nomn do equpmento utzdo. Esse vor nem sempre fo consegudo em um únco nvemento e contr-nvemento. Este é um specto mportnte do presente trbho, pos us-se esse fto pr gerr um mtrz dos pesos terntv, qu é testd. Dest form trbu-se pesos dferentes às observções ns nhs nveds que é dependente do número de vezes (denotdo peo símboo j) em que s medds form fets pr se consegur precsão do nstrumento. Se em um únc tenttv esse vor fo tngdo, ess medd recebeu o ftor máxmo gu, no cso de dus tenttvs esse ftor é,5 e ssm sucessvmente. Desgnndo esse ftor por f j, su expressão mtemátc é: j f j = (.) O procedmento pesqusdo se bse n tenttv de se chegr vores terntvos pr os pesos que se mostrem ms dequdos pr exprmr mportânc de cd medd no contexto do justmento, buscndo formur crtéros ms rests. Imgn-se ser vád est pesqus extmente peo fto de, ns várs repetções efetuds, sempre s mesms nhs de nvemento presentrm os mesmos probems e ns mesms proporções, embor nem sempre se pudesse nferr o porquê desse comportmento. A prtr desss medds é montdo o vetor ds observções smbozdo por b. Pr compô-o, rezou-se méd rtmétc entre o nvemento e o contr-nvemento, ddo por: b v + r,, K, 7 (.) onde v é etur n mr stud vnte e r é etur n mr stud ré. O vetor b dos desníves obtdos, em metros, é formdo peos seguntes vores: b T = [,97 4,675 5,59,669,4555,594,65,66 5, 6549,479 5,54,45,5797,,74,94,464 m... Equções de observção e mtrz A As equções de observções que crcterzm o modeo prmétrco (.) são obtds d subtrção d cot de mor vor cot de menor vor em cd nh; pr sso usm-se sets que ndcm o sentdo do cve do terreno (fgur ), com ] ( ) Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
Frret, J. C. ; ores, C. V. ; Schunemnn, A. L. ; Sntos, R. S. Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6. 7 os vores meddos resutndo sempre postvos. Exstem 7 observções e oto prâmetros, os qus permtem escrever s seguntes equções de observção: PA PA 7 4 7 6 5 6 PA 6 5 PA 7 5 4 4 9 7 4 6 5 6 4 6 PA 4 7 =. (.) A mtrz A é escrt n form = = = 7 7 7 6 7 5 7 4 7 7 7 7 6 7 6 6 6 5 6 4 6 6 6 6 7 6 5 4 7 6 5 4 7 6 5 4 7 x x x A...4 Vetor u x dos prâmetros ncs Como vor nc dos prâmetros, fo utzdo o nvemento ou o contrnvemento dos pontos, somndo-se ou subtrndo-se os desníves às cots conhecds...5 Vetor n ds observções ccuds em função dos vores ncs dos prâmetros O vetor 7, defndo pe equção (.5), é composto peos desníves obtdos pe dferenç entre s cots rbtrds pr cd um dos pontos d rede, conforme s equções de observção (nesse cso, neres).
74..6 Vetor n O vetor n Um mtrz dos pesos terntv pr o justmento... é equção (.4). Ee é obtdo efetundo-se dferenç entre o vetor de vores dos desníves ccudos em função dos vores ncs dos prâmetros e o vetor de vores observdos (desníves efetvmente meddos)...7 trz dos pesos n P n A mtrz dos pesos trz um mportnte nfuênc n qudde do justmento e su escoh é objeto de náse no presente trbho. uts vezes um mtrz m condcond ou um mtrz dos pesos não condzente com redde do evntmento podem prejudcr o justmento, superestmndo ou subestmndo os prâmetros serem estmdos. A mtrz dos pesos depende d mtrz ds covrâncs ds medds rezds, motvo peo qu determnção de Σ b é um pré-requsto pr determnção d mtrz dos pesos. Pr escoh d mtrz dos pesos, form evdos em cont qutro crtéros, os qus se chmou Stução. N Stução consderou-se mtrz dos pesos formd peo nverso ds dstâncs nveds, como é cássco nesse tpo de trbho. N Stução consderou-se mtrz dos pesos formd peo nverso ds dstâncs nveds mutpcdo peo desvo pdrão nomn do nstrumento o qudrdo. N Stução consderou-se mtrz dos pesos formd peo nverso ds dstâncs nveds mutpcdo peo desvo pdrão do nstrumento o qudrdo e peo ftor j f (equção.) gerdo peo número de medds de nvemento e contrnvemento necessáros pr tngr o vor d precsão nomn do nstrumento. N Stução 4 ntroduzu-se no produto d Stução o pressuposto de WITTE & SCIDT (4, p. 9). Stução p = σ,,, K, 7 d onde p é o peso ddo à -ésm observção, d é dstânc d í-ésm nh nved e σ = mm ): Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
Frret, J. C. ; ores, C. V. ; Schunemnn, A. L. ; Sntos, R. S. 75 ( ) b Stução p ( ) σ σi d d,759,759 5,7 d,66,66 6,999 d,676,676 4,54 d 4,77,77,94 d5,67,67,596 d6,569,569 7,65 d7,647,647 5,66 d,96,96,454 = dg = = d9 dg,567 7 P 7 σ = * dg,567 7 P7 * dg,955 d,945,945,449 d,445,445,4 d,664,664,74764 d,77,77 7,5 d4,494,494 6,757 d5,79,79 5,57656,7,7 5,476 d6 d7,9,9 7,7495 com = (,) 64mm σ I : σ I *d,64*,759,,9 σ I *d,64*,66, 9,6655 σi *d,64*,676,5 6,6 σ I *d4,64*,77,49,7 σi *d5,64*,67,744,467 σi *d6,64*,569,756 6,69 σi *d7,64*,647,44 4,745 σi *d,64*,96,766,974 = dg σ = = = I *d9 dg,64*,567 7P 7 σ *dg,696 7P *dg 6,745 b 7 σi *d,64*,945,5 5,7956 σi *d,64*,445,7965,5544 σ I *d,64*,664,777 5,557 σi *d,64*,77,5,75 σi *d4,64*,494,955,46964 σ *d I 5,64*,79,476,77 σi *d6,64*,7,955 9,776 σi *d7,64*,9,64,999 N stução pode-se observr o exempo d mtrz dos pesos, com o desvo pdrão nomn do nstrumento. Testou-se este modeo de mtrz peso sucessvmente, vrndo-se pens o desvo pdrão do nstrumento, pr verfcrse fx mte, onde o desvo pdrão do nstrumento entrsse n zon de cetção do teste qu-qudrdo, obtendo o mte nferor e superor em que o desvo se posconsse n zon de cetção do teste. Estes vores podem ser observdos n tbe. Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
76 Um mtrz dos pesos terntv pr o justmento... Stução p σ f j σi d com j, K, 5, e j é o número de vezes em que fo necessáro f j j rezr o nvemento e contr-nvemento pr se enqudrr n precsão de, mm/km, obtendo f =, f 5, f, f 5 e f : σ I d,64 *,759,,9* f,9*, σ I d,64 *,66, 9,6655* f 9,6655*,5 σi d,64 *,676,5 6,6* f 6,6*, σ I d4,64*,77,49,7* f,7*, σi d5,64*,67,744,467 * f,467 *, σi d6,64*,569,756 6,69* f 6,69*, σ I d7,64 *,647,44 4,745* f5 4,745*, σ d,64 *,96,766,974* f4,974*,5 dg = dg,696 = = 7P7 * dg 6,745* f 7P dg I 9 6,745*,5 b 7 σi d,64*,945,5 5,7956* f 5,7956*,5 σi d,64*,445,7965,5544* f,5544*, σ 5,557*,5 I d,64 *,664,777 5,557* f σi d,64 *,77,5,75* f,75*,5 σi d4,64*,494,955,46964* f,46964*, σ I d5,64 *,79,476,77 * f,77 *, σi d6,64*,7,955 9,776* f5 9,776*, σi d7,64*,9,64,999* f4,999*,5 I ( ) = = σ d dg,64 *,567 ( ) b 7 P 7 = dg[,967 4,47 6,6 6,7566,467 6,69 4,9477,599,7,697 4,6,975 5,665,469,955,555,49]. N stução pode-se observr o exempo d mtrz dos pesos, com o desvo pdrão nomn do nstrumento. Testou-se este modeo de mtrz peso sucessvmente, vrndo-se pens o desvo pdrão do nstrumento, pr verfcrse fx mte, onde o desvo pdrão do nstrumento entrsse n zon de cetção do teste qu-qudrdo, obtendo o mte nferor e superor d esttístc em que o desvo se posconsse n zon de cetção do teste. Estes vores podem ser observdos n tbe. O nstrumento utzdo encontr-se em condções dferentes dques exstentes qundo dos prmeros tempos de vd út. Portnto, precsão nomn do nstrumento que é,5, mm/km, pode estr terd, com refexo nos resutdos presentdos. Exempfcndo, mostr-se segur mtrz ds covrâncs ds observções pr Stução 4. Stução 4 p = σ f j : 4σI d Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
Frret, J. C. ; ores, C. V. ; Schunemnn, A. L. ; Sntos, R. S. 77 4σ I d 4 *,64 *,759,44,* f,*, 4σ I d 4 *,64 *,66,494,46* f,46*,5 4σI d 4 *,64 *,676,65,6555* f,6555*, 4σ I d4 4 *,64 *,77,975 5,79 * f 5,79 *, 4σI d5 4 *,64 *,67,979,565* f,565*, 4σI d6 4 *,64 *,569,56 6,654 * f 6,654 *, 4σI d7 4 *,64 *,647,665 6,596 * f5 6,596 *, 4σ d 4 *,64 *,96,675,599* f4,599*,5 dg = dg = = I 9,6475 7P7 * dg,5456 * f 7P dg,5456 *,5 b 7 4σI d 4 *,64 *,945,7455,449 * f,449 *,5 4σI d 4 *,64 *,445,6,6 * f,6 *, 4σ,469 * f,469 *,5 I d 4 *,64 *,664,69 4σI d 4 *,64 *,77,49,9 * f,9 *,5 4σI d4 4 *,64 *,494,5,674* f,674*, 4σ I d5 4 *,64 *,79,4596,74 * f,74 *, 4σI d6 4 *,64 *,7,4,94 * f5,94 *, 4σI d7 4 *,64 *,9,5,49* f4,49*,5 ( ) I = = σ 4 d dg 4 *,64 *,567 ( ) b. 7 P 7 = dg[,7495,,6555,694,565 6,654,79,49,777,6744,455,796,46656,759,75,456,7564]. N stução 4 pode-se observr o exempo d mtrz dos pesos, com o desvo pdrão nomn do nstrumento. Testou-se este modeo de mtrz peso sucessvmente, vrndo-se pens o desvo pdrão do nstrumento, pr verfcr-se fx mte, onde o desvo pdrão do nstrumento entrsse n zon de cetção do teste ququdrdo, obtendo-se o mte nferor e superor em que o desvo se posconsse n zon de cetção do teste. Estes vores podem ser observdos n tbe. Um vez determnd mtrz Σ b, pode-se, fnmente, determnr mtrz dos pesos ds medds, mednte um crtéro defndo. Como é comum no justmento de redes de nvemento estbeeceu-se como crtéro básco o nverso ds dstâncs entre os pontos, ou sej, ns dstâncs mores (onde é ms prováve de ter ocorrdo mor erro) os pesos são menores. A vrânc pror entr no cácuo d mtrz dos pesos mutpcndo nvers d mtrz ds covrâncs ds observções, embor não tere n mor dos csos, pos pode ser fxd com vor, sem mores prejuízos no processo como um todo, como pode ser vsto em GEAEL (994, p. ) e DALOLIN (, p. 9). A mtrz dos pesos defnd n (.6) dmensond fc 7 7 7 ( b ) 7 P = σ. (.4) Como se fxou vrânc d undde de peso pror σ em mm, equção (.4) se torn: P =. (.5) 7 7 7 ( ) b 7 N seqüênc do justmento são obtdos o vetor n x ds correções os prâmetros proxmdos ddo pe equção (.), o vetor n x dos prâmetros estmdos, o vetor 7 dos vores observdos justdos, ddo pe equção (.) e Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
7 Um mtrz dos pesos terntv pr o justmento... s mtrzes ds covrâncs. As respectvs deduções encontrm-se n tertur específc ndcd... Vetor n v dos resíduos pr s observções O vetor dos resíduos v é obtdo mutpcndo o vetor ds correções n x pe mtrz A e somndo-se esse produto o vetor 7 ddo pe equção (.4): v = A x +, (.6) 7 7 7..9 A vrânc ˆσ d undde de peso posteror A prtr dos resíduos e d mtrz dos pesos, pode-se ccur vrânc d undde de peso posteror, cujo vor nform vrânc ds unddes de peso pós o justmento e que é esperdo ser gu à vrânc pror. E é obtd mutpcndo mtrz trnspost do vetor dos resíduos pe mtrz dos pesos e peo própro vetor dos resíduos e posterormente dvde-se esse resutdo peo número de grus de berdde: T σ ˆ = ( v7 7P7 7v) / r, (.7) onde r = n u com n número de observções e u número de prâmetros... trz ds covrâncs ( ) u x u dos prâmetros justdos A mtrz de covrânc dos prâmetros justdos se obtém mutpcndo vrânc pror σ, que neste cso é, pe nvers d mtrz N. Est mtrz é (.) que dmensond fc = σ N. (.) ( ).. A mtrz ds covrâncs ( ) n n x dos vores observdos justdos A mtrz de covrânc dos vores observdos justdos se obtém peo produto entre vrânc d undde de peso pror σ, mtrz dos coefcentes ds ncógnts ds equções de observção A, nvers de N e trnspost de A, como segue: 7 T ( ) = σ 7A N A7. (.9).. trz ds covrânc n ( v ) n do vetor dos resíduos A mtrz ds covrâncs do vetor dos resíduos é express por n 7 ( v ) n = σ 7P 7 ( ) 7. (.) 7 Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
Frret, J. C. ; ores, C. V. ; Schunemnn, A. L. ; Sntos, R. S... Teste gob sobre o ftor de vrânc A fm de nspeconr o modeo estocástco empregdo, ccu-se esttístc pr detecção de erros, em que n u é o número de grus de berdde ssocdo o método dos mínmos qudrdos n form prmétrc, sto é, o número de equções superbundntes do sstem de equções (ORAES,, p. 97). A vrânc d undde de peso untáro pror, sob o níve de sgnfcânc α, deve ser comprd com vrânc de peso untáro posteror. Est comprção é efetud peo teste que us esttístc qu-qudrdo n form qudrátc dos resíduos. O procedmento segue os seguntes pssos (ORAES, 99, p. 7; 4, p. 6): ) enuncção ds hpóteses básc e terntv : σ = σ ; (.) ˆ : ˆ σ σ ; (.) n hpótese básc esper-se que s vrâncs pror e posteror não dfrm e n hpótese terntv que dfrm esttstcmente no níve de sgnfcânc α; χ b) esttístc qu-qudrdo ccud T * v Pv σˆ χ = = (n u) ~ χ n u σ ( nu) ; (.) c) χ teórco com α = 5% e com o número de grus de berdde gu n u = 9 α 5 Tbe 9;,5 7 α 975 Tbe 9, 9;,975 = χ ; (.4) χ ; (.5) d) regão de cetção d hpótese básc * se χ < χ < χ hpótese básc não é rejetd o níve de 9;,5 9;,975 α. sgnfcânc = 5% Pr efeto de ncusão desse vor n regão de cetção d hpótese básc, trbhou-se com um ftor de mutpcção d vrânc n mtrz té ocorrer ess cetção, ns stuções, e 4. Σ b 79, vrndo-o..4 Loczção de erros ns observções peo teste Dt Snoopng de Brd Com o teste Dt Snoopng é possíve oczr observções que possvemente estão contmnds por erros grosseros utzndo-se cd um dos resíduos ndependentemente. A eborção do teste segue s seguntes prtes (ORAES, 99, p. -; 4, p. 6): ) enuncção d hpótese básc : nenhum erro grossero exste n observção ; (.6) Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
Um mtrz dos pesos terntv pr o justmento... b) esttístc do teste esttístc do teste Dt Snoopng de Brd é o resíduo pdronzdo v w = ~ F σ b r α;, = N(,) sob hpótese, (.7) sendo F dstrbução F de Snedecor; em que v é o -ésmo eemento do vetor dos resíduos; σ b é o desvo pdrão do -ésmo vor observdo e r é -ésm redundânc prc e representm contrbução de cd observção pr redundânc tot n u. As redundâncs prcs r,, K, n, são os eementos d dgon d mtrz dempotente o ftor σ R v 7P7 σ é o escr que trnsform covrânc dos resíduos; c) teste d hpótese básc hpótese básc não é cet se = ; (.) v em mtrz de coftores de w > k ; (.9) onde k = F α;, e conforme um níve de confnç especfcdo tem-se, por exempo, pr α = 95%, k 96 e pr α = 99%, k 57. 4 RESULTADOS 4. Resutdos do Expermento 4.. Vetor dos vores observdos T b 7 = [,97 4,675 5,59,669,4555,594,65,66 5, 6549,479 5,54,45,5797,,74,94,464 m. 4.. trz dos pesos P A mtrz dos pesos P fo ebord segundo os crtéros serem comprdos. A mtrz do cso usndo o pressuposto de WITTE & SCIDT (4, p. 9) dd pe (.) substtuíd n (.6), com σ = mm e σ I = 6 mm (SCÜNEANN, 5, p. 5-6 e 7) resut: P = dg[,96,45,97,97,59674,,9976,579544, 744,99,557974,65,5444,4657,76,4567,57774] ] ( ) Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
Frret, J. C. ; ores, C. V. ; Schunemnn, A. L. ; Sntos, R. S. 4.. Vetor u x ds correções os vores ncs dos prâmetros Esse vetor represent s ncógnts prmárs do sstem, buscds no processo de estmção. Es sgnfcm os vores que ftm os vores ncs dos prâmetros pr torná-os justdos. Por esse motvo, ees devem ser somdos os prâmetros ncs. O vetor de correções estmdo no presente trbho present os seguntes vores: x T = [,66,5,494,,747,,4465,59]( m) 4..4 Vetor n x ds coordends estmds Como resutdo d pcção d som entre o vetor x ds correções e o vetor dos prâmetros ncs, obtém-se o produto fn buscdo no processo de estmção, que são s coordends (nesse cso, tmétrcs) dos mrcos, mostrds bxo.,695,66,76 7,465 -,5 7,54 7,76 -,494 7,776 4 9,659 -, 9,6 x = x + x = = ( m) = 5 9,45 + -,747 9,776. 6 9,456 -, 9,444 7 9,9997 -,4465 9,9954 7,9 -,59 7, 4..5 Vetor n dos vores observdos justdos O vetor dos vores observdos justdos resut d som do vetor dos vores observdos com o vetor dos resíduos, conforme mostrdo segur:,97,57,99 4,675,65 4,556 5,59,47 5,576,669,75,644,4555,65,46,594,,5996,65,6,67764,66,6,44 b = n + 7v = 5,6549 +,4 = 5,655 ( m).,479,45,474 5,54,5 5,596,45,9,54,5797,,57,,6,755,74,9,775,94,5,9976,464,4,4579 7 Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
Um mtrz dos pesos terntv pr o justmento... 4..6 Vrânc ˆσ d undde de peso posteror T - 5,79,96-5,79-6,56 4,5-6,56 -,4756,97 -,4756,754 9,7,754,656 5,9674,656,9,,9 -,64,9976 -,64 6,54 5,79544 6,54 ˆ -,45 * dg,744 * σ = * -,45 / =,4554,99,4554 5,644 5,57974 5,644 -,99,65 -,99 -,44 5,444 -,44 -,6444 4,657 -,6444,9,76,9 -,55 4,567 -,55 -,47 5,7774 -,47 7 7 7 7 ( 7 ),55mm. 4..7 Loczção de observções com erros grosseros peo teste Dt Snoopng de Brd ) redundâncs prcs r,, K, 7 dg ( R ) = [,575,577,6,76,4475,496,57, 4745,666,69565,46,6779,54654,596,649,644,6979] ; tr n= 7 = ( R ) r = 9, = n u ; n u = 7 = 9 ; = b) esttístcs do teste W = -,5 ; W = -,4469 ; W = -,54 ; W 4 45 ; W 5 9 ; W 6 949 ; W 7 = -,7 ; W 4 ; W 9 = -,47 ; W 49 ; W 5 ; W = -,45 ; W = -,4 ; W 4 = -,74 ; W 5 ; W 6 = -,579 ; W 7 = -, ; c) teste d hpótese básc : nenhum erro grossero exste n observção ; consderndo sgnfcânc do teste como α = 5%, observ-se que W, W,..., W7 < k ; portnto, cet-se ; dess form, em reção o teste Dt Snoopng, os resutdos ndcm que não há observção com erro grossero, condcondo à sgnfcânc do teste, ns medds de Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
Frret, J. C. ; ores, C. V. ; Schunemnn, A. L. ; Sntos, R. S. desníve (neste cso pode-se estr cometendo um erro do tpo II: cetr hpótese nu qundo e é fs, o que deve ser nvestgdo nos concetos de confbdde ntern de um rede (ver, por exempo, ORAES, 99). 4.. Resutdos do teste gob sobre o ftor de vrânc ns Stuções nsds no presente trbho 4... Stução Nesse cso mtrz dos pesos fo obtd peo nverso ds dstâncs nveds (stução cássc), obteve-se um vor pr esttístc do teste qu-qudrdo ccud gu 65,4 e pr vrânc d undde de peso posteror gu 7,7 mm, cso em que hpótese básc não fo cet motvndo proposts de souções terntvs, onde seus resutdos poderão ser vstos n form de tbes ns próxms seções. 4... Stução Nesse cso mtrz dos pesos fo formd peo nverso ds dstâncs nveds mutpcdo peo desvo pdrão nomn do nstrumento o qudrdo, e os resutdos estão expostos n tbe. Tbe - Resutdo do teste qu-qudrdo n form qudrátc dos resíduos pr Stução Desvo pdrão testdo Vrânc ˆσ [mm] d undde de peso Esttístc Lmte do qu-qudrdo ccud desvo pdrão posteror [mm ], 44,7,5 5,, 79,4 6, 6, 55,5 7, 4,5 4,5,,44, 9,,7 4,5,, 9,5,5,99,99 nferor,, 6,4 7,,,7 7,,,7 superor Observ-se que os vores de precsão do nstrumento que fzerm com que os vores do qu-qudrdo fcssem dentro d regão de cetção d hpótese básc são tos em reção o vor do desvo pdrão nomn de prtd (, mm), dreconndo pr busc de mehores souções nvestgndo mtrz dos pesos. 4... Stução Nesse cso mtrz dos pesos fo formd peo nverso ds dstâncs nveds mutpcdo peo desvo pdrão nomn do nstrumento o qudrdo e Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
4 Um mtrz dos pesos terntv pr o justmento... peo ftor f j, (equção.), gerdo peo número de vezes em fo feto o nvemento contr-nvemento pr tngr precsão nomn do nstrumento, e os resutdos podem ser vstos n tbe. Tbe -Resutdo do teste qu-qudrdo pr Stução Desvo pdrão testdo Vrânc ˆσ [mm] d undde de peso Esttístc Lmte do qu-qudrdo ccud desvo pdrão posteror [mm ],,9 6, 5,47, 9,5 5,4, 9, nferor 6,,7,67 5,5,,7 superor 5,5,99,699 Observ-se que o smpes fto de dferencr os pesos evndo em consderção um crtéro que reft s dferençs de condções ns nhs de nvemento, dmnuu substncmente dferenç entre o vor nomn do nstrumento (,mm) e o vor sufcente de 5,4 ou 6, ( mtrz dos pesos formd por estes vores rão stsfzer o ntervo teórco do teste qu-qudrdo) pr coocr o vor do qu-qudrdo n regão de cetção d hpótese básc. 4...4 Stução 4 Nesse cso mtrz dos pesos fo formd peo nverso ds dstâncs nveds mutpcdo peo desvo pdrão nomn do nstrumento o qudrdo e peo ftor f j (equção.) gerdo peo número de vezes que fo feto o nvemento contr-nvemento pr tngr precsão nomn do nstrumento e por 4, pr ncur o pressuposto de WITTE & SCIDT (4, p. 9). N tbe estão presentdos os resutdos pr est stução. Tbe Resutdo do teste qu-qudrdo pr Stução 4 Desvo pdrão testdo Vrânc ˆσ [mm] d undde de peso Esttístc Lmte do qu-qudrdo ccud desvo pdrão posteror [mm ],, 54,75,9,4 9,,94, 9, nferor 6,,5 4,56 7,76,,7 superor 7,77,99,69 A mtrz dos pesos dest form estbeecd present, peos testes rezdos, mehores chnces de não rejetr hpótese básc, pos est soução é que mehor se proxm do desvo pdrão nomn do nstrumento (,mm) comprtvmente às stuções nterores. Por exempo, comprndo tbe com tbe se Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.
Frret, J. C. ; ores, C. V. ; Schunemnn, A. L. ; Sntos, R. S. verfc que pr entrr n regão de cetção n stução necesstou de um desvo de 5,4 ou 6, enqunto que pr stução 4 um desvo de,94 que está ms próxmo de,. As dfcuddes de enqudrmento encontrds tvez estejm gds o desgste do nstrumento, o que demonstr mportânc d exstênc de um estrutur de cbrção e cssfcção de nstrumentos de medção geodésc, que permtm revção e recssfcção dees, de form possbtr um náse ms rest dos processos. Exempos desss estruturs de cssfcção de qudde são norm emã DIN.7 (Te ) e s norms d Internton Orgnzton for Stndrdzton (ISO). 5 CONCLUSÕES E RECOENDAÇÕES A dfcudde de cetção d hpótese básc qundo mtrz dos pesos é formd peo nverso ds dstâncs nveds (Stução ) ev o questonmento se est é form ms dequd pr ponderção ds observções. N busc de terntvs, os resutdos presentdos pontm ncusão d vrânc nomn do nstrumento (Stução ) como um form terntv, ms nd nsufcente. A ncusão, n mtrz dos pesos, do ftor que ev em cont o número de vezes em que fo feto o nvemento e o contr-nvemento pr tngr precsão nomn do nstrumento (Stução ), presentou mehor sgnfctv no processo, ou sej, vrânc utzd pr posconr o vor do qu-qudrdo dentro dos mtes de cetção d hpótese básc fcou ms próxm do vor pontdo peo fbrcnte. Qundo este ftor fo gregdo o pressuposto de WITTE & SCIDT (Stução 4), ess mehor fo nd ms sgnfctv, embor vrânc usd nd tenh fcdo cerc de,5 vezes superor àque ndcd peo fbrcnte. Isso tmbém ndc que nd há fontes de erro serem descoberts, que podem estr oczds no desgste do nstrumento ou no pressuposto errdo d ndependênc esttístc entre s medds. Dnte dsso, sugere-se um mehor enqudrndo d precsão dos prehos utzdos dentro de um cssfcção ms condzente com seu estdo no momento do trbho e, preferencmente, de cordo com s norms como, por exempo, emã DIN.7 (Te ). Aém dsso, sugerem-se vções terntvs pr vrânc ds medds, ou sej, um mehor estudo do prncípo d ndependênc esttístc entre s medds e, conseqüentemente, d mtrz dos pesos. Com os concetos d Anáse Esttístc utvrd, s vrâncs e s covrâncs podem ser estmds emprcmente prtr d mtrz de ddos mostrs. REFERÊNCIAS DALOLIN, Q. Ajustmento por mínmos qudrdos. Edção Revsd. Curtb: Imprens d UFPR,. DIN.7 Te. Fedverfhren zur Genugketsuntersuchung geodätscher Instrumente (Nveere). DIN: Deutsches Insttut für Normung, Deutschnd, 99. Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6. 5
6 Um mtrz dos pesos terntv pr o justmento... DIN.79 Te 4. Begrffe, Kurzzechen und Formezechen m Vermessungswesen: Ausgechungsrechnung und Sttstk. DIN: Deutsches Insttut für Normung, Deutschnd, 94. FARRET, J. C. Estmtv do peso em nvemento. Semnáro d dscpn de justmento vnçdo. Curtb-Prná, 99. GEAEL, C. Introdução o justmento de observções. Curtb: Edtor d UFPR, 994. KAVOURAS,. On the detecton of outers nd the determnton of rebty n geodetc networks. Fredercton: Unversty of New Brunswck, Deprtment of Surveyng Engneerng. Technc Report, n. 7, 9. KOC, K.R.; POPE, A. J. Lest squres djustment wth zero vrnces. Zetschrft für Vermessungswesen. Stuttgrt, v. 94, n., p. 9-9, 969. ORAES, C. V. Curso de georreferencmento de móves rurs Le.67/: Ajustmento de Observções. Nots de u. Unversdde Feder de Snt r-ufs, Snt r-rs, 4.. Aprmormento d concepção do modeo geodésco pr crcterzção de estrems no espço geométrco. Curtb,. Tese (Doutordo em Cêncs Geodéscs) Deprtmento de Geomátc, Unversdde Feder do Prná.. Anáse de erros grosseros e confbdde de redes geodéscs. Crtogrf e Cdstro, Lsbo, n., p. 77-6, 99. NIEEIER, W. Ausgechungsrechnung: ene Enführung für Studerende und Prktker des Vermessungs- und Geonformtonswesens. Bern: W. de Gruyter,. SCÜNEANN, A. L. Ordenção de prâmetros pr justmento e náse d qudde de redes geodéscs tmétrcs geométrcs. Snt r, 5. Dssertção (estrdo em Geomátc) Deprtmento de Engenhr Rur, Unversdde Feder de Snt r. VANÍČEK, P.; KRAKIWSKY, E. J. Geodesy: the concepts. nd ed. Amsterdm: Esever Scence Pubshers B. V., 96. WITTE, B.; SCIDT,. Vermessungskunde und Grundgen der Sttstk für ds Buwesen. 5. Auf.. edeberg:. Wchmnn, 4. (Recebdo em outubro de 5. Aceto em jnero de 6). Bo. Cênc. Geod., sec. Artgos, Curtb, v., n o, p.65-6, jn-jun, 6.