Matemática 2 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um paralelepípedo retângulo acoplado a um prisma triangular. 1,6m 1m 1,4m Calcule o volume da estrutura, em dm 3, e indique a soma dos dígitos do valor obtido. Resposta: 11 O volume da estrutura mede 1,4.1.1 + 1,4.0,6/2.1 = 1,82m 3 = 1820 dm 3. 1m 02. Abaixo temos uma ilustração da Victoria Falls Bridge. A ponte pode ser representada em um sistema cartesiano com seu arco sendo dado pela parábola y = (116 21x 2 )/120, com os limites verticais em x = -2,35 e x = 2,35 e a superfície da ponte contida na reta y = 1,25. 2 1,5 1 0,5 d -2-1 0 1 2 Calcule a distância d entre o ponto do arco em x = 2 e a reta da superfície da ponte e indique o inteiro mais próximo de 100d. Resposta: 98 Temos d = 1,25 (116-21.4)/120 = 0,983.
03. As cidades A, B e C estão localizadas de modo que: a cidade B está a uma distância de 60km de A, na direção de 29 o, e a cidade C está a uma distância de 80km de A, na direção de 89 o. Calcule a distância entre B e C, em km, e indique o inteiro mais próximo do valor obtido. C 89º B A 29º Resposta: 72 A distância entre B e C é dada pela Lei dos cossenos: (60 2 + 80 2 2.60.80.1/2) 1/2 = 5200 1/2 72,11. 04. Na ilustração abaixo, o paralelepípedo retângulo foi cortado por um plano perpendicular a sua base e ficou dividido em dois sólidos. 2 5 4 3 4 3 Calcule os volumes dos sólidos obtidos e indique o valor do maior. Resposta: 48 Os volumes medem 3.4.3 = 36 e 3.4.4 = 48. 05. Determine o valor de x para os quais os pontos (2x + 3, x 5), (2x + 4, 2x - 12) e (3x 3, 2x 11) são distintos e colineares. Resposta: 8 Os pontos serão colineares se e só se [(2x -12) - (x 5)]/[(2x + 4) (2x + 3)] = [(2x 11) (2x 12)]/[(3x 3) (2x + 4)] ou (x - 7)/1 = 1/(x 7). Daí (x 7) 2 = 1 e x = ±1 + 7 = 8 ou 6. Para x = 6, o primeiro e o terceiro pontos dados coincidem. 06. Na ilustração a seguir, as seis circunferências menores têm mesmo raio e são tangentes internamente à circunferência maior. Além disso, cada uma das circunferências menores é tangente às duas outras que lhe são adjacentes.
Dado que as circunferências menores têm raio 2, calcule a área da região colorida e indique o inteiro mais próximo do valor obtido. Dado: use a aproximação π 3,14. Resposta: 38 O centro da circunferência maior e os centros de duas circunferências menores e adjacentes são vértices de um triângulo isósceles com ângulo da base medindo 60 o, logo este triângulo é eqüilátero. Se r é o raio da circunferência maior então o triângulo mencionado tem lados r 2, r 2 e 2.2, portanto r = 6. A área da região procurada é π6 2-6π2 2 = 12π 37,68. 07. O polígono estrelado a seguir é tal que os triângulos construídos tendo por bases os lados do pentágono, que estão pontilhados, são isósceles e congruentes. Assinale a medida, em graus, do ângulo do vértice destes triângulos. (Note que cada reta contendo um lado do pentágono contém dois lados do polígono estrelado.) Resposta: 36 O pentágono no interior da figura tem lados congruentes e ângulos internos congruentes, logo é regular. Os ângulos internos do pentágono medem (5-2).180 o /5 = 108 o, portanto o ângulo do vértice dos triângulos isósceles mede 180 o 2.72 o = 36 o. 08. A ilustração abaixo é de um design encontrado em Pompéia e consiste de um hexágono regular, seis quadrados, seis losangos, seis triângulos equiláteros e doze triângulos retângulos.
Se o lado do hexágono é 2 indique o inteiro mais próximo da área da figura. Dado: use a aproximação: 3 1, 7. Resposta: 89 Os lados do hexágono, quadrados, losangos e triângulos eqüiláteros têm mesma medida, assim como os catetos dos triângulos retângulos. Observe que os losangos podem ser divididos em dois triângulos eqüiláteros. Portanto, a área da figura é (6 + 12 + 6)2 2 3 /4 + 6.2 2 + 12.2.2/2 = 24(1,7 + 2) = 88,8. As informações abaixo referem-se às duas questões a seguir: Em um cone reto com raio da base 20cm e altura 60cm, está inscrito um cilindro reto, como ilustrado a seguir. 09. Qual deve ser a altura do cilindro, em cm, de modo que a área total da sua superfície seja máxima? Resposta: 15 Sejam r e h o raio da base e a altura respectivos do cilindro inscrito. Temos que a área total do cilindro é dada por A = 2πrh + 2πr 2. De semelhança de triângulos obtemos r/20 = (60 h)/60 e daí h = 60 3r. A área se expressa como A = 2πr(60 3r) + 2πr 2 = 2πr(60 2r). A área do cilindro será máxima quando r = (0 + 30)/2 = 15cm e h = 15cm. 10. Calcule o volume V, em cm 3, do cilindro, com área total de sua superfície máxima e inscrito no cone. Indique V/(45π). Resposta: 75 Temos V = πr 2 h = π15 3 cm 3 e V/(45π) = 75.
As informações abaixo referem-se as duas questões a seguir. Na ilustração seguinte, temos um tetraedro ABCD com base BCD inscrita em uma circunferência. A aresta AB do tetraedro é perpendicular ao plano contendo a circunferência e BD é um diâmetro da circunferência. As medidas de AB, BD e CD são, respectivamente, 35cm, 13cm e 5cm. A B D C 11. Calcule a medida de AC, em cm, e assinale o valor obtido. Resposta: 37 Considerando que BD é um diâmetro temos que o triângulo BCD é retângulo em C e que BC mede ( 13 2-5 2 ) 1/2 = 12cm. Da mesma maneira AC = (12 2 + 35 2 ) 1/2 = 37cm. 12. Calcule o volume do tetraedro, em cm 3, e indique a soma dos dígitos do número obtido. Resposta: 8 O volume do tetraedro é (12.5/2).35/3 = 350cm 3. 13. Os naturais 2 6.3 m.5 4 e 2 p.3 7.5 n têm máximo divisor comum 2 6.3 6.5 4 e mínimo múltiplo comum 2 8.3 7.5 4. Calcule os naturais m, n e p e indique sua soma. Resposta: 18 Temos que o maior entre 6 e p é 8, logo p = 8. O menor entre m e 7 é 6, logo m = 6. O menor e o maior entre 4 e n são iguais a 4, logo n = 4. 14. A figura abaixo ilustra um antigo símbolo gótico.
A circunferência maior tem raio 24, as duas circunferências intermediárias, que são tangentes a maior, têm raio 12 e as cinco circunferências menores têm raio 6. Quatro das circunferências menores têm diâmetros que, reunidos, formam um diâmetro da circunferência maior que também contém um diâmetro de uma das circunferências intermediárias. A quinta circunferência menor é tangente a duas das circunferências menores. A outra circunferência intermediária passa pelo centro da primeira e pelo centro da maior. Calcule o comprimento C do contorno destacado e assinale C/π. Resposta: 38 O contorno é formado de três arcos de 300 o contidos em uma circunferência de raio 6 e um arco de 120 o de uma circunferência de raio 12, logo, mede 3.300/360.2.π.6 + 120/360.2.π.12 = 30π + 8π = 38π. 15. A figura abaixo ilustra o cuboctaedro truncado, que é um poliedro convexo com 12 faces quadradas, 8 hexagonais e 6 octogonais. Quantos são seus vértices? Resposta: 48 O número de arestas do poliedro é (12.4 + 8.6 + 6.8)/2 = 72 e seu número de vértices é 72 (12 + 8 + 6) + 2 = 48. 16. Um robô encontra-se na origem de um reta com coordenadas e pode mover-se sobre a reta, em passos de comprimento 1, para a direita ou para a esquerda. Se a probabilidade do robô mover-se para a direita é de 2/5, qual a probabilidade percentual p% de ele se encontrar na posição 1, após executar três passos? Indique o inteiro mais próximo de p. Resposta: 43 As possíveis trajetórias para o robô sair da posição 0 e, depois de três passos, encontrar-se na posição -1 são EED, EDE e DEE (onde E e D denotam movimentos para a esquerda e direita, respectivamente). A probabilidade procurada é 3.3/5.3/5.2/5 = 54/125 e daí p = 54.100/125 = = 43,2%.
17. As arestas do sólido convexo ilustrado a seguir são obtidas unindo os pontos médios de cada uma das arestas de um tetraedro regular aos pontos médios das quatro arestas que são concorrentes com ela. Se aresta do tetraedro mede 6 Resposta: 36 2, qual o volume do sólido? O sólido é um octaedro regular com aresta medindo 3 é 2. (3 2 ) 2 3/3 = 36. 2. O seu volume 18. Os círculos na ilustração a seguir têm raios 10 e 14 e são secantes. Qual a diferença d entre a medida da área da região do círculo maior, sem pontos do círculo menor, e a medida da área da região do círculo menor, sem pontos do círculo maior? Indique d/π. Resposta: 96 Se a medida da área da região do círculo maior sem pontos do círculo menor é x, a medida da área da região do círculo menor sem pontos do círculo maior é y e a medida da área comum aos dois círculos é z, temos que a diferença procurada é d = (x + z) (y + z) = x y = π14 2 - π10 2 = 96π. 19. Cinco cidades são vértices de um pentágono convexo e devem ser conectadas por quatro rodovias retilíneas (que podem se interceptar). As rodovias serão construídas de modo que exista um trajeto unindo quaisquer duas destas cidades. Abaixo temos as três maneiras básicas de se construir tais rodovias: na primeira, de cada cidade saem no máximo duas rodovias; na segunda, existe uma cidade de onde saem três rodovias e, na terceira, existe uma cidade de onde saem quatro rodovias.
Determine o número total de maneiras de se construir as quatro rodovias e assinale a soma dos seus dígitos. Resposta: 8 Do primeiro tipo, o número de maneiras de construir as rodovias é 5!/2 = 120/2 = 60; do segundo tipo, temos 5.4.3 = 60 maneiras e do terceiro temos 5 maneiras. O total de maneiras de construir as rodovias é 60 + 60 + 5 = 125 maneiras. 20. Existem duas circunferências situadas no primeiro quadrante que são tangentes aos eixos das abscissas e das ordenadas e tangentes à reta com equação 5x + 12y 60 =0. Determine os raios das circunferências e indique sua soma. Resposta: 17 Desde que as circunferências são tangentes aos eixos coordenados e estão no primeiro quadrante temos que seus centros têm coordenadas (r, r), com r sendo o raio das circunferências. Como a reta 5x + 12y 60 =0 é tangente às circunferências temos 5r + 12r 60 / 5 2 + 2 12 = r ou 17r 60 = 13r que eqüivale a 17r 60 = ±13r, que tem soluções r = 15 e r = 2. 21. A seguir temos uma ilustração da Grande Pirâmide do Egito. h H 2a A pirâmide é regular e o quadrado da sua altura é igual ao produto da metade do lado da base pela altura dos triângulos das faces, ou seja, se 2a é o lado da base da pirâmide, h a sua altura e H a altura dos triângulos das faces laterais temos h 2 = H(2a)/2 = Ha. Calcule g = H/a e indique (2g 1) 4. Resposta: 25 Temos H 2 = h 2 + a 2 = Ha + a 2 e daí (H/a) 2 (H/a) 1 = 0. Resolvendo a equação obtemos H/a = (1 ± 5 )/2 e segue que g = (1 + 5 )/2 e (2g 1) 4 = 25. 22. O prisma pentagonal ilustrado abaixo é regular, com lado da base medindo 400/17 e altura medindo 42. Determine o raio da esfera circunscrita ao prisma e indique o inteiro mais próximo do valor obtido.
Dado: use a aproximação cos(54 o ) 10/17. Resposta: 29 Seja x a medida do lado do triângulo isósceles com vértice no centro da base do prisma e base em um lado da base do prisma. Temos cos(54 o ) = (200/17)/x e x (200/17)/(10/17) = 20. O raio da esfera circunscrita é (20 2 + 21 2 ) 1/2 = 841 1/2 = 29. 23. Júnior comprou um certo número de chocolates (iguais) por R$ 20,25. Se o preço de cada chocolate fosse R$ 0,02 a menos, ele teria obtido 6 chocolates a mais. Quantos chocolates Júnior comprou? Resposta: 75 Se o preço pago foi de p centavos por chocolate, e Júnior comprou n chocolates, temos 2025 = pn = (p - 2)(n + 6) e da segunda igualdade resulta que pn = pn + 6p 2n 12 que se simplifica como n = 3(p 2). Substituindo na primeira igualdade, com 2025 fatorado em primos, temos 3 4.5 2 = 3p(p 2) ou 3 3.5 2 = p(p 2). Como p é ímpar temos p e p 2 primos entre si e daí p = 3 3 = 27 centavos e n = 3.5 2 = 75. 24. A figura abaixo ilustra a divisão de um hexágono regular em três triângulos um quadrilátero e um pentágono, que são rearrumados para formar um quadrado. α Se α é a medida do ângulo indicado, escreva sen 2 α = naturais, a primo, e indique a + b. Resposta: 9 a / b com a e b Se l é a medida do lado do hexágono regular então sua área é dada por 3l 2 3 /2 e o quadrado que tem a mesma área do hexágono tem lado (3l 2 3 /2) 1/2. O triângulo acutângulo da dissecção tem um ângulo medindo 120 o, outro medindo α, e os lados opostos a estes ângulos medem (3l 2 3 /2) 1/2 e l, respectivamente. Usando a lei dos senos,
obtemos (3l 2 3 /2) 1/2 /sen 120 o = l/sen α e sen α = ( 3 /2)/(3 3 /2) 1/2 = ( 3 /2) 1/2 / 3 e sen 2 α = 3 /6. Daí a = 3 e b = 6. 25. Uma formiga move-se ao longo das arestas de um cubo e, encontrando-se, inicialmente, no vértice A, deverá se mover até o vértice B (veja a ilustração a seguir). Ao percorrer uma aresta, a formiga não muda o sentido do trajeto até atingir o outro vértice da aresta. Se a formiga escolhe seu trajeto aleatoriamente, qual a probabilidade percentual p% de ela atingir o vértice B, após caminhar o equivalente ao comprimento de três arestas do cubo? Indique o inteiro mais próximo de p. B Resposta: 22 A O número de trajetórias de A até B usando três arestas é 3.2.1 = 6 e o número total de trajetórias usando três arestas não necessariamente distintas é 3.3.3 = 27, logo a probabilidade procurada é 6/27 = 2/9 ou 22,22% 26. Suponha que as diagonais de um octógono convexo, ou não se interceptam no interior do octógono, ou se interceptam, duas a duas, em pontos distintos. Quantos são estes pontos de interseção, situados no interior do octógono? Resposta: 70 Cada par de diagonais, que se interceptam no interior do octógono, corresponde às diagonais de um quadrilátero com vértices com vértices nos extremos das diagonais (logo, em vértices do octógono). Reciprocamente, cada quatro vértices do octógono determinam um quadrilátero convexo cujas diagonais são diagonais do octógono e se interceptam em um ponto de seu interior. Portanto, o número de pontos de interseção das diagonais do octógono, que estão em seu interior, corresponde ao número de maneiras de se escolher quatro pontos de um conjunto de oito, que vale 8.7.6.5/(4.3.2.1) = 70. 27. Um depósito na forma de um paralelepípedo retângulo está preenchido com certo volume de líquido. Ao colocarmos no interior do paralelepípedo um cubo sólido de aresta 4cm, com densidade maior que a do líquido, a altura do líquido fica igual à aresta do cubo. O paralelepípedo tem base com comprimento 5cm e largura 6cm. Determine a aresta x de outro cubo sólido, com densidade maior que a do líquido, que, quando colocado no interior do paralelepípedo, deixa a altura do líquido igual à medida da aresta. Indique (x + 2) 2.
Resposta: 18 Temos que o volume de líquido no paralelepípedo é 5.6.x x 3, logo, 30x x 3 = 30.4 4 3, que se simplifica como x 3 4 3 30x +30.4 = 0. Colocando x 4 em evidência temos (x - 4)(x 2 + 4x +16) 30(x 4) = 0 ou (x 4)(x 2 + 4x 14) = 0. Como queremos x 4 temos x 2 + 4x 14 = 0 e x = (-4 ± 72 )/2 = -2 ± 3 2. Uma vez que x é positivo temos x = -2 +3 2 e (x + 2) 2 = 18. 28. Um triângulo isósceles ABC tem ângulos da base AB medindo o dobro do ângulo do vértice C, como ilustrado a seguir. C D A B O segmento AD é a bissetriz do ângulo CAB. Analise as afirmações a seguir, referentes ao triângulo ABC. 0-0) O ângulo ACB mede 36 o 1-1) Os triângulos ABC e BDA são semelhantes. 2-2) O triângulo ADC é isósceles. 3-3) AB/AC = (-2+ 5 )/2 4-4) A razão entre as áreas do triângulo ABC e do triângulo BDA é (3 + 5 )/2 Resposta: VVVFV
Se α é a medida do ângulo ACB temos α + 2α + 2α = 180 o e daí α = 180 o /5 = 36 º, logo 0-0) é verdadeira. Pelo teorema do ângulo externo temos que a medida do ângulo ADB é 2α, portanto os triângulos ABC e BDA são semelhantes e 1-1) é verdadeira. O triângulo ADC tem ângulos DCA e DAC medindo α, logo é isósceles, e 2-2) é verdadeira. Da semelhança entre ABC e BDA temos AB/AC = (AC AB)/AB, que se simplifica como AB 2 + AC.AB AC 2 = 0 e daí AB = (-1 ± AB/AC = (-1 + 5 )AC/2 e 5 )/2, logo 3-3) é falsa. A razão entre as áreas dos triângulos ABC e BDA é [2/(-1 + 5 )] 2 = 2/( 3-5 ) = (3 + 5 )/2, logo 4-4) é verdadeira. 29. A figura abaixo ilustra um paralelepípedo retângulo desenhado em papel quadriculado. Analise as afirmações abaixo, referentes as posições relativas dos pontos A, B, C e D. C A B D 0-0) A reta contendo A e B e a reta contendo C e D são concorrentes. 1-1) O plano contendo A, B e D também contém C. 2-2) A reta contendo A e C e a reta contendo B e D são paralelas. 3-3) O plano contendo A, C e D também contém B. 4-4) Os pontos A, B, C e D são coplanares. Resposta: FFFFF O único plano contendo A, B e D intercepta o paralelepípedo em um retângulo que não contém C, logo, C não está no plano contendo A, B e D e os pontos A, B, C e D não são coplanares. Portanto, 0-0), 1-1), 2-2), 3-3) e 4-4) são falsas. 30. As cidades de uma planície estão, duas a duas, situadas a distâncias diferentes. Sejam A, B e C cidades da planície e suponha que A é a cidade mais próxima de B e de C. A B C Analise a veracidade das afirmações a seguir, admitindo as informações acima. 0-0) BC > AB 1-1) AC > BC 2-2) O ângulo com vértice em B tem medida maior que as medidas dos ângulos com vértices em A e C. 3-3) O ângulo com vértice em A mede mais de 60 º. 4-4) O número de cidades que têm a cidade A como a mais próxima é menor que 6.
Resposta: VFFVV BC é maior que AB e AC pois A é a cidade mais próxima de B e de C, logo 0-0) é verdadeira e 1-1) é falsa. Como BC é o maior lado do triângulo escaleno ABC, temos que o ângulo com vértice em A é o ângulo de maior medida do triângulo, logo 2-2) é falsa. Temos  + ^B + ^C = 180 o, ^B < Â, ^C <  e portanto 3 > 180 o e  > 60 º e 3-3) é verdadeira. Se existissem pelo menos seis cidades tendo A como cidade mais próxima, então a soma dos ângulos com vértices em A, construídos como acima, seria maior que 6.60 o = 360 o, o que não pode ser. 31. A temperatura em uma sala, ao longo do dia, é dada, em o C, pela função T(t) = 6cos(π(t - 13)/12) + 31 onde t é o número de horas após zero hora. Nestas condições, analise as afirmações abaixo. 0-0) A temperatura na sala às cinco horas da tarde é de 34 o C. 1-1) A temperatura da sala é máxima às 13h. 2-2) O menor valor da temperatura da sala é 31 o C. 3-3) O gráfico da temperatura T (em o C), em termos do número de horas t após zero hora, é 4-4) A temperatura da sala é mínima às três horas da manhã. Resposta: VVFFF Às cinco horas da tarde temos t = 17h e T(17) = 6cos(π/3)+31 = 34 o C, logo 0-0) é verdadeira. A temperatura da sala é máxima quando cos(π(t - 13)/12)=1 ou π(t - 13)/12=2kπ, k inteiro, que eqüivale a t = 13 + 24k e, como t varia de 0h a 24h, temos t = 13h, e 1-1) é verdadeira. A temperatura é mínima Quando cos(π(t - 13)/12) = -1, ou seja, o valor mínimo da temperatura é 6 + 31 = 25 o C, logo 2-2) é falsa. 3-3) é falsa pois o valor máximo da temperatura é 6 + 31 = 37 o C, o que não ocorre com o gráfico apresentado. A temperatura é mínima quando cos(π(t - 13)/12) = -1, ou seja, quando π(t - 13)/12 = -π + 2 kπ, com k inteiro, que se simplifica como t = 1 + 24k e t =1h, logo 4-4) é falsa. 32. Os catetos de um triângulo retângulo têm medidas que se expressam na forma 2n e n 2 1, para algum natural n, n > 1. Analise a veracidade das afirmações a seguir, referentes a este triângulo. 0-0) A hipotenusa do triângulo mede n 2 + 1. 1-1) A área do triângulo é n 3 n. 2-2) O perímetro do triângulo é n 2 + n. 3-3) O raio da circunferência inscrita no triângulo mede n + 1. 4-4) O raio da circunferência circunscrita ao triângulo mede n 2 /2+1. Resposta: VVFFF
O teorema de Pitágoras assegura que a hipotenusa do triângulo mede 2 2n 2 2 ( ) + (n 1) = 4 n 2n 1 2 2 + 2 + = (n + 1) = n 2 + 1, logo 0-0) é verdadeira. A área do triângulo mede (2n)(n 2 1)/2 = n 3 n, portanto 1-1) é verdadeira. O perímetro do triângulo mede 2n + n 2 1 + n 2 + 1 = 2(n 2 + n) e, portanto, 2-2) é falsa. O raio da circunferência inscrita no triângulo mede (n 3 n)/(n 2 + n) = n 1 e, daí, 3-3) é falsa. O raio da circunferência circunscrita ao triângulo mede (n 2 + 1)/2 e, portanto, 4-4) é falsa.