APLICAÇÕES CONFORMES E GEOMETRIA HIPERBÓLICA PLANA

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1 Deptmento de Mtemát APLICAÇÕES CONFOMES E GEOMETIA IPEBÓLICA PLANA Aluno: Dnel Clett Oentdo: do Sá Ep Intodução Estudou-se s Aplções Confomes, dndo foo p s Tnsfomções de Möus e Invesões om espeto íulos e ets. Depos, pofundou-se n teo d Geomet peól Pln. Ojetvos Estud um mpo que envolve Análse Complex e Geomet Dfeenl, e pofund-se nesses dos ssuntos enqunto se pende um tópo que não é oddo om muto foo n gde de gdução Geomet peól Pln. Metodolog O estudo omeçou om defnção de plção onfome. f : U C C é um plção onfome, so el peseve os ângulos e oentções. f : U C C é um plção holomof, so U, f exst. Consdee f : U C C holomof e f U, então f é um plção onfome. P demonst sso usmos eg d de d devd omplex. Demonstção: onsdee dus uvs e U, ts que, e. O ângulo ente s uvs e no ponto é gul g e ente s uvs f f e f no ponto f f é gul g. Pel eg d de, f f tmos que o segundo ângulo é gul g, omo e f f, temos que o gumento desse númeo omplexo está em defndo. Como f f, onlu-se que g g g, f f demonstndo que f é um plção onfome. Com um se ás de plções onfomes podemos go estud s Tnsfomções de Möus ou Tnsfomções lnees. Esss funções n geomet hpeól pln são mpotntes, pos tods s somets são desse tpo. As Tnsfomções de Möus são d segunte fom: w T,,,, d C d d A tnsfomção está em defnd p todo ponto de C, om exeção de e d. Se, então T, so, T / e T d / Pode-se flmente lul nves dess função que é out Tnsfomção de Möus:

2 Deptmento de Mtemát dw T w w Além dsso, T, se e, so, T d / e T /. O que most que tod tnsfomção de Möus é um jeção do plno omplexo estenddo C {} em s mesmo. Em segud fo nlsdo que s Tnsfomções de Möus são plções onfomes. Cso d / e, devd T está em defnd, logo função é holomof e, potnto, onfome nesses pontos. Cso, w / e T w / d, que tem devd em defnd T w d/ d qundo w e, se plção não te polem n devd, logo é onfome em w e. Cso d /, w / T tem devd em defnd w d / e dfeente de eo qundo d /. Conlu-se que tods s plções de Möus são plções onfomes. Vmos most que segunte equção A B B C, om A, C e AC B epesent um íulo ou um et no plno omplexo e tod et ou íulo podem se epesentdo dess fom. Todo íulo pode se epesentdo pel equção, onde é o ento e é o o. Expndndo ess equção otemos e, depos, multplndo ess equção po A e fendo B A e C A, otemos que o íulo pode se epesentdo pel equção A B B C e espet desguldde AC B. Fendo o poesso nveso, podemos vemos que qulque equção d fom A B B C om A e o po AC B epesent um íulo om ento B / A e B AC / qu vemos expltmente o poquê d desguldde A AC se neessá. Vmos most que, qundo A, equção B B C epesent um et. Um et do plno omplexo pode se epesentd po tv, onde é um ponto d et, v é um veto plelo à et e t é um númeo el. Tlhndo um pouo om ess fómul otemos: / v t. Como t é el, tmém podemos de que / v t. Assm otemos: / v = / v, que pode se esto d fom v v v v e multpldo po f v v v v. Igulndo B v e C v v pee que B v e C é el, pos v v é mgnáo puo, temos que equção f d fom B B C. Fendo o poesso nveso tod equção d fom B B C equvle um et om deto gul B v e ponto nl gul C / B B. Demonstemos que s Tnsfomções de Möus levm íulos ou ets em íulos ou ets. Se, então podemos dvd o numedo e o denomndo po p tnsfom em out tnsfomção equvlente d segunte fom: T. Pee d d que opeção pode se est d segunte fom:. Consdee s seguntes d opeções: T d, T /, T3 d, T4. É fál peee que B

3 Deptmento de Mtemát T T4 T3 T T, então p pov que s Tnsfomções de Möus om levm íulos e ets em íulos ou ets, só pes most que s opeções do fomto T, T e T / levm íulos ou ets em íulos ou ets. A opeção T lmente lev íulos ou ets em íulos ou ets, pos ess opeção é um tnslção no plno omplexo. A opeção T é um homotet om um otção em tono d ogem, então tmém tem mesm popedde. P peee que opeção T /, onsdee um íulo ou um et epesentdo pel equção A B B C, tl que AC B. Depos dos pontos desse onjunto pssem pel tnsfomção w / eles ão stsfe segunte equção A Bw Bw Cww, que tmém epesent um íulo ou um et P peee sso dvd equção ognl po. Cso, opeção é d fom T, logo tmém lev íulos ou ets em íulos ou ets. Tmém fo mpotnte estud os pontos fxos desss opeções. Fendo, d desou-se que os pontos fxos dfeentes de nfnto stsfem d so, nfnto é ponto fxo. Anlsndo todos os sos, peeeu-se que um tnsfomção dfeente d dentdde T possu um ou dos pontos fxos nlundo, logo um tnsfomção pode se detemnd pel mgem de tês pontos e um tnsfomção om tês ou ms pontos fxos deve se dentdde. Segudmente fom luldos todos os mps onfomes do íulo untáo em s mesmo. P tl, neesstou-se do lem de Shw: sej f : D D, onde D é o dso untáo entdo n ogem e tl que f, tem-se que f, D e f, so f p lgum númeo dfeente de eo ou f, tem-se que f om. Suponh f : D D um mp onfome, tl que f p, defn tnsfomção g p / p g p e g é um mp onfome do dso untáo eto. Consdee h g f tem-se h. Utl-se o lem de Shw: h, poém ess função tem nves f e g são mps onfomes de D em D, logo h. Assm, temos f g e h, potnto, pelo lem de Shw, h e. Conlundo: e p / e p e pe / e p. Fendo pe, peee-se que f e /. Logo, onlu-se que todo mp onfome de D em D é d fom e / om e, omo tod função d fom nteo é um jeção de D em D e um opeção onfome, tod função desse fomto é um mp onfome. Tmém se podem eseve esss opeções d segunte mne: /,. P peee sso, fç: f e / e / e / / e / e /

4 Deptmento de Mtemát / / / / e e e e f / / / e e Fendo e d, otém-se: f d / d, om dd Fnlmente p h fom petendd, multplque o numedo ou denomndo po e fç e d, otendo: f /, om Depos de te em qus são os mps onfomes do dso, nosso ojetvo fo vef qus em os mps onfomes do sem-plno supeo em s mesmo. P tl, fo neessáo entende Tnsfomção de Cyley. T Ess é um função que é um jeção do sem-plno supeo no dso untáo entdo n ogem. Pmeo, peee-se que ess opeção lev et el no íulo de o e ento n ogem. T, T e T Como ess é um Tnsfomção de Möus, el lev íulo ou ets em íulos ou ets. Então et el seá levd no íulo que pss po -, - e, que é o íulo untáo entdo n ogem. Tmém pee que el lev um ponto no nteo do sem-plno em um ponto no nteo do dso. Sej um númeo omplexo petenente no sem-plno supeo, ou sej, Im. Vmos estud /, É fál peee que e e e Im Im, logo /. Como Tnsfomção de Cyley é um jeção de C {} em C {}, lev o nteo do sem-plno no nteo do dso e lev fonte do sem-plno n fonte do dso, most-se que ess opeção é um jeção do sem-plno supeo no dso untáo entdo n ogem. Com esss nfomções é possível te os mps onfomes do sem-plno supeo em s mesmo. Suponh f : { C,e } um tnsfomção onfome. Defn T / e g T f T, logo g é um tnsfomção do dso untáo em s mesmo e é d fom g /, om. Pode-se ote fom de f : f T g T T, T e g T. f T g T e e Im Im e e Im Im f Im Im e e Im Im e e Com e e, Im Im, Im Im e e e.

5 Deptmento de Mtemát Otém-se que f, om,,, e Flt demonst que tod função dess fom é um mp onfome de em. Sej f : C { } C { } f, om,,, d e d. Consdee d, vmos pov que f. d Im Im Im f d d d d d Logo, f. Dunte nção entíf fo defndo qul e mét hpeól. Vmos defn T omo sendo o espço tngente de no ponto, ou sej, o onjunto de vetoes de om ponto se. Ago p d ponto de, vmos onsde o segunte poduto esl: u, v u, v, u, v T, onde, é o poduto esl euldno de. Im o Esse poduto esl tem um nom ssod: u u, u, v T, onde, é nom euldn usul. Im Consdee g o mét defnd pelo poduto esl mét hpeól do. g d dx dy Im y y,, g é denomnd omo g, onde g é mét euldn. O mundo om mét g é denomndo sem-plno de Poné e é um dos modelos do sem-plno hpeólo. O onjunto que onsste d et el om o ponto o nfnto é hmdo do odo nfnto do. Tmém pode se luldo o ângulo ente u e v ness mét: u, v u, v u v Im, os u v u v Im u v Dqu se onlu que os ângulos ente u e v n mét hpeól são gus os ângulos n mét euldn. Levndo em ont ess nfomção, fo possível lul qus em s somets do sem-plno de Poné. P que um dfeomofsmo T : sej um somet é peso que: g u, v g DT u, DT v u, v T u x vx D, T x, y u x, y, v x, y u y v y P se um somet opeção T pes se onfome, logo os nddtos seem s somets postvs, são os mps onfomes de em, que são d fom: T, om,,, d e d. d Vmos pov que tods s opeções dess fom são somets postvs.

6 Deptmento de Mtemát d d T d d d Im Im T, já fo luldo nteomente. d T Im T Im T u, T v u, v g DT u, DT v g T u, T v T Im T Im T g DT u, DT v u, v g u, v Im Logo, povou-se que T é um somet postv pesev ângulos e oentções. P enont s somets negtvs vmos us opeção w que é um somet euldn e fx pte mgná de d, logo tmém é um somet do plno hpeólo. Assm, s somets negtvs seão s tnsfomções T, onde T é um somet postv de. As somets negtvs são d segunte fom: T, om,,, d e d. d Em segud, fom estudds s nvesões om espeto íulos e lgum de sus popeddes. Pmeo vmos defn-l, sej um íulo de o e ento, nvesão de um ponto é o ponto, petenente à sem-et que omeç em e pss po que stsf: Como petene à sem-et que omeç em e pss po, ele pode se esto d segunte fom: t, onde t e t Ds dus equções m se pode et que: t Logo, podemos ote segunte guldde: A pt d guldde m podem se etds lgums popeddes ds nvesões om espeto os íulos, pme é que el pesev ângulos, ms nvete oentções, poque é Tnsfomção de Möus ompost om um onjugção onjugção pesev ângulos e nvete oentção. A segund popedde é que nvesão lev íulos ou ets ou íulos ou ets, pos tnto Tnsfomção de Möus qunto onjugção possuem ess popedde. Tmém é fál peee que nvesão om espeto o íulo de o e ento fx os pontos petenentes esse íulo. Consdee petenente o íulo, ou sej,. Vmos lul.

7 Deptmento de Mtemát Em segud, fo peso demonst que nvesão om espeto o íulo de o e ento fx glolmente os íulos otogons esse. Consdee um íulo de o e ento otogonl o pmeo íulo, ou sej,. Semos que os pontos de nteseção ente os dos íulos estão fxdos, logo só pesmos most que ms um ponto do íulo otogonl f no mesmo íulo. Vmos esolhe dos pontos do segundo íulo que estão n et que pss pelos dos entos. Esses pontos são: e. Logo, o nveso de om espeto o íulo é, e ve-ves. Como nvesão om espeto íulos lev íulos ou ets em íulos ou ets e tês pontos detemnm um íulo, temos que os íulos otogons fm glolmente fxdos. Vmos go te s nvesões om espeto íulos otogons à et el, ou sej, o ento é um númeo el. Igulndo,, e d, otemos: d, onde d Logo s nvesões om espeto íulos otogons o exo el são somets negtvs do plno hpeólo. Depos de te vsto tods esss nfomções, fo possível estud qus são s geodéss do plno hpeólo. Um geodés é um uv de lsse C po ptes e egul, tl que p d p de pontos dess uv, uv que mnm o ompmento é ess. No, s geodéss são s ets. É possível demonst que s sem-ets vets são geodéss do plno hpeólo. Consdee dos pontos d fom e, onde,, e. Pee que uv t t,, : é um segmento de et vetl que lg os dos pontos. Vmos lul o seu ompmento n mét hpeól. dt t dt t t L / / Im,, log log log log L dt t L

8 Deptmento de Mtemát Ago onsdee out uv ptes e egul, tl que :,, t x t y t de lsse e. Como é um uv de lsse ptes, exstem númeos es s... s sn, ts que é de lsse ntevlo s, s p d,... n n s n s x t y t L t, t / dt dt y t s s n s n s n s x t y t y t y t L dt dt dt y t y t y t s s s C po C po C p d log y log y log log L Povou-se que qulque uv tem que lg esses dos pontos tem ompmento hpeólo mo ou gul segmento de et vetl guldde só é váld qundo é um segmento de et, logo s sem-ets vets são geodéss do plno hpeólo. Consdee dos pontos e que não estão n mesm sem-et vetl, logo exste um semíulo de o ento x, onde x é um númeo el que pss po esses dos pontos. Sej nvesão I : om espeto o íulo de ento x e o. Ess opeção fx ponto x, pos petene o íulo om o qul está sendo fet nvesão, e lev o ponto x p, pos é o ento do íulo o qul está sendo fet nvesão. Tmém é possível peee que ele fx glolmente o exo el. Como o sem-íulo é otogonl o exo el e ess opeção é um somet, temos que mgem desse íulo seá otogonl à mgem d et el, pelo fto de et el se fxd temos que mgem do íulo é otogonl el. Assm, é possível onlu que os sem-íulos otogons o exo são geodéss do plno hpeólo, poque tnsfomção I : lev s semets vets em sem-íulos otogons. Conlu-se que s geodéss do plno hpeólo são s sem-ets vets e os sem-íulos otogons o exo el, lém dsso só exste um geodés pssndo po dos pontos de. Vmos fe um ompção d geomet hpeól om geomet euldn nlsndo os postuldos de Euldes:. Po dos pontos pss somente um geodés.. Todo segmento de geodés pode se polongdo ndefndmente. 3. Dos ângulos etos são gus. 4. P d ponto p e el postvo, exste um íulo om ento p e o. 5. Sej um geodés e um ponto p, exste um ún geodés pssndo po p e plel. No so euldno, s geodéss são s ets e esses postuldos são flmente vefdos. N geomet hpeól, só são oededos os quto pmeos postuldos e o qunto não é vefdo. O pmeo postuldo já fo vefdo, povndo que exste somente um geodés pssndo po dos pontos. O segundo postuldo pode se vefdo peeendo que todo segmento de et ou o de íulos otogons o exo el no podem se estenddos sem-ets vets e sem-íulos otogons o exo el, espetvmente.

9 Deptmento de Mtemát P vef o teeo postuldo, só é peso most que todo p de geodéss, podem se levds tvés de somets p exo mgnáo e o sem-íulo otogonl o exo el e o exo mgnáo que pss pelo ponto. Cso um ds geodéss sej um sem-et vetl, deve se feto um opeção d fom x, onde x é onde sem-et nteset o exo el, levndo ess sem-et vetl no exo mgnáo. Em segud deve-se fe um opeção d fom /, onde é o o do sem-íulo que oesponde à out geodés. Cso s dus geodéss sejm sem-íulos, deve se fet um nvesão n qul o ento é nteseção de um desss geodéss om o exo el e o táo p tnsfom um sem-íulo em um sem-et vetl, em segud se no so nteo. O quto postuldo é ms flmente vldo usndo o modelo do Dso de Poné, então ele seá nlsdo depos de su defnção. O qunto postuldo é flso. Inlmente, é neessáo se o que são dus geodéss plels, que pode se defndo omo dus geodéss que tem um ponto no odo nfnto em omum. P vef que esse postuldo é flso, vmos onsde o exo mgnáo e um ponto p que não petene ele. É possível tç po p um sem-et vetl e um semíulo otogonl o exo el e tngente o exo mgnáo. A sem-et vetl que pss po p e o exo mgnáo são plelos, pos tem o ponto em omum no odo nfnto e semíulo otogonl e o exo mgnáo p são, pos tem o ponto eo em omum. Logo exstem dus plels o exo mgnáo que pssm po p, demonstndo que o postuldo não é váldo. Com o onhemento ds geodéss, go seão lssfds s somets postvs, pt de seus pontos fxos. Consdee somet postv f, om,,, d e d, vmos d nls seus pontos fxos: é ponto fxo se f. d d d Se, os pontos fxos podem se otdos esolvendo equção de segundo gu. Vmos nls o seu dsmnnte. d 4 d d 4, omo d d otém-se: d d 4 d 4 Se d 4, os dos pontos fxos são númeos es dfeentes. Se d 4, exste pens um ponto fxo que é um númeo el. Se d 4, exstem dos pontos fxos omplexos onjugdos, dos qus um tem pte mgná mo que eo e o outo não. Cso, os pontos fxos ão stsfe segunte equção d e o ponto seá um ponto fxo. Nesse so, se d o ponto nfnto seá o úno ponto fxo e se d os pontos / d e seão pontos fxos. As tnsfomções hpeóls seão quels que fxem dos pontos no odo nfnto, ou sej, om e d 4, ou e d. Consdee que os pontos fxdos são x e x, exste um ún geodés que pss po esses dos pontos. Como os pontos x e x estão fxdos, geodés tmém seá fxd. Sej um ponto p petene à uv, f p p petene tmém so f p p, plção te tês pontos fxos e

10 Deptmento de Mtemát se um plção onstnte. Suponh que oentção d uv de x té x, sej mesm que p té f p. Consdee um ponto q qulque ente p té f p n uv. Podese ote: d p, f q d p, q d q, f q d p, f p d f p, f q Pelo fto de f se um somet et-se que d f p, f q d p, q e, potnto, d p, f p d q, f q. Ago vmos onsde que q pens está n uv. Exste n Z tl que q está ente f n p e f n p pontos que tem dstân de são. P peee esse fto, onsdee o exo mgnáo e o ponto, os e e e, qundo tende nfnto e v p nfnto e e v p eo, os pontos tendem os pontos do odo nfnto. Fendo o nálogo, f n n p v p x e f p v p x, se n tende nfnto. Dí é fál onlu n n d q, f q d f p, f p d p, f p. Cso não petenç à uv, é possível tç um geodés que pss po esse ponto e otogonl no ponto. Semos que ponto seá deslodo um dstân o longo d uv, é uv seá levd em um uv otogonl no ponto f. Como f é um somet dstân ente e seá mntd e f teá ess mesm dstân de f. Em segud fom teds s Tnsfomções elípts, que possuem dos pontos fxos no plno omplexo, poém pens um ponto fxo em, o que ontee qundo e d 4. P nls ess tnsfomção, esolh um ponto e te o segmento de geodés ente e, o ponto é fxo e seá levdo em f, que pesev dstân o ponto. A geodés seá levd em out geodés f que f eto ângulo om geodés no ponto. Com sso é possível te tnsfomção de um ponto genéo p. Pmeo deve se tçdo geodés ente e p que f um ângulo om geodés no ponto. Como f é somet o ângulo ente f e f, tmém é, pelo fto de o ângulo ente f e se tem-se que o ângulo ente f e é Fo onsdedo que os ângulos são oentdos. Fnlmente otém que o ângulo ente f e é. A tnsfomção elípt é um otção hpeól de em tono do ponto. O últmo tpo de somets postvs são s Tnsfomções póls, que fxm pens um ponto no odo do nfnto, e d 4, ou e d. P dsut esss tnsfomções é ível defnção de um lsse de uvs no plno hpeólo, os hoolos. Os hoolos são os íulos tngentes o exo el e s ets hoonts. Um popedde dos hoolos é que mgem de um hoolo tvés de um somet é sempe um hoolo. P pov tl popedde, só é peso peee que s somets levm um ponto do odo nfnto em outo ponto do odo nfnto, s somets são opeções onfomes e pesevm tngên ente uv e o exo el, e pel popedde de ets ou íulo seem levdos em ets ou íulos pels tnsfomções de Möus. Consdee s tnsfomções póls que fxm o ponto, ou sej, são d fom f, é fál peee que todos os hoolos tngentes o, ou sej, s ets hoonts, são glolmente fxdos. Cso somet f fxe um ponto do exo el x,

11 Deptmento de Mtemát tnsfomção T :, T / x é um tnsfomção que lev o ponto x p, potnto função g T f T fx o ponto. g fx d hoolo tngente o, logo f T f T teá ess mesm popedde. Vmos então defn o Dso de Poné, p sso vmos utl tnsfomção de Cyley e mét hpeól. T, T, T Im T g D u, v g T u, T T v u, v Im T u, v 4 O Dso de Poné é o dso untáo entdo n ogem dotdo om mét m. As somets do dso de Poné seão s plções do espço em s mesmo do mesmo jeto que o sem-plno de Poné. f, om As geodéss seão os dâmetos e os os de íulos otogons o dso de o um entdo n ogem, o que pode se flmente vefdo om o fto de Tnsfomção de Cyley se onfome e lev íulos ou ets em íulos ou ets. Ago é fál estud os pontos que tem um dstân d ogem, que seão os pontos do íulo euldno de ento e o th /. P peee sso vmos lul dstân de um ponto w té ogem. A geodés que pssm pel ogem são os dâmetos, potnto uv pode se t tw, t,, vmos lul dstân ente e w. pmetd omo / w w d, w gd t, t dt dt log w log w log w t w Ago, vmos estud o onjunto de pontos que tem dstân hpeól. w w d, w log e w th w w Isso most que os pontos que tem dstân euldn onstnte d ogem gul th. Mostndo sso, podem se usds tnsfomções póls p deslo o ento p outos pontos, povndo que todo íulo hpeólo pode se epesentdo po um ulo euldno no Dso de Poné. P ve que os íulos hpeólos tmém podem se epesentdos po íulos euldnos no sem-plno de Poné, p sso é só utl Tnsfomção de Cyley levndo o dso no sem-plno, e ess tnsfomção tem popedde de lev íulos ou ets em íulos ou ets p peee que não lev em um et, pee que o nfnto não pode petene esse onjunto, poém nd gnte que íulos hpeólos e os íulos euldnos que epesentm têm o o ou ento em omum.

12 Deptmento de Mtemát Conlusões P od o tem, Geomet peól Pln, fo neessáo ote um onhemento áso de dvess áes d mtemát e, lém dsso, opotundde de estud ssuntos um pouo ms vnçdos, omo po exemplo, Geomet Dfeenl que só ostum se oddo tdmente n gde uul do uso de mtemát. Além dsso, tod semn fo peddo o luno que pesentsse o tópo estuddo em s, o que desenvolveu stnte pdde expostv e de epodu s demonstções do lvo. efeêns LEVINSON, N.; EDEFFE,. M. Complex Vles. Sn Fnso: olden-dy, In., p. EAP,. S.; TOUBIANA, E. Intoduton à l géométe hypeolque et ux sufes de emnn. Ps: Cssn, 9.364p.