Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Departamento de Matemática A Colocação por mínimos quadrados e a sua aplicação à Geodesia Física

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1 Faculdade de Ciêcias da Uiversidade de Lisboa Departameto de Matemática A Colocação por míimos quadrados e a sua aplicação à Geodesia Física João Catalão Lisboa,

2 Colocação por míimos quadrados Ídice. Itrodução.... Colocação por míimos quadrados A fução covariâcia do potecial perturbador Colocação aalítica... 5.Fução covariâcia Estimação e modelação da fução covariâcia Expressões fiitas da fução covariâcia Fução covariâcia local Métodos de ajuste da covariâcia local...7 Referêcias...9 João Catalão - FCUL

3 Colocação por míimos quadrados Whe i doubt, smooth (Sir Harold Jeffreys) A colocação por míimos quadrados e a sua aplicação à Geodesia Física. Itrodução A colocação é um método que permite a estimação eficiete do campo gravítico mediate a utilização das características estatísticas de dados heterogéeos sob a forma de fuções covariâcia. Segudo Balmio (978), os primeiros trabalhos realizados este âmbito são devidos a Kaula em 966, Krarup em 969 e Moritz em 97 os quais formularam a hipótese estocástica para o campo da gravidade modificado a teoria origial dos míimos quadrados. Para o efeito, é suposto que as observações do campo gravítico são uma realização de um processo estocástico estacioário e ergódico. Partido deste pricípio, aplicaram este método ao estudo da estimação e iterpolação do campo gravítico, obtedo estimativas para quatidades fucioalmete depedetes do potecial perturbador, T(P). Neste método, ão só resolvemos o sistema de equações para os parâmetros, mas também para o chamado sial, que é a seguda das duas compoetes aleatórias das observações. Posteriormete, Moritz (98) icorporou a ideia de cálculo por partes a colocação e chamou a este ovo desevolvimeto colocação sequecial e por partes, que foi utilizada por diversos autores especialmete Schwarz (978), Rapp (978; 986) e Tscherig (978; 985; 986). João Catalão - FCUL

4 Colocação por míimos quadrados A abordagem estatística da colocação é elemetar, o setido em que são utilizadas operações com matrizes de dimesão fiita, e costitui um esforço para evitar (quase completamete) uma abordagem mais profuda baseada em espaços vectoriais de fuções de dimesão ifiita (espaços de Hilbert). De facto, o essecial o que procuramos é o campo gravítico perturbador completo, ou seja, a fução T(P), em que o potecial perturbador é um elemeto de um espaço de Hilbert de fuções de dimesão ifiita. Em particular, a teoria da colocação baseada os espaços de Hilbert permite uma iterpretação da colocação por míimos quadrados como um ajustameto por míimos quadrados um espaço de dimesão ifiita (Tscherig, 978; 985; 986). Poderá ser questioado, quado será idispesável à resolução do problema, a dimesão ifiita dos espaços de Hilbert. As operações o espaço de Hilbert apresetam uma semelhaça formal com as operações em espaços de dimesão fiita, mas são qualitativamete diferetes. É verdade que o campo gravítico à altitude dos satélites pode ser descrito por um desevolvimeto em harmóicas esféricas trucadas a um grau elevado; os coeficietes deste desevolvimeto formam um vector fiito. Assim, se trabalharmos exclusivamete a altitudes elevadas (do satélite), podemos de facto, substituir o espaço de Hilbert por um espaço de dimesão fiita, sem comprometer a precisão. Esta situação muda substacialmete se cosiderarmos o campo gravítico à superfície da Terra por iclusão de observações de aomalias da gravidade ou desvios da gravidade. O campo gravítico detalhado a superfície da Terra, ão poderá ser descrito adequadamete por desevolvimetos em harmóicas esféricas, em do poto de vista teórico (pela ão garatia da covergêcia), em do poto de vista prático (porque mesmo que possível, tal desevolvimeto requer um elevadíssimo úmero de termos, que está para além da capacidade actual de qualquer computador). Por isso, a substituição do espaço de Hilbert por um espaço de dimesão fiita ão é em teoricamete adequada em realizável a prática. Cotudo é ecessário, uma vez que as equações fiais da colocação são fórmulas matriciais de dimesão fiita. A presete exposição tem por objectivo a discussão do método da colocação por míimos quadrados do poto de vista das suas aplicações. Cosequetemete, serão focalizados os aspectos uméricos e operacioais evitado deliberadamete a argumetação baseada os fudametos teóricos do método. O aprofudameto de algus aspectos teóricos pode ser ecotrado em Moritz (98), Tscherig (986) e Sasò (986). A exposição do método da colocação que apresetamos este capítulo é baseada essecialmete o trabalho de Moritz (98) e Tscherig (985) adoptado a otação, usada por estes autores, de modo a simplificar a comparação com outros trabalhos. João Catalão - FCUL 3

5 Colocação por míimos quadrados. Colocação por míimos quadrados O método da colocação por míimos quadrados ( Least Squares Collocatio ) é um método para determiar o potecial perturbador T, a partir de um cojuto de quatidades mesuráveis iter-relacioadas de diferetes tipos. Cosideremos dois cojutos de quatidades aleatórias, com esperaça matemática ula, desigadas respectivamete por l (o vector das medições) e por s (o vector dos siais). Sedo cohecido o vector l, composto por quatidades arbitrárias do campo gravitacioal perturbador, como por exemplo a aomalia da gravidade g ou desvios da vertical (ξ, η), e represetado s o sial do potecial perturbador T(P) a ser estimado, o problema euciado e resolvido por Krarup, em 969, foi o seguite : Qual a melhor estimativa de s com base o cojuto l de observações? Uma estimação liear para o vector s tem a forma: ) s = H l () em que H é uma matriz qualquer de dimesão mxq; ou seja, cada compoete do vector s é aproximada por uma combiação liear dos dados l. O vector ε do erro é dado por ε = $s - s e a matriz covariâcia do erro por: C εε = cov (ε,ε) = E (ε, ε T ) = E{( $s - s) ( $s - s)} () Os termos diagoais desta matriz são as covariâcias dos erros σ k dos siais estimados $s k, dados por: σ k = E (ε k) = E{( $s k - s k ) ) (3) A melhor estimação para s em termos de l é defiida, como a estimação liear cetrada de variâcia míima, ou seja, a matriz H deverá ser tal que as variâcias dos erros sejam míimos. Deste modo a estimação do sial é obtida pela expressão (Moritz, 98, p. 8): $s = C sl C - ll l (4) que os forece a melhor estimação liear (ão eviesada de variâcia míima) do vector do sial s em termos do vector de dados l. Esta formula é desigada por fórmula de estimação dos míimos quadrados, a qual as matrizes C sl e C ll são a matriz das covariâcias cruzadas etre o vector l e s e a matriz autocovariâcia dos vectores l. João Catalão - FCUL 4

6 Colocação por míimos quadrados Os elemetos destas matrizes são a média dos produtos E(l i, l j ), E(s k, l i ) i, j =,...q e k=,,..m. Esta afirmação é verdadeira, pois as ossas variáveis aleatórias são cetradas. Sabedo que qualquer das quatidades mecioadas iicialmete (aomalias da gravidade e desvios da vertical) pode ser represetada como um fucioal liear do potecial T, veja-se a fórmula fudametal da geodesia física (Catalão, 999), podemos escrever: l i = L i T ou l = B T i=,,...q (5) em que o vector B compreede os fucioais L i. Assim o problema é ecotrar T, se forem dados por medição q fucioais lieares L i T. A determiação de uma fução por ajuste de uma aproximação aalítica a um determiado úmero de fucioais lieares é chamada colocação (Moritz, 98, p. 85) e, cosequetemete, o presete método para determiar o campo gravitacioal por estimação por míimos quadrados é chamado colocação por míimos quadrados. No etato, a prática, quado efectuamos medições é sempre esperado que seja itroduzido algum tipo de erro, ou erros humaos ou erros ieretes ao próprio equipameto. Por este motivo, se as medições l i que formam o vector l são afectadas por erros de medição aleatórias i, etão em vez da equação 5 temos: l i = L i T + i i =,,...q (6) Escrevedo L i T = t i obtemos l i = t i + i Desta forma, a observação l i foi decomposta um sial t i e um ruído i. A parte do sial de l i represeta o elemeto do campo gravitacioal L i T (do qual l i é a medição), e o ruído é um sióimo para os erros aleatórios de medição. Em otação simbólica, estas equações são escritas: l = BT +, BT = t, l = t + (7) O ruído é uma quatidade geuiamete aleatória (estocástica) e tem uma distribuição de probabilidade com uma esperaça matemática ula ( E() = ). Em geral, supõe-se que o ruído e o sial ão são correlacioados, assim como também ão são correlacioados os ruídos das diferetes medições. Isto quer dizer, por exemplo, que se medirmos o valor da gravidade em diversos potos, o erro que afecta a medição um poto ão é ecessariamete o erro que afecta a medição outro poto. O que se pode fazer à priori, e geralmete depede do aparelho de medição, é fixar um valor para o desvio padrão dos erros. Neste caso a matriz das covariâcias dos erros é dada por: João Catalão - FCUL 5

7 Colocação por míimos quadrados C σ g... σ g... = σ g A geeralização do método da colocação por míimos quadrados cosiste a itrodução de um vector de parâmetros X, de dimesão p, que represeta algus tipos de erros sistemáticos ou uma possível trasformação de coordeadas. Desta maeira (Moritz, 98, p. ): l = AX + BT + (8) em que A é uma matriz q x p, expressado o efeito dos parâmetros sobre as medições l i, e L=(L,... L q ) é um vector de fucioais lieares. Na maioria dos casos, a matriz A obtémse por liearização de uma relação fucioal que origialmete é ão liear. Parte-se do pricípio que q>p e que A tem característica máxima. É de salietar que o caso B = a relação (8) fica reduzida à seguite expressão: l = AX + e, cosequetemete, o problema seria reduzido a um simples ajuste por míimos quadrados dos parâmetros X. Neste caso, a codição dos míimos quadrados é T C = mi (9) Trata-se de geeralizar esta codição ao caso que os iteressa. Desigado por s, como é habitual, o vector sial com dimesão m que queremos estimar e cosideremos t = B T. Cosideremos aida um vector v que cotém todas as quatidades aleatórias (ibid, p. ): s v = s sm q = (,...,,... ) () e supodo também que os q primeiros compoetes de s coicidem com os de t: t v = u () Desta maeira, u é, a realidade, o vector m-q que queremos estimar. A matriz das covariâcias de v é: João Catalão - FCUL 6

8 Colocação por míimos quadrados Css Cvv = () C supodo que o sial e o ruído são ão correlacioados, a codição (9) pode geeralizar-se como : T T T v C v = s C s+ C = mi (3) vv ss Este é o pricípio de miimização da colocação por míimos quadrados. A relação 8 também se pode escrever como: l = AX + Us + (4) em que U é uma matriz qxm da forma U = (I ), em que I é a idetidade qxq. O problema de miimizar (4), utilizado a formulação (3), é coseguido por meio do método dos multiplicadores de Lagrage (ibid, pp. 4-6) e obtém-se: $ T T X = ( A C A) A C l s$ = C C ( l AX$ (5) ) st em que C = Ctt + C. A primeira destas equações é igual à equação que permite determiar os parâmetros um ajuste clássico por míimos quadrados, com a difereça de que em vez da matriz C aparece a matriz C. Uma vez determiada a estimação dos parâmetros X $ obtém-se a estimação do sial $s por meio da seguda equação, observado que o caso em que ão existem parâmetros, A=, esta equação se reduz à expressão: $s= C C l st que cosiste uma solução idêtica à solução (4) fazedo C ll = C tt + C e C sl = C st. Deste modo a matriz das covariâcias cruzadas (C st ) etre os vectores s e t é equivalete à matriz das covariâcias etre os siais a estimar e as observações l. Similarmete, as covariâcias do erro são obtidas por (ibid, p. 8): T ( XX ) $E = A C A XX T T $E = C C C C + C C AE A C C ss ss sl ll sl sl ll XX ll T sl (6) É óbvio das equações (5) que o operador L ão etra explicitamete as equações de estimação. A razão é que, defiido uma fução covariâcia para uma quatidade do campo perturbador podemos obter fuções covariâcia para todas as quatidades relacioadas por aplicação da equação (5) à fução covariâcia. Este processo é desigado por lei da propagação da covariâcia. Assim, uma fução covariâcia K(P,Q) dada para s podemos determiar a fução covariâcia C(P,Q) de t aplicado a operação da fórmula (5) duas vezes à fução K(P,Q) João Catalão - FCUL 7

9 Colocação por míimos quadrados C(P,Q) = L AP (L AQ (K(P,Q))) (7) Noutros termos, podemos aplicar a fórmula básica de estimação por míimos quadrados (4) para o cálculo de qualquer elemeto do campo gravitacioal perturbador, a partir de dados que sejam arbitrariamete outros elemetos deste campo, se calcularmos todas as covariâcias por propagação de covariâcias com base a mesma fução K(P,Q). O resultado assim obtido será cosistete. As covariâcias são assim vistas como portadoras da estrutura aalítica do campo gravitacioal perturbador, devedo ser obtidas rigorosamete de uma fução covariâcia K(P,Q) por meio de fórmulas tais como (7). Uma vez que a fução covariâcia desempeha um papel decisivo em todo o procedimeto, um úmero de questões prática e teóricas está relacioado com esta determiação. Embora ão façamos essa discussão o presete trabalho deverá ser mecioado que de modo a se obterem diferetes fuções covariâcia ão é ecessário validar séries ifiitas termo por termo. Existem expressões aalíticas equivaletes que depedem uicamete de algus parâmetros e todas as difereciações podem ser realizadas directamete estas expressões facilitado grademete o cálculo das covariâcias. Para a determiação prática da fução covariâcia a referêcia é feita a Tscherig ad Rapp (974), Moritz (98) e Kudse (987). Do poto de vista operacioal a aplicação da colocação para problemas em que se preteda estimar a odulação do geóide partido de um cojuto de observações da aomalia da gravidade cosiste basicamete um problema de ajustameto com ruído. Cosiderado etão que o osso sial s é dado por s=n(p) e que dispomos de um cojuto de aomalias da gravidade em diversos potos (P i, i=,,,,f) [,,,... ] T l = g g g f A fórmula da estimação por míimos quadrados é: em que: $s= C C l sl ll Ng Ng ( P Pf ) C = C,.., C sl C ll gg C... = gg Cf C gg f C gg ff A expressão da fução covariâcia é obtida da fórmula fudametal da geodesia física (Catalão, 999) aplicado a lei de propagação das covariâcias e exprime-se da seguite forma: João Catalão - FCUL 8

10 Colocação por míimos quadrados K cov( NP ( ), gq ( )) = r' r' K γ cov( gp ( ), gq ( )) = K K K r r r r r r rr K (8) esta expressão, K é a covariâcia do potecial perturbador T, e as coordeadas de P e de Q são respectivamete (r,θ,λ) e (r, θ, λ ) : K = K(P,Q) = K(r, r, ψ) = K (r, θ, λ, r, θ, λ ) Os elemetos da matriz C ll e C sl estão relacioados com estas covariâcias, da seguite forma: gg C = C = cov( gp ( ), gp ( )) ll ij Ng C = C = cov( N( P), g( P)) sl Pi i i j (9) É de referir que, uma aproximação esférica, se os potos {P i } estão ao ível do mar podemos tomar r = r = R e γ = γ = γ. 3. A fução covariâcia do potecial perturbador Qualquer que seja a solução por colocação por míimos quadrados é sempre exigível o cohecimeto da fução covariâcia, quer se trate de uma simples estimação (4) ou do ajustameto cuja solução é dada pela equação (5). Sedo o potecial perturbador o elemeto fudametal em toda a teoria do campo gravítico, é pois essecial o cohecimeto da fução covariâcia desse mesmo potecial, bem como da relação etre esta fução e as fuções covariâcia das outras quatidades do campo gravítico (odulação do geóide, aomalias da gravidade ou desvios da vertical). Cosideremos etão o potecial perturbador T(P) e T(Q), em dois potos quaisquer P e Q do espaço, em que ambos os potos P e Q estão sobre a superfície de uma esfera r=r, represetado a esfera terrestre média correspodete ao elipsóide de referêcia uma aproximação esférica. Defiimos a fução covariâcia do potecial perturbador K(P,Q) como sedo dada por (Heiskae ad Moritz, 967, p. 5): K(P,Q) = M{T(P), T(Q)} em que M é um operador homogéeo (média sobre toda a esfera) e isótropo (média sobre todos os azimutes). Um operador com estas características pode ser iterpretado de diferetes formas. Pode ser etedido como defiido uma orma um espaço de Hilbert, com úcleo reprodutor, ou pode também ser cosiderado como a selecção de um operador João Catalão - FCUL 9

11 Colocação por míimos quadrados M através do qual é defiida a melhor aproximação. Cotudo, deverá ser otado que as diferetes iterpretações ão desempeham um papel muito importate pois, quado aplicamos a colocação por míimos quadrados, estas coduzem a diferetes escolhas da fução covariâcia mas uma vez efectuada esta escolha, as fórmulas computacioais são exactamete as mesmas. Defiido o operador M como um operador homogéeo e isótropo, a fução K(P,Q) será uicamete fução da distâcia esférica etre P e Q (Moritz, 98, p. 8): π KPQ (, ) = K( ψ) = MT(P { ) T(Q) } = T( θ, λ) T( θ, λ ) seθdαdθdλ () 8π λ= θ= α= em que (θ,λ) são as coordeadas esféricas do poto P, (θ, λ ) as coordeadas esféricas do poto Q, e α é o azimute. As coordeadas dos dois potos P e Q são relacioadas pela distâcia ψ segudo a fórmula : π π cos ψ = cos θ cos θ + se θ se θ cos (λ - λ) () De acordo com as codições iiciais do método da colocação, as quais se exigia que as variáveis sejam cetradas, é pois requerido que M{T} =, ou seja: M( T) = T( θ, λ) seθdθdλ dα = () 8π Este itegral é zero se T(θ,λ) ão cotiver as harmóicas de grau zero, o que pode ser coseguido escolhedo a massa do elipsóide de referêcia igual à massa da Terra. Simultaeamete o termo de grau pode também ser aulado por meio da escolha apropriada da origem das coordeadas. Deste modo, assumimos que T(θ,λ) ão cotém as harmóicas esféricas de grau zero e um; etão a equação () será igual a zero. Sedo o potecial perturbador uma fução harmóica pode ser escrito sob a forma de um desevolvimeto em harmóicas esféricas (Catalão, 999). Por outro lado, a covariâcia também pode ser desevolvida em termos de harmóicas esféricas em fução da distâcia esférica etre dois potos (Moritz, 98, p. 83) : K( ψ) = k P (cos ψ) com k = ( C + S ) = m m= m (3) Os coeficietes k deomiam-se variâcias de grau, porque são o valor médio de T sobre toda a esfera. De referir também que esta equação relacioa coeficietes ormalizados C m e S m com coeficietes ão ormalizados k, mas esta é a forma mais fácil de exprimir a relação etre esses dois tipos de coeficietes. O desevolvimeto desta fução o espaço exterior à esfera r=r verifica-se uicamete se impusermos que a fução K(P,Q) seja harmóica o exterior dessa esfera, quer como fução de P, quer como fução João Catalão - FCUL

12 Colocação por míimos quadrados de Q. Este requisito é evidete, tedo em cota a defiição de K(P,Q) como sedo a média do produto de T(P) e T(Q), uma vez que T é assumido como harmóica o exterior de r=r. Sabemos que o eésimo grau de uma harmóica esférica o exterior de uma esfera depede do raio vector r através de r -(+). Assim a fução covariâcia do potecial perturbador K(P,Q) o espaço exterior deverá ter a forma (ibid, p. 84): R KPQ (, ) = k P (cos ψ ) (4) rr = + ode r e r desigam os raios vectores de P e Q, respectivamete. 4. Colocação aalítica A iterpretação estatística da colocação, apresetada ateriormete, é baseada o pressuposto de que as observações do campo da gravidade são uma realização de um processo estocástico e que, quer as observações, quer os siais a estimar, são variáveis cetradas. Partido destas codições iiciais, a fução covariâcia é eleita como elemeto cetral em todo o processo da colocação cotedo toda a iformação relativa ao comportameto do campo gravítico, sua variabilidade, distâcia de correlação e aisotropias, bem como a relação fucioal etre os vários elemetos do campo. Cotudo, esta abordagem são igoradas as características aalíticas do potecial perturbador como fução harmóica e a sua relação com os espaços vectoriais de fuções de dimesão ifiita, cosistido assim uma iterpretação superficial de um método que requer claramete um aprofudameto para a compreesão de todo o feómeo de estimação do potecial perturbador do campo gravítico e suas quatidades relacioadas. Neste setido, cosideremos o caso em que a fução K(P,Q), a partir da qual são obtidas as covariâcias C Pi e C ij em (8) e (9), ão é a fução covariâcia de T, mas uma fução aalítica arbitrária da forma (4), com coeficietes k ão egativos satisfazedo a codição que série ifiita coverge para r,r > R. Tal fução K(P,Q), que é simétrica em P e Q e harmóica como fução de P e Q o exterior e sobre uma esfera de raio R, é chamada fução úcleo. Num espaço de Hilbert se um fucioal L P (f) = f(p) é limitado ( L( f ) M f ) etão existe um desigado úcleo reprodutor. Desigado por K P (Q) o represetate de L P etão (K P (Q), f(q) ) = f(p). Se o valor de P varia, temos uma aplicação K(P,Q): R 3 x R 3 R, ode o úcleo reprodutor é dado por: K(P,Q), f(q)) = f(p). O úcleo reprodutor pode aida ser expresso usado uma base ortoormal de forma: KPQ (, ) = f( Pf ) ( Q). Os espaços de Hilbert com estas características desigam-se por Espaços de i= i i Hilbert com Núcleo Reprodutor e têm um papel idispesável a determiação do potecial (Tscherig, 985). João Catalão - FCUL

13 Colocação por míimos quadrados Neste caso, a estrutura aalítica completa do campo gravítico perturbador é preservada: obtemos um campo gravitacioal completamete cosistete, o setido em que os dados observacioais l i são exactamete reproduzidos, e as várias quatidades estimadas s k se referem ao mesmo campo, em vista da ivariâcia em ordem à trasformação liear do sial. Dito de outra forma, os q dados l i ão determiam completamete o potecial T. Existem ifiitas fuções T(P) compatíveis com as observações, e a utilização de diferetes fuções úcleo K(P,Q) em (5) correspode a diferetes possíveis campos gravitacioais, todos iteramete cosistetes. Sabedo que, sob certas codições, a fução potecial perturbador T(P) é elemeto de um espaço de Hilbert, o osso objectivo cosiste a determiação da melhor aproximação a esta fução, segudo os pricípios clássicos de miimização de Gauss, ou seja míimos quadrados e míima variâcia. Para o efeito cosideremos um cojuto de elemetos lieares e idepedetes quaisquer g i H, com i=,,.. (H é um espaço de Hilbert), é possível ecotrar a úica melhor aproximação T ~ à fução T H (Tscherig, 985, p. 88): ~ T = i = a g i i o setido que ~ T -T teha a meor orma possível. Isto sigifica que, para qualquer cojuto b i, i=,..., se verificam as relações (ibid, p. 88): (5) ~ T T = T a i g i T b i g i i = i = (6) As costates {a i } da equação (5) são obtidas directamete da expressão matricial {(g i, g j )} {a j } = {(T, g i )} em que (η i, η i ) se refere ao produto itero etre dois vectores do espaço de Hilbert. De otar que, para determiarmos ~ T, é ecessário que T seja elemeto do mesmo espaço de Hilbert que as fuções g i, de modo que (T, g i ) possa ser calculado e de modo a que sejam calculados todos os produtos iteros. Se utilizarmos para g i os represetates dos fucioais correspodetes às observações g i =K(P,L i ), em que K(P,Q) é o úcleo reprodutor de um espaço de Hilbert que tem o potecial perturbador como elemeto, etão é coseguida a melhor aproximação liear: {(g i, g j )} {a j }= {K(L i, L j )} {a j } (7) = {(T, g i ) } = { (T, K(P, L i ) } = {L i T} em que L i T são quatidades observadas. Neste caso verificamos que (ibid, p. 9): João Catalão - FCUL

14 Colocação por míimos quadrados T { } { } { } ~ LT = a L( g ) = L T K( L, L ) K( L, L ) = LT i k i k k k = k = k j k j i (8) ou seja, existe uma igualdade etre as observações e os valores calculadas usado a melhor aproximação ~ T. A verificação desta codição é a base para a colocação por míimos quadrados. Uma fução ~ T é obtida de modo que a equação (8) é verificada e ~ T tem a orma míima etre os elemetos do espaço de Hilbert que verificam esta equação. Cosideremos o caso de um espaço vectorial de fuções harmóicas o exterior de uma esfera de raio R e regular o ifiito, com o seguite produto itero (ibid, p. 83)): π/ π ( fg, ) = fr (, ϕλ, ) gr (, ϕλ, )cosϕdλdϕ π 4 π/ π (9) em que a base ortoormal é dada pelas harmóicas esféricas sólidas completamete ormalizadas (veja-se Catalão (999)): V ij i+ R cos jλ i j (, r θλ, ) = i+ P ij (cos θ) r se jλ i j (3) O facto de termos exigido que H é composto de fuções regulares o ifiito tem como cosequêcia que só se podem usar fuções base com i>, (cofirmado o aterior resultado da fórmula de Stokes e a dedução da expressão 3). O úcleo reprodutor deste espaço é : ou seja K( P, Q) = V ( P) V ( Q) KPQ (, ) = i= i j= i R ij i+ i+ i= ( rr ) ij (3) P (cos ψ )( i+ ) (3) i A orma usada este exemplo é um ivariate rotacioal, ou seja, se duas fuções f e g se toram idêticas, após a rotação do sistema de coordeadas, etão f = g. Pode ser demostrado que todos os úcleos reprodutores de tais espaços têm a forma (ibid, p. 96): i+ R KPQ (, ) = σi Pi (cos ψ) (33) i= rr em que R> e σ i são costates positivas. Comparado esta expressão com a expressão (4) da covariâcia do potecial perturbador, verificamos que a adopção de uma orma João Catalão - FCUL 3

15 Colocação por míimos quadrados ivariate rotacioal equivale à itrodução do operador M também ele homogéeo e isótropo, a abordagem estatística. O problema cosiste a costrução de um úcleo reprodutor de tal modo que a aproximação a T seja a melhor possível. Neste espaço o cálculo de um valor, p.e. T(P), ~ deverá ser igual à combiação liear de valor observados, que se supõe serem também valores de T em certos potos, Q i : ~ TP ( ) = b T(Q ) (34) i= Pi i utilizamos o ídice P o coeficiete b para realçar que estes coeficietes depedem de P. O erro de estimação é ~ e P = T(P) T ( P ) = T(P ) b PiT(Q i ) e e = T(P) b T(P) T(Q ) + T(Q ) T(Q ) b b (35) P ip i i i k i k Pi Pk A ideia é determiar os coeficietes b Pi de tal modo que o valor médio de e P seja míimo para diferetes cofigurações do cojuto de potos {P, Q i, i=,...}. As diferetes cofigurações são obtidas por uma rotação em toro da origem. De modo a exprimir esta relação, itroduzimos o operador média M, ateriormete defiido (), e colocamos: e K ik = M{T(Q i ), T(Q k )} e K Pi = M{T(P), T(Q i )} (36) K = M{T(P) } em que K é fução covariâcia do potecial perturbador. Etão o valor médio de e P é dado por (ibid, p. 3): { } P P Pi Pi Pi Pk ik (37) i i k m = M e = K b K + b b K queredo miimizar esta expressão: ou de tal modo que m b P Pi = (38) K ik b Pk = K k= Pi (39) João Catalão - FCUL 4

16 Colocação por míimos quadrados ~ ( ) TP = i= ai KPi com { a } = { K } { T(Q } i ik k ) (4) Verifica-se facilmete que ~ T(Q i ) = T(Q i ) i=,... pelo que este procedimeto os forece a solução míimos quadrados. Teremos uicamete que provar que ~ T(P) é miimizado alguma orma. O que como sabemos se verificará se a fução covariâcia fôr o úcleo reprodutor de algum espaço de Hilbert de fuções harmóicas. Esta codição também é facilmete verificável se M for a média de todas as cofigurações obtidas por rotação em toro da origem como a fórmula (). Este aspecto aalítico da colocação por míimos quadrados é de grade sigificado básico teórico e prático. Mostra que uma fução úcleo geérica pode ser utilizada para obter um campo gravitacioal cosistete que é compatível com as observações. A fução covariâcia K(P,Q) ão pode ser determiada com exactidão empiricamete uma vez que para este fim ecessitamos da fução T(θ, λ) etrado em (). Ou seja, ecessitamos cohecer o potecial perturbador em toda a esfera r = R, o que obviamete ão é o caso. A fução covariâcia empírica utilizada será uma expressão aalítica ajustada aos dados e terá a característica de uma fução úcleo geérica. Uma iteressate cosequêcia da utilização da fução covariâcia como fução úcleo foi apotada por Tscherig (985). Uma vez que K(P,Q) da equação (3) é o úcleo reprodutor etão os vectores base são: V * ij σ i = ( i + ) / Podemos etão determiar a orma e produto itero se soubermos a expressão de uma fução em ordem à base V ij. Usado o desevolvimeto em harmóicas esféricas (6) e a expressão da orma, resulta: + T = [ am + bm ] (4) k = Se escolhermos K(P,Q) como fução covariâcia, etão k é dado pela expressão (3) e a expressão aterior simplifica-se: T = ( + ) (43) = Este resultado sigifica que a orma de T ão é fiita e, cosequetemete o potecial T ão pertece ao espaço de Hilbert H. Este facto, que a colocação por míimos quadrados partilha com a teoria da estimação de processos estocásticos, aparece mais como uma subtileza matemática do que como uma dificuldade prática. Cotudo, a prática, a fução covariâcia uca poderá ser determiada exactamete, uma vez que ecessitaria do cohecimeto de T ou g sobre toda a esfera terrestre e as fuções covariâcias V m= ij (4) João Catalão - FCUL 5

17 Colocação por míimos quadrados empírica podem sempre ser modificadas de tal maeira que (4) se tore fiita. Por exemplo, se as variâcias de grau k forem cohecidas com exactidão, será suficiete mudar k para k (+ ε), sedo ε positivo e tão pequeo quato se queira, para mudar a divergêcia de (4) para covergêcia. 5. Fução covariâcia A aplicação do método da colocação por míimos quadrados para efeitos da estimação do campo gravítico da Terra requer uma fução covariâcia que exprima/coteha as relações etre as observações e a relação etre as observações e as quatidades estimadas. Em geral podemos dizer que a fução covariâcia reflecte o comportameto do campo gravítico descrevedo a magitude da sua variação e da rugosidade. Do poto de vista estatístico, a fução covariâcia caracteriza a correlação estatística de duas quatidades do campo gravítico (por exemplo aomalias da gravidade) em dois potos distitos, ou seja a tedêcia que apresetam em ter a mesma magitude e o mesmo sial. A determiação da fução covariâcia é sempre ecessária seja como idicador do comportameto do campo gravítico uma determiada região seja o caso presete em que se pretede estimar ovos valores da aomalia da gravidade. Em pricípio a fução covariâcia da expressão 4 é por defiição uma fução covariâcia global. A sua determiação é feita com recurso ao cálculo de ifiitos coeficietes com base em observações distribuídas por toda a Terra. Tscherig ad Rapp (974) desevolveram algus modelos da fução covariâcia determiado uma expressão para a fução covariâcia empírica global. No estudo que pretedemos realizar, os dados estão distribuídos uma pequea região da Terra, pelo que deverá ser itroduzida alguma simplificação a determiação da fução covariâcia, desigado-se este caso por fução covariâcia local. A fução covariâcia local foi defiida por Goad et al. (984) que itroduziu esta oção como " um caso especial da fução covariâcia global em que a iformação de comprimeto de oda superior à extesão da área local é removida e é assumido que a iformação o exterior, mas juto à área, tem uma variação similar o seu iterior". Estes autores sugeriram também que os modelos de Tscherig ad Rapp deverão ser utilizados de modo a ajustarem uma expressão aos valores empíricos, da mesma forma que o caso global. A determiação da covariâcia local será efectuada para cada zoa estimado os coeficietes de um modelo paramétrico por meio do ajuste aos dados empíricos da fução covariâcia. A primeira decisão a tomar cosiste a defiição da dimesão óptima das zoas, pois se, por uma lado, deverão ser suficietemete grades para dispormos de suficietes dados de observação que cumpram a codição do método (média zero), por outro lado, devem ser suficietemete pequeas para o campo da gravidade seja homogéeo e isótropo. Mais aida, se pretedemos efectuar uma boa estimação da distâcia de correlação, devemos tomar João Catalão - FCUL 6

18 Colocação por míimos quadrados uma distâcia esférica pelo meos uma vez e meia a referida distâcia de correlação (Arabelos ad Tscherig, 988). 5. Estimação e modelação da fução covariâcia A escolha da fução covariâcia apropriada às muitas aplicações da colocação por míimos quadrados a estimação das várias compoetes do potecial perturbador é fução de vários parâmetros e é baseado em certos pressupostos relacioados com o campo gravítico. Adoptado a defiição da fução covariâcia K(P,Q), (expressão ), é hipótese que trabalhamos uma aproximação esférica e que a fução covariâcia é igual ao valor médio dos produtos dos valores de T(P) e T(Q), a qual a média é tomada sobre todos os pares de potos que têm a mesma distâcia esférica, e cosequetemete também o mesmo azimute α, de P para Q. Se o valor médio for calculado para uma região, com os limites defiidos por ϕ <ϕ<ϕ e λ <λ<λ, etão desigamos a fução covariâcia regioal em complemeto à covariâcia global. Em ambos os casos é suposto que os potos estão localizados à mesma altitude r e r, π φ KPQ (, ) = T(r,, ) T(r,, )cos d d d πa ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ α α= φ λ λ (44) em que A é a área do bloco defiido por (ϕ, ϕ ) e (λ, λ ), ψ é a distâcia esférica etre P e Q, e ϕ <ϕ <ϕ, λ <λ <λ. O cálculo desta expressão é feito por substituição dos itegrais por somas: m K( ψα, ) = T(R, ϕi, λi) T(R, ϕ j, λ j) p i= j= (45) em que T(R, ϕ, λ ) é zero se o poto é exterior à área defiida ateriormete e p é o úmero de produtos com Q a área, r=r = R, α é o azimute etre o poto P e Q. Em geral, as fuções K(α) para uma determiada distâcia esférica ψ ão são costates e dizemos que a fução covariâcia será aisotrópica. Uma medida da aisotropia, itroduzida por Forsberg (984), é a razão etre a distâcia de correlação máxima e míima. Uma fução covariâcia isótropa terá ídice. Felizmete, as pricipais aisotropias podem ser elimiadas por subtracção da atracção topográfica. Aida mais isótropo será o campo se subtrairmos também um campo geopotecial de ordem elevada. Este procedimeto ão é idispesável para o cálculo da equação (3), mas a estimação do erro calculado pela equação (6) será muito melhor se for utilizada uma João Catalão - FCUL 7

19 Colocação por míimos quadrados represetação ivariate rotacioal da fução covariâcia. No capítulo 6 será apresetado um estudo aprofudado sobre a isotropia da fução covariâcia a área de estudo. Na prática os valores de observação dispoíveis ão são valores de T mas fucioais lieares L p de T. Desigado por C(P,Q) a covariâcia das aomalias da gravidade os potos P e Q etão: C(P,Q) = cov ( g(p), g(q)) (46) K(P,Q) = cov (T(P), T(Q)) Utilizado a lei de propagação das covariâcias e a fórmula fudametal da geodesia física (.38) aplicada à expressão da covariâcia do potecial perturbador: obtemos R KPQ (, ) = k P (cos ψ ) (47) rr = + R ( ) CPQ (, ) = c P(cos ψ ) com c = k (48) rr rr = + Os coeficietes c desigam-se variâcias de grau e uma aálise harmóica de um cojuto de valores estimados para C g (ψ) permitirá determiar as primeiras variâcias de grau, em que depede do itervalo de amostragem. A estimação da fução covariâcia C g (ψ) com base um cojuto de aomalias gravimétricas é desigada por covariâcia empírica e os valores desta fução são obtidos por itegração umérica do valor médio dos produtos das aomalias reduzidas o mesmo itervalo de distâcia esférica ψ k, ou seja, de todos os pares de observações cuja distâcia esférica está compreedida etre ψ k- < ψ ij < ψ k estededo-se a todos os azimutes. Na prática, as observações são um cojuto discreto de potos distribuídos irregularmete o iterior de cada zoa, e o cálculo da fução covariâcia é realizado por itegração umérica. Se cada observação g i represetar o valor da aomalia uma pequea área A i e g j represetar o valor da aomalia uma pequea área A j etão segudo Kudse (987a, 988): AA i j gi gj ij Ck = C( g, g, ψ k) = AA i,j =,,... (49) ij i j em que é o úmero de aomalias gravimétricas ou equivaletemete o úmero de pequeas áreas A i. Quato mais pequeo for o itervalo da quadrícula de itegração maior será o úmero de dados que etram o cálculo, pudedo o limite etrarem todos os dados. Cotudo, é preferível uma distribuição espacial homogéea, em cada zoa, em oposição a um grade João Catalão - FCUL 8

20 Colocação por míimos quadrados úmero de dados irregularmete distribuídos, que implicaria ecessariamete um grade úmero de células sem dados. Se a área for dividida em pequeas células com uma observação cada, e A i e A j forem assumidas iguais etão esta expressão reduz-se (Kudse, 988): gi g j ij C k = N k i, j=,... (5) N k é o úmero de produtos o itervalo ψ k. Uma medida do erro associado a cada valor estimado da fução covariâcia poderá ser obtida com base a variâcia e o úmero de observações. O espaçameto etre observações, iteriores às células, é assumido tão pequeo quato o ecessário para que a fução observada correspoda ao comportameto real do campo. Cosiderado que cada célula possui uma úica observação, a estimação do erro para o valor C k é dado por (ibid) : C err = k (5) / em que é o úmero de células cobrido uma região. Prevedo a ocorrêcia de células vazias e cosequetemete a dimiuição do úmero de produtos a realizar a equação (5), os erros deverão ser divididos pelo verdadeiro úmero de produtos N k relativamete ao úmero de produtos esperado k, ou seja (Kudse, 987): err k lk = C o N k k com ( ϕ ϕ)( λ λ)/( ϕ λ) k = = πψ ( + ψ )( ψ ψ )/ ( ϕ λ) k> k k k k (5) A geeralização destas fórmulas para uma qualquer fução covariâcia, relacioado ' outras quatidades do campo gravítico, é obtida pela substituição de C por CC, com C ' represetado a fução covariâcia das observações l e C a fução covariâcia das observações l. O factor k / N k é o quociete etre o úmero de produtos esperado pelo úmero de produtos utilizado, pelo que quato maior o úmero de células vazias maior será este factor. Sedo o úmero de células vazias depedete da distribuição espacial das observações e do tamaho de célula escolhida, esta fórmula forece-os um costragimeto possível para a selecção do melhor passo de amostragem face aos dados dispoíveis (veja-se secção 6.5.). Da mesma maeira que a covariâcia do potecial perturbador se relacioa com a aomalia da gravidade, também se pode relacioar com qualquer outra quatidade do campo gravítico aplicado a lei de propagação das covariâcias. Deste modo: João Catalão - FCUL 9