APLICAÇÃO DE MÉTODOS DE BUSCA EM GRAFOS COM NÓS PARCIALMENTE ORDENADOS À LOCAÇÃO DE TORRES DE TRANSMISSÃO

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1 versão mpressa ISSN / versão onlne ISSN APLICAÇÃO DE MÉTODOS DE BUSCA EM GRAFOS COM NÓS PARCIALMENTE ORDENADOS À LOCAÇÃO DE TORRES DE TRANSMISSÃO João Neva de Fgueredo * Departamento de Engenhara de Produção e Sstemas Unversdade Federal de Santa Catarna Floranópols SC jneva@eps.ufsc.br Clóvs C. Gonzaga Departamento de Matemátca Unversdade Federal de Santa Catarna Floranópols SC clovs@mtm.ufsc.br * Correspondng author / autor para quem as correspondêncas devem ser encamnhadas Recebdo em 06/2002, aceto em 11/2002 após 1 revsão Resumo Este artgo aborda o problema de locação ótma de torres de transmssão como uma aplcação de métodos de busca em grafos com nós parcalmente ordenados com uma modelagem que aplca a este problema pela prmera vez o conceto de relações de preferênca entre nós. São prmeramente apresentados resultados sobre grafos e algortmos de busca. As restrções eletro-mecâncas e topográfcas à obtenção do camnho de custo mínmo são descrtas, são defndos os nós, arcos, custos, e camnhos, além de outros componentes do grafo e são descrtos os algortmos de otmzação utlzados. O trabalho ntroduz e demonstra a valdade de relações de preferênca entre nós, que são utlzadas (juntamente com comparações de custos) no processo de elmnação de camnhos. Este procedmento aumenta a efcênca dos algortmos de otmzação utlzados. Palavras-chave: locação de torres de transmssão; camnhos em grafos; otmzação seqüencal. Abstract Ths paper focuses on optmal transmsson tower spottng as an applcaton of search methods n a graph wth partally ordered nodes and for the frst tme models the problem usng preference relatons between nodes. Frst basc results from graph theory and search algorthms are presented. Electromechancal and topographcal constrants to obtanng the path of mnmum cost are descrbed, the nodes, arcs, costs and paths are defned, and the optmzaton algorthms are shown. The paper ntroduces and demonstrates the valdty of preference relatons between nodes. These are used together wth cost comparsons to elmnate paths. Ths procedure ncreases the effcency of the optmzaton algorthms. Keywords: transmsson tower spottng; paths n graphs; sequental optmzaton. Pesqusa Operaconal, v.23, n.1, p , Janero a Abrl de

2 Fgueredo & Gonzaga Aplcação de métodos de busca em grafos com nós parcalmente ordenados à locação de torres de transmssão 1. Introdução Este artgo apresenta algortmos para otmzação da locação de torres de transmssão e basea-se numa modelagem novadora do problema de locação de torres como um problema de decsões seqüencas com a construção recorrente de um grafo através da aplcação repetda de um operador sucessor. O trabalho ntroduz um processo de elmnação de camnhos no grafo baseado em relações de preferênca entre nós que não hava sdo utlzado anterormente para resolver este tpo de problema e que resulta em aumento de efcênca na determnação de uma lnha de transmssão de custo mínmo. O objetvo do trabalho é apresentar uma modelagem orgnal para o problema de locação de torres de transmssão que apresenta melhoras sobre algortmos consagrados por ncorporar a estes relações de preferênca entre nós. Acredtamos que esta forma de modelagem tem amplas aplcações em outros tpos de problemas. Nesta seção ntrodutóra é feta uma descrção do problema bem como um levantamento da lteratura de otmzação da locação de torres de transmssão. A segunda seção apresenta resultados báscos sobre algortmos de busca de camnhos de custo mínmo através de um grafo ordenado. A tercera seção apresenta a modelagem sugerda oferecendo defnções do grafo e seus componentes os nós, os arcos, os custos, os camnhos e um operador sucessor. A quarta seção apresenta o detalhamento da aplcação dos algortmos apresentados anterormente ao problema de locação. Descrção do problema. O projeto de uma lnha de transmssão compreende dversas etapas: especfcação das característcas elétrcas da lnha, escolha do traçado, determnação de característcas mecâncas das torres, levantamento topográfco e, fnalmente, a locação das torres de transmssão sobre o traçado escolhdo. Da etapa de determnação de característcas mecâncas das torres resulta a defnção dos tpos de torres que serão utlzadas na lnha. Resulta também desta etapa a especfcação detalhada de todos os lmtes mecâncos que cada tpo de torre pode suportar, as dversas alturas dsponíves para cada tpo de torre e o custo de cada par (tpo, altura) de torre. As restrções mecâncas são numerosas e ncluem esforço transversal máxmo, esforço vertcal mínmo para os cabos de transmssão e para os cabos pára-raos, trações longtudnas e transversas para cadeas em torres de suspensão bem como outras restrções partculares a torres de ancoragem e de suspensão. Os custos de cada torre dependem apenas de seu tpo e altura. A etapa segunte é a especfcação das restrções topográfcas com o completo levantamento do perfl do terreno ao longo do traçado da lnha. As restrções topográfcas ncluem a altura de segurança do cabo (altura mínma do cabo ao solo), a topografa do terreno, trechos de locação probda (como, por exemplo, ros e estradas a serem cruzados pela lnha) e pontos de locação obrgatóra. O cabo suspenso entre duas torres toma o formato de uma catenára, que neste trabalho (e normalmente) é aproxmada por uma parábola. Ela deve necessaramente superar uma dstânca mínma do solo em todos os pontos do perfl topográfco (a altura de segurança). A catenára de segurança é a catenára vrtual que tangenca o perfl topográfco, partndo do ponto na torre que representa sua altura decrescda da altura de segurança naquele ponto do traçado. Neste trabalho, o termo catenára é utlzado para sgnfcar catenáras de segurança, as lustrações mostram torres com catenáras de segurança e as torres têm suas alturas decrescdas da altura de segurança. Ao fnal desta etapa são conhecdas as restrções mecâncas e as restrções topográfcas para o problema e têm-se todos os dados para ncar o processo de otmzação os tpos e alturas (e conseqüentemente custos) das torres de transmssão, bem como a descrção completa do perfl topográfco do terreno. 210 Pesqusa Operaconal, v.23, n.1, p , Janero a Abrl de 2003

3 Fgueredo & Gonzaga Aplcação de métodos de busca em grafos com nós parcalmente ordenados à locação de torres de transmssão Os esforços mecâncos a que está submetda uma torre somente são determnados quando são conhecdas as localzações e alturas das duas torres adjacentes a ela, ou seja, o tpo e conseqüentemente o custo de uma torre depende de sua localzação e também da localzação e altura da torre que a precede e da torre que a segue no traçado. Conseqüentemente o procedmento de locação de torres passa pelo exame de trechos de perfl topográfco medatamente à frente da últma torre locada para dentfcar a melhor opção para a locação da próxma torre e determnar o tpo e o custo da torre anteror. Como será descrto abaxo, modelamos este problema através da utlzação de um grafo que ncorpora todas as opções possíves de locação para a lnha. Este grafo é crado recursvamente através de um operador sucessor aplcado de forma seqüencal às torres que compõem o extremo de lnha de transmssão mas promssor a cada momento. Após um breve resumo da lteratura será descrta a modelagem bem como os algortmos para solução do problema. Resumo da lteratura. A referênca mas antga menconando uma tentatva de elaboração de um algortmo para otmzação de torres de transmssão fo um modelo smples utlzando otmzação local, com uma pesqusa exaustva de opções de locação no trecho medatamente à frente da últma torre locada (enfoque sldng wndow). Este processo não forneca um resultado ótmo pos em cada ponto o horzonte de pesqusa se lmtava a examnar as opções para um grupo de três torres subseqüentes ver Bob, Dabeks & Fullerton (1963). A prmera modelagem de otmzação utlzando teora de grafos consderava um horzonte maor à frente de cada torre ou nó a ser expanddo, podendo este horzonte chegar a dez torres. Esta modelagem utlzou algortmos de otmzação em grafos, nclusve o algortmo A*, com mecansmos de análse estatístca dos pontos do perfl à frente da torre mas recentemente locada (função look ahead) para permtr o exame de um número dferente de torres em casos de perfl muto ou pouco acdentado ver Neva de Fgueredo (1978) e Neva de Fgueredo, Gonzaga & Maculan (1979). Mas recentemente outras abordagens foram tentadas utlzando varações do enfoque sldng wndow com horzonte lmtado ver, por exemplo, Çals (1992). Há pelo menos um exemplo de aplcação de programação dnâmca ao problema de otmzação na locação de torres de transmssão ver Cherdsant (1997). Esta aplcação também padece das lmtações do enfoque sldng wndow pos examna apenas três torres de cada vez dentfcando ótmos locas sem examnar o traçado ntero e conseqüentemente não encontrando um ótmo global. Além das referêncas ctadas acma não fo encontrada nenhuma ctação na lteratura que utlzasse algortmos de busca em grafos para a modelagem e otmzação de locação de torres de transmssão. Ademas, não fo encontrada na lteratura nenhuma referênca além daquelas ctadas acma que utlzasse algortmos seqüencas de otmzação para modelagem e mnmzação do custo de locação de torres de transmssão examnando o perfl topográfco em sua totaldade. 2. Algortmos de busca em grafos O problema de locação será formulado como um problema de busca de camnho de custo mínmo através de um grafo ordenado. Nesta seção apresentamos resultados báscos sobre grafos e algortmos de busca. Para uma descrção mas detalhada, veja Gonzaga (1978), Hart, Nlsson & Raphael (1968) e Nlsson (1971). Um grafo é caracterzado por um conjunto de nós N = { n1, n2, } e um conjunto de arcos,, cn, n 0. que são pares ordenados ( n n ) de nós. A cada arco é assocado um custo ( ) j j Pesqusa Operaconal, v.23, n.1, p , Janero a Abrl de

4 Fgueredo & Gonzaga Aplcação de métodos de busca em grafos com nós parcalmente ordenados à locação de torres de transmssão Um camnho é uma seqüênca de nós η = ( n, n,, 1 n 2 3 ) lgados dos a dos por arcos, e seu custo é a soma dos custos desses arcos. Dado um nó ncal s N e um conjunto alvo T N, busca-se entre todos os camnhos que unem s a algum nó de T, um que tenha custo mínmo. Nos algortmos de que trataremos aqu, os conjuntos de nós e arcos não são conhecdos a pror: tem-se um operador sucessor Γ, que assoca a cada nó n o conjunto de nós Γ ( n) (sucessores de n ) tas que nj Γ ( n) se e só se ( nn, j ) é um arco. A defnção de Γ para nosso problema fcará clara na próxma seção. O grafo pode ser construído recursvamente a partr de s por aplcações sucessvas do operador Γ. Isto será feto por algortmos de busca. Um algortmo de busca trval é o segunte: lste todos os camnhos possíves a partr de s e escolha entre os que atngem T um de mínmo custo. Bons algortmos constroem uma lsta de camnhos a partr de s, mas somente guardam um camnho entre s e cada nó, o mas barato encontrado. Portanto, os algortmos guardam lstas de camnhos e cada teração constró novos camnhos através da expansão do nó termnal de algum camnho lstado. Elementos lstados. Suponhamos que estão lstados os camnhos η = ( n, n,, 1 n 2 k ) e η j = ( nj, n,,, 1 j n 2 j n k jk + 1), com n = n,, 1 j n 1 = n k jk, sto é, η j é uma extensão de η. Obvamente há um desperdíco de memóra, podendo-se caracterzar η j por seu nó termnal e um apontador para η, a parte ncal do camnho. Assm, os camnhos lstados serão representados por trplas η = ( n, c, p), onde η é o nó termnal do camnho, c é seu custo, e p é um apontador para η p. A construção completa do camnho η, quando necessára, é feta por retroação (backtrackng) na lsta. Cada teração de um algortmo escolhe um camnho lstado e expande-o. Guardaremos duas lstas de camnhos: a lsta de fechados, contendo os camnhos que já foram expanddos e a lsta de abertos, contendo os camnhos que anda não geraram sucessores. Portanto, cada teração escolhe um camnho aberto e expande-o. Cada crtéro dferente de escolha do camnho a ser expanddo caracterza um algortmo de busca em grafos: busca horzontal (escolha do camnho mas antgo), busca em profunddade (escolha do camnho mas recente), algortmo de Djkstra (escolha do camnho mas barato) e algortmo A* (escolha do camnho mas promssor). Estes dos últmos são dscutdos adante. Vamos agora descrever um algortmo típco. Incalzação. Identfque elementos lstados como trplas η = ( ncp,, ), como descrevemos acma. Cre uma lsta abertos e uma lsta fechados, ncalmente vazas. Introduza em abertos o elemento η 0 = ( s,0, ), onde s é o nó ncal, o custo é nulo e o apontador é vazo. Passo 1. Escolha um elemento η = ( nc,, p) em abertos, transfra η para fechados. Se n T (alvo), termne. Passo 2: expansão. Aplque o operador sucessor Γ ao nó n, obtendo seus sucessores Γ ( n) = { n1,, nq}, e construa os camnhos sucessores η j = ( nj, c + c( n, nj), pj), j = 1,, q, onde p1 = = pq é um apontador para η. 212 Pesqusa Operaconal, v.23, n.1, p , Janero a Abrl de 2003

5 Fgueredo & Gonzaga Aplcação de métodos de busca em grafos com nós parcalmente ordenados à locação de torres de transmssão Passo 3: elmnações. Compare cada sucessor η j com todos os elementos lstados. Se exste algum elemento lstado com o mesmo nó termnal η = ( nj, c, p ), execute a segunte elmnação: se c cj, descarte η j ; senão, se η está em abertos, descarte η. Observe que nunca se elmnam fechados. Introduza em abertos os sucessores remanescentes e volte ao Passo 1. Termnação. Um camnho ótmo fo determnado. Reconstrua-o percorrendo a lsta fechados utlzando os apontadores retroatvamente. Especfcamos agora os algortmos que serão usados neste trabalho. Algortmo de Djkstra. escolhe-se no Passo 1 um elemento de custo mínmo entre os de abertos. Como resultado, mostra-se que os camnhos fechados η são sempre ótmos, sto é, de custo mínmo entre todos os camnhos de s a n. Quando um elemento do alvo é fechado, o problema está resolvdo. Algortmo A*. em certos problemas, exstem procedmentos que assocam a cada nó n N uma subestmatva hn ( ) para o custo de um camnho ótmo entre n e o alvo T. Tpcamente, tas estmatvas são obtdas pela resolução de um problema relaxado, obtdo retrando restrções do problema orgnal. O algortmo A* escolhe no Passo 1 um elemento η com mínmo valor de cj + h( nj ) entre todos os abertos η j. Assm sendo, a comparação de custos no passo 1 passa a ser de uma subestmatva do custo total de uma lnha cujo trecho ncal é o assocado a cada η j lstado ou sucessor. Também neste caso, mostra-se que os camnhos fechados são sempre ótmos, e que o problema é resolvdo ao fechar-se um elemento do alvo. Relações de preferênca. Em certos problemas é possível comparar nós com respeto à proxmdade em relação ao alvo. Isto é, mesmo não se conhecendo estmatvas como acma, pode haver uma ordenação parcal (uma relação de preferênca) entre nós do grafo. As relações de preferênca entre nós melhoram a efcênca dos algortmos de otmzação em grafos sem comprometer a otmaldade, conforme demonstrado em Gonzaga (1973). Essas relações tem sgnfcado descrto a segur: Dados dos nós n 1 e n 2, eles podem ou não ser comparáves. Se forem comparáves, deve-se ter: Se n 1 n 2, então um camnho de custo mínmo entre n 1 e T tem custo menor ou gual que qualquer camnho entre n 2 e T. Isto é, n 1 está mas próxmo de T do que n 2. É claro que sempre se tem n n. O crtéro de elmnações no Passo 3 passa a ser o segunte: compare η j com cada elemento lstado η = ( ncp,, ) e faça: Se c cj e n j n, descarte n j. Senão, se η está em abertos, camnhos fechados). cj c e n j n, elmne n da lsta (nunca se elmnam Pesqusa Operaconal, v.23, n.1, p , Janero a Abrl de

6 Fgueredo & Gonzaga Aplcação de métodos de busca em grafos com nós parcalmente ordenados à locação de torres de transmssão É fácl mostrar que um camnho ótmo nunca é elmnado por um não ótmo: suponha que um camnho η elmna um camnho η. Para cada n T, seja cnt ˆ (, ) o custo de um camnho ótmo de n a T. Sabe-se então que pela regra de elmnação, c c, e devdo a n n, cˆ( n, T) cˆ( n, T). O custo de um camnho ótmo ncando por η é menor ou gual a c + cˆ( n, T) c + cˆ( n, T), e portanto o camnho η pode ser gnorado. Regras de preferênca desse tpo são comuns em problemas de decsões seqüencas. Por exemplo, no planejamento da operação de sstemas hdroelétrcos em que um nó representa o estado dos reservatóros, um nó elmna outro quando o prmero corresponde a reservatóros mas cheos e as demas varáves assocadas a cada um desses nós são equvalentes. No planejamento da expansão de redes com capacdades nos arcos, uma rede (que é um nó do problema de planejamento) elmna outra se tver mas capacdade nstalada em todos os arcos. A arborescênca ótma. É nteressante notar que um algortmo de grafos como os que descrevemos mantém na lsta fechados apenas um camnho (ótmo) de s até cada nó. Isto caracterza uma arborescênca ótma do grafo. Quando o algortmo termna, encontrou-se não somente um camnho ótmo até o alvo, mas também camnhos ótmos até todos os nós termnas de camnhos em fechados. A este mecansmo chama-se mersão nvarante. 3. Modelagem do problema Fgura 1 Representação de dos nós adjacentes. Torres de tpo conhecdo são realçadas na fgura. 214 Pesqusa Operaconal, v.23, n.1, p , Janero a Abrl de 2003

7 Fgueredo & Gonzaga Aplcação de métodos de busca em grafos com nós parcalmente ordenados à locação de torres de transmssão Enuncado. O problema de otmzação da locação de torres de transmssão consste em determnar uma lnha de transmssão de custo mínmo satsfazendo restrções eletromecâncas e topográfcas de um traçado pré-escolhdo para a lnha. Dado este traçado, cada ponto do perfl topográfco é expresso por sua ordenada e abscssa e são defndos os obstáculos, os trechos de locação probda, os pontos de locação obrgatóra, e as alturas de segurança em cada ponto do perfl. É também dado do problema um conjunto de tpos de torres com característcas estruturas dferentes e alturas dscretas predetermnadas. As dversas restrções mecâncas defnem lmtes de utlzação para uma torre de determnado tpo. As restrções mas mportantes são a de esforço transversal máxmo (expressa pelo vão médo máxmo que um tpo de torre suporta) e esforço vertcal máxmo e mínmo (expressa pelo vão gravante máxmo e mínmo este somente no caso de torres de suspensão que um tpo de torre suporta). Estas e todas as outras restrções eletromecâncas (tas como ângulo máxmo, balanço de cadeas, etc.) são pré-defndas para cada tpo de torre. Dado um par (tpo, altura) de uma torre, é conhecdo o custo desta torre. O problema de otmzação na locação de torres de transmssão é um problema de mnmzação de custos em uma nfndade de possbldades de locações. Este problema é aqu modelado como um problema de busca de camnhos de custo mínmo em grafos. O que segue é o enuncado da modelagem do problema com a caracterzação do grafo através da defnção de seus nós, arcos, camnhos e custos. O prmero passo é a defnção de um nó. Nó. Um nó n do grafo é determnado por uma torre completamente conhecda seguda de outra torre com locação e altura conhecdos mas de tpo anda ndetermnado. Um nó n é caracterzado pela quíntupla: ( 1, 1, 1, 2, 2) n = x h T x h, onde x é a abscssa onde está localzada a torre j, j h j é a altura da torre j, T j é o tpo da torre j (ver Fgura 1). Um nó cuja segunda torre está no fm do perfl topográfco é um nó alvo. Arco. Um arco é um par ordenado de nós com uma torre concdente. Mas especfcamente, um arco compreende dos nós, o prmero dos quas tem uma torre de tpo conhecdo e uma torre de tpo não conhecdo (ver Fgura 2). No segundo nó deste arco a torre que não tnha seu tpo conhecdo no nó anteror já tem seu tpo determnado. Estas três torres têm satsfetas todas as restrções topográfcas e mecâncas a que estão sujetas. n n j é o custo da torre ntermedára deste arco, cujo tpo é agora conhecdo (o custo da segunda torre do nó n e da prmera torre do nó n j ). Custo. O custo assocado ao arco (, ) Camnho. Um camnho é uma seqüênca ordenada de nós lgados por arcos à qual se assoca uma seqüênca de torres que satsfazem a todas as restrções topográfcas e mecâncas para o trecho (ver Fgura 2). A últma torre de um camnho não tem seu tpo conhecdo a não ser que seja a torre fnal do trecho sendo otmzado. Dentre os camnhos que cobrem a totaldade do perfl topográfco, um camnho de custo mínmo é uma solução ótma para o problema de locação. Pesqusa Operaconal, v.23, n.1, p , Janero a Abrl de

8 Fgueredo & Gonzaga Aplcação de métodos de busca em grafos com nós parcalmente ordenados à locação de torres de transmssão Fgura 2 Representação do arco formado pelos nós da Fg. 1 e de um camnho. Operador sucessor Γ. Os sucessores de um nó n ( x1, h1, T1, x2, h2, ) ( 1, 1, 1, 2, 2 ) j j j j j j j 1 j 1 = são nós n = x h T x h com x = x2 e h = h2. Eles são obtdos por todas as possíves adções de uma nova torre tal que qualquer aumento na abscssa desta nova torre volara alguma restrção (ver Fgura 3). Obtém-se esta condção em dos passos. Prmero lança-se a partr da torre cujo tpo não fo anda defndo (a segunda torre do nó n, de abscssa x 2 e altura h 2 ) a catenára que tangenca o perfl topográfco. A catenára tangente de uma torre é obtda mnmzando o exo da aproxmação parabólca da catenára, dado por x xt L yt + hs y d = +, 2 W x xt para ( xy, ) no perfl do terreno, com x xt. Nesta equação ( xt, y t) e h t são a abscssa, ordenada e altura da torre t, h s é a altura da catenára de segurança na torre t (altura de segurança), W é o peso por metro do cabo condutor e L é a tração longtudnal do cabo. O segundo passo consste em locar nesta catenára as torres de alturas dsponíves tomando por base as nformações do perfl topográfco. Com a determnação de cada possível locação para a torre segunte estão determnados os possíves tpos da torre anteror (que é a prmera torre dos nós sucessores) e conseqüentemente seus custos. 216 Pesqusa Operaconal, v.23, n.1, p , Janero a Abrl de 2003

9 Fgueredo & Gonzaga Aplcação de métodos de busca em grafos com nós parcalmente ordenados à locação de torres de transmssão Fgura 3 Operador sucessor, admtndo três alturas dferentes para a segunda torre. O operador sucessor gera locações para a próxma torre ajustando todas as alturas de torres dsponíves à catenára tangente. Exstrão stuações em que, por lmtes de esforço mecânco na torre anteror, é necessáro explorar opções em que a torre segunte esteja localzada na abscssa mas dstante possível da torre anteror tal que esta anda seja de um tpo mas leve, e conseqüentemente, de custo mas baxo. Nestes casos, que somente excepconalmente farão parte do camnho de custo mínmo, a catenára não será tangente ao solo. Grafo. A aplcação do operador sucessor acma descrto permte a cração de sucessores de qualquer nó já crado. O grafo é construído teratvamente à medda que nós são expanddos por aplcações sucessvas do operador sucessor Γ, como descrto na seção anteror. 4. Algortmos e relações de preferênca entre nós Nesta seção, fazemos uma breve dscussão dos algortmos, descrevendo as subestmatvas utlzadas pelo algortmo A* e as relações de preferênca entre nós. O algortmo de Djkstra. O algortmo de Djkstra pode ser aplcado dretamente ao problema. Devdo ao fato de o problema ser de natureza contínua, dfclmente dos camnhos terão o mesmo nó termnal. Conseqüentemente haverá poucas elmnações de camnhos, e as lstas podem crescer explosvamente. Mesmo com a utlzação de tolerâncas para comparações entre nós, o número de elmnações pode ser nsufcente. O melhor método para reduzr as lstas consste na utlzação de uma relação de preferênca entre nós, descrta abaxo. O algortmo A*. O algortmo A*, que reduz o número de expansões fetas por Djkstra, depende de uma subestmatva para o custo de uma lnha de transmssão entre um nó dado e o fm do perfl topográfco. Esta subestmatva pode ser faclmente obtda através do cálculo do custo de uma lnha remanescente que tenha mesmo comprmento em um perfl topográfco perfeto com ondulações acompanhando as catenáras entre as torres. Pesqusa Operaconal, v.23, n.1, p , Janero a Abrl de

10 Fgueredo & Gonzaga Aplcação de métodos de busca em grafos com nós parcalmente ordenados à locação de torres de transmssão Relações de preferênca entre nós. Aqu este trabalho ntroduz uma relação de preferênca entre nós que permte detectar certas stuações em que um nó está mas perto do objetvo do que outro nó. A relação de preferênca permte a melhora dos algortmos de Djkstra e A* no Passo 3, permtndo-se que sejam elmnados da lsta de camnhos abertos todos os elementos cujos nós sejam guas ou pores que (ou seja, não preferíves ao defnção a segur) o nó resultante da expansão com custo c j (ou custo total estmado c j + h j no caso do A*) maor que este nó. Conforme descrto formalmente na Seção 2, η = ( n, c, p) elmna η j = ( nj, cj, pj) se n for preferível a n j e se cj c, ou seja, se η tem o mesmo nó termnal e é mas barato ou de mesmo custo. Esta alteração permte uma redução substancal na lsta de nós abertos e conseqüentemente um aumento sgnfcatvo na efcênca no processo. Fgura 4 Exemplo de dos nós satsfazendo a relação de preferênca. Defnção: Consdere duas quíntuplas ( x1, h1, T1, x2, h 2) e ( ˆ1, ˆ 1, ˆ ˆ 1, ˆ2, 2) x h T x h, dentfcando respectvamente os nós n e ˆn. Consdere anda as abscssas e e ê dos exos das catenáras lançadas a partr da segunda torre desses nós. ˆn n (o nó ˆn é preferível ao nó n ) se: xˆ1 x1 xˆ2 x2 ˆ h2 h2 (1) (2) (3) eˆ e (4) A condção (1) sgnfca que a abscssa da prmera torre do nó ˆn (que já tem seu tpo conhecdo) é maor ou gual que a abscssa da prmera torre do nó n (que também já tem seu tpo conhecdo), ou seja, esta torre não está mas perto do fnal do traçado do que aquela. 218 Pesqusa Operaconal, v.23, n.1, p , Janero a Abrl de 2003

11 Fgueredo & Gonzaga Aplcação de métodos de busca em grafos com nós parcalmente ordenados à locação de torres de transmssão A condção (2) sgnfca que a abscssa da segunda torre do nó ˆn (que anda não tem seu tpo conhecdo) é maor ou gual que a abscssa da segunda torre do nó n (que também anda não tem seu tpo conhecdo), ou seja, esta torre não está mas perto do fnal do traçado que aquela. A condção (3) sgnfca que a segunda torre do nó ˆn (que anda não tem seu tpo conhecdo) é menor ou gual que a segunda torre do nó n (que também anda não tem seu tpo conhecdo), ou seja, a altura da segunda torre do nó n não é menor que a altura da segunda torre do nó ˆn. A condção (4) sgnfca que a abscssa do exo da catenára traçada a partr da segunda torre do nó ˆn é maor ou gual que a abscssa do exo da catenára traçada a partr da segunda torre do nó n ou seja, o exo da catenára desta torre não está mas perto do fnal do traçado que o exo daquela (ver Fgura 4). Quando as condções (1), (2) e (4) acma são satsfetas smultaneamente, segue que o nó ˆn está mas avançado no perfl que o nó n. A condção (3) garante que se as segundas torres de ambos os nós receberem a mesma atrbução de tpo, a torre do nó ˆn não será mas cara que a do nó n. Justfcatva da relação de preferênca. A relação de preferênca será utlzada para elmnar camnhos lstados ou gerados: nformalmente, um camnho elmna outro quando seu custo é nferor e seu nó termnal é melhor. A afrmação a segur mostra que a relação de preferênca proposta está bem defnda. Afrmação. Dados dos nós ˆn e n, se ˆn n, então o custo de uma locação ótma de torres a partr de ˆn é menor ou gual que o custo de qualquer locação de torres a partr de n. Demonstração: Consdere dos nós ( ˆ ˆ ˆ nˆ = xˆ1, h1, T1, xˆ2, h2) e n ( x1, h1, T1, x2, h2) suponha que ˆn é preferível a n. = e Consdere uma locação de torres a partr da segunda torre de n até o nó alvo. Demonstra-se aqu que esta mesma locação poderá ser feta a partr da segunda torre de ˆn com custo gual ou menor. Basta examnar a prmera torre após x 2 na locação consderada e seja x 3 sua abscssa. Como eˆ e, a catenára com exo ê passa por baxo da catenára com exo e após o ponto de tangênca desta com o solo. Isto mplca dretamente que a prmera torre do perfl remanescente a partr de ˆη pode ser locada no mesmo ponto x 3, possvelmente com folga na catenára. O custo da lnha remanescente até o alvo é o mesmo nos dos casos por construção. Falta somente demonstrar que o custo da segunda torre do nó n é maor ou gual que o custo da segunda torre do nó ˆn. Das relações (1), (2), e (4) segue medatamente que o vão médo e o vão gravante da segunda torre de ˆn são menores ou guas que os respectvos vãos da segunda torre de n. Portanto o mesmo tpo de torre é acetável nos dos casos. Como ˆ h2 h2, o custo da segunda torre do nó ˆn é menor ou gual que o custo da segunda torre do nó n, completando a demonstração. Pesqusa Operaconal, v.23, n.1, p , Janero a Abrl de

12 Fgueredo & Gonzaga Aplcação de métodos de busca em grafos com nós parcalmente ordenados à locação de torres de transmssão Esta relação de preferênca pode ser faclmente ncorporada ao processo de elmnação de elementos da lsta de camnhos abertos ou de elementos sucessores recém-gerados nos algortmos de otmzação descrtos anterormente. Em cada comparação de custo entre elementos de nós guas ao gerado pelo operador sucessor na lsta de camnhos abertos, basta comparar o custo para todos os elementos cujos nós sejam guas ou melhores que nós de elementos da lsta. Este procedmento melhora os algortmos de busca por reduzr o tamanho das lstas de camnhos abertos sem perda de efcênca na determnação do camnho de custo mínmo. 5. Conclusão Este trabalho apresentou um algortmo para otmzação de locação de torres de transmssão que propõe a otmzação global de todo o traçado e utlza algortmos efcentes de busca em grafos, com a ncorporação de uma relação de preferênca entre nós além de comparações de custo. Este procedmento resulta em um aumento de efcênca na determnação de uma lnha de transmssão de custo mínmo. A modelagem em teora de grafos utlzada fo detalhada, foram descrtos os algortmos que se benefcam da ncorporação de relações de preferêncas entre nós, e fo descrta a relação de preferênca entre nós com demonstração de sua valdade. Referêncas Bblográfcas (1) Bob, R.; Dabeks, C. & Fullerton, F. (1963). Electronc Computer Permts Optmzed Tower Spottng of Electrc Transmsson Towers. IEEE Transactons on Power Apparatus and Systems, 66. (2) Çals, H. (1992). A Computer Program for Optmzaton of Tower Spottng. Tese de Mestrado, Gaz Unversty, Ankara, Turqua. (3) Cherdshant, S. (1997). A Computer Program for the Selecton of Optmum Statons and Heghts of Transmsson Towers. Tese de Mestrado, Kng Mongkut Insttute of Technology, Bangkok, Talânda. (4) Gonzaga, C. (1978). Busca de Camnhos em Grafos e Aplcações. I Reunão de Matemátca Aplcada, IBM, RJ. (5) Gonzaga, C. (1973). Estudo de Algortmos de Busca em Grafos e Sua Aplcação a Problemas de Planejamento. Tese de Doutorado, COPPE UFRJ, Ro de Janero. (6) Hart, P.; Nlsson, N. & Raphael, B. (1968). A Formal Bass for the Heurstc Determnaton of Mnmum Cost Paths. IEEE Transactons on Systems Scence and Cybernetcs, 4(2). (7) Neva de Fgueredo, J. (1978). Locação Ótma de Torres de Transmssão Utlzando Teora de Grafos. Dssertação de Mestrado. COPPE/UFRJ. (8) Neva de Fgueredo, J.; Gonzaga, C. & Maculan, N. (1979). Localzação Ótma de Torres de Transmssão Utlzando Teora de Grafos. Revsta Braslera de Pesqusa Operaconal, II(2), (9) Nlsson, N. (1971). Problem Solvng Methods n Artfcal Intellgence. McGraw-Hll Computer Scence Seres. 220 Pesqusa Operaconal, v.23, n.1, p , Janero a Abrl de 2003