TRANSFORMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANOS

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1 TRANSFRMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANS Parte III Transformações nos Espaços Tridimensionais GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR

2 TRANSLAÇÃ

3 TRANSLAÇÃ

4 TRANSLAÇÃ = + T = + T = + T T T T

5 EERCÍCI Uma estação total foi instalada, centrada e calada na posição denominada de P1. A altura de instalação do instrumento foi de 1,437 m. rientou-se o equipamento em relação à direção norte e, visou dois alvos de interesse (A1 e A2). Após, o processamento dos dados mensurados, obtiveram-se as seguintes informações: Ponto ocupado Ponto visado Az di A ,771 m P1 A ,296 m a) Calcular as coordenadas tridimensionais dos alvos, utilizando um sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais cuja origem situa-se no ponto cardã da estação total, o eixo z na direção da vertical, apontando para o zênite, o eixo y na direção do norte e o eixo x completando o terno dextrogiro. b) Calcular novas coordenadas tridimensionais dos alvos (,, ), transladando-se a origem do sistema para o alvo A1 e mantendo o novo sistema paralelo ao sistema anterior. c) A partir do sistema definido no item anterior (,, ), calcular novas coordenadas tridimensionais dos alvos (,, ), transladando na vertical a origem do sistema para que esta seja coincidente com a coordenada do ponto P1 ocupado pela estação total.

6 a) Coordenadas no sistema rigem no ponto cardã ( 0 = 0 = 0 = 0,000 m) SLUÇÃ = di sen sen Az = di sen cos Az = di cos ALV (m) (m) (m) A1-14,606-31,453 2,534 A2 2,263-54,753-12,894 A1 croqui (sem escala) N A2 E hi = 1, 567 m P1

7 b) Coordenadas no sistema rigem no ponto A1 = A1 = A1 = A1 SLUÇÃ ALV (m) (m) (m) A1 0,000 0,000 0,000 A2 16,869-23,300-15,428 A1 N croqui (sem escala) E A2 hi = 1, 567 m P1

8 c) Coordenadas no sistema rigem no ponto ocupado P1 ( P1 = 0,000 m) SLUÇÃ " = " = " = + A1 = + h i = + h i ALV (m) (m) (m) A1 0,000 0,000 3,971 A2 16,869-23,300-11,457 A1 Vista em perfil (sem escala) A1 hi = 1, 567 m E N P1

9 RTAÇÃ Transformação Conjunto de rotações (combinações) Matrizes de rotação

10 RTAÇÃ EM TRN D EI Matrizes de rotação

11 RTAÇÃ EM TRN D EI Matrizes de rotação θ R 1 θ = cos θ sen θ 0 sen θ cos θ

12 RTAÇÃ EM TRN D EI Matrizes de rotação

13 RTAÇÃ EM TRN D EI Matrizes de rotação R 2 θ = cosθ 0 sen θ sen θ 0 cosθ θ

14 RTAÇÃ EM TRN D EI Matrizes de rotação

15 RTAÇÃ EM TRN D EI Matrizes de rotação R 3 θ = cos θ sen θ 0 sen θ cos θ

16 REFLEÃ D EI Matrizes de reflexão

17 REFLEÃ D EI Matrizes de reflexão R1 =

18 REFLEÃ D EI Matrizes de reflexão

19 REFLEÃ D EI Matrizes de reflexão R2 =

20 REFLEÃ D EI Matrizes de reflexão

21 REFLEÃ D EI Matrizes de reflexão R3 =

22 RESUM Matrizes de rotação Matrizes de reflexão dextrogiro levogiro R 1 θ = cos θ sen θ 0 sen θ cos θ R1 = R 2 θ = cosθ 0 sen θ sen θ 0 cosθ R2 = R 3 θ = cos θ sen θ 0 sen θ cos θ R3 = CNVENÇÃ: (+) positivo sentido anti-horário dextrogiro

23 Modelo de Transformação BURSA-WLF i i i = (1 + δ). R3 ε z. R2(ε y ). R1 ε x. x i y i z i + x 0 y 0 z 0

24 Modelo de Transformação BURSA-WLF i i i = (1 + δ). R3 ε z. R2(ε y ). R1 ε x R ε. x i y i z i + x 0 y 0 z 0 R ε = cos ε z sen ε z 0 sen ε z cos ε z cos(ε y ) 0 sen(ε y ) sen (ε y ) 0 cos(ε y ) cos ε x sen ε x 0 sen ε x cos ε x U

25 Modelo de Transformação BURSA-WLF i i i = (1 + δ). R3 ε z. R2(ε y ). R1 ε x R ε. x i y i z i + x 0 y 0 z 0 R ε = cos ε z sen ε z 0 sen ε z cos ε z cos(ε y ) 0 sen(ε y ) sen (ε y ) 0 cos(ε y ) Quando se tratarem de pequenas rotações, a seguinte simplificação pode ser considerada: cos(ε i ) 1 e sen(ε i ) ε i De maneira que a matriz de rotação pode ser reescrita: cos ε x sen ε x 0 sen ε x cos ε x R ε = 1 ε z ε y ε z 1 ε x ε y ε x 1

26 EEMPL Parâmetros de transformação entre ITFS e WGS84 ( translações escala rotações só para pequenas rotações R ε = 1 ε z ε y ε z 1 ε x ε y ε x 1

27 TRANSFRMAÇÕES ENTRE SISTEMAS CARTESIANS 3D EEMPL Monitoramento do prédio do ponto de vista estrutural Crédito : PIMENTA, V. M. Disciplina de Prototipagem I - Maquete Virtual do Prédio da CT. Bacharelado em Expressão Gráfica, UFPR, 2015.

28 Determinação das coordenadas dos pontos dos alvos (Ai) no sistema, com origem no ponto cardã da Estação Total A4 A1 A3 A2

29 Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no sistema de coordenadas A1 A4 A3 A2

30 Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no sistema de coordenadas A1 A4 A3 A2 sistema é dextrogiro ou levogiro? Dextrogiro sem reflexão

31 Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no sistema de coordenadas A1 A4 A3 A2 Quantas translações e rotações serão necessárias para transformar o sistema no sistema?

32 Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no sistema de coordenadas A1 A4 A3 A2 +T Translação (Tx,Ty,Tz) da origem do sistema para a posição do ponto A1

33 Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no sistema de coordenadas A1 A4 A3 A2 +T Translação (Tx,Ty,Tz) da origem do sistema para a posição do ponto A1

34 Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no sistema de coordenadas A1 A4 A3 A2 R 2 (180 ) Rotação de 180 em torno do eixo u rotação de 180 em torno do eixo R 1 (180 )

35 Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no sistema de coordenadas A1 A4 A3 A2 R 2 (180 ) Rotação de 180 em torno do eixo

36 Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no sistema de coordenadas A4 θ A1 θ A3 A2 R 3 (θ) Rotação de θ em torno do eixo

37 RESULTAD modelo de transformação entre os sistemas A1 A4 A3 A2 Equação matemática = R 3 θ R T T T sentido da transformação

38 EERCÍCI folha impressa Escreva a equação matemática para transformar os sistemas em Matrizes de rotação Matrizes de reflexão dextrogiro levogiro R 1 θ = cos θ sen θ 0 sen θ cos θ R1 = R 2 θ = cosθ 0 sen θ sen θ 0 cosθ R2 = R 3 θ = cos θ sen θ 0 sen θ cos θ R3 = CNVENÇÃ: (+) positivo sentido anti-horário dextrogiro

39 EERCÍCI a) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -81 m -15 m +47 m 57

40 EERCÍCI SLUÇÃ a) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -81 m -15 m +47 m 57 Translação de para +47 m T = 81 m 15 m

41 EERCÍCI SLUÇÃ a) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -81 m -15 m +47 m 57 Rotação em torno do eixo R 2 ( 57 ) (-) sentido horário, dextrogiro

42 EERCÍCI SLUÇÃ a) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -81 m -15 m +47 m 57 = R 2 57 sentido da transformação m 81 m 15 m

43 EERCÍCI b) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -67m + 12m + 43m 64

44 EERCÍCI SLUÇÃ b) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -67m + 12m + 43m 64 Translação de para 67 m T = +43 m +12 m

45 EERCÍCI SLUÇÃ b) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -67m + 12m + 43m 64 Rotação em torno do eixo R 3 (+64 ) (+) sentido anti-horário, dextrogiro

46 EERCÍCI SLUÇÃ b) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -67m + 12m + 43m 64 Reflexão do eixo R3

47 EERCÍCI SLUÇÃ b) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -67m + 12m + 43m 64 = R3. R sentido da transformação 67 m +43 m +12 m

48 Treine em casa: Determine as equações matemáticas dos exemplos apresentados na aula de hoje, no sentido inverso, ou seja, transformar os sistemas

49 REVISÃ Multiplicação de matrizes M = internos iguais compatibilidade = Exemplo n externos dimensão da resultante

50 REVISÃ Exemplo n 1 Multiplicação de matrizes =1x9+2x6+3x3 M = =

51 REVISÃ Exemplo n 1 Multiplicação de matrizes =4x9+5x6+6x3 M = =

52 REVISÃ Exemplo n 1 Multiplicação de matrizes =7x9+8x6+9x3 M = =

53 REVISÃ Exemplo n 1 Multiplicação de matrizes =1x8+2x5+3x2 M = =

54 REVISÃ Exemplo n 1 Multiplicação de matrizes =4x8+5x5+6x2 M = =

55 REVISÃ Exemplo n 1 Multiplicação de matrizes =7x8+8x5+9x2 M = =

56 REVISÃ Exemplo n 1 Multiplicação de matrizes =1x7+2x4+3x1 M = =

57 REVISÃ Multiplicação de matrizes =4x7+5x4+6x1 M = =

58 REVISÃ Exemplo n 1 Multiplicação de matrizes =7x7+8x4+3x1 M = =

59 REVISÃ Multiplicação de matrizes M = internos iguais compatibilidade 9 6 = Exemplo n 2 externos dimensão da resultante

60 REVISÃ Multiplicação de matrizes M = = =1x9+2x6 Exemplo n 2

61 REVISÃ Multiplicação de matrizes M = = =4x9+5x6 Exemplo n 2

62 EERCÍCI Sejam os dos pontos A e B, cujas coordenadas são: PNT (m) (m) (m) A 315, , ,691 B 96,562-87,003-3,544 Calcule as coordenadas no novo sistema considerando as seguintes transformações : a) = R " + +47,000 m 81,000 m 15,000 m b) = R3. R " + 67,000 m +43,000 m +12,000 m

63 a) = R " + +47,000 m 81,000 m 15,000 m SLUÇÃ = cos 57 0 sen sen 57 0 cos ,000 m 81,000 m 15,000 m = cos 57 sen 57 sen 57 + cos ,000 m 81,000 m 15,000 m = cos " sen " + 47,000 m = 81,000 m = sen " + cos " 15,000 m PNT (m) (m) (m) A 370, , ,146 B 96, ,003-97,914

64 b) = R3. R " + 67,000 m +43,000 m +12,000 m SLUÇÃ = cos 64 sen 64 0 sen 64 cos ,000 m +43,000 m +12,000 m = cos 64 +sen 64 sen 64 + cos ,000 m +43,000 m +12,000 m = cos 64 +sen 64 sen 64 + cos ,000 m +43,000 m +12,000 m = cos " +sen " 67,000 m = sen " + cos " + 43,000m = + 12,000 m PNT (m) (m) (m) A 749,093 90, ,691 B -102,868-81,929 15,544