o anglo resolve a prova da 2ª fase da FUVEST

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1 o ango esove É tabaho pioneio. Pestação de seviços com tadição de confiabiidade. Constutivo, pocua coaboa com as Bancas Eaminadoas em sua taefa de não comete injustiças. Didático, mais do que um simpes gabaito, auiia o estudante no pocesso de apendizagem, gaças a seu fomato: epodução de cada questão, seguida da esoução eaboada peos pofessoes do Ango. No fina, um comentáio sobe as discipinas. a pova da ª fase da FUVEST A ª fase da Fuvest consegue, de foma pática, popo paa cada caeia um conjunto distinto de povas. Assim, po eempo, o candidato a Engenhaia da Escoa Poitécnica faz, na ª fase, povas de Língua Potuguesa (0 pontos), Matemática (0 pontos), Física (0 pontos) e Química (0 pontos). Já aquee que petende ingessa na Facudade de Dieito faz somente tês povas: Língua Potuguesa (80 pontos), Históia (0 pontos) e Geogafia (0 pontos). Po sua vez, o candidato a Medicina tem povas de Língua Potuguesa (0 pontos), Bioogia (0 pontos), Física (0 pontos) e Química (0 pontos). Paa efeito de cassificação fina, somam-se os pontos obtidos peo candidato na ª e na ª fase. Vae emba que a pova de Língua Potuguesa é obigatóia paa todas as caeias. A cobetua dos vestibuaes de 00 está sendo feita peo Ango em paceia com a Foha Onine. Código: 85805

2 FUVEST TABELA DE CARREIRAS E PROVAS LEGENDA LP Língua Potuguesa H Históia M Matemática G Geogafia F Física A Aptidão Q Química HE Habiidade Específica B Bioogia ÁREA DE BIOLÓGICAS PROVAS DA ª FASE E CARREIRAS/CÓDIGO VAGAS RESPECTIVOS NÚMEROS DE PONTOS Ciências Bioógicas São Pauo / 0 0 LP(0), Q(0), B(0) Ciências Bioógicas Ribeião Peto / 0 0 LP(0), Q(0), B(0) Ciências Bioógicas Piacicaba / 00 0 LP(0), Q(0), B(0) Medicina (São Pauo) e Ciências Médicas (Ribeião Peto) / 75 LP(0), F(0), Q(0), B(0) Educação Física Bachaeado / LP(0), F(0), B(0), H(0), A Espote Bachaeado / 8 50 LP(0), A, HE(0), B(0), Q(0) Enfemagem São Pauo / 60 LP(0), B(0), Q(0) Enfemagem Ribeião Peto / 0 80 LP(0), Q(0), B(0) Engenhaia Agonômica Piacicaba / 00 LP(0), M(0), Q(0), B(0) Engenhaia Foesta / 6 0 LP(0), M(0), Q(0), B(0) Cências dos Aimentos Piacicaba / 06 0 LP(0), B(0), Q(0) Famácia Bioquímica São Pauo / 50 LP(0), F(0), Q(0), B(0) Famácia Bioquímica Ribeião Peto / 0 80 LP(0), Q(0), B(0) Fisioteapia São Pauo e Ribeião Peto / 65 LP(0), F(0), Q(0), B(0) Fonoaudioogia São Pauo / 0 75 LP(80), F(0), B(0) Fonoaudioogia Bauu / 6 5 LP(0), F(0), Q(0), B(0) Fonoaudioogia Ribeião Peto / 8 0 LP(80), F(0), B(0) Medicina Veteináia / 80 LP(0), F(0), Q(0), B(0) Nutição / 8 80 LP(0), F(0), Q(0), B(0) Nutição e Metaboismo Ribeião Peto / 6 0 LP(0), F(0), B(0), Q(0) Odontoogia São Pauo / 5 LP(0), F(0), Q(0), B(0) Odontoogia Ribeião Peto / 5 80 LP(0), F(0), Q(0), B(0) Odontoogia Bauu / LP(0), F(0), Q(0), B(0) Psicoogia São Pauo / LP(0), M(0), B(0), H(0) Psicoogia Ribeião Peto / 56 0 LP(80), B(0), H(0) Teapia Ocupaciona S. Pauo e Rib. Peto / 60 5 LP(0), B(0), H(0) Zootecnia Piassununga 6 0 LP(0), M(0), B(0), Q(0) ÁREA DE HUMANAS PROVAS DA ª FASE E CARREIRAS/CÓDIGO VAGAS RESPECTIVOS NÚMEROS DE PONTOS Ates Cênicas (Bach.) / 08 5 LP(0), HE(0) Ates Cênicas (Lic.) / 0 0 LP(0), H(0), HE(80) Ates Pásticas 0 LP(0), H(0), HE(80) Música São Pauo e Rib. Peto SP 5 R. Peto 0 LP(0), HE(0) Cuso Supeio de Audiovisua / 5 LP(0), H(0), HE(80) Editoação / 5 LP(0), H(0) Jonaismo / 5 60 LP(0), H(0), G(0) Pubicidade e Popaganda / LP(0), H(0) Reações Púbicas / 8 50 LP(0), H(0) Bibioteconomia / 5 LP(0), H(0) Tuismo / 86 0 LP(0, H(0), G(0) Aquitetua São Pauo / 0 50 LP(0, F(0), H(0), HE(80) Aquitetua São Caos / 06 0 LP(80), H(0), HE(0) Administação São Pauo / 0 0 LP(0), M(0), H(0), G(0) Administação Ribeião Peto / 00 5 LP(0, M(0), H(0), G(0) Ciências Contábeis São Pauo / 8 50 LP(0), M(0), H(0), G(0) Ciencias Contábeis Ribeião Peto / 6 5 LP(0), M(0), H(0), G(0) Economia São Pauo / 80 LP(0), M(0), H(0), G(0) Economia Ribeião Peto / 0 5 LP(0), M(0), H(0), G(0) Economia Agoindustia Piacicaba / 8 0 LP(0), M(0), H(0), G(0) Gestão Ambienta Piacicaba / 50 0 LP(0), B(0, H(0) Dieito / 6 60 LP(80), H(0), G(0) Reações Intenacionais Bachaeado / 8 60 LP(80), H(0), G(0) Ciências da Infomação e da Documentação (Bachaeado) Ribeião Peto / 0 0 LP(80), H(0), G(0) Ciências Sociais / 0 LP(0), H(0), G(0) Fiosofia / 6 70 LP(80), H(0), G(0) Geogafia / 8 70 LP(0), H(0), G(0) Históia / 5 70 LP(0), H(0), G(0) Letas Básico / LP(80), H(0), G(0) Pedagogia São Pauo / LP(80), H(0) Pedagogia Ribeião Peto / LP(80), H(0), G(0) Oficia da PM de São Pauo Fem. / 6 5 LP(0) Oficia da PM de São Pauo Masc. / 6 5 LP(0) ÁREA DE EXATAS CARREIRAS/CÓDIGO VAGAS PROVAS DA ª FASE E RESPECTIVOS NÚMEROS DE PONTOS Engenhaia, Computação e Matemática Computação São Pauo; Engenhaia São Pauo; Matemática (Bachaeado) Matemática Apicada e Computaciona São Pauo / LP(0), M(0), F(0), Q(0) Metemática e Física São Pauo (Licenciatua) / LP(0), M(0), F(0) Matemática (Bachaeado e Licenciatua), Matemática Apicada e Computação Científica São Caos / 6 55 LP(0), M(0), F(0) Ciências Eatas São Caos (Licenciatua) / 6 50 LP(0), M(0) Computação São Caos /60 00 LP(0), M(0), F(0) Infomática São Caos /6 0 LP(0), M(0), F(0) Infomática Biomédica Ribeão Peto / 60 0 LP(0), M(0), F(0), B(0) Engenhaia Civi São Caos / LP(0), M(0), F(0) Engenhaias São Caos (Eética com enfase em Eetônica, Eética com enfase em Sistemas de Enegia e Automação, Mecânica, Podução Mecânica, Mecatônica, Computação) / 6 80 LP(0), M(0), F(0) Engenhaia Ambienta São Caos / LP(0), M(0), F(0), Q(0) Engenhaia Aeonáutica São Caos / 60 0 LP(0), M(0), F(0) Física São Pauo e São Caos (Bachaeado), Meteooogia e Geofísica, Matemática (Bachaeado), Estatística e Matemática São Pauo / 68 0 LP(0), M(0), F(0) Física Médica Ribeão / 66 0 LP(0), M(0), F(0) Ciêncas Geoógicas e Ambientais / LP(0), M(0), F(0), Q(0) Química (Bachaeado e Licenciatua) São Pauo / LP(0), M(0), F(0), Q(0) Licenciatua em Química São Pauo / 68 0 LP(0), M(0), F(0), Q(0) Bachaeado em Química Ambienta São Pauo / LP(0), M(0), F(0), Q(0) Bachaeado em Química São Caos / LP(0), Q(0) Química (Licenciatua) Ribeão Peto / 65 0 LP(80), Q(0) Engenhaia de Aimentos Piassununga / 6 00 LP(0), M(0), F(0), Q(0) Oceanogafia São Pauo / 6 0 LP(0), M(0), B(0), Q(0) Licenciatua em Geociências e Educação Ambienta / 66 0 LP(0), B(0) Matemática Apicada Ribeão Peto / 60 5 LP(0), M(80), G(0) Química (Bachaeado e Bachaeado com Atibuições Tecnoógicas) Ribeão Peto / 65 0 LP(80), Q(0)

3 MA E T T M Á I CA Questão O númeo de gos macados nos 6 jogos da pimeia odada de um campeonato de futebo foi 5,,,, 0 e. Na segunda odada, seão eaizados mais 5 jogos. Qua deve se o númeo tota de gos macados nessa odada paa que a média de gos, nas duas odadas, seja 0% supeio à média obtida na pimeia odada? Na pimeia odada, foam macados 5 gos em 6 jogos. A média, potanto, foi: Seja n o númeo de gos macados na segunda odada. Do enunciado: 5 + n = ( 5, ) (, ) 5+ n = n = 8 Resposta: Na segunda odada deveão se macados 8 gos. 5 6 = 5,. Questão Tês cidades A, B e C situam-se ao ongo de uma estada eta; B situa-se ente A e C e a distância de B a C é igua a dois teços da distância de A a B. Um enconto foi macado po moadoes, um de cada cidade, em um ponto P da estada, ocaizado ente as cidades B e C e à distância de 0km de A. Sabendo-se que P está 0km mais póimo de C do que de B, detemina a distância que o moado de B deveá pecoe até o ponto de enconto. A B P C 0 y y 0 Temos: 5 = 0 + y 0 = y 0 = y 0 Substituindo: 5(y 0) = 90 + y y = 0 y = 60 Resposta: B deveá pecoe 60km. Questão Um tiânguo ABC tem ados de compimentos AB = 5, BC = e AC =. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetiz eativa ao ânguo AĈB e CN é a atua eativa ao ado AB. Detemina o compimento de MN. FUVEST/00 5

4 Do enunciado, temos a figua: C Apicando o teoema da bissetiz intena no tiânguo ABC, temos: AC AM Ainda no tiânguo ABC, apicando o teoema dos co-senos, temos: (BC) = (AC) + (AB) AC AB cosâ = cosâ cosâ = No tiânguo etânguo ANC, devemos te: cosâ = BC = = AM = BM AM 5 AM AN () A 5 0 N () ( ) 5 M B AN De () e (), esuta =. Logo, AN = ( ) 0 0 Da figua, MN = AM AN (5). De (), () e (5), temos: 5 MN = MN = 0 Resposta: 0 0 Questão Considee a equação z = αz + (α )z, onde α é um númeo ea e z indica o conjugado do númeo compeo z. a) Detemina os vaoes de α paa os quais a equação tem quato aízes distintas. b) Repesenta, no pano compeo, as aízes dessa equação quando α = 0. a) Sendo z = + yi, com e y eais, temos: ( + yi) = α( + yi) + (α )( yi) y + yi = (α ) + yi y = (α ) y = y De y = y, temos: y = 0 ou =. º caso: De y = 0 e y = (α ), temos: = (α ) = 0 ou = α Nesse caso, z = 0 ou z = α. FUVEST/00 6

5 º caso: De = e y = (α ), temos: y = ( α ) y = α y = α Note que y IR se, e somente se, α 0, ou seja, α. Nesse caso, temos y =± e z = ± i α α. Potanto, temos z = 0 ou z = α e, com Logo, temos quato aízes distintas se, e somente se, α Resposta: b) Sendo α = 0, temos, do item anteio: Resposta: α e α. z = 0 ou z =, ou z = + i ou z = i,. α, z = + i α ou z = i α. Im (z) e α., (, 0) (0, 0) Re (z), Questão 5 O poduto de duas das aízes do poinômio p() = m + + é igua a. Detemina a) o vao de m. b) as aízes de p. Consideemos que m seja uma constante. Com essa condição, podemos afima que p é um poinômio de gau. Indiquemos suas aízes po, e, com = a) De = e =, temos =. De De + + = m + + = ( ), temos: m + = m = 7 Resposta: 7, temos: + + = + = FUVEST/00 7

6 = b) Resovendo o sistema, + = obtemos ( = + e = ) ou ( = e = + ) Potanto as aízes de p são os númeos, + e. Resposta:, + e. Questão 6 A figua abaio epesenta duas poias cicuaes C e C de aios R = cm e R = cm, apoiadas em uma supefície pana em P e P, espectivamente. Uma coeia envove as poias, sem foga. Sabendo-se que a distância ente os pontos P e P é cm, detemina o compimento da coeia. R C R C P cm P Do enunciado, temos a figua: F T E α A D α P β β T B G P Medidas em cm; A e B centos; T e T pontos de tangência. P P = T T Apicando o teoema de Pitágoas no tiânguo etânguo ADB, temos: (AB) = (AD) + (DB) ( AB) = + ( ) AB = 6cm. Ainda nesse tiânguo, temos: DB tgα = tgα = tgα = α = 60º e β = 0º AD ) Assim, os acos P FT e P GT medem, espectivamente, 0º e 0º. Potanto o compimento L da coeia é: 0º 0º L = + π + π 60º 60º L = 6( + π) cm. Resposta: 6( + π) cm ) FUVEST/00 8

7 Questão 7 Na figua abaio, os pontos A, B e C são vétices de um tiânguo etânguo, sendo ˆB o ânguo eto. C P B A Sabendo-se que A = (0, 0), B petence à eta y = 0 e P = (, ) é o cento da cicunfeência inscita no tiânguo ABC, detemina as coodenadas a) do vétice B. b) do vétice C. A medida do aio da cicunfeência é igua à distância de P à eta AB. Logo: = + ( ) O coeficiente angua da eta AB é. Logo, o coeficiente angua da eta BC é, e uma equação de BC é y = + q. Sendo m o coeficiente angua da eta AC,uma equação de AC é y = m. Como o ponto P dista das etas BC e AC,temos: + q 5 = + Do enunciado, podemos concui que q = 5. Logo, uma equação da eta BC é y = + 5. Devemos te: 5 = m m + ( ) = m = ou m = m m + = 0 5 q = 5 ou q = 5 Do enunciado, podemos concui que m =. Logo, uma equação da eta AC é y =. Assim, a) {B} = AB BC y = 0 y = + 5 B = (6, ) Resposta: B = (6, ) b) {C} = BC AC C = (, ) Resposta: C = (, ) y = + 5 y = FUVEST/00 9

8 Questão 8 Na figua abaio, cada uma das quato cicunfeências etenas tem mesmo aio e cada uma deas é tangente a outas duas e à cicunfeência intena C. C Se o aio de C é igua a, detemina a) o vao de. b) a áea da egião hachuada. a) Do enunciado, temos a figua: O O P O O Como O O é diagona do quadado O O O O,temos: OO = OO = + = ( + ) O,O,O,O... centos das cicunfeências etenas; P... cento da cicunfeência C. Resposta: ( + ) b) Sendo S : áea do quadado O O O O ; S : áea de cada um dos setoes cicuaes de ânguo centa 90, contidos nos cícuos etenos; S : áea do cícuo imitado pea cicunfeência C, temos que a áea S da egião hachuada é: S = S S S π S = ( ) π Como = ( + ), então S = 86 ( + π π). Resposta: 86 ( + π π) FUVEST/00 0

9 Questão 9 Seja m 0 um númeo ea e sejam f e g funções eais definidas po f() = + e g() = m + m. a) Esboça, no pano catesiano epesentado abaio, os gáficos de f e de g quando m = e m =. b) Detemina as aízes de f() = g() quando m =. c) Detemina, em função de m, o númeo de aízes da equação f() = g(). a) 0 f() = + f() = ( ) 0 f() = ( ) + f() = ( + ) Com m =, temos : g( ) = + ( = y). Com m =, temos: g() = + (= y ). Resposta: y y = + y = f() y = + 0 b) Com f() = g() e m =, temos: + = + ( ) + = + = = 0 ou = 0 + = + = 5 = 0 ou = 5 Resposta:, 0 5 e c) Note-se que, paa todo m, g( ) = 0. Potanto os gáficos de g() = m + m deteminam um conjunto de etas concoentes no ponto (, 0). y g() = m + m, m g() = + 0 g() = m + m, 0 m g() = Consideando-se a equação f() = g(), com m 0, confome o enunciado, temos: FUVEST/00

10 Resposta: Paa m = 0, há aízes distintas. Paa 0 m Paa m = Paa m, há aízes distintas., há aízes distintas., há aízes distintas. Questão 0 E No sóido S epesentado na figua ao ado, a base ABCD é um etânguo de ados AB = e AD = ;as faces ABEF e DCEF são tapézios; as faces ADF e BCE são tiânguos equiáteos e o segmento EF tem compimento. F C B Detemina, em função de, o voume de S. D A Do enunciado, temos a figua: E F C L B G K D J I A H FUVEST/00

11 Sendo FI a atua do tiânguo equiáteo ADF, temos: Do tiânguo etânguo FIJ, temos: (FI) = (IJ) + (FJ) = + ( FJ) FJ = Logo, o voume V de S pode se deteminado como sendo a soma do voume do pisma FGHELK com o dobo do voume da piâmide AHGDF. Potanto: V GH = FJ EF + AH AD FJ V = + FI = V = + 6 V = 5 Resposta: V = 5 FUVEST/00

12 CO MENT ÁRI O Uma pova tecnicamente bem eaboada: enunciados caos, questões que muitas vezes eigiam técnicas compatíveis com um eame de ª fase e tempo de pova adequado ao níve dos eecícios. Lamentamos, no entanto, que ea tenha sido tão pouco abangente. Houve concentação ecessiva em Geometia, em detimento de outos assuntos como Anáise Combinatóia, Pogessões Aitmética e Geomética, Pobabiidade, Funções Eponenciais e Logaitmicas. Notamos também a ausência da questão de Constuções Geométicas, que até o ano etasado apaecia nesta fase. NI C IDÊNCI A ASSUNTO Sistema Linea Poinômios Númeos Compeos Geometia Pana Geometia do Espaço Geometia Anaítica Funções Estatística Nº DE QUESTÕES FUVEST/00 5