RELAXAÇÃO LAGRANGEANA COM MÉTODO DE SUBGRADIENTE APLICADA NO PROJETO DE UMA REDE DE TELEFONIA MÓVEL

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1 Pesqusa Operacona e o Desenvovmento Sustentáve RELAXAÇÃO LAGRANGEANA COM MÉTODO DE SUBGRADIENTE APLICADA NO PROJETO DE UMA REDE DE TELEFONIA MÓVEL Luz Otavo Rbero Afonso Ferrera Facudade Integrada do Ceará otavor@yahoo.com.br Adrana Aparecda Rgoon Unversdade de Fortaeza argoon@ubb.com.br Pácdo Rogéro Pnhero Unversdade de Fortaeza pacdo@unfor.br Mako Magahães Rodrgues Unversdade de Fortaeza mako@unfor.br Eder Magahães Macambra Unversdade Federa da Paraíba Departamento de Estatístca eder@de.ufpb.br Resumo Este trabaho apresenta uma reaação Lagrangeana para o Probema de Atrbução Generazada com Restrções de Dversdade e Capacdade (PAG-DC). Este probema surge durante o projeto de uma rede de teefona ceuar e consste em encontrar uma atrbução de estações rádo base a hubs, a um custo mínmo, ta que as demandas de cada estação e a capacdade de cada hub sejam atenddas. O PAG-DC é conhecdo ser NP-dfíc. Aguns epermentos computaconas foram reazados com nstâncas reas e de grande porte usando a reaação Lagrangeana assocada ao método do subgradente. Os resutados computaconas ndcam que o agortmo proposto é capaz de encontrar bons mtantes nferores, e mostrou-se efcente na resoução de nstâncas de grande porte em um tempo computacona razoáve. Paavras-chaves: probema de atrbução, redes de teefona ceuar, reaação Lagrangeana. Abstract Ths paper shows a Lagrangean reaaton for the Generazed Assgnment Probem wth Dversty and Capacty Constrants (PAG-DC). Ths probem arsng n network desgn of ceuar networks. The PAG-DC conssts of assgnng base statons to hubs whch mnmzes a certan cost so that the dversty requrement s met and the hub s capacty s not eceeded. Ths probem s known as an NPhard probem. Some computatona eperments have been run on rea nstances usng the Lagragean reaaton together wth the subgradente method. The resuts show that proposed agorthm s abe to fnd good ower bounds n a reasonabe computatona tme. Keywords: assgnment probem, ceuar networks, Lagrangean reaaton.

2 Pesqusa Operacona e o Desenvovmento Sustentáve 1. Introdução Uma rede de teefona ceuar é bascamente formada por uma ou mas centras de comutação móves (do ngês Mobe Swtchng Center - MSC), e de váras Estações Rádo Base (ERB s). Essas ERB s são dstrbuídas de forma a atender toda área de cobertura no níve mínmo de sna de rádo freqüênca, garantndo uma quadade de conversação acetáve. Cada estação possu uma determnada capacdade defnda em termos de números de chamadas que podem ser fetas smutaneamente. Essa capacdade é determnada peo número de assnantes e peo número de canas desgnados para conduzr a carga de voz e o controe de rádo ao MSC. À medda que aumenta o número de usuáros em uma rede de teefona ceuar, aumenta também a necessdade de se adconar mas estações base à rede para atender à demanda desses novos usuáros, e aumenta também o custo de transmssão das estações base ao MSC. Dante dessas dfcudades, as operadoras de teefona procuram seeconar agumas estações rádo base para desempenhar o pape de concentradores (do ngês hubs). A soução adotada peas operadoras, no entanto, acarreta uma preocupação no sentdo de garantr a confabdade no envo (ou no recebmento) dos dados, ou seja, a questão de sobrevvênca da rede no caso de faha em um hub. Para sobrepor este probema, procura-se defnr uma topooga da rede em ane ou em árvore. A prmera usa a tecnooga SONET (Synchronous Optca Network) para os anés enquanto que a segunda topooga emprega a dversdade físca. A topooga em árvore permtrá as estações base adotarem uma dversdade físca dos enaces, e conseqüentemente, garantr que o tráfego de dados seja roteado em partes guas para todos os hubs, ao qua uma estação base esteja conectada, sem que os dados sejam perddos por competo em caso de faha de um dos hubs. Neste conteto, surge o Probema de Aocação Generazado com Restrções de Dversdade e Capacdade, doravante denomnado PAG-DC. O PAG-DC faz uso de uma topooga onde as estações base pertencem a árvores dferentes e o MSC representa o nó raz de cada árvore. As árvores são consttuídas de hubs (MSC e concentradores). A Fgura 1.1 apresenta uma rede de teefona ceuar com topooga em árvore para o PAG-DC cuja dversdade das estações é gua a 2. MSC Hubs ERB s Fgura Rede de teefona ceuar com topooga em árvore para o PAG-DC com dversdade gua a 2. O Probema de Aocação Generazado com Restrções de Dversdade e Capacdade consste em encontrar uma atrbução de estações rádo base a hubs, a um custo mínmo, ta que a demanda de cada estação base seja atendda e a capacdade de cada hub seja respetada. Em Kubat et a [9] é provado que o PAG-DC é um probema NP-dfíc. O objetvo deste trabaho é propor e souconar um modeo de programação near ntera msta para o panejamento de uma rede teefona ceuar ocazada na cdade de Fortaeza-CE, consderando 1734

3 Pesqusa Operacona e o Desenvovmento Sustentáve a dversdade gua a 1 para as estações rádo base. O probema resutante é um caso partcuar do PAG-DC, denomnado PAG-DC*, e que contnua sendo um probema NP-dfíc. Dversas abordagens vêm sendo propostas para o PAG-DC e suas varantes. Em Kubat et a [9], os autores apresentam váras heurístcas guosas e sugerem a apcação da técnca de reaação Lagrangeana. Neste trabaho, os autores encontraram souções de boa quadade para o PAG-DC com o emprego de reaação Lagrangeana. Em Bose et a. [3] e Kubat et a. [8] consderam o PAG-DC como um probema do tpo mut-período. Com sso, a ntenção dos autores é modear e tratar agumas aterações que possam ocorrer na rede ao ongo do tempo. Em [3] são propostas novas formuações nteras e heurístcas guosas para esse probema enquanto que em [8] os autores propuseram uma heurístca Lagrangeana e um agortmo branch-and-cut. Neste trabaho, devdo o sucesso do uso da técnca de reaação Lagrangeana na resoução do PAG-DC, e prncpamente na resoução de probemas de projeto de redes no conteto de teefona ceuar [4, 5, 14], propõe-se para a soução do PAG-DC* o emprego de um agortmo baseado na técnca de reaação Lagrangeana assocado ao método de subgradente. O restante deste trabaho é organzado como a segur. Na seção 2 é apresentado um modeo para o PAG-DC*. Uma reaação Lagrangeana assocada ao método de subgradente é apresentada na seção 3 para a soução do PAG-DC*. Na seção 4, aguns epermentos computaconas são reazados com a reaação Lagrangeana, utzando LINDO, para casos reas de uma operadora de teefona ceuar. Fnamente, na seção 5, são apresentadas concusões e dscutdos trabahos futuros. 2. Modeo matemátco para o PAG-DC* Para apresentação do modeo matemátco para o PAG-DC*, faz-se necessára à descrção do modeo proposto para o PAG-DC. Sejam: M = {1,..., m}, o conjunto de índces dos hubs; N = {1,..., n}, o conjunto de índces das estações rádo base; MSC, a centra de comutação; V = {v 1, v 2,..., v n }, o conjunto de estações rádo base a serem conectadas; H = {h 1, h 2,..., h m }, o conjunto de hubs; R = H {MSC}, o conjunto de hubs mas a MSC; Q = {T 1,..., Tq}, o conjunto de árvores, ta que, T T j =. Cada árvore possu como raz a MSC; S, a dversdade de cada estação base V; D, a demanda fa em número de fees DS0 (64 Kbps) de cada estação base V; K, a capacdade do enace dos hubs para o MSC em número de fees DS0 (64 Kbps); a j, uma constante, ta que, a j = 1 se o enace H faz parte do camnho entre o nó raz e o hub j H e a j = 0, caso contráro; c, o custo fo de nterconectar uma estação base V ao hub j R; b, o custo para adqurr hubs. Como a topooga da rede é em árvore, e cada estação base gera uma demanda D, que será envada para um nó desta árvore (hubs), pode-se defnr para cada ERB a varáve de decsão, ta que, = 1 se a estação V está conectada ao hub j R., e = 0, caso contráro. Aém dessa varáve, pode-se defnr uma outra, denotada por y, que ndca a quantdade de hubs a adqurr a fm de que a demanda que passa pea rede seja atendda. Com sso, o PAG-DC pode ser formuado como sendo o segunte probema de programação ntera msta, conforme apresentado em [9]: 1735

4 Pesqusa Operacona e o Desenvovmento Sustentáve (M) Mn j Tq y { 0,1 }, 0, = S D S 1, c, a j H Ky b, y V, H, V, q = 1,..., Q, V, j R, H. (1) (2) (3) (4) (5) (6) A função objetvo (1) busca mnmzar o custo de nterconectar as ERB s aos hubs e de adqurr mas capacdade, caso seja necessáro. As restrções (2) garantem a dversdade defnda, ou seja, que se a gação conectada a um determnado hub (ou dretamente ao nó raz) fahar nem todo o tráfego será perddo. Os possíves vaores utzados para a dversdade S,de cada estação, são 1, 2 e 3. As restrções (3) estabeecem a quantdade de capacdade a ser adqurda para cada enace. As restrções (4) mpedem que a céua seja gada a hubs de uma mesma árvore. As restrções (5) correspondem às restrções de ntegradade das varáves, e por útmo, as restrções (6) correspondem às restrções de não negatvdade das varáves y. Em seguda, reaza-se uma pequena modfcação no modeo (M) para que seja possíve a modeagem do PAG-DC*. Essa modfcação deve-se as egêncas da operadora de teefona ceuar onde fo desenvovdo o estudo. Nesta empresa, a dversdade físca dos enaces anda não é consderada. Com sso, temos S = 1, para cada V, e a emnação da constante a j do modeo matemátco. Aém dsso, já que a dversdade não é egda, podemos emnar as restrções (4). Assm, o PAG-DC* pode ser modeado como sendo o segunte probema de programação near ntera msta: (MS) Mn = 1, D { 0,1 }, c Ky, b y V, H, V, j R, y 0, H. H (7) (8) 1736

5 Pesqusa Operacona e o Desenvovmento Sustentáve 3. Agortmo de soução Nesta seção é apresentado um agortmo para a soução do PAG-DC*. Como dto anterormente, o PAG-DC* é um probema NP-dfíc, portanto encontrar uma soução ótma pode evar a um tempo computacona eevado. Assm, a egênca de obter boas souções, em um tempo computacona razoáve, por parte da operadora nos evou ao emprego de heurístcas. A avaação da quadade de uma soução obtda para um probema de otmzação combnatóra requer a geração de mtantes nferores e superores. O mtante superor representa uma soução váve e pode ser obtda através de uma heurístca. Já o mte nferor pode ser obtdo reaando agumas restrções consderadas dfíces do probema (veja [16]). Uma das técncas de geração de mtantes nferores é a reaação Lagrangeana ([6, 7]). Esta técnca consste em reaar restrções dfíces do probema, ançando-as como termos adconas na função objetvo. A voação destas restrções é penazada peo uso de mutpcadores de Lagrange assocados a cada uma destas restrções reaadas. O probema de cacuar os mutpcadores de Lagrange que mamzem o probema reaado é denomnado de probema Lagrangeano dua. Para resover o probema reaado comumente é empregado o método de subgradente. Em seguda, dscute-se a obtenção de mtantes nferores e superores para o PAG-DC*. Os mtantes nferores são obtdos com o emprego de uma reaação Lagrangeana e os mtantes superores através de uma heurístca guosa. Vae ressatar que a atuazação dos mutpcadores de Lagrange é feta através do método de subgradentes. 3.1 Lmtante nferor No modeo matemátco (MS) têm-se dos conjuntos de restrções, (7) e (8), que podem ser consderados como compcantes para a resoução do modeo. No prmero conjunto, tem-se uma atrbução, ou partconamento, de eementos. Já no segundo tem-se uma restrção do tpo mocha. Assm, devdo a essa dfcudade ntrínseca das restrções, pode-se adotar a reaação de cada uma deas. Seja λ, para todo V, o conjunto de mutpcadores assocado às restrções (7). A reaação Lagrangeana do modeo obtda com a defnção de λ, após a reorganzação dos termos da função objetvo, é defnda por: Z y RL ( λ) = Mn D { 0,1 }, Ky, b y H, V, j R, 0, H. c H λ 1 (9) Assuma agora que α 0, para todo H, denote o conjunto de mutpcadores assocados às restrções (8). Assm, a reaação Lagrangeana obtda com esse conjunto de mutpcadores α é epressa por: 1737

6 Pesqusa Operacona e o Desenvovmento Sustentáve Z y RL ( α ) = Mn = 1, V, { 0,1 }, V, j R, 0, H. c H b y α H D Ky (10) Para quaquer conjunto de mutpcadores de Lagrange λ e α, a reaação Lagrangeana fornece uma soução, Z RL (λ) ou Z RL (α), que é sempre menor ou gua à soução do probema orgna (veja [7]). Assm, quanto maor for o vaor da soução, mehor será o mtante nferor para o PAG- DC*. Como dto anterormente, o probema de encontrar o conjunto de mutpcadores que mamzem a soução do probema Lagrangeano é denomnado de Lagrangeano dua. No caso do PAG-DC* como foram defndos dos probemas Lagrangeanos, temos dos probemas Lagrangeanos duas para serem resovdos, conforme abao: Z LD (λ) = ma {Z RL (λ) λ é rrestrto}, (11) Z LD (α) = ma {Z RL (α) α 0}. (12) 3.2 Método subgradente O método subgradente é o mas utzado para a resoução do Lagrangeano dua. Em seguda, apresenta-se uma descrção sucnta do funconamento deste método. Após esta descrção, apca-se o método do subgradente para a soução dos probemas (11) e (12). Dado um conjunto de mutpcadores de Lagrange, o probema reaado é souconado, gerando um mtante nferor, e os subgradentes correspondentes à soução reaada são cacuados. Utzam-se, então, os subgradentes na atuazação do conjunto de mutpcadores, vsando à obtenção de um novo mtante nferor, de maor vaor do que o anteror. O processo é repetdo até que os mtantes nferores e superores sejam guas ou até que seja atngdo um gap de duadade. O mutpcador de Lagrange λ, na (k1)-ésma teração, é cacuado por: λ k1 = λ k t k gλ k ( k ), para todo V, (13) onde t k é um escaar postvo, denomnado tamanho do passo, gλ k ( k ) é o vetor subgradente de Z RL (λ), e k representa o vaor ótmo das varáves na soução do probema Z RL (λ). Já o segundo mutpcador de Lagrange α, na (k1)-ésma teração, é cacuado por: α k1 = ma{0, α k s k gα k ( k,y k ), para todo H, (14) onde s k é um escaar postvo, denomnado tamanho do passo, gα k ( k, y k ) é o vetor subgradente de Z RL (α), e ( k,y k ) representa o vaor ótmo das varáves e y na soução do probema Z RL (α). Os vetores dos subgradentes menconados nas equações (13) e (14) são defndos, respectvamente, como: gλ k ( k ) = 1, para todo V, (15) 1738

7 Pesqusa Operacona e o Desenvovmento Sustentáve gα k ( k,y k ) = D Ky, para todo H. (16) H O tamanho do passo, t k, a ser tomado em dreção ao subgradente quando reaamos a restrção (7) é: t k = π[z ub Z RL (λ k )] / gλ k 2, (17) onde π é um escaar defndo no ntervao 0 < π 2 e Z ub representa o mtante superor conhecdo até o momento. O vaor π é utzado para reguar o tamanho do passo, e conseqüentemente, a veocdade de convergênca do método de subgradente. Já para a restrção (8), o tamanho do passo, s k, é defndo por: s k = π[z ub Z RL (α k )] / gα k 2. (18) Descrto todos os pontos báscos do método subgradente que utzaremos, pode-se agora apresentar o agortmo empregado na resoução do PAG-DC*. Prmero apresentamos uma versão desse agortmo utzando o mutpcador de Lagrange λ, depos fazemos menção das aterações que deverão ser fetas para o caso de onde utzaremos o mutpcador de Lagrange α. Ambos os agortmos são baseados na descrção em [2]. Agortmo 1 1. Faça LI = -, LS =, k = 0 e π = Incaze os mutpcadores de Lagrange λ k, para todo V. 3. Faça k = k Cacue o mtante nferor Z RL (λ). 5. Se (Z RL (λ) > LI) 6. então LI = Z RL (λ). 7. senão vá para o passo Cacue um mtante superor Z ub. 9. Se (Z ub < LS) 10. então LS = Z ub. 11. Se (LI = LS) ou (LS LI < 0,00001) 12. então retorne(li). 13. Cacue o subgradente gλ k Se gλ k1 = então PARE. 16. Se LI não é ncrementado a 30 terações 17. então π = π / Cacue o tamanho do passo t k. 19. Atuaze os mutpcadores de Lagrange λ k Se (π < 0,001) 21. então PARE. 22. senão vá para o passo 3. O Agortmo 2 é obtdo fazendo-se as devdas trocas para o mutpcador de Lagrange α nos passos 2, 4-7, 13-15, 18 e 19 do Agortmo 1. Ambos os agortmos utzam o vaor 1,05Z ub na equações (17) e (18). Essa constante é um vaor empírco e fo sugerda por Beasey [2] para a mpementação de uma reaação Lagrangeana. A mesma observação empírca pode ser feta para o vaor 30 no passo 16. Em seguda, apresentamos uma heurístca guosa para o cácuo de Z ub. 1739

8 Pesqusa Operacona e o Desenvovmento Sustentáve 3.3. Lmtante superor Nesta seção descreve-se a heurístca utzada para obter o mte superor (Z ub ) que aua no cácuo do tamanho dos passos descrtos em (17) e (18). Na seção 2 defne-se para cada ERB a varáve de decsão, ta que, = 1 se a estação V está conectada ao hub j R., e = 0, caso contráro e y, ndcando a quantdade de hubs a adqurr. Para obtenção do mte superor supõe-se que = 1 para todo V e j R adconado à dvsão da quantdade tota de ERB s pea menor quantdade de portas de um hub, obtendo, dessa forma, o custo mámo de aocação para a função objetvo (1). Apca-se um percentua de correção de até 3 %, conforme sugerdo em Macuan [12]. 4. Resutados computaconas Nesta seção apresentamos aguns resutados computaconas reazados com o modeo e a reaação Lagrangeana propostos para o PAG-DC*. Os epermentos foram reazados em um computador IBM-PC, com processador Pentum de 1.2 MHZ com 256Mb de memóra RAM. Para a resoução do modeo fo utzado o pacote comerca de otmzação LINDO 6.1 [10]. As nstâncas utzadas nos epermentos representam casos reas de uma empresa de teefona de ceuar de Fortaeza. A caracterzação de cada nstânca será feta através de três parâmetros: número de estações rádo base, número de concentradores (hubs) e número de comutadores (MSC). O conjunto de nstâncas testes é apresentado na Tabea 1. Instânca # ERB s # hubs # MSC Tabea 1: Caracterzação das nstâncas utzadas nos epermentos. Os resutados obtdos para as nstâncas testadas com o pacote de otmzação LINDO 6. são apresentados na Tabea 2. A prmera couna desta tabea ndca o número da nstânca, a segunda couna o vaor da reaação near, a tercera couna o ótmo ntero, a quarta couna ndca o gap entre o vaor z* da soução ótma e o vaor z da reaação near, ou seja, Δ = [ (z* - z ) / z*] 100, (19) Instânca Z Z* Δ (%) , , , , , , , , Tabea 2: Resutados da eecução do LINDO. 1740

9 Pesqusa Operacona e o Desenvovmento Sustentáve É possíve observar na Tabea 2 que as nstâncas testadas representam probemas reas de dfíc soução. Isto pode ser vsto através do vaor do gap que estão maor do que 0,5%. A Tabea 3 e 4 mostram, respectvamente, os resutados obtdos pea reaação Lagrangeana para as nstâncas descrtas na Tabea 1 através do Agortmo 1 e 2. O sgnfcado das counas destas tabeas são os seguntes: a prmera couna ndca o número da nstânca, a segunda couna o vaor obtdo na reaação Lagrangeana, a tercera couna o ótmo ntero, a quarta couna ndca o gap entre o vaor z* da soução ótma e o vaor LI da reaação Lagrangeana, ou seja, Θ = [ (z* - LI ) / z*] 100, (20) Instânca LI z* Θ (%) , , , , , , , ,12570 Tabea 3: Resutados obtdos pea reaação Lagrangeana através da eecução do Agortmo 1. Instânca LI z* Θ (%) , , , , Unbounded Unbounded Unbounded Unbounded Tabea 4: Resutados obtdos pea reaação Lagrangeana através da eecução do Agortmo 2. Anasando os resutados das Tabeas 3 e 4, verfca-se que ambos os agortmos obtveram souções de boa quadade para o PAG-DC* e o tempo computacona fo nferor a 5 segundos, enquanto que, em Aguar [1] o tempo, para resoução dessas mesmas nstâncas, fo superor a 30 mnutos. Ressata-se que o Agortmo 1 obteve mehores mtantes nferores do que os obtdos peo Agortmo 2 e pea reaação near. 1741

10 Pesqusa Operacona e o Desenvovmento Sustentáve 5. Concusões Neste trabaho propomos um modeo de programação ntera msta para um probema que surge em uma operadora de teefona móve. O probema em questão, PAG-DC*, corresponde a um caso partcuar do Probema de Atrbução Generazada com Restrções de Dversdade e Capacdade. O PAG-DC* é um probema NP-dfíc. Assm, devdo a sua compedade e o fato de obtermos souções de boa quadade em um tempo computacona razoáve, foram desenvovdos e mpementados dos agortmos de reaação Lagrangeana assocado ao método de subgradente para o PAG-DC*. Esses agortmos foram obtdos de acordo com a restrção reaada do modeo. Os resutados obtdos com o emprego dos agortmos propostos demonstraram ser efcente aos nossos propóstos vsto que o vaor do gap obtdo com estes agortmos fo mehor do que o gap obtdo na reaação near, e o tempo computacona, para a obtenção de um mtante nferor de boa quadade, fcaram em segundos. Uma dreção futura para o trabaho sera verfcar formas de se obter mehores mtantes nferores e superores com o ntuto de dmnur anda mas o gap obtdo com o emprego dos agortmos propostos para a resoução do PAG-DC*. Com reação aos mtantes superores podera pensar na utzação de metaheurístcas (vde, [13]). Já com reação à determnação de mehores mtantes nferores poder-se-am utzar a técnca de reaação Lagrangeana/surrogate (veja, [15]) ou o emprego de panos-de-cortes facas (veja, [11]). Referêncas bbografa [1] Aguar, Aee Barbosa. Um Modeo de Otmzação para Teefona Ceuar, Monografa. Unversdade de Fortaeza, [2] Beasey, J. E. Lagrangean Reaaton, Modern Heurstc Technques for Combnatora Probems (edtor C. Reeves), Backwe Scentfc Pubcatons, [3] Bose, I., Eryarsoy, E. e He, L. Mut-perod desgn of survvabe wrees access networks under capacty constrants. Decson Suport Systems, 38: , [4] Cabra, G.; Santos, K. ; Mateus, G. R. Probema de Panejamento de Redes Ceuares de Tercera Geração, consderando Estações Rádo-Base, Controe de Potênca e Mútpos Servços. Anas do Workshop de Comuncação sem Fo e Computação Móve, v. 1, pp , [5] Dutta, A. e Kubat, P. Desgn of partay survvabe networks for ceuar teecommuncaton systems. European Journa of Operatona Research, 118:52 64, [6] Fsher, M. L. The Lagrangan-method of sovng nteger programmng probems. Management Scence, 27(1):1-18, [7] Geoffron, A. M. Lagrangean reaaton ends ts uses n nteger programmng. Mathematca Programmng Study, 2:82 114, [8] Kubat, P e Smth, J. MacGregor. A mut-perod network desgn probem for ceuar teecommuncaton systems. European Journa of Operatona Research, 134: , [9] Kubat, P., Smth, J. MacGregor e Yum. C. Desgn of ceuar networks wth dversty and capacty constrants. IEEE Transactons on Reabty, 49: , [10] LINDO Systems Inc. Manua do usuáro, LINDO

11 Pesqusa Operacona e o Desenvovmento Sustentáve [11] Lucena, A. Stener probem n graphs: Lagrangean reaaton and cuttng-panes. COAL Buetn, Mathematca Programmng Socety, 21:2 8, [12] Macuan, Neson; Andrade, Rafae; Lucena, Abío. Usng Lagrangan Dua Informaton To Generate Degree Constraned Mnmum Spannng Trees, COOPE, [13] Martns, S. L. e Rbero, C. C. Metaheurstcs and appcatons to optmzaton probems n teecommuncatons, Handbook of Optmzaton n Teecommuncatons (edtores P. Pardaos e M.G.C. Resende), Sprnger-Verag, a ser pubcado, [14] Mazzn, F. F.; Mateus, G. R.; SMITH, J. MacGregor.. Lagrangean Based Methods for Sovng Large Scae Ceuar Network Desgn Probems. Wreess Networks, 9(6): , [15] Narcso, M.G.e Lorena, L.A.N. Lagrangean/surrogate reaaton for generazed assgnment probem. European Journa of Operatona Research, 114: , [16] Wosey, L. A. Integer programmng. John Wey & Sons,