XLVI Pesquisa Operacional na Gestão da Segurança Pública

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1 ALGORITMO HÍBRIDO COM CS E BRKGA APLICADO AO PROBLEMA DE ALOCAÇÃO DE BERÇOS Carlos Zaca Pomar 1Unversdade Federal de São Paulo UNIFESP, Insttuto de Cênca e Tecnologa Rua Taln, 330, CEP , São José dos Campos, SP, Brasl cpomar@sabesp.com.br Antono Augusto Chaves 1Unversdade Federal de São Paulo UNIFESP, Insttuto de Cênca e Tecnologa Rua Taln, 330, CEP , São José dos Campos, SP, Brasl antono.chaves@unfesp.br RESUMO Este trabalho aborda o problema de alocação de berços (PAB), que busca mnmzar o tempo de atendmento dos navos nos portos. Esse problema possu forte nteresse teórco e prátco, devdo ao crescmento da economa mundal e ao comérco nternaconal de bens que têm estmulado, recentemente, a demanda por servços de transporte marítmo. A metodologa consste no estudo e aplcação de um algortmo híbrdo baseado nas meta-heurístcas Based Random Key Genetc Algorthm (BRKGA) e, Clusterng Search (CS) para resolver de forma heurístca o PAB. Incalmente, o BRKGA é aplcado de forma solada e depos como gerador de soluções para o processo de agrupamento do CS. Os testes computaconas com nstâncas dsponíves na lteratura valdaram o método, pos ele fo capaz de encontrar todas as soluções ótmas. Paralelamente, verfcou-se um benefíco mútuo: o BRKGA smplfcando o processo de agrupamento do CS e este provendo efcênca e robustez na obtenção de soluções váves. PALAVARAS CHAVE. Alocação de Berços, Based Random Key Genetc Algorthm, Clusterng Search. Área prncpal (Meta-heurístcas) ABSTRACT Ths wor addresses the berth allocaton problem (BAP), whch sees to mnmze the vessels handlng tmes n ports. Ths problem has a strong theoretcal and practcal nterest, snce the growth of the world economy and nternatonal trade n goods has stmulated n recent years, the demand for shppng servces. The methodology for the development of ths wor conssts n the study and applcaton of a hybrd algorthm based on Based Random Key Genetc Algorthm (BRKGA) and Clusterng Search (CS) metaheurstcs to solve approxmately the BAP. Ths study uses the BRKGA alone and then as solutons generator to the CS s clusterng process. The computatonal tests wth nstances avalable n the lterature valdated the method, snce t was able to fnd all optmal solutons. Furthermore, we observed a mutual beneft: The BRKGA smplfyng the CS clusterng process and, ths provdng effcency and robustness n obtanng feasble solutons. KEYWORDS. Berth Allocaton, Based Random Key Genetc Algorthm, Clusterng Search. Man area (Metaheurstcs) 1834

2 1. Introdução O crescmento da economa mundal e do comérco nternaconal de mercadoras ncentvou, nos últmos anos, a procura de servços de transporte marítmo, o que pode ser observado pelo aumento do número de contêneres transportados desde o níco da década: cerca de 150% conforme apresentado por UNCTAD (2009). Nessa mesma dreção, segundo a CCE (2009), o número de navos em operação deverá ter um acréscmo estmado em 29% até No Brasl, é possível verfcar um crescmento expressvo na movmentação de cargas em nstalações portuáras e em termnas de uso prvatvo (TUPs): no levantamento realzado pela ANTAQ (2012), em 1990 o acumulado de movmentação de cargas nessas nstalações fo de 360 mlhões de toneladas. Dez anos depos, esse montante alcançou a cfra de 834 mlhões, ou seja, um crescmento da ordem de 130%. É mportante destacar que, segundo esse mesmo levantamento, o crescmento tem ocorrdo ndependente do tpo de carga transportada e o aumento da capacdade dos navos e o volume de carga manejada nos portos e nos TUPs acompanham essa tendênca. Entretanto, segundo Hjjar e Alexm (2006), os nvestmentos não seguem esse crescmento, desencadeando gargalos de acesso aos termnas ntermodas, tanto portuáros quanto ferrováros. Devdo a sso, o país não consegue aprovetar de forma ótma essa stuação de desenvolvmento, pos não garante condções necessáras para o escoamento da produção. Com foco nesse pensamento, uma solução sera o nvestmento na construção de novas nstalações de atraque e em adaptar as já exstentes para receber navos mas largos e profundos, sto é, nvestndo de forma a acomodar uma maor varedade de tpos de embarcações. Por outro lado, adequações de carácter estrutural, por s só, não garantem que o atendmento seja efcente, pos a gestão de um complexo portuáro envolve também uma dversdade de problemas de tomada de decsão, que segundo Slva (2008), podem ocorrer nos níves: estratégco, tátco e operaconal. Um dos problemas operaconas que merece destaque é o plano de atracação, no qual objetva-se combnar o berço mas adequado para atender cada navo, de modo a respetar as restrções mpostas e mnmzar o tempo de espera e atendmento dos mesmos. Como a elaboração desse plano envolve a manpulação de dversas nformações, mutas delas dnâmcas, Maur et al. (2008) sugerem o uso da computação com auxílo de técncas de otmzação vsando, através da smulação de dferentes cenáros, aglzar a tomada de decsão. Devdo a essa busca por uma logístca em acomodar e mnmzar o tempo de espera e atendmento dos navos, surgram números problemas na lteratura. Dentre eles, o Problema de Alocação de Berços (PAB) que consste em determnar a ordem de atracação dos navos e seus respectvos berços. Além do nteresse prátco, o PAB pelo fato de ser um problema NP - dfícl (Cordeau et al., 2005), mostra-se atraente tanto no estudo de novas modelagens quanto na aplcação de heurístcas para sua resolução. Neste estudo, buscou-se uma alternatva que pudesse atender o PAB de forma satsfatóra, ao mesmo tempo em que fosse o mas ndependente possível do mesmo; justamente para poder ser aplcada a outros problemas de otmzação com um mínmo de esforço de adaptação. Assm, propõe-se o BRKGA+CS, um algortmo híbrdo baseado nas meta-heurístcas Clusterng Search (CS) e Based Random Key Genetc Algorthm (BRKGA). O CS se mostra efcente na busca de regões promssoras do espaço de soluções e na ntensfcação através de métodos de otmzação local e, o BRKGA apresenta característcas genércas, adaptando-se faclmente ao problema em análse, pos a maora de seus componentes ndepende do mesmo. Desta forma, busca-se manter a robustez e efcênca do CS, smplfcando, no entanto, sua mplementação. O restante do artgo está organzado como segue. A Seção 2 apresenta uma breve revsão bblográfca sobre o PAB. Na Seção 3 uma formulação matemátca para o PAB é descrta. Este trabalho basea-se numa relaxação dessa formulação e, a mesma pode ser examnada na subseção 3.1. A Seção 4 contém um resumo dos concetos das meta-heurístcas CS 1835

3 e BRKGA, além da mescla de ambas (BRKGA+CS) e, os resultados computaconas obtdos são apresentados na Seção 5. Por fm, as conclusões são resumdas na Seção Revsão bblográfca O PAB é um problema que possu forte nteresse teórco e prátco, desse modo, procura-se lustrar, resumdamente, o que fo encontrado na lteratura. Para Cordeau et al. (2005) o objetvo é a mnmzação (ponderada) do tempo de servço total para todos os navos, defndo como o tempo decorrdo entre a chegada no porto, atracação e o tempo de servço. Os autores formulam o problema como Roteamento de Veículos com Múltplas Garagens e Janelas de Tempo. Duas versões do PAB são consderadas: o caso dscreto e o caso contínuo, uma vez que o caso dscreto nem sempre satsfaz as restrções espacas. Com base na formulação apresentada por Cordeau et al. (2005), Maur et al. (2008) aplcaram relaxações e penalzações à mesma, chegando a um modelo capaz de representar um Problema de Roteamento de Veículos com Garagens Múltplas, sem Janelas de Tempos. A ntenção era desenvolver um modelo cuja resolução fosse menos complexa. Uma vez que consderaram um conjunto fnto de berços e gnoraram suas dmensões espacas, o mesmo fo tratado em sua forma dscreta. Baseando-se sua heurístca no Smulated Annealng (SA) desenvolveram três tpos de movmentos de troca para a geração de novas soluções vznhas. Concluíram que o método proposto se mostrou efcente vsto os pequenos gaps apresentados, ndcando grande proxmdade com as soluções ótmas para o problema. Buhral et al. (2009), motvados pelo PAB ser consderado um dos mas mportantes problemas para qualquer termnal de contêneres, revsaram e explanaram três modelos prncpas para o PAB do tpo dnâmco e dscreto. O prmero, proposto por Ima et al. (2001), o segundo apresentado em Cordeau et al. (2005) e por fm o dscutdo por Chrstensen e Holst (2008). Esses modelos foram comparados a partr dos seus resultados computaconas e, concluíram que o PAB modelado como um generalzed set-parttonng problem (GSPP) de Chrstensen e Holst (2008) superou todos os outros. Nesse modelo, o tempo é dscretzado e, uma restrção garante que, a qualquer momento, somente um navo pode estar num determnado berço num ntervalo de tempo específco. Uma coluna no modelo representa um navo em uma determnada posção de atracação e num determnado ntervalo de tempo. Os autores anda confrmam que o PAB modelado como um GSPP encontrou, pela prmera vez, todos os valores ótmos para as nstâncas propostas por Cordeau et al. (2005). Olvera et al. (2009), vsando melhorar os resultados obtdos por Maur et al. (2008), desenvolveram um algortmo (CS+SA) baseado na meta-heurístca Clusterng Search (CS) e utlzaram o SA proposto por Maur et al. (2008) como gerador de soluções para o CS. Obtveram as soluções ótmas (ratfcadas por Buhral et al., 2009) em todos os casos e com redução do tempo computaconal. Desse modo, evdenca-se a efcênca e robustez do CS na localzação de regões promssoras e como alternatva para acelerar a obtenção de boas soluções. 3. Formulação matemátca para o PAB Nesse trabalho o PAB é tratado de forma semelhante ao apresentado por Cordeau et al. (2005), Maur et al. (2008) e Olvera et al. (2009), sto é, em sua forma dscreta e dnâmca, onde o cas é dvddo em um conjunto fnto de berços e os navos podem chegar a qualquer momento. Esse modelo fo escolhdo, por um lado, consderando-se que a maora dos prncpas portos brasleros opera através de berços (ANTAQ, 2012) e, por outro, devdo à natureza dnâmca dos mesmos, pos as condções e restrções dos berços não são mutáves. Desse modo, os tempos descrtos na Fgura 1 representam as condções reas vvdas nos portos: quando um navo chega ao porto, ele deve esperar até que seja autorzada sua atracação num berço. A dferença entre o horáro de chegada ( a ) e o de atracação ( T ) é chamado de tempo de espera. Durante o carregamento e descarregamento de carga é contablzado o tempo de atendmento ( t ) que pode 1836

4 ser obtdo pela dferença entre o horáro de saída e o de atracação. O período total desde a chegada do navo até sua saída é chamado de tempo de servço. Fgura 1: Cronograma de atendmento de um navo - Cordeau et al. (2005) Com sso, Cordeau et al. (2005) modelaram o PAB como um Problema de Roteamento de Veículos com Múltplas Garagens e Janelas de Tempo (PRVGMJT), consderando os navos como clentes e os berços, garagens, de modo que a cada garagem é alocado um veículo, num total de m veículos. Anda, consdera-se que cada veículo nca e termna seu trajeto em sua garagem. Desse modo, esses navos são modelados como vértces em um mult-grafo. Cada garagem é dvdda em um vértce de orgem o() e um de destno d(). As janelas de tempo, nos vértces o() e d(), correspondem ao período de funconamento dos berços. O PRVGMJT é especfcado como um mult-grafo G = (V,A ) M, onde V = N {o(),d() } e A V V (Olvera et al., 2009). Assm, pode-se defnr matematcamente o PAB por meo da segunte notação: N: conjunto de navos, n = N ; M: conjunto de berços, m = M ; t : duração do atendmento do navo no berço ; a : horáro de chegada do navo ; s : horáro de abertura do berço ; e : horáro de fechamento do berço ; b : horáro de térmno da janela de tempo para o navo ; v : valor do tempo de servço do navo ; x = 1 se o navo j é atenddo pelo berço após o navo, para x j j { 0, 1} M, (, j) ϵ A ; T é o horáro que o navo atracou no berço, ϵ M, ϵ N; T é o horáro em que o prmero navo atracou no berço, ϵ M; o() últmo navo sau do berço, ϵ M; e M = max(b + j T d() t - a,0), ϵ M, (, j) ϵ N. é o horáro em que o mn Z = v T a + t xj N M j N {d()} (1) Sujeto à: x = 1 ϵ N (2) j M j N {d()} xo(), j = 1 ϵ M (3) j N {d()} x = 1 ϵ M (4),d() N {o()} x - x = 0 ϵ M, ϵ N (5) j j N {d()} j N {o()} T + t -T (1 - j j x j ) M ϵ M, (, j) ϵ A (6) j T a ϵ M, ϵ N (7) T + t x b ϵ M, ϵ N (8) j j N {d()} 1837

5 T s o() ϵ M (9) T e d() ϵ M (10) { 0, 1} M, (, j) ϵ A (11) x j A função objetvo (1) mnmza a soma do tempo de servço, assocado a um custo operaconal; as restrções (2) são responsáves em garantr que cada navo é atenddo por apenas um berço; as restrções (3) e (4) são necessáras para assegurar que para cada berço, um navo será o prmero a ser atenddo e outro será o últmo; as restrções (5) garantem a conservação do fluxo, ou seja, o atendmento para os demas navos; as restrções (6) mpedem que um navo atraque num berço antes do navo anteror lberá-lo. Nelas são consderados apenas os navos váldos para cada berço, ou seja, alguns navos não podem ser atenddos em determnados berços devdo a restrções técncas, por exemplo, calados, profunddades e equpamentos dsponíves no berço; as restrções (7) e (8) mpedem que o horáro de atração de um navo seja nferor ao seu horáro de chegada e nem que seu horáro fnal de atendmento seja superor ao horáro-lmte do navo (janela de tempo); as restrções (9) e (10) operam de forma semelhante às restrções (7) e (8), no entanto, são relaconadas aos berços, sto é, um berço não pode ser utlzado se estver ndsponível (tempo de dsponbldade do berço); por fm, as restrções (11) são empregadas para garantr que o domíno das varáves de decsão seja bnáro, sto é, para que elas assumam apenas os valores 0 ou Relaxação da formulação matemátca Maur et al. (2008) sugerem a relaxação das restrções (7), (8), (9) e (10), de forma que o problema passa a se comportar como o Problema de Roteamento de Veículos com Garagens Múltplas, sem Janelas de Tempos. Segundo os autores, sso torna menos complexa a resolução do problema, pos elmna as janelas de tempo. Assm, as restrções (7) e (8) são transferdas para o termo (13) da função objetvo, e as restrções (9) e (10) são nserdas no termo (14). Ressalta-se que a relaxação do problema não o mpede de apresentar as mesmas soluções do problema orgnal (com janelas de tempo), por outro lado, também não pode mpedr soluções nváves. Para evtá-las, elmnando-as de forma transparente durante a execução do algortmo, são nserdos os coefcentes de penalzação (ω = [ω 0, ω 1, ω 2 ]) em cada termo da função. Sendo assm, o tempo de servço, juntamente com seu custo, é representado na expressão (12). A expressão (13) é responsável por mnmzar volações nas janelas de tempo dos navos, enquanto que a expressão (14) faz o mesmo para os berços. Dessa forma, tem-se a segunte formulação: * mn Z = ω0 v T a + t xj + (12) N M j N {d()} (,a T ) ω 1 max 0 + max 0,T + t xj b + (13) N M j N {d()} ( max( 0,s T ) + max(,t e ) ω2 o() 0 d() (14) M Sujeto à (2) (6) e (11). 4. Algortmo híbrdo BRKGA+CS Neste trabalho o método proposto por Gonçalves e Resende (2010, 2011), o chamado Algortmo Genétco de Chaves Aleatóras Vcadas (BRKGA, do nglês Based Random Key 1838

6 Genetc Algorthm), fo aplcado ao Problema de Alocação de Berços (PAB), ncalmente soladamente e depos como gerador de soluções para o processo de agrupamento do Clusterng Search (CS), proposto por Chaves (2009). 4.1 BRKGA O BRKGA é uma meta-heurístca recente e baseada no Algortmo Genétco de Chaves Aleatóras (Random Keys Genetc Algorthm (RKGA), em nglês) proposto em 1993 por Bean (1993) para resolver problemas de sequencamento (Gonçalves e Resende, 2011), tas como multple machne schedulng problems e resource allocaton problems. Entretanto, conforme observado por Amorm (2011), seu bom desempenho motvou a comundade centífca a testá-lo numa grande varedade de problemas combnatóros, onde as soluções podem ser representadas como vetores de permutação, como por exemplo em: Mendes et al. (2009), Burol et al. (2009), entre outros. O RKGA é formado por ndvíduos cujos genes são números reas gerados aleatoramente dentro do ntervalo ]0, 1]. Esses números são chamados de Chaves Aleatóras (Random Keys, em nglês). A codfcação de um cromossomo é realzada pela escolha aleatóra de n valores reas entre ]0, 1], sendo n o número de alelos do cromossomo e que está relaconado ntrnsecamente ao problema em análse. É mportante ressaltar que esse vetor de chaves aleatóras forma um cromossomo para o RKGA e não uma solução para o problema. Assm, para se realzar um mapeamento entre o espaço das chaves aleatóras e o espaço real do problema, faz-se o uso de um algortmo determnístco, chamado de decodfcador (decoder, em nglês) que é responsável em retornar uma solução vável e seu respectvo valor objetvo ou de aptdão (ftness) a partr de um vetor de chaves aleatóras. Por essa razão, cada problema de otmzação tem um decodfcador específco. O RKGA pode ser descrto, de forma mas detalhada, como um conjunto de p vetores consttuídos de n chaves aleatóras, os quas sofrem uma evolução ao longo de um número de terações. Especfcamente para a população ncal, cada componente de um vetor é gerado de forma ndependente e ao acaso (Burol et al., 2010). Na sequênca, o decodfcador atua em cada ndvíduo da geração calculando sua aptdão (ftness). Com base nessas referêncas a população é dvdda em dos grupos: um pequeno grupo, chamado elte, formado pelos pe ndvíduos com os melhores valores de ftness e, o outro grupo com o restante da população, composto dos p - pe ndvíduos. No processo de evolução, copam-se todos os ndvíduos elte da população da geração atual () para a população da próxma geração, ( + 1). Outra parcela dessa nova população é formada por pm ndvíduos mutantes que garantem dversdade e assm auxlando o algortmo a escapar de mínmos locas (Gonçalves e Resende, 2011). Um mutante é formado da mesma manera que um elemento da população ncal. Por fm, para completar a nova população, são realzados cruzamentos através da combnação de pares de ndvíduos da população atual; de modo a produzr p - pe - pm ndvíduos (Burol et al., 2010). A dferença marcante entre RKGA e o BRKGA está exatamente no método de seleção de ndvíduos que partcparão do cruzamento e que fo detalhado por Gonçalves e Resende (2011): enquanto que no RKGA dos pas são seleconados, de forma aleatóra do total da população, no BRKGA, necessaramente, o prmero (pa A) é escolhdo aleatoramente dentre os ndvíduos do grupo da elte e o outro (pa B) é escolhdo do grupo não elte. Isto é, a escolha é aleatóra e tendencosa (Amorm, 2011). Nos dos métodos, a combnação dos pas é feta com o método unforme parametrzado onde o flho herda a -ésma chave do pa A com probabldade R(E) > 0,5 e a do pa B com probabldade 1-R(E) (Bean, 1993 e Gonçalves e Resende, 2011). Numa análse mas detalhada, é possível verfcar que o BRKGA possu duas partes dstntas: uma consstndo do algortmo genétco com seus métodos de tratamento dos cromossomos e gerações, denomnada problema ndependente e outra consstndo do decodfcador (decoder), denomnada problema dependente, conforme estrutura básca da Fgura

7 Fgura 2: Fluxograma do BRKGA - Gonçalves e Resende (2011) 4.2 CS As meta-heurístcas utlzadas para resolver problemas de otmzação combnatóra mutas vezes não conseguem alcançar os resultados esperados num tempo computaconal vável, prncpalmente, para uma aplcação prátca. Por outro lado, a dea de aplcar uma heurístca de busca local específca nas soluções das meta-heurístcas vsando melhorar seu desempenho, podera gerar o efeto contráro, tornando o processo de busca mpratcável em relação ao tempo de processamento. Chaves (2009), motvado por essas consderações, propõe o método híbrdo CS que, munndo do conceto de regões promssoras, procura raconalzar a aplcação dos processos de ntensfcação de busca, sendo somente aplcados após dentfcar regões promssoras (com grande potencal de melhora das soluções). O CS possu três componentes prncpas: um processo de agrupamento, uma metaheurístca geradora de soluções e, uma heurístca de otmzação local (Olvera et al., 2009). A função do processo de agrupamento é dvdr o espaço de busca em regões e, através da classfcação de padrões, agrupar as soluções com característcas semelhantes. De acordo com Costa et al. (2013), cada grupo, ou cluster é defndo por três atrbutos: o centro c j que dentfca a localzação do cluster j dentro do espaço de busca e é representado por uma solução que possu característcas das soluções smlares até então geradas pela meta-heurístca; o volume v j que montora a qualdade do cluster j, que terão seus volumes aumentados no decorrer das terações do algortmo, entretanto, aqueles mas promssores o farão de forma mas rápda. Assm, um cluster se torna nteressante quando seu volume atnge um lmtante λ, defndo a pror e, por fm, o índce de nefcáca r j responsável por evtar que a busca local fque sendo executada em regões runs ou que já tenham sdo sufcentemente exploradas. Nesse processo, a cada teração, é precso dentfcar semelhanças entre uma solução gerada pela meta-heurístca (s ) e os centros dos clusters. Para tanto, defne-se uma função de medda de dstânca d(,j) que retorna um número postvo. Esse valor representa, de forma nversamente proporconal, a smlardade entre duas soluções. Isto é, quanto maor o valor de d(,j) menor a smlardade entre as soluções e vce-versa (Chaves, 2009). A função da meta-heurístca é gerar, a cada teração, soluções que são envadas ao processo de agrupamento. Chaves (2009) ressalta que ela deve ser capaz de gerar um grande número de soluções dferentes, consderando prncpalmente os crtéros de dversfcação e velocdade de produção de soluções. Assm, se garante uma nvestgação mas abrangente do espaço de busca. Quando um cluster assume a condção de promssor uma heurístca de otmzação lo- 1840

8 cal realza uma ntensfcação da busca no seu centro. A Fgura 3 traz um fluxograma do CS contendo as etapas prncpas. Destacam-se os processos de agrupamento e de otmzação local. Conforme ndcado, os clusters ncas precsam ser crados antecpadamente. Esse procedmento consste em gerar aleatoramente ou através de uma heurístca, uma solução vável que representará a localzação de um cluster no espaço de busca. Chaves (2009) ressalta a mportânca da quantdade de clusters (NC) que serão crados, pos um pequeno número pode ocasonar uma análse restrta a poucas regões do espaço de busca, por outro lado, um número elevado poderá tornar o processo nvável computaconalmente. Fgura 3: Fluxograma do método CS Chaves (2009) Na sequênca, uma solução s gerada pela meta-heurístca é envada ao processo de agrupamento. Após defndo o cluster j mas smlar, essa solução é ncorporada ao mesmo e o respectvo centro c j é atualzado com as característcas da solução s, através do processo de assmlação. Nesse processo, o centro c j sofre um deslocamento no espaço de busca. O próxmo passo é ncrementar o volume v j em uma undade e compará-lo ao lmtante λ. Caso seja nferor, o cluster j não pode anda ser consderado promssor, caso contráro, verfca-se se a varável de controle r j desse cluster atngu o lmtante de nefcáca r max. Em postvo, aplca-se uma perturbação aleatóra no centro c j com o ntuto de afastá-lo dessa regão do espaço de busca e a varável r j é rencada. Caso contráro, ntensfca-se a busca na vznhança desse cluster através do algortmo de otmzação local. Não obtendo êxto, a varável r j é acrescda em uma undade. Fndo o processo de agrupamento, retorna-se à meta-heurístca. Recentemente, Olvera et al. (2013) smplfcaram o método retrando o índce de nefcáca r j, assm toda vez que o volume atnge o lmtante λ o componente de otmzação local é aplcado. 4.3 BRKGA+CS O emprego do BRKGA como meta-heurístca geradora de soluções para o CS tem a ntenção de generalzar o processo, tornado a mplementação do CS mas smples. Isto é, as soluções fornecdas ao CS não são decodfcadas antecpadamente, e sm envadas no formato de um vetor de chaves aleatóras para o componente de agrupamento do mesmo. Dessa forma, com exceção das buscas locas, todos os outros componentes do CS trabalharam nesse formato, ou seja, ndependente do problema em análse. Somente no fnal, após decodfcação, é retornada uma solução para o problema. Conforme lustra a Fgura

9 Fgura 4: Fluxograma BRKGA+CS Neste trabalho, a decodfcação das chaves aleatóras baseou-se na quantdade de berços (b) e navos (n) das nstâncas do PAB analsadas. Assm, o ntervalo ]0,1] é dvddo gualmente em b faxas. Por exemplo, para b=2, a faxa ]0;0,5] representara o Berço1 enquanto que ]0,5;1], o Berço2. Para n = 5, um possível vetor sera {0,06; 0,98; 0,93; 0,85; 0,16} e que, após ordenação, resultara na segunte sequênca de atracação: Berço1: navos 1 e 5; Berço2: navos 4, 3 e 2. O processo de assmlação fcou a cargo do método Reconexão por Camnhos (PR, do nglês Path-Relnng) (Glover et al., 2010). Nele são utlzadas duas soluções conhecdas. A prmera, nomeada ncal, é de onde parte o procedmento exploratóro. A segunda, chamada gua, fornece característcas ou atrbutos que serão utlzados para gerar as soluções ntermedáras. A ntenção é encontrar uma solução ntermedára (vznha) melhor que as já conhecdas. Ressalta-se que, no caso do CS, o centro será deslocado para a melhor solução avalada nessa trajetóra mesmo que ela seja por que o centro corrente. A medda de smlardade, que traduz o grau de semelhança entre as soluções, fo a dstânca eucldana (15), cujo valor (de) é calculado dretamente nas chaves aleatóras. de = n 2 ( ch2 ch1 ) (15) = 1 sendo, n o número de alelos do cromossomo (tamanho do vetor), ch2 o valor da -ésma chave do vetor da solução 2 e ch1 o valor da -ésma chave do vetor da solução 1. Ressalta-se o fato desses componentes atuarem dretamente nos vetores de chaves aleatóras, reforçando o benefíco do BRKGA na smplfcação do CS. As penalzações utlzadas foram as mesmas apresentadas por Maur et al. (2008), ou seja: [ω0,ω1,ω2] = [1,10,10], assm como as buscas locas defndas pelos movmentos Reordenar, Realocar e Trocar. Maores detalhes sobre esses movmentos são apresentados pelos autores. Incalmente fo realzado um processo de calbragem dos parâmetros vsando obter o melhor desempenho dos métodos. Desta forma, os parâmetros utlzados nos testes computaconas foram os que obtveram os melhores resultados para o BRKGA e o BRKGA+CS. Assm para o BRKGA foram: p = 100; p e = 0,20; p m = 0,20 e ρ e = 0,65. E, para o BRKGA+CS: p = 200; p e = 0,25; p m = 0,15 e ρ e = 0,65. Os do CS foram: NC = 20, λ = 4 e r max = 300. A estratéga de refnamento das soluções no processo de otmzação local, fo a Varable Neghborhood Descent (VND) onde as heurístcas ctadas anterormente são executadas conforme descrto, de forma smplfcada, pelo pseudocódgo da Fgura 5. O centro do cluster promssor é decodfcado em uma solução do PAB no nco do processo de busca e após esse procedmento, a melhor solução encontra é decodfcada novamente no centro do cluster. 1842

10 5. Expermentos computaconas Fgura 5: Pseudocódgo VNS Incalmente, a robustez e efcênca do BRKGA+CS podem ser comparadas com as do BRKGA através das curvas TTT, do nglês Tme to Target, apresentadas na Fgura 6. A ntenção é verfcar a contrbução do CS na obtenção de melhores resultados em um ntervalo de tempo reduzdo, tradução dos concetos de ntensfcação local e regões promssoras. As curvas correspondem ao tempo necessáro para que os algortmos alcançassem o valor alvo, que nesse caso fo 0,5% acma do ótmo para a nstânca 02, ou seja, O algortmo fo executado 100 vezes e as curvas são formadas pelos resultados encontrados na forma de probabldade acumulada. Fgura 6: Tme to target Observa-se que, na maora das vezes, o BRKGA+CS encontrou o valor alvo antes de 2s, mas precsamente, 50% delas em até 1,5s. De forma análoga, percebe-se que o BRKGA demorou mas para encontrar o valor alvo, pos cerca de 50% das execuções levaram mas de 22s. Nos expermentos computaconas realzados, assm como nas outras abordagens da lteratura, foram utlzadas 30 nstâncas, cada qual com 60 navos e 13 berços. Essas nstâncas são baseadas em dados do porto de Goa Tauro (Itála) e foram geradas randomcamente por Cordeau et al. (2005). Todos os testes computaconas foram executados em um PC com processador Intel Core com 3.40 GHz e 8 GB de memóra RAM. Para cada nstânca foram realzados 30 testes aleatóros por método. Na Tabela 1, o BRKGA+CS e o BRKGA são comparados a outras abordagens presentes na lteratura. Nela estão relaconados os resultados obtdos por Cordeau et al. (2005) com uma heurístca fundamentada na Busca Tabu (TS); Maur et al. (2008) com um SA com reaquecmento (SA+RA), na sequênca, o método GSPP proposto por Buhral et al. (2009) executado num PC Intel Xeon de 2.66 GHz e por fm o CS de Olvera et al. (2009) que utlza o SA como meta-heurístca geradora de soluções. Os expermentos do CS e os do SA+RA foram realzados em um PC com processador AMD AthlonTM 64 de 2.2 GHz e 1GB de RAM. Cordeau et al. (2005) não especfcaram a máquna utlzada em seus testes, e segundo o autor sua heurístca utlzou, aproxmadamente, 120 segundos para cada problema-teste. As colunas (FO) e ([s]) contêm, respectvamente, o valor das soluções obtdas e os 1843

11 tempos de execução de cada algortmo. Nas colunas D1 e D2 são lstados os desvos entre as soluções do BRKGA+CS e BRKGA com relação às ótmas obtdas pelo CS+SA. O BRKGA+CS, a exemplo do CS+SA e GSPP, alcançou os valores ótmos, porém com um tempo computaconal superor. Mas, essa dferença se torna menos sgnfcatva em vsta da característca genérca do BRKGA+CS, que pode ser adaptado faclmente para outros problemas de otmzação. Assm como em Amorm (2011), o BRKGA sem o processo de ntensfcação de busca não alcançou os valores ótmos. Instânca TS [1] SA+RA [2] GSPP [3] CS+SA [4] BRKGA+CS BRKGA Desvo [%] FO [s] FO [s] FO [s] FO [s] FO [s] FO [s] D1 D , , , , ,88 0,00 0,99 I , , , , ,38 0,00 0,24 I , , , , ,33 0,00 0,89 I , , , , ,17 0,00 0,54 I , , , , ,85 0,00 0,50 I , , , , ,38 0,00 0,24 I , , , , ,01 0,00 0,16 I , , , , ,49 0,00 0,92 I , , , , ,34 0,00 0,55 I , , , , ,53 0,00 0,91 I , , , , ,84 0,00 1,17 I , , , , ,77 0,00 2,42 I , , , , ,48 0,00 0,22 I , , , , ,40 0,00 0,24 I , , , , ,17 0,00 0,62 I , , , , ,95 0,00 1,39 I , , , , ,52 0,00 0,08 I , , , , ,53 0,00 0,74 I , , , , ,16 0,00 1,46 I , , , , ,33 0,00 1,36 I , , , , ,78 0,00 0,97 I , , , , ,36 0,00 2,11 I , , , , ,94 0,00 0,71 I , , , , ,00 0,00 0,16 I , , , , ,54 0,00 1,53 I , , , , ,30 0,00 0,99 I , , , , ,58 0,00 0,08 I , , , , ,41 0,00 1,55 I , , , , ,16 0,00 1,02 I , , , , ,99 0,00 1,64 Méda 120,00 60,26 14,98 12,79 20,55 38,39 0,00 0,88 (1) Cordeau et al. (2005) - (2) Maur et al. (2008) - (3) Buhral et al. (2009) - (4) Olvera et al. (2009) 6. Conclusões Tabela 1: Comparação dos resultados com outros métodos da lteratura No caso deste trabalho, a mplementação do CS fo smplfcada com a utlzação do BRKGA como meta-heurístca geradora de soluções, pos partes mportantes do método se tornaram genércas podendo ser aprovetadas noutros problemas de otmzação, uma vez que passaram a trabalhar com vetores de chaves aleatóras e não com soluções do problema. Dentre elas, destacam-se os processos de agrupamento, de assmlação e perturbação. O BRKGA, soladamente, não conseguu bons resultados. Esse mesmo fato fo apontado por Amorm (2011), que estudou a aplcação do BRKGA na resolução do Problema das p- Medanas não capactado. A autora só obteve melhores resultados assocando a busca local FSB (do nglês Fast Swap-Based) ao BRKGA. Por outro lado, o algortmo híbrdo BRKGA+CS fo capaz de encontrar todas as soluções ótmas, confrmando as característcas do CS: localzação de regões promssoras e ntensfcação das buscas. Assm, a combnação entre as meta-heurístcas BRKGA e CS é promssora, pos conforme constatado, é efcente e robusta na obtenção de soluções váves. A característca genérca de grande parte dos seus componentes faclta a sua utlzação nos mas dversos problemas de otmzação sem a necessdade de grandes adequações. Sugere-se, como trabalhos futuros, um aperfeçoamento dessa mescla, de forma a desenvolver um framewor nos moldes daquele apresentado por Toso e Resende (2012), no caso do BRKGA. 1844

12 7. Referêncas Amorm, F. M. S. (2011), Meta-heurístcas aplcadas ao problema das p-medanas. Dssertação (Mestrado em Modelagem Matemátca e Computaconal). ANTAQ (2012), Anuáro estatístco aquaváro, URL Bean, J. C. (1993), Genetcs and random eys for sequencng e optmzaton. Techncal report, 92, Buhral, K., Zuglan, S., Rope, S., Larsen, J. e Lusby, R. (2009), Models for the dscrete berth allocaton problem: a computatonal comparson. Techncal Report, 14:1 24, Burol, L. S., Hrsch, M. J., Pardalos, P. M., Quero, T., Resende, M. G. C. e Rtt, M. (2009), A hybrd genetc algorthm for road congeston mnmzaton. Anas do XLI Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal (SBPO 2009), Porto Seguro, Brasl. Burol, L. S., Hrsch, M. J., Pardalos, P. M., Quero, T., Resende, M. G. C. e Rtt, M. (2010), A based random-ey genetc algorthm for road congeston mnmzaton. Optmzaton Letters, 4, CCE (2009), Objetvos estratégcos e recomendações para a polítca comuntára de transporte marítmo no horzonte de Comuncação da Comssão ao Parlamento Europeu, 1 15 ( 2013). Chaves, A. A. (2009), Meta-heurístcas híbrdas com busca por agrupamentos para problemas de otmzação combnatóra. Tese (Doutorado em Computação Aplcada). Chrstensen, C. G. e Holst C. T. (2008), Berth allocaton n contaner termnals. Dssertação (Mestrado em Matemátca) - Unversdade da Dnamarca. Cordeau, J. F., Laporte, G. e Mercer, A. (2001), A unfed tabu search heurstc for vehcle routng problems wth tme wndows. Journal of the Operatonal Research Socety, 52, Costa, M. F., Fedler, N. C. e Maur, G. R. (2013), Clusterng search e smulated annealng para resolução do problema de escalonamento de motorstas no transporte de madera. Scenta Forestals, 41(99): Glover, F., Laguna, M. e Martí, R. (2010), Fundamentals of scatter search and path relnng. Control and Cybernetcs, 29, Gonçalves, J. F e Resende, M. G. C. (2010), A parallel multpopulaton based random-ey genetc algorthm for a contaner loadng problem. AT&T Labs Research Techncal Report. Gonçalves, J. F e Resende, M. G. C. (2011), Based random ey genetc algorthms for combnatoral optmzaton. Journal of Heurstcs, 17, Hjjar, M. F. e Alexm, F. M. B. (2006), Avalação do acesso aos termnas portuáros e ferrováros de contêneres no brasl. Insttuto COPPEAD de Admnstração UFRJ. Ima, A., Nshmura, E. e Papadmtrous, S. (2001), The dynamc berth allocaton problem for a contaner port. Transportaton Research Part B: Methodologcal, 35(4): Maur, G. R., Olvera, A. C. M. e Lorena, L. A. N. (2008), Heurístca baseada no smulated annealng aplcada ao problema de alocação de berços, GEPROS - Gestão da Produção, Operações e Sstemas, 1(1), Mendes, J. J. M., Gonçalves, J. F. e Resende, M. G. C. (2009), A random ey based genetc algorthm for the resource constraned project schedulng problem. Computers & Operatons Research, 36(1): Olvera, A. C. M., Chaves A. A. e Lorena, L. A. N. (2013), Clusterng search. Pesqusa Operaconal, 33, Olvera, R. M., Maur, G. R. e Lorena, L. A. N. (2009), Clusterng search aplcado ao problema de alocação de berços. XLII Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal, Slva, V. M. D. (2008), Um modelo heurístco para alocação de navos em berços. Dssertação(Mestrado em Engenhara) Unversdade Federal de Santa Catarna. Toso, R. F. e Resende, M. G. C. (2012), A c + + applcaton programmng nterface for based random-ey genetc algorthms. AT&T Labs Research Techncal report. UNCTAD (2009), Revew of martme transport. Unted Natons Publcaton, (E.09.II.D.11):219. URL