O Uso de Regressores Dummy na Especificação de Modelos com Parâmetros Variáveis

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1 R EVISTA DE E STATÍSTICA 7ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE 00 O Uso de Regressores Dumm na Esecfcação de Modelos com Parâmetros Varáves Autores: Patríca Oom do Valle Efgéno Rebelo

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3 R EVISTA DE E STATÍSTICA 9ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE 00 O USO DE REGRESSORES DUMMY NA ESPECIFICAÇÃO DE MODELOS COM PARÂMETROS VARIÁVEIS THE USE OF DUMMY VARIABLES IN SPECIFYING MODELS WITH CHANGING COEFFICIENTS Autores: Patríca Oom do Valle - Assstente da Faculdade de Economa da Unversdade do Algarve; Área Centífca de Métodos Quanttatvos. Efgéno Rebelo - Professor Assocado da Faculdade de Economa da Unversdade do Algarve; Área Centífca de Métodos Quanttatvos. RESUMO: A formulação de um modelo com arâmetros varáves consttu uma alcação mortante mas ouco dvulgada dos regressores dumm na análse econométrca. O resente estudo sstematza e analsa em detalhe três stuações tícas em que o uso desta técnca se revela ertnente (o ajustamento de modelos com varações descontínuas nos arâmetros, a análse de sazonaldade e o ajustamento de modelos com varações contínuas nos arâmetros) e generalza a sua utlzação a modelos mas comlexos que ncluam um número qualquer de regressores quanttatvos. PALAVRAS-CHAVE: Regressão lnear, varáves dumm, modelos com arâmetros varáves. ABSTRACT: The secfcaton of a regresson model wth changng coeffcents reresents an mortant but less recognzed alcaton of dumm varables n econometrcs. The current stud summarzes and assesses the use of ths technque nto three standard contexts: the adjustment of models wth dscontnuous varatons n arameters; the seasonalt analss; and the secfcaton of models wth contnuous varatons n arameters. The generalzaton of ths technque to more comlex models s also rovded. KEY-WORDS: Lnear regresson, dumm varables, models wth Changng Coeffcents.

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5 R EVISTA DE E STATÍSTICA ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE 00. INTRODUÇÃO A roblemátca da estmação de um modelo com arâmetros varáves levantase sobretudo em estudos cronológcos que abranjam eríodos de temo de dmensão consderável em que, consequentemente, é ouco sustentável a hótese de establdade dos arâmetros ara todas as observações de uma determnada amostra. Alás, o exemlo tradconalmente referdo ara lustrar a formulação de um modelo deste to consste na análse da relação entre consumo e rendmento dsonível durante um dado eríodo de temo que abranja uma guerra ou uma deressão económca rofunda. Neste caso, é de eserar que o consumo autónomo e/ou a roensão margnal ao consumo no eríodo que antecede estes acontecmentos sofra alguma alteração aós o seu térmno. Outro exemlo clássco, traduz-se na modelação de um fenómeno em que exsta sazonaldade, stuação em que faz sentdo admtr que o efeto das varáves quanttatvas na varável deendente seja varável com a estação do ano. Contudo, e como faclmente se comreende, também num estudo secconal ode ser adequado ermtr a ossbldade de varabldade nos arâmetros entre gruos de observações. Em estudos desta natureza, as varações nos valores dos coefcentes de regressão são atrbuíves às característcas dos ndvíduos que consttuem a amostra, como sejam a sua área de resdênca, rofssão, sexo, gruo etáro ou classe socal a que ertençam. Este trabalho aresenta e desenvolve dversas stuações em que a defnção de regressores dumm ossblta a estmação de modelos com arâmetros varáves, evdencando, deste modo, um contexto mortante mas ouco dvulgado destas varáves na análse econométrca. Esecfcamente, três stuações serão objecto de nvestgação: o ajustamento de modelos com varações descontínuas nos arâmetros, a análse de sazonaldade e o ajustamento de modelos com varações contínuas nos arâmetros.. VARIAÇÕES DESCONTÍNUAS NOS PARÂMETROS Consdere-se o estudo de um fenómeno económco (secconal ou cronológco) em que, numa rmera fase, se assume que a relação a entre varável deendente e a varável quanttatva é estável ara todas as observações de uma dada amostra. Seja () a equação de regressão corresondente = α β u ; =,,...,n ; u ~ IIN(0, σ ) () em que é uma varável quanttatva.

6 Suonha-se, contudo, que uma reflexão mas cudada acerca do fenómeno em causa sugere a exstênca de varabldade nos arâmetros entre alguns gruos de observações. A rmera etaa na formulação de uma equação de regressão com arâmetros varáves consubstanca-se na tomada de osção acerca da forma como se rocessam essas varações. Neste contexto, admta-se que da estmação do modelo de regressão (), com base numa amostra de n observações, resultava um valor sgnfcatvo ara a estatístca t assocada ao coefcente da varável e, smultaneamente, um valor ara o coefcente de determnação (R ) relatvamente baxo ou um valor da D.W. longe de. Estes resultados fazem ensar que embora consttua de facto um factor determnante no comortamento de, exste anda uma forte comonente não exlcada na varabldade de, ou dto de outra forma, que o modelo () ode encontrar-se mal esecfcado or ncorrecta omssão de varáves exlcatvas. Suonha-se que a fgura retracta a relação entre a varável deendente e o regressor. (Tercero gruo) (Segundo gruo) (Prmero gruo) Fgura. Observações de um hotétco estudo econométrco A observação da fgura não oferece dúvdas acerca do relaconamento (neste caso ostvo) exstente entre as varáves em análse. Todava, arece exstr uma relação dstnta entre as duas varáves ara as observações que ertençam a cada um dos gruos. Esta crcunstanca exlca orque é que ao se ajustar uma únca equação de regressão com todas as observações ocorre um valor relatvamente baxo ara R. É que, neste caso, a recta de regressão ajustada va osconar-se algures entre as três nuvens de ontos ocasonando resíduos com uma dmensão relatvamente alta. Mas, uma stuação de grande dsersão das observações em torno da recta, traduz-se obvamente numa estmatva de valor elevado ara a varânca da varável resdual o que ode orgnar uma estatístca t assocada ao coefcente da varável não sgnfcatva. Nesta stuação, concluía-se erradamente que a varável deve ser desrezada como factor relevante do comortamento de. Uma vez justfcada a nsufcente adequação do modelo () ao roblema em análse, morta ersectvar rocedmentos que ermtam ter em atenção o ga entre os três gruos na relação entre a varável exlcada e o regressor quanttatvo. Uma forma de soluconar o roblema sera consderar em searado cada um dos gruos de observações e utlzá-los ara ajustar três modelos de regressão dstntos. VOLUME III º QUADRIMESTRE DE 00

7 R EVISTA DE E STATÍSTICA ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE 00 Como mostra a fgura, as rectas de regressão que melhor se ajustam às nuvens de ontos arecem dferr aenas no termo ndeendente elo que, em termos formas, a sua estrutura deverá ser: = α β u ara o rmero gruo () = α β u ara o segundo gruo () = α β u ara o tercero gruo. (4) Contudo, da estmação dos modelos (), () e (4) não resultará certamente o mesmo valor ara β, o arâmetro que se assume ser comum às três esecfcações. Se de facto for razoável assumr que os três gruos reagem de forma smlar a uma varação untára na varável, a attude mas sensata do nvestgador será reunr todas as observações ara ajustar um modelo de regressão que roduza três termos ndeendentes dferentes mas uma estmatva únca ara o coefcente nclnação. A defnção de regressores dumm aresenta-se como o rocedmento adequado à rossecução deste objectvo. Com efeto, a defnção das varáves D D, = 0,, = 0, se a observação verfca a característca que defne o segundo gruo caso contráro se a observação verfca a característca que defne o tercero gruo caso contráro e o osteror ajustamento da equação de regressão, = α ( α α )D ( α α )D β u ; =,,..., n ; u ~ IIN(0, σ ) (5) ermtrá uma únca estmatva ara β e, smultaneamente, três ordenadas na orgem dstntas. Note que, quando D = D 0, o modelo (5) reduz-se a: = = α β u (rmero gruo); quando D = e D 0, = = α β u (segundo gruo); e, fnalmente, quando D = 0 e D = = α β u (tercero gruo).

8 Quer dzer, a equação (5) é uma forma alternatva de reresentar conjuntamente as equações (), () e (4) e torna evdente de que forma a alcação de regressores dumm ossblta a estmação de um modelo com arâmetros varáves, neste caso artcular os termos ndeendentes. É mortante não esquecer que ao agruar-se as três equações numa só está-se não só a assumr que o arâmetro β tem o mesmo valor ara os três gruos mas também que o vector dos desvos, u, tem a mesma dstrbução nas três stuações. É necessáro assumr também que exste o número de observações sufcente ara estmar cada modelo er s. O coefcente da varável dumm D reresenta a dferença entre os termos ndeendentes das equações de regressão relatvas aos dos rmeros gruos. Smlarmente, o coefcente da varável D reresenta a dferença entre os termos ndeendente dos modelos que dzem reseto ao rmero e tercero gruos. Esta stuação sera anda mas clara se o modelo (5) estver reresentado na forma equvalente = α δ D δ D β u ; =,,..., n ; u ~ IIN(0, σ ) (6) em que δ = α α e δ = α α. Neste caso, ter-se-a ara cada gruo de observações o segunte modelo de regressão lnear = α β u se D = D 0 (7) = = ( α δ ) β u se D = e D 0 (8) = = ( α δ ) β u se D = 0 e D (9) = o que não dexara dúvdas de que o termo ndeendente assume um valor dstnto consoante o gruo em análse (resumvelmente nferor ara o rmero gruo). Um teste de sgnfcânca conjunta aos arâmetros δ e δ equvale a testar que não exste uma dferença sgnfcatva entre os termos ndeendentes dos três gruos. A tradução geométrca da estrutura estmada do modelo (6) ode agora ser aresentada: α δ α δ δ δ β = α δ β = α δ β = α β α VOLUME III Fgura. Tradução geométrca da estrutura estmado do modelo 6 º QUADRIMESTRE DE 00

9 R EVISTA DE E STATÍSTICA 5ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE 00 O efeto da ertença a cada um dos gruos deverá ser ncororado de forma dferente na relação entre e se se assumr, or exemlo, que a ordenada na orgem é fxa nas três stuações e que aenas o declve das rectas de regressão aresenta varabldade. Nesta conformdade, as rectas de regressão que melhor se adatam às hotétcas nuvens de ontos corresondentes defnem-se como: = α β u ara o rmero gruo (0) = α β u ara o segundo gruo () = α β u ara o tercero gruo () Os roblemas enuncados acma relatvamente ao ajustamento das três equações de regressão searadas são também alcáves neste caso artcular elo que a solução mas ndcada é, mas uma vez, recorrer à defnção de regressores dumm e ajustar um únco modelo de regressão a artr da globaldade das observações que roduza, or um lado, uma estmatva ara o termo ndeendente e, or outro, três coefcentes nclnação dstntos. Este modelo é o segunte = α β ( β ; =,,...n ; u β )(D ~ IIN(0, σ ) ( β ) β )(D ) u ; () em que D e D são as varáves dumm anterormente defndas, ou de forma equvalente = α β γ (D ) γ (D ) u ; =,,...n ; u ~ IIN(0, σ ) (4) onde γ = β β e γ = β β, tornando claro que o coefcente de cada regressor dumm mede a dferença entre os declves de dos modelos de regressão. A atrbução dos valores adequados às varáves dumm ermte determnar a equação de regressão relatva a cada gruo de observações. Na verdade, ara o rmero gruo, = α β u uma vez que neste caso D = D 0, enquanto que ara o segundo gruo = = α β u

10 dado que D = e D 0 e, or últmo, ara o tercero gruo, = = α β u uma vez que D = 0 e D =. Estas duas últmas equações odem anda ser aresentadas como: = α ( β γ ) u e = α ( β γ ) u se atender à formulação equvalente (4). Portanto, um teste à hótese nula H 0 : γ = γ = 0 equvale a testar que não exstem dferenças sgnfcatvas entre os coefcentes nclnação das equações de regressão relatvas aos três gruos de observações. A reresentação gráfca da estrutura estmada, que se adata à stuação em análse, é a que consta na fgura. β γ β γ = α β γ = α β γ = α β α β Fgura. Tradução geométrca da estrutura estmada do modelo (4) A fgura dexa claro que o coefcente de cada regressor dumm mede a dferença entre os declves de duas equações de regressão searadas. A análse recedente ode ser combnada ara ermtr que três equações de regressão com termos ndeendentes e declves dferentes sejam ajustáves através da esecfcação de um só modelo. Como faclmente se magna, o modelo com regressores dumm que oferece esta ossbldade é = α ( α β ( β ; =,,...n ; α )D β )(D u ( α ) ( β ~ IIN(0, σ α )D ) β )(D ) u ; (5) VOLUME III º QUADRIMESTRE DE 00

11 R EVISTA DE E STATÍSTICA 7ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE 00 ou, atendendo às defnções acma aresentadas ara δ, δ, γ e γ, = α δ D ; =,,...n ; δ u D β γ ~ IIN(0, σ ). (D ) γ (D ) u ; (6) Medante a afectação de valores aos regressores dumm, tem-se ara cada gruo de observações: = α β u quando D = D 0 (7) = = ( α δ ) ( β γ ) u quando D = e D 0 (8) = = ( α δ ) ( β γ ) u quando D = 0 e D (9) = As estruturas estmadas corresondentes a esta stuação encontram-se reresentadas na fgura segunte: α δ α δ α β γ β γ β = α δ β γ = α δ β γ = α β Fgura 4. Tradução geométrca da estrutura estmada do modelo (6) A artr dos E.M.Q.O roduzdos elo modelo (6) é ossível obter com exactdão os E.M.Q.O. resultantes do rocesso de ajustamento das três equações de regressão searadas (7), (8) e (9), sto é: ^ ^ α δ = α, δ = α ^ α, β γ = β e β γ = β ^ As três stuações esecífcas analsadas não esgotam o domíno de alcação dos regressores dumm na esecfcação de modelos com arâmetros varáves. Assm, admta-se, or hótese, que exstem fortes razões ara ensar que o termo ndeendente aenas vara do rmero ara o segundo gruo e que o declve só aresenta varabldade entre os dos últmos gruos. Formalmente:

12 = α β u ara o rmero gruo (0) = α β u ara o segundo gruo () = α β u ara o tercero gruo () A cração de regressores dumm ode ser utlzada ara ermtr que os coefcentes das equações de regressão (0), () e () sejam determnáves através da estmação de um só modelo de regressão. Esse modelo é o segunte = α ( α α )D β ( β β )(D ) u () =,,...n ; u ~ IIN(0, σ ) onde D D, = 0,, = 0, se a -ésma observação verfca a característca que defne o segundo ou o tercero gruos caso contráro se a -ésma observação verfca a característca que defne o tercero gruo caso contráro ou, de forma equvalente: = α δ D β γ (D ) u ; =,,...n ; u ~ IIN(0, σ ) (4) cuja estrutura estmada aarece reresentada na fgura 5. α δ α β γ β β = α δ β γ = α δ β = α β Fgura 5. Tradução geométrca da estrutura estmada do modelo (4) VOLUME III º QUADRIMESTRE DE 00

13 R EVISTA DE E STATÍSTICA 9ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE 00 Neste caso, testar smultaneamente H 0 : δ = 0 γ = 0 equvale a testar a establdade dos arâmetros entre os três gruos de observações. Outro to de modelo com arâmetros varáves, aarece defndo na lteratura econométrca como modelo de resosta assmétrca. Como refere Kmenta (986,.4), o objectvo de esecfcação de um modelo de resosta assmétrca é testar se...a varação na varável deendente que resulta de um aumento untáro de uma dada varável exlcatva quanttatva é dferente em magntude da varação que decorre de uma dmnução untára dessa varável. Como exemlo de uma stuação que justfca a formulação de um modelo com esta artculardade, consdere-se que retendemos avalar o oder exlcatvo do rendmento dsonível ( d ) no consumo (C) de um conjunto de famílas num determnado ano. Ora, é lausível admtr que no ano em análse exstam famílas que assstram a um ncremento do seu rendmento dsonível relatvamente ao ano anteror e outras que, elo contráro, vram os seus rendmentos decrescerem. Exste uma teora que defende que os consumdores não reagem de uma forma unforme a uma varação untára do rendmento, sto é, a dmensão do acréscmo de C que resulta de um aumento untáro de d é sueror à magntude da dmnução de C que decorre na sequênca de uma redução untára de d. Perante este cenáro, a equação usualmente selecconada ara reresentar a relação entre as duas varáves em causa, C = α βd u, revela-se nadequada na medda em que, ndeendentemente da natureza da varação untára ocorrda em d (subda ou descda), o efeto em C tem dmensão constante (β ). Para ncororar um comortamento de resosta assmétrca na equação de regressão basta defnr o regressor dumm D, = 0, se o d da -ésma famíla aumentou em relação ao ano anteror caso contráro e ajustar o modelo: C = α β γ(d ) u ; =,,...,n ; u ~ IIN(0, σ ). (5) d d Deste modo, a roensão margnal ao consumo das famílas que benefcaram de um aumento do seu rendmento dsonível é dada or β γ e a roensão margnal ao consumo das restantes famílas restrnge-se a β. Para testar se de facto exste uma stuação de resosta assmétrca é sufcente realzar um teste de sgnfcânca ndvdual ao arâmetro γ. Como se constata, o modelo de resosta assmétrca não é mas do que um caso artcular de um modelo que aenas admte varabldade no coefcente nclnação. Contudo, o contexto nteressante em que se nsere, em que a característca que accona a varabldade é a róra natureza da varação ocorrda no regressor quanttatvo, justfca o destaque que lhe fo roorconado neste trabalho.

14 . ANÁLISE DE SAZONALIDADE Outra alcação muto comum dos regressores dumm na análse econométrca e que conduz, também, à esecfcação de um modelo com arâmetros varáves, consubstanca-se na remoção de flutuações sazonas em séres cronológcas. Com efeto, é frequente encontrar em estudos económcos temoras, sobretudo mensas ou trmestras, movmentos sazonas sgnfcatvos. Por exemlo, as vendas de uma grande dversdade de lojas tendem a dsarar na éoca de Natal, a rocura de dnhero e de vagens tende a ser mas elevada nos eríodos de féras e o consumo de refrescos é, em geral, sueror no Verão. Como salenta Gujarat (99,.7), o rocesso de remover a comonente sazonal de uma sére cronológca é conhecdo como dessazonalzação ou ajustamento sazonal e a sére cronológca resultante dz-se dessazonalzada ou ajustada sazonalmente. Como será evdencado, a esecfcação de um modelo de regressão lnear com regressores dumm consttu um meo de ajustamento sazonal. Váras hóteses odem ser assumdas relatvamente a um conjunto de dados. A mas smles consste em admtr que nem a varável deendente nem a varável exlcatva ossuem comortamento sazonal. Neste caso, um modelo de regressão do to () reresenta de forma arorada a relação entre as duas varáves. A stuação em que o comortamento sazonal de é totalmente exlcado elo comortamento sazonal de consttu outro enquadramento em que a equação () ode ser alcada (Stewart,99). A cração de um modelo de regressão com varáves dumm justfca-se, desgnadamente, quando a varável deendente exbe um comortamento sazonal não totalmente catado elo comortamento de, anda que este também ossa ser sazonal. O mesmo é dzer que ossu uma comonente sazonal adtva elo que a esecfcação de uma equação de regressão que ermta a varabldade do termo ndeendente consoante a erodcdade das observações (mensas, trmestras, etc.) aresenta-se como o rocedmento adequado ara fazer face a uma stuação desta natureza. Se se assumr o caso frequente em que os dados de uma amostra se reortam a eríodos trmestras, é ossível solar a comonente sazonal de esecfcando o segunte modelo de regressão lnear = α δ D δ D δ D β u ; =,,...,n ; u ~ IIN(0, σ I ) (6) 4 4 n a qual, ossblta que o termo ndeendente vare em função do trmestre do ano. Em (6), D t ( t =,,4 e =,,..., n) assume o valor ara as observações que ertençam ao t-ésmo trmestre. Está-se ortanto a assumr que o rmero trmestre funcona como categora base. Estes regressores são conhecdos na lteratura econométrca como dummes sazonas, recsamente or ermtrem catar o efeto do factor exlcatvo sazonaldade na varabldade da varável exlcada. Da afectação de valores aos regressores dumm vem: VOLUME III º QUADRIMESTRE DE 00

15 R EVISTA DE E STATÍSTICA ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE 00 = α β u (rmero trmestre) (7) = ( α δ ) β u (segundo trmestre) (8) = ( α δ ) β u (tercero trmestre) (9) = ( α δ ) β u (quarto trmestre) (0) 4 Assm, se admtr, or exemlo, que = vendas de um roduto (em undades monetáras) e = gastos em ublcdade, os estmadores dos coefcentes do modelo (6) são nterretáves como se segue: ) α estma as vendas eseradas no rmero trmestre quando as desesas com ublcdade são nulas; ) δ t (t =,,4) estma a dferença eserada entre o valor das vendas do t- ésmo trmestre e as vendas do rmero trmestre, ara um mesmo montante gasto em ublcdade (qualquer que ele seja); ) β estma a varação eserada nas vendas que decorre na sequênca de uma varação untára no nvestmento em ublcdade, qualquer que seja o trmestre do ano em causa. Esta lustração dexa claro em que medda a defnção de dummes sazonas ermte exurgar a sazonaldade da relação entre e. De facto, a estmatva do coefcente de regressão de na equação (6) reflecte a genuína relação entre essa varável ndeendente e a varável exlcada enquanto que o efeto da sazonaldade nesta últma varável é catado elo conjunto de regressores dumm. É neste sentdo que Mller (98,.05) sublnha que...quando a equação estmada contem dummes sazonas como varáves exlíctas, (...) os coefcentes de regressão são lbertados das nfluêncas sazonas. Observe que, ara testar a relevânca da nfluênca da sazonaldade no modelo (6), basta testar a hótese de δ, δ e δ4 serem conjuntamente nulos. Alternatvamente, ode ntroduzr-se o factor sazonaldade no modelo de regressão () da segunte forma = α β γ ; =,,...,n ; u (D ) γ ~ IIN(0, σ (D I n ) ) γ 4 (D 4 ) u ; () o que sugere que a forma como resonde a varações de vara de trmestre ara trmestre. Efectvamente, a atrbução de valores aos regressores dumm resulta em: = α β u (rmero trmestre) ()

16 = α ( β γ ) u (segundo trmestre) () = α ( β γ ) u (tercero trmestre) (4) = α ( β γ ) u (quarto trmestre) (5) 4 o que sgnfca que a mortânca do efeto sazonal ode ser avalada através de um teste à hótese de que γ, γ e γ 4 são conjuntamente nulos. A ossbldade fnal consste em admtr que quer o termo ndeendente quer o coefcente nclnação varam entre trmestres. O modelo de regressão com varáves dumm corresondente é: = α δ D ; =,,...,n ; u δ D δ 4 D 4 ~ IIN(0, σ β γ I n ) (D ) γ (D ) γ 4 (D 4 ) u ; (6) Neste enquadramento, ara cada trmestre de cada ano, tem-se: = α β u (rmero trmestre) (7) = ( α δ ) ( β γ ) u (segundo trmestre) (8) = ( α δ ) ( β γ ) u (tercero trmestre) (9) = ( α δ ) ( β γ ) u (quarto trmestre) (40) 4 4 Portanto, δ t (t =,,4) mede a dferença entre o termo ndeendente da recta de regressão relatva ao t-ésmo trmestre e o nterceto do rmero trmestre e γ t (t =,,4) a dferença entre a nclnação no trmestre t e a nclnação no rmero trmestre. Consderando novamente o exemlo da relação entre vendas, ublcdade e trmestre do anos, verfca-se que: ) α estma as vendas eseradas no rmero trmestre quando as desesas com ublcdade são nulas; ) δ t (t =,,4) estma a dferença entre o valor eserado das vendas do t- ésmo trmestre e as vendas do rmero trmestre, quando o montante gasto em ublcdade é nulo ; ) β estma a varação eserada nas vendas do rmero trmestre que resulta de uma varação untára no nvestmento em ublcdade; VOLUME III º QUADRIMESTRE DE 00

17 R EVISTA DE E STATÍSTICA ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE 00 v) γ t (t =,,4) estma a dferença no efeto da ublcdade nas vendas entre o t-ésmo trmestre e o rmero. Neste caso, a nfluênca de em é varável com o trmestre em causa e de magntude β, β γ, β γ e β γ 4, resectvamente, em cada um dos trmestres. Para testar a hótese de que a relação entre a varável deendente e a varável exlcatva é a mesma nos quatro trmestres, é necessáro realzar um teste de sgnfcânca conjunta aos coefcentes δ t e γ (t =,,4). Para fnalzar, refra-se que a defnção de regressores dumm no modelação de fenómenos com sazonaldade só faz sentdo sob a hótese de que a nfluênca do factor sazonal na varável exlcada é constante ao longo de todo o eríodo de temo em que ncde a análse. Esta hótese esteve naturalmente resente em todas as formulações analsadas. Por exemlo, na esecfcação (6) admtu-se não só a ossbldade do termo ndeendente varar com o trmestre do ano mas também, embora mlctamente, que qualquer que fosse o ano consderado, o efeto de cada trmestre artcular na varável deendente era semre dado elas magntudes δ, δ e δ4. Como últma nota, Abesnghe (99) demonstra que aenas neste caso esecífco é seguro utlzar varáves dumm na modelação de fenómenos com sazonaldade. Este autor mostra que o uso deste to de regressores na modelação de séres cronológcas caracterzadas or raízes untáras sazonas roduz resultados sem qualquer valdade. t 4. VARIAÇÕES CONTÍNUAS NOS PARÂMETROS A utlzação de regressores dumm revela-se gualmente muto útl quando se retende modelar fenómenos económcos em que a varação no declve da recta de regressão, embora abruta, não é descontínua. Esta categora de modelos que assamos a analsar, é geralmente conhecda na lteratura econométrca como modelos slne broken-lne ou ecewse. Um exemlo tíco de um modelo que se nsere nesta categora basea-se na relação exstente entre os mostos agos elas famílas e o seu rendmento bruto. Como é do conhecmento geral, a taxa margnal de mosto assume um valor constante nas váras bandas de rendmento mas sofre uma varação de magntude entre quasquer dos escalões que consderemos. Neste enquadramento, a relação entre mostos agos e rendmento, ode ter a segunte confguração:

18 c c Fgura 6. Observações de um hotétco estudo econométrco A fgura 6 lustra que a nuvem de ontos concentra-se em torno da taxa margnal de mosto que vgora ara cada nível de rendmento. Por hótese, admtase que os valores de c e c são conhecdos. Face à stuação aresentada, ajustar um modelo de regressão lnear standard do to I = α β u arece de todo contraroducente. Efectvamente, tendo em atenção a fgura 6, o que se deve estmar é: I u c = α β ara I = α β u ara c c I u c = α β ara Assm, e numa rmera análse, ode ensar-se que a defnção de duas varáves dumm, or exemlo, D, se c c = 0, caso contráro e D, se > c = 0, caso contráro e a esecfcação do modelo I = α ( α β ( β α )D β )(D ( α ) ( β α )D β )(D ) u ; =,,...n ; u ~ IIN(0, σ (4) ) ermte uma aroxmação adequada ao roblema em causa. Todava, da alcação deste rocedmento resultarão não só três equações de regressão totalmente dstntas VOLUME III º QUADRIMESTRE DE 00

19 R EVISTA DE E STATÍSTICA 5ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE 00 mas também dos valores dferentes quer ara E(I = c) quer ara E(I = c ). Quer dzer, a formulação do modelo (4) não garante a contnudade da lnha de regressão nos ontos de mudança c e c (também desgnados or nós ). Para forçar a lnha de regressão a ser contínua, é necessáro defnr as seguntes restrções lneares α βc = α βc α βc = α βc donde resulta α α = ( β ) (4) c β e α α = ( β ). (4) c β Se muser as restrções (4) e (4) no modelo (4), este transforma-se em: I = α β ( β ; =,,...n ; u β )D ~ IIN(0, σ ( c ) ( β ) β )D ( c ) u ; (44) Para obter a lnha de regressão que melhor se adata à nuvem de ontos reresentada na fgura 6, basta regredr I na varável assocada ao termo ndeendente α, em e nas varáves roduto D ( c) e D ( c ). Observe-se também que o modelo (44) ode exressar-se como I = α β γ ; =,,...n ; u D ( c ) γ D ~ IIN(0, σ ) ( c ) u ; (45) ou, tendo em atenção as três combnações ossíves de valores das varáves dumm, I α β u se c = α cγ ( β γ ) u se c c. (46) α cγ ( β γ ) u se c Portanto, o rocesso de estmação roduzrá um coefcente nclnação dstnto ara cada uma das categoras de rendmento consderadas e assegurará, smultaneamente, a contnudade retendda da lnha de regressão. Neste contexto,

20 β estma o declve da lnha de regressão ara níves de rendmento nferores a c, β γ o declve ara os valores de que osclem entre c e c e, fnalmente, β γ a nclnação da lnha de regressão ara os valores de que excedam c. Assm, or exemlo, ara níves de rendmento suerores a c, estma-se que o montante de mosto ago aumente β γ undades monetáras or cada undade monetára de aumento do rendmento. Um teste F à hótese γ = γ = 0 ermte testar a sgnfcânca das mudanças estmadas nos declves. 5. GENERALIZAÇÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste estudo demonstra-se que dos tos de modelos com arâmetros varáves são normalmente ajustáves medante a defnção de regressores dumm. A stuação mas comum e que se analsou em rmero lugar é aquela em que se assume uma varação descontínua dos arâmetros em causa, seja ela ncdente aenas na ordenada na orgem da recta de regressão, aenas no seu declve ou em ambos. Dos autores que referem este to de modelos, ode referr-se, or exemlo, Maddala (99), Grffths (99), Ramanathan (989), Greene (99), Johnston (984), Kmenta (986) e Gujarat (99). A segunda stuação, abordada desgnadamente or Darnell (994), Ramanathan (989), Greene (99), Fomb (984), Sen e Srvastava (990) e Gujarat (99), ocorre quando a varação nos arâmetros se rocessa de uma forma contínua num ou mas ontos conhecdos à ror. Como se referu, estes últmos modelos desgnam-se or modelos slne, broken lne ou ecewse e foram analsados na arte fnal deste estudo. Os modelos esecfcados ara lustrar este trabalho assentaram na suosção de que aenas uma varável quanttatva era consderada relevante ara exlcar o comortamento da varável deendente. A vsualzação gráfca ossbltada or estes modelos justfcou a sua selecção. Naturalmente, a utlzação de regressores dumm na cração de modelos com arâmetros varáves encontra também camo de alcação em modelos mas comlexos que ncluam um número qualquer de regressores quanttatvos. Por exemlo, ara ncororar a ossbldade de varabldade na totaldade dos coefcentes (termo ndeendente e nclnações arcas) do segunte modelo de regressão com k varáves exlcatvas quanttatvas (nclundo a varável assocada ao termo ndeendente) j = α β j β j L β (k ) (k ) j u j ; =,,..., ; j =,,..., n ; u ~ IIN(0, σ ) (47) de acordo com categoras de uma determnada varável nomnal, o segunte modelo com regressores dumm deve ser formulado VOLUME III º QUADRIMESTRE DE 00

21 R EVISTA DE E STATÍSTICA 7ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE 00 = α β β = α t= ( α (k ) ( β ( β t= ( α (k )t ; =,,...n ; α )D (k ) t ( β β α )D u β (k ) ( α )(D (k ) t )(D β t ~ IIN(0, σ α )D ) ( β β (k ) (k ) ) )(D t= ) u ; L ( α (k ) ( β t α )D ) L ( β β β )(D ) L ( β β )(D t (k ) β (k ) ) L β )(D ) L )(D (k ) (k ) (k ) ) u (48) ou, de forma equvalente, = α δ D δ D L δ D β γ ( D ) γ ( D ) L γ ( D ) L β γ ( D ) L γ ( D ) u ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) = α δ D β γ t t t= ; =,,...n ; u t= ~ IIN( 0, σ ) ( D ) L β γ ( D ) u ; t t ( k ) ( k ) ( k ) t t ( k ) t= (49) em que: D t, se a -ésma observação ertence ao t-ésmo gruo ( =,,..., n ; t =,..., j) = 0, caso contráro Naturalmente, outros cenáros são admssíves. Nomeadamente, ode consderar-se a stuação de aenas o termo ndeendente e arte dos coefcentes nclnação aresentarem dferenças entre os gruos. Assm, suonha-se que as k varáves exlcatvas do modelo (47) são dvddas em duas comonentes: as q rmeras, cujos coefcentes se acredta serem dstntos entre os gruos e os restantes r = (k ) q, com arâmetros hotetcamente guas ara esses três gruos. O modelo com regressores dumm arorado a este contexto é o segunte: = α ( α α ) D ( α α ) D L ( α α ) D β ( β β )( D ) ( β β )( D ) L ( β β )( D ) L β ( β β )( D ) L ( β β )( D ) q q q q q q q q β (q ) L β u ( q ) ( k ) ( k ) = α ( α α ) D β ( β β )( D ) L β ( β β )( D ) β L β u ; t t t t q q t= t= t= qt q t q (q ) ( q ) ( k ) ( k ) ; =,,...n ; u ~ IIN( 0, σ ) (50)

22 ou, mas smlesmente = α δ D δ D L δ D β γ ( D ) γ ( D ) L γ ( D ) L β γ ( D ) L γ ( D ) β( ) ( ) L β( ) ( ) u q q q q q q q q k k = α δ D β γ t t t= t= β L β u ; ( q ) ( q ) ( k ) ( k ) ; =,,...n ; u ~ IIN( 0, σ ) ( D ) L β γ ( D ) t t q q qt t q t= (5) Observe-se que, ara cada gruo de observações, o modelo (5) é equvalente a: α β β L β (k ( α δ ) ( β γ ) ( β β (q ) (q ) L β (k ) (k = M ( α δ ) ( β γ ) ( β β (q ) (q ) L β (k ) (k ) ) ) γ u, γ (k ) u, ) ) u, L ( β ( L ( β ( =,,..., n q = n q ( = n γ, n γ q q n ) ) ) q,..., n q L n ( ) n ),..., n) (5) O modelo slne acma descrto ode gualmente ser generalzado a um qualquer número de nós conhecdo. Assm, se admtr, or hótese, a resença de r nós relevantes, o modelo = α t β t u ara c t c t, t =,,...,r (5) em que c 0 ode ser gual a e c r ode corresonder a, é ajustável medante a defnção de r regressores dumm D t, se c t- c t = 0, caso contráro ( =,,...,n ; t =,,...,r ) Nesta crcunstânca, o modelo que ermtrá obter uma lnha de regressão contínua com r segmentos é = α ( α t α)d t β ( β t β)(d t ) u ; (54) ; =,,...n ; r t= u ~ IIN(0, σ ) j t= aós a sua rearametrzação com as restrções lneares: α β c = α c, t =,,...,r (55) t t t t β t t VOLUME III º QUADRIMESTRE DE 00

23 R EVISTA DE E STATÍSTICA 9ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE 00 É mortante salentar que os modelos slne, ajustáves medante a cração de regressores dumm, ressuõem que se conheça à ror o valor do nós. Se esta hótese não se verfcar, entra-se no domíno da esecfcação e estmação de modelos de regressão não lneares cuja análse não se enquadra nos objectvos deste estudo. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ABEYSINGHE, T. (99), Determnstc Seasonal Models and Surous Regressons, Journal of Econometrcs, Vol. 6, CHATTERJEE, S. (99), Regresson Analss b Examle, segunda edção. New York (John Wle & Sons, Inc.). DARLINGTON, R. B. (990), Regresson and Lnear Models. New York (McGraw-Hll). DARNELL, A. C. (994), A Dctonar of Econometrcs. Aldershot (Edward Elgar). FOMBY, T., CARTER, R. e JOHNSON, S. (984), Advanced Econometrc Methods. New York (Srnger-Verlag). GREENE, W. H. (99), Econometrc Analss, segunda edção. New York (Macmllan Publshng Coman). GRIFFITHS, W. E., CARTER H. e JUDGE, G. (99), Learnng and Practcng Econometrcs. New York (John Wle & Sons, Inc.). GUJARATI, D. (970), "Use of Dumm Varables n Testng for Equalt between Sets of Coeffcents n Two Lnear Regressons: A Note, The Amercan Statstcan, Vol. 4, n., NOTAS: Por gruo entenda-se um conjunto de ndvíduos que têm um comortamento unforme face a uma determnada varável nomnal (or exemlo, que ossuem o mesmo estado cvl ou grau de formação escolar ), no caso do estudo em análse ser do to secconal, ou um conjunto de observações que dgam reseto a um determnado eríodo de temo, se o estudo em causa for cronológco. Observe também que omtndo o termo ndeendente do modelo (5) ou da esecfcação equvalente (6) é ossível crar um regressor dumm ara cada gruo de observações e obter assm, de forma medata, o valor de cada um dos termos ndeendentes através dos E.M.Q.O dos arâmetros assocados a cada um desses regressores. A formulação que conduz drectamente a esse objectvo é = α D α D α D β u em que D assume o valor ara o rmero gruo de observações. Uma ossível defnção de sazonaldade é a roosta or Hlleberg (99), segundo a qual sazonaldade é um movmento ntra-anual sstemátco, não necessaramente regular, rovocado ela varação do clma, do calendáro, da erodcdade das decsões, drecta ou ndrectamente através da rodução e consumo de decsões tomadas elos agentes económcos.

24 GUJARATI, D. (99), Essentals of Econometrcs. New York (McGraw- Hll). HARDY, M. A.(99), Regresson Wth Dumm Varables (Sage Unverst Paer on Quanttatve Alcatons n the Socal Scences, seres nº 07-09). Newbur Park (Sage Publcatons, Inc.). HAYS, W. L. (994), Statstcs, qunta edção. Phladelha (Harcourt Brace College Publshers). HYLLBERG, S. (99), Modellng Seasonalt. Oxford (Oxford Unverst Press). JOHNSTON, J. (984), Econometrc Methods, tercera edção Auckland (McGraw-Hll). KMENTA (986), Elements of Econometrcs, segunda edção. New York (The Macmllan Publshng Coman). LONG, J, S. e MIETHE, T. D. (988), The Statstc Comaraton of Grous. Newbur Park (Sage Publcatons, Inc.). MADDALA, G. S. (99), Introducton to Econometrcs, segunda edção. New York (Macmllan Publshng Coman). MILLER (98), Aled Econometrcs. New York (The Macmllan Publshng Coman). SEN, A. e SRIVASTAVA, M. (990), Regresson Analss: Theor, Methods and Alcatons. New York (Srnger-Verlag),. STEWART, J. (99), Econometrcs. Cambrdge (Phl Allan). VOLUME III º QUADRIMESTRE DE 00