F = O modelo de Regressão Múltipla Geral é dado por: Y i = β 1 + β 2 X 1i + β 3 X 2i + +β k X ki + U i Para testar a hipótese nula de que: H

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1 Prof. Lorí Val, Dr. Nem sempre se quer testar os coefcentes ndvduas da regressão. Pode ser necessáro e é convenente testar o modelo como um todo, sto é testar se: H : β β... β 0 3 k Este caso pode ser tratado através da análse de varânca (ANOVA. 0 O modelo de Regressão Múltpla Geral é dado por: Y β 1 + β X 1 + β 3 X + +β k X k + U Para testar a hpótese nula de que: H : β β... β 0 3 k 0 Isto é, todos os coefcentes são nulos, contra a alternatva de que nem todos são smultaneamente nulos, determna-se: SQE /( k 1 F SQR /( n k A expressão tem uma dstrbução F com k - 1 e n - k graus de lberdade. SQE /( k 1 F SQR /( n k ( n k R ( k 1 ( 1 R ( n ( k k SQE 1 SQR ( n k SQE ( k 1 ( SQT SQE ( n k ( SQE / SQT ( k 1 [ 1 ( SQE / SQT ] ( 1 R /( k 1 R /( n k 1

2 Onde: SSR (Soma dos Quadrados dos Resíduos (RSS Resdual Sum of Squares VR SQR n E ( Y Yˆ 1 n 1 SQE (Soma dos Quadrados Explcados (ESS Explaned Sum of Squares VE SQE n ( Yˆ 1 Y e: n 1 G.L. ( Y Y n ( Y 1 Ŷ + n 1 ( Ŷ Y SQT SQR + SQE n -1 (n - k k O resultado anteror mostra que F e R varam dretamente. Assm se R 0, então F é zero. Quanto maor o valor de R maor será o valor de F. Desta forma o teste F que é de ajuste do modelo também testa a sgnfcânca do coefcente de determnação. Decdndo entre modelos compettvos A decsão entre um modelo lnear ou um modelo log-lnear (o lagartmo do regressor é uma função dos logartmos dos regressores é uma questão básca na análse empírca. Para testar: H 0 : Modelo Lnear; H 1 : Modelo Log-Lnear. Pode-se utlzar o teste MWD. O teste MWD fo proposto por MacKnnon, Whte e Davdson e envolve as seguntes etapas: Estmar o modelo lnear e determnar os valores Ŷ ; Estmar o modelo log-lnear e obter os valores ln^y ;

3 ln^ Obtenha Z 1 lnŷ Y ; Fazer uma regressão de Y sobre os valores de X e Z otdos como acma. Rejetar H 0 se o coefcente de Z 1 for estatstcamente sgnfcatvo através do teste t tradconal; Obter Z (antlog ln^ Y Ŷ Regredr o ln de Y sobre os logartmos de Xs e Z. Rejetar H 1 se o coefcente de Z for sgnfcatvo pelo teste t. O modelo clássco de Regressão Lnear é baseado em um conjunto de hpóteses smplfcadoras: É lnear nos parâmetros; Os regressores X são fxos em amostragens repetdas; A expectânca dos U é zero; A varânca de U é constante e homocedástca. Se U não são autocorrelaconados; Se os X são aleatóros eles são ndependentes ou não-correlaconados com U ; O número de observações (n deve ser maor que o número de regressoes (k; Não há relação lnear entre os regressoes, sto é, multcolneardade; Os termos U são normas. Três questões devem ser responddas: Qual o desvo mínmo em relação a uma hpótese, para que sto faça dferença? Como verfcar se uma hpótese fo, de fato, volada, numa stuação específca? Que correção adotar quando uma ou mas hpóteses não forem verdaderas? 3

4 O termo multcolneardade fo cunhado por Ragnar Frsch na obra Statstcal Confluence Analyss by Means of Complete Regresson Systems do Insttuto de Economa da Unversdade de Oslo que fo publcada em O termo sgnfca a exstênca de uma relação perfeta lnear entre algumas ou todas as varáves explcatvas do modelo. Assm para uma regressão que envolva k varáves explcatvas: X 1, X,, X k, dremos que exste uma relação lnear exata se: λ 1 X 1 + λ X + λ k X k 0 Onde λ 1, λ,, λ k são constantes não smultaneamente nulos. A déa de multcolneardade nclu anda: λ 1 X 1 + λ X + λ k X k + V 0 Onde o termo V é estocástco. O termo multcolnar como defndo nclu apenas relaconamento lnear mas sto não exclu outras relações como por exemplo: X X 1.X 1 A exstênca da multcolneardade pefeta torna os coefcentes da regressão ndetermnados e seus erros padrão nfntamente grandes. Se a multcolneardade não for alta (não perfeta os coefcentes de regressão poderão ser determnados mas os erros padrão serão grandes. Conseqüêncas da multcolneardade Se as hpóteses do modelo são satsfetas os estmadores de MQO dos coefcentes da regressão são MELNV. Pode-se mostrar que mesmo que as varáves sejam altamente colneares os MQO anda mantém a propredade MELNV. Assm as conseqüêncas prátcas podem ser: As estmatvas apresentarem grandes varâncas e como resultante ter-se-á: Intevalos de confança maores; Alguns coefcentes podem ser não sgnfcatvos; O R anda ser alto, mesmo com coefcentes não sgnfcatvos. 4

5 Percepção da multcolneardade Este é um fenômeno essencalmente amostral, conseqüênca decorrente em boa parte de dados não-expermentas coletados na maora das Cêncas Socas. A segur algumas regras prátcas para detectar sua presença: Um R alto com poucos regressores sgnfcatvos; Altas correlações dos a dos entre os regresssores; Índce de Condção (IC Índce de Condção O número de condção k é defndo como: Autovalor Máxmo k Autovalor Mínmo O Índce de Condção (IC é defndo, então, como: Autovalor Máxmo IC k Autovalor Mínmo Pode-se adotar, então, a segunte regra empírca. Se k estver entre 100 e 1000 exste multcolneardade de moderada a forte. Se estver acma de 1000 a multcolneardade é grave. Da mesma pode-se utlzar o IC. Se ele estver entre 10 e 30 colneardade moderada a forte e acma de 30 grave. Uma hpótese mportante do modelo clássco de regressão lnear é a de que a varânca de cada termo resdual (U é constante e gual a σ. Homo (gual scedastcdade (dspersão, ou E( U σ 1,,...,n 5

6 Alternatvamente pode ser expressa por: V ( Y / x σ a homoscedastcdade A heteroscedastcdade é, então dada por: V ( Y / x σ Alguns causas da heteroscedastcdade podem ser: Stuações de aprendzagem e erro; Aumento de renda com aumento da lberdade de escolha de como dspor a renda; Melhora nas técncas de coleta de dados, menos erros, menor varabldade; A heteroscedastcdade é mas comum quando os dados são provenentes de cortes de séres temporas. O que acontece com os estmadores dos MQO e com suas varâncas na presença de heteroscedastcdade? Vamos supor o modelo de Regressão Lnear Smples: Y α + βx + U e que: E( U A nclnação da lnha de regressão é dada por: S XY XY nxy b S X n XX X σ Neste caso, a varânca do estmador será dada por: ( X X σ V ( b [ ( X X ] Se σ σ, então a expressão acma fcará reduzda ao caso usual. Neste caso o estmador MQO contnua lnear e não tendencoso, mas não será mas de varânca mínma. Ele não é efcente, pos não leva em consderação a nformação de que para cada x a varânca de Y é dferente. Para obter um estmador efcente é precso fazer uso do método dos MQG. 6

7 MQG (Mínmos( Quadrados Generalzados O MQO não leva em conta as dferentes varabldades dos resíduos, conferndo a mesma mportânca para cada observação. O MQG leva em conta explctamente tal nformação e por sto é capaz de produzr estmadores efcentes na presença de heteroscedastcdade. Detectando a Heterocedastcdade Como saber se exste heteroscedastcdade nos dados? Não exste um método seguro com valores amostras. Como, em geral, só exste um Y para cada X, dectetar a presença de heroscedastcdade não é smples. A maora dos métodos se basea no exame dos resíduos. Testes formas Teste de Park; Teste de Glejser; Teste de Spearman de correlação da ordem; Teste de Goldfeld-Quandt; Teste de Breusch-Pagan-Godfrey; Teste Geral de Heteroscedastcdade de Whte; Meddas Corretvas As meddas corretvas devem levar em conta as duas seguntes stuações: Quando as varabldades resíduas forem conhecdas e Quando elas não forem conhecdas. Se as varabldades resduas forem conhecdas então deve-se utlzar o Método dos Mínmos Quadrados Generalzados ou Ponderados, onde a ponderação é dada por: w σ 1 Se as varabldades resduas não forem conhecdas pode-se adotar os seguntes procedmentos: Varâncas e erros-padrão consstentes em heteroscedastcdade segundo Whte; Hpóteses plausíves a respeto do padrão de heteroscedastcdade; 7

8 Uma hpótese mportante do modelo clássco de regressão lnear é a de que não exste autocorrelação ou correlação seral entre os resíduos U. No entanto, a correlação pode ocorrer, então deve-se responder: Qual a sua natureza? Quas as conseqüêncas teórcas e prátcas? Como corrgr o problema quando ele ocorre? A Natureza O termo autocorrelação pode ser entenddo como a correlação entre os termos de observações no tempo [séres temporas} ou espacas [dados de corte]. No modelo clássco a suposção é de que: E(U U j 0 se j Isto é, um dado resíduo não é nfluencado por um outro dado resíduo j. Causas da Autocorrelação Inérca ou rgdez. Séres como PNB, Índces de Preços, Produção, Emprego e Desemprego são cíclcas; Vés de especfcação: varáves excluídas. Vés de especfcação: forma funconal ncorreta; Fenômeno da Tea de Aranha. A oferta de produtos agrícolas reflete um fenômeno denomnado de Tea de Aranha, em que a oferta reage ao preço como uma defasagem de um período de tempo, pos as decsões relatvas à oferta levam um certo tempo para serem mplementadas. 8

9 Defasagens. Em uma regressão de sére temporal do consumo sobre a renda, não é raro verfcar que o consumo no período corrente depende, entre outras cosas, do consumo no período anteror; Manpulações de dados. Dados trmestras agregados de médas de dados mensas; Estmatvas por MQO com Autocorrelação O que ocorre com os estmadores de MQO se E(U U j 0 (para j e as demas hpóteses forem mantdas? Neste caso os estmadores, a exemplo, do caso heteroscedástco, são anda lneares e não tendecosos. No entanto sua varânca será afetada. Neste caso eles não mas terão varânca mínma, sto é, eles não serão efcentes. Aqu, também, a exemplo da heteroscedastcdade pode-se encontrar um estmador que seja efcente. Para sto será necessáro utlzar MQG Mínmos Quadrados Generalzados, que ncorpora qualquer nformação adconal que tvermos através da transformação das varáves. Detectando a Autocorrelação A autocorrelação é um problema potencalmente séro e meddas corretvas devem ser tomadas. Entretanto, ncalmente, é necessáro, verfcar se ela exste. Alguns testes para detectar a autocorrelação. Método Gráfco. Representar grafcamente os resíduos (U t e os resíduos padronzados (U t /s; Teste das carreras ou de Geary. O teste d de Durbn-Watson 9

10 Meddas Corretvas Quando a estrutura da autocorrelação é conhecda utlzar a transformação de Pras-Wnsten e a Equação de Dferença Generalzada ou de Quase-Dferença. Quando o autocorrelação não é conhecda. Embora smples de aplcar a regressão de dferença generalzada é geralmente dfícl de rodar, pos, na prátca, poucas vezes se conhece o valor de ρ. Por sto foram crados métodos alternatvos. Método da prmera dferença. Para aplcá-lo é necessáro fazer o teste de Berenblutt-Webb de que ρ 1. O processo teratvo de Cochrane- Orcutt para estmar ρ. O método de Cochrane-Orcutt em duas etapas. É uma versão abrevada do processo teratvo. Método de Durbn em duas etapas para estmar ρ. PARK, R. E. Estmaton wth Heteroscedastc Error Terms. Econometrca. v. 34, n. 34, Out de p GLEJSER, H. A New Test for Heteroscedastcty. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton. v. 64, p GOLDFELD, S. M., QUANDT, R. E. Nonlnear Methods of Econometrcs. Amesterdã: North-Holland, 197. BREUSCH, T., PAGAN, A. A Smple Test for Heteroscedastcty and Random Coeffcent Varaton. Econometrca. v. 47, p GODFREY, L. Testng for Multplcatve Heteroscedastcty. Jornal of Econometrcs. v. 8, p WHITE, H. A Heteroscedastcty Consstent Covarance Matrx Estmator and a Drect Test of Heteroscedastcty. Econometrca. v. 48, p GEARY, R. C. Relatve Effcency of Count of Sgn Changes for Assessng Resdual Autoregresson n Least Squares Regresson. Bometrka, v. 57, P DURBIN, J., WATSON, G. S. Testng for Seral Correlaton n Least-Squares Regresson. Bometrka. v. 38, p BERENBLUTT, I. I., WEBB, G. I. A New Test for Autocorrelated Errors n the Lnear Regresson Model. Journal of the Royal Statstcal Socety. Sére B, v. 35, n. 1, P COCHRANE, D. ORCUTT, G. H. Applcaton of Least Squares Regressons to Relatonshps Contanng Autocorrelated Error Terms. Journal of the Royal Statstcal Socety. v. 44, P DURBIN, J. Estmaton of Parameters n Tme-Seres Regresson Models. Journal of the Royal Statstcal Socety. Sére B. v., p