I.2 Capacitância, Reatância Capacitiva das Linhas de Transmissão

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1 I.2 Capacitância, Reatância Capacitiva das Linhas de Tansmissão a) Intodução: ifeença de potencial Condutoes de uma linha de tansmissão Placas de um capacito Mesmo compotamento Condutoes das linhas de tansmissão (ente si e ente condutoes e tea) CAPACITORES Capacitância ente condutoes de uma dada linha: constante (só depende da distância ente os caos) Capacitância f ( áea, meio e distância ente placas ) Efeito capacitivo: influí muito pouco paa linhas até uns 50 km e tensão não muito elevada ( linhas de distiuição po ex.) despezado. Coente capacitiva: existe mesmo com a linha em vazio afeta: queda de tensão endimento, fato de potência da linha e até a estailidade do sistema de que faz pate. Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 5

2 ) campo elético em um conduto longo e eto: x Linhas de fluxo de campo elético em um conduto com caga positiva unifomemente distiuída em sua supefície equipotencial a distância x. ensidade de fluxo na supefície cilíndica: o fluxo que emana do conduto (numeicamente igual à caga em couloms), po unidade de compimento (1 meto), dividido pela áea da supefície em um compimento de 1m. q couloms/m 2 2πx q caga do conduto em couloms po meto x distância em metos Intensidade de campo elético ( ou (-) gadiente de potencial) é a densidade de fluxo dividida pela pemitividade do meio ε k k 0 pemitividade do vácuo (8,81x F/m) k k k0 q ε volts/m x Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 6

3 c) ifeença de potencial ente 2 pontos devido à caga ifeença de potencial (volts) taalho joules necessáios paa coulom move uma caga de um coulom ente 2 pontos. Intensidade de campo elético (volts/m) foça (N/coulom) soe uma caga de um coulom no ponto consideado. Taalho ealizado paa leva a caga de um ponto de potencial mais aixo à outo de potencial mais alto integal de linha, ente os dois pontos, da foça que age na caga, ou seja da intensidade do campo. Supefície equipotencial 1 +q 1 P 1 Supefície equipotencial 2 Paa se leva uma caga positiva de P 2 a P 1 deveá se ealizado um taalho, já que P 1 tem potencial maio que P 2. 2 P 2 Caga positiva - ifeença de potencial ente 2 e 1 taalho ealizado po coulom de caga tanspotada. Linhas de integação Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 7

4 - Queda de tensão ente 1 e 2 seá o taalho (ou a enegia) ealizado pelo campo po unidade de caga que se desloca de 1 a 2, independentemente de tajetóia seguida. aí: v q q dx dx 2 ε volts (A) 1 1 x 1 q caga instantânea no conduto em couloms/m de compimento v 12 positiva ou negativa dependendo da caga q(+ ou -) e tamém se o cálculo é de um ponto póximo a um distante ( 1 > 1 ) ou vice-vesa. d) Capacitância de uma Linha a ois Condutoes Capacitância ente os dois condutoes de uma linha a 2 fios vem a se a caga nos condutoes po unidade de difeença de potencial ente eles q [couloms] v [volts] Sustituindo (A) em (B): q c Faads/m (B) v c q q C depende do meio e das dimensões físicas Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 8

5 a a Linha a dois condutoes Queda de tensão ente (a) e () v a v a pode se calculada achando-se a queda de tensão devida à caga q a, do conduto (a), e, em seguida, a queda de tensão devida à caga q, do conduto (). A soma das duas daá a queda v a. Paa calcula v a vamos supo, de início, o conduto () sem caga, fomando somente uma supefície imesa no campo ciado po q a : Paa se evita a distoção faz-se a integação ao longo de 2 já que o potencial é o mesmo. 2 Linha de integação a a 1 Linha de integação a a Seguindo a tajetóia 2, temse: 1 a 2 Paa o cálculo da queda de tensão devido a q ª v ( q ) a a qa a volts Paa a caga q tem-se, analogamente: Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 9

6 va ( q ) q volts com 1 a e 2 a queda de tensão total seá: v a v a ( q ) + v ( q ) a a qa a q + como qa q q (linhas monofásicas) v a q a 2 q a Logo a capacitância seá: q c Faads/meto va 2 a Se: kπ a c F/m 2 com: 12 k 8,85 F/m paa o vácuo e 0 10 k k k0 pemitividade elativa. 12 Paa o a tem-se: k 1 k 8,85 10 F/m a Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 40

7 0,0278 c a µf/km (1) c a é a capacitância ente os condutoes de uma linha a dois condutoes. Caso desejamos a capacitância ente cada cao e um ponto neuto (po ex. tansfomado com tap cental ateado: o ponto neuto seá a tea e que-se a capacitância ente cada cao e tea) astaá multiplica po dois. 0,0556 cn can cn 2ca µf/km (1`) c a paa o neuto a can cn c an n c Consideação feita até aqui: cagas unifomemente distiuídas nas supefícies dos condutoes não é vedade quando outas cagas estão pesentes. O coeto seá considea os condutoes como supefícies equipotenciais e, a pati daí, faze as deduções. esta foma chegase ao seguinte valo de capacitância: 0,0556 cn µf/km (2) Paa o neuto Eo quando se usa fómula 1`em vez de 2 é muito pequeno, pincipalmente quando fo gande a elação / (distância ente condutoes/ aio dos condutoes) Exemplo: Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 41

8 / Eo (%) (na equação 1`) 10 0, , ,0005 Nomalmente / > 50 (/ 50 linha compacta) Cálculo da capacitância com supefícies equipotenciais: muito complicado paa linhas com váios condutoes em paalelo ou linhas tifásicas. Po estas azões adota-se a equação 1`e o mesmo pocedimento paa as póximas deduções. Osevação: na fómula 1`o aio usado é o geomético, ou seja, o vedadeio e isto é válido tamém paa caos encodoados, com eo despezível. Assim usaemos sempe o aio geomético vedadeio. Paa a eatância capacitiva tem-se: 1 1 x c πfcn 2πf 0,0556 2, xc 10 Ω x km (*) f paa o neuto * os.: este valo é paa 1 km de linha. Como a eatância capacitiva é em paalelo ao longo da linha, paa a linha toda deve-se dividi este valo pelo compimento total da linha em km. Paa 60 Hz: 6 xc 0, Ω x km (*) Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 42

9 paa o neuto 1 Os.: x c 2πfc c / v [c] F/km km c [f] Hz s -1 v km 1 v km 1 c s v km cs x c v km Ω A [ xc] 1 mas A c/s [ ] km Aqui tamém pode-se faze: xc 0, , Reatância capacitiva paa 1 meto de espaçamento Fato de espaçamento A coente capacitiva na linha seá: I cap va v j j a j2πfcava [A] x 1/ 2πfc c a a Execício: etemina a susceptância capactiva de uma linha monofásica a dois caos, de coe, em 60 Hz. Os caos são 1/0, com 7 fios, com 5,49m de distância ente seus centos. E ifeença de Potencial Ente ois Condutoes de Um Gupo de Condutoes Caegados Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 4

10 Paa váios condutoes paalelos pode-se calcula a tensão ente dois condutoes quaisque aplicando-se a equação q v 2 12, váias vezes, uma paa cada conduto. 1 Seja o gupo de condutoes com I + I + I I 0 a c m a q a am a m ac q m q mc c c q c m Supõe-se que: Não existência de cagas nas poximidades; Que o solo esteja suficientemente afastado; Que as distâncias ente condutoes sejam muito maioes que qualque dos aios. Com isto admite-se que a distiuição de cagas nas supefícies dos condutoes seja unifome. Numeadoes: distância de a todos os outos Assim: 1 a + + c V + + m a qa q qc... qm () a a ac am Escevendo de outa foma: 1 a V + a qa q aa a + q c c ac enominadoes: distância de a a todos os outos q m m am onde cada temo é a queda de tensão ente a e devida a caga de cada um dos condutoes do gupo. Analogamente: Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 44

11 1 ac + c + c V + + mc ac qa q qc... qm a a a ma... 1 am + m + cm V + + m am qa q qc... qm a a ca ma Têm-se um sistema de equações que pode se esolvido, deteminando-se as cagas, desde que se conheçam as tensões. estas equações dificilmente seão utilizadas paa se detemina cagas, entetanto o aciocínio empegado seá útil nas deduções posteioes. F Capacitância de uma Linha Tifásica com Espaçamento Eqüilateal. a c Condutoes com aios iguais paa os quais deseja-se calcula a capacitância paa o neuto. Aplicando o pocedimento do item anteio: 1 Va qa 1 Vac qa + q + q + qc + qc Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 45

12 Im V an R 60 V a 0 V an V c a V a V ac V ca -V ac c Pojetando V na em V a : V a V an cos0 V an 2 V a V ac V an 2 V a 2 Somando: Va + Vac mas q + qc 1 π 2qa 2k qa Va + Vac + (q + qc) q a Pela figua anteio: V V (cos 0 + jsen 0 ) a a Va 1 Van + j 2 2 Vac Vca 1 Van j 2 2 V a + Vac Van ( ) Van Sustituindo: Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 46

13 Van qa volts mas q C a n Van Logo: F / m, paa o neuto 0,0556 Cn µ F / km paa o neuto - Capacitância paa o neuto em uma linha tifásica com espaçamento eqüilateal (capacitância po fase). Os.: esta equação é idêntica à da capacitância paa o neuto de uma linha monofásica (note-se que a mesma semelhança foi veificada no cálculo da indutância). Icapa A coente capacitiva é dada po (po fase): V j an j2πfcanvan X can Icapa j2πfcnvan G Capacitância de uma Linha Tifásica com Espaçamento assimético. a c Neste caso, se não houve tansposição o cálculo ficaá complicado Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 47

14 Havendo tansposição, a capacitância média de cada fase paa o neuto seá igual às das outas fases. Nas linhas não tanspostas as difeenças são pequenas paa as configuações usuais, o que pemite que se façam cálculos como se elas fossem tanspostas. Conclusão: consideam-se todas as linhas como tanspostas, otendo-se capacitância média iguais paa todas as fases. Aplicando-se a eq. () paa cada posição da tansposição, vem: I fase a na posição 1, na 2 e c na : Va I 1 qa 2k π I 12 + q I 12 + qc I 2 volts 1 II fase a na posição 2, na e c na 1: Va II 1 qa 2k π II 2 + q II 2 + qc II 1 volts 12 III fase a na posição, na 1 e c na 2: Va III 1 qa 2k π III 1 + q III + qc 1 III 12 volts 2 Ao longo da linha teemos: se mantém constante q q c. a I V V V, isto é, a tensão V a ai q a II q aii a III aiii o que tamém vale paa q e Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 48

15 Isto complica astante o cálculo pois tem-se 10 incógnitas (q ij, i a,,c; j I,II,III e ainda V a ) e, emoa possa-se consegui 10 equações, o cálculo não é pático. Potanto, sem gande eo, admite-se que a caga po unidade de compimento em um conduto é a mesma em qualque posição do ciclo de tansposição. Com isto as tensões V a, V I a ev II a seão III difeentemente, devendo-se calcula a média aitmética. q q q a I a II a III, idem paa q e q c Va Va I + Va II + Va III eq V a q 1 π a 6k + q q 21 c Va 1 qa 6kπ eq + q eq eq com eq 1221 analogamente: Vac 1 qa eq + q eq mas, já vimos que V a + Vac Van 1 eq Van 2qa + q + qc eq eq Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 49

16 como qa + q + qc 0 q + qc qa 1 eq 1 eq eq Van 2qa qa 2qa qa eq Van qa eq volts Van qa eq volts Cn qa F / m, paa o neuto. Van eq 0,0556 Paa k 1 Cn µ F / km, paa o neuto. eq Esta é a capacitância paa o neuto, po fase, de uma linha tifásica assimética tansposta. Esta fómula é idêntica às anteioes. Execício: etemina a capacitância e a eatância capacitiva da linha aaixo, opeando em 60Hz, com fio n 2 de coe duo. Acha a coente capacitiva saendo que a linha é de volts. Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 50

17 1,7 m 1,7m 2,44m Cn 8, µ F / km 6,552 Taela mm 2 eq 1,7 1,7 2,44 1,66m 0,0556 C n 0,008927µ F / km 1,66 0,00275 paa o neuto paa o neuto Xc π 60 8, , Ω km paa o neuto ou das taelas Reatância capacitiva paa 1 meto de espaçamento Fato de espaçamento paa 1,66m 0,271 x 10 6 Ω 0,02417 x 10 6 Ω Reatância capacitiva 0,2970 x 10 6 Ω x km paa o neuto. A coente capacitiva seá: 6 Icap 2π 60 8, / 0,0427A / km H Efeito tea na Capacitância de Uma Linha Tifásica. Tea: afeta o campo elético da linha, alteando sua capacitância. Suposição: A tea é um conduto pefeito, plano e de dimensões infinitas (suposição sem gandes eos). Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 51

18 Paa análise da influência da tea: vamos considea uma linha única com etono pela tea. Ao se enegiza, ou caega, a linha vião cagas da tea paa a linha difeença de potencial ente linha e tea (linha e tea teão mesma caga com sinais contáios). Consideando-se a tea como um conduto pefeito: fluxo do campo elético seá pependicula à supefície da tea (equipotencial). h Conduto + q Linhas de campo Imaginemos agoa um conduto fictício, de mesmo tamanho e foma que o existente, situado aaixo da linha, a uma distância igual ao doo da distância linha-tea. h - q Imagem Retiando-se a tea oseva-se que tudo se passa, ente o conduto e a imagem, como se passava ente o conduto e a tea. Assim, usaemos a imagem do conduto (da linha) paa o cálculo da capacitância ente linha e tea. Como na figua, a imagem estaá a uma distância 2h (haltua da linha) e caegada com q (q caga da linha), sendo isto válido paa váios condutoes, cada qual com sua imagem. Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 52

19 Exemplo de aplicação: Situação na 1 posição do ciclo de tansposição. Aplicando-se a equação (), incluindo a imagem, vem: - Paa posição I (a em 1, em 2 e c em ). 1 V 12 a [qa + q e paa H H12 e a paa e a paa H 12 H q 2 c 1 H 2 H1 Repetindo-se paa as posições II e III, e tonando-se a epeti paa V ac, usando-se q a + q + q c 0 e V a + V ac V na, chega-se a: 0,0556 eq H 12H2H 1 H1H2H C n µf/km paa o neuto Note-se que é a mesma fómula com o denominado sutaído de ( H 12H12H12 / H1H 2H ). Paa H 1, H 2, H muito gandes tem-se: H 12 H 2 H H 1 H 2 H a pacela sutaída é paticamente igual a zeo. Po esta azão em geal despeza-se o efeito da tea. Pof.: Adiano Ale de Fança Mendes Caneio - EESC - USP SEL 65 Tansmissão e istiuição de Enegia Elética 5