MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NÚMEROS PRIMOS

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1 PROFESSOR DISCIPLINA ZERO ÍNDICE Aul Coteúdo Pági 0 Divisiilidde, MMC e MDC 0 Números Iteiros 6 0 Números Rciois 6 0 Potecição e Rdicição 66 0 Ftorção e Produtos Notáveis Sem ser que er impossível, ele foi lá e fez! 06 Rzão, Proporção, Médis e Escls 6 Aul 0 DIVISIBILIDADE, MMC E MDC EXERCÍCIO DE CLASSE 0 Em um divisão ão et, o quociete é 8, o divisor é e o resto o mior possível. Portto, o dividedo é: ) REGRAS DE DIVISIBILIDADE RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA DIVISÃO DIVIDENDO = (DIVISOR X QUOCIENTE) + RESTO 9 8 () Dividedo = 9 Divisor = 8 Quociete = Resto = Logo: 9 = 8 + MAIOR RESTO POSSÍVEL DE UMA DIVISÃO NÃO EXATA (MRP) MRP= DIVISOR - DIVISIBILIDADE POR Dizemos que um úmero é divisível por qudo o lgrismo fil ds uiddes desse úmero é 0,,, 6, 8. Tis úmeros chmm-se pres. Eemplos: 0,, 6, 96, 8. DIVISIBILIDADE POR Dizemos que um úmero é divisível por qudo som dos vlores solutos de seus lgrismos é múltiplo de, ou sej, qudo som dos vlores solutos for dividid por, teremos um respost et. Eemplos: ( + + = 9 9 = ) ( + + = = ) DIVISIBILIDADE POR Dizemos que um úmero é divisível por qudo termi em 00 ou qudo o úmero formdo pelos dois últimos lgrismos d direit é divisível por. Atedimeto o luo: (8) 9 000

2 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO Eemplos: 00 0 (0 = ) ( = 6) DIVISIBILIDADE POR Dizemos que um úmero é divisível por qudo o lgrismo fil desse úmero é 0 ou. Eemplos: 000,, 80, 6 DIVISIBILIDADE POR 6 Dizemos que um úmero é divisível por 6 qudo ele é divisível por e o mesmo tempo. Eemplos: 6 (é divisível por e por ) 9 (é divisível por e por ) DIVISIBILIDADE POR Dizemos que um úmero é divisível por qudo difereç etre s sus dezes e o doro do vlor de seu lgrismo ds uiddes é divisível por. Eemplos: 89 temos 8 dezes e 9 uiddes Dí fzedo o teste, temos: 8 9 = 8 8 = 6 é divisível por Portto 89 tmém é divisível por DIVISIBILIDADE POR 8 Dizemos que um úmero é divisível por 8 qudo os três últimos lgrismos formrem um úmero divisível por 8 ou termirem em 000. Eemplos: 86 temos os últimos três lgrismos 86 Fzedo 86 8 = 08 Portto 86 tmém é divisível por 8 DIVISIBILIDADE POR 9 Dizemos que um úmero é divisível por 9 qudo som dos vlores solutos de seus lgrismos é múltiplo de 9, ou sej, qudo som dos vlores solutos for dividid por 9, teremos um respost et. Eemplos: ( + + = = ) 86 ( = = ) DIVISIBILIDADE POR 0 Dizemos que um úmero é divisível por 0 qudo o lgrismo fil desse úmero é 0 (zero). Eemplos: 0, 800, 680 DIVISIBILIDADE POR Dizemos que um úmero é divisível por qudo difereç etre som dos vlores solutos dos lgrismos de ordem ímpr ( prtir ds uiddes) e som dos vlores solutos lgrismos de ordem pr é um múltiplo de. Eemplos: 89 Algrismos de ordem ímpr prtir ds uiddes: 9, 8, = 9 Algrismos de ordem pr:, + = 8 Difereç etre s dus: 9 8 = (múltiplo de ), portto divisível por DIVISIBILIDADE POR Dizemos que um úmero é divisível por qudo som etre s sus dezes e o quádruplo do vlor de seu lgrismo ds uiddes é divisível por. Eemplos: temos dezes e uidde Dí fzedo o teste, temos: + = + = 9 é divisível por Portto tmém é divisível por DIVISIBILIDADE POR Dizemos que um úmero é divisível por qudo ele for divisível por e o mesmo tempo. Eemplos: 968, DIVISIBILIDADE POR Dizemos que um úmero é divisível por qudo ele for divisível por e o mesmo tempo. DIVISIBILIDADE POR Dizemos que um úmero é divisível por qudo ele for divisível por e o mesmo tempo. DIVISIBILIDADE POR 8 Dizemos que um úmero é divisível por 8 qudo ele for divisível por e 6 o mesmo tempo. DIVISIBILIDADE POR Dizemos que um úmero é divisível por qudo ele for divisível por e o mesmo tempo. DIVISIBILIDADE POR Dizemos que um úmero é divisível por qudo ele for divisível por e 8 o mesmo tempo. DIVISIBILIDADE POR Dizemos que um úmero é divisível por qudo ele for divisível por e 9 o mesmo tempo. EXERCÍCIO DE CLASSE 0 Um úmero N é formdo por dois lgrismos e tis que + =. Se N é divisível por, etão N + é divisível por: ) MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO Múltiplo de um úmero iteiro é o produto deste úmero por um iteiro qulquer Eemplos: M()= {0,,, 6, 8,...} Oservções: * Qulquer úmero iteiro é múltiplo de * Somete o próprio zero é múltiplo de zero M(0) = {0} * O zero é múltiplo de todos os iteiros (múltiplo uiversl) NÚMEROS PRIMOS Dizemos que um úmero iteiro é primo, qudo ele tem etmete dois divisores positivos. p é primo D +(p) = {, p } Eemplo: O úmero 9 é primo, pois tem etmete dois divisores positivos, que são e 9. Atedimeto o luo: (8) 9 000

3 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO NÚMEROS COMPOSTOS Dizemos que um úmero iteiro é composto, qudo ele tem mis que dois divisores positivos. DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Todo úmero composto pode ser epresso com um produto de dois ou mis ftores primos. 8 9 A decomposição do úmero 8 é EXERCÍCIO DE CLASSE 0 A som dos ftores primos distitos do úmero,6 0 6 é: ) 9 DIVISORES DE UM NÚMERO Divisor de um úmero é qulquer iteiro d tl que =d por lgum iteiro. * Qudo d é divisor de um úmero diz-se divisível por d. * O meor divisor positivo de um iteiro qulquer é o úmero. * O mior divisor de um úmero iteiro ( 0) é * O úmero é divisor de todos os úmeros iteiros (divisor uiversl) * O zero ão pode ser divisor de ehum úmero iteiro. O cojuto de divisores de um úmero pode ser recohecido emido su ftorção. Vej: D(8) = {,,, 6, 8} 8 9, 6 9, 8 EXERCÍCIO DE CLASSE 0 Sejm,,,, e 6 os úmeros turis divisores de 8. A som 6 é igul : ) TOTAL DE DIVISORES DE UM NÚMERO COMPOSTO Se decomposição em ftores primos de um úmero composto N é: N = p q r c... t Etão o úmero de divisores turis de N é: ( + ) ( + ) (c + )... ( + ) Decompodo o úmero em ftores primos temos: = Logo o úmero de divisores é igul : ( + ) ( + ) = = 6 EXERCÍCIO DE CLASSE 0 Determie o vlor iteiro positivo M de modo que o úmero M 9 0 dmit 8 divisores turis distitos: ) 6 MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) É o mior de todos os divisores comus de dois ou mis úmeros, diferetes de zero. Eistem dois processos pr se determir o M.D.C. de dois ou mis úmeros, que são: () Processo ds divisões sucessivs; ( Processo d decomposição de ftores primos; Pr resolução ds questões qui proposts, utilizremos pes o processo d decomposição em ftores primos PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS () Decompõe-se cd úmero ddo em seus ftores primos; ( O M.D.C. será igul o produto dos ftores primos comus elevdos os meores epoetes que etrm composição dos úmeros Eemplo: A = e B = M.D.C. (A, B) = EXERCÍCIO DE CLASSE 06 Se-se que o M.D.C. dos úmeros A= ; B = e C = z é igul 80. Nesss codições + + z é igul : ) 6 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Chmmos de míimo múltiplo comum de dois ou mis úmeros como sedo o meor úmeros, diferete de zero, que sej, o mesmo tempo divisível por todos esses úmeros. CÁLCULO DO M.M.C. () Decompõe-se cd úmero em seus ftores primos; ( Multiplicm-se todos os ftores primos comus e ão comus elevdos os seus miores epoetes Eemplo: A = e B = M.M.C. (A, B) = Atedimeto o luo: (8) 9 000

4 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO EXERCÍCIO DE CLASSE 0 O M.D.C.(, = e o M.M.C.(, = 0. Sedo que som dos qudrdos de e é 6, clcule o qudrdo d som de e : ) f) N.D.R. RELAÇÃO IMPORTANTE PROBLEMAS COM MMC E MDC EXERCÍCIO DE CLASSE 08 Num corrid de utomóveis, o primeiro corredor dá volt complet em 0 segudos; o segudo, em segudos e o terceiro em segudos. Quts volts terá ddo cd um, respectivmete, té o mometo em que pssrão jutos lih de chegd: ) 66, 60 e 6, 8 e 60, e 0 0, e 0 0, 6 e SUPER DICA! Sempre que os deprrmos com prolems evolvedo evetos periódicos, o qul pergut-se pós quto tempo esses mesmos evetos ocorrerão simultemete, o prolem é de MMC Um edrist quer decorr um prede retgulr, dividido- em qudrdos como se fosse um tuleiro de drez. A prede mede,0m por,m.qul o meor úmero de qudrdos que ele pode colocr prede? ) Dois sios começm tocr, etmete às hors. Um toc de 8 em 8 miutos e o outro de em. Qutos miutos pós às hors, os dois tocrão, pel primeir vez, um mesmo istte? ) 0 miutos miutos miutos miutos 0 miutos 0. Um empres motou um piel lumioso com um sequêci de lâmpds colorids, ode form usds, sempre mesm ordem, lâmpds com s seguites cores: mrel, verde, zul, rc e vermelh. Form utilizds, o todo, lâmpds. Se primeir lâmpd for mrel, cor d últim lâmpd será: ) vermelh rc zul verde mrel Grito B A B E D EXERCÍCIO DE CLASSE 09 Um fucioário receeu lotes de psts pr colocr um rquivo morto. O primeiro lote tih 0 psts; o segudo 60; o terceiro 80. Ele desej reprtir os lotes em pcotes cotedo mesm qutidde de psts e mior qutidde de psts possível. O úmero de pcotes que ele frá é: ) Questões de Apredizgem 0. Um certo iteiro positivo qudo dividido por dei resto. O resto d divisão de por é: ) 0. Em um divisão ão et, o quociete é 8, o divisor é e o resto o mior possível. Portto, o dividedo é: ) Se é um úmero primo positivo e S som de todos os úmeros positivos e meores ou iguis (por eemplo S = + + = 0), o vlor de S é igul : ) Atedimeto o luo: (8) 9 000

5 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO 0. Num qudrdo de m de ldo são trçds rets prlels um de seus ldos, de modo que distâci etre dus rets cosecutivs sej sempre 80 cm. Se primeir e últim ret trçds distm,0 m do ldo mis próimo do qudrdo, o úmero totl de rets trçds é: ) Dois relógios tocm um músic periodicmete, um deles cd 60 segudos e o outro cd 6 segudos. Se mos tocrm (simultemet às 0 hors, que hors estrão mrcdo os relógios qudo voltrem tocr jutos (simultemet pel primeir vez pós s 0 hors? ) 0 hors e miutos hors e 0 miutos hors e 0 miutos hors 0. Qutos úmeros turis eistem etre 0 e 00, divisíveis simultemete por, e 9? ) ehum um dois três 0. Desej-se revestir o piso de um sl retgulr, de dimesões,80 m e,0 m, com peçs de cerâmic qudrds e iguis sem ecessidde de recortr qulquer peç. A medid máim do ldo de cd peç de cerâmic é: ) 0 cm cm 0 cm 0 cm 06. Cosidere um úmero iteiro formdo por cico lgrismos cuj represetção se dez sej cde. Cosidere tmém o fto de que o úmero ess form é divisível por se, e somete se c e d for divisível por. Com se esss codições, ssile ltertiv qul cost um úmero divisível por. ) Qutos divisores possui o úmero N = ? ) Num competição, dois ddores prtem jutos e prosseguem trvessdo pisci de um mrgem outr, repetids vezes. O primeiro lev 6 segudos pr ir de um ldo o ldo oposto e o segudo gst segudos pr fzer o mesmo percurso. Quto tempo decorrerá té que eles cheguem simultemete à mesm mrgem de ode prtirm? ) miutos e 0 segudos miutos 0 miutos e segudos 8 miutos e segudos miutos e 0 segudos 09. Pr que o máimo divisor comum dos úmeros m e sej 0, os vlores de m e, est ordem, são: ) 0 e e 0 e e e 0. Sej e úmeros iteiros tis que o M.D.C.(, = 6 e =. O míimo múltiplo comum de e é: ). Sej X um úmero turl, que o ser dividido por 9 dei resto e o ser dividido por dei resto. Sedo-se que som dos quocietes é 9, podemos firmr que X é igul : ) 9. Num divisão, o quociete é 8 e o resto é. Sedo-se que som do dividedo, do divisor, do quociete e do resto é, etão difereç dividedo meos divisor é: ) Cosidere o úmero A, ode A represet o lgrismo ds uiddes. Se esse úmero é divisível por, etão o vlor máimo que A pode ssumir é: ) Qul deve ser o vlor de o úmero N = pr que o M.D.C. etre 96, N e 0 sej? ) 0. Três fucioários de um escritório cumprem, sistemticmete, hors etrs de um trlho, iclusive os sádos e domigos: um deles cd dis, outro cd 8 dis e o terceiro cd 0 dis. Se, hoje, os três cumprirem hors etrs, próim vez em que irão cumpri-ls um mesmo di será dqui : ) um mês um imestre um trimestre um semestre um o 6. Três ciddes rsileirs, A, B e C, relizm grdes fests: de em meses em A, de 8 em 8 Atedimeto o luo: (8) 9 000

6 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO meses em B e de em meses em C. Esss fests coicidirm em setemro de 98. Coicidirão ovmete em: ) outuro de 98 setemro de 98 setemro de 99 lgum mês de 99 só depois do o 000 Aul 0 NÚMEROS INTEIROS. Qul o meor úmero primo positivo que divide? ) 8. Três toreirs estão em vzmeto. D primeir, ci um got de em segudos, d segud, ci got de 6 em 6 segudos e d terceir ci um got de 0 em 0 segudos. Etmete, ás hors ci um got de cd toreir. O úmero de vezes que s toreirs pigrm juts o itervlo de h 0seg h mi é: ) Dus estrds, que se cortm formdo um T, têm 90m e 680m, respectivmete. Pretede-se colocr postes de ilumição o logo ds estrds de modo que eist um poste em cd etremidde do trecho cosiderdo e um o cruzmeto ds dus estrds. Eige-se que distâci etre cd dois postes sej mior possível. Qutos postes deverão ser empregdos? ) 0 Não há ddos suficietes 0.(UECE 0.) Um úmero turl é primo qudo possui etmete dois divisores positivos. Dois úmeros turis ímpres são cosecutivos qudo difereç etre o mior e o meor é igul dois. Se, e z são os três úmeros primos positivos ímpres cosecutivos etão som + + é igul A) B) SISTEMA DE NUMERAÇÃO Os símolos 0,,,,,, 6,, 8 e 9 são chmdos de lgrismos. Historicmete ivetdos pelos Hidus e divulgdos pelos áres. Dí chmm-se de Ido-Aráicos. Os lgrismos são usdos pr formrem umeris, isto é, formrem úmeros. SISTEMA DECIMAL O sistem de umerção que usmos é chmdo sistem deciml, pois cotmos os elemetos (uiddes) em grupos de dez. Dezes = 0 uiddes (grupo de dez uiddes) Cetes = 0 dezes (grupo de dez dezes) Milhr = 0 cetes (grupo de dez cetes) Cd lgrismo ocup um ordem (ou cs) o umerl. Vej o eemplo: 9 C) D) Cs ds cetes Cs ds dezes Cs ds uiddes OBS: A prtir de mil, os úmeros são idicdos por (qutro) ou mis lgrismos. Grito C C A B C E B C A D B D D E D C B A C A FORMA POLINOMIAL Bsedo o sistem de umerção deciml (posiciol), podemos escrever os úmeros seguite form: Números de dois lgrismos N = (form orml) N = 0 + (form poliomil) Números de três lgrismos 6 Atedimeto o luo: (8) 9 000

7 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO N = c (form orml) N = c (form poliomil) Números de qutro lgrismos N = cd (form orml) N = c + d (form poliomil) EXERCÍCIO DE CLASSE 0 Sej N um úmero de dois lgrismos, tl que o lgrismo ds dezes sej o triplo do ds uiddes, e que sutrido o úmero 60 uiddes, o resto sej igul o lgrismo ds uiddes. O úmero N é: ) OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS ADIÇÃO Os termos d dição são chmdos prcels e o resultdo d operção de dição é deomido de som ou totl. A ordem ds prcels uc lter o resultdo de um dição: + = + O zero é o elemeto eutro d dição: 0 + = + 0 = SUBTRAÇÃO O primeiro termo de um sutrção é chmdo miuedo, o segudo sutredo e o resultdo d operção de sutrção é deomido resto ou difereç.. Prcel. Prcel miuedo sutredo som ou totl resto ou difereç A ordem dos termos pode lterr o resultdo de um sutrção: + + (sempre que Se diciormos um costte k o miuedo, o resto será diciodo de k. = ( + ) = + = EXERCÍCIO DE CLASSE 0 A difereç etre os termos de um sutrção é igul 0. Aumetdo-se o miuedo de e o sutredo de 8, o ovo resto será igul : ) 0 MULTIPLICAÇÃO Os termos de um multiplicção são chmdos ftores e o resultdo d operção de multiplicção é deomido produto. º. ftor º ftor produto O primeiro ftor tmém pode ser chmdo de multiplicdo, equto o segudo ftor pode ser chmdo de multiplicdor. A ordem dos ftores uc lter o produto de um multiplicção: O úmero é o elemeto eutro d multiplicção: Se diciormos um costte k um dos ftores, o produto será diciodo de k vezes o outro ftor: c ( k) c (k Se multiplicrmos um costte k um dos ftores, o produto será multiplicdo por k: c ( k) c k Podemos distriuir um ftor pelos termos de um dição ou sutrção qulquer (Propriedde distriutiv): Adição: ( + = + c Sutrção: ( = c Eercício de Clsse 0 O produto de dois úmeros é 60. Se dicioássemos uiddes um de seus ftores, o produto ficri umetdo de uiddes. Quis são os dois ftores? ) e 0 6 e 0 e e 0 e Se diciormos um costte k o sutredo, o resto será sutrído de k. EXEMPLOS 9 = 6 9 (+ ) = 6 = A sutrção é operção ivers d dição: M - S = R R + S = M A som do miuedo com o sutredo e o resto é sempre igul o doro do miuedo: M + S + R = M DIVISÃO Relção fudmetl d divisão: (divisor quociet resto dividedo Atedimeto o luo: (8) 9 000

8 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO 60 () 8 Dividedo = 60 Resto = Divisor = Quociete = 8 EXERCÍCIO DE CLASSE 0 Num divisão em que o divisor é 6, o quociete é e o resto é, o dividedo vle: ) OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA A prtir do poto O, mrcmos à su direit e à su esquerd, segmetos cosecutivos, com mesm medid e fçmos correspoder cd poto à direit de O, os úmeros iteiros positivos e à esquerd de O os úmeros iteiros egtivos ADIÇÕES E SUBTRAÇÕES - = e = = e - = Eiste um processo que simplific o cálculo de dições e sutrções com úmeros iteiros. Oserve os seguites eemplos: EXEMPLO : Clculr o vlor d seguite epressão: Solução: Fremos dus soms seprds um somete com os úmeros positivos: = +9 um somete com os úmeros egtivos: ( ) + ( 9) + ( ) = 9 Agor clculmos difereç etre os dois totis ecotrdos: = + 0 ATENÇÃO! É preciso dr sempre o resultdo o sil do úmero que tiver o mior vlor soluto! Deste modo, verificmos que cd úmero iteiro pode ser ssocido um poto d ret. A ret ode estão ssildos os potos é deomid ret uméric. VALOR ABSOLUTO O vlor soluto de um úmero iteiro idic distâci deste úmero té o zero qudo cosidermos represetção dele ret uméric. ATENÇÃO! O vlor soluto de um úmero uc é egtivo, pois represet um distâci; A represetção do vlor soluto de um úmero é. (Lê-se vlor soluto de ou módulo de ) EXEMPLOS: - = + = NÚMEROS SIMÉTRICOS Dois úmeros e são ditos simétricos ou opostos, qudo: + = 0 EXEMPLOS: - e são simétricos ou opostos, pois (-) + () = 0 e - são simétricos ou opostos, pois () + (-) = 0 O oposto de é - O simétrico de 6 é -6 O oposto do zero é o próprio zero Dois úmeros simétricos sempre têm o mesmo módulo. EXEMPLOS: EXEMPLO : Clculr o vlor d seguite epressão: Solução: Fremos soms de dus em dus prcels EXERCÍCIO DE CLASSE 0 Se A = 6 +, etão o vlor de A é: ) MULTIPLICAÇÕES E DIVISÕES Ns multiplicções e divisões de úmeros iteiros é preciso oservr com teção os siis dos dois termos d operção: SINAIS IGUAIS (+) SINAIS OPOSTOS () (+) (+) = +0 (+) ( ) = 0 ( ) ( ) = +0 ( ) (+) = 0 (+0) (+) = + (+0) ( ) = ( 0) ( ) = + ( 0) (+) = Seqüêci pr resolução de epressões (operções):. Resolver potêcis e rízes;. Resolver multiplicções e divisões;. Resolver dições e sutrções. Seqüêci pr resolução de epressões (elimição): 8 Atedimeto o luo: (8) 9 000

9 . Prêteses;. Colchetes;. Chves. OBS: A elimição de prêteses, colchetes e chves, devem oedecer às mesms regrs dos siis, utilizds multiplicção e divisão. ( ) ( ) ( 0) ( ) (mult. e div.) ( ) ( 0) (elim. prêteses) = 0 + = + EXERCÍCIO DE CLASSE 06 Resolv seguite epressão (-0): (- - ) - [0 + (-) : (+) - (-) : (- - )] ) 0 8 PROBLEMAS COM NÚMEROS INTEIROS Os prolems qui propostos deverão ser vistos como questões lgérics, em que se presetm um ou mis qutiddes cohecids (DADOS DO PROBLEMA) e se usc idetificção de um ou mis qutiddes descohecids (INCÓGNITAS). A solução de um prolem cost de qutro etps: () Idetificr e dr ome à(s) icógit(s); () A formulção d equção ou do sistem de equções; () A resolução proprimete dit d equção ou do sistem de equções; () Discussão d(s) solução(ões) Qul o úmero cuj metde é igul o seu triplo mis uiddes? SOLUÇÃO ª. Etp - Idetificr e dr ome à(s) icógit(s) Número = Metde do úmero = Triplo do úmero = ª. Etp - A formulção d equção ou do sistem de equções ª. Etp - A resolução proprimete dit d equção ou do sistem de equções ª. Etp - Discussão d(s) solução(ões) 6 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO - = - (verddeiro) EXERCÍCIOS DE CLASSE 0 Qul o úmero que, se somdo um qurto dele próprio, mis dois qurtos dele próprio, mis três qurtos dele próprio dá 00? ) 0 0 Questões de Apredizgem 0. Os igressos pr um tetro custm R$ 0,00, ms os estudtes pgm R$,00. Num di foi vedido 0 igressos e foi rrecddo um totl de R$.0,00. O úmero de igressos vedidos pr estudtes, foi de: ) A som de dois lgrismos de um úmero é. Se trocrmos ordem desses lgrismos, o úmero umet em 8 uiddes. Determie terç prte desse úmero: ) Um tirdor gh R$ 0,00 por tiro certdo e perde R$,00 por tiro errdo. Se um totl de 00 tiros, lucrou R$ 0,00, qutos tiros ele errou? ) Um comercite pretedi veder s lrjs de seu estoque R$.000,00 dúzi. Etretto, estrgrm-se dúzis e, pr ão ter prejuízo, resolveu veder o restte R$.00,00 dúzi. Quts dúzis de lrj ele tih iicilmete? ) Pedro gstou R$ 0,00 compr de certo úmero de rádios portáteis. Se ele umetsse su compr em mis uiddes teri gsto R$ 690,00. Nesss codições, qutidde de rádios que Pedro comprou é: ) Foi elord um prov com 9 questões. N primeir prte d prov hvi X questões vledo potos cd; segud prte hvi Y questões vledo dois potos cd. A prov tod vli 00 9 Atedimeto o luo: (8) 9 000

10 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO potos. A qutidde de questões d primeir prte er: ) Em um mes de um resturte estvm fmíli Silv (um csl e dus criçs) e fmíli Cost (um csl e um criç). A cot de R$,00 foi dividid de modo que cd dulto pgsse o triplo de cd criç. Quto pgou fmíli Silv? ) R$ 0,00 R$,00 R$,00 R$,00 R$, Um trem de 00m de comprimeto, tem velocidde de 0 Km/h. Quto tempo ele demor pr trvessr completmete um pote de 00m de comprimeto? ) mi 8seg mi seg mi 6seg mi seg mi 09. Um digitdor gh R$ 8,00 por pági digitd e clcul que lev miutos pr digitr um pági. Se ele trlhr durte dis ds h 0mi às 8h 6mi, ele vi receer: ) R$.60,00 R$.6,00 R$.06,00 R$.60,00 R$.60,00 0. Em um gêci trlhm 8 fucioários, etre homes e mulheres. Se o úmero de mulheres ecede de 6 uiddes metde do úmero de homes, qutos homes trlhm ess gêci? ) Grito E D C B E B A D E D 0. Num jogo disputdo etre Alfredo e Mário, comiou-se que Mário receeri $00,00 por cd prtid que ghsse e pgri $0,00 cd vez que perdesse um prtid. Após 0 prtids, Mário receeu $.60,00. Pode-se firmr que Mário perdeu: ) 8 prtids prtids 6 prtids prtids prtids 0. As iddes de um pi e um filho hoje são 60 e os. Há qutos os idde do pi er o quádruplo d idde do filho? ) Comprou-se viho $,8 o litro e chope $,0 o litro. O úmero de litros de chope ultrpss o de viho em e som pg pelo viho foi de $9, mis do que pg pelo chope. A qutidde de litros de viho comprd foi de: ) Cert qutidde de scos precis ser trsportdo e pr isto dispõe-se de jumetos. Se colocrmos dois scos em cd jumeto, sorm scos; se colocrmos três scos em cd jumeto, sorm jumetos desocupdos. Qutos scos precism ser crregdos? ) 0 0. Iterrogdo sore su idde, respodeu um meio: "Há oito os eu tih um qurto d idde que terei dqui um o". Que idde tem o meio? ) 0 os 9 os 8 os os os 06. Um fáric dispõem de dus máquis que produzem dirimete um totl de 600 peçs, sedo que primeir máqui produz 00 peçs mis que segud. Emido-se produção de certo di, verificou-se que hvi 80 peçs defeituoss o totl, tedo primeir máqui, 0 peçs defeituoss mis que segud. Neste di, o totl de peçs os, produzids pel primeir máqui foi de: ) 900 peçs 88 peçs 8 peçs 8 peçs 00 peçs 0. Um egocite comprou lgus omos por R$ 0,00 e vedeu-os R$ 6,00 cd um, ghdo, ved de todos os omos, o preço de custo de um deles. O preço de custo de cd omom foi: ) R$,00 R$,00 R$ 60,00 R$ 0,00 R$, Que hors são gor se do tempo que rest do di é igul o tempo já decorrido? ) 8 hors 60 Atedimeto o luo: (8) 9 000

11 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO hors hors e 8 miutos 6 hors e 8 miutos hors e 8 miutos 09. Um pesso, o fzer um cheque, iverteu o lgrismo ds dezes com o ds cetes. Por isso pgou mis importâci de $0,00. Sedo-se que os dois lgrismos estão etre si como está pr, o lgrismo, o cheque, que está cs ds dezes é o: ) 6 0. A idde tul de Crlos é difereç etre metde d idde que ele terá dqui 0 os e terç prte d que teve os trás. Podemos etão firmr que tulmete: ) Crlos é um criç de meos de os Crlos é um jovem de mis de os e meos de os Crlos tem mis de os e meos de 0 os Crlos já pssou dos 0 e ão chegou os 0 os Crlos tem mis de 60 os. Que hors são, se do que rest do di é igul o tempo decorrido? ) hors e 0 miutos hors hors hors 6 hors e miutos. Ao receer moeds como prte de um pgmeto, um ci de um gêci cári cotou "t" moeds de rel, "" de 0 cetvos, "z" de 0 cetvos e "w" de cetvos. Ao coferir o totl, perceeu que hvi cometido um ego: cotr ds moeds de cetvos como sedo 0 cetvos e ds moeds de rel como sedo de 0 cetvos. Nesss codições quti corret é igul iicil: ) crescid de $, dimiuíd de $, crescid de $,6 dimiuíd de $, crescid de $,. Isur tem o doro d idde de Jurci, que é um o mis velh que Beedit. Sedo-se que dqui dois os som ds iddes de Isur, Jurci e Beedit será igul os, qul idde de Beedit dqui 8 os? ) Um setor de um reprtição púlic receeu um lote de processos. Desse lote, cd fucioário rquivou processos, restdo processos. Se cd fucioário tivesse rquivdo 8 processos, restrim. O úmero de fucioários desse setor é: ) Comprei dúzis de cets e dúzis de chveiros por R$ 6,00. Um dúzi de chveiros é mis cr do que um dúzi de cets R$,00. Qul o preço de um chveiro? ) R$,00 R$,00 R$,00 R$,00 R$,00 6. Num eleição em que dois cdidtos disputm o mesmo crgo, votrm.0 eleitores. O cdidto vecedor oteve 8 votos mis que o cdidto derrotdo. Sedo-se que houverm votos ulos, qutos votos oteve cd cdidto? ).9 e e 9. e.0.08 e e 90. Atulmete, Gild tem os e Aluísio, os. Dqui qutos os Gild terá o doro d idde de Aluísio? ) Se o produto de dois úmeros iteiros e positivos umet de 0 uiddes, qudo os mesmos são sustituídos pelos seus cosecutivos, etão som desses dois úmeros é: ) Um trem, o iicir um vigem, tih em um de seus vgões um certo úmero de pssgeiros. N primeir prd ão suiu iguém e descerm desse vgão homes e mulheres, restdo ele um úmero de mulheres igul o doro do de homes. N segud prd, etretto, suirm esse vgão, 8 homes e mulheres, ficdo o úmero de homes igul o de mulheres. O totl de pssgeiros desse vgão o iício d vigem er: ) Um leiteiro vede o litro de leite por $6,00. A qutidde de águ que o leiteiro deve crescetr 8 litros de leite pr que poss veder o litro d mistur por $,00 é: ) Grito C C D C D C C C D B E A D A C D B A B A 6 Atedimeto o luo: (8) 9 000

12 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO Aul 0 NÚMEROS RACIONAIS Eemplos: 0,... = 9 0,... = 99,... = 0, DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTA Prte ão periódic seguid do período meos prte ão periódic g = Um ove por lgrismo do período seguido de ttos zeros qutos são os lgrismos d prte ão periódic Eemplos: 0,... = ,... = 0, NÚMEROS RACIONAIS (Q) DEFINIÇÃO: São queles que podem ser epressos form, ode e são iteiros quisquer, com diferete de zero. Q ={ = com e Z com diferete de 0 } Q = RACIONAIS = {..., -, TIPOS DE FRAÇÕES, -, 0,,,,...} FRAÇÃO PRÓPRIA É quel em que o umerdor é meor que o deomidor FRAÇÃO IMPRÓPRIA É quel em que o umerdor é mior que o deomidor FRAÇÃO APARENTE É quel em que o umerdor é múltiplo do deomidor DÍZIMAS PERIÓDICAS E FRAÇÃO GERATRIZ Tod frção pode ser represetd por um úmero deciml. A frção que dá origem dízim periódic é chmd de frção gertriz. OBTENÇÃO DE UMA FRAÇÃO GERATRIZ... (g) DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES g = Período Um ove por cd lgrismo do período EXERCÍCIOS DE CLASSE 0 Ecotre frção gertriz d dízim 0,... ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES IGUAIS Coserv-se o deomidor, diciodo ou sutrido os umerdores. EXERCÍCIOS DE CLASSE 0 Determie o vlor de COM DENOMINADORES DIFERENTES Sustituem-se s frções dds por outrs, equivletes, cujo deomidor será o MMC dos deomidores ddos. EXERCÍCIOS DE CLASSE 0 Determie o vlor de 6 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES Pr multiplicr dus ou mis frções, deve-se: ) Multiplicr os umerdores, ecotrdo o ovo umerdor; Multiplicr os deomidores, ecotrdo o ovo deomidor; EXERCÍCIOS DE CLASSE 0 Determie o vlor de 6 DIVISÃO DE FRAÇÕES Pr efetur um divisão ode pelo meos um dos úmeros evolvidos é um frção, devemos multiplicr o primeiro úmero pelo iverso do segudo. 6 Atedimeto o luo: (8) 9 000

13 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO EXERCÍCIOS DE CLASSE 0 Determie o vlor de NÚMERO MISTO Ddos três úmeros iteiros, e, com 0 e 0 < <, deomi-se úmero misto à represetção de um úmero rciol escrito so form: EXERCÍCIOS DE CLASSE 06 Trsforme 8 em frção imprópri. PROBLEMAS ENVOLVENDO FRAÇÕES Vejmos lgums oservções importtes pr fcilitr resolução de prolems: () A uidde é o úmero ásico pr resolvermos prolems de úmeros frcioários; () Pr mior fcilidde de cálculos, devemos escrever uidde como frção prete, isto é, qul o umerdor sej igul o deomidor. Isto depede d situção de cd prolem; Se você perdeu possuí, ms escreve (possuí) (perdeu) do que possuí, er porque você (resto) () Pr se ser quto é um frção de um úmero ou de outr frção, multiplic-se frção pelo úmero ou pel outr frção; EXEMPLOS: 60 Quto é de 0? 0 8 Quto é de? () Qudo se tem um frção que equivle ou correspode um úmero ou um quti e se desej ser o totl, multiplic-se o úmero ou quti pel frção ivertid. de um úmero correspode 60. Clcule esse úmero. 80 Respost: EXERCÍCIOS DE CLASSE 0 Num cert cidde, são de ciolidde estrgeir. Sedo-se que o totl de hittes é.60, o úmero de rsileiros ess cidde é: ) REGRA : PROBLEMA DAS TORNEIRAS O prolem ds toreirs é em típico operção com úmeros rciois. Pr resolver com mior fcilidde vmos cosiderr um tque de cpcidde C iicilmete vzio. A primeir toreir cosegue echer sozih em T. A segud toreir cosegue echer tmém sozih, o mesmo tque em T. Utilizdo-se s dus toreirs juts simultemete erts o mesmo tempo, o tempo pr echer o tque é N. Clculdo pel seguite epressão: N T T OBS: É válido ressltr que o sil positivo d fórmul é utilizdo pr toreirs que estão echedo o tque. Cso toreirs ou vzmetos esvzido o tque, devemos utilizr o sil egtivo. EXERCÍCIOS DE CLASSE 0 Um ci d'águ tem um vzmeto que esvziri em 8 hors. A toreir que stece pode echê-l em 6 hors. Com toreir ert, em quto tempo ci d'águ ficrá chei? ) 60 hors hors hors 6 hors 8 hors Questões de Apredizgem 0. A dízim periódic 0,... é igul : ) O umerl ) 6 Atedimeto o luo: (8) ,... equivle : 0. Três irmãos devem dividir um determid quti, de modo que o primeiro rece meos R$ 600,00; o segudo e o terceiro metde meos R$.000,00. O vlor que o primeiro irmão deve receer é: ) R$ 6.60,00 R$.0,00

14 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO R$.60,00 R$.0,00 R$.00,00 0. Dois trlhdores fzem jutos um serviço em 0 dis. Se um deles soziho reliz o mesmo trlho em dis, o outro seri cpz de relizr mesm tref em: ) 8 dis 0 dis dis dis 0 dis 0. O tque de gsoli de um crro tem cpcidde pr 6 litros. No mometo, ele preset pes de gsoli. Qutos litros de gsoli há esse tque? ) 0 litros litros 8 litros 6 litros 06. O slário de Sérgio é igul do slário de Reto. No etto, se Sérgio tivesse um créscimo de R$.00,00 em seu slário, pssri ter um slário igul o de Reto. A som dos slários de Sérgio e Reto é: ) R$.800,00 R$.00,00 R$.000,00 R$ 6.000,00 R$ 0.000,00 0. Um pi fleceu deido um herç pr ser dividid em prtes iguis por filhos, um dos quis é viúvo e possui filhos. Sedo-se que prte que ce o viúvo é metde dele e metde dividid etre seus filhos, podemos firmr que cd filho do viúvo receerá: ) Um "pool" de cursos de Pós-grdução em Admiistrção relizou seu processo seletivo. Dos cdidtos iscritos, form reprovdos os testes. 8 O úmero totl de provdos esse o foi de 98. quts iscrições receeu iicilmete o "pool"? ) O vlor de 0, ) 0,...,...,... é: 0. Retirei iicilmete, um quit prte de mih cot cári. Depois squei um qurt prte do resto e id sorrm R$.00,00. Qul er o sldo? ) R$.0,00 R$.00,00 R$.0,00 R$ 0.00,00 R$ 9.600,00 Grito B A A E D D A D D B O. Se 0,... é escrito em form de frção irredutível, etão som do umerdor com o deomidor dess frção é: ) Os de do preço de um moto equivlem de do preço de um utomóvel vlido em R$ 9.600,00. O preço d moto é: ) R$.60,00 R$ 8.60,00 R$ 6.00,00 R$ 6.000,00 R$.8,00 0. Três toreirs qudo erts sozihs, echem um pisci em 6h, 6h e 8h, respectivmete. Aerts simultemete, pisci estrá chei em: ) 9 hors hors 6 hors hors hors 0. Um ol de têis é dod de um ltur de,m. Sedo-se que el volt té d ltur de 8 ode ciu, pergut-se qutos metros percorreu ess ol desde que foi dod té ter o chão pel segud vez? ),6 m,6 m,0 m,0 m,0 m 0. Em um mostr retird de um lote de feijão, costtou-se que dele er rco e o resto preto. Sedo-se que difereç etre s qutiddes de scos de um e de outro tipo de feijão é 0, os scos de feijão rco erm, portto, em úmero de: ) Um comercite vedeu de um peç de tecido e id restvm 0cm. Qutos metros tih peç? ).00,00 m 6 Atedimeto o luo: (8) 9 000

15 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO 0,0 m 0,00 m,0 m 0,0 m 0. Um tque é limetdo por dus toreirs; primeir pode echê-lo em hors e segud em hors. Em quto tempo se pode echer esse tque, se rirmos segud toreir um hor pós primeir? ) hors e 0 miutos hors e miutos hors miutos e 0 segudos hors 6 miutos e 0 segudos hors 0 miutos e 0 segudos 08. N plilh de previsão orçmetári de um empres pr um certo mês, cost um totl gsto equivlete R$ 6.000,00. Deste totl desti- se o pgmeto de fucioários, pgmeto de impostos e, gstos com documetção. O 6 restte, que se desti despess miúds, é de: ) R$ ,00 R$.000,00 R$ 6.000,00 R$ 8.000,00 R$ 6.000, Um ci d'águ com cpcidde pr 960m possui um tuulção que limet e que eche em hors. Possui tmém um "ldrão" que esvzi em hors. Com águ jorrdo, echedo ci e o "ldrão" fuciodo simultemete, em quto tempo ci d'águ ficrá chei? ) 6hors e 8 miutos hors e 8 miutos 6 hors e 8 miutos 6 hors e 8 miutos hors e 8 miutos 0. Há 8 os idde de A er o triplo d de B e dqui os idde de B será d de A. Achr 9 rzão etre s iddes de A e B: ). Um pesso comprou dois ojetos pgdo preços iguis e vedeu-os por R$.900,00 o totl. Um dos ojetos foi vedido pelo preço de compr e o outro oteve-se um lucro de sore o preço d compr. O custo do primeiro ojeto foi de: ) R$.00,00 R$.900,00 R$.0,00 R$.690,00 R$.80,00. João fz um muro em 0 dis e Pedro fz o mesmo muro em 0 dis. Tedo trlhdo jutos durte dis, pssrm ser juddos por Crlos e termirm o serviço em dis. Em qutos dis, Crlos costruiri o muro soziho? ) Um costureir cofeccio 0 luss em dis de hors de trlho; outr costureir cofeccio o mesmo úmero de luss em dis de 9 hors. Trlhdo juts, em qutos dis de hors frão 60 luss? ) Um egocite ghou o primeiro mês de egócio, do seu cpitl. No segudo mês ghou do ovo cpitl, otedo ssim um lucro de R$.000,00.O cpitl iicil do egocite er: ) R$.000,00 R$.00,00 R$.0,00 R$.000,00 R$.00,00. A fez de um tpete em 8 hors e Clr fez do restte em 6 hors. Se trlhrem juts, termirão o tpete um tempo igul : ) hors e miutos hors e 0 miutos hors e 6 miutos hors e miutos hors e 8 miutos 6. Pr costruir um muro, João levri 0 dis e Crlos levri dis. Os dois começrm trlhr jutos, ms pós 6 dis João dei o trlho. dis pós síd desse, Crlos tmém do. Atôio soziho, cosegue termiá-lo em dis. Pr relizr costrução do muro soziho, Atôio levri: ) 8 dis 60 dis dis e hors dis 0 dis. Sej X o úmero de fichs cdstris receids pr rquivo. Dois fucioários, A e B, trlhdo jutos, rquivm de X em 8 hors. Se A, trlhdo soziho, cosegue rquivr de X em 0 hors, quts hors levrá B pr rquivr metde de X? ) hors hors hors hors 0 hors 8. Um egocite, um di, receeu 08 ovos, que os colocou em dus cests. A um freguês vedeu dos ovos d primeir cest e outro freguês vedeu dos ovos d segud cest. As dus cests têm 6 gor o mesmo úmero de ovos. Qutos ovos hvi em cd cest? ) 6 e 60 e 8 0 e 8 0 e 8 e 9. A máqui A tir 800 cópis em hor e máqui B tir 800 cópis em hor e 0 miutos. 6 Atedimeto o luo: (8) 9 000

16 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO Em quto tempo, s máquis A e B, juts, tirrão.00 cópis? ) hor e miutos hor e 0 miutos hor e miutos hor e 0 miutos hor e 0 miutos 0. Um tque é limetdo por toreirs. A primeir demor hors pr echer sozih o tque, segud gst 0 hors, terceir 0 hors e qurt 60 hors. Após ficrem erts juts durte hors, fechrm s dus primeirs. Clcule quto tempo demorrão s dus últims toreirs ficdo erts pr termir de echer o tque: ) 6 hors 6 hors e 8 miutos 6 hors e 0 miutos hors e miutos hors e 0 miutos POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO Aul 0 POTENCIAÇÃO DEFINIÇÃO: A potêci de epoete m (com m iteiro, m>) do úmero rel é defiid como sedo o produto de m ftores iguis e é represetd por m. Ode = se m m ftores m = epoete EXERCÍCIO DE CLASSE 0 O vlor d epressão ) é: A potêci de epoete do úmero, é chmd de qudrdo de e potêci de epoete do úmero, é chmd de cuo de. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS Pr simplificr epressões evolvedo potêcis é útil cohecermos s seguites proprieddes: Grito A E D C C E D D D B A D D D E E E B D C ª. Propriedde: = Tod potêci cujo epoete é (um), será igul própri se. ª. Propriedde: 0 = Qulquer úmero, diferete de zero, elevdo o epoete zero, é igul. EXEMPLOS: Atedimeto o luo: (8) 9 000

17 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO ª. Propriedde: m m Todo úmero elevdo um epoete egtivo, é igul um frção que tem pr umerdor o úmero e pr deomidor o próprio úmero elevdo esse epoete positivo. ª. Propriedde: m. = m+ Pr multiplicção de potêcis de mesm se, coserv-se se e somm-se os epoetes. ª. Propriedde: m = m EXERCÍCIO DE CLASSE 0 Reduzir um úic potêci ) 0 0 (0 ) 0 : REGRAS DE SINAIS NAS POTENCIAÇÕES 6 0 O sil d potêci depede sempre do sil d se (+ ou -) e d pridde do epoete(pr ou ímpr). DICA! O resultdo de um potecição só é egtivo em um úico cso: Qudo se é egtiv e o epoete é ímpr. Pr divisão de potêcis de mesm se, coserv-se se e sutrem-se os epoetes. 6ª. Propriedde: ( ) m =. m Pr se elevr um potêci, outr potêci, coserv-se se e multiplicm-se os epoetes. 8 ª. Propriedde: m. m = (. m Pr se elevr um produto um potêci, multiplicse o epoete de cd ftor pelo epoete d potêci dd. ( ) m m 8ª. Propriedde: m Pr se elevr um frção um potêci, elevm-se o umerdor e o deomidor ess potêci. 9 9ª. Propriedde: m m Pr se elevr um frção um epoete egtivo, elev-se o iverso d frção esse epoete positivo. 0ª. Propriedde: m 9 m Pr se elevr um úmero um epoete frcioário, o deomidor do epoete será o ídice do rdicl e o umerdor do epoete será o epoete do rdicdo. EXEMPLOS: (+ ) + 6 ( ) + 6 (+ ) + ( ) (se egtiv e epoete ímpr) Ateção! Note que - (- ), pois: - = - 9 (- ) = + 9 Oserve que ( ), pois: 9. 6 ( ) EXERCÍCIO DE CLASSE 0 O vlor d epressão ) RADICIAÇÃO 0 8 ( ) é igul : DEFINIÇÃO: Ddo um úmero rel e um úmero turl, defie-se (riz -ésim de ) como sedo o úmero rel r, se eistir, tl que: pr pr: = r desde que pr ímpr: = r desde que N epressão, temos: r e r 0 r 6 Atedimeto o luo: (8) 9 000

18 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO = ídice; = rdicdo e PROPRIEDADES OPERATÓRIAS ª. Propriedde: = rdicl Pr se elevr um rdicl um potêci elev-se somete, o rdicdo ess potêci. ª. Propriedde: A potêci d riz eésim de um rdicl é igul o rdicdo. ª. Propriedde: p p ou k p k p Multiplicdo-se ou dividido-se, o ídice do rdicl e o epoete do rdicdo, pelo mesmo úmero, diferete de zero, o rdicl ão se lter. EXEMPLOS: 6 Multiplicdo-se por 8 6 Dividido-se por ª. Propriedde: A riz eésim de um produto de vários ftores é igul o produto ds rízes eésims dos ftores. 8 c 8 c 9 ª. Propriedde: Pr se etrir riz eésim de um frção, etri-se riz eésim do umerdor e do deomidor ª. Propriedde: m m Pr se etrir um riz qulquer de um rdicl, isto é, pr sustituir um rdicl duplo, por um rdicl simples, st multiplicr os ídices dos rdicis. EXEMPLOS: EXERCÍCIO DE CLASSE 0 Sej Sej etão ) 8 6 é igul : c 8 Ateção!. Pel primeir propriedde podemos escrever que, etão pel propriedde simétric d iguldde temos que, de ode cocluímos que: pr escrever um úmero que estej for do rdicl, o rdicdo, st elevrmos esse úmero um potêci igul o ídice do rdicl. 9 OPERAÇÕES COM RADICAIS Redução o mesmo ídice ) Ach-se o MMC dos ídices dos rdicis. Esse será o ídice comum; Divide-se o ídice comum chdo pelo ídice de cd rdicl, os quocietes otidos multiplicm-se pelos epoetes dos respectivos rdicdos. EXERCÍCIO DE CLASSE 06 Reduzir o mesmo ídice os rdicis: e Adição e sutrção Só podemos somr e sutrir rdicis semelhtes, isto é, queles que possuem o mesmo ídice e o mesmo rdicdo. EXEMPLOS: 6 6 Multiplicção O produto de dois ou mis rdicis de ídices iguis é um rdicl que tem o mesmo ídice dos ftores e cujo rdicdo é igul o produto dos rdicdos dos ftores. 0 0 Divisão O quociete de dois ou mis rdicis de ídices iguis é um rdicl que tem o mesmo ídice dos ftores e cujo rdicdo é igul o quociete dos rdicdos dos ftores. 6 EXERCÍCIO DE CLASSE 0 A epressão 8 0 é equivlete : ) 8 RACIONALIZAÇÃO DE RADICAIS DEFINIÇÃO: Rciolizr um frção em cujo deomidor figure um rdicl é ecotrr outr frção equivlete à frção dd cujo deomidor ão coteh mis o rdicl. º. Cso: O deomidor cotém um só rdicl Multiplicmos mos os termos d frção por outro rdicl do mesmo gru, de modo que o produto dos rdicdos se tore um riz et. 68 Atedimeto o luo: (8) 9 000

19 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO EXERCÍCIO DE CLASSE 08 Rciolize frção. º. Cso: O deomidor é formdo pel som ou difereç de dois termos dos quis um, pelo meos, é rdicl. Multiplicm-se mos os termos pelo cojugdo do deomidor. OBS: Cojugdo de + é Cojugdo de é + 0. Se A 0, etão A é igul : ) 0 0 EXERCÍCIO DE CLASSE 09 Rciolize frção. 0. A epressão ) 6 é equivlete : RADICAL DUPLO Ddo o rdicl duplo, podemos trsformá-lo em rdicl simples pel fórmul: c c ode c 6 OBS: É importte lemrr que em todos os rdicis duplos se reduzem rdicis simples pel fórmul. Isso só ocorre se for um qudrdo perfeito. EXERCÍCIO DE CLASSE 0 A epressão equivle : ) 6 6 Questões de Apredizgem 0. Sej um úmero rel estritmete positivo e um úmero turl mior ou igul. Sore s seteçs I. II. III. é correto firmr que: ) somete I é fls somete II é fls somete III é fls I, II e III são flss. I, II e III são verddeirs. 0. Quisquer que sejm os úmeros reis positivos e, epressão ) é equivlete : 0. Sore o úmero é correto firmr que: ) ]0, [ é rciol é irrciol é irrciol ], [ 06. Se e são úmeros reis positivos, tis que 8, etão o produto é igul : 9 ) 9 0. Se e são úmeros reis tis que (0,) 0, e 6 0,, é verdde que: ) = > é um úmero irrciol + é um úmero rciol ão iteiro 08. Sejm 6, ( ), z e w. Podemos firmr que: ), z são irrciois;, w são rciois, w são irrciois;, z são rciois, z são irrciois;, w são rciois, w são irrciois;, z são rciois 09. Se p e q, etão p q p é igul : ) 69 Atedimeto o luo: (8) 9 000

20 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO 0. O resultdo d som 6 ) 0 é: 0. O vlor umérico d epressão ( ) pr = e = é: ) (UECE 0.) O produto 0 é formdo por qutos dígitos? ).... Grito A C A C B B A B A A A 06. Se K, etão ) K é igul : 0. O úmero 6 é rciol ou irrciol? Se for rciol clcule o vlor Se for irrciol, clcule o vlor de Determie o vlor de K 0,999..., 0, ode 09. Se K e M, etão ( K ) (M ) é igul : 6 ) 6 0. Sejm =, = e c = -. O vlor d epressão c é igul : c ) Simplificdo epressão S, otém-se: ) 0 0. Se p q e p q, etão o vlor de p + q é: ) 6 0. O vlor umérico d epressão pr = e = é: ) Se p e q, etão (p q ) é 6 igul : ) Se p 8 e q (p q) é igul : ) , etão. Se e são úmeros reis positivos, epressão é equivlete : 0 Atedimeto o luo: (8) 9 000

21 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO ) ( ). Sore s seteçs: I. 6 0 II. m, se m > 0, > 0 m 6 m III. Se 0 z, etão =, = 0 e z= É correto firmr que SOMENTE: ) I é verddeir II é verddeir III é verddeir I e II são verddeirs I, II e III são verddeirs. Se e são úmeros reis positivos, epressão é equivlete : ) + 6. O vlor d epressão, pr = 6, é: ) Simplificdo-se epressão K k k k ) k k ( k ) k k k k (k ) k ( k ) k, em que k, otém-se: 8. Sejm, e z úmeros reis tis que 0,, 0,0 e z 8 0, É corretp firmr que: ) z < < < < z z é um úmero rciol egtivo é um úmero irrciol mior do que é um úmero rciol ão iteiro 9. Simplificdo-se epressão,, otém-se:. Pr todo úmero rel, > 0, epressão 6 é equivlete : ) 6 6 ) 0. Se, etão é tl que: ) < 0 0 < < < 6 6 < 0 6 Grito B D B D D D 8 09 B A D D E B C B A A E C Atedimeto o luo: (8) 9 000

22 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO Aul 0 FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS FATORAÇÃO FATOR COMUM ( FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO ( ( ( ) ( DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS EXERCÍCIO DE CLASSE 0 Clcule o vlor de ) PRODUTOS NOTÁVEIS QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS EXERCÍCIO DE CLASSE 0 Se = 00 e = 0, o vlor de ( será: ) PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS EXERCÍCIO DE CLASSE 0 O vlor d epressão, pr e = ) 0 8 é: SOMA DE DOIS QUADRADOS ( ( SOMA DE DOIS CUBOS ( ( DIFERENÇA DE DOIS CUBOS ( ( TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU ( ) ( ( S P EXERCÍCIO DE CLASSE 0 Se + = e =, etão + é igul : ) Questões de Apredizgem 0. Se, o vlor de ) Efetudo-se 6 6, otém- se: ) 6 é: Atedimeto o luo: (8) 9 000

23 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO 0. O vlor d epressão 0, é: ) , pr 08. Se R, etão R ) 0 6 R é igul : R 0. A epressão equivlete ), pr, é Grito B D E E D B B C 0. Ecotre o vlor umérico de, sedo que 8 e. 0. O vlor de e é: ) 9 9 8, pr 06. Se e são úmeros reis tis que, etão é igul : ) 0. A epressão equivlete pr > 0 e > 0 é: ) 0. Se é um úmero rel tl que, determie o vlor de. 0. Ns seteçs io,,, c,, represetm úmeros reis ão egtivos. I. c ( ( II. III. 0 ( c c ) ( Sore s seteçs, é correto firmr que: ) somete I é verddeir. somete II é verddeir. somete III é verddeir. somete I e II são verddeirs. I II e III são verddeirs. c ) 0. A form mis simples de se epressr o úmero c ( rel é: c ) + c + c c 6 0. Se o úmero rel w é tl que m m m m w, etão w é equivlete : ) Atedimeto o luo: (8)

24 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO m m m m 06. Se e são úmeros reis estritmete positivos, epressão é equivlete : ) 0. Efetudo-se, com e ão ulos, otém-se: ) ( ) ( ) ( ) 08. Pr todos os úmeros reis e tis que 0, epressão ( ) ( ) é equivlete : ) ( ) ( ) 09. Se ( ) ( ) 0, etão é igul : ) O vlor de = é: ). O vlor d epressão é: ) 0, pr = e 8, pr. Se-se que c c 0 e c = 0 com, e c úmeros reis. Etão o vlor de + + c é igul : ) 0 0. O vlor d epressão, pr é: ) (. O úmero rel é equivlete : c ( ) c c c c c c c c Atedimeto o luo: (8) 9 000

25 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO c c. O vlor d epressão =, é: ),6,, 0,9 0, pr 6. Se = 0,..., o vlor umérico d epressão é: ) 0. Pr todo úmero rel mior que, epressão é equivlete : ). Simplificdo ) ( ) + ( ) ( ), otém-se: 8. (UECE 0.) O úmero rel positivo que stisfz codição = + é chmdo de úmero de ouro. Pr este úmero, temos que é igul ) Se e são úmeros reis, tis que e =, o vlor d epressão é: ) 0 Grito E A E B E D D B A C D E A C C C B E Atedimeto o luo: (8) 9 000

26 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO Aul 06 RAZÃO, PROPORÇÃO, MÉDIAS E ESCALAS. Propriedde d difereç dos termos c - c d - c d ou d c d. Propriedde d som dos tecedetes e dos coseqüetes c c c c ou d d d d. Propriedde d difereç dos tecedetes e dos coseqüetes c - c - c c ou d - d d d 6. Propriedde do produto dos tecedetes e dos coseqüetes c d c d ou c d c d RAZÃO A rzão etre dois úmeros rciois e, com 0, é o quociete de por. Idic-se : ou e lê-se: está pr ou pr. Dizemos que é o tecedete e o coseqüete. EXERCÍCIO DE CLASSE 0 Em um reprtição púlic, o úmero de fucioários do seo msculio equivle do úmero totl de 8 fucioários. A rzão etre o úmero de homes e o de mulheres que trlhm ess Reprtição é, ess ordem: ) 8 PROPORÇÃO É tod iguldde etre dus rzões. Idic-se c por, qul,, c e d 0 d PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES. Propriedde fudmetl c c d d. Propriedde d som dos termos c c d c d ou d c d EXERCÍCIO DE CLASSE 0 A rzão etre dois úmeros é de. Se o mior deles é igul, etão o meor é igul : ) EXERCÍCIO DE CLASSE 0 Sejm os úmeros iteiros m e tis que m = e m = 0. A som de m + é um úmero: ) qudrdo perfeito múltiplo de divisível por 9 meor que mior que 0 MÉDIAS MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES (M ) É som de diversos úmeros dividido pel qutidde de úmeros. Ddos vlores:,,,...,, temos: M MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA (M p) É som dos produtos de cd úmero multiplicdo pelo seu peso e dividido pel som dos pesos. Ddos vlores:,,,...,, cujos respectivos pesos são p, p, p,..., p, temos: p p p p M p p p p 6 Atedimeto o luo: (8) 9 000

27 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Mtemátic ZERO EXERCÍCIO DE CLASSE 0 A médi ritmétic de três úmeros é. Um desses úmeros é 6. Clculdo-se médi poderd desses três úmeros, usdo-se peso pr o meor, peso pr o mior e peso pr o 6; otém-se médi poderd igul 8. Os outros dois úmeros são: ) e 6 e e e 0 e ESCALAS É rzão eistete etre o comprimeto represetdo o deseho e o correspodete comprimeto rel, medidos mesm uidde de comprimeto. Etão: d E D E = escl d = comprimeto o deseho D = comprimeto rel ATENÇÃO! A uidde utilizd s escls é o cetímetro (cm). EXERCÍCIO DE CLASSE 0 Sedo-se que um vio de 90m de comprimeto é represetdo por um miitur de 0 cm de comprimeto, escl utilizd é: ) :00 :00 :00 :0 :00 Questões de Apredizgem 0. Um fucioári receeu um reltório pr dtilogrfr. No primeiro di dtilogrfou do umero totl de págis e o segudo di o doro do que hvi dtilogrfdo vésper. A rzão etre o úmero de págis já dtilogrfds e o úmero de págis do reltório é: ) 0 0. A médi ritmétic de úmeros é. Retirdo-se um dos úmeros, médi ritmétic dos 0 úmeros resttes é,. O úmero que foi retirdo é: ) Um professor prest um cocurso. Tem de se sumeter três provs: escrit, orl e prátic. Otém ot 9 prov escrit, 6 orl e 9 prov prátic. Supodo-se que os pesos ddos esss provs sejm, e, respectivmete, médi poderd otid pelo professor foi: ) 8,0 8, 9, 8, 9,0 0. A miitur de um foguete lístico foi feit escl /00. O comprimeto rel do foguete é de 6m. O comprimeto correspodete miitur é de: ) 0,09cm,6cm 9cm 0,cm,cm 0. Num ci eistem ols rcs e prets. Se tirrmos 6 ols rcs, rzão etre s ols rcs e s prets será de pr. Em seguid, retirm-se ols prets, restdo ci rzão de ol rc pr ols prets. Quts ols de cd cor hvi iicilmete ci? ) rcs e prets 0 rcs e prets rcs e 0 prets rcs e prets rcs e prets z 06. Se = = e + - z =, etão z é igul : ) Se dois cpitis estão etre si rzão de 8 pr e o mior deles ecede o meor em R$.000,00, etão som desses cpitis é de: ) R$.000,00 R$ 0.000,00 R$ 6.000,00 R$ ,00 R$.000, A frção equivlete, cuj difereç etre os termos é 6, é: ) Atedimeto o luo: (8) 9 000