CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA

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1 Curso de Mtemátic Básic RONALDO VILAS BOAS COSTA CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA CONTEÚDOS BÁSICOS PARA UM MELHOR DESENVOLVIMENTO NA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA Prof: RONALDO VILAS BOAS COSTA UBERLÂNDIA, 07

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3 ÍNDICE - CONJUNTOS NÚMÉRICOS.... CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N.... CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z.... CONJUNTO DOS RACIONAIS (Q.... CONJUNTO DOS IRRACIONAIS (I.... CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R... MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO... NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS E INVERSO DE UM NÚMERO.... OPERAÇÕES COM NÚMEROS RELATIVOS... - OPERAÇÕES COM DECIMAIS... EXPRESSÕES NUMÉRICAS POTENCIAÇÃO Regrs de potecição... 8

4 - CONJUNTOS NÚMÉRICOS. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N O cojuto dos úmeros turis é formdo por todos os úmeros iteiros positivos juto com o zero. N={0,,,,,,...}. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z No cojuto dos úmeros iteiros, represetdo pel letr (Z, ão há úmeros quebrdos, ou frções que ão represetm divisões exts. Podemos dizer etão, que este cojuto é composto por úmeros iteiros egtivos e positivos. Vejm: Z={..., -,-,0,,,,...} OBS: Observe que todo úmero turl tmbém é um úmero iteiro, por isso dizemos que o cojuto dos Nturis está cotido os iteiros. Em símbolos:. CONJUNTO DOS RACIONAIS (Q N Z Dizemos que um rciol é qulquer úmero que pode ser escrito form de um frção de iteiros, ou sej: Q {,, b it eiros eb 0} b OBS: Pel defiição dd, vemos que todos decimis extos são rciois; Tods s dízims periódics são úmeros rciois; Todo úmero iteiro é rciol. CONJUNTO DOS IRRACIONAIS (I Apesr de ormlmete ser usdo letr I pr represetr o cojuto dos úmeros irrciois, este símbolo ão é o úico utilizdo. Este cojuto pode ser represetdo de váris forms. Os úmeros irrciois são todos os decimis ão extos, ão periódicos e ão egtivos. Dizemos tmbém que um irrciol é um úmero que ão pode ser escrito form de um frção de iteiros. São exemplos de úmeros irrciois:, ; ; 7 ;, ; e.... CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R Todo tipo de úmero citdo teriormete os outros cojutos, são úmeros reis. Dizemos que o cojuto dos reis é uião dos Rciois com os Irrciois. ( R Q I Atividde : Utilize os símbolos de pertece ( e ão pertece pr relcior elemeto e cojuto em cs cso:,...,0 7 8,... -,, ,, ,8 N Z Q I R O digrm seguir ilustr os cojutos uméricos de um form que fcilit visulizção d relção existete etre eles:

5 MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO O módulo ou vlor bsoluto é o vlor ritmético de um úmero reltivo, isto é, sem cosiderr seu sil. Podemos pesr o módulo tmbém, como distâci do úmero té origem d ret uméric. A represetção do módulo de um úmero é feit por meio de brrs verticis. Vej lgus exemplos: - = - = = NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS E INVERSO DE UM NÚMERO. Dois úmeros são opostos ou simétricos quto tem mesmo módulo, porém com siis cotrários. (um positivo e outro egtivo. Por exemplo, O oposto de - é O simétrico do, é o -,; E o oposto do zero?... O iverso de um úmero é ddo por úmero diferete de zero., sedo um OBS: O úico úmero rel que ão tem iverso é o zero, por quê? OPERAÇÕES COM NÚMEROS RELATIVOS Só pr lembrr, úmero reltivo são os úmeros positivos, egtivos icluido-se o zero Vejmos como relizr s qutro operções fudmetis com úmeros reltivos: Som e subtrção N som e subtrção de úmeros reltivos deve-se observr s seguites regrs: Se os siis dos úmeros são iguis, devemos somr os vlores bsolutos e coserv-se o mesmo sil Se os siis são diferetes, fç difereç dos vlores bsolutos e coserve o sil do mior deles. OBSERVE: Como os siis dos úmeros são iguis, -7- podemos somr os vlores bsolutos (sem cosiderr o sil e o resultdo permece egtivo. Logo, = Nesse cso, os vlores tem siis diferetes, etão devemos fzer difereç etre os vlores bsolutos e coservr o sil do mior deles, obtedo: - +7 = - 7 Exercício Multiplicção e divisão - Preech tbel, com o iverso de cd úmero presetdo: Número iverso Número Iverso N multiplicção e divisão podemos seguir o esquem bixo, ode (+ represetrá um úmero positivo e (- estrá represetdo um úmero egtivo. - 0, - -/ / -8/ /7 7/ / -/8-8 O que cotece qudo se multiplic um úmero pelo seu iverso? Vemos o esquem que dividido ou multiplicdo úmeros com siis iguis o resultdo é positivo e, multiplicdo ou dividido um úmero com siis diferetes o resultdo é egtivo. Exemplos: ( ( 8 ( ( ( : ( 7 ( 00 : ( 0

6 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO - Elimie os prêteses e clcule o vlor ds expressões seguir: ( ( b( ( ( ( c( 0 ( ( ( ( ( 00 d( 0 ( 7 ( ( ( ( e( 7 ( ( 8 ( 87 ( ( 8 ( 7 f ( 0 ( ( ( ( ( ( 8 Ecotre o vlor ds multiplicções e divisões seguir: ( : ( 8 b ( : ( c ( : ( 8 d ( ( e ( ( 8 f ( ( 7 g ( ( 7 : ( h ( : ( (8 : (7 i ( ( ( j ( : ( 7 ( k ( ( : ( ( 8 - OPERAÇÕES COM DECIMAIS I Adição N dição s prtes somds são chmds de prcels e o resultdo é som. Prcel som Com úmeros decimis deve-se tomr o cuiddo de o se dispor s prcels o cálculo, deixrmos vírgul debixo d vírgul. Exemplo:,7,078,,,,, II Subtrção N subtrção os úmeros são chmdos de miuedo, subtredo, operção subtrção, e o resultdo é difereç: subtrção Miuedo subtredo difereç Pr úmeros decimis, deve-se observr mesm regr pr som: deixr vírgul debixo d vírgul. Acomphe: III Multiplicção,08,78,,, Pr se multiplicr dois úmeros decimis quisquer, multiplicmos os úmeros como se fossem iteiros e dmos o produto um úmero de css decimis igul à som de úmero de css decimis dos ftores. Efetue: 0,07, =, 0, 0 OBS: Ao se multiplicr um úmero deciml por 0, 00, 000, etc. bst deslocr vírgul pr direit tts css decimis, coforme o úmero de zeros do ftor multiplictivo Exemplo: 0,00 000,

7 IV- Divisão de úmeros decimis Pr dividir dois úmeros decimis, devemos igulr o úmero de css decimis desses úmeros; qudo ecessário, crescetmos zeros à prte deciml do dividedo ou do divisor, ou mbos, pr que se igulem s css decimis, em seguid, elimimos s vírguls e efetumos divisão ormlmete. 0,0 : 0, 0,0 : 0,00 : 00 0, Efetue: 0,:0,=,0:0,= OBS: Pr se dividir um úmero por 0, 00, 000,... bst deslocr vírgul pr esquerd tts css decimis, coforme o úmero de zeros do divisor. Exemplo: 8,7 :00 0,87 :000 0,00 Exercícios - Resolv s operções seguir. Qudo possível utilize s regrs d multiplicção e divisão por 0, 00, etc., 0, b,00 c0, :00 d0, e,0000 f 0, :00 g,78 :000 h, 8, i0,0, j,, k 0,8 : 0,00 l0, : 0,00 m,07 : 7,0 : 0,7 0,78 : 0,00 Um expressão uméric é um sequêci de operções mtemátics. Ns expressões umérics, primeiro, efetumos os clculmos detro dos prêteses; depois, detro dos colchetes; e por fim, detro ds chves. Detro dos prêteses, colchetes ou chves, primeiro s potecições e s rdicições; depois s multiplicções e s divisões; e filmete, s dições e s subtrções. As operções são feits obedecedo à ordem em que els precem (d esquerd pr direit. Em resumo, s operções devem ser resolvids obedecedo seguite ordem de operções: º - Potecição e Rdicição; º - Multiplicção e divisão; º - Adição e Subtrção. (Obedecedo sempre à ordem em que els precem Nesss operções são relizds: º - Prêteses ( ; º - Colchetes [ ]; º - Chves { }; EXERCÍCIOS (UTFPR O vlor d expressão: { [7 (8 ] 8 } Resolv s expressões bixo:, (0,*, 0, : 0,0 b,, :,,* 0, c,* * 7 : d[(,7, * ] : 0,0,8 e 0,0*000,0 0,08*00 f (,8 *0, (, 0,0 * 0 EXPRESSÕES NUMÉRICAS 7

8 7 POTENCIAÇÃO Potecição com expoete iteiro mior que Potêci de gru de um úmero é o produto de ftores iguis esse úmero. OBS: sedo úmero rel e..... Qudo bse é positiv potêci é sempre positiv. Qudo bse é egtiv, o sil de potêci depede do expoete: - bse egtiv e expoete pr potêci positiv - bse egtiv e expoete ímpr potêci egtiv. Resumido: ( ftores iverso d bse dd e expoete igul o oposto do expoete ddo. Em outrs plvrs, qudo um úmero tem expoete egtivo, pr deixá-lo positivo devemos iverter su bse. Exemplos b e 8 b diferete, sedo e úmeros reis de zero. ( ( ( Potêci de expoete zero Tod potêci de bse ão-ul e expoete zero é igul. 0 Potêci de expoete Tod potêci de expoete é igul à bse Potêci de bse pr ( ímpor ( ( Tod potêci de bse um é igul., sedo umúmero ão ulo., sedoumúmero rel. x, pr todo x rel. Potêci com expoete iteiro egtivo Tod potêci de expoete iteiro egtivo e bse diferete de zero é igul potêci de bse igul o 7. Regrs de potecição Produto de potêci de mesm bse: Pr lcçr o produto de potêci de mesm bse, bst mter bse e somr os expoetes:. m m Divisão de potêci de mesm bse: Um quociete de potêcis de mesm bse é igul à potêci que se obtém coservdo bse e subtrido os expoetes: m m m : Ode, é um úmero diferete Potêci de potêci de zero Um potêci elevd um ddo expoete é igul à potêci que se obtêm coservdo bse e multiplicdo os expoetes. m m Dizemos etão que elev-se bse o produto dos expoetes. Potêci de um produto 8

9 Um produto elevdo um expoete qulquer é igul o produto ds potêcis que são obtids elevdo-se cd ftor o expoete ddo.. b. b Multiplicção de potêci de mesmo expoete Um produto de potêci de mesmo expoete é um potêci cuj bse é o produto ds bses teriores elevdo o expoete ddo:. b b Clcule o vlor ds expressões: b.( ² ² [( c [ : ( ² 7 d : (².³ : ] : (².( 8 0 ] Potêci de um quociete Um quociete elevdo um ddo expoete é igul o quociete ds potêcis que são obtids elevdo-se o dividedo e o divisor o expoete ddo: b b e{ [² f 0, ,.00 g [² : ( : (8 ²] 00 ³] 0 } Potêci de bse 0 e otção cietífic Pr s potêcis de bse 0 observmos que , zeros. 0 0,00... css decimis Diz-se que um úmero está escrito em otção cietífic qudo ele está form: k. 0 Em que k é um úmero tl que 0<k<0 e é um úmero iteiro. A otção cietífic é usd pr dimiuir escrit de um úmero tordo mis fácil s operções por meio ds proprieddes de potêci. h i 8.0, ² j ³ k : [ 0 8.( ¹ 0, ,.0, : ( ² 0,000.(0,0².00 l 0,00 0 (².¹ : ] Exemplo: 0,0000 0, 0 0, EXERCÍCIOS

10 8 MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL Um múltiplo de um úmero qulquer é todo resultdo d multiplicção de um úmero turl por. Etão podemos pesr que o múltiplo de um úmero são queles que estão tbud desse úmero. Exemplos: M ( {0,,,,,,...} M ( {0,,8,,,0,...} M (7 {0,7,,,8,...} Exemplo: O divisor de um úmero é quele que divide o úmero em prte iteirs. Sem resto. é divisor de, pois : 7 com resto - MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM. Ddos dois ou mis úmeros diferetes de zero, chmmos de Máximo Divisor comum (m.d.c o mior úmero que sej divisor de todos eles. Pr o cálculo do MDC usmos os procedimetos seguir: 0. Decompõe-se cd úmero em seus ftores primos; Clcul-se o produto de todos os ftores comus e ão comus de mior expoete; O resultdo obtido é o m.m.c procurdo. Processo d Decomposição Simultâe De form mis prátic, podemos ecotrr o MMC de dois ou mis úmeros fzedo decomposição simultâe dos mesmos. O produto de todos os ftores ecotrdos será o MMC dos úmeros ddos, pois todos os ftores primos dos úmeros precem ess decomposição. Exemplo x OBSERVAÇÃO: Ddos dois úmeros turis, temos: Decompoh cd úmero em seus ftores primos. Verifique quis são os ftores comus todos os úmeros; Clcule o produto dos ftores comus de meor expoete. O resultdo é o MDC procurdo. Exercícios mmc (,b=mdc (,b O meor úmero divisível por 8, e é: Outr possibilidde é decompor os úmeros à ecotrr o MDC em seus ftores primos e multiplicr queles que em um determido psso dividirm todos. Exemplos: Clcule o Máximo Divisor comum dos úmeros: MDC(8,= MDC(,= O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC etre dois ou mis úmeros, é o meor úmero ão ulo que sej múltiplo de todos os úmeros em questão. Temos bsicmete dois processos pr ecotrr o MMC: Processo d Decomposição em Ftores Primos - Num determido pís, o mdto do presidete é de os, dos sedores é de 8 os e dos deputdos é de os. A primeir eleição pr os crgos foi em. Em que o ocorrerá um ov eleição pr os mesmos crgos? - Selecioe o que for correto: 0 é múltiplo de 0 O máximo divisor comum de dois úmeros primos etre si é. 0 O míimo múltiplo comum de e é e são úmeros primos etre si. - Três stélites girm em toro d Terr em órbits costtes. O tempo de rotção do primeiro é de dis; do segudo, dis e do terceiro, 8 dis. Em um determido di eles estão lihdos. Depois de qutos dis eles se lihrão ovmete? Nesse processo precede-se ssim: 0

11 - Ddos dois úmeros e, etão mdc (, + mmc (, é: 7 b78 c8 d - O vlor d expressão:. é: ( :. [ (.] 7- O míimo múltiplo comum etre os úmeros 08,, e 80 é: 8- Os ôibus prtem de Curitib pr o Rio de Jeiro de em hors, e pr Belo Horizote, de em hors. Se um certo istte, prtem ôibus pr esss ciddes, quts hors pós ess prtid hverá próxim síd simultâe dos ôibus? A frção é própri qudo o umerdor é meor do que o deomidor: Exemplos:, 7,, 00, 0 etc... A frção e imprópri qudo o umerdor é mior que o deomidor, sedo possível represetá-l por um úmero misto e reciprocmete. Exemplos: - Rfel, orgizdo su coleção de selos, observ que o cotá-los de 0 em 0, sobrm qutro selos; o mesmo cotece qudo cot de 8 em 8, e tmbém sobrm qutro selos qudo ele os cot de em. Qutos selos Rfel possui? 0- Um professor dá uls em dus turms, um de luos e outr de luos. Em cd sl, el formrá grupos, e todos os grupos (s dus turms devem ter o mesmo úmero de luos. Qul é o mior úmero de luos que cd grupo pode ter? 0- FRAÇÕES Defiição: Frção é um quociete idicdo ode o dividedo é o umerdor e o divisor é o deomidor. Vej bixo que podemos represetr um frção tmbém su form deciml. Pr isso bst, como visto defiição, dividir o umerdor pelo deomidor: Em qulquer frção, o multiplicrmos ou dividirmos umerdor e deomidor por um mesmo úmero, o que se lter é pes escrit do úmero, seu vlor é preservdo. A frção resultte qudo multiplicmos ou dividimos um frção por um úmero turl diferete de zero é chmd de frção equivlete. A prtir de um determid frção chmd irredutível, podemos ecotrr ifiits frções equivletes. Exemplos: *... * : ( irredutível 0 0 : 0. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Som e Subtrção N som e subtrção lgébric de frções, reduzemse o meor deomidor comum s frções serem somds e somm-se lgebricmete os umerdores ds frções equivletes ecotrds. OBS: O meor deomidor comum é o m.m.c. dos deomidores.

12 Exemplos: Vej que som cim o mmc(,=. As frções equivletes às frções citds, que tem deomidor são trocds pels primeirs. Assim obtemos: 8 N subtrção o processo é o mesmo, vej: O mmc (,=. As frções equivletes dois terços e um meio que tem deomidor seis são respectivmete e logo obtemos: Multiplicção de frções N multiplicção de frções, multiplic-se umerdor com umerdor e deomidor com deomidor. Vej: * 7 * * b c d Resolv s expressões: b * 7 c d (correios Obs: Ao se fzer um multiplicção com váris frções é possível, em lgus csos, fzermos lgums simplificções tes de obter o produto fil pr que o cálculo se tore meor. Divisão de frções - (Correios N divisão de frções, multiplicmos primeir frção (dividedo pelo iverso d segud frção, frção divisor. Exemplos: : 8 b : * 8 8 * EXERCÍCIOS - Resolv s operções com frções seguir:

13 Rdicição A operção pr se obter riz -ésim é deomid de rdicição. Se é ext, rdicição é operção ivers d potecição. Exemplos:, 8,, b b com turl e mior que pois. ² pois.. 8 e ssim por dite. pois... Potêci com expoete frcioário Sedo um úmeo rel positivo, um úmero turl positivo e m/ um úmero rciol form irredutível, defiimos: Exemplos: Algums proprieddes: m m Rciolizção de deomidores Rciolizr o deomidor de um expressão sigific elimir riz do deomidor de um frção. º cso: O deomidor é um riz qudrd. Nesse cso multiplic-se os termos d frção pelo próprio rdicl. Ex: º cso: o deomidor é um rdicl de qulquer gru. Neste cso multiplic-se os termos d frção por um rdicl de mesmo ídice e cujo expoete do rdicdo é difereç etre o ídice do rdicl e o expoete do rdicdo. Ex: = º cso: O deomidor é um som ou difereç de dois termos em que um deles, ou mbos, são rdicis do segudo gru. Ex: =. b. b Exercícios: - Resolv s operções com rdicis idicds: b b, b b diferete de zero 0 0 c b d m p m p c. d 8 0 / Obs: N som de rdicis só se pode uir os coeficiete ds rízes se s mesms tiverem o mesmo ídice e mesmo rdicdo. Exemplo: e 8 00 f [² ( 0 /. ] Nos csos em que o ídice são iguis ms os rdicdos são diferetes, pode-se tetr um ftorção do mesmo pr tetr se obter um rdicdo comum. g

14 j i h - Rciolize os deomidores i h g f e d c b

15 SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Existem váris forms de se medir qutiddes. Bsicmete o sistem métrico evolve medids de comprimetos, medids de superfície (áre e medids de volume ou cpcidde. Vejmos lgums ds uiddes de medid mis utilizds pr cd cso. OBS: Sempre deixr mesm uidde pr efetur os cálculos. Uiddes de medid de Cpcidde A uidde fudmetl de cpcidde é o litro, porém existem tmbém seus múltiplos e submúltiplos. Vej: Medids de Comprimeto A uidde pdrão de medid é o metro. A prtir dele temos os múltiplos e submúltiplos do metro. Observe o esquem: Multiplic por 0 Divide por 0 Vemos o esquem que se tivermos um medid express em lgum múltiplo do metro pr coverter pr um uidde iferior, bst multiplicr o resultdo por 0. Ao cotrário, se tivermos um medid em uidde iferior e quisermos pssá-l pr um mior, teremos que dividir por 0. Exemplos: hm = 00 m 00 dm = dm 000mm = m cm = 0,0 m Podemos relcior o volume com s medids de cpcidde. Por exemplo: dm³ l m³ 000l OBS: Pr efetur operções mtemátics com s uiddes de medid é preciso que tods s medids utilizds estejm mesm uidde. Uiddes de medid de superfície (áre Uiddes de Medid de Mss A uidde pricipl s medids de mss é o grm. A prtir del temos seus múltiplos e submúltiplos vej: Ns medids de superfície (medids qudrds pr pssr de um medid pr outr devemos multiplicr ou dividir por 00, seguido o esquem bixo: Multiplic por 00 Divide por 00 Uiddes de medid de Volume Cd uidde de volume é 000 vezes mior que uidde imeditmete iferior, isto é, s sucessivs uiddes vrim de 000 em 000 Multiplic por 000 Divide por 000 Exercícios

16 A som de dm +, km + 7 m + 78,7 dm, equivle qutos metros? - Selecioe o que for correto: 0 mm equivlem, cm 0, kg equivlem 00 g. 0 ml equivle 0 cm³ dis equivlem 00 mi. - Cd golpe de um bomb de vácuo extri 0 dm³ de r de um recipiete. Se o volume iicil do recipiete é de m³, pós o º golpe d bomb, qul o volume de r que permece o recipiete? Um grrf térmic, totlmete chei, cotém 07, cm³ de cfé. Sbedo que um xícr de cfé cbem, cm³ de cfé, quts xícrs poderão ser servids? EXPRESSÕES ALGÉBRICAS As letrs, mtemátic, são usds pr represetr úmeros descohecidos ou pr geerlizr proprieddes e fórmuls d Geometri. As expressões que presetm letrs, lém de operções e úmeros são deomids de EXPRESSÕES ALGÉBRICAS e s letrs são chmds de icógits. Eis lgums proprieddes importtes: - Todo úmero turl multiplicdo pelo úmero é igul ele mesmo x. = x Ode X represet um úmero qulquer podedo, portto, seteç ssumir quisquer vlores. Observções importtes sobre expressões lgébrics Ns expressões lgébrics ão é comum se escrever o sil de multiplicção, observe:.x» se represet x.y» se represet y.x» se represet x É possível ter expressões lgébrics com mis de um vriável ou id sem vriável. xy» expressão lgébric com dus vriáveis: x e y ²bc²» expressão lgébric com três vriáveis:, b e c» expressão lgébric sem vriável O que é vlor umérico? Em expressões lgébrics qudo substituímos vriáveis de um seteç por úmeros e efetumos s devids operções, o resultdo ecotrdo é o vlor umérico d expressão. O vlor umérico d expressão x +, pr o vlor de X = é: x + =. + = + = Moômios As expressões lgébrics que ão represetm s operções de dição e subtrção etre os úmeros e s vriáveis, são deomids de moômios. Observe os exemplos: x, x, y, 7y x²y², x²y² b, 0, A prte uméric de um expressão lgébric chmd de moômios é deomid coeficiete e outr prte d seteç formd por letrs é chmd de prte literl. Exemplos pr fixção de coteúdo De cordo com defiição sobre moômios, vmos destcr s seteçs bixo prte literl e o coeficiete: - x Coeficiete: Prte Literl: x - x²y² Coeficiete: Prte Literl: x²y² Operções mtemátics com moômios Dois ou mis moômios que possuem mesm prte literl e tmbém coeficietes diferetes são deomidos de moômios precidos ou moômios semelhtes. Pr se efetur operções mtemátics de subtrção e som eles devem ser semelhtes, ou sej, possuir mesm prte literl e tmbém mesmo coeficietes. Cso isto ão ocorr, dição e subtrção serão pes idicds, porém ão poderá ser efetudo ehum cálculo. Exemplos pr fixção De cordo com defiição forecid cim, vmos ver lgus exemplos com cálculos evolvedo moômios. xy + xy + xy ( + + xy 0xy b xy xy + 7xy ( + 7xy xy c x + xy

17 (Operção ão é possível porque os moômios ão são semelhtes Equções do primeiro gru Equção é tod seteç mtemátic bert que exprime um relção de iguldde. A plvr equção tem o prefixo equ, que em ltim quer dizer "igul". Exemplos: x + 8 = 0 x - = x b - c = 0 Não são equções: + 8 = 7 + (Não é um seteç bert x - < (Não é iguldde (ão é seteç bert, em iguldde A equção gerl do primeiro gru: x+b = 0 ode e b são úmeros cohecidos e > 0, se resolve de meir simples: subtrido b dos dois ldos, obtemos: x = -b dividido gor por (dos dois ldos, temos: - A som d mih idde, com idde de meu irmão que é 7 os mis velho que eu dá 7 os. Qutos os eu teho de idde? - Teho seguite escolh: Ou compro 0 uiddes de um produto com todo o diheiro que teho, ou compro pes uiddes e id me sobr um troco de R$ 0,00. Qul o vlor uitário deste produto? - O volume de chuvs mih região foi de 0 ml os dois últimos dis. Sbe-se que otem choveu o dobro d qutidde que choveu hoje. Qul foi o volume de chuv de hoje? Cosider equção x - 8 = x -0 A letr é icógit d equção. A plvr icógit sigific " descohecid". N equção cim icógit é x; tudo que tecede o sil d iguldde deomi-se º membro, e o que sucede, º membro. Qulquer prcel, do º ou do º membro, é um termo d equção. Qudo flmos em resolver um equção, iteção é sempre descobrir o vlor d(s icógit(s evolvid(s mesm. Nos exercícios seguir devemos trduzir situção ligugem mtemátic e etão, utilizdo um equção, resolvê-l. Experimete: Exercícios Comprei 7,kg de um produto e recebi um troco de R$,. Cso eu tivesse comprdo kg, o troco teri sido de R$,00. Quto dei em diheiro pr pgr mercdori? SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU Pr ecotrrmos um equção de º gru com dus icógits, por exemplo, x + y = 0, os vlores de x e de y é preciso relcior ess equção com outr ou outrs equções que tehm s mesms icógits. Ess relção é chmd de sistem. Um sistem de equção de º gru com dus icógits é formdo por dus equções de º gru com dus icógits: Pr ecotrmos o pr ordedo que é solução desse sistem podemos utilizr um dos dois métodos: Método d Substituição e Método d Adição. Método d substituição Esse método cosiste em escolher um ds dus equções e isolr um ds icógits. Em seguid deve-se substituir outr equção o vlor que foi isoldo, vej como: Ddo o sistem, eumermos s 7

18 equções. Escolhemos equção e isolmos o x: x + y = 0 x = 0 y Agor equção substituímos o vlor de x = 0 y. x + y = 7 (0 y + y = 7 0-y + y = 7 -y + y = 7 0 y = Descobrimos o vlor de y, pr descobrir o vlor de x bst substituir equção x = 0 y. x = 0 y x = 0 x = 8 Portto, solução do sistem é S = (8, Método d dição Esse método cosiste em dicior s dus equções de tl form que som de um ds icógits sej zero. Pr que isso coteç será preciso que multipliquemos lgums vezes s dus equções ou pes um equção por úmeros iteiros pr que som de um ds icógits sej zero. Pr descobrirmos o vlor de x bst escolher um ds dus equções e substituir o vlor de y ecotrdo: x + y = 0 x + = 0 x = 0 x = 8 Portto, solução desse sistem é: S = (8,. OBS: Se resolver um sistem utilizdo qulquer um dois métodos o vlor d solução será sempre o mesmo. Exercícios - Um estciometo cobr R$,00 por moto e R$,00 por crro estciodo. Ao fil de um di, o cix registrou R$ 77,00 pr um totl de 00 veículos. Quts motos e crros usrm o estciometo esse di? Um fábric de refrigertes produz refrescos de gurá s versões trdiciol e diet. Os bres vedem os trdiciois por R$,00 e os diet por R$,. Ao fil do di hvim sido vedidos 000 refrigertes, com um fturmeto de R$ 00,00. Descubr quts grrfs de cd tipo de refrigerte form vedids. Num quitl há imis etre porcos e glihs. Sbe-se que há o todo, pés. Qutos são os porcos e quts são s glihs? Ddo o sistem: Pr diciormos s dus equções e som de um ds icógits de zero, teremos que multiplicr primeir equção por. No último ecotro Nciol de Educção Mtemátic iscrição dos professores do esio médio e fudmetl custv R$ 0,00. Os professores do esio superior pgvm R$ 7,00. A rrecdção totl obtid com s iscrições foi de R$ 8 7,00 de um totl de 08 professores iscritos. Qutos erm os professores do esio fudmetl e médio presete? Agor, o sistem fic ssim: RAZÃO E PROPORÇÃO Adiciodo s dus equções: - x y = x + y = 7 y = Chmmos de rzão etre dois úmeros e b, sedo b ão ulo, o quociete etre eles. Assim rzão de pr b é dd por: b ou : b 8

19 O úmero é chmdo de tecedete e o úmero b é chmdo de coseqüete d rzão b. Proporção Um proporção é um iguldde etre rzões: b c d ou : b c : d OBS: Em tod proporção, o produto dos meios é igul o produto dos extremos: c d bc b d Num proporção, som ou difereç dos tecedetes está pr som ou difereç dos coseqüetes ssim como cd tecedete está pr o seu coseqüete. Assim proporção: b c d c c temos b d b d vledo o mesmo pr subtrção. Números diretmete e iversmete proporciois. Dus sucessões de úmeros são diretmete proporciois se s rzões etre cd termo d primeir sucessão e o termo correspodete d segud sucessão são iguis. E o vlor desss rzões é chmdo de ftor de proporciolidde. Por outro ldo, dus sucessões são iversmete proporciois qudo os produtos de cd termo d primeir sucessão pelo termo correspodete d segud sucessão são iguis. Exercícios Quero distribuir 0 bls etre criçs, proporciolmete às sus iddes; sbe-se que Atôio tem os, Bruo, 7 os e Crlos. Os úmeros de bls que cbe cd um é: Um comercite precis pgr três dívids: Um de 0 mil reis, outr de 0 mil reis e um terceir de 0 mil reis. Como ele só tem 0 mil reis, resolve pgr qutis diretmete proporciois cd débito. Nesss codições, quto receberá o mior credor? O proprietário de um chácr distribuiu 00 lrjs três fmílis, em prtes proporciois o úmero de filhos. Sbedo-se que s fmílis A, B, C tem respectivmete, e filhos, quts lrjs recebeu cd fmíli? GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TRÊS Dus grdezs são diretmete proporciois, qudo rzão etre os vlores d primeir é igul à rzão etre os vlores d segud. Dus grdezs são iversmete proporciois, qudo rzão etre os vlores d primeir é igul o iverso d rzão etre os vlores d segud. Exercícios: Se operários levm 0 dis pr levtr um muro o redor de um cmpo de futebol, qutos operários serim ecessários pr levtr o mesmo muro em dis? Em um cmpmeto, 0 pessos têm limeto pr dis. Tedo chegdo mis pessos, o limeto deverá ser suficiete pr qutos dis? Divid o úmero 7 em qutro prtes iversmete proporciois,, e. Em um grupo de 0 pessos 8 são mulheres. Qul porcetgem de mulheres esse grupo? Um estrd de km de extesão foi sfltd por equipes A, B e C, cd um dels tudo em um trecho diretmete proporciol os úmeros, e, respectivmete. Qutos quilômetros tem o trecho sfltdo pel equipe C?

20 Trit e seis operários, trblhdo 7 hors por di durte dis fzem um determido serviço. Quts hors por di, operários frão o mesmo serviço em dis? Algus exemplos: 0% de 0 dis de trblho = 0 dis b70% de R$ 0,00 de compr = R$ 8,00 Como clculr porcetgem? Num fábric de sptos trblhm operários, que produzem, em oito hors de serviço, 0 pres de sptos. Desejdo-se produzir 00 pres, trblhdo 0 hors, qutidde ecessári de operários será de: b c 8 d PORCENTAGEM Observe os exemplos seguir sobre porcetgem: Num loj de mteriis elétricos, um velho cliete etr pr comprr cbos, e compr o que costum comprr todo mês. A cot fic em 80 reis, mis cr que do mês pssdo. - Teve umeto?- pergut o cliete? - Teve. Os cbos umetrm 0% - respode o doo d loj, do outro ldo do blcão. - Etão, em ome d ov velh mizde, este mês eu quero 0% de descoto. O doo d loj cocord. Quem ghou e quem perdeu ess trsção, o velho cliete ou o doo d loj? Um trblhdor utôomo, tod vez que emite um ot fiscl de serviços, pg 8% de impostos. Qudo lhe pergutm quto ele cobr por sem de trblho ele sempre respode: - Cobro 70 reis líquidos. Cotudo, termido o trblho, o cliete isiste em lhe pgr 70 reis por sem, e disso ão rred pé. Por fim, o trblhdor se rede, emite ot fiscl o vlor de 70 reis, pg 8% de impostos e embols 0 reis. Quto ele deveri cobrr pr, durte s egocições, dr o cliete um descoto de %, pgr os 8% de imposto e id ssim ficr com 70 reis? Pr respoder tis perguts vmos eteder um pouco mis sobre s porcetges: Defiição: PORCENTAGEM pode ser defiid como cetésim prte de um grdez, ou o cálculo bsedo em 00 uiddes. É visto com freqüêci s pessos ou o próprio mercdo usr expressões de créscimo ou redução os preços de produtos ou serviços. Existem váris forms de se clculr um porcetgem. Podemos por exemplo se bser o fto que: x x de y y 00 % (Trsforme o vlor percetul em deciml e multiplique pelo tot (y. Podemos tmbém, proceder fzedo um regr de três simples, um vez que o buscrmos um porcetgem de um determido vlor, estmos cosiderdo grdezs diretmete proporciois Exemplificdo: Efetue o cálculo 0% de 0 00% : 0 0% : X Ou, 0%=0, Logo, 0% de 0 =0,. 0 = Exemplo : Efetu-se o resgte de um cheque pré-dtdo o vlor de R$ 0,00 e obtêm-se um descoto de 0% 00% : R$ 0,00 0% : X X = R$ 0,00 Aumetos porcetuis Em termos geris, se um vlor qulquer ( x%, podemos clculr o ovo vlor fzedo: V Q V. x% V.( x% Q Q Dimiuições porcetuis V Q umet De form álog o desevolvimeto terior se obtivermos um descoto de x% em um vlor qulquer ( V clculrmos o vlor fil fzedo: Q VQ -V Q.x% = V Q ( - x% 0

21 Aumeto seguido de dimiuição e vice-vers O preço do tomte ( P t umetou,8%. Vmos supor que, cert ltur, ele ci %. Etão o tomte pssrá vlor quto? Nos csos em que umetos e dimiuições são iterclds, sobre um vlor qulquer ( podemos obter o vlor fil de form úic. Se um vlor umet x% e depois dimiui y% temos: V Q (+x%(-x% V Q Exercícios Um jogdor de bsquete, o logo do cmpeoto, fez 0 potos, deste totl 0% form de cests de 0 potos. Quts cests de 0 potos o jogdor fez do totl de 0 potos? Um celulr foi comprdo por R$ 00,00 e revedido posteriormete por R$ 0,00, qul tx percetul de lucro? Qul vlor de um mercdori que custou R$,00 e que pretede ter com est um lucro de 7%? Um luo teve 0 uls de um determid mtéri. Qul o úmero máximo de flts que este luo pode ter sbedo que ele será reprovdo, cso teh fltdo 0% (por ceto ds uls? Um imposto foi crido com líquot de % sobre cd trsção ficeir efetud pelos cosumidores. Se um pesso for descotr um cheque o vlor de R$.0,00, receberá líquido quto?