Ensaios Econômicos. Sistemas de Amortização: o Conceito de Consistência Financeira e Suas Implicações. Março de Escola de.

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1 Esaios Ecoômicos Escola de ós-graduação em Ecoomia da Fudação Getulio Vargas N 751 ISSN Sistemas de Amortização: o Coceito de Cosistêcia Fiaceira e Suas Implicações Clovis de Faro Março de 2014 URL:

2 Os artigos publicados são de iteira resposabilidade de seus autores. As opiiões eles emitidas ão exprimem, ecessariamete, o poto de vista da Fudação Getulio Vargas. ESCOLA DE ÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA Diretor Geral: Rubes eha Cyse Vice-Diretor: Aloisio Araujo Diretor de Esio: Carlos Eugêio da Costa Diretor de esquisa: Humberto Moreira Vice-Diretores de Graduação: Adré Arruda Villela & Luis Herique Bertolio Braido de Faro, Clovis Sistemas de Amortização: o Coceito de Cosistêcia Fiaceira e Suas Implicações/ Clovis de Faro Rio de Jaeiro : FGV,EGE, p. - (Esaios Ecoômicos; 751) Iclui bibliografia. CDD-330

3 Sistemas de Amortização: o Coceito de Cosistêcia Fiaceira e suas Implicações CLOVIS DE FARO (Março de 2014) 1

4 Sistemas de Amortização: o Coceito de Cosistêcia Fiaceira e suas Implicações 1- Itrodução Em operações de fiaciameto, em especial as que se destiam a aquisição de imóveis, que costumam ser de logo prazo, evolvedo pois um grade úmero de prestações, usualmete mesais, é crucial que se estabeleçam procedimetos que permitam o correto e iequívoco acompahameto da evolução do débito (estado da dívida). Isto por que, fudametalmete, tem que ser prevista a possibilidade de liquidação atecipada, total ou parcial, do pricipal fiaciado. Ademais, quado o tomador do empréstimo é uma pessoa jurídica, há que seja devidamete levado em cota o fato de que os juros pagos podem ser deduzidos para fis fiscais. Cosequetemete, é de suma importâcia que, em cada prestação, seja apurado, de uma maeira iseta de cotrovérsias, o que está sedo pago a título de juros e o que está implicado em uma redução do débito. Ou seja, tedo presete a defiição apresetada, por exemplo, em Houaiss (2001), deve-se distiguir, em cada prestação, o que é a parcela de juros e o que é o compoete de amortização. Todavia, sucede que, ao meos em pricípio, embora a tarefa se afigure como trivial, têm sido apresetadas e propostas diferetes iterpretações do que sejam juros e do que sigifica amortização. De um lado, por cosiderarem que o regime de juros compostos, que está subjacete tato a popular Tabela rice (T) como o Sistema de Amortização Costate (SAC), é abusivo e implique a ocorrêcia do que, o jargão jurídico, se deomia de aatocismo, temos aqueles que, como Nogueira (2013) e Rovia (2009), propugam para que se adote o regime de juros simples. Como cosequêcia, como apotado em de Faro (2013-b e 2014), geram-se sistemas que são fiaceiramete icosistetes, pois que o estado da dívida resulta ão iequivocamete determiado. De outro lado, temos autores como De-Losso, Giovaetti e Ragel (2013) e Sadrii (2007), que, embora matedo o regime de juros compostos, adotam o etedimeto de que cada prestação seja diretamete viculada a uma particular fração do pricipal fiaciado. Com isto, propõem uma peculiar maeira de apropriar a parcela de amortização que está embutida em cada prestação. No que se segue, partido de uma situação completamete geral, a qual tato as prestações como a taxa periódica de juros são admitidas como variado ao logo do prazo do fiaciameto, busca-se evideciar que, com fulcro o que será deomiado de coceito de cosistêcia fiaceira, 2

5 as parcelas de juros e de amortização, que compõem cada prestação, devem seguir pricípios bem defiidos. 2- Caracterização do roblema e Defiições Básicas Seja a situação ode um fiaciameto de valor F, deva ser resgatado por meio de prestações periódicas, 1, 2,...,, com a -ésima prestação tedo vecimeto períodos após a data de cocessão do fiaciameto (etedida como época zero). Deotado por i a taxa periódica de juros, cotratualmete estipulada, relativa ao - ésimo período do fiaciameto, 1 1,2,...,, é suposto que se teha: F 1 i 1 i (1) ou, equivaletemete 1 (1 ) F i 1 1 Em palavras, é suposto que o valor fiaciado F seja fiaceiramete equivalete à sucessão de prestações, 1, 2,...,, tato quado se toma o prazo do fiaciameto, expresso em úmero de períodos, como data de comparação (data focal), como quado se toma como data focal a de cocessão do fiaciameto; cosiderada a evolução da taxa periódica de juros. No que se segue, admitido que se teha 0, para 1,2,..., 1, suporemos que 0. 2 Adicioalmete, para que tehamos o míimo 2 prestações ão ulas, pelo meos uma das 1 primeiras prestações deverá ser também (estritamete) positiva. Deotado por S o saldo devedor, ou débito remaescete, logo após o pagameto da prestação que é devida o fim do -ésimo período, temos a primeira defiição básica. Defiição 1 recorrêcia fudametal 1 S 1 i S, 1,2,..., (2) com S0 F 1 Ou seja, i é a taxa de juros relativa ao período compreedido etre as épocas estritamete positiva. 1 e, sedo suposta 2 Se 0, o prazo do fiaciameto seria, o máximo, igual a -1 períodos. 3

6 Em palavras, a relação (2) exprime o fato de que o débito remaescete a época é igual ao débito remaescete a época imediatamete aterior, acrescido de juros à taxa i e deduzido do pagameto da prestação que é aí devida. Observe-se que, recursivamete, se tem: S F i S S i F i i i S S i F i i i i i i S F i i (3) j 1 1 j 1 Sedo que a relação (3) exprime o que se deomia cálculo do saldo devedor pelo método de recorrêcia. 1 Defiição 2 método de recorrêcia O saldo devedor logo após o pagameto da prestação que se vece a época, é igual ao valor fiaciado acrescido dos juros relativos aos primeiros períodos, deduzido do valor acumulado, cosiderado o comportameto da taxa de juros, das prestações já efetivamete pagas. 2 Em particular, para, a relação (3) implica em que S F 1 i 1 i (3 ) Trivialmete, segue-se de (1 ) que S 0. Ou seja, ão havedo prestação em atraso, o débito e liquidado quado do pagameto da última prestação. Defiição 3 - método prospectivo Alterativamete, o saldo devedor logo após o pagameto da prestação que se vece a época é igual, ão havedo prestação em atraso, 3 à soma dos valores atuais, tedo em vista as taxas de juros pactuadas, dos valores atuais das prestações vicedas. Ou seja, formalmete j 1, 1,2,..., 1 (4) j1 j S i 1 Sedo que, obviamete, ão havedo prestação em atraso, S 0. Defiição 4 juros devidos 1 Em lígua iglesa, como em Butcher & Nesbitt (1971) e Kelliso (1991), a relação (3) expressa o que se apreseta como retrospective method. 2 Isto, mesmo que alguma prestação devida ão teha sido paga. 3 Em havedo prestação em atraso, há que se icorporar seu respectivo valor, acrescido de juros até a época. 4

7 Os chamados juros devidos a época, que é a de vecimeto da -ésima prestação, e cujo valor é deotado por J, são iguais aos juros, à taxa i que é relativa ao período compreedido etre as épocas 1 e, referetes ao saldo devedor a época 1. Ou seja: J i. S, 1,2,..., (5) 1 Lembremos que osso propósito é o de decompor a prestação em uma parcela de juros e outra de redução do estado da dívida, ou amortização. Etretato, o caso geral aqui cosiderado, ode, iclusive, podemos ter 0, devemos distiguir etre juros devidos e juros cotábeis. Defiição 5 juros cotábeis Dado que, cotabilmete, ão se pode laçar como parcela de juros um valor maior do que o da prestação correspodete, os juros cotábeis, deotados por J ˆ, que se apropriam a época, devem satisfazer a seguite relação: Jˆ, 1,2,..., (6) Adicioalmete, como devemos ter a igualdade cotábil F J Jˆ (7) relação que exprime o fato de que o total de juros cotábeis, que é igual à soma das prestações, meos o valor do fiaciameto, deve igualar o total de juros devidos, o valor laçado como J ˆ deve também levar em cota esta igualdade. 1 assemos, agora, à defiição da parcela de amortização que compõe a -ésima prestação. Defiição 6 parcela de amortização que: 2 Deotado por 1 A a parcela de amortização que está associada à prestação, tem-se A J i. S, 1,2,..., (8) Ou seja, formalmete, a parcela A é determiada como resíduo. Sedo que, como podemos ter i. S 1, é possível que se teha A 0. Nesta evetualidade, temos o que se etede como uma amortização egativa; pois que, da relação de recorrêcia básica, tal como dada por (2), decorre que S S 1 (2 ) 1 O exemplo umérico apresetado a próxima seção esclarece o procedimeto. 2 Aqui estamos seguido a tradição européia tal como em de Fietti (1969, p. 138), que usa a deomiação part de capitaux, e Kosiel (1973, p. 75), que emprega o vocábulo tilgug. Ao passo que os citados autores de lígua iglesa adotam a deomiação pricipal repaymet. 5

8 Ou seja, em tal situação, o saldo devedor cresce, ao ivés de dimiuir. No caso usual, em que A 0, temos uma redução do saldo devedor. ois que, etão, decorre das relações (2) e (8), que S S 1. Ou seja, toda vez em que tivermos uma parcela de amortização positiva, o débito remaescete é dimiuído. Situação esta que se coadua com a defiição em Houaiss (2001). Uma vez estabelecido o coceito de parcela de amortização, podemos passar à defiição do cálculo do saldo devedor pelo chamado método retrospectivo. Defiição 6 método retrospectivo O saldo devedor a época, logo após o pagameto da -ésima prestação, é igual ao valor do fiaciameto, subtraído da soma das parcelas de amortização que já foram efetuadas. Ou seja: S F A, 1,2,..., (9) 1 relação esta que iclui evetuais amortizações egativas (iclusive as associadas a prestações em atrasos). 3- Coceito de Cosistêcia Fiaceira Um método qualquer de amortização de dívidas será dito ser fiaceiramete cosistete somete se o saldo devedor a época, logo após o pagameto da prestação que aí se vece, puder ser idistitamete determiado por qualquer um dos três procedimetos aqui cosiderados: os métodos prospectivo, retrospectivo e de recorrêcia. Ates de proceder à demostração formal da equivalêcia etre os três procedimetos, é oportuo que se apresete a evolução do estado da dívida para o seguite exemplo umérico, que ilustra como deve ser efetuada a apropriação dos juros cotábeis. Exemplo Seja o caso ode o fiaciameto de R$ ,00 deve ser resgatado em seis prestações auais, respectivamete juros: R$ ,00, R$ ,00, 0,00, R$ ,00, R$ 4.760,00 e R$ , restações essas que foram estipuladas com base a seguite sequêcia de taxas auais de i 10%, i 15%, i 10%, i 8%, i 12% e i 9% Levado em cota que a relação (1) é satisfeita, vejamos como se processam os laçametos que se associam ao caso deste exemplo. 6

9 O Quadro 1 abaixo apreseta a correspodete evolução do estado da dívida Quadro 1 Evolução do Saldo Devedor S (%) i J J ˆ ,00 _ , , , , , , , , , , , , , ,00 0, , , , , , , , , , ,00 6 0, , , , , , , , ,00 # Valores em reais Deve ser observado que, as épocas 4 e 6, os valores respectivamete atribuídos a Jˆ ˆ 4 e J 6 foram determiados de modo a satisfazer a relação (7). 1 assemos, agora, à demostração formal da equivalêcia dos três métodos, aqui cosiderados, de determiação do saldo devedor a época, frisar, se refere ao istate imediatamete posterior ao pagameto da prestação e sedo admitido que ão há prestação em atraso Equivalêcia etre os Métodos rospectivo e de Recorrêcia Trivialmete, a relação (1 ) pode ser reescrita como: S. Saldo devedor este que, deve-se que é aí devida, 1 j 1 j (1 ) F i i 1 j1 1 j1, temse que: or coseguite, multiplicado-se ambos os membros da relação (1 ) por 1 i j j 1 (1 ) F i i i 1 1 j 1 j1 1 j relação esta que exprime a equivalêcia etre os métodos prospectivo e de recorrêcia para a determiação do saldo devedor a época (para = 1,2,..., ). 1 Maiores detalhes, em que se apreseta o uso da plailha Excel, podem ser ecotrados em de Faro e Lachtermacher (2012). 2 A equivalêcia deve ser matida mesmo que haja prestação em atraso. orém, por simplicidade, iremos cosiderar somete o caso ode tal ão ocorra. 7

10 3.2 Equivalêcia etre os Métodos Retrospectivo e de Recorrêcia roposição j (10) F A F i i para = 1, 2,..., valores de j 1 Demostração Iicialmete, verifiquemos que a relação (10) é trivialmete verificada para os dois primeiros ara = 1, tem-se:. 1 F A F i F F i Sedo que, para = 2, também se tem (fazedo-se uso do método de recorrêcia para a determiação de S 1 ): F A A F i i S = F 1 i i F 1 i = F 1 i 1 i - 1 i rocededo por idução, supoha-se que a proposição seja verdade para a época, com Teremos, etão, que: 1 F A F A A j 1 1 = F 1 i 1 i i. S 1 1 j = F 1 i 1 i 1 1 j 1 i 1 F 1 i 1 i 1 1 j j j i 1 F i i 1 1 i 1 i j = j 1 j = F 1 i 1 i 1 1 j 1 1 c.q.d. 8

11 Cosequetemete, fica comprovado que os três métodos de determiação do saldo devedor são equivaletes. 1 or coseguite, desde que as parcelas de amortização sejam dadas pela relação (8), teremos um sistema de amortização fiaceiramete cosistete. Fializado esta seção, é oportuo que se efatize que o caso geral aqui cosiderado tem como casos particulares os cohecidos e populares, Sistema de Amortização Costate (SAC), a Tabela rice (T) e o Sistema Americao (SA). 4 Casos de Sistemas Fiaceiramete Icosistetes Como já evideciado em de Faro (2013-b e 2014), as proposições formuladas por Nogueira (2013) e Rovia (2009), que se baseiam o iadequado regime de juros simples e que, respectivamete, cosideram os casos de prestações costates e de prestações variado segudo uma progressão aritmética, são fiaceiramete icosistetes. Sedo que, iclusive, levam ao colapso dos métodos de recorrêcia e prospectivo. or outro lado, temos as formulações postuladas por Sadrii (2007) e por De-Losso, Giovaetti e Ragel (2013), que, coquato fudametadas o regime de juros compostos, propõem, alterativamete ao aqui cosiderado, que a parcela de amortização associada a uma dada prestação seja igual ao seu respectivo valor atual. Isso com base a criativa, mas irrealista, iterpretação de que o pricipal pudesse ser admitido como fracioado em distitos débitos. Formalmete, deotado por segudo tal proposição, tem-se: A a parcela de amortização associada à prestação, 1, 1,2,..., (11) A i 1 Embora, trivialmete, face à relação (1 ), se teha que dada pelos autores mecioados, leva ao colapso do método retrospectivo. 1 A F, a formulação proposta, Isso é facilmete verificado cosiderado o cálculo do saldo devedor logo após o pagameto da primeira prestação. Deotado por S 1 o saldo devedor, segudo o método retrospectivo, de acordo com a defiição de A 1, tal como dada pela relação (11), tem-se: S F A F 1 i (12) or outro lado, de acordo com o método de recorrêcia, tem-se: S F 1 i (3 ) Note que, para, como S 0, decorre que A F. 1 9

12 proposição. 1 Claramete, teremos S1 S1, o que evidecia a icosistêcia fiaceira de tal Deve-se ressaltar que a proposição se revela como flagratemete iadequada o caso de um fiaciameto que deva ser resgatado segudo o chamado Sistema Americao (SA). Segudo tal sistema de amortização, cf. de Faro e Lachtermacher (2012), sedo i a taxa periódica de juros, suposta costate, o fiaciameto F deve ser resgatado por meio de prestações periódicas, de modo que i. F, 1,2,..., 1 com F 1 i. Ora, trivialmete, o SA é fiaceiramete iterpretado como sedo tal que, o fim de cada um dos -1 primeiros períodos, sejam pagos somete os juros devidos ao pricipal F fiaciado. Com o -ésimo pagameto eglobado ão só os juros relativos ao último período, mas também restituido (amortizado), de uma só vez, o pricipal. Deste modo, é imediato que S F, J i. F e A 0 para 1,2,..., 1, com S 0, J i. F e A F. No etato, o que se afigura como cotra-ituitivo, a proposição dos autores citados coduziria a admitirem-se amortizações a partir do primeiro pagameto. ois que A i. F 1 i para 1,2,..., 1 e A 1 if 1 i. Sedo que, em cotraposição à iterpretação do fracioameto do pricipal F em fiaciametos, que embasa a proposição em questão, poder-se-ia imagiar que, sequecialmete, tivéssemos o fiaciameto do pricipal F sedo reovado o fim de cada um dos -1 primeiros períodos. Ocorredo, o fim de cada um deles, somete o pagameto dos juros. Com a liquidação defiitiva do débito, com a restituição do pricipal F, tedo efeito somete ao fial do último período. Do poto de vista do credor, em sedo matida a taxa de juros i e desprezado-se evetuais custos de trasação, teríamos o mesmo fluxo de caixa que o caso do SA tradicioal. Etretato, fica patete, de maeira isofismável, que o estado da dívida é sempre igual a F (isto é, S F para 1,2,..., ),com todas as parcelas de juros sedo iguais a if.. Ou seja, A 0, 1,2,..., 1 1 Só haveria igualdade o caso, ão admissível, em que se tivesse é apresetado o Apêdice I. i1 0. Sedo que, um caso limite, com 1 0 i, ode A1 A1, 10

13 or outro lado, de acordo com a proposição dos autores mecioados, os laçametos a título de juros seriam Jˆ A i. F i J F i i. para 1,2,..., 1 e Como cosequêcia, o credor, em sedo uma pessoa jurídica, icorreria em uma perda fiaceira. ois que, sedo 0 a taxa periódica de juros que exprime o seu custo de oportuidade, tem-se que (como demostrado o Apêdice II): J1 J1 (13) 1 1 Isto é, o valor presete dos laçametos a título de juros, que são dedutíveis para fis de apuração do lucro tributável, seria meor o caso da proposição dos autores mecioados. 1 5 Coclusão Chamado a ateção para a falácia da afirmativa de preseça de aotocismo os casos da Tabela rice e do Sistema de Amortização Costate, 2 que é feita por autores aqui citados, pois que é baseada em uma iadequada formulação do coceito de amortização, osso propósito foi o de evideciar que parcelas de amortização ão podem ser arbitrariamete estipuladas. ara que seja satisfeito o coceito de cosistêcia fiaceira, que se alicerça a equivalêcia dos métodos retrospectivo, prospectivo e de recorrêcia para a determiação do saldo devedor, a parcela de amortização que compõe uma dada prestação, tem que ser determiada pela difereça etre o valor da prestação e a respectiva parcela de juros devidos. Referêcias Butcher, M.V. & Nesbitt, C. (1971) Mathematics of Compoud Iterest. A Arbor: Ulrich. de Faro, C. (2013-a). Uma Nota Sobre Amortização de Dívidas: Juros Compostos e Aatocismo, Revista Brasileira de Ecoomia, Vol. 67 (3), de Faro, C. (2013-b, outubro). Amortização de Dívidas e restações Costates: uma Aálise Crítica. Esaio Ecoômico da EGE de Faro, C. (2014, jaeiro). Amortização de Dívidas e Juros Simples: um Caso de restações em rogressão Aritmética. Esaio Ecoômico da EGE de Faro, C & Lachtermacher, G.(2012). Itrodução à Matemática Fiaceira. Rio de Jaeiro/São aulo: FGV/Saraiva. de Fietti, B.(1969). Leços de Mathématiques Fiacières, aris: Duod. 1 ara que se teha uma idicação da ordem de gradeza, tem-se que, sedo F = R$ ,00, = 10 aos, i = 10% a.a. e 8% a.a., a perda fiaceira, em termos da difereça dos valores presetes dos laçametos das parcelas de juros, seria de R$ ,07. 2 ara uma discussão do coceito de aatocismo, veja-se de Faro (2013-a). 11

14 De-Losso, R., Giovaetti, B. C. & Ragel, A. S. (2013) Sistema de Amortização por Múltiplos Cotratos: a Falácia do Sistema Fracês. Ecoomic Aalysis of Law Review. 4(1), Houaiss, A. (2001). Dicioário Houaiss da Lígua ortuguesa. Rio de Jaeiro: Objetiva. Kelliso, S.G. (1991).The Theory of Iterest, 2 d Ed., Homewood: Irwi. Kosiol, E. (1973). Fiazmathemati, Wiesbade: Gabler. Nogueira, J. M.(2013). Tabela rice: Mitos e aradigmas. 3ª Ed., Campias: Milleium. Rovia, E. (2009). Uma Nova Visão da Matemática Fiaceira. Campias: Milleium. Sadrii, J. C. (2007). Sistemas de Amortização de Empréstimos e Capitalização de Juros: Aálise dos Impactos Fiaceiros e atrimoiais. Dissertação de Mestrado. Setor de Ciêcias Sociais Aplicadas. Uiversidade Federal do araá. 12

15 Apêdice I Com o ituito de justificar sua proposição para a determiação das parcelas de amortização, Sadrii (2007, pp ) apreseta um exemplo umérico que ilustra uma situação extrema, e assaz iusitada. Tal situação pode ser visualizada o seguite exemplo, propositalmete simplificado para que se possa sumariar a evolução de saldo devedor. Seja o caso ode o fiaciameto de R$ ,00, cotratado segudo a Tabela rice e à taxa de 10% ao ao, deva ser resgatado em 4 prestações auais. Tedo em vista a relação básica para o cálculo da prestação costate que é característica da Tabela rice, relação esta que, por exemplo, pode ser ecotrada em de Faro e Lachtermacher (2012), tem-se: , ,1 R$3.154,71 Imagie-se agora que, tal como proposto por Sadrii (2007), imediatamete após a cotratação do débito, com a emissão de 4 otas promissórias, uma para cada prestação, 1 o tomador do empréstimo resolva atecipar o pagameto da primeira prestação. Olvidado o fato de que o mais razoável seria repactuar o débito, recalculado os valores das prestações, sigamos a proposição ao pé da letra. Atecipado a primeira prestação, o devedor resgataria a ota provisória correspodete, supodo matida a taxa de juros de 10% ao ao, pagado o seu valor atual. Isto é, pagaria, a própria data de cotratação de débito, o valor R ' ,71 1 0,1 $2.867,92 Admitido, o que é mais do que razoável, por ão ferir o bom seso, que ão sejam formados, istataeamete, ehum juros sobre o saldo devedor, teríamos ulos os juros devidos esta época, que deotaremos por 0 ; ou seja J R$0,00. Cosequetemete, como se 0 segue da relação (8), todo o valor de ' 1 seria cosiderado como amortização. 2 Logo, A R ; com o saldo devedor passado a ser, de acordo com o método ' 0 1 $2.867,92 retrospectivo, S ,92 R$7.132,08. Valor este que coicide com o que seria 0 determiado tato pelo método de recorrêcia como pelo método prospectivo. Fazedo uso da recorrêcia fudametal, e itroduzido a época 0, a evolução do saldo devedor, a meos de erros de aproximação, seria tal como descrita o Quadro A A suposição da emissão de otas promissórias, o que aqui é imagiado, em ada altera a aálise. 2 Sedo que, este caso excepcioal, ter-se-ia A A

16 Quado A. 1. Evolução do Saldo Devedor o rimeiro Caso S i (%) # # # J # # J ˆ , , ,92 0, , ,92 0, , ,00 713,21-713,21 0,00 0, , ,71 784, , , , , ,71 547, , ,18 547,51 4-0, ,71 286, , ,71 286, , , , , ,04 # Valores em reais Desprezado-se os erros de aproximação, fica, para as épocas 1, 2,3, 4, patete a icosistêcia da proposição que cosiste em cosiderar a parcela de amortização que compõe uma dada prestação, como sedo igual ao valor atual desta mesma prestação. S 3, seria: Assim, por exemplo, com base em tal proposição o saldo devedor a época 3, deotado por S , , ,18 R$2.154,70 Ao passo que, por exemplo, pelo método prospectivo, seria: S ,71 1 0,1 R$2.867,92 valor este que, a meos de erro de aproximação, coicide com o apresetado o Quadro A.1. ara melhor ilustrar a iadequabilidade da proposição ora em escrutíio, retomemos o caso do exemplo. Sedo que, agora, iremos admitir que o tomador do empréstimo resolva atrasar o pagameto da primeira prestação; efetuado seu pagameto jutamete com o da seguda prestação. Supodo que ão haja multa por atraso, ocorredo tão somete cobraça de juros à taxa cotratual, o desembolso total a época 2, fim do segudo ao do prazo do empréstimo, será: ' ,71 1 0, ,71 R$6.624,89 Observado que, esta evetualidade de prestação em atraso, temos a ocorrêcia de aatocismo, a evolução do estado da dívida é apresetada o Quadro A.2. 14

17 Quadro A.2 Evolução do Saldo Devedor o Caso de restação em Atraso # S (%) i J J ˆ , , , , ,00 0,00 0, , , , , , , , ,71 547, , ,18 547,51 4-0, ,71 286, , ,71 286, , , , , ,30 # Valores em reais. Um primeiro poto a observar é o que diz respeito à época 1. Segudo a proposição, a correspodete parcela de amortização seria ula. Ao passo que, efetivamete, dado o crescimeto do saldo devedor, devido a juros formados e ão pago, temos uma amortização egativa. Um segudo poto diz respeito ao fato de que, equato que, cosoate a proposição ora em exame, o saldo devedor a época 2, de acordo com o método retrospectivo, seria 2 S ,1 R$4.524,88 o valor correto, a meos de erro de aproximação, segudo o método prospectivo, é: 2 S ,71 1 0, ,71 1 0,1 R$5.475,12 Valor este que, apurado segudo o método de recorrêcia, é o que, a meos de erro de aproximação, aparece o Quadro A.2. E que coicide com o apurado segudo o método retrospectivo, quado se cosideram as parcelas de amortização dadas pela relação (8). 15

18 Apêdice II Seja o fluxo de caixa.,...,ode i. F 1 i 0, 1,2,..., 1 J J ` F i 0, Cosiderada a taxa periódica de juros, 1, a correspodete fução valor atual é V J J Ora, como o fluxo de caixa em questão apreseta uma úica variação de sial, existe um úico valor de tal que 0 V. Valor este que sabemos ser 0, pois que J J. 1 1 e or outro lado, temos que: 1 lim V sial limv 0 pois que a úica parcela egativa de V é a última. Que tede mais rapidamete a se aular quado. 1 1 V ' 0 0. Adicioalmete, como 1 V ' V., segue-se que 16