Heurísticas e Heurísticas Construtivas

Transcrição

1 CORDENONSI, A.Z. Ambetes, Obetos e Dalogcdade: Uma Estratéga de Eso Superor em Heurístcas e Metaheurístcas. Tese de Doutorado: Programa de Pós-Graduação em Iformátca a Educação UFRGS, Heurístcas e Heurístcas Costrutas O termo heurístco proê do grego heurske = descobrr, do mesmo radcal que deu orgem a palara heureca, mortalzada pelo matemátco e flósofo grego Arqumedes. Uma heurístca é um procedmeto algorítmco deseoldo atraés de um modelo cogto, usualmete atraés de regras baseadas a experêca dos deseoledores. Ao cotráro dos métodos exatos, que buscam ecotrar uma forma algorítmca de achar uma solução ótma atraés da combação ou busca de todas as soluções possíes, as heurístcas ormalmete tedem a apresetar um certo grau de cohecmeto acerca do comportameto do problema, gerado um úmero muto meor de soluções. Os métodos heurístcos eglobam estratégas, procedmetos e métodos aproxmatos com o obeto de ecotrar uma boa solução, mesmo que ão sea a ótma, em um tempo computacoal razoáel. Algumas defções de heurístcas ecotradas a lteratura são ctadas a segur:...procedmetos smples, a meudo basados e el setdo comú, que se supoe ofrecerá ua buea solucó (auque o ecesaramete la óptma) a problemas dfícles, de u modo fácl y rápdo. (ZANAKIS, EVANS, 98 apud DIAZ, 996) Para resoler efcetemete mutos problemas dfíces, geralmete é ecessáro comprometer as exgêcas de mobldade e sstematcdade e costrur uma estrutura de cotrole que ão garata ecotrar a melhor resposta, mas que quase sempre ecotre uma resposta muto boa.... a heurístca é uma técca que melhora a efcêca de um processo de busca, posselmete sacrfcado pretesões de completeza. (RICH, KNIGHT, 993) Exstem mutos fatores que toram teressate a utlzação de algortmos heurístcos a resolução de um determado problema (DIAZ et al., 996): quado ão exste um método exato para a resolução deste problema ou o mesmo requer um tempo muto alto de processameto. Neste caso, oferecer uma solução boa é melhor do que ão ter ehuma solução; quado ão é ecessára a solução ótma, pos as soluções obtdas á são razoáes; quado os dados são pouco cofáes. Neste caso, a busca pela solução ótma ão tem setdo, pos a mesma será uma aproxmação da realdade; quado lmtações de tempo e/ou dhero obrguem a utlzação de métodos de resposta rápda; como passos termedáros de outros algortmos, potecalmete exatos ou heurístcos.

2 As heurístcas podem ser dddas, em termos pedagógcos, em costrutas, melhorameto e metaheurístcas. As duas prmeras serão abordadas esta seção e as metaheurístcas serão cosderadas a parte, a seção Uma heurístca costruta, ou míope, para o PCV, cosste em tetar ecotrar uma boa rota, cosderado a cada teração somete o próxmo passo, ou sea, o crtéro de escolha é bascamete local (CAMPELLO, MACULAN, 994). Ela parte de uma solução aza e costró a rota, serdo sempre uma cdade de cada ez, até atgr a rota completa. Algortmos costrutos ão possuem ehum esquema de backtrackg, ou sea, após serr uma cdade, ão é possíel retrá-la da rota. Um algortmo geérco para uma heurístca costruta pode ser sualzado a fgura. Etrada : um értceν cal Saída : um cclo hamltoao [... ] C = custo etre os értces e N = { a, b,..., } couto de értces Ice o cclo com apeas o értce cal ν Cclo [ ν ] N N [ ν ] ENQUANTO N Ø Escolha um értce κ atraés de um crtéro α Cclo Cclo + [ κ ] N N [ κ ] Fgura - Heurístca costruta geérca para o PCV As heurístcas de melhorameto, por sua ez, cam á com uma solução factíel. Uma rota é cosderada factíel se ela satsfaz todas as restrções presetes a formulação matemátca represetada a fgura 3, ou sea, se ela cotém todos os értces do problema; se há somete um arco de etrada e um de saída para cada cdade; e se a rota forma um cclo completo, retorado oamete para o poto de partda. Desta forma, a heurístca trabalha o melhorameto da solução atual, atraés da realzação de passos sucessos. Usualmete, estes passos realzam a exclusão e clusão de arcos ou értces a esta rota, de forma a pesqusar a zhaça da solução em busca de uma rota de melhor qualdade. O termo zhaça se refere a rotas que se ecotram próxmas o espaço de busca das soluções, que podem ser alcaçadas atraés de um mometo. Por mometo em um espaço de busca, se etede a aplcação de uma regra ou fução que altere a solução atual, gerado uma oa solução. Um dos mometos mas smples para o caxero aate é o swap, represetado pela smples troca de posção etre duas cdades. Por exemplo, em um tour de quatro cdades, as rotas {A,B,C,D,A} e {A,B,D,C,A} são cosderadas zhas, pos é possíel obter a cdade zha pela smples troca das posções das cdades C e D (swap). No etato, as rotas {A,B,C,D,A} e {A,D,C,B,A} exgem um maor úmero de trocas para que seam cosderadas zhas atraés do 2

3 mometo swap. É mportate obserar que, para mometos dferetes, a estrutura de zhaça também se altera. As heurístcas de melhorameto param, usualmete, quado ehuma outra troca possíel melhora o resultado atual, o que é cosderado um ótmo local. Este ótmo local pode, eetualmete, ser o ótmo global, ou sea, a melhor solução possíel para o problema, mas ão há garatas em relação a este fato, como em todos os procedmetos heurístcos. O gráfco da fgura 2 apreseta esta relação. A heurístca de melhorameto ca a partr de uma solução cal, que é represetada por um poto o gráfco. A partr deste mometo, atraés do crtéro de zhaça adotado, ele busca soluções ao seu redor e, o caso do gráfco apresetado, reduz o custo da solução até o segudo poto em destaque, o ótmo local. No etato, este mometo a heurístca cessa seu fucoameto. Como é possíel obserar, todas as soluções zhas à rota do ótmo local possuem um alor superor à própra solução. Desta forma, o algortmo pára e exbe como resposta o ótmo local, gorado as possbldades que poderam lear o algortmo a, mas tarde, ecotrar um ótmo global, represetado grafcamete como o últmo poto em destaque da fgura 7. Cabe saletar, oamete, que ão há garatas que o prmero poto, o ótmo local, ão sea realmete o ótmo global, ou sea, se a busca cotuasse defdamete, exste sempre a possbldade de ão haer outras melhoras a serem ecotradas. Fgura 2 - Ótmo local e global Um algortmo geérco para as heurístcas de melhorameto pode ser sualzado a fgura 3. 3

4 Etrada : um cclo hamltoao [... ] Saída : um cclo hamltoao [... ] C = custo etre os értces e β = crtéro de zhaça solucao _ cumbete = Etrada cotrole = erdadero ENQUANTO cotrole = erdadero FAÇA cotrole = SOL = gerar _ todas _ solucoes _ zhas( β, solucao _ cumbete) ENQUANTO SOL Ø FAÇA SE custo( α) < custo( solucao _ cumbete) ENTÃO solucao _ cumbete = α cotrole = erdadero FIM SE falso α = SOL[topo] SOL SOL [ topo] FIM _ ENQUANTO Fgura 3 - Heurístca de melhorameto geérca para o PCV Fgura Heurístca Costruta: Algortmo Aleatóro Este algortmo, de smples defção e costrução, fo mplemetado o obeto LOBO por se tratar da déa mas smples possíel para a resolução do Problema do Caxero Vaate. Tal escolha se ustfca para exemplfcar aos aluos que, em problemas de otmzação combatóra, bos resultados só são cosegudos atraés de muto esforço. Soluções tras obtêm resultados tras; boas soluções são obtdas após uma aálse cudadosa e crterosa do problema, estrutura e suas característcas. A fgura 5 apreseta a formulação desta heurístca, que cosste, bascamete, a smples serção de oos értces à solução de forma aleatóra, ou sea, ão exste um crtéro para a serção de um oo értce. Todos os értces cocorrem para a serção em uma determada posção da solução com as mesmas chaces. 4

5 Etrada : um értceν cal Saída : um cclo hamltoao s [... ] Sea α [... ] ( cdades ão cluídas a rota) Ice o cclo com apeas o értce cal ν s [ ν ] α = α [ ] ENQUANTO α φ Selecoe aleatoramete um értce k α Isra o értce k em s s k α = α [ k] Fgura 5 - Heurístca Costruta: Algortmo Aleatóro..2 Heurístca costruta: Vzho Mas Próxmo A escolha da heurístca do zho mas próxmo para a mplemetação do LOBO fo decdda por três fatores fudametas: smplcdade: o algortmo é muto smples de eteder e se basea em um coceto geérco; produz resultados razoáes: apesar de sua smplcdade e de apresetar dfculdades em problemas maores, os resultados obtdos pela heurístca são razoáes como poto de partda para outras soluções (algortmos de melhorameto); a déa é faclmete recohecda pelos aluos: o processo das aulas, sem a apresetação da heurístca, áros aluos tedem a costrur, em formas geras, uma heurístca do zho mas próxmo caso seam struídos a resoler o problema. O algortmo da fgura 6 apreseta o formalsmo da heurístca do Vzho Mas Próxmo. Em resumo, esta heurístca trabalha da segute forma: o cclo ca com uma cdade atual e, a partr desta, ecotra a próxma cdade k de forma que o custo (usualmete a dstâca) de lgação etre as duas cdades sea mímo. Ao ecotrar esta cdade k, o algortmo sere a mesma o fal do cclo e repete a operação até que todas as cdades perteçam à solução. Falmete, o cclo é fechado lgado a cdade cal à cdade fal. Não é permtdo star uma cdade duas ezes ou modfcar uma escolha, ou sea, após uma cdade ser serda em uma determada posção da rota, ela ão sofrerá ehuma modfcação de poscoameto. 5

6 Etrada : um értceν cal Saída : um cclo hamltoao s [... ] Sea α [... Ice o cclo com apeas o értce cal ν s ν α = α [ ] ultma _ cdade = ENQUANTO α φ = s[ ultma _ cdade] = cdade de α de meor dst com s α = α [ ] ultma _ cdade = ultma _ cdade + Feche o cclo ] ( cdades ão cluídas a rota) s ν Fgura 6 - Heurístca Costruta: Vzho Mas Próxmo A déa que permea esta heurístca está o fato de buscar serr a solução fal os meores arcos, ou sea, as lgações etre duas cdades que apresetam o meor custo. Esta premssa é erdadera para as prmeras lgações. No etato, a medda em que o algortmo prossegue, as escolhas dmuem e cresce a possbldade de serr arcos de custo eleado. A fgura 7 apreseta o resultado da aplcação desta heurístca para o problema pr76.tsp. O alor da fução obeto para este problema fo de 53.46,92 em um tempo de.0 segudos. Vale lembrar que o alor ótmo para o problema em questão é de 08.59,43. 6

7 Fgura 7 - Aplcação da Heurístca Vzho Mas Próxmo sobre o problema pr76.tsp..3 Heurístca costruta: Iserção Mas Dstate A heurístca da serção mas dstate cotrapõe a do zho mas próxmo por serr cdades a solução fal de forma a ão gerar cruzametos de rotas. O algortmo ca com uma sub-rota que só cotém a cdade de orgem. Para cada cdade(l) que ão estea a rota, é calculado a dstâca míma etre l e todas as cdades que esteam a rota, e armazeado a meor dstâca, que chamaremos m_dst(l). Depos, é escolhda a cdade(k), tal que m_dst(k) sea máxma. Falmete, o local de serção de k a sub-rota atual é dada pelo par de értces e, lgado k a forma (,k) e (k,), mmzado c k + c k c Desta forma, a sub-rota atual são serdos os arcos (,k) e (k,) e retrado o arco (,). Falmete, o cclo reca, agora com o úmero de cdades fora da sub-rota dmuído de um. Exstem áras arates deste algortmo, cludo: serção mas próxma: é escolhdo a cdade(k), tal que m_dst(k) sea mímo; serção mas barata: para cada cdade(k) que ão estea a rota e o par de értces (,k) e (k,) que lgam a cdade(k) a sub-rota atual, ecotrar o custo 7

8 dado pela fórmula ateror. É escolhdo para serção a cdade(k) cuo custo calculado aterormete sea mímo. Estas duas arates são apresetadas em (REI, 994). O formalsmo da heurístca da serção mas dstate é apresetado a fgura 8. Etrada : um értceν cal Saída : um cclo hamltoao s [... ] Sea α [... ] ( cdades ão cluídas a rota) Ice o cclo com apeas o értce cal ν s ν α = α [ ] mas _ dst = 0 k = 0 ( értce escolhdo) ENQUANTO α φ PARA cada értce V α FAÇA FIM PARA meor _ custo = + V d SE d FIM SE = 0; V PARA cada par de értces (, ) s FAÇA custo = c SE custo < meor _ custo ENTÃO V FIM SE FIM PARA s k ( etre V α = α [ k] k = V = ; V = max( dst( V, s)) > mas _ dst ENTÃO mas _ dst = d = 0 ( értces ateror e posteror) + c meor _ custo = custo k e V k = ) c Fgura 8 - Heurístca Costruta: Iserção Mas Dstate 8

9 A aplcação do algortmo produz uma solução que é cada pelas potas, como se fosse uma corda em círculo que é estcada prmeramete as potas e depos leada até os potos terores. Esta forma de atuação permte que o algortmo ão produza cruzametos, se o problema respetar a desgualdade do trâgulo. Vsualmete, é possíel obserar o desempeho o algortmo a fgura 9, que apreseta quatro estágos progressos da aplcação da heurístca para o problema pr76.tsp. O alor da fução obeto para este problema fo de 9.962,93 em um tempo de.0 segudos. Fgura 9 - Aplcação da Heurístca Iserção Mas Dstate sobre o problema pr76.tsp 9