ALINHAMENTO DE PROCRUSTES

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1 ALINHAMENO DE PROCRUSES Paulo Vctor Rodrgues Ferrera, Raer Gumarães Fraça, Eda Lúca Flôres, Glberto Arates Carrjo Uversdade Federal de Uberlâda Faculdade de Egehara Elétrca (FEEL) Uberlâda Mas Geras Resumo O objetvo deste trabalho é apresetar uma forma de alhameto de mages utlzado a técca de alhameto de Procrustes; que cosste em aplcar métodos de rotação, traslação e escala as respectvas mages. Este alhameto pode ser aplcado as áreas da medca e computação gráfca. Uma área de aplcação medata é o mapeameto de radografas de mão humaa. Palavras-Chave alhameto de Procrustes, correspodêca de potos, detecção de bordas, método Delaua, processameto dgtal de mages, regstro de mages. PROCRUSES ALIGNMEN Abstract he objectve of ths paper s to show a wa of mage algmet b usg Procrustes algmet techque; that bases o applg methods of rotato, traslato ad scale of the mages. hs algmet ca be appled o the felds of medce ad graphc computato. Oe feld of mmedatel applcato s the huma had radograph mappg. Kewords boudar detecto, Delaua method, dgtal mage processg, mage regsterg, pot correspodece, Procrustes algmet. I. INRODUÇÃO Determadas aplcações requerem medções eatas dos tamahos de certos objetos cotdos em uma determada magem. Para realzar essas medções é ecessáro ter as dmesões e formas desses objetos, realçado-os ou mapeado-os por potos ou bordas detectadas, que serão realçados a magem para que as medções possam ser realzadas computacoalmete, automatzado qualquer processo em que medções etre potos uma magem sejam ecessáras, como por eemplo, a automatzação do processo de aer-whtehouse []; este processo é smplesmete um método de medção do tamaho de ossos uma magem. Um método de mapear uma magem cosste bascamete em ecotrar potos ou regões característcos essa magem. Assm com a magem mapeada, pode-se realzar medções etre a magem de teresse e a magem de referêca o processo de comparação. Para realzar a comparação etre as mages, prmeramete elas devem possur um mesmo âgulo de clação, uma mesma posção espacal em um eo e possur o mesmo tamaho. Quado sso ão ocorre, deve-se alhar uma magem à outra que se deseja comparar, deomada magem referêca, fazedo-se o processo de trasformação que cosste em aplcar rotação, traslação ou escala a magem. O método proposto este artgo para realzar a trasformação da magem é o alhameto de Procrustes [, 3, 4,5]. Este artgo apreseta o método de alhameto de Procrustes, a tragulação de Delaua, algus resultados obtdos os testes realzados. E falmete, são realzadas coclusões sobre esses resultados. II. ALINHAMENO DE PROCRUSES O objetvo do alhameto de Procrustes é remapear as posções dos pels da magem aplcado as trasformações de rotação, traslação e mudaça de escala as mages. Nessas trasformações o parâmetro a altera a escala da magem; o parâmetro Ө realza uma rotação essa magem; e os parâmetros Δ e Δ realzam a traslação horzotal e vertcal, respectvamete, dessa magem. Quado a <, a magem é reduzda proporcoalmete; quado a>, a magem é dlatada proporcoalmete; e se a=, ão este varação [4, 5]. Como este mas de um parâmetro a ser alterado, calmete verfca-se a magem a ecessdade da alteração, e caso sso ocorra, quas são os parâmetros que devem ser alterados. Para tal costatação deve-se fazer a correspodêca etre as duas mages, ou seja, ecotrar potos em comum, chamados de potos de cotrole, etre as mages de teresse e a de referêca. A partr desses potos, são determados quas os parâmetros que sofrerão alteração para que a trasformação possa ser realzada.

2 A. CORRESPONDÊNCIA DE IMAGENS A correspodêca etre duas mages é realzada a partr da localzação de potos ou regões determístcos como áreas fechadas, arestas, catos, tersecção de lhas, etre outros que apresetam característcas marcates em relação às formas ao seu redor e que determarão os potos de cotrole [5]. Esses potos ecotrados são comparados a potos aterormete determados e localzados a magem referêca a partr de parâmetros de teresse que depedem da aplcação, do grau de sesbldade e atureza das mages processadas. Uma das maeras de se realzar a correspodêca ou comparação etre estes potos das duas mages é através da Correlação Cruzada Normalzada. Esta correlação etre a magem I (amostra) e uma magem referêca w, é obtda pela Equação (). CC( ', ' ) [ I(, ) I] [ I(, ) I][ w( ', ' ) w] [ w( ', ' ) w] Ode, a Equação (), I represeta a matrz da magem amostra e w represeta a magem referêca e cosequetemete, I (, ) é um valor esta matrz, equato que I é o cetro com valor ormalzado da magem, assm como w é o cetro com valor ormalzado da magem referêca. Os respectvos cetros são dados pelas segutes equações: j j j j Em que é o úmero de potos de cotrole. Esta correlação é feta sob o aspecto de que se deseja localzar os potos de cotrole da magem referêca a magem amostra. Esses potos ecotrados,,, são determados para resultar a mamzação da correlação cruzada ormalzada. Assm,, pertecem à magem amostra, a que estamos processado, e, portato são classfcados como potos de cotrole correspodetes aos potos de cotrole da magem referêca quado a correlação é máma. Para eecutar o processo de busca destes potos, um método teratvo é aplcado sedo ecessáro o cálculo com cada poto da magem, torado o processo computacoal um pouco leto. Uma alteratva de se ecotrar estes potos de cotrole da magem referêca é defr calmete uma área vzha ao poto de cotrole uma submagem, ou jaela - a magem referêca e procurar essa mesma área a magem amostra através da correlação cruzada ormalzada, de modo que quado a área for ecotrada o valor da correlação será mámo [6]. E para defr essa área como um poto de cotrole ecotrado a magem amostra, um / () () (3) lmar de detecção é mposto para que somete o poto de maor correlação seja defdo como um alvo ou poto de cotrole ecotrado. Assm, a partr da correlação, os ovos potos ecotrados serão utlzados juto aos potos orgas para a determação de uma fução que mapee as posções dos potos da magem amostra para as posções destes potos da magem referêca. Essa fução é uma matrz composta por parâmetros que serão capazes de modfcar o valor atual de cada posção orgal da magem para que a mesma se apresete alhada à magem referêca com um valor de correlação mamzado para cada posção. B. RANSFORMAÇÃO PROCRUSES A trasformação de Procrustes [5] pode ser defda como uma fução que mapea as posções dos pels de uma magem para as ovas posções [5] de acordo com a Equação (4). p' p Ode: p represeta as coordeadas (, ) da magem amostra. p represeta as coordeadas (, ), também chamadas de poto equvalete ao descrtor (, ) é a coordeada do poto de cotrole da magem referêca. represeta o poto que está sedo processado. e p (5) p ' ' ' (6) é a matrz dos parâmetros que determarão as trasformações ecessáras as dmesões corretas obtda pela localzação dos ovos potos que fo dada pela máma correlação, como mostrado a Equação (7) [5]. acos( ) ase( ) ase( ) acos( ) Quado se deseja ecotrar melhores parâmetros de, quado cohecdos os potos cas a magem amostra e que serão mapeados pela matrz e os potos fas que são os potos da magem referêca, a matrz equvalete dos potos correspodetes de toda a magem, é mostrada a Equação (8) [5]. (4) (7)

3 p'. P' p' (8) Escrevedo a matrz em um vetor Z, temos a Equação (9) [5]. a se a cos Z Etão P pode ser reescrta de acordo com a Equação () [5]. P' JZ () Ode: J é a matrz Jacobaa dada pela Equação () e utlzada para descrever P em fução de Z, e cosequetemete em fução de [5]. J (9) () O objetvo é estmar melhores valores de que mmzem a soma dos erros quadrátcos etre as posções mapeadas pelos parâmetros de as posções dos potos equvaletes ao descrtor. Como defdo aterormete, X ' represeta a posção (, ) do poto de cotrole a magem referêca; e com a matrz defda, os potos de X são mapeados para X represetado as posções (, ) como mostrado pela Equação (). X X () Ode: X represeta a matrz dos potos mapeados após a trasformação e X a matrz dos potos orgas a serem trasformados. E X é se apreseta como a Equação (3), X ' se apreseta como a Equação (4) e como a equação (5). X ) X se apreseta ( (3) X ) ' ( ' ' (4) (5) X ( ) O erro característco para cada poto é obtdo pela Equação (6). e ( ' ) ( ' ) (6) A soma dos erros para cada poto é obtda pela equação (7). E e (7) Assm, a solução para a mmzação dos erros quadrátcos que resulta a matrz Z, é mostrada pela Equação (8). Z P' ( J J) J (8) Assm, com os parâmetros de Z, a matrz é defda e são fetas as trasformações as dmesões e oretações ecessáras, como traslação, rotação e mudaça de escala a magem amostra, alhado-a à magem referêca com os meores erros quadrátcos possíves. C. MÉODO DELAUNAY Quado os potos característcos da magem a ser trasformada são determados a partr da correspodêca com a Equação (), são serdos erros de posção. Esses erros podem ser elmados com uma etapa após a trasformação de Procrustes, com a faldade de refar o resultado, já que apeas a realzação da trasformação cal já é sufcete para se obter um resultado satsfatóro, mas com o refameto os erros de correspodêca tedem a zero. A etapa de refameto é defda como sedo uma etapa de edção gráfca. Esta edção cosste em mpor cotrastes estruturas em característcas de catos detectados a magem pelo método de tragularzação de Delaua [, 7], resultado em ovos potos de cotrole. Os potos que são cosstetes com a sua vzhaça, devdo algum parâmetro de decsão, são elmados do cojuto e a tragularzação é realzada ovamete. Falmete os potos são re-alhados utlzado o processo de alhameto de Procrustes ovamete, resultado as meores dstâcas correspodetes. Algus testes podem ser verfcados o trabalho de Luo e Hacock [8]. Além do refameto para a falzação da trasformação de Procrustes, o método de Delaua também é utlzado frequetemete em determações de bordas em uma certa magem cotda em uma frotera a partr de uma uvem de potos gerados a magem, o que tora a aplcação de mapear um poto muto mas fácl de se mplemetar do que a técca que usa Correlação Cruzada Normalzada. Assm é possível aplcar o alhameto de Procrustes em uma magem que teve suas bordas detectadas pelo smples alhameto das ladmarks determadas o cotoro do

4 deseho. Ada ão foram ecotrados métodos ou téccas formas de determação de ladmarks para posções ótmas. O método de Delaua cosste bascamete em traçar retas coectado três potos aleatóros gerados pelo método de geração de malhas [9], orgado trâgulos eqüláteros. Essas malhas são potos cotdos e dspersos a magem que são gerados a partr de determado algortmo. Nota-se que a tragularzação ocorre ode este uma desdade relatvamete sgfcate de potos da malha, sedo de mportâca otável para a aplcação de detecção de bordas em uma magem qualquer, alterações sob medda o algortmo gerador da malha para que ão gere potos detro dos lmtes da magem que se quer demarcar. Isto pode ser cosegudo por um algortmo de refameto [7]. Por eemplo, a determação das bordas de uma mão humaa em uma magem de radografa, o software deve dstrbur potos somete as áreas escuras e uca as áreas com tos mas claros ou em braco. Etão a técca de Delaua traça um círculo cotedo em suas bordas três potos que serão coectados mometaeamete formado um trâgulo. Em seguda é realzada uma aálse que fará uma verfcação detro do círculo para costatar a estêca de algum poto etra em algum lugar detro desse círculo ou a lha que delmta o círculo, causado esses casos a degeeração dessa malha em específco. Caso ão ocorra ehum desses fatos o círculo é desfeto e a malha local aalsada (trâgulo, o caso bdmesoal) é matda e mas outros três potos são aalsados. Porém caso alguma das frações ctadas ocorra, o caso do poto detro do círculo a malha é descosderada e a teração segute é realzada. Se o poto se ecotrar a lha de delmtação do círculo, a decsão de elmação se tora crítca sedo ecessáro defr uma faa em toro do rao a que resultará a mpossbldade de decsão com o coseqüete deslocameto do poto apeas para que seja possível uma decsão segura [7]. Etão após algumas terações as bordas da magem são detectadas, devdo a um lmte etero de frotera e ehum poto detro da magem que se quer destacar, os ladmarks são determados e o alhameto de Procrustes é etão aplcado com todas as cosderações já ctadas este trabalho, de sua aplcação, váldas cludo o refameto para a mmzação das dstâcas, sedo assm, é possível fazer o alhameto de váras mages (seus ladmarks) etre s ou de váras mages com uma magem padrão. as téccas pesqusadas foram desevolvdos testes relatvamete smples usado mages com pouquíssmos pels para calmete costatar a déa da proposta desse artgo. Os testes foram mplemetados o programa MALAB, em que temos uma magem de etrada, Fgura (), da qual algus ladmarks foram etraídos, Fgura (). Em seguda com os ladmarks das mages referêca, Fguras (3), (5) e (7) é possível demostrar as rotações, traslações e mudaças de escala fetas a magem de etrada, o que resultou as Fguras (4), (6) e (8), respectvamete. Fgura Fgura As Fguras (4), (6) e (8) mostram as trasformações de escala e rotação realzadas a magem de etrada dadas as especfcações da magem referêca através de seus ladmarks, Fgura (3), (5) e (7), respectvamete. Fgura 3 Fgura 4 Fgura 5 Fgura 6 Fgura 7 Fgura 8 Outro eemplo, em que mages de quadrados foram utlzadas, pode ser faclmete observado a segur. A Fgura (9) represeta a magem de etrada, e a Fgura () seus ladmarks. As Fguras (), (3) e (5) são os ladmarks das mages referêca e as Fguras (), (4) e (6) represetam as trasformações realzadas respectvamete. III. ESES E RESULADOS De acordo com os estudos fetos sobre o assuto de Alhameto de Procrustes, algus testes foram desevolvdos para mostrar a déa cal do objetvo deste artgo, que se basea em trasformar parâmetros de uma magem aplcado rotação, traslação ou escala a magem de acordo com algumas especfcações prevamete defdas que se resumem em como a fgura deve se ecotrar quado o processameto estver falzado. Para colocar em prátca Fgura 9 Fgura As Fguras () e (4) mostram as trasformações de rotação e escala, realzadas a magem de etrada dadas as especfcações da magem de referêca através de seus ladmarks, Fgura () e (3), respectvamete.

5 Fgura Fgura Fgura 3 Fgura 4 Já a Fgura (6) represeta as trasformações em escala e traslação realzadas a magem de etrada de acordo com as especfcações da magem de referêca dadas através de seus ladmarks, Fgura (6). de bao custo f. Dssertação (Mestrado). Potfíca Uversdade Católca do Ro de Jaero, Departameto de Egehara Elétrca, Ro de Jaero, 5. [6] Olvera, H.; Bracalo, J. F. B.; Ferades, D.; Detecção Automátca de Alvos em Images SAR utlzado-se casameto de padrões com correlação cruzada ormalzada. EMBRAER; IA; São José dos Campos SP. [7] Passaro, A.; Abe, N. M.; Magalhães, G. M.; Geração de malha de Delaua oretada a objetos. Workshop de Computação, p , São José dos Campos, SP, 7-8//. [8] Luo, B.; Hacock, E.R. Feature Matchg Wth Procrustes Algmet ad Graph Edtg. IEE Coferece Publcato Proceedgs of the 999 7th Iteratoal Coferece o Image Processg ad ts Applcatos, Machester, Eglad, p.7-76, Jul 3- Jul 5,999, Nº465 IEE 999. [9] Sakamoto, M. M. Algortmo de refameto de Delaua a malhas seqüecas, adaptatvas e com processameto paralelo. 7. 5f. Dssertação (Doutorado). Escola Poltécca de São Paulo, São Paulo, 7. Fgura 5 Fgura 6 IV. CONCLUSÕES O estudo do comportameto, desevolvmeto e aplcação dos métodos que costtuem a teora Procrustes, alhameto e aálse, ecotram-se o processo de testes das mplemetações das téccas do método de Delaua, e a mplemetação da Correlação Cruzada Normalzada. A proposta fal dessa pesqusa costtu o mapeameto de radografas de mãos humaas e a determação da maturdade óssea utlzado a técca de aer-whtehouse. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [] aer, J. M.; Whtehouse, R. H.; Camero, N.; Marshall, W. A.; Heal, M. J. R.; Goldste, H..; Assessmet of Skeletal Maturt ad Predcato of Adult Heght, d ed. Lodo, Academc Press, 983. [] Ross, A. Procrustes Aalss. Relatóro écco, Departmet of Computer Scece ad Egeerg/Uverst of South Carola, SC 98, 4. [3] Stegma, M. B.; Gomez, D. D.; A bref troducto to statstcal shape aalss. Relatóro écco, Iformatcs ad Mathematcal Modelg, echcal Uverst of Demark, Demark, March. [4] Castaho, J. E. C. Regstro de Images: Uma solução para a modelagem de deformações e automação da correspodêca f. Dssertação (Doutorado). Uversdade Estadual de Campas, Campas, 997. [5] Belo, F. A. W. Desevolvmeto de algortmos de eportação e mapeameto vsual para robôs móves