Interacções. Capítulo As forças fundamentais da Natureza

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1 Capítulo 3 Inteacções Neste capítulo vamos fala sobe a foça como manifestação de uma inteacção ente os copos. alaemos sobe as quato inteacções fundamentais da Natueza conhecidas neste momento. Vamos apoia-nos fotemente na elação ente a foça e a enegia potencial, a que chegámos no capítulo anteio, e vamos ve como se consegue desceve o compotamento de um sistema atavés da análise da vaiação espacial da enegia potencial.. As foças fundamentais da Natueza A mecânica newtoniana baseia-se fotemente no conceito de foça. Basta conhece as foças a actua no sistema e, com a segunda lei de Newton à mão, conseguimos (melho ou pio) desceve o movimento dos copos e compotamento dos sistemas mecânicos. Clao, que eistem, po vezes, poblemas técnicos que dificultam a vida aos físicos. Não estamos a fala dessas dificuldades mas sim sobe o pincípio. O conhecimento da foça e da sua dependência espacio-tempoal fonece toda a infomação necessáia paa esolve um poblema mecânico. Mas de onde povêm as foças? O que as faz apaece? Eis a questão. Conhecemos uma vasta vaiedade de foças: foça gavítica, foça de atito, foça elástica, falamos da foça de tensão do fio, da eacção nomal da supefície sob peso de um copo, etc. Seá que todas essas foças são independentes ou algumas delas podem se eplicadas no conteto de outas, digamos, básicas? A esposta a esta pegunta é, de facto, positiva. A maio pate das foças, das quais costumamos fala na física, é uma manifestação paticula das poucas foças fundamentais da Natueza. oam intoduzidas no decuso da física, às vezes po falta da melho eplicação na altua, outas vezes po azões de conveniência. Das cinco foças mencionadas acima apenas a foça gavítica é uma foça fundamental; as outas quato são, no fundo, devidas à foça electomagnética (outa foça fundamental). A foça de atito, po eemplo, é o esultado da inteacção ente os átomos nas 45

2 supefícies dos dois copos em contacto. Em temos páticos, no entanto, isso não é assim tão impotante. Paa esolve poblemas da mecânica, basta-nos sabe a foça esultante e as suas popiedades. No que toca à oigem de uma ou de outa foça fundamental, podemos avança um pouco mais dizendo que as foças difeentes são o esultado das difeentes inteacções ente os copos. Neste sentido, a foça é uma manifestação obsevável de um dado tipo de inteacção. É costume identifica-se quato inteacções fundamentais da Natueza: a inteacção gavítica, a inteacção electomagnética, a inteacção nuclea (também chamada inteacção fote) e a inteacção faca. A inteacção gavítica é bem conhecida: é assim que inteagem dois objectos com massas não nulas. As massas entam nas equações da foça e da enegia potencial associada a este tipo de inteacção. A foça gavítica é sempe atactiva e actua a qualque distância ente os copos, diminuindo na popoção invesa do quadado da distância. As foças deste tipo chamam-se foças de longo alcance (infinito). Paa que dois objectos inteajam atavés da foça electomagnética, têm que possui caga eléctica. Se os objectos estão em epouso, a inteacção ente eles desceve-se com a lei de Coulomb. Uma vez que eistem dois tipos de caga eléctica, as cagas positivas e as cagas negativas, a foça ente os copos caegados pode se de atacção ou de epulsão, em contaste com a foça gavítica. A foça colombiana é também uma foça de longo alcance com o módulo a diminui na popoção invesa do quadado da distância ente as cagas. A inteacção nuclea é esponsável pela estabilidade do núcleo atómico que, como se sabe consiste em dois tipos de patículas, potões e neutões. Os potões têm caga eléctica positiva (e po isso, inteagem também pela foça electomagnética) enquanto os neutões são electicamente neutos (i.e. têm caga eléctica igual a zeo). A foça nuclea, com que inteagem ente si tanto os potões como os neutões, é uma foça atactiva que compensa a epulsão electostática ente os potões e assim faz com que os núcleos atómicos fiquem estáveis. A foça nuclea é uma foça de cuto alcance, actua nas distâncias da odem de -5 m (que é compaável ao tamanho de um núcleo). A essa distância, a foça nuclea é muito maio que a foça electostática, mas nas distâncias supeioes isso é despezável compaativamente com a última. Paa as distâncias de odem de -6 m, a atacção devida à foça nuclea tansfoma-se em 46

3 epulsão muito fote. Isso eplica po que é que os núcleos atómicos têm dimensões finitas e não colapsam. inalmente, a inteacção faca é aquela que é esponsável pelo decaimento das patículas. Actua nas distâncias ainda mais cutas, da odem de -8 m. Um eemplo do pocesso que ocoe devido a este tipo de inteacção é o decaimento de um neutão. O neutão live não é estável e decai paa o potão, electão e uma patícula neuta (electicamente) chamada anti-neutino (uma patícula de anti-matéia), n p + e +ν ~, com um tempo caacteístico (peíodo de semi-tansfomação) de ceca de minutos. Estes quato tipos de foças são independentes. Não se pode desceve nenhuma delas como se fosse manifestação de uma inteacção de outo tipo ou uma combinação destas. Po isso, todas elas se consideam pesentemente como as foças fundamentais da Natueza. Não se pode dize qual é a azão de eistência dessas foças, mas há povas epeimentais suficientes paa afima que elas eistem e são difeentes. A pegunta po que é que são quato? - também não há esposta, mas a ideia de uni todas as foças sob um mesmo telhado é intensamente eploada pelos físicos desde há muitos anos. O pópio Einstein dedicou uma gande pate da sua vida a tenta fundi a foça gavítica com a electomagnética, mas sem sucesso. O pogesso conseguiu-se nouto lado: na unificação das inteacções electomagnética e faca e desenvolvimento da teoia de inteacção electo-faca, que desceve as duas inteacções com um único fomalismo (pémio Nobel de 979 paa S. Glashow, A. Salam e S. Weinbeg). Já a etensão desta unificação paa a foça nuclea é uma taefa mais difícil, mas eiste um modelo, ainda não concluído, que tata as tês inteacções (electomagnética, faca e nuclea) numa base comum. Este modelo chama-se modelo de Gande Unificação. A foça gavítica, a mais antiga de todas, é que continua ainda a fica de foa. Campos Uma inteacção pessupõe que eistem, pelo menos, dois objectos (daqui inteacção) a eece a influência um sobe o outo. A inteacção gavítica ente o Sol e a ea é um bom eemplo. Sabemos que o efeito do Sol sobe o movimento da ea é dominante, mas sabemos igualmente que também eiste uma inteacção da ea com 47

4 outos copos celestes. A descição mais completa do movimento da ea no espaço, potanto, tem que te em conta não só a atacção do Sol, mas também a atacção da Lua, de Vénus, de Júpite e dos seus anéis, etc. Po outas palavas, é a foça esultante de todas essas inteacções que tem que enta na equação de movimento. Nesta pespectiva, seia conveniente considea a ea como se esta se movesse num campo gavítico eteio - num campo que engloba os efeitos de todos os copos sobe a ea. A foça eecida po este campo sobe a ea seia, então, a soma vectoial de todas as foças gavíticas e a enegia potencial seia a soma das enegias potenciais associadas à atacção de cada copo do sistema. Uma vez descito este campo (que dize que se sabe como calcula a foça e/ou enegia potencial em qualque ponto do espaço e em qualque momento), podemos pô de pate a sua oigem e esquece quais são ealmente as fontes das foças (diz-se, também, fontes do campo), poque paa efeitos páticos só o efeito combinado é que inteessa. Esta abodagem tem um defeito óbvio - paece que se pede o efeito que a ea eece sobe os outos planetas e sobe o pópio Sol (a atacção é ecípoca, não esqueçamos isso). Mas este efeito pode se despezado em muitos casos, beneficiando deste modo da simplificação do poblema. Continuando esta lógica, podemos aplica o conceito do campo até paa o caso de apenas dois copos. É costume fala-se do campo gavítico da ea em que todos nós nos movemos. É habitual dize-se que uma maçã cai sob a influência deste campo. O que se esquece, nomalmente, nesta intepetação é que a maçã também atai a ea e que, o que nos paece apenas a queda de uma maçã, é, de facto, os dois copos (a maçã e a ea) a moveem-se um ao enconto do outo; isto poque a atacção é mútua e poque a foça, com que a maçã atai a ea, é igual em módulo à foça com que a ea atai a maçã. O efeito obsevável, no entanto, é muito difeente paa os dois copos po causa da difeença enome ente as massas. O módulo da foça gavítica é igual, como sabemos, a mg (onde m é a massa da maçã e g é a aceleação da gavidade) e a aceleação é igual a g. A ea atai a maçã com a mesma foça, mas a sua aceleação, segundo Newton, é mg a = = (aqui M é a massa da ea). M M É fácil calcula essa aceleação: po eemplo, paa m =, kg, a.7-6 g. Isto esulta no deslocamento da ea no sentido da maçã apenas de ceca de.8-5 m, 48

5 se o tempo de queda fo segundo (ecode-se, = at?). Este deslocamento é dez odens de gandeza meno que o diâmeto de um núcleo atómico e, po isso, é pefeitamente despezável (nem seque tem algum sentido físico: não há nenhum objecto conhecido na Natueza com as dimensões compaáveis a este valo). No caso do Sol e da ea, a azão ente as massas não é tão pequena (é de odem de ~ -6 ), mas mesmo assim o efeito da ea sobe o Sol é bastante pequeno compaativamente com o efeito do Sol sobe a ea. Po isso, podemos fala da ea a move-se no campo gavítico do Sol. Este modo de ve o movimento de um copo como movimento num campo eteio conduz-nos logicamente a uma dedução estanha: o Sol cia ( emite?) à sua volta um campo gavítico que paece de não depende da eistência da ea ou de qualque outo objecto nas vizinhanças. Seá que se tiássemos todas as estelas e planetas do espaço, ecepto o Sol, o campo gavítico ainda eistiia? Se espondemos Sim, estaemos a contadize à ideia de ecipocidade da inteacção gavítica. Na vedade, pensa assim (que o campo se mantém) ou pensa o contáio, não taz nenhumas consequências páticas, ou seja, efeitos obseváveis. A única maneia de veifica a eistência (ou não) do campo gavítico é coloca uma massa de teste (uma sonda) algues no espaço e medi a foça que esta vai (ou não vai) sofe. Mas, assim, já temos um pa de copos... O conceito do campo tem sido muito podutivo em física. As mesmas consideações que acabamos de aplica à inteacção gavítica, são aplicáveis a qualque uma das outas inteacções fundamentais. Assim, fala-se do campo electomagnético, campo da foça nuclea, campo da foça faca. Em temos fomais, apesa de se chamado campo da foça, o paâmeto físico que se ajusta melho a este conceito não é a foça, mas sim a enegia potencial. Poém, as duas gandezas estão inteligadas pela elação du ( ) ( ) =, que já conhecemos. d Na secção seguinte vamos ve como podemos utiliza a enegia potencial e a sua dependência das coodenadas espaciais paa a caacteização do movimento de um copo. Vamos ve isso num eemplo do campo gavítico, mas lembando que a mesma lógica também é aplicável aos campos de outa natueza. 49

6 3. O campo gavítico e o campo electostático 3. O campo gavítico A foça gavítica ente dois copos com as massas m e m é dada pela lei de gavitação univesal de Newton m m = G eˆ, em que G é a constante univesal gavítica (G= N m /kg ), é a distância ente os dois copos (ente os centos de massa destes, mais pecisamente) e ê é o veso (vecto unitáio) do. Como a atacção é mútua, eiste sempe um pa de foças, uma aplicada ao copo com massa m e outa aplicada ao copo com massa m. Se o veso ê na equação acima se efee ao vecto com a oigem no copo, o é, então, a foça aplicada ao copo (ve a figua). Dada a simetia esféica neste poblema (a foça só depende do ), podemos eduzi-la a uma dimensão e utiliza a equação unidimensional du ( ) ( ) = paa a d elação ente a foça e a enegia potencial em vez da equação geal = gad(u ). Assim, temos equação, temos du = ( ) d e, eplicitando a foça e integando as duas pates da du m m = G d U ( ) = Gm m d mm U ( ) = G + const A const é uma constante de integação que pode se escolhida voluntaiamente consoante as condições do poblema conceto. O valo da constante não afecta o esultado pático poque em todos os poblemas inteessam-nos apenas duas coisas: a foça, que é deivada da enegia potencial (a deivada de uma constante é zeo), ou a difeença U -U ente dois pontos. É conveniente em muitos poblemas considea m m ê m m = G e ˆ 5

7 que U quando. A constante de integação tona-se, neste caso, igual a zeo. Paa usa a ideia do campo associado a um dos dois copos, po eemplo ao copo com a massa m, pecisamos de um paâmeto que não dependa da massa do outo copo. Este paâmeto chama-se potencial, ϕ(), do campo gavítico e obtém-se po divisão da enegia potencial U() po m : m ϕ G ( ) =. O significado do potencial é muito simples: é a enegia potencial associada a um copo de massa de kg colocado à distância do copo (com a massa m ). As unidades do potencial são J/kg. Da mesma maneia, obviamente, podemos defini o potencial do campo gavítico do copo : m ϕ G ( ) =. O gáfico da função ϕ() é semelhante ao da enegia potencial, U(), uma vez que estes são diectamente popocionais: U ( ) m = ϕ ( ) e U ( ) ( ) m = ϕ. A foça gavítica, como sabemos, é uma foça atactiva. Vamos veifica se o potencial ϕ() que se mosta na figua esulta, ealmente, numa foça de atacção. A foça é o simético da deivada da enegia potencial em odem a. Vê-se na figua, que a deivada do ϕ() (e da U(), também, obviamente) é positiva paa qualque. A foça é, então, negativa em todo o espaço ou, po outas palavas, o vecto da foça aponta sempe paa =. Suge aqui uma pegunta: como é que as equações paa a enegia potencial acima concodam com a conhecida epessão U = mgh, que habitualmente usamos paa calcula a enegia potencial no campo gavítico à supefície da ea? O segedo está nas palavas à supefície da ea. O mgh é uma apoimação que só é válida às distâncias h<<r, onde R é o aio da ea (R 64 km). Vamos demonsta isso. ϕ () Usando a epessão geal e definindo a distância ente o cento da ea e o () objecto como = R + h, temos paa a enegia potencial du d ϕ ( ) = = m d d 5

8 M U ( h) = G R em que M é a massa da ea e m é a massa do copo à distância h da supefície da ea. Dividimos o numeado e o denominado po R M m U h G ( ) = R + h R M m G R m h + M m R M R ( h R ) = G + G m h h Usamos aqui a apoimação com = << (ve a caia Epansão + em séie de aylo ). O pimeio temo não depende do h ou, seja, é uma constante. O R A Epansão em Séie de aylo de uma função f() em tono do ponto = é dada pela fómula f ( ) = onde f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n f + f + f ( ) f ( ) + n! ( n) ( epesenta a deivada da função f() de odem n, n... n ( n) d f ( ) f ( ) =, n d calculada no ponto = (pimeio, calcula-se a deivada em função do e depois o valo desta paa = ; o esultado seá, então, um númeo). A epansão substui a função f() pela séie infinita de polinómios. Esta pode se uma boa solução quando se pocua a descição apoimada da função nas vizinhanças de um ponto. Dois ou tês pimeios temos são suficientes em muitas situações. Em física, o caso de = tem um inteesse especial: paa um muito pequeno (<<) podemos esceve f ( ) f () + f () (em alguns casos pode se necessáio adiciona + f () ). Eemplos: sin cos tan e ln( + ) ( ± ) n ± n + e , ( n = m m m ( ± ) +, ( m = ) ou n = ) 5

9 M segundo temo é popocional a h e é esse que nos inteessa. Designamos G = g R e temos, então, U ( h) const + mgh. Uma vez que, de ponto de vista pático, estamos inteessados apenas na difeença ente as enegias potenciais de um ponto paa outo e não no valo da enegia potencial em si, podemos omiti a constante e chegamos à epessão U() = mgh. A omissão da constante é equivalente à suposição que a enegia potencial na supefície da ea (h = ) é igual a zeo. Podemos tia duas conclusões impotantes deste cálculo: ) U() = mgh é uma apoimação válida só quando h<<r (i.e. à supefície da ea); ) A aceleação da gavidade g, a que habitualmente atibuímos um valo de 9.8 m/s não é, de facto, uma constante univesal. A aceleação depende da M massa do planeta e do seu aio: g = G R. Po eemplo, a aceleação da gavidade é difeente no equado e nos pólos poque a ea não é uma esfea ideal é um elipsóide ligeiamente achatado nos pólos. Além disso, tona-se clao como detemina a aceleação da gavidade à supefície de outo planeta: basta substitui a massa e o aio da ea pela massa e pelo aio desse planeta. 3. Compaação do campo gavítico com o campo electostático. Potencial atactivo e potencial epulsivo. A lei de Coulomb paa a foça electostática é muito semelhante à lei de gavitação de Newton. Ambas as foças são invesamente popocionais ao quadado da distância; as cagas entam na equação de Coulomb do mesmo modo que as massas na lei de Newton. Há, no entanto, uma difeença substancial que esulta que alguns fenómenos natualmente pesentes no campo electostático são impossíveis no campo gavítico. odas as obsevações eistentes indicam que a inteacção gavítica esulta sempe em atacção ente os copos. Pelo contáio, a inteacção electostática pode esulta tanto em atacção como em epulsão ente as cagas, dependendo dos sinais dessas. Duas cagas com os sinais opostos ataem-se, mas, se foem ambas positivas 53

10 ou ambas negativas, epelem-se. A ausência da epulsão gavítica na Natueza obiga-nos a supo que a massa ( caga gavítica ) só pode se positiva (ou só negativa, o que não afecta as equações, mas... seá que ficaíamos agadados se nos pedissem paa pagamos menos 5 kg de batatas?). A efleão deste facto nas equações é um sinal - na lei de Newton e um sinal + na lei de Coulomb. Repae-se na foma das cuvas da enegia potencial U() (ou do potencial ϕ()) paa a atacção e paa a epulsão (ve a tabela que compaa o campo gavítico com o campo electostático). O potencial atactivo tem a deivada positiva (mas não é po se negativo que é atactivo); o potencial epulsivo tem a deivada negativa. oças gavíticas e foças electostáticas no Univeso A inteacção electomagnética é muito mais fote do que a inteacção gavítica. Compaando, po eemplo, a foça de atacção gavítica com a foça de epulsão electostática ente dois electões, chegamos a um valo inimaginável: g G me 43 = ~! e k e Pegunta-se, então, poque é que ao falamos sobe o movimento dos copos celestes só tomamos em conta a foça gavítica? A esposta está no facto de que eistem duas vaiedades de cagas elécticas e só uma de massa. A gande escala, as foças de atacção e de epulsão eléctica ente as cagas anulam umas às outas, mas as foças gavíticas poduzem um efeito cumulativo. 54

11 Campo gavítico Campo electostático oça m m = G eˆ (G= N m /kg ) ê m m m >, m > q q = k eˆ ( k = = 9 - N m /C ) 4πε ê q q q q < ê q q q > q Enegia potencial m m U ( ) = G q q U ( ) = k U() U() q q > epulsão m m > atacção q q < atacção Potencial do campo ϕ ( ) = G m (potencial do campo gavítico ciado pela massa m) ϕ ( ) = q k (potencial do campo eléctico ciado pela caga q) 55

12 4. Movimento num potencial Vamos mosta que o conhecimento da enegia potencial de um copo num campo, qualque que seja a natueza deste, em função das coodenadas espaciais fonece a infomação completa paa a descição do movimento neste campo. 4. Potencial epulsivo. A figua ao lado mosta o gáfico da enegia potencial de uma foça epulsiva em função da coodenada, U(). O aqui coesponde à distância ao cento da foça po eemplo, uma caga positiva colocada em = e uma outa, também positiva, a uma distância vaiável. Este potencial é epulsivo poque em qualque pate do du ( ) espaço o vecto da foça aponta paa foa: ( ) = >. d Repae-se, que o eio vetical neste gáfico está em unidades de enegia e, potanto, podemos epesenta no mesmo gáfico não só a enegia potencial, mas também a enegia mecânica, E, e a enegia cinética,. Suponhamos que o sistema é consevativo. Então, E = const, como se mosta na linha hoizontal tacejada. A enegia cinética, () = E U(), está macada no gáfico com as setas veticais azuis. Imaginemos que um copo se enconta inicialmente a uma distância do cento da foça e tem a enegia mecânica E e a enegia cinética. Suponhamos que o copo se move inicialmente no sentido negativo. O que vai acontece ao copo à medida que se apoima ao =? Veifica-se que a enegia cinética vai diminuindo gadualmente até chega ao ponto A, em que = e E = U. No conteto de dinâmica, podemos dize que a foça, que actua no sentido contáio ao vecto velocidade é que desacelea e faz paa o copo. O que vai sucede quando o copo paa no ponto A? A foça continua a actua no sentido positivo esultando em aceleação no mesmo sentido. Isto significa que a paagem no ponto A é só po um instante e que no momento seguinte o copo ganha a Enegia U() A ponto de etono E 56

13 velocidade no sentido positivo aceleando à medida que se afasta (a enegia cinética aumenta com a distância). Po isso, o ponto A chama-se ponto de etono. Depois de invete o sentido do movimento, o copo afasta-se paa o infinito. A coodenada do ponto de etono depende, obviamente, da enegia inicial do copo: quanto maio fo a enegia no ponto de patida, mais póimo ao cento se consegue chega. Esta é a eplicação da utilidade dos aceleadoes de patículas e da azão dos físicos necessitaem de enegias cada vez mais elevadas paa testaem a Natueza: paa chegaem com as sondas cada mais peto do objecto de investigação. 4. Potencial atactivo. Num potencial atactivo, que se mosta na figua ao lado, o compotamento do copo é difeente. Uma patícula, situada inicialmente no ponto e com o vecto velocidade a aponta no sentido negativo, vai continua a move-se no mesmo sentido, aceleando com uma aceleação cescente (em módulo) uma vez que o módulo da foça aumenta à medida em que o copo se apoima do cento da foça. A enegia cinética (setas veticais azuis na figua) aumenta. Se U ( ) (lê-se popocional), como é o caso da inteacção gavítica e da atacção electostática ente duas cagas com sinais difeentes, a patícula cai, no final, paa o cento da foça, =. Na ealidade, pode eisti um limite (distância mínima), tal como o aio da ea no caso da queda de uma maçã, po eemplo. Aliás, a cuva da enegia potencial na figua coesponde só às distâncias > R. A supefície da ea funciona como uma baeia do potencial epulsivo impedindo a penetação do copo ao cai paa dento do planeta. A natueza deste potencial é, no entanto, difeente - são as ligações ente os átomos constituintes da costa da ea que não deiam chega ao cento do planeta e não as foças gavíticas. Se no ponto inicial o copo se movia no sentido positivo, a foça actuava no sentido contáio e a enegia cinética diminuía na medida em que o copo se afasta. Com a enegia E >, como na figua acima, não eiste nenhum limite paa o movimento e o copo segue paa =. Enegia U() E 57

14 A situação já é difeente se a enegia mecânica é negativa, como se mosta na figua seguinte. Este facto, que a enegia mecânica E etono pode se negativa, não deve supeende-nos: A como E = + U e a enegia potencial pode se negativa, é pefeitamente possível que E seja U() negativa (a enegia cinética, = mv, é que não pode se negativa). Vê-se que a patícula, neste caso, não pode afasta-se paa além do ponto A em que a enegia cinética se tona igual a zeo. A patícula fica confinada no espaço < A. Assim, uma peda atiada paa cima volta a cai paa o chão. A altua máima, a que a peda sobe, depende da velocidade inicial. Paa uma velocidade inicial maio, E é maio e o ponto de etono situa-se a um também maio. Os níveis de enegia coespondem aos estados ligados dos quais falaemos na secção seguinte. Paa isso, temos de considea um potencial mais ealista. Se a velocidade inicial fo suficiente paa assegua E >, o copo escapa ao campo gavítico da ea e afasta-se paa =. 4.3 Potencial ealista uma molécula diatómica. Em sistemas eais, os potenciais puamente atactivos ou puamente epulsivos não se encontam. Po eemplo, a lei de Coulomb considea as cagas como sendo pontuais. Paa os objectos etensos, a lei de Coulomb pode se aplicada diectamente apenas às distâncias muito supeioes das dimensões dos copos. Já no espaço mais póimo temos de dividi os objectos em pates pequenas (muito mais pequenas elativamente à distância), paa pode aplica a lei de Coulomb, e soma (intega) as foças esultantes das inteacções de cada elemento de um copo com cada elemento de outo copo. O mesmo é vedade paa a lei univesal de gavitação de Newton. Paa semos mais concetos, consideemos uma molécula diatómica, H, po hipótese. Cada um dos dois átomos de hidogénio é um sistema composto po duas patículas com caga eléctica oposta: um potão, com caga positiva no cento, e um electão, com caga negativa, a cicula em volta do potão. Na molécula H, a distância ente os átomos (ente os potões, mais pecisamente) é compaável às 58

15 dimensões de cada um, de modo que, apesa de os átomos seem sistemas electicamente neutos, não se pode ignoa o facto de estes seem feitos de patículas caegadas. O cálculo da enegia potencial deste sistema, U(), onde é a distância ente os potões, não é simples. O esultado está epesentado qualitativamente na figua. A U() E U min epulsão atacção inteacção ente os átomos tem caácte atactivo a gandes distâncias, mas às distâncias cutas apaecem foças epulsivas, o que se entende: se não eistisse a pate epulsiva, o sistema sofia um colapso. A combinação das cuvas potenciais de dois tipos esulta na fomação de um vale (diz-se poço potencial). Como de costume, é conveniente escolhe a função da enegia potencial de tal maneia que U ( ) quando (note-se que a enegia potencial está definida a menos de uma constante aditiva). Paa a enegia total mecânica, E, podemos distingui duas egiões de valoes possíveis nos quais o compotamento do sistema é muito difeente: E > e U min < E < (E < U min implicasse < o que é impossível). No caso de E <, que coesponde aos níveis de enegia E e E na figua, a possível distância ente os átomos está limitada po dois pontos de etono em tono de (como já mencionámos, a situação E < U, que se veifica paa além desses pontos, não coesponde a nenhuma ealidade física - na física clássica, pelo menos). Os dois átomos nos níveis E e E não podem afasta-se muito, nem apoima-se muito, o que que dize que se foma um sistema diatómico estável uma molécula. Aos estados de enegia do sistema com essa popiedade chamam-se estados ligados, ao contáio dos estados lives (nível E 3 na figua). Com E = E 3 eiste só um ponto de etono; os átomos podem se sepaados po qualque distância ecepto nas distâncias muito pequenas, i.e. ficam lives e não podem foma uma molécula. De acodo com a física clássica, o sistema ligado pode eisti em qualque estado da enegia U min < E < (não é bem assim na física quântica: esta pevê que os níveis de enegia pemitidos sejam discetos, mas a condição U min < E < mantém-se). Ao estado ligado com a enegia E mais baia possível no sistema chama-se estado Enegia E 3 E B B estados lives estados ligados 59

16 fundamental (na física clássica este coincide com E = U min mas num sistema quântico a enegia do estado fundamental é > U min ). Os estados ligados com a enegia supeio à enegia do estado fundamental chamam-se estados ecitados. Uma molécula isolada pemaneceá no estado fundamental duante um tempo infinito (sistema consevativo), mas se absove alguma enegia do eteio, po eemplo em foma da luz ou calo, pode aumenta a sua enegia e subi paa um nível ecitado. Se a enegia absovida fo suficientemente gande, o sistema pode salta paa um estado live (po eemplo, de E paa E 3 na figua) em que já não eiste limite supeio paa a distância ente os átomos e, assim, a molécula desintega-se: temos um fenómeno de dissociação. A enegia mínima necessáia paa tansfei o sistema de um estado ligado paa o estado live chama-se enegia de ligação deste estado ligado. A enegia de ligação paa os níveis de enegia E paa E é designada na figua po B e B do Inglês binding enegy. Veifica-se facilmente que B i = E. Os estados ecitados vivem um tempo finito deteminado po um conjunto de factoes que não podemos discuti aqui. O pincípio geal da física diz que sempe que eiste paa um sistema físico a possibilidade de eduzi a sua enegia, o sistema vai fazê-lo tansfeindo o ecesso de enegia paa o eteio. No caso de uma molécula ecitada, esta tansfeência ocoe po emissão da adiação electomagnética (luz visível, ultavioleta ou infavemelho) ou po colisão com outa patícula (outa molécula, po eemplo). A molécula neste pocesso não pode se consideada um sistema consevativo, como é óbvio. A consevação da enegia tem que conta com essa pacela da enegia emitida paa o espaço ou tansfeida paa outo copo. Paa um sistema mecânico, o equivalente deste pocesso de desecitação seia, po eemplo, a peda da enegia cinética devido ao atito. Paa dissocia uma molécula, como já veificámos, é peciso fonece enegia à molécula do eteio. O pocesso inveso a fomação de uma molécula a pati de dois átomos lives tem de se acompanhado po libetação de enegia. A figua a segui ilusta como ocoe este pocesso. i 6

17 Imaginemos dois átomos muito afastados a apoimaem-se um do outo com a enegia cinética 3. Como a enegia potencial às distâncias gandes U, a enegia mecânica E 3 3. Ao apoima-se de uma distância compaável com o que coesponde ao vale da enegia potencial, tona-se possível Enegia U() E E U min Apoimação das patículas lives 3 a tansição paa um nível de estado ligado. Suponhamos que a tansição ocoe paa o nível E. Neste nível, a distância ente os átomos pemitida é ente e (ve a figua). Se no intevalo de tempo duante o qual os dois átomos a colidi ficam sepaados po uma distância < < (é muito cuto este tempo, de odem de - s) ocoe uma tansfeência da enegia E 3 E paa o eteio, foma-se uma molécula. Essa enegia pode se tansfeida paa o eteio do sistema, que é neste caso um sistema de dois átomos, pela foma da adiação electomagnética ou po colisão com uma teceia patícula. Se a molécula se fomou no estado ecitado, como neste eemplo, vai segui uma tansição paa o estado fundamental, também com a libetação de enegia. E 3 Pilhas de hidogénio Nos pocessos químicos eais, a situação complica-se pelo facto de os componentes necessáios paa a fusão aamente se encontaem na natueza pontos paa seem usados. Mais fequentemente, pimeio pecisamos de queba algumas ligações, i.e. gasta enegia. O hidogénio pode vi a tona-se uma fonte de enegia impotante num futuo muito póimo. A combustão do hidogénio é, simplesmente, uma eacção de oidação H + O H O. A fomação de moléculas de água ao junta dois átomos de hidogénio e um átomo de oigénio é acompanhada pela libetação de enegia de um modo idêntico, do ponto de vista físico, ao pocesso de fomação da molécula H. Mas os átomos de hidogénio e de oigénio não eistem na natueza isolados e paa os obte têm que se quebadas as ligações das moléculas H e O. O balanço enegético global deste pocesso seá, então, Q = B B B, em que B é a enegia de ligação da espectiva HO H O molécula (utilizamos a enegia de ligação em módulo poque é negativa ve pimeia figua nesta secção). A eacção seá eotémica (com libetação de enegia) se Q > (e neste caso é) ou endotémica, se fo Q <. 6

18 Este eemplo simples mosta como se ganha enegia num pocesso químico, mas não só. Esta é a base física do qualque pocesso de fusão incluindo a fusão nuclea. 4.4 Equilíbio. Mais um aspecto elacionado com o pefil da cuva de enegia potencial que pecisamos de discuti antes de avançamos paa o movimento oscilatóio: é a questão da eistência de pontos ou egiões de equilíbio. O significado da posição de equilíbio é o seguinte. Se um copo fo colocado nesta posição com a velocidade inicial igual a zeo, pemaneceá nesta posição duante um tempo infinito (pessupõe-se, obviamente, que o sistema é isolado ou, seja, que não está sujeito a nenhuma foça eteio). Paa satisfaze esta condição não é suficiente que a velocidade inicial seja nula. É necessáio que a aceleação também seja igual a zeo. Caso contáio, mesmo se em t = v =, já no instante seguinte o copo vai ganha a velocidade (ecode-se, v = v + at?). A condição a =, de acodo com a ª lei de Newton, significa que a foça, eecida pelo campo sobe o copo, no ponto de equilíbio também tem que se igual a zeo. A figua epesenta váias situações em que eiste uma posição (ou uma egião) de equilíbio. du ( ) Sabendo que ( ) =, é fácil d de identifica essas posições no gáfico de U(): são aquelas em que a deivada da enegia potencial em odem do é igual a zeo, U =. Paa a cuva da figua esta condição está satisfeita no ponto A, na egião ente os pontos B e C, e no ponto D. U() D = < > A = = > < A B C D U = U = U = U > U = U < Equilíbio estável Equilíbio instável O que vai sucede se desviamos, um pouco, o copo da posição de equilíbio? Se a posição inicial ea no ponto A, a foça que apaeceá ao se desvia o copo da posição de equilíbio vai actua no sentido do ponto A, tentando, assim, estaua o equilíbio (foça estauadoa). No ponto D isto não acontece: a foça vai acelea o copo no sentido de o afasta do equilíbio. Po isso, o equilíbio no ponto A é 6

19 equilíbio estável enquanto no ponto D é equilíbio instável. No conteto matemático, o equilíbio estável tem luga no ponto em que a função U() tem um mínimo, ou seja, em que a U = e U > (a pimeia condição é equivalente à = ). No equilíbio instável U = e U <. Eiste mais uma possibilidade: U = e U =. Esta situação ealiza-se na egião BC. Se colocamos um copo, digamos no meio dessa egião, e o desviamos ligeiamente paa a esqueda ou paa a dieita, não apaeceá nenhuma foça, nem estauadoa, nem destuidoa. Mas, uma vez deslocado o copo nunca mais voltaá à posição inicial a não se atavés de uma intevenção do eteio (no ponto A é a foça do campo que estitui a posição inicial; na egião BC a foça é nula em toda a egião ecepto os pontos etemos). Po isso, o equilíbio na egião BC tem que se consideado instável. O movimento em tono de um ponto de equilíbio estável tem um inteesse especial. A foça de estauação, que apaece sempe que o desviamos desta posição, esulta na tendência de volta ao equilíbio tonando o movimento a se de caácte oscilatóio. O movimento oscilatóio é o assunto cental do póimo capítulo. As cuvas potenciais e mgh A intepetação das cuvas potenciais e do compotamento de um copo no campo descito po estas pode tona-se mais clao se usamos a analogia com o campo gavítico à supefície da ea. A enegia potencial no campo gavítico à supefície da ea é diectamente popocional à altua acima da supefície ou de outo ponto de efeência: U(h) = mgh. Imaginemos uma bicicleta numa ampa, cujo pefil pode se descito po uma função h(). Então, a enegia potencial da bicicleta na ampa é uma função do : U() = mg h(). Desta elação é óbvio que a foma dos gáficos h() e U() seá idêntica, estando a difeença apenas no facto de escala constante, mg. h() U() = mg h() Deste modo, paa compeende o movimento dos copos no campo de uma foça, qualque que seja a sua natueza, podemos intepeta o gáfico U() como sendo o pefil de uma ampa com uma bicicleta em cima, com a vantagem de se sabe muito bem como se move uma bicicleta numa ampa. O movimento dos copos no campo eal seá semelhante! 63