IV - Fractais. Referência Principal: Chaos K. Alligood, T. D. Sauer, J. A. Yorke Springer (1997)

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1 IV - Fractais Referêcia Pricipal: Chaos K. Alligood, T. D. Sauer, J. A. Yorke Spriger (1997)

2 Geometria Fractal Geometria euclideaa descreve órbitas regulares (periódicas e quase-periódicas) Geometria fractal descreve órbitas caóticas Características dos fractais: Estrutura complexa em várias escalas Repetição da estrutura em escalas diferetes Dimesão fractal (ão iteira)

3 1- Cojutos de Cator

4 Cojuto de Cator Extremos de cada itervalo pertecem ao cojuto de Cator K. Outros potos também, como ¼.

5 Cojuto de Cator K K K 1 3 : : : 3 itervalos de comprimeto 1/3 itervalos de comprimeto itervalos de comprimeto (1/3) (1/3) 3 K : itervalos de comprimeto (1/3) O comprimeto do itervalo O cojuto de Cator K é o cojuto dos potos lim K K O comprimeto de K é ulo : K é lim (/3) ( / 3) 0 que restam o

6 Para os úmeros etre 0 e 1, a base 3 r a a 3 + a a a k 0 ou 1 ou a k : dígito terário de r r 0. a 1 a 1 a 1...a (Poto fora de K ) 1/3 r a 1 [1/3 3] 1 a [0 x 3] 0 a 3 [0 x 3] 0 (Poto fora de K ) 1/ r _ a 1 [1/ 3] [1,5] 1 a [0.5 3] 1 a 3 [0.5 3] [1.5] 1

7 Potos em K 1 [0, 1/ 3] [ / 3, 1] possuem a 1 0 ou Potos em K [0, 1/ 9] [ / 9, 3 / 9] [6 / 9, 7 / 9] [8 / 9, 1] possuem a 1 0 ou e a 0 ou

8 Teorema: O cojuto de Cator, K, cosiste dos úmeros em [0, 1] que podem ser represetados, a base 3, apeas pelos dígitos 0 e.

9 Exemplo: r 0.0 K r 0x3-1 + x3 + 0x3-3 + x ( ) / 9 1/ 4 ( Soma a / (1 q) )

10 Cojuto ifiitamete cotável: seus elemetos podem ser colocados em correspodêcia com os úmeros aturais. Cojuto cotável: cojuto fiito ou cojuto ifiitamete cotável. Cojuto icotável: ão cotável. Subcojuto de um cojuto cotável é um cojuto cotável. Uião de dois cojutos cotáveis é um cojuto cotável.

11 Cojuto dos racioais 0 < m/ < 1 (m, iteiros) é cotável O cojuto de potos da figura é cotável (ele está ordeado). O cojuto dos racioais é um subcojuto do cojuto da figura esse cojuto é ordeado.

12 Cojuto dos úmeros do cojuto de Cator K, com um úmero fiito uma base 3, é cotável. /3 /9 8/9 Números correspodetes à extrema direita dos itervalos retirados.

13 Lista de úmeros o cojuto de cator K Esse cojuto é icotável a ij 0 ou Número r K, r b b 1 0.b 0 ou (cotrário de 0 ou (cotrário de 1 b a a 11 b ) ) 3...b j... b 0 ou (cotrário de a ) r ão está a Portato, K, lista ao lado. é um cojuto icotável

14 - Fractais em Sistemas Determiísticos

15 Mapa do Padeiro B (x, y) ( ( x 3 x 3, + y ) 3, para y -1) 0 y para 1/ 1/ < y 1 Mapa descotíuo. Dois potos próximos, após a iteração se afastam bastate! y1 < 1/ e y > 1/, Atrator : cojuto de Cator ( subtraido o terço do meio, i.e. a região braca)

16 Atrator fractal: cojuto de Cator ( ) Cotração em x Expação em y Alligood Chaos

17 Atrator Fractal Atrator para Alligood Chaos

18 Atrator Fractal Atrator para Alligood Chaos

19 Fractal o Mapa da Teda 3 x para T3 3(1 - x ) x ( -, 0 ) x 1/ para x (1, ) > 1/ lim x - x (1/3, /3 ) lim x - pois T 3 (1, ) x (1/9, /9 ) (7 / 9, 8 / 9) lim x - pois T 3 (1, ) Alligood Chaos

20 Atrator Fractal Mapa de Héo f (x, y) (1.4 - x y, x) Alligood Chaos

21 Mapa de Héo f (x, y) ( x 0.3 y, x) Atratores: e órbita {(1, 0.3), (0.3, 1)} periódica Froteira etre bacias é fractal Alligood Chaos

22 Cojuto de Cator Fractal Alligood Chaos

23 4- Dimesão Fractal

24 5- Cálculo da Dimesão de Cotagem de Caixas Objetivo: Itroduzir algorítmo para quatificar a dimesão de um atrator caótico

25 ) (1/ C ) N ( for d : dimesão a Se ) (1/ C ) N ( com coberto ser pode Retâgulo C 1/ ) N ( 1/ caixa da largura da depede N, caixas, de Número itervalo) do depede C costate ( largura de caixas ) C (1/ por coberto 1] [0, Itervalo 1/ largura de caixas 8 por coberto 8] [0, Itervalo 1/ largura de caixas por coberto 1] [0, Itervalo d ε ε ε ε ε ε ε ε ε

26 caixas ) C (1/ N arbitrário lado de Quadrado caixas 49 4 ) 1/7 1 ( 4 N e 1/7 1/ 7 1/ lados de caixas ) 4 (1/ N por coberto quadrado de lados Exemplo : ε ε ε ε

27 A dimesão de um cojuto é d se ele for coberto por N caixas de lados ε N ( ε ) C (1/ ε ) d d pode ão ser iteiro! Defiição : Dimesão ( de caixa ) lim ε 0 l N ( ε ) l (1/ ε )

28 Atrator de Héo f ( x, y ) (1.4 - x y, x ) Atrator ocupa 76 das 56 caixas. Alligood Chaos

29 Caixas de tamahos diferetes Alligood Chaos

30 Cálculo da Dimesão de Caixa para o Atrator de Héo d 1.7 Alligood Chaos

31 Dimesão de Correlação ( útil para dados experimetais ) Órbita S { v 0, v 1,...v N } do mapa f em R. Pr oporção de pares de potos da órbita cujas distâcias são maiores que r > 0 C ( r ) lim N { pares { v i, v j } : v i, v j S N, v i v j < r { pares { v i, v j } : v i, v j S N } 0 C 1 para 0 < r < Se C( r ) r d, d é a dimesão de correlação da órbita Defiição: d dim cor lim r logc (r ) log( r )

32 Cálculo da Dimesão para o Atrator de Héo Com a Dimesão de Correlação d 1.3 Alligood Chaos

33 Dimesão do itervalos cojuto de Cator de largura 1/3 K dim ( K ) lim l l 3 lim l l 3 l l < dim (K ) < 1