O CONTROLO DA QUALIDADE EM REDES LOCAIS PARA A OBSERVAÇÃO DE GRANDES BARRAGENS

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1 O CONTROLO DA QUALIDADE EM REDES LOCAIS PARA A OBSERVAÇÃO DE GRANDES BARRAGENS Mara João Henrques, João Manuel Martns Casaca Investgadores do LNEC, E-mal: mjoao@lnec.pt 1 Introdução A análse do comportamento estrutural de uma barragem de betão basea-se na observação de um conjunto de varáves de controlo que nclu, em geral, os deslocamentos de uma amostra dscreta e representatva de pontos da estrutura, das suas fundações e macço crcundante. No caso das barragens de betão, são utlzadas: ) Em altmetra, lnhas ou mesmo redes de nvelamento geométrco de precsão, apoadas em quadros de referênca locas; ) Em planmetra, redes de trangulação de precsão, com centragem forçada, também apoadas em quadros de referênca locas. As pequenas tolerâncas mpostas aos erros e a repetção da observação ao longo de mutos anos, leva a que estas redes resultem de um planeamento muto cudadoso e estejam sujetas a um rgoroso controlo de qualdade. O planeamento consste na defnção de confgurações de prmera e segunda ordem que permtam nclur o (hper) elpsóde de erro da rede no nteror de uma (hper) esfera de tolerânca, para um nível de probabldade elevado defndo à pror. O controlo da qualdade pretende assegurar que as especfcações do planeamento foram cumprdas e que, consequentemente, os erros que afectam os deslocamentos se encontram no nteror da esfera de tolerânca com a probabldade defnda à pror. A ntegração teórca do planeamento e do controlo da qualdade é levada a cabo por um modelo estocástco dos erros de observação que permte utlzar testes de hpóteses na acetação ou rejeção de grupos de observações. Esta comuncação apresenta a estratéga de controlo de qualdade utlzada pelo LNEC na planmetra das campanhas de observação de grandes barragens de betão. O controlo da qualdade é aplcado às observações anda em obra, antes do regresso ao gabnete, o que só é possível pela utlzação ntegrada de teodoltos electróncos, cadernetas electróncas e computadores portátes. O Modelo Funconal O modelo funconal relacona as varações, entre duas épocas, dos valores das grandezas observáves da rede ( Y) e os deslocamentos ( X) correspondentes dos vértces da rede: A(m, n) X(n,1) Y(m,1), X (X X 0), Y (Y Y0 ) onde: ) A é a matrz da confguração de prmera ordem (MCPO) da rede; ) m é a soma do número de grandezas observáves com o dobro do número de pontos que consttuem o quadro de referênca da rede; ) n é o dobro do número de vértces da rede; v) Y e Y 0 são os vectores cujas componentes são os valores das grandezas observáves na época () e na época de referênca (0); v) X e X 0 são os vectores cujas componentes são os valores das n coordenadas cartesanas dos vértces da rede, na época e na época de referênca, relatvas a um referencal local lgado à barragem: X T [ u v K u v ] 1 1 O referencal local lgado à obra é materalzado por um quadro de referênca consttuído, pelo menos, por dos pontos de referênca, supostos fxos, convenentemente materalzados na vznhança da obra, no exteror da sua zona de nfluênca. A drecção do exo das ordenadas (vv) é em geral perpendcular à barragem, com o sentdo postvo para montante e negatvo para jusante. A drecção do exo das abcssas (uu) é perpendcular, com o sentdo postvo da margem dreta para a esquerda. A orgem é deslocada de modo a colocar toda a obra no prmero quadrante. n n II Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa 1

2 A equação A X Y exprme o chamado sstema de equações de observação em forma vectoral. Os dferencas das grandezas observáves relatvamente às coordenadas dos vértces de uma rede topográfca permtem estabelecer relações entre pequenas varações das grandezas observáves e pequenas varações das coordenadas dos vértces da rede, desgnadas por relações de observação, das quas são dervadas, na prátca, as equações de observação. Os coefcentes das relações de observação são as dervadas parcas das grandezas observáves relatvamente às coordenadas dos vértces e correspondem às lnhas da MCPO. A equação de observação de um ângulo azmutal orentado, que resulta da dferença entre as equações de observação dos dos azmutes que defnem o ângulo azmutal, é da forma: vk u v k j v k u u k j vj u da jk du k dv k + du + dv + du j + ck ck cj ck ck cj cj c j j dv j 3 Modelo Estocástco As componentes do vector dferença Y são afectadas por erros de observação: ) Sstemátcos de orgem nstrumental (o efeto da nclnação do exo de báscula, por exemplo); ) Sstemátcos de orgem ambental (o efeto da refracção lateral, por exemplo); ) Acdentas, de natureza aleatóra, que ncluem os enganos e erros grosseros. Para modelar a dstrbução do vector dferença Y é utlzada uma dstrbução multnormal cujo vector esperança matemátca verfca: E ( Y) µ A X + θ onde A é a MCPO da rede e θ é um vector parâmetro desgnado por parâmetro de localzação que traduz o efeto de erros sstemátcos nas observações. A matrz de varânca-covarânca da dstrbução, desgnada por matrz da confguração de segunda ordem da rede (MCSO), é uma matrz smétrca defnda (sdp) que resulta de uma combnação lnear de r matrzes assocadas a grupos de observáves correlaconadas da rede e ao quadro de referênca: V( Y) Σ σ1 B1 + L + σr Br, B B1 + L + Br, σ 1 onde os σ são escalares guas ou superores à undade desgnados por parâmetros de escala, que traduzem uma eventual degradação da precsão com que fo observado o grupo de grandezas correspondente. As matrzes B são matrzes smétrcas semdefndas postvas (ssdp) em forma de blocos dagonas dsjuntos, tas que: ) B 0 H 0 ; ) j BB j 0(m, m); ) B B1 + L + B A Hpótese Nula e as Hpóteses Alternatvas De acordo com as os equpamentos e métodos operatvos selecconados na fase de planeamento, os erros sstemátcos são devdamente corrgdos ou anulados e os erros acdentas são mantdos abaxo de lmtes acetáves. Como resultado do planeamento espera-se a verfcação da hpótese nula: r H0 ( θ 0) ( σ 1 L σr Na prátca, as campanhas de observação nem sempre correm de acordo com os planos e verfca-se mutas vezes a chamada hpótese alternatva: 1) r HA ( θ 0) ( σ1 > 1 L σr > 1) r II Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa

3 que traduz a nfluênca de erros sstemátcos não prevstos ou erros acdentas excessvos. A hpótese alternatva, que é verdadera para qualquer vector parâmetro de localzação dferente de zero ou qualquer parâmetro de escala superor a um, é uma hpótese composta, uma vez que é verfcada por varadíssmos valores dos parâmetros de localzação e escala, ao contráro da hpótese nula, que por ser verfcada apenas por um valor para cada um dos parâmetros, é uma hpótese smples. No caso vertente, a hpótese alternatva é desdobrada em váras hpóteses alternatvas, também compostas: r r HA U HA, HA ( θ 0) ( σ > 1) 1 cada uma das quas é testada contra a hpótese nula separadamente. 5 O Teste de Hpóteses O teste da hpótese nula (H0) contra a hpótese alternatva (HA) recorre a: ) Uma estatístca de teste; ) Uma partção do espaço de valores da estatístca de teste em duas regões desgnadas por regão de acetação (RA) e regão crítca (RC); ) Uma regra de decsão. A estatístca de teste para cada hpótese alternatva (Casaca et ala, 1988) é a varável quadrátca: q V T B V, V (I U) Y onde V(m,1) é o vector dos resíduos do ajustamento e onde a matrz undade dempotente: T T U A(A Σ A) A Σ é um projector no subespaço vectoral gerado pelas colunas da MCPO (Casaca et ala, 199). As regões de acetação e crítca são os ntervalos da semrecta real postva: RA [0, κ ], RC ] κ, + [ onde κ é o quantl de probabldade (1 α) de uma dstrbução qu-quadrado central com: f Tr((I U)B B ) τ (I U) graus de lberdade, onde (Tr) representa o operador traço e o operador τ smbolza o traço do bloco dagonal da matrz (I U) correspondente ao bloco dagonal não nulo da matrz B. A regra de decsão é: ) Se o valor assumdo pela estatístca de teste (r) se encontrar no nteror da regão de acetação (RA), é acete como verdadera a hpótese nula (H0); ) Se o valor assumdo pela estatístca de teste se encontrar no nteror da regão crítca (RC), é acete como verdadera a hpótese alternatva e consequentemente rejetada a hpótese nula. 6 O Nível de Sgnfcânca e a Potênca Do teste de hpóteses resulta uma de quatro stuações possíves: ) O teste conduz à acetação de H0 e H0 é verdadera; ) O teste conduz à rejeção de H0 e H0 é verdadera; ) O teste conduz à acetação de H0 e H0 é falsa; v) O teste conduz à rejeção de H0 e H0 é falsa. A prmera e a quarta stuações correspondem a decsões correctas. A segunda e a tercera stuações correspondem a decsões erradas. A segunda decsão, que consste na rejeção da hpótese nula quando ela é verdadera, é desgnada por erro de prmera espéce. A tercera decsão, que consste na acetação da hpótese nula quando ela é falsa, é desgnada por erro de segunda espéce. II Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa 3

4 No quadro 1, apresentam-se as probabldades: ) Da ocorrênca de um erro de I espéce (α), desgnada por nível de sgnfcânca do teste; ) Da ocorrênca de um erro de II espéce (β), desgnada por função característca operaconal (FCO) do teste. A probabldade de rejeção de H0 quando H0 é falsa (1 β), é desgnada por potênca do teste. Enquanto o nível de sgnfcânca tem um valor constante que pode ser arbtrado para cada decsão, as funções característca operaconal e potênca do teste, como o nome ndca, varam com os valores assumdos pelos parâmetros de localzação e escala. Os níves de sgnfcânca escolhdos são geralmente 0.05, caso em que o teste se dz sgnfcante, ou 0.01, caso em que o teste se dz altamente sgnfcante. Estado da Natureza H0 Verdadera H0 Falsa Acetar H0 Decsão correcta 1 α Erro de tpo II β Decsão Rejetar H0 Erro de tpo I α Decsão correcta 1 β Quadro 1 Nível de sgnfcânca e potênca do teste Para defnr a FCO e a potênca do teste (Casaca, 1996) deve ter-se em atenção que a dstrbução da estatístca de teste é proporconal à dstrbução de uma varável qu-quadrado não central: q σ χ (f, δ ), f τ (I U), δ σ θ T (I U) T B (I U) θ Se a hpótese nula (H0) for verdadera, o nível de sgnfcânca é dado por: α P(q > κ ) P( σ Se a hpótese alternatva (HA) for verdadera, a FCO é dada por: β P(q κ ) P( σ χ (f ) > κ ) χ (f, δ ) κ ) P( υ σ χ ( ϕ ) κ ) onde: υ f + δ f + δ, ϕ (f + δ ) f + δ A FCO (β), que assume valores entre zero e um, é uma função decrescente com o parâmetro de escala e com a norma do vector parâmetro de localzação. Quando o parâmetro de escala tende para a undade e o parâmetro de localzação tende para o vector nulo, ou seja, quando a hpótese alternatva se aproxma da hpótese nula, a FCO do teste aproxma-se do nível de sgnfcânca (α). A potênca do teste (1 β), que assume gualmente valores entre zero e um, é uma função crescente do parâmetro de escala e da norma do vector de localzação. Quando a hpótese alternatva se aproxma da hpótese nula, a potênca aproxma-se de (1 α). 7 A Fabldade e a Redundânca A fabldade ou robustez é a propredade que permte a uma rede resstr ao efeto de erros sstemátcos e acdentas não prevstos na fase de planeamento. A referda resstênca está relaconada com o modo como esses erros são envados para o subespaço vectoral dos resíduos ou para o subespaço vectoral das soluções e é geralmente quantfcada pelos números de redundânca local. A fabldade que assegura que os erros sejam trans- II Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa 4

5 mtdos para os resíduos é uma propredade ndspensável ao controlo da qualdade das redes por métodos estatístcos. Os números de redundânca local (NRL), que estão assocados às grandezas observáves, não são mas do que os elementos dagonas da matrz projector (I U). Os elementos dagonas do projector U são desgnados por números de absorção local. Os números de redundânca e absorção local são números reas entre zero e um. A soma do número de redundânca com o número de absorção correspondentes à mesma grandeza observável é um. A absorção e a redundânca quantfcam grosso modo a parte de um erro que va nfluencar os deslocamentos e a parte que é atrbuída aos resíduos. Uma rede fável deve ser caracterzada por números locas de redundânca homogéneos e elevados. Se alguns números de redundânca local solados forem muto maores do que os restantes, os resíduos correspondentes têm tendênca a acumular os erros, mesmo que cometdos noutras regões da rede. Os traços dos projectores U e (I U), que não são mas do que as soma dos números de absorção e de redundânca local, são desgnados por absorção e redundânca total de uma rede, respectvamente: Tr(U) n, Tr(I U) m n Os quocentes da redundânca total (m n) e da absorção total (n) pelo número de equações (m) são a redundânca méda e a absorção méda da rede, respectvamente: m n m, n m A cada grupo de observáves assocado a uma matrz B é possível assocar a redundânca méda do grupo dada pelo quocente entre o número de graus de lberdade do grupo e o número de observáves ncluídas no grupo: ρ f m, r 1 ρ m n m A soma das redundâncas médas dos grupos é gual à redundânca méda da rede. De acordo com Huber (1981), os NRL são: ) Insufcentes, se nferores a 0.50; ) Sufcentes, se stuados entre 0.5 e 0.8; ) Bons, se superores a 0.8. Poderemos consderar como conclusão que uma rede fável deve ter os NRL: ) Pelo menos sufcentes; ) O mas homogéneos possível (11,11) (33,33) (33,40) ângulo (33,68) Fgura 1 Gráfco de NRL correspondentes a grandezas observáves No gráfco da fgura 1, apresentam-se os elementos de duas lnhas da matrz projector (I U) de uma rede onde são observados 14 ângulos horzontas. As duas lnhas em questão, a lnha 11 a lnha 33, correspondem a dos ângulos, o prmero com redundânca máxma (0.85) e o segundo com uma das mínmas (0.0). Para facltar a II Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa 5

6 vsualzação, os valores de cada uma das duas lnhas da matrz foram undos por segmentos de recta. As setas ndcam a localzação dos elementos (11,11), (33,33), (33,40) e (33,68) da matrz (I U). Neste caso específco, verfca-se que: ) O resíduo assocado à observável n.º 11 será afectado fundamentalmente por erros no ângulo n.º 11 do vector Y; ) O resíduo assocado à observável da lnha 33 não será afectado por erros que afectem na observável da lnha 33, mas será afectado por erros que ncdam nas observáves das lnhas 40 ou 68; ) Um erro que afecte a observável da lnha 33, embora não afecte o resíduo da lnha, rá afectar os resíduos das observáves das lnhas 71 e 8. No gráfco da fgura, apresentam-se os valores da coluna 33 da matrz (I U) sob a forma de segmentos de recta horzontas. Na análse do gráfco verfca-se que a ocorrênca de um erro no ângulo n.º 33 ra afectar prncpalmente os resíduos correspondentes ao ângulos n.º 71 e (8) 67 (71) (I-U).,33 Fgura Gráfco dos NRL correspondentes a uma grandeza observada 8 A Estratéga de Controlo da Qualdade Para o controlo da qualdade das campanhas de observação são utlzadas as estatístcas de teste resultantes. Os grupos de observáves (geralmente grupos de gros de horzonte) são testados ndvdualmente, anda no local da obra. Os grupos rejetados são repetdos. A equpa volta ao gabnete após a acetação global da hpótese nula. Esta estratéga de controlo da qualdade só é exequível com uma utlzação ntegrada de teodoltos com cadernetas electróncas e computadores portátes. O software de ajustamento e análse de redes planmétrcas é uma evolução de software desenvolvdo no LNEC desde Como exemplo das dfculdades encontradas na prátca, quando se trata da mplementação de uma estratéga de controlo de qualdade, recorremos à rede planmétrca de uma grande barragem de abóbada, esquematcamente representada na fgura 3. A rede é composta por 3 pontos objecto e nove pontos de apoo, sendo dos destes de referênca. Em cada um dos sete plares são efectuados város gros de horzonte com pontaras quer para os restantes pontos do sstema de apoo quer para os pontos objecto. No total são obtdos 17 grupos ndependentes de ângulos horzontas. A redundânca méda da rede é 0.5 com NRL stuados no ntervalo [0.00,0.85]. Para exemplo fo selecconado um únco ponto objecto (representado por A) o qual é vsado de quatro plares. Na fgura, junto a cada lnha de vsada, é ndcado o NRL local assocado a cada ângulo meddo para o ponto A. II Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa 6

7 A 0.0 PD PE3 PE1 PE Fgura 3 - Sstema de observação de uma barragem de betão Para analsar o efeto de um erro numa drecção fo smulado um erro de 3mgon em cada um dos quatro ângulos assocadas ao ponto A. No quadro apresentam-se, para cada gro, os graus de lberdade (f ), a redundânca méda (ρ ), a varável q e o resultado da aplcação do teste (A: acetação; R: rejeção) para σ 0.3mgon. Os cnco conjuntos de valores obtdos para q e para o teste dzem respeto, respectvamente, aos resultados de uma campanha de observação (época ncal) escolhda por se ter verfcado a acetação da hpótese nula para todos os gros, e aos valores obtdos após a aplcação do erro em cada um dos quatro ângulos ndcados. PD1 PD PD3 PD4 PE1 PE PE3 PD1 PD PD3 PD4 PE1 PE PE3 PE1 PE PE3 ncal PD1-A PE1-A PE-A PE3-A f ρ q T q T q T q T q T A 1.5 A.1 A 1.1 A 1.6 A A 1.0 A 1.5 A 3. A 1.0 A A.1 A 1.8 A.1 A.7 A A 1.5 A. A 0.1 A 1.1 A A 1.9 A 0.8 A 9.0 A 6.4 A A 3.5 A 4.3 A 10.7 A 6. A A 1.8 A 0.9 A 11.0 A 3.6 A A 10.8 A 13.4 A 7.3 A 1.5 A A 47. A 5.7 A 53.1 A 43.5 A A 15.0 A 14. A 14.8 A 16.5 A A 1.0 A 1.0 A 0.6 A 1.1 A A 9.1 A 194. R 37.8 A R A 17.4 A 3.0 A 576. R 38.4 A A 6.6 A R 47.1 A 86.7 R A 6.9 A 8. A 6. A 6.5 A A 8.8 A 10.8 A 7.3 A 7.3 A A 6.8 A 9.4 A 6.7 A 4.5 A Quadro Enquanto que q não reflecte a ncdênca do erro no ângulo PD1-A (65% dos gros são mas afectados que aquele onde ocorreu o erro) e a hpótese nula é acete para todos os gros, já nos restantes casos, onde observáves com redundânca sufcente (PE1-A e PE3-A) ou boa (PE-A) foram as afectadas, ocorre a rejeção da hpótese nula. Destes três casos é anda possível fazer a dstnção entre os resultados obtdos para o gro de PE (fca claramente dentfcado o gro onde ocorreu o erro) e os obtdos para os gros de PE1 e PE3, sempre com a rejeção da hpótese nula em dos dos gros. II Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa 7

8 9 Conclusão O recurso a testes de hpóteses permte mplementar com facldade metodologas que alertem o responsável por uma campanha de observação geodésca de uma barragem para a ocorrênca de erros nas medções anda na obra, antes do regresso da equpa ao gabnete. No entanto os métodos para controlo de qualdade baseados em testes de hpóteses só podem ser aplcados quando uma rede é fável ou seja quando o vector dos resíduos apresenta a capacdade de absorver os erros. Daí que resulte ser de partcular mportânca que, no planeamento de uma rede, além de se procurar atngr os níves de tolerânca mpostos, se obtenha um sstema com elevada fabldade. 10 Bblografa e Referêncas Bblográfcas Albeerda, J. E. (1976), Qualty Control n Surveyng, Chartered Surveyour, Nº. Baarda, W. (1960), Precson, Accuracy and Relablty of Observatons, Report, IAG Symposum, Lsbon. Baarda, W. (1976), Relablty and Precson of Networks, Proceedngs of the VIIth Internatonal Course on Hgh Precson Engneerng Surveys, Darmstadt. Baarda, W. (1979), Measures of the Accuracy of Geodetc Networks, Proceedngs of the Sopron Internatonal Symposum on Optmzaton of Desgn and Computaton of Control Networks, Akadéma Kadó, Budapest. Casaca, J. et Henrques, M. J. (1985), Varance Componente Theory and ts Applcaton to Network Analyss, Ed. LNEC, Memóra Nº 653, Lsboa. Casaca, J. (1987), A Relablty Crteron for Geodetc Network Desgn, Ed. LNEC, Memóra Nº 68, Lsboa. Casaca, J. et Henrques, M. J. (1988), Varance Component Estmaton and Relablty at Local Heterogeneous Networks, Proceedngs of the Internatonal Symposum on Integrated Geodesy, Sopron. Casaca, J. et Henrques, M. J. (199), Generalzed Inverses and Projecton Operators, Proceedngs of the EPMESC IV, Dalan. Casaca, J.; Henrques, M. J. et Matos, J. L. (1993), Rsk Analyss of Local Heterogeneous Networks n Applcatons of Geodesy to Engneerng, IAG Symposa 108, Sprnger Verlag, Berln. Casaca, J. (1994), A Revew on Varance Component Estmaton and ts Applcaton to Geodetc Network Analyss, Ed. LNEC, Sére ICT, INC-B 7, Lsboa. Casaca, J. (1996), O Planeamento, o Controlo da Qualdade e a Verfcação de Redes de Trangulação Topográfcas, Dssertação para Doutoramento, FEUP, Porto. Clerc, E. et Harrs, M. W. (1980), A Premum Protected Method Appled to Detecton and Rejecton of Erroneous Observatons, Manuscrpta Geodaetca, Nº5. Dodson, A. (1990), Analyss of Control Networks and Ther Applcaton to Deformaton Montorng n Engneerng Surveyng Technology, Blacke & Son, Glasgow. Galvenus, G. (1985), Optmum Procedures for Error Analyss of Geodetc Networks, Proceedngs of the VIIth Internatonal Symposum on Geodetc Networks & Computatons, Krakóv. Hahn, M. (1985), Comparson of Dfferent Methods and Strateges for Detectng Outlers, Proceedngs of the VIIth Internatonal Symposum on Geodetc Networks & Computatons, Krakóv. Huber, P. J. (1981), Robust Statstcs, John Wley & Son, New York. Merlo, J. van (1981), A Revew of Model Checks and Relablty, Proceedngs of the VIth Internatonal Symposum on Geodetc Networks & Computatons, DGK, Rehe B, Nº58, München. Pelzer, H. (1979), Crtera for the Relablty of Geodetc Networks, Proceedngs of the Sopron Internatonal Symposum on Optmzaton of Desgn & Computaton of Control Networks, Akadéma Kadó, Budapest. Romanowsk, M. (1979), Random Errors n Observatons, Konrad Wttwer Verlag, Stuttgart. Teunssen, P. (1985), Qualty Control n Geodetc Networks n Optmzaton and Desgn of Geodetc Networks, Sprnger Verlag, Berln. II Conferênca Naconal de Cartografa e Geodesa 8