O AJUSTAMENTO DE GRANDEZAS HETEROGÉNEAS PELO MÉTODO DAS COMPONENTES DE VARIÂNCIA

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1 O JUSMENO DE GRNDEZS HEEROGÉNES PELO MÉODO DS COMPONENES DE VRIÂNCI João CSC, Mara João HENRIQUES e Pedro MEUS 2 Núcleo de Geodesa plcada do Laboratóro Naconal de Engenhara Cvl 2 Faculdade de Cêncas da Unversdade de Lsboa Resuo: Este trabalho apresenta o étodo das coponentes de varânca e a sua aplcação ao ajustaento das grandezas heterogéneas observadas nas redes de trangulação usadas na ontorzação de deslocaentos horzontas e grandes barragens de betão. O étodo é lustrado co o ajustaento de observações angulares realzadas na rede de trangulação de ua grande barrage. Palavras-chave: coponentes de varânca / redundânca / veroslhança. INRODUÇÃO s redes de trangulação usadas na ontorzação dos deslocaentos horzontas de pontos notáves de grandes barragens de betão estão lgadas a u quadro de referênca local, consttuído por pontos cuja establdade é garantda por u perto e Geotecna, e são observadas perodcaente, durante a vda útl das obras, e geral, ao longo de utas dezenas de anos. s redes perte edr drectaente os deslocaentos dos pontos notáves (pontos objecto) ateralzados nas barragens, co ncertezas de edção que se pretende sublétrcas. Na sua observação deve ser usados nstruentos de edção (teodoltos e dstancóetros electroagnétcos DEM) da elhor qualdade dsponível no ercado. Deve ser prestada a aor atenção aos erros ssteátcos, e partcular, aos erros nstruentas (calbrage do equpaento) e aos erros abentas, especalente ao efeto nefasto da refracção atosférca nas observações angulares e lneares (Casaca, 24). No Núcleo de Geodesa plcada (NG) do LNEC, os deslocaentos são u resultado drecto do ajustaento das varações, entre duas épocas, das grandezas (angulares e lneares) observadas. Desde a década de 95, váras gerações de prograas de cálculo autoátco, destnados ao ajustaento das redes planétrcas, tê sdo desenvolvdos no LNEC. Os prograas desenvolvdos desde a década de 98, tê abordado o problea do ajustaento de grandezas heterogéneas pelo étodo das coponentes de varânca (Casaca e Henrques, 998). s grandezas dze-se heterogéneas quer por sere de dferente natureza (angulares e lneares) quer por, sendo da esa natureza, sere caracterzadas por dferentes ncertezas de edção. O objectvo deste trabalho é, precsaente, a apresentação do étodo das coponentes de varânca, desgnação usada para desgnar factores de proporconaldade de blocos dagonas de ua atrz de varânca que, sendo desconhecdos, se pretende estar. apresentação é lustrada co u exeplo de aplcação do étodo das coponentes de varânca ao ajustaento de varações angulares, entre duas épocas, observadas na rede de trangulação de ua grande barrage de betão.

2 2. O MODELO LINER COM COMPONENES DE VRIÂNCI O odelo usado no ajustaento das grandezas heterogéneas te ua coponente funconal, que consste nua relação lnear: () onde (,n) é a atrz da confguração de prera orde da rede, que resulta de ua aylorzação de prera orde das relações entre grandezas observáves (ângulos e dstâncas) e o vector (desconhecdo) dos deslocaentos dos vértces da rede (n,), e onde (,) é o vector das varações (exactas) das grandezas observáves entre duas épocas (Casaca, 2). coponente estocástca do odelo consste e encarar o vector Y(,) das varações observadas das grandezas coo ua aostra de u vector aleatóro noral cujo vector édo é = (desconhecdo) e cuja atrz de varânca (,), desgnada por atrz da confguração de segunda orde da rede, é parcalente desconhecda, sbolcaente: ) YN(, ), ), ) Q pqp (2) onde os (p) são as coponentes de varânca desconhecdas e a atrz de varânca sétrca, defnda postva (sdp) é consttuída por p blocos dagonas Q(,) (sdp) que se relacona co as p atrzes Q (,) (sétrcas não negatvas defndas snnd) da relação (2.) por: Q Q o (,,p) (3) Para o desenvolvento do racocíno torna-se necessáro defnr as atrzes sdp: ) Q(,) Q Qp, )P(,) P Pp, )P Q (4) onde as atrzes P são atrzes snnd, defndas por: ) P Po ) P Q (,,p) (5) 3. SOLUÇÃO DE MÁXIM VEROSIMILHNÇ De acordo co o odelo estocástco, dado u vector Y observado, a sua função de veroslhança pode ser expressa e função do vector dos deslocaentos () e das p coponentes de varânca por: L(,,, p Y) p (2) p p q ex p 2 det(q) (6)

3 onde: log-veroslhança (logarto natural da veroslhança) é: q (Y ) P (Y ) (7) p p q (,,, p Y) ln(2 ) ln(det(q)) ln( ) (8) Os deslocaentos e as coponentes de varânca que axza a veroslhança são pontos estaconáros da log-veroslhança, sto é, os pontos onde as suas dervadas parcas e orde aos deslocaentos e às coponentes de varânca se anula: p q 2 q (,,p) 2 2 Os deslocaentos e as coponentes de varânca que verfca a condção (9), sto é, as soluções de áxa veroslhança, são dados por: (9) ( R) RY (R P P ) p p q (q (Y ) P (Y )) (,,p) O sstea () deve ser resolvdo teratvaente. Os valores ncas: () (,,p) ( R ) RY substtuídos e (), dão orge à prera teração: (R P Pp ) () q (q (Y ) P (Y )) (,,p) ( R ) R Y (R P P ) p p O processo teratvo (2) deve ser repetdo até à establzação dos valores dos deslocaentos e das coponentes de varânca. Infelzente os estadores de áxa veroslhança () das coponentes de varânca não são cêntrcos, sto é, a sua esperança ateátca não concde co a coponente de varânca (desconhecda) que pretende estar: na realdade são estadores optstas das coponentes de varânca, sto é, tende a subestar a varânca. (2)

4 endo e atenção as propredades da esperança ateátca de foras quadrátcas (Rao e Kleffe, 988), pode ser construídos estadores cêntrcos, as não de áxa veroslhança, das coponentes de varânca, noeadaente: onde: ~ E( ~ ) t (3) 4. EXEMPLO DE PLICÇÃO ) t tr (P Q (I U)), )U ( R) R (4) Coo exeplo de aplcação, fo escolhda ua rede de trangulação nstalada a jusante de ua grande barrage de betão do tpo gravdade, co cerca de 3 de desenvolvento do coroaento e cerca de 4 de altura áxa (Fgura ). rede é consttuída por ses plares de estaconaente nas argens a jusante e ses pontos objecto ateralzados por alvos de pontara óptca chubados no paraento de jusante. De acordo co ua avalação geotécnca, os quatro plares co a desgnação PF (Fgura ) tê sdo consderados fxos e consttue o quadro de referênca da rede. PF2 PF P PF4 P2 rede deslocaentos 5 5 PF3 Fgura Rede de trangulação para ontorzação de deslocaentos horzontas. Deslocaentos horzontas ncas (bola preta) e deslocaentos após ua teração (bola branca) De cada estação, são eddos quatro gros de horzonte, dos para as outras estações e os outros dos para os pontos objecto. s observações azutas realzadas de alguas estações são, e condções atosfércas desfavoráves, sgnfcatvaente afectadas por erros devdos à refracção horzontal. Este facto é traduzdo por valores as elevados das estatvas das coponentes de varânca.

5 Para exeplfcar o étodo das coponentes de varânca, fo realzado o ajustaento dferencal das observações realzadas e duas épocas de observação. O ajustaento fo realzado e dos passos, toando ua atrz Q (4) construída co u desvo padrão angular de 3dgon. No prero passo () fora adoptadas coponentes untáras e obtvera-se os deslocaentos assnalados co ua bola preta na Fgura. No segundo passo, as coponentes fora calculadas co a relação (2) e obtvera-se os deslocaentos assnalados co ua bola branca na Fgura. Coo faclente se verfca na Fgura, os deslocaentos pouco fora afectados pela teração das coponentes. Quadro Estatvas de áxa veroslhança das coponentes de varânca dos gros PF PF2 PF3 PF4 P P2 EMV EC EMV EC EMV EC EMV EC EMV EC EMV EC No Quadro, apresenta-se as coponentes de varânca estadas no ajustaento, para cada u dos gros de horzonte realzados. tercera e a quarta lnha do Quadro corresponde aos gros do sstea de apoo e a qunta e sexta lnha corresponde aos gros que envolve os pontos objecto. Na coluna EMV apresenta-se as estatvas de áxa veroslhança (2) e, na coluna EC, as correspondentes estatvas cêntrcas (3). análse do Quadro perte constatar a varabldade das coponentes de varânca estadas a posteror, relatvaente ao valor untáro arbtrado a pror. lguns dos gros parece partcularente afectados, pos apresenta coponentes de varânca co valores uto elevados: a varânca estada a posteror é quatro ou cnco vezes superor ao valor da varânca arbtrada a pror. O desepenho do étodo das coponentes de varânca depende, no entanto, da redundânca das grandezas observáves. Esta redundânca pode ser quantfcada pelo quocente t / (cf. relação 3) entre o traços t das subatrzes ndcadas e (4) e o núero de grandezas dos blocos dagonas correspondentes. Quanto as próxo da undade for o quocente, aor é a redundânca das grandezas envolvdas (Casaca, 2). Quadro 2 Redundânca (t / ) dos gros de horzonte PF PF2 PF3 PF4 P P No Quadro 2, apresenta-se as redundâncas (t / ) dos 24 gros de horzonte da rede de trangulação, onde a segunda e tercera lnha corresponde aos gros do sstea de apoo e a quarta e qunta lnha corresponde aos gros que envolve os pontos objecto. São valores entre.59 e.96 razovelente hoogéneos e elevados, que garante ua redundânca satsfatóra à rede de trangulação (sera desejável que fosse as hoogéneos). redundânca das observações torna a rede robusta, sto é, dstrbu os erros pelos resíduos do ajustaento, evtando que afecte os deslocaentos (2).

6 5. CONCLUSÕES O étodo das coponentes de varânca, apresentado neste trabalho, é u étodo recoendável para o ajustaento de grandezas heterogéneas, da esa ou de dferente natureza, por fornecer estatvas de áxa veroslhança nu cenáro de ncerteza as alargado do que o habtual. Deve ter-se e atenção que, coo já fo referdo, o desepenho do étodo é condconado pela redundânca da rede. No exeplo apresentado, a redundânca satsfatóra da rede garante-lhe robustez, sto é, assegura que os erros de observação são atrbuídos aos resíduos e às estatvas das coponentes de varânca e que, consequenteente, não vão afectar os deslocaentos. Referêncas Casaca, J. (2). O Método da Varação de Coordenadas na Observação Geodésca de Barragens. Lsboa: LNEC, Sére IC, IB2. Casaca, J. (24). Refracção tosférca e Geodesa plcada. Lsboa: LNEC, Sére IC, INCB9. Casaca, J. and Henrques, M. J. (998). Varance Coponent Estaton and Relablty at Local Heterogeneous Networks. Proc. of the IG Int. Syp. on Integrated Geodesy, Sopron. Hungaran cadey of Scences, Vol. 2: Rao, C. R. and Kleffe, J. (988). Estaton of Varance Coponents and pplcatons. sterda: North-Holland. Contactos João CSC jcasaca@gal.co Laboratóro Naconal de Engenhara Cvl Núcleo de Geodesa plcada Portugal