ABORDAGEM MATEMÁTICA DE ROLL WAVES EM ESCOAMENTOS HIPERCONCENTRADOS COM SUPERFICIE LIVRE

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1 uesp Uiversidade Estadual Paulista FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ABORDAGEM MATEMÁTICA DE ROLL WAVES EM ESCOAMENTOS HIPERCONCENTRADOS COM SUPERFICIE LIVRE Fabiaa de Oliveira Ferreira Dissertação apresetada à Faculdade de Egeharia de Ilha Solteira da Uiversidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, como parte dos requisitos exigidos para a obteção do título de Mestre em Egeharia Mecâica. Orietador: Prof. Dr. Geraldo de Freitas Maciel Ilha Solteira, ovembro de 007.

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3 Dedico este trabalho aos meus pais Silvio e Maria Luzia e ao meu irmão Silvio Cesar, estímulos que me impulsioaram a buscar meus ideais.

4 AGRADECIMENTOS Primeiramete a Deus, por ter me cocedido força e perseveraça para cocluir este trabalho. Aos meus pais e meu irmão, pelos esiametos, pelo cariho e cofiaça. Ao meu orietador professor Geraldo de Freitas Maciel, pelo apredizado, pela cofiaça, paciêcia e apoio costate o decorrer do trabalho, mostrado-me camihos ao ivés de meras soluções. À professora Môica Pito Barbosa, pela cofiaça e pela oportuidade de fazer o mestrado, me fazedo acreditar que poderia ser uma mestre. Ao meu amorado Marcel, pela compreesão os mometos de ausêcia e pelo cariho e icetivo os mometos de dificuldades. À amiga Adriaa, pelo compaheirismo os mometos felizes e também os mometos mais difíceis. A todos os amigos por grades mometos jutos, que de forma direta ou idireta cotribuíram muito para a coclusão deste trabalho. À baca examiadora, por aceitar cotribuir a discussão e certamete o eriquecimeto deste trabalho. Ao programa de Pós-Graduação em Egeharia Mecâica, professores e fucioários.

5 Sempre me pareceu estraho que todos aqueles que estudam seriamete esta ciêcia acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma. Em verdade o que proporcioa o máximo de prazer ão é o cohecimeto e sim a apredizagem, ão é a posse mas a aquisição, ão é a preseça mas o ato de atigir a meta. Carl Friedrich Gauss

6 RESUMO Os escoametos em superfície livre que ocorrem em caais icliados, tato em fluido Newtoiao quato em fluido ão-newtoiao (hipercocetrado), podem desevolver istabilidades, tais como odas em forma de ressalto hidráulico, com comprimetos bem defiidos. Tais perturbações são deomiadas Roll Waves. Essas odas são comus em caais artificiais, em lavas torreciais e deslizameto de avalachas. Neste trabalho, o plao teórico, é determiado um modelo matemático geral, com base as equações de Navier- Stokes itegradas a vertical, em cujo tesor de tesões é itroduzido a reologia de Herschel- Bulkley. A velocidade média do escoameto é determiada levado-se em cosideração que o escoameto apreseta um perfil de velocidade parabólico a região cisalhada (próximo ao fudo do caal) acoplado a um perfil liear a região ão cisalhada (codição de plug), característico dos escoametos de lamas e detritos. A partir do sistema de equações (coservação da massa e equação da quatidade de movimeto) em variáveis adimesioais, uma aálise de estabilidade liear é realizada, colocado em evidêcia as codições de formação dessas istabilidades, tato em fluido hipercocetrado como em fluido Newtoiao. Com as codições de formação de istabilidades estabelecidas, uma teoria aalítica de Roll Waves permaete é imposta e um modelo matemático para geração de tais istabilidades é determiado. No plao umérico, utilizado a liguagem de programação Pytho, a validade do modelo é verificada, cosiderado que essas odas são ajustadas por choques devido às sigularidades existetes o modelo. Com a determiação das codições de choque e da velocidade de propagação da oda em um poto crítico; pode-se observar a formação de Roll Waves em fluidos ão Newtoiaos com reologia de Herschel-Bulkley, Bigham, Power Law, como também em fluido Newtoiao. Palavras-chave: Roll Waves, Herschel-Bulkley, fluido hipercocetrado, odas de choque.

7 ABSTRACT The flows i free surface that occur i slopig caals, such as Newtoia fluid as i o- Newtoia fluid (hypercocetrated), they ca develop istabilities, such as log waves i form of hydraulical jumps, with well defied legths; these istabilities are called Roll Waves, more commo i artificial caals, torretial spillways of dams, lava ad avalache ladslide. This work, i the theoretical pla, a geeral mathematical model is determied, o the basis of the itegrated Navier-Stokes equatio i the vertical, of tesor tesios the rheology of Herschel-Bulkley is itroduced. The average velocity of the flows is determied takig itself i cosideratio that the flows presets a parabolic profile of speed i the shear regio (ear of the floor of caal) coected to a liear profile i the regio ot shear (coditio of plug), categorized as flows of mudflows ad debris flows. From the system of equatios (coservatio of the mass ad equatio of the mometum) i adimesioal variables, a aalysis of liear stability is carried through, placig the coditios of formatio of these istabilities, as much i hypercocetrated fluid as i Newtoia fluid. With the coditios of formatio of istabilities established, a aalytical theory of permaet Roll Waves is imployed ad a mathematical model for geratio of such stabilities it s determied. I the umerical pla, usig the computatioal cosol Pytho, the validity of model is checked, cosiderig of this waves are adjusted by shocks devided by the sigularities existets i the model. With the determiatio of coditios of shock ad the velocity of propagatio of wave i a critical poit; we ca observe the formatio of Roll Waves such i fluids o-newtoias (Herschel- Bulkley, Bigham, Power law) as Newtoia fluids. Keywords: Roll Waves, Herschel-Bulkley, hypercocetrated fluid, shock waves.

8 LISTA DE FIGURAS FIGURA.: VISUALIZAÇÃO DE ROLL WAVES...6 FIGURA.: VISUALIZAÇÃO DO FENÔMENO ROLL WAVES NA RAMPA DE LAVAS TORRENCIAIS DA UNESP-ILHA SOLTEIRA...6 FIGURA.: EXEMPLOS DE FLUIDO NEWTONIANO E FLUIDO NÃO NEWTONIANO...5 FIGURA.: REOGRAMA REPRESENTANDO DIFERENTES TIPOS DE MODELOS REOLÓGICOS....8 FIGURA.3: GEOMETRIA DO PROBLEMA...9 FIGURA 3. REPRESENTAÇÃO DO PERFIL DE VELOCIDADE PARA UM FLUIDO DE HERSCHEL- BULKLEY...44 FIGURA 3.: PERFIL DE VELOCIDADES PARA UM FLUIDO TIPO HERSCHEL-BULKLEY...45 FIGURA 4.: TAXA DE CRESCIMENTO DAS PERTURBAÇÕES PARA UM FLUIDO DO TIPO HERSCHEL- BULKLEY FIGURA 4.:TAXA DE CRESCIMENTO DAS PERTURBAÇÕES PARA UM FLUIDO DO TIPO POWER LAW...64 FIGURA 4.3:TAXA DE CRESCIMENTO DAS PERTURBAÇÕES PARA UM FLUIDO BINGHAMIANO E NEWTONIANO...65 FIGURA 4.4 VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DAS PERTURBAÇÕES PARA FLUIDO DE HERSCHEL- BULKLEY...67 FIGURA 4.5: VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DAS PERTURBAÇÕES PARA UM FLUIDO DO TIPO POWER LAW FIGURA 4.6: VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DAS PERTURBAÇÕES PARA FLUIDO BINGHAMIANO E NEWTONIANO...68

9 FIGURA 5. PERFIL DE UMA ROLL WAVE FIGURA 6.: PERFIL DAS ROLL WAVES EM FLUIDO DE HERSCHEL-BULKLEY E SEUS RESPECTIVOS PLANOS DE FASES, VARIANDO O VALOR DE β FIGURA 6. PERFIL DAS ROLL WAVES EM FLUIDO DE HERSCHEL-BULKLEY, VARIANDO O VALOR DE β....8 FIGURA 6.3 PERFIL DAS ROLL WAVES PARA FLUIDO DE HERSCHEL-BULKLEY, VARIANDO O VALOR DE C...8 FIGURA 6.4 PERFIL DAS ROLL WAVES EM FLUIDO DE HERSCHEL-BULKLEY VARIANDO O VALOR DE PARA β = FIGURA 6.5: PERFIL DAS ROLL WAVES VARIANDO O VALOR DE PARA β =...84

10 LISTA DE SÍMBOLOS SÍMBOLOS GREGOS α β β ς coeficiete de distribuição de velocidade costate em fução do úmero de Froude costate em fução do úmero de Froude em um poto critico comprimeto de oda o sistema móvel de coordeadas θ λ âgulo de icliação do caal comprimeto da Roll Wave µ viscosidade diâmica ou absoluta de fluido ewtoiao µ ídice de escoameto para fluido do tipo Power Law µ B viscosidade plástica (fluido de Bigham) ρ massa especifica τ τ τ c tesão de cisalhameto tesão de cisalhameto adimesioal tesão critica ou rigidez iicial τ p tesão a parede τ xx tesão ormal atuate a direção x τ yy tesão ormal atuate a direção y τ zz tesão ormal atuate a direção z τ xy tesão cisalhate atuate o eixo x a direção y τ yx tesão cisalhate atuate o eixo y a direção x τ xz tesão cisalhate atuate o eixo x a direção z τ zx tesão cisalhate atuate o eixo z a direção x φ âgulo de atrito itero ω freqüêcia das perturbações

11 SÍMBOLOS ARÁBICOS C g U Fr C U i X i F i coeficiete de Chézy aceleração da gravidade ídice de escoameto do fluido velocidade de propagação da Roll Wave úmero de Froude coesão do fluido (em fução da tesão crítica) compoete de velocidade em otação idicial eixos do sistema de coordeadas em otação idicial forças de corpo Τ ij tesor de tesões t u v w x y z K h o escala de tempo compoete de velocidade a direção x compoete de velocidade a direção y compoete de velocidade a direção z abcissa o sistema de coordeadas cartesiaas ordeada o sistema de coordeadas cartesiaas cota o sistema de coordeadas cartesiaas ídice de cosistêcia do fluido de Herschel-Bulkley cota o fudo do caal h f cota a superfície livre do escoameto Ox Oy Oz L x y escala de comprimeto a direção x escala de comprimeto a direção y escala de comprimeto a direção z comprimeto característico abcissa adimesioal o sistema de coordeadas cartesiaas ordeada adimesioal o sistema de coordeadas cartesiaas

12 z u v w P P u h z 0 l 0 h 0 u 0 u 0 cota adimesioal o sistema de coordeadas cartesiaas compoete de velocidade adimesioal a direção x compoete de velocidade adimesioal a direção y compoete de velocidade adimesioal a direção z pressão pressão a forma adimesioal velocidade média do escoameto profudidade total do escoameto profudidade do escoameto a região cisalhada comprimeto da oda em regime uiforme profudidade do escoameto em regime uiforme compoete da velocidade a direção para escoameto em regime uiforme velocidade média do escoameto em regime uiforme H V valor ifiitesimal para altura quado o escoameto é perturbado valor ifiitesimal para a velocidade do escoameto quado perturbado I ( ω ) taxa média de crescimeto das istabilidades R( ω) k x ' c h velocidade de propagação da oda abcissa o sistema móvel de coordeadas costate em fução da velocidade de propagação da Roll Wave profudidade do escoameto ates do choque h h c profudidade de escoameto depois do choque profudidade critica do escoameto

13 SUMÁRIO PREÂMBULO...4. INTRODUÇÃO...5. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA...7. OBJETIVOS.... CONSIDERAÇÕES INICIAIS...3. DEFINIÇÕES DAS PROPRIEDADES FÍSICAS DOS FLUIDOS...3. MODELOS REOLÓGICOS ANÁLISE FÍSICA DO PROBLEMA ESCOAMENTO SUPERCRÍTICO, CRÍTICO E SUBCRÍTICO FORMULAÇÃO MATEMÁTICA TRATAMENTO MATEMÁTICO DAS EQUAÇÕES GOVERNANTES TRATAMENTO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DETERMINAÇÃO DA PRESSÃO HIDROSTÁTICA MODELO MATEMÁTICO PERFIL DE VELOCIDADES Velocidade Média em Relação à Profudidade do Escoameto DETERMINAÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO (LEI DE ATRITO) COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE ADIMENSIONALIZAÇÃO DAS VARIÁVEIS...5

14 4. ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR LINEARIZAÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES CONDIÇÕES PARA FORMAÇÃO DE INSTABILIDADES TAXA DE CRESCIMENTO DAS INSTABILIDADES VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DAS INSTABILIDADES EQUAÇÃO DAS ROLL WAVES ONDAS DE CHOQUE E DESCONTINUIDADES PERFIL DE UMA ROLL WAVE Codições de Choque VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DA ROLL WAVE RESULTADOS NUMÉRICOS A LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO PYTHON ROLL WAVES PARA A PROPOSTA REOLÓGICA DE HERSCHEL-BULKLEY DISCUSSÕES E PERSPECTIVAS...86 REFERÊNCIAS...89 APÊNDICE A...95 APÊNDICE B...00 APÊNDICE C...04 APÊNDICE D...06 APÊNDICE E...09 APÊNDICE F...4

15 PREÂMBULO Este trabalho é composto de sete capítulos. O capítulo apreseta uma motivação abordado os pricipais aspectos pelo qual a pesquisa foi desevolvida, apresetado algumas referêcias bibliográficas marcates o cotexto de Roll Waves e as metas pricipais dessa pesquisa. O capítulo iicia-se com algus coceitos sobre as propriedades físicas dos fluidos e apreseta uma breve revisão dos modelos reológicos que serão citados o decorrer do trabalho, além disso, mostra uma visão geral dos pricipais aspectos físicos pertietes ao problema, cosiderado um escoameto de águas rasas de um fluido hipercocetrado, em um caal icliado. O capítulo 3 apreseta a formulação matemática do problema estudado, para o qual, são apresetadas as equações goverates, a defiição do modelo reológico a ser utilizado, as cosiderações iiciais empregadas a solução do problema e o desevolvimeto matemático para a obteção do sistema que rege o escoameto tratado. No capítulo 4 é feita uma aálise de estabilidade liear para o escoameto uiforme, mostrado a taxa de crescimeto das istabilidades e a velocidade de propagação em fução do úmero de odas, evideciado as codições ecessárias para a formação de istabilidades o escoameto. O capítulo 5 determia o modelo matemático para geração de Roll Waves e as relações costitutivas do modelo. No capítulo 6, ecotram-se os resultados uméricos que demostram a potecialidade e a aplicabilidade do modelo matemático apresetado. E o capítulo 7 são apresetadas as discussões, com embasameto teórico, dos resultados ecotrados e sugestões para trabalhos futuros.

16 5 CAPÍTULO. INTRODUÇÃO Os escoametos em superfícies livres, também refereciados como escoametos em caais, têm um grade úmero de aplicações práticas a egeharia. No etato, os escoametos que se processam em caais com declividades podem desevolver istabilidades em forma de ressalto hidráulico ou bore waves. Essas istabilidades podem aparecer tato em fluidos Newtoiaos (água limpa), quato em fluidos ão Newtoiaos (fluidos hipercocetrados). Tais perturbações com comprimeto de oda defiido são deomiadas Roll Waves. Não é raro ecotrá-las em rios ígremes, em caais artificiais, vertedouros de barrages, deslizametos de avalachas ou em corridas de lamas (mudflows) (Egelud e Wa, 984) e detritos (debris flows) (Forterre e Poulique, 003). O feômeo pode ser visto em oceaos (Swaters, 003) e lagos (Fer et al., 003), além disso, essas odas são ocorrêcias comus em águas rasas e películas de fluido lamiar que escoam sobre calhas e ruas em dias chuvosos. Essas perturbações aparecem também em várias outras situações físicas, tais como em correte de gravidade em laboratórios (Alavia, 986 e Ceedese et al., 004), em escoametos multifásicos (Woods et al., 000), em escoametos de tubos dobráveis e caais elásticos, com aplicações ao ar e fluxos de sague em fisiologia (Pedley, 980 e Brook, 999) e em modelo de tremor vulcâico (Julia, 994). Através de estudos realizados em laboratório pelo grupo de pesquisa da Uesp-Ilha Solteira, observou-se a formação de tais istabilidades em fluido hipercocetrado (água+argila, água+argila+areia fia) escoado em um caal icliado. A formação dessas odas pode acarretar em variações sigificativas a profudidade do escoameto, vecedo algumas vezes, a borda livre de caais e provocado

17 6 trasbordametos. Dessa forma, visado a aplicação deste estudo em problemas de egeharia, um modelo matemático capaz de reproduzir Roll Waves cotribuiria para um maior cotrole do feômeo em questão, por exemplo, um evetual redimesioameto de bordas livres de um caal. A Figura. mostra o feômeo das Roll Waves a atureza o escoameto de fluido hipercocetrado e de um fluido Newtoiao. A Figura. mostra o desevolvimeto das Roll Waves, geradas em lama a rampa de lavas torreciais da UNESP - Ilha Solteira. a) Escoameto de fluido hipercocetrado. b) Escoameto de fluido Newtoiao Figura.: Visualização de Roll Waves Figura.: Visualização do feômeo Roll Waves a rampa de lavas torreciais da UNESP- Ilha Solteira

18 7. Revisão Bibliográfica Quato à geração de Roll Waves em escoametos de fluido Newtoiao e ão Newtoiao, estudos ateriores foram realizados a busca de explicar a ocorrêcia do feômeo. Podedo aparecer tato em escoametos lamiares quato em escoametos turbuletos. Nos escoametos lamiares, ode são prepoderates a ação das forças viscosas do fluido, em relação à iércia, amortecedo a tedêcia à turbulêcia, as Roll Waves são formadas com baixos úmeros de Reyolds, o que geralmete ocorre em escoametos de fluidos hipercocetrados, apresetam amplitude mais elevada e baixa velocidade de propagação, coforme mostrado por (Bejami, 957), (Che, 99), (Ng e Mei, 994), (Liu e Mei, 994), (Maciel, 00) etre outros. Já para os escoametos turbuletos coforme estudado por (Jeffreys, 95), (Dressler, 949), (Brock, 969), (Kraeburg, 99), (Zauttigh e Lamberti, 00) e outros; o feômeo ocorre para úmeros de Reyolds elevados e as odas apresetam uma velocidade de propagação maior quado comparadas com as que aparecem os escoametos lamiares. As observações do feômeo Roll Waves, de forma detalhada foram apresetadas primeiramete por (Corish, 90), embora existam relatos de que essas odas possam ter sido vistas mais cedo, pois aparecem em desehos artísticos atigos (Motes, 998). A partir daí, cietistas ivestem o estudo do feômeo e resultados importates são determiados para a geração de Roll Waves. Jeffreys (95) foi o primeiro a estabelecer um critério sobre a formação de Roll Waves em escoametos turbuletos e deduziu a partir de uma aálise de estabilidade liear, que o escoameto uiforme torava-se istável, se o úmero de Froude fosse superior a. Thomas (939) teta descrever aaliticamete Roll Waves de grade amplitude e cosidera um trem de odas com velocidade costate compodo a superfície da água. Dressler (949) tetou deliear o perfil da superfície livre e verificou a formação de Roll Waves, descrevedo o feômeo como sedo uma série de odas de comprimetos bem defiidos, separadas por descotiuidades da superfície livre. A aálise realizada por Dressler (949) é baseada a formulação de águas rasas sem os termos de difusão, combiada à equação do ressalto hidráulico. O º membro da equação da quatidade de movimeto

19 8 compreede o efeito da gravidade adicioado ao termo que modela a turbulêcia (C : coeficiete de Chézy). Através da técica da adimesioalização das variáveis, Dressler (949) mostra que, soluções regulares, periódicas e separadas por descotiuidades com picos a superfície livre aparecem, quado ta ( θ ) > 4g C, (θ : declividade do caal, C: coeficiete de Chézy). Essa aálise ão permite, etretato, determiar o comprimeto dessas odas. Ishihara et al. (954) estudaram Roll Waves em uma lâmia de fluido Newtoiao, teórica e experimetalmete. Em suas aálises, a profudidade média do escoameto é calculada a partir das equações de águas rasas, assumido um perfil parabólico para a velocidade logitudial. Também mediram as propriedades das odas e verificaram que as cristas eram bastate ígremes, mas ão verticais. Bejami (957) e Yih (963), usado as equações de Navier-Stokes, para escoametos lamiares e assumido perturbações seoidais a superfície livre, determiam que o úmero de Froude é maior que 0,5 para a formação dessas perturbações. Motuori (963) propodo uma relação do úmero de Froude com o comprimeto do caal (L), verifica que em caais com comprimeto pequeo, ão ocorre o aparecimeto de Roll Waves. Brock (969) observa Roll Waves em laboratório para um úmero de Reyolds de aproximadamete 4 0 e úmero de Froude de 3.. Brock (970), com base o trabalho de Dressler (949), desevolveu uma teoria para roll waves permaete periódica, usado as equações de águas rasas e comparou com os resultados experimetais obtidos em 969. Tamada e Tougou (979) fizeram o estudo de Roll Waves para fluido ewtoiao, baseados as equações de Navier-Stokes, os resultados mostram um trem de odas se o comprimeto for meor do que um valor crítico, além disso, o perfil das odas mostram-se compatíveis com as observações experimetais. Needham e Merki (983), itroduzido os efeitos viscosos, estederam o estudo de Dressler (949) e verificaram que a iclusão deste termo ão alterava a codição de estabilidade do escoameto uiforme; e mais, quado o escoameto torava-se istável, uma família de soluções quase periódicas apareceriam, tedo como parâmetro de cotrole a velocidade de perturbação. Bakhvalov (983) e Eglit (984) verificaram a formação de Roll Waves em reologia ão ewtoiaa. Estudado avalachas desas, efetuaram aálise aáloga à de Dressler

20 9 (949), quado itroduziram um termo dissipativo suplemetar modelado por um atrito sólido. A partir dessa aálise chegaram a ( ) > taθ taφ 4g C, ( φ : âgulo de atrito itero), relação semelhate à de Dressler (949), com uma mera modificação da declividade. Needham (984) e Merki (986) obtiveram iformações sobre o comprimeto das perturbações, icluido o equacioameto os termos da difusão, aida que o termo difusivo o equacioameto ão estivesse corretamete adaptado ao grupo shallow water, isto sem levar em cota a complexidade de aplicação direta de seus resultados a um problema de egeharia. Julie e Hartley (986) obtiveram soluções similares a de Motuori (963) ao estudarem o processo de formação de roll waves em escoametos de lama altamete viscosos em caais ígremes. Hwag e Chag (987) usado a teoria da bifurcação verificaram a formação de Roll Waves umericamete. Hutter e Savage (988) também ivestiram o estudo dos critérios de formação de Roll Waves. A cotribuição de Hutter e Savage (988) reside o fato de tetar substituir o atrito sólido pela coesão do fluido. Kraeburg (99), o plao umérico, utilizado-se do grupo shallow water comprova a codição de existêcia já estabelecida por Dressler (949); observado o fato que para perturbações de diversos comprimetos de oda, a de maior comprimeto prevaleceria sobre a Roll Wave gerada. Che (99) utilizado as equações de águas rasas e cosiderado um perfil de velocidade do modelo reológico do tipo Power Law, obtém resultado similar ao ecotrado por Bejami (957) e Yih (963). Liu e Mei (994) baseados as equações de águas rasas estudaram aaliticamete a istabilidade liear de um escoameto uiforme para um fluido de Bigham e aalisaram umericamete a evolução de Roll Waves. Observaram que para um fluido quase Newtoiao ocorre o aparecimeto de perturbações periódicas com pequeas amplitudes, equato que, para um fluido fortemete ão Newtoiao aparecem odas de grades amplitudes. Ng e Mei (994) estudaram a formação de Roll Waves, a partir de uma proposta reológica de fluido com comportameto pseudoplástico (Power Law) e sua aálise de estabilidade coverge para o surgimeto de odas logas com grade amplitude quado < ( : ídice de comportameto do escoameto).

21 0 Maciel et al. (997) a partir do sistema shallow water ivíscido, retomado o trabalho clássico de Dressler, rededuz as codições de existêcia de Roll Waves e verifica o surgimeto de tais istabilidades quado o úmero de Froude é maior do que. Estededo o estudo, fez uma aálise de estabilidade liear do sistema shallow water viscoso, apresetado o segudo membro da equação de quatidade de movimeto, os termos da gravidade, efeito de parede tipo Chézy e os efeitos difusivos devido a viscosidade do fluido e verificou soluções periódicas quado < U < 3/ (U : velocidade de propagação da Roll Wave). Maciel (00) estudado escoametos de fluidos ão Newtoiaos, usado a proposta reológica de Bigham, estabeleceu as codições de existêcia e estabilidade, apotado os seguites resultados: i) Fr C + Fr U < C Fr Fr + + Fr Fr U (.) 3 C ii) < U < C ( ) (.) Fr : α : Sedo: úmero de Froude coeficiete de distribuição da velocidade a vertical C : coesão do fluido (parâmetro de Bigham) U : velocidade de propagação da Roll Wave No plao umérico, (Maciel, 00) aalisou a ifluêcia dos parâmetros determiados para a geração de Roll Waves e observou que, aumetado o úmero de Froude, ocorre um aumeto a amplitude e uma dimiuição o comprimeto da Roll Wave; aumetado a velocidade de propagação da Roll Wave, ocorre uma dimiuição da amplitude. E quato a ifluêcia da coesão do fluido ( C ), foi observado que com o aumeto da coesão, ocorre um aumeto a amplitude da oda, acarretado uma atecipação a formação das odas geradas.

22 Madre (00) utilizado as equações de águas rasas cosidera que o efeito topográfico varia periodicamete e observa que o escoameto tora-se istável mesmo para um úmero de Froude meor que. Zauttigh e Lamberti (00) fizeram uma aálise umérica baseados as equações de águas rasas, a qual o código umérico é aplicado para reproduzir experiêcias de Brock s sobre Roll Waves geradas em um caal retagular em laboratório e a solução umérica mostra a evolução de Roll Waves, devido à istabilidade do escoameto uiforme. Balmforth e Madre (004) estudaram a diâmica das Roll Waves em escoametos turbuletos e lamiares, utilizado as equações de águas rasas com arrasto e viscosidade, explorado o efeito do fudo topográfico, cosiderado que os cursos reais da água ão são completamete lisos e observou que para ambos os tipos de escoametos a formação de ressaltos hidráulicos podem desestabilizar o escoameto, quado se atige o valor critico do úmero de Froude. Di Cristo e Vacca (005) ivestigaram o processo de geração de Roll Waves para um escoameto uidimesioal do poto de vista teórico a partir das equações das equações de águas rasas. Cosiderado a velocidade média e a profudidade do escoameto, fizeram uma aálise de estabilidade liear e iterpretaram a formação de Roll Waves em termos de istabilidades do modelo uidimesioal liearizado do escoameto. Observaram a evolução de tais perturbações somete com o úmero de Froude e o comprimeto adimesioal do caal, supostos geralmete em critérios hidráulicos de egeharia. Pascal (006) estudou as istabilidades de um escoameto para um fluido do tipo Power Law sobre um plao icliado, icluido o efeito da permeabilidade. Através de uma aálise de estabilidade, observou umericamete a formação de Roll Waves, tato para fluido ewtoiao quato para fluido ão ewtoiao, determiado as pricipais características do feômeo, tais como: a altura, o comprimeto e a velocidade de propagação da oda. Estes estudos os forecem iformações para acreditar que as Roll Waves podem se desevolver em fluidos ewtoiaos e também em fluidos ão-ewtoiaos. Detro do cotexto do estudo de Roll Waves em escoametos de fluidos hipercocetrados, o que mais figura a literatura é o estudo de tais istabilidades para o fluido de Bigham e Power Law. Portato, a modelagem matemática a fim de predizer propriedades permitido descrever a diâmica dos escoametos que aparecem as Roll Waves, aida é limitada. Assim, a proposta deste trabalho, é coceber um modelo matemático que represete o feômeo em questão.

23 . Objetivos Os objetivos do presete trabalho podem ser eumerados da seguite maeira: - aalisar de forma teórica a diâmica de escoametos de fluidos hipercocetrados escoado em caal icliado; - determiar um modelo matemático capaz de reproduzir Roll Waves baseado a proposta reológica de Herschel-Bulkley; - colocar em evidêcia as codições de istabilidade do escoameto uiforme através de aálise de estabilidade liear; - certificar a validade do modelo matemático desevolvido para geração de Roll Waves através de resolução umérica da equação determiada; - verificar se o modelo é válido para as propostas reológicas mais simplificadas (Bigham, Power Law, Newto).

24 3 CAPÍTULO. CONSIDERAÇÕES INICIAIS A obteção de soluções para as equações goverates da mecâica dos fluídos em situações realistas represeta um dos maiores desafios. Os escoametos podem ser represetados do poto de vista físico e matemático pelas equações da coservação da massa, quatidade de movimeto e eergia. Um escoameto em que a massa específica do fluido varia sigificativamete é um escoameto compressível, se a massa específica ão varia sigificativamete etão o escoameto é icompressível. Neste trabalho o escoameto a ser tratado é icompressível. Este capítulo tem como objetivo mostrar algus coceitos sobre as propriedades físicas dos fluidos e suas implicações, fazer uma breve revisão dos modelos reológicos que serão citados o decorrer do trabalho, fazer uma aálise física do problema a ser estudado e mostrar quais são as codições para que um escoameto seja: supercrítico, crítico ou subcrítico.. Defiições das Propriedades Físicas dos Fluidos Fluido é toda matéria que se deforma quado submetida a uma míima tesão de cisalhameto. Os fluidos diferem dos sólidos pelas características das forças de coesão etre suas moléculas. A pricipal difereça prática que se pode observar etre sólidos e fluidos é que os sólidos uma força atuate determia a itesidade da deformação e, os fluidos, determia a

25 4 velocidade da deformação. Tato os gases como os líquidos são classificados como fluidos. As características mais otáveis dos gases são a compressibilidade e a fluidez. Os líquidos são icompressíveis e suas propriedades são determiadas pela itesidade das forças itermoleculares. As propriedades dos fluidos relevates para o estudo de escoametos são: a massa específica, a tesão superficial, a viscosidade e as propriedades reológicas. Massa especifica A massa especifica de uma substâcia defii-se como a propriedade da matéria correspodete à razão etre massa de uma quatidade de substâcia e o volume correspodete. Tesão superficial Tesão superficial é um efeito que ocorre a camada superficial de um líquido que leva a sua superfície a se comportar como uma membraa elástica. Esta tesão superficial ocorre devido às fortes ligações itermoleculares, as quais depedem das difereças elétricas etre as moléculas e pode ser defiida como força por uidade de comprimeto que duas camadas superficiais exercem uma sobre a outra. Viscosidade Viscosidade é a medida da resistêcia de um fluido à deformação causada por uma tesão, ou seja, quado um fluido sofre deformação, ocorre uma iteração itera etre as partículas, com comportametos diferetes para cada tipo de fluido, isso ocorre devido à resistêcia itera (viscosidade) da iteração das partículas. Uma defiição clássica para a viscosidade, é dizer que a mesma é a variação da tesão de cisalhameto pela variação da taxa de deformação, matedo-se costate em um fluido Newtoiao. Uma maior ou meor viscosidade de um fluido implica a velocidade de deformação do mesmo, quado submetido a uma tesão de cisalhameto, ou seja, quato maior a viscosidade, meor a velocidade em que o fluido se movimeta. No etato, os fluidos podem ser classificados de acordo com a relação etre a tesão de cisalhameto aplicada e a taxa de

26 5 deformação, podedo ser deomiados como fluidos Newtoiaos e ão Newtoiaos, coforme mostra a Figura.. (a) Fluido Newtoiao (b) Fluido ão Newtoiao (c) Escoameto de fluido hipercocetrado e Newtoiao, respectivamete. Figura.: Exemplos de fluido Newtoiao e fluido ão Newtoiao.. Modelos Reológicos A reologia é a ciêcia que estuda a taxa de deformação da matéria, tedo importâcia em diversas áreas, tais como a ciêcia dos materiais, a física e as egeharias. Neste item são apresetados algus modelos matemáticos que represetam diferetes tipos de comportametos reológicos, cosiderado a codição de cisalhameto simples e regime permaete, ou seja, as propriedades reológicas idepedem do tempo de aplicação da

27 6 tesão de cisalhameto, podedo ser divididos em fluidos sem tesão iicial de escoameto e com tesão iicial de escoameto. O modelo mais simples que se tem é o do fluido Newtoiao em que a tesão de cisalhameto é diretamete proporcioal à taxa de deformação. A costate de proporcioalidade é a viscosidade do fluido, etão: u τ = µ y (.) Sedo: τ : tesão de cisalhameto ( Pa ) µ : viscosidade diâmica ou absoluta ( Pa. s ) u y : gradiete de velocidade ( s ) A cocetração de sedimetos determia se um fluido é Newtoiao ou ão, portato, um fluido com uma pequea cocetração de sedimetos permaece com propriedades ewtoiaas, podedo apresetar, variação a sua viscosidade se a cocetração de sedimetos aumetar. Quato aos fluidos ão ewtoiaos, diversos modelos foram desevolvidos. Numerosas equações empíricas têm sido propostas para elaborarem o modelo matemático das relações observadas etre a tesão de cisalhameto e a taxa de deformação. Para muitas aplicações práticas de egeharia, as relações etre a tesão de cisalhameto e a taxa de deformação podem ser adequadamete represetadas pelo modelo expoecial, cohecido como lei das potêcias, determiado por (Ostwald, 95), a qual, tesão de cisalhameto é dada por: u τ = µ y (.)

28 7 Sedo que represeta o ídice de escoameto do fluido, para < tem-se um fluido pseudoplástico e para > tem-se um fluido dilatate. Os fluidos pseudoplásticos são substâcias que, em repouso, apresetam suas moléculas em um estado desordeado, e quado submetidas a uma tesão de cisalhameto, suas moléculas tedem a se orietar a direção da força aplicada. E quato maior esta força, maior será a ordeação e, coseqüetemete, meor será a viscosidade. O dilatates são fluidos que apresetam um aumeto de viscosidade com a tesão de cisalhameto. No caso de suspesões, a medida que se aumeta a tesão de cisalhameto, o líquido itersticial que lubrifica a fricção etre as partículas, ão preeche os espaços, devido a um aumeto de volume que acompaha o feômeo. Ocorre etão, o cotato direto etre as partículas sólidas e, coseqüetemete, um aumeto da viscosidade. Existem fluidos que se comportam como um sólido até que uma tesão de cisalhameto míima seja excedida, ou seja, têm tedêcias a suportar pequeas tesões de cisalhameto aplicadas, sem apresetar deformação. Esta tesão, a qual o fluido pode resistir sem se deformar, é chamada tesão crítica de cisalhameto ou tesão iicial de escoameto, ou de corte. Um fluido que apreseta tais características é o fluido plástico de Bigham, ou simplesmete fluido de Bigham, a qual a relação tesão de cisalhameto e taxa de deformação é liear, e o modelo apropriado é dado por (Bigham e Gree, (90), é represetado da seguite forma: u τ = τ c + µ B, τ > τc y u = 0, τ < τc y (.3) Sedo: τ c : tesão crítica ou rigidez iicial µ B : viscosidade plástica Uma proposta reológica cosiderada mais geeralizada é determiada por (Herschel e Bulkley, 96). Esse tipo de fluido também ecessita de uma tesão iicial para começar a

29 8 escoar. Etretato, a relação etre a tesão de cisalhameto e a taxa de deformação ão é liear. Esta relação depede do expoete adimesioal, característico para cada fluido, dada por: u τ = τ c + µ, τ > τc y u = 0, τ < τc y (.4) A modelagem de um escoameto ecessita da escolha de um modelo reológico apropriado ao tipo fluido que será estudado. A Figura. mostra as curvas típicas da tesão de cisalhameto em fução da taxa de deformação para os diferetes tipos de modelos reológicos apotados este trabalho. Figura.: Reograma represetado diferetes tipos de modelos reológicos. Deve-se aalisar os modelos reológicos com bastate cautela, observado as hipóteses restritivas a aplicação de problemas. No que diz respeito às misturas (água+argila, água+areia fia+argila), foram feitas ivestigações de reometria, o que permitiu, a partir dos estudos de Coussot (994), Piau (996), Huag e Garcia (998), Lledo (003), comprovar que a reologia desses fluidos (sem sedimetação), pode ser descrita pelo modelo reológico ão-

30 9 liear tipo Herschel-Bulkley, com codições de cisalhameto simples e em regime permaete. Com o propósito de se fazer uma aálise global do feômeo Roll Waves, este trabalho será utilizado o modelo reológico de Herschel-Bulkley, por ser um modelo represetativo e mais geeralizado de fluido hipercocetrado, permitido tomar como particularidades outras propostas reológicas, tais como, a lei das potêcias (Power Law), os modelos Bighamiao e Newtoiao..3 Aálise Física do Problema Muitos problemas aplicados ormalmete podem ser resolvidos a partir da costrução de um modelo matemático que descreve o feômeo físico. Esta seção apreseta uma visão geral dos pricipais aspectos físicos pertietes ao problema a ser modelado. Sabedo-se que a formação de Roll Waves geralmete ocorre em escoametos de águas rasas e em caais icliados; além do tipo de fluido, deve-se levar em cosideração a geometria do caal e as forças que regem o escoameto. A Figura (.3) mostra a geometria do problema em questão: Figura.3: Geometria do problema.

31 30 Em escoametos de águas rasas (quase horizotal), o comprimeto característico (L) deve ser maior do que a profudidade do escoameto (h). Coforme Ribeiro et al.(00), para que um escoameto seja cosiderado quase horizotal, a seguite relação deve ser satisfeita: h L < 0 (.5) Esta hipótese mostra que somete odas logas, isto é, odas ode o comprimeto é maior que a altura, são levadas em cosideração. Nesta situação, uma característica iteressate que merece ser ressaltada, o que diz respeito ao balaço de forças a direção perpedicular ao escoameto, é que as acelerações e tesões verticais podem ser desprezadas, resultado um campo de pressão hidrostático. O escoameto se dá primordialmete pela ação direta da gravidade através da compoete do peso do fluido a direção do declive, ou seja, esse tipo de caal o fluido está literalmete, descedo uma ladeira, caracterizado-se por um úico setido de movimeto. Outro poto importate refere-se à possibilidade dos escoametos se processarem em regime permaete. De fato, admitido que o declive do fudo ão mude, a compoete do peso acima referida só variará se houver alteração da quatidade de fluido a ser trasportado. Portato, as propriedades físicas do escoameto se matém costate o tempo, ou seja, temse um escoameto em regime permaete. Sabedo que a largura do caal é muito maior do que a altura da colua do fluido pode-se simplificar o cálculo das forças de resistêcia, desprezado a cotribuição de paredes laterais, cosiderado apeas a tesão do fluido com o fudo do caal. Nesses escoametos as forças proveietes de gradietes de pressão a direção do fluxo, que esse caso surgem quado a superfície do fluido se iclia em relação ao fudo do caal, tem uma participação muito pequea quado comparadas à força gravitacioal. Esta característica dá origem a um tipo de escoameto o qual a compoete peso é cotrabalaçada pela força de resistêcia que o fudo do caal exerce sobre o fluido a seção cosiderada..4 Escoameto Supercrítico, Crítico e Subcrítico Em estudos de caais, pode-se classificar os escoametos em supercrítico, crítico ou subcrítico. Um adimesioal muito utilizado é o úmero de Froude, defiido como a raiz

32 3 quadrada da relação etre a força de iércia e a força de gravidade, ou a razão etre a velocidade média do escoameto e a velocidade de pequeas istabilidades, que aparecem o escoameto, é expresso por: ρul u Fr = = (.6) 3 ρlg gl c em que u é a velocidade média do escoameto, g é a aceleração da gravidade e L c é uma dimesão característica do escoameto. Nos caais, é comum defiir como dimesão característica a profudidade do escoameto, e o úmero de Froude é apresetado como: u Fr = (.7) gh Esse adimesioal é utilizado para classificar os escoametos livres que ocorrem as aplicações práticas, como se segue: - Escoameto supercrítico ou torrecial, ( Fr > ). - Escoameto subcrítico ou fluvial, ( Fr < ). - Escoameto crítico ( Fr = ). Ode o escoameto supercrítico é chamado de escoameto rápido, equato que o subcrítico é chamado de escoameto leto. Sitetizado-tem-se: a) Se h> hc u < uc (escoameto subcrítico) b) Se h< hc u > uc c) Se h= hc u = uc Sedo que: h c é a altura crítica e uc é a velocidade crítica. Neste capítulo, foram apresetados coceitos que serão utilizados o decorrer do trabalho.

33 3 CAPÍTULO 3 3. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA A modelagem matemática dos mais variados problemas em física e em egeharia é uma atividade que tem auxiliado de maeira decisiva para a compreesão dos feômeos aturais, permitido a represetação dos coceitos e processos evolvidos, propiciado o etedimeto de aspectos de problemas que ão se revelam facilmete. Por tato, esta seção visa apresetar as equações que serão utilizadas o desevolvimeto de um modelo matemático que represete o feômeo em questão. O escoameto de um fluido hipercocetrado pode ser descrito a partir de três variáveis. Etretato, são ecessárias três equações para descrever o escoameto: a lei da coservação da massa, a equação da quatidade de movimeto e da eergia. Neste caso, o biômio massa-quatidade de movimeto respode à ecessidade. Essas equações a derivadas parciais permitem determiar o campo de velocidade e de pressão, quado submetidas a codições de cotoro apropriadas, represetam matematicamete um problema particular. Coservação da Massa: Sabe-se que em um fluido real a massa deve ser coservada, e a equação da coservação da massa, em formulação diferecial, é dada por: Dρ Ui + ρ = 0 Dt X i (3.)

34 33 Sedo: Dρ : variação total da massa específica Dt U X i i : divergêcia da velocidade Equação da Quatidade de Movimeto: Se há variação da quatidade de movimeto, há forças, seja de superfície (tesões), de corpo (forças de iércia, gravidade e eletromagetismo) ou ambas. Etão, quado uma força é aplicada a uma partícula, uma aceleração proporcioal é iduzida. Para um fluido, o balaço etre a aceleração e as forças atuates, é dado por: DU Dt i = Fi + ρ Τ ij U j Xj (3.) Sedo: DU i dt : aceleração total F i : forças de corpo Τ ij X ij : gradiete do tesor de tesões 3. Tratameto Matemático das Equações Goverates Como em qualquer problema de mecâica, as equações goverates devem ser referidas a um sistema de coordeadas coveietemete escolhido em fução das características específicas de cada caso. Neste trabalho, será utilizado o sistema cartesiao, por represetar bem as características do problema a ser estudado.

35 34 Portato a determiação do modelo matemático que rege o escoameto segue a seguite liha:. Utilização das equações da coservação da massa e da quatidade de movimeto. - Equação da coservação da massa: u v w + + = 0 x y z (3.3) - Equações da quatidade de movimeto: Na direção x u u uv uw τ τ xx xy τ = + + t x y z ρ x y z xz (3.4 a) Na direção y: v uv v vw τ τ τ = + + t x y z ρ x y z xy yy yz (3.4 b) Na direção z: w uw vw w τ τ xz yz τ zz = + + g t x y z ρ x y z (3.4 c) Sedo que as tesões são dadas por: τ xx u = P+ Kx x (3.5 a)

36 35 τ yy v = P+ Ky y (3.5 b) τ zz w = P+ Kz z (3.5 c) u v τxy = τyx = τc + K + y x (3.5 d) v w τyz = τzy = τc + K + z y (3.5 e) w u τxz = τzx = τc + K + x z (3.5 f). Aplicação das codições de cotoro. 3. Utilização do modelo reológico de Herschel-Bulkley o tesor de tesões. τ τ K u z = c + (3.6) 4. Determiação do perfil de velocidades. 5. Adimesioalização das variáveis em escalas coveietes. 3. Tratameto das Codições de Cotoro Deve-se cosiderar as codições de impermeabilidade o fudo do caal e a superfície livre, além disso, cosidera-se as tesões o fudo do caal. F Ui = t (3.7) F

37 36 Sedo: F = F (vetor uitário ormal) (3.8) Codições de impermeabilidade o fudo: Cosiderado as coordeadas ( x, z) e h (,, ) defiir uma fução da seguite forma: i x z t a cota o fudo do caal, pode-se ( ) ( ) F x, z, t = z h x, z, t = 0 (3.9) i i (,, ) z = h x z t (3.0) h i F = x, (3.) h i F = + x (3.) Seja: h i, x Ui = ( u, w ) (3.3) h i + x Note que: F U i = (3.4) t F

38 37 F h (, ) i = uw, t x (3.5) hi hi = u w t x (3.6) h i t hi = u + w x (3.7) i ( ) = + uh ( ) wh i h t i h x i (3.8) Aalogamete, a superfície livre: h f ( f ) = + uh ( f ) wh t h f x (3.9) 3.3 Determiação da Pressão Hidrostática Deve-se partir de gradezas apropriadas para justificar as hipóteses adotadas, aplicado o modelo reológico de Herschel-Bulkley. Além disso, é importate justificar o fato da adoção de uma pressão hidrostática, codição a qual é obtida a partir da equação da quatidade de movimeto. Pode-se defiir as seguites gradezas adimesioais, ode os termos sobrescritos com () são adimesioais: escala de comprimeto: ( Ox, Oy, Oz) = ( L x, λ y, h z ) λ h uvw,, = gl u, gl v, gl w L L escala de velocidades: ( ) ( ) escala de tempo: t = L t g

39 38 A adimesioalização da tesão de cisalhameto e da pressão é feita a partir do peso da colua líquida. Pressão: ( ) P= ρ ghcos θ P Tesão de cisalhameto: τ = ρ ( θ) τ ghcos c Sedo: θ : declividade média Para a determiação da pressão hidrostática, serão itroduzidas as variáveis adimesioais a equação da quatidade de movimeto, a direção Oz. º) Itroduzido as variáveis adimesioais o primeiro membro da equação (3.4 c), tem-se: w uw vw w = t x y z h g w h u w λ h gl v w h L w = gl gl gl gl g L L = L L t L x λ y L h z hg w hg u w hg v w hg w = = L L L L t x y z hg w u w v w w = L t x y z (3.0) º) Será trabalhado o segudo membro da equação (3.4c), dado por: τ xz τ yz τ = g ρ x ρ y ρ z zz (3.)

40 39 Itroduzido os tesores em (3.), tem-se: w u v w = g+ τc+ K + + τc+ K + + ρ x x z ρ y z y (3.) w + ρ + K ρ z z Admitido que seguite forma: K e τ são idepedetes de x, y e z, a relação (3.) fica da K w u τ c K v w P K w = g ρ x x z ρ y ρ y z dy ρ z ρ z (3.3) Itroduzido as variáveis adimesioais em (3.3), tem-se: gl gl gl gl gl v h h w u h w u g L L L x h z L L x Lh x z λ gl gl λ gl h gl gl v h v h w v w L Lh z L λ y Lhλ y z Lλ y ( θ ) P w ρ ghcos h gl h gl + ρ h z L Lh z v (3.4) Cosiderado: h gl w gl u a = + L L x h z (3.5)

41 40 λ gl v h gl w b= + Lh L z λ y (3.6) A relação (3.4), fica: h h gl w gl u g+ aν gl + + L 3 Lh L x x z b ν + gl + g L Lh y z L λ y θ + z L ν z h gl v h gl w p hg w cos ( ) 3 h w hg u hg v hg h w g+ av g + + bv + L L L L x x z y z λ y v g P + hg w z L z (3.7) h Toma-se como hipótese que o escoameto é de águas rasas, etão: << e que L h <<. λ Estabelecedo a igualdade etre as relações (3.0) e (3.7); e dividido todos os termos da igualdade por g, tem-se a seguite equação: 0= cos ( θ ) P z (3.8) Retorado as seguites variáveis dimesioais: P = P ρ ghcos, ( θ ) z z = (3.9) h

42 4 Pode-se determiar uma equação para a pressão dada por: P P H = = ρ g cos ρ gh cosθ z z ( θ ) (3.30) Itegrado, a equação (3.30), tem-se: h f h f P= ρ g cos( θ ) z = ρ gcos( θ )( h f hi ) (3.3) h h i ( ) ρ cosθ( f i ) i P z = g h h (3.3) Sedo: h f : profudidade do escoameto h i : cota o fudo do caal Assim, pode-se cocluir que a distribuição de pressão é hidrostática. 3.4 Modelo Matemático O modelo matemático que represete esse feômeo é obtido através da itegração a vertical das equações de Navier-Stokes, icluido o modelo reológico de Herschel-Bulkley o tesor de tesões, utilizado a regra de Leibiz, dada por: β( x) β( x) x x x x α( x) α( x) β( x) α( x) Q( x, y) dy Q( x, y) dy Q( x, β( x) ) Q( x, α( x) = + ) (3.33) Itegrado as equações da coservação da massa e da quatidade de movimeto, aplicado as codições de cotoro (3.8), (3.9) e o coceito de pressão hidrostática, o sistema que rege o escoameto é demostrado o apêdice A.

43 4 Coservação da massa: uh h + = 0 x t (3.34) Coservação da quatidade de movimeto: f uh u h h + = g cos( θ) + ghse( θ) + Txz dz (3.35) t t x ρ z h h i Sabedo que h= h f hi, sedo h i = 0 (fudo do caal), tem se: uh u h h + = g cos( θ) + ghse( θ) + Txz ( h f ) Txz ( hi ) (3.36) t t x ρ Cosiderado que a tesão cisalhate é ula a superfície livre ( T xz = 0 ), a equação (3.36) fica da seguite forma: uh u h h + = g cos( θ) + ghse( θ) + Txz ( hi ) (3.37) t t x ρ Sabedo que Txz ( h ) represeta as tesões (efeito de atrito de parede o fudo do caal). Esse termo é composto pela tesão de cisalhameto à qual é adicioada a proposta reológica de Herschel-Bulkley. uh u h h + = g cos( θ) + ghse( θ) + τ p t t x ρ (3.38) Sedo: h : profudidade do escoameto;

44 43 u : velocidade média a vertical; θ : declividade do caal; ρ : massa específica do fluido; τ p : tesão cisalhameto. A partir daí, é ecessário calcular o perfil de velocidades com base o modelo reológico de Herschel-Bulkley. 3.5 Perfil de Velocidades Os fluidos hipercocetrados podem apresetar uma resistêcia à deformação, ou seja, resiste a pequeas tesões (tesão crítica) ates de escoar. Sedo assim, apreseta um perfil de velocidades parabólico a região em que ocorre a tesão de cisalhameto (próximo ao fudo do caal) e um perfil de velocidade liear a região ão cisalhada (Plug), o que geralmete ocorre em escoametos de lamas e detritos, cocreto fresco e géis. Nesse item será determiado o perfil de velocidade de um escoameto hipercocetrado, a partir da proposta reológica de Herschel-Bulkley, tomado-se como hipóteses, que o escoameto seja permaete, uiforme e lamiar, de um fluido icompressível escoado em um caal icliado. Cosiderado que o atrito o fudo do caal é dado por: ( ) τ = ρ gseθ h z (3.39) E baseado a proposta reológica de Herschel-Bulkley, tem-se: du ρ gse( θ)( h z) = τc + K dz (3.40) du ρ g θ h z τc = dz K se ( )( ) (3.4) Resolvedo a equação diferecial (3.4), após algus desevolvimetos matemáticos (Apêdice B), pode-se obter o perfil de velocidade u(z) para o fluido em questão.

45 44 Região cisalhada: ( ) u z + ρ g se ( θ) z 0 z = K z para 0 z z0 (3.4) Região ão cisalhada (plug): ( ) ρgse θ + u( z) = u( z ) = z para z0 z h (3.43) K z 0 = τc h ρ gse (3.44) ( θ ) Sedo o ídice de escoameto do fluido e K o ídice de cosistêcia do fluido A Figura (3.) ilustra o perfil de velocidade para o fluido de Herschel-Bulkley, a qual o perfil de velocidade é parabólico a região cisalhada e costate a região ão cisalhada (plug). Figura 3. Represetação do perfil de velocidade para um fluido de Herschel-Bulkley. Com o objetivo de verificar umericamete o perfil de velocidade determiado, são cosiderados os seguites grupos adimesioais:

46 45 Z z =, U z 0 ( ) ( ) u z = (3.45) u z 0 Substituido as variáveis adimesioais dadas pelas relações (3.45), a equação (3.43), tem-se a seguite equação para o perfil de velocidade a região cisalhada: ( ) ( ) U Z = Z +, para Z (3.46) Substituido as relações (3.45) a equação (3.43), tem-se o perfil de velocidade a região ão cisalhada (superfície livre) do escoameto, dada por: G U ( Z ) =, para Z G (3.47) Sedo: ghse G = ρ θ (3.48) τ c Assim, pode-se aalisar a distribuição do perfil de velocidades a Figura (3.), através de resolução umérica, para diferetes valores de (ídice de escoameto do fluido). Figura 3.: Perfil de velocidades para um fluido tipo Herschel-Bulkley

47 46 Pode-se observar que a região cisalhada (próxima ao fudo do caal), o perfil de velocidade é parabólico e a zoa de plug, ou seja, a região ão cisalhada, o perfil de velocidade é costate, coforme mostrado por (Huag e Garcia, 998) Velocidade Média em Relação à Profudidade do Escoameto. Esse item tem como objetivo determiar a velocidade média em relação à profudidade do escoameto, ou seja, o itervalo 0 z h, para adequar ao modelo matemático. Sabedo que: u = udz, etão o itervalo 0 z h, tem-se que: h 0 h z0 h (3.49) 0 z 0 u = udz+ udz h Após algus desevolvimetos matemáticos (apêdice C), determia-se a velocidade média do escoameto: u ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ρ g se θ h ρ g se θ τc h ρ g se θ τc = + K ρ gse θ + hρgse θ (3.50) 3.6 Determiação da Tesão de Cisalhameto (Lei de Atrito) Note que, para determiar a tesão de cisalhameto, é ecessário calcular a derivada da velocidade em relação à z, como a velocidade a zoa de plug é costate, basta calcular a região cisalhada. ( θ) + du + z ρ gse z 0 = dz z z + K 0 0 (3.5)

48 47 ( θ) + du z ρ g se z 0 = dz z0 z0 K (3.5) Note que, para z = z0, a taxa de deformação do fluido é ula, o que geralmete ocorre a superfície livre (região ão cisalhada) de escoametos de lamas e detritos, cocreto fresco e géis, que são fluidos que só se deformam com aplicação de uma tesão míima de cisalhameto, sedo assim, tem-se: du dz = 0 (3.53) maeira: Para z = 0 (fudo do caal), a taxa de deformação do fluido é determiada da seguite ( θ) du + ρ g se z 0 = dz z 0 K (3.54) Para determiar a derivada da velocidade em fução de u (velocidade média), basta fazer a seguite poderação: du ur dz = (3.55) ( ) se ( ) ρ g se θ z ρ g θ z z = r z 0 K + K + h (3.56) r = ( + ) ( + ) h ( ( + ) ) 0 0 h z z (3.57) Portato a tesão de cisalhameto pode ser expressa da seguite forma:

49 48 τ p = τc + K ( + )( + ) u h ( ( + ) ) 0 0 h z z (3.58) c Sabedo que z0 = h τ ρ g seθ, tem-se: τ p = τc + K ( ρ θ) ( + )( + ) ( ) ( ) u gse h c ( c) hρ gseθ τ + hρ gseθ + τ (3.59) Deve-se ressaltar que a tesão de cisalhameto ecotrada este trabalho é a mesma ecotrada por (Huag e Garcia, 998) ao estudarem escoametos de lama, aplicado o modelo reológico de Herschel-Bulkley. Coforme demostrado, se tratado de fluidos ão ewtoiaos, aplicado a proposta reológica de Herschel-Bulkley, o sistema de equações para escoametos de águas rasas (shallow water equatios) é determiado e represetado pelas equações da coservação da massa e da quatidade de movimeto. Equação da coservação da massa: uh h + = 0 x t (3.60) Equação da quatidade de movimeto: uh αu h h τ cos c + + g θ = ghseθ t x x ρ K u ( ρ gseθ) ( + )( + ) h ρ ( hρ gseθ τc) ( + ) ρ gseθ + τ ( c) (3.6) Sedo:

50 49 h : profudidade do escoameto u : velocidade média a vertical θ : declividade do caal ρ : massa específica do fluido µ : viscosidade do fluido τ c : tesão crítica (rigidez iicial) α = u u (coeficiete de distribuição de velocidade) Cosiderado a tesão crítica ula ( τ = 0) c, ou seja, para uma proposta reológica de fluido com comportameto pseudoplástico (Power Law), o sistema de equações cocebido este trabalho, reproduz o sistema produzido por Ng e Mei (994). 3.7 Coeficiete de Distribuição de Velocidade É possível determiar a expressão aalítica que represeta o coeficiete de distribuição de velocidade a vertical, para um escoameto lamiar, permaete e uiforme de um fluido do tipo Herschel-Bulkley sobre um plao ifiito. A relação que permite efetuar esse cálculo é dada por: u u = udz h (3.6) ( u ) 0 h Após algus desevolvimetos matemáticos, coforme mostra o apêdice D, tem-se a seguite expressão para o coeficiete de distribuição de velocidade: ( + ) hρ gseθ + τ ( + ) c α = 3 + τ ( ) hρ gseθ ( c ) τc + h ρ g seθ (3.63)

51 50 Note que, se a tesão crítica for ula ( τ = 0 ), tem-se um fluido com comportameto reológico do tipo Power Law, e o coeficiete de distribuição de velocidade é o mesmo determiado por (Ng e Mei, 994), coforme mostra a expressão a seguir: c ( + ) ( 3 + ) α = (3.64) Se a tesão crítica for ula ( = 0) τ e o ídice de comportameto do fluido for igual a c ( = ), tem-se um fluido ewtoiao e o coeficiete de distribuição de velocidade cofere com a literatura. 6 α = (3.65) 5 Para tesão crítica ão ula e ídice de comportameto do fluido igual a ( =), temse o fluido de Bigham e o coeficiete de distribuição de velocidade cofere com a literatura, coforme mostrado por (Maciel, 00). τ 8 7 c h + 3 ρgseθ α = 5 τ 4h 4 c τ + + c ρgseθ h( ρgseθ) (3.66) Sedo: τc : profudidade do fluido a região ão cisalhada (plug) ρ gseθ Note que, para um perfil de velocidades uiforme, ou seja, quado: c h = τ ρ gseθ, o coeficiete de distribuição de velocidades é igual a ( α = ), coforme mostrado por (Maciel, 00)

52 5 3.8 Adimesioalização das Variáveis O objetivo desse item é determiar os parâmetros que evideciam o desevolvimeto de istabilidades, por isso tora-se ecessário fazer uma adimesioalização das variáveis em escalas coveietes, as equações (3.60 e 3.6). A adimesioalização permite ecotrar termos represetativos para o problema estudado e viabiliza a iterpretação. As escalas adotadas para a adimesioalização das variáveis são dadas por: - escala de comprimeto: x = l0 x e ( hz, ) = h0 ( h, z ) - escala de velocidades: u = u u 0 - escala de tempo: l t = u 0 0 t - úmero de Froude: Fr = u 0 ( gh ) 0 Sedo: l 0 0 u = (comprimeto de oda) g seθ u 0 0 se c 0 + ρ gseθ h ρ g θ τ h ρ gseθ τc = (velocidade) + K ρ gseθ + h0 ρ gseθ O sub-ídice ( 0 ) idica codições de escoametos em regime uiforme e o asterisco () as variáveis adimesioais. Cosiderado que o escoameto seja uiforme e itroduzido as variáveis adimesioais a equação da coservação da massa, tem-se a seguite equação:

53 5 h u0 h u h 0 u 0h0 l 0 t l0 x + = 0 (3.67) h t u h + = 0 x (3.68) As variáveis adimesioais são itroduzidas a equação da quatidade de movimeto, coforme segue. o ) Itroduzido as variáveis adimesioais o primeiro membro da equação (3.6), tem-se: u 0 uh α u h cosθ h l 0 t l0 x l0 x u h u h gh (3.69) Dividido os termos de (3.69) por gh0 cosθ u 0 e cosiderado β =, tem-se os u seguites termos para o primeiro membro da equação de quatidade de movimeto: 0 uh αu h β h + + t x x (3.70) Iserido a variáveis adimesioais o o seguite resultado: membro da equação (3.6) tem-se o ( ρ θ) ( ) τc K uu0 gse + (+ ) h0h ] 0 seθ gh h ( h0h g se c) ( ( + ) h0h gse + c) ρ ρ ρ θ τ ρ θ τ (3.7) Dividido o resultado obtido em (3.7) pelo termo ( gh0 seθ ) e iserido a velocidade u 0 (em codição de regime uiforme), tem-se:

54 53 + τ ( ) c K u ρgseθ ρgseθ h0 ρgseθ τc ρ g h0 seθ ρ g h0 seθ K 0 ρgseθ h ( h h ρ gseθ τc ) ( )( ) ( ) h 0 ρg seθ τc + + h h 0 h + + 0ρg seθ h h0 ρg seθ τ + + c (3.7) Note que, através de procedimetos matemáticos, o ídice de cosistêcia do fluido ( K ) é elimiado, e a equação (3.7), tora-se: h ( u ) ( gse ) ρ θ + τ ( ) c h0 ρ g seθ τ c ρgh0seθ h0 se ( hh 0 ρgseθ τ ρg θ c ) ( + ) h0 ρgseθ h0 ρgseθ + τc ( + ) h0h ( ) h0 ρgseθ ( ) h0 h ρgseθ τ c (3.73) Rearrajado os termos da equação (3.73), tem-se: h ( u ) τ + ( h ρgse θ τc) ρgh θ se ( hh 0 ρgseθ τ h ρg θ c ) c 0 0se 0 h ( ( + ) h0 ρ gseθ + τc ) ( + ) h0 h ρ gseθ + τ c (3.74) Fazedo os cálculos ecessários para simplificar a equação (3.74), tem-se a seguite a equação:

55 54 h τc τc ρgh0seθ h0 ρgseθ ( 0 ρ seθ τc ) (( + ) 0 ρ seθ + τc ) se ( + ) se + u h g h g h h0h ρg θ τc h0h ρg θ τc (3.75) Portato, através das equações (3.70) e (3.7), tem-se a equação da quatidade de movimeto em variáveis adimesioais: uh αu h β h τc τc h t x x h0ρ gseθ h0ρgseθ + + = ( 0 ρ seθ τc ) (( + ) 0 ρ seθ + τc ) se ( + ) se + u h g h g h h0h ρg θ τc h0h ρg θ τc (3.76) Aplicado a regra da cadeia o primeiro membro da equação (3.76), tem-se: ( hu) h h h u u h αu + αu u h αh u β h = t x t t t x x τc τc = h h0 ρgseθ h0 ρgseθ ( 0 ρ seθ τc ) (( + ) 0 ρ seθ + τc ) se ( + ) se + u h g h g h h0h ρg θ τc h0h ρg θ τc (3.77) Usado a equação da coservação da massa, a equação da quatidade de movimeto em (3.77), tora-se:

56 55 u u u h h τc τc αu ( α ) β h t x h t x h0 ρ gseθ h0 ρgseθ + + = ( + ρ seθ + τ ) u ( h0 ρgseθ τc ) ( ) h0 g c h h0h ρgseθ τc ( + ) h0h ρgseθ + τc (3.78) Omitido os asteriscos () e as barras ( ) após a adimesioalização, coforme demostrado, tem-se o sistema de equações para o escoameto de fluido hipercocetrado, em caal icliado, a partir da proposta reológica de Herschel-Bulkley em variáveis adimesioais. Esse sistema é dado pela equação da coservação da massa e da quatidade de movimeto. Equação da coservação da massa: ( hu) h + = 0 t x (3.79) Equação da quatidade de movimeto: u u u h h + αu ( α ) + β = t x h t x Sedo: ( ) (( + ) + ) u C C h = C ( C ) h C ( + ) h+ C (3.80) C = τc h ρg seθ (3.8) 0 ( α ), tem-se: Itroduzido as variáveis adimesioais o coeficiete de distribuição de velocidade

57 56 α = ( ) ( 3 ) ( + ) h h ρ gseθ + τ ( + ) c + τ ( ) h h 0 ρ g seθ ( c ) τc + hh0 ρ gseθ (3.8) Assim, este capítulo foi estabelecido o sistema de equações que rege o escoameto lamiar de um fluido hipercocetrado, escoado em um caal icliado, em variáveis adimesioais, a partir de uma proposta reológica mais geeralizada, coforme mostra as equações (3.79) e (3.80). A partir do modelo matemático cocebido em variáveis adimesioais, tem-se o objetivo de determiar codições para a formação de istabilidades. Essas codições podem ser estabelecidas, a partir de uma aálise de estabilidade liear.

58 57 CAPÍTULO 4 4. ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR A teoria da estabilidade liear é uma ferrameta que tem permitido obter iformações importates, tais como a taxa de crescimeto das istabilidades e a velocidade de propagação, em fução do úmero de odas. Esse capítulo tem como objetivo colocar em evidêcia as codições ecessárias para que ocorra a formação de istabilidades o escoameto lamiar e uiforme de um fluido hipercocetrado, em um caal icliado. Para estabelecer a aálise de estabilidade liear, uma perturbação ifiitesimal será adicioada às equações (3.79) e (3.80). Sedo: ( ) h= + H x, t (4.) ( ) u = + V x, t (4.) Cosiderado H, V <<, as equações (3.79) e (3.80) serão liearizadas para a obteção de uma equação em H. 4. Liearização do Sistema de Equações Substituido as relações (4.) e (4.) o modelo matemático determiado em variáveis adimesioais, dado pelas equações (3.79) e (3.80), tem-se um ovo sistema de equações em fução das variáveis V e H.

59 58 Equação da Coservação da Massa: ( ) ( ) ( ) + H + V + H + ( + H) + ( + V) = 0 t x x (4.3) V H H = x x t (4.4) Equação da Quatidade de Movimeto: V H V H H = t t x x x ( H) ( V) α( H)( V) α( V) β( H) ( H) C ( C ) (( + ) + C )( + H) ( ) u( C ) (4.5) + H C + ( + H) + C = + O coceito de oda evolve as oções de espaço e tempo e deve satisfazer uma equação, a equação de oda, a qual o atributo essecial é exibir o movimeto de propagação. Para a determiação dessa equação, segue-se os seguites passos: º) Deriva-se a equação (4.4), em relação a x, obtedo a seguite relação: V x H = x t H x (4.6) º) Deriva-se a equação (4.4), em relação a t e obtém-se a seguite igualdade: V x t H = t H x t (4.7) 3º) Deriva-se a equação (4.5) em relação a x e obtém-se a seguite relação:

60 59 V H V H H + + α + α + β = xt xt x x x ( )( ) ( V)( C ) ( ) C H H = ( C ) x H C (( + )( + H) + C ) V x x ( )( ) H ( V)( H C ) ( V)( C ) ( + + C )( + H) ( + )( + H) + C + ( + H C ) ( ) + V C H + ( + + C )(( + )( + H ) + C ) + H C x H ( + + C )(( + )( + H ) + C ) x ( + )( + H) + C (4.8) 4º) Substituido as equações (4.4), (4.6) e (4.7) em (4.8), tem-se uma equação diferecial parcial de seguda ordem, dada por: H H H H H + ( α β) + α + ( + ) + = 0 t x xt x t (4.9) Cosidera-se como solução da equação (4.9), a seguite relação: H ˆ ikx ( ω = He t ) (4.0) Sedo:

61 60 k : úmero de odas; ω = ω + iω (freqüêcia) r i Substituido a relação (4.0) a equação (4.9), pode-se determiar a equação da dispersão, a qual relacioa o úmero de odas com a taxa de crescimeto e a velocidade de propagação dessas odas. Essa equação é dada por: ( ) ( ) ( ) ω αk i ω+ α β k + ki = 0 (4.) Resolvedo a equação (4.), tem-se: ω = αk i± a+ bi (4.) Sedo: ( α β) a = 4 a+ k (4.3) ( α ) b= 4 + ki (4.4) Por defiição uma oda ao se propagar percorrerá a distâcia de um comprimeto de π π oda ( λ ) em um período T. Lembrado que ω = é a freqüêcia, e k = é o úmero de T λ odas, a velocidade de propagação da oda ou velocidade de fase é dada por: U λ ω = U = (4.5) T k Portato, separado a parte real da parte imagiária em (4.), pode-se determiar aaliticamete as expressões que defiem a taxa de crescimeto das perturbações e a velocidade de propagação, em fução do úmero de odas, tais relações são dadas por:

62 6 I a b a ( ω) = ± ( + ) ( ω) αk ( a b a) R = ± + + (4.6) (4.7) Sedo: I ( ω ): taxa média de crescimeto das istabilidades; R( ω) : velocidade de fase ou velocidade de propagação da oda. k 4. Codições para Formação de Istabilidades I ω <, ( ) Sabedo que 0<, 0< α., tem-se b > 0, para k 0. Para ( ) 0 I ω tede a se estabilizar. Para determiar uma codição de formação de istabilidade para o escoameto uiforme, deve-se cosiderar que I ( ω ) > 0. Cotudo, I ( ω ) > 0, se e somete se: ( ) < a + b a (4.8) Substituido as relações (4.3) e (4.4) a equação (4.8), tem-se a seguite relação: ( + α ) α α + β < (4.9) Substituido a relação (4.) a equação (3.8), tem-se o seguite resultado para o coeficiete de distribuição de velocidade (α ):

63 6 α = ( ) ( ) ( + ) + C ( + ) ( + ) + C ( + ) + C + (4.0) Substituido a equação (4.0) a relação (4.9), tem-se que o escoameto tora-se istável se: ( ) ( 4 3) C β < ( ) + = β ( + ) + ( + ) C + C (4.) Para um fluido com comportameto reológico do tipo Power Law C = 0, tem-se o seguite critério de istabilidade: + β < = β (4.) Essa relação de istabilidade está em cosoâcia com a literatura, coforme mostrado por (Ng e Mei, 994). Para um fluido Bighamiao, a relação de istabilidade é dada por: 8+ 7C β < 3 3 β = ( C + ) (4.3) Para a reologia Newtoiaa, tem-se: β < = β (4.4) 3 Coforme mostrado por (Prokopiou et al., 99) quado fez aálise uma aálise de estabilidade liear para escoameto de fluido Newtoiao ( = ), cosiderado que o perfil de velocidade do escoameto era parabólico.

64 Taxa de Crescimeto das Istabilidades O objetivo desse item é mostrar umericamete a taxa de crescimeto das istabilidades em fução do úmero de odas para escoametos de fluidos hipercocetrados (Herschel-Bulkey, Bigham e Power Law) e também Newtoiao. - Taxa de crescimeto da perturbação para fluido de Herschell-Bulkley + ( ) A Figura (4.) mostra umericamete a taxa de crescimeto das perturbações I ( ω) em fução do úmero de odas ( k ), para vários valores β. Fixado o valor do parâmetro C = 0., pode-se verificar a ifluêcia o ídice de escoameto do fluido ( ). (a) (b) (c) (d) Figura 4.: Taxa de crescimeto das perturbações para um fluido do tipo Herschel-Bulkley.

65 64 - Taxa de crescimeto das perturbações para o modelo reológico do tipo Power Law. + ( ) A Figura (4.) mostra umericamete a taxa de crescimeto das perturbações I ( ω) em fução do úmero de odas ( k ), para vários valores β. Verifica-se a ifluêcia o ídice de escoameto do fluido ( ). (a) (b) (c) (d) Figura 4.:Taxa de crescimeto das perturbações para um fluido do tipo Power Law - Taxa de crescimeto das perturbações para fluido Bighamiao e Newtoiao. As Figuras 4.3a e 4.3b mostram a taxa de crescimeto das perturbações para escoametos de fluido Bighamiao e fluido Newtoiao, respectivamete.

66 65 (a) (b) Figura 4.3:Taxa de crescimeto das perturbações para um fluido Bighamiao e Newtoiao. Cometários: Através das Figuras (4.), (4.) e (4.3) observa-se que as curvas eutras da estabilidade ocorrem quado k = 0 e β = β e que para todos os valores de k o poto iicial da istabilidade depede e do que zero. valor de β. C. Se β >, todas as perturbações com k 0 são meores β É importate ressaltar que para 0 <, quato maior for o valor de, meor será o Comparado as Figuras (4.) e (4.), observa-se que para um fluido de Herschel- Bulkley, com C = 0. e = 0. 4, o valor de β e o comportameto da fução são semelhates ao que foi ecotrado por (Ng e Mei 994), quado utilizou o modelo reológico do tipo Power Law. Observado as Figuras (4.3a) e (4.3b), ota-se a semelhaça o critério de estabilidade etre um fluido de Bigham e um fluido Newtoiao, o qual β = 3, coforme mostra a literatura. A aálise de estabilidade liear do escoameto uiforme mostra que a taxa de crescimeto das istabilidades aumeta com o úmero fixo de odas, e coseqüetemete é isuficiete para sugerir um comprimeto de oda para a Roll Wave, dessa forma, coclui-se ão existir uma seleção do comprimeto de odas.

67 Velocidade de Propagação das Istabilidades Através da equação (4.7) pode-se determiar a velocidade de propagação das perturbações, para vários valores de β, cosiderado o modelo de Herschel-Bulkley. De acordo com os valores utilizados para os parâmetros ( e C ), determia-se também a velocidade de propagação em outros modelos reológicos (Power Law, Bighamiao e Newtoiao). - Velocidade de propagação das perturbações para um fluido do tipo Herschel-Bulkley A Figura 4.4, mostra a velocidade de propagação em fução de k (º de odas), para diferetes valores de β. Fixado o valor do parâmetro ( C ), verifica-se a ifluêcia do ídice de escoameto do fluido ( ). (a) (b) (c) (d)

68 67 Figura 4.4 Velocidade de propagação das perturbações para fluido de Herschel-Bulkley - Velocidade de propagação das perturbações para um fluido do tipo Power law. A Figura (4.5) mostra umericamete a velocidade de propagação em fução do úmero de odas ( k ), para vários valores β. Verifica-se a ifluêcia o ídice de escoameto do fluido ( ). (a) (b) (c) (d) Figura 4.5: Velocidade de propagação das perturbações para um fluido do tipo Power Law.

69 68 - Velocidade de propagação dos distúrbios para fluido Bighamiao e Newtoiao. As Figuras 4.6a e 4.6b mostra a taxa de crescimeto das perturbações para escoametos de fluido Bighamiao e fluido Newtoiao, respectivamete. (a) (b) Figura 4.6: Velocidade de propagação das perturbações para fluido Bighamiao e Newtoiao. Cometários: Comparado os resultados através das Figuras (4.4), (4.5) e (4.6), pode-se observar que para os diferetes tipos de modelos reológicos, ao aumetar o valor de β, ou seja, dimiuído o úmero de Froude ( Fr ), ocorre um aumeto sigificativo a velocidade de propagação das istabilidades. Nota-se, que esse resultado está em cocordâcia com a defiição do úmero de Froude. Observado a Figura (4.5) ota-se que o comportameto da fução que defie a velocidade de propagação das perturbações está em cosoâcia com os resultados ecotrados por (Ng e Mei, 994), quado utilizou o modelo reológico do tipo Power Law ( C = 0 ). Pode-se observar também que os resultados obtidos com aálise feita este capítulo estão em cocordâcia com os resultados apotados a literatura.

70 69 Neste capítulo, através de uma aálise de estabilidade liear, foram determiadas as codições para formação de istabilidades o escoameto estudado, tato para fluido hipercocetrado quato para fluido Newtoiao. No etato, a aálise feita, garate a formação de istabilidades a partir das codições verificadas e determia a velocidade de propagação das perturbações, mas ão é o suficiete para garatir o aparecimeto de Roll Waves. No capítulo 5, será determiada uma equação geral para geração de tais istabilidades, impodo uma teoria aalítica de Roll Wave permaete, a qual, serão utilizadas as codições de formação de istabilidades, obtidas esse capítulo, para verificar se ocorre a geração do feômeo estudado.

71 70 CAPÍTULO 5 5. EQUAÇÃO DAS ROLL WAVES Para a determiação de um modelo global de geração de Roll Waves, o sistema de equações para escoameto de águas rasas (shallow water equatios), em variáveis adimesioais, determiado o capítulo 3, pelas equações (3.79) e (3.80), deverá ser reescrito em um sistema móvel de coordeadas, a qual, o método utilizado descreve o movimeto de uma úica oda o sistema de coordeadas. Por hipótese, tem-se: x ' = ς UT, sedo que U represeta uma velocidade costate de propagação (celeridade). A partir dessa hipótese, pode-se estabelecer as seguites relações: u u x' u = = U t x' t x' (5.) u u x' u = = x x' ς x' (5.) h h x' h = = U t x' t x' (5.3) h h x' h = = x x' ς x' (5.4) Assim, a equação da coservação da massa, tora-se:

72 7 ( hu) h x' x' + = 0 x' t x' ς (5.5) Derivado o sistema móvel de coordeadas e aplicado a equação (5.5), tem-se a seguite equação para a coservação da massa: h x' ( U ) ( hu) + = 0 x' (5.6) + = x ' ( Uh hu) 0 (5.7) hu ( U) = c(costate) (5.8) Note que, em regime permaete, pode-se cosiderar que: ( hu, ) = (,) é solução da equação, portato a equação da coservação da massa fica da seguite forma: hu ( U) = U (5.9) A equação da quatidade de movimeto tora-se: u h u h h τ τ U + u + U + = ( ) c c α α β x' x' h x' x' hρgseθ h h0 ρgseθ ( 0 ρ gseθ τc ) ( ( + ) 0 ρ seθ + τc ) h ρ gseθ τ ( + ) h hρ gseθ + τ u h h g h 0 c 0 c (5.0) Substituido a equação da coservação da massa a equação de quatidade de movimeto e omitido o sobrescrito ( ') do sistema de equações, a variável u é elimiada, assim, tem-se a seguite equação:

73 7 ( α ) ( U ) α + h = τ τ c c U βh h h z h0 ρ gseθ h0 ρgseθ ( ( ) )( c ) ( ) ( ) + U h h0 ρgseθ τ + h0 ρgseθ + τc hh0 ρgseθ τc + h0hρgseθ + τ c (5.) Portato, rearrajado os termos da equação (5.), tem-se uma equação diferecial para a geração de Roll Waves, dada por: ( ( ))( ) U h C + ( + ) + C h C ( C) ( h C) ( + ) h+ C h = x α ( U ) ( α ) U + β h h (5.) Sedo: gh cosθ β = = (5.3) 0 u0 Fr C = τc h0 ρ gseθ (5.4) α = ( ) ( 3 ) ( + ) + ( + ) h C ( + ) + ( + ) + ( ) h C C h (5.5) O modelo matemático determiado para a geração de Roll Waves é uma equação diferecial ordiária de primeira ordem, ão liear, que apreseta sigularidades. Portato, tais odas serão tratadas como odas de choque, coforme os apotametos da literatura, Dressler (949), Ng e Nei (994), Noble (00), etre outros.

74 73 É importate ressaltar que o modelo proposto este trabalho verifica o resultado obtido por Ng e Mei (994), utilizado o modelo reológico do tipo Power Law ( C = 0 ). 5. Odas de Choque e Descotiuidades O termo oda de choque é reservado a literatura aos casos de descotiuidades evolutivas, podedo ser caracterizada por perturbações em propagação, ode as propriedades como a velocidade, variam de maeira abrupta e quase descotiua, apresetado um perfil de oda bem demarcado com um pico para baixo. Estas odas podem ocorrer tato em meios físicos, propagado de maeira mecâica, quato em campos elétricos e magéticos. Essas odas são bastate comus a atureza. Para ilustrar este fato, tem-se como exemplo, a figura. do capítulo. 5. Perfil de uma Roll Wave Matematicamete, a Roll Wave é defiida como oda ciemática, periódica e com velocidade costate, a qual a velocidade da oda deve ser maior do que a velocidade do fluido. No comprimeto de cada oda, existe uma trasição de escoameto supercrítico ( Fr > ) para escoameto subcrítico ( Fr < ). Dressler (949), mostrou que existe uma seção crítica, o sistema móvel de coordeadas, desde que: ( u U) = = (5.6) gh ( Fr) Sedo que: u é a velocidade do escoameto e U é a velocidade de propagação da oda. Devido a essa trasição de escoameto, a formação de Roll Waves cosiste de um perfil cotíuo etre choques sucessivos aumetado o setido do declive do caal, assim, através da equação (5.), procura-se solução do tipo: h F( h) = > 0 x G( h) (5.7)

75 74 A Figura (5.) mostra o perfil de uma Roll Wave e as regiões de trasições do escoameto Figura 5. Perfil de uma Roll Wave. Observado a Figura (5.), pode-se defiir λ como sedo o comprimeto da Roll Wave, h a altura ates do choque, h c a altura crítica do escoameto e h a altura depois do choque. A partir da equação (5.), tem-se: ( ( )) ( ) U h C + ( + ) + C h C ( C) ( h C ) ( + ) h+ C h F( h) = x ( α ) U α ( U) h + β h Gh ( ) (5.8) Em coseqüêcia, tem-se: Fh ( ) hx ( ) = dx (5.9) Gh ( ) A itegração umérica da equação (5.8) determia h( x ), mostrado o perfil das Roll Waves, além disso, pode-se defiir o comprimeto da oda, da seguite forma:

76 75 h h ( ) ( ) G h λ = dh (5.0) F h É ecessário verificar as codições de choque, para determiar os limites de itegração ( h e h ). 5.. Codições de Choque Esse item tem como objetivo determiar a profudidade do escoameto depois do choque; para isso é ecessário estabelecer algumas codições. Sabe-se que as equações para a oda de choque admitido um salto os parâmetros do escoameto foram estabelecidas em 870 por Rakie. Destas equações pode-se determiar as relações etre os parâmetros imediatamete ates e após o choque, as chamadas codições de Rakie-Hugoiot (SHAPIRO, 953). Essas codições são derivadas da equação da coservação da massa e da equação da quatidade de movimeto. Para o problema em questão, as codições são dadas por: [ ] [ ] U h = u h (5.) U[ u h] u h h = α + β (5.) Sedo que: [ h] h h = é o salto da propriedade. Usado a relação (5.9) e elimiado u da equação (5.), determia-se a relação etre as duas alturas h e h. α( U) hh U ( α ) β h h β hh = 0 (5.3) Resolvedo para h com β > 0, segue:

77 76 h U α h U h ( U ) = + ( α ) + ( α ) β h β β (5.4) Para β = 0 (parede vertical), tem-se: h = ( U ) ( α ) U α h (5.5) 5.3 Velocidade de Propagação da Roll Wave Ng e Mei (994), fazedo o estudo de Roll Waves, para a reologia do tipo Power Law, mostram que a seção crítica, o deomiador e o umerador da equação da Roll Wave são ulos. Dessa forma, cosiderado a equação (5.), pode-se determiar aaliticamete a velocidade de propagação da Roll Wave em um poto crítico, sedo que h c deve pertecer ao itervalo (, ) h h, ou seja, h < hc < h. Através das equações (5.8) e (5.9), tem-se o valor da costate c: c= U (5.6) Assim F( h c ) e ( c ) G h podem ser expressas da seguite maeira, respectivamete: c Uh C + ( + ) + C Fh ( c) = hc C ( C) 0 = ( + ) hc + C ( c )( ) ( hc C ) (5.7) αc Gh ( c) = ( α ) U + β h 0 c = h c (5.8) Cosiderado F( h c ) = 0, pode-se determiar a velocidade de propagação em fução de h c :

78 77 U + ( ) c hc C + h + C c = C ( + ) + C hc h c (5.9) Substituido a equação (5.9) em (5.8) e cosiderado que a velocidade de propagação da Roll Wave deve maior que zero ( U > 0 ) determia-se valor da costate c, da seguite forma: + hc C + hc + C ( ) ( ) c = ( α ) + C + + C ( + ) h c C ( + ) hc + C α( α ) + βh C ( + ) + C 3 c (5.30) Com a determiação das codições de choque e da velocidade de propagação em um poto critico o modelo matemático desevolvido este trabalho para geração de Roll Waves é, a seqüêcia, avaliado umericamete.

79 78 CAPÍTULO 6 6. RESULTADOS NUMÉRICOS Neste capítulo serão apresetados os resultados uméricos da equação (5.), através de uma rotia de cálculo desevolvida utilizado-se a liguagem de programação Pytho, mostrado o comportameto da fução h( x ), verificado a formação e a evolução das istabilidades estudadas. 6. A Liguagem de Programação Pytho O Pytho é uma liguagem de programação clara e expressiva, permitido uma maior cocetração do programador sobre o algoritmo e ão sobre o código. É diamicamete iterpretada e orietada a objetos. Sedo de alto ível, sua utilização ão é codicioada por detalhes, tais como gereciameto de memória, tipos de dados ou outras limitações. A estrutura orietada a objetos permite a costrução de algoritmos complexos e com alta legibilidade, cotribuido para um melhor reaproveitameto do código, assim como para sua extesão e otimização. O iterpretador mais comum de Pytho, (Cpytho), é escrito em C, o que permite que códigos também escritos essa liguagem sejam compilados em módulos e carregados a forma de uma biblioteca detro de um script, com perda de desempeho computacioal próximo de zero. No presete trabalho, para realizar a resolução umérica do modelo matemático de geração de Roll Waves, primeiramete determia-se o comprimeto da oda através da

80 79 equação (5.9), utilizado a fução quad do módulo Scipy.itegrate, essa fução utiliza como método de itegração a Quadratura de Gauss. Em seguida, é utilizada a fução odeit da biblioteca de Fortra compilada em Pytho, para a resolução da equação (5.) e determiação da fução hx ( ), mostrado o perfil das Roll Waves. A fução odeit o pacote Scipy.itegrate, utiliza o método Isoda para a resolução de equações difereciais ordiárias, desevolvido por Hidmarsh (980) e Petzold (983) o laboratório Lawrece Livermore, como parte do pacote odepack. Para maior comodidade do leitor, o algoritmo desevolvido este trabalho, utilizado as fuções citadas (quad e odeit) está o apêdice (E). Procedimetos uméricos: i) É ecessário especificar os parâmetros costates, β, C e h c, sedo que os valores utilizados para β, são obtidos através da aálise de estabilidade liear. ii) Etrar com h (altura ates do choque), para determiar o valor de h, obtido iii) iv) através das codições de choque. Determiar λ (comprimeto de oda), itegrado umericamete a equação (5.9). Itegrar a equação (5.) para determiar o perfil da Roll Wave. 6. Roll Waves para a Proposta Reológica de Herschel-Bulkley a) Ifluêcia do parâmetro β Através do resultado de aálise de estabilidade liear, para = 0. 4 e C = 0., tem-se a seguite codição para que ocorra a formação de istabilidade: β = Fr <. A Figura 6., mostra o perfil das Roll Waves através de resultados uméricos da equação (5.) e seus respectivos plaos de fases, para β = 0 e β =, variado a velocidade de propagação U, que é obtida umericamete através da equações (5.8) e (5.9).

81 80 (a) Perfil das Roll Waves para β = 0 (b) Perfil das Roll Waves para β = (d) Plao de fases para β = 0 (b) Plao de fases para β = Figura 6.: Perfil das Roll Waves em fluido de Herschel-Bulkley e seus respectivos plaos de fases, variado o valor de β. Ao aalisar os resultados uméricos mostrados a fig. (6.), fixado = 0. 4 e C = 0., ota-se que: - ocorre a preseça de Roll Waves estabilizadas; - aumetado o valor do parâmetro β, ocorre um aumeto a velocidade de propagação da oda, ou seja, quato meor o úmero de Froude, maior será a velocidade da Roll Wave, o que está de acordo com a defiição do úmero de Froude; - aumetado o valor de β ocorre um aumeto sigificativo o comprimeto da Roll Wave e uma dimiuição a amplitude da mesma.

82 8 A figura 6. mostra o perfil das Roll Waves através de resultados uméricos da equação (5.), para β = 5 e β =, fixado = 0. 4 e C = 0.. (c) β = 5 (C) β = 8 (d) β = Figura 6. Perfil das Roll Waves em fluido de Herschel-Bulkley, variado o valor de β. Ao aalisar os resultados uméricos mostrados a fig. (6.), fixado = 0. 4 e C = 0., ota-se que: - quato mais próximo da curva eutra de estabilidade, ode β = β, meores serão as amplitudes das istabilidades e maiores serão os comprimetos; - a tetativa de utilizar β >, ão houve geração de istabilidades.

83 8 b) Ifluêcia do parâmetro C (coesão do fluido) Fixado os valores de β = e = 0.4, a Figura (6.3) mostra umericamete o perfil das Roll Waves para fluido de Herschel-Bulkley variado a coesão do fluido ( C ) (b) C = 0. (b) C = 0.3 (c) C = 0.5 (d) C = 0.6 Figura 6.3 Perfil das Roll Waves para fluido de Herschel-Bulkley, variado o valor de C Ao aalisar a Figura 6.3, observa-se que: - um aumeto o parâmetro C (coesão do fluido), causa uma pequea dimiuição o comprimeto das Roll Waves geradas, além disso a velocidade de propagação também dimiui;

84 83 - a tetativa de utilizar C > 0.6, ão houve geração de istabilidades. c) Ifluêcia do ídice de escoameto do fluido ( ) Para β = 0 e C = 0., a Figura (6.4) mostra o perfil das Roll Waves através de resultados uméricos, variado o valor do ídice de escoameto (). (a) = 0. (b) = 0.6 (c) = 0.8 (d) = 0.9 Figura 6.4 Perfil das Roll Waves em fluido de Herschel-Bulkley variado o valor de para β = 0.

85 84 Aalisado a Figura (6.4), observa-se que: - o aumeto do ídice de escoameto () causa um pequeo aumeto o comprimeto das odas geradas; - ocorre também um aumeto a velocidade de propagação. Cosiderado β = e C = Waves, variado o ídice de escoameto (). 0., a Figura (6.5) também mostra o a formação de Roll (a) = 0. (b) = 0.6 (c) = 0.8 (d) = 0.9 Figura 6.5: Perfil das Roll Waves variado o valor de para β =. Observado a Figura (6.5), verifica-se que:

86 85 - aumetado o valor de ocorre um aumeto sigificativo o comprimeto das odas geradas; - o aumeto ocorrido o comprimeto dessas odas é maior do que o aumeto que ocorreu para β = 0, observado a Figura (6.4). Nota: Uma vez aalisados os resultados para a reologia de Herschel-Bulkley, teve-se o iteresse de checar a evolução das Roll Waves para outras reologias, cumprido com os objetivos desta dissertação. De plao, os resultados aparecem o apêdice F, apresetado comportametos semelhates com o que foi apresetado este capítulo.

87 86 CAPÍTULO 7 7. DISCUSSÕES E PERSPECTIVAS Discussões Este trabalho apresetou um modelo matemático para geração de Roll Waves em fluidos hipercocetrados, escoado em um caal icliado, utilizado o modelo reológico de Herschel-Bulkley, apotado os seguites resultados: - através de uma aálise de estabilidade liear verifica-se o aparecimeto de Roll Waves quado : β Fr >, sedo: β β ( ) ( 4 3) C = ( + ), ode: Fr é o úmero de Froude, ( + ) + ( + ) C + C o ídice de escoameto do fluido e C a coesão do fluido. - o modelo também gera Roll Waves para propostas reológicas mais simplificados (Bigham, power law e fluido ewtoiao); Quato aos resultados uméricos mostrado a evolução das istabilidades, a partir das codições de existêcia, observa-se que: - quato meor o úmero de Froude, maior será a velocidade de propagação da Roll Wave; - quato maior o úmero de Froude ( Fr ), maior será o comprimeto da oda gerada e meor a amplitude; - quato maior a tesão crítica ( τ c ), meor será o comprimeto da oda;

88 87 - com o aumeto do ídice de escoameto () do fluido, ocorre um aumeto do comprimeto da Roll Wave, ou seja, quato mais próximo de ser Newtoiao, odas mais logas aparecem; - para fluidos do tipo Power Law e Bighamiao, os resultados estão em cosoâcia com o que foi predito por (Ng e Mei, 994) e (Maciel, 00). Cometários Fiais Este trabalho de pesquisa foi desevolvido com base em referêcias do cotexto de Roll Waves, tato em fluido hipercocetrado quato em fluido Newtoiao. De uma maeira geral, pode-se tratar de aspectos importates a geração e propagação do feômeo Roll Waves. No plao teórico, foi adquirido cohecimetos a formulação do sistema de equações para águas rasas (shallow water equatios), suas propriedades e aplicações. Aida esse cotexto, pôde-se avaçar para determiar as codições de existêcia de istabilidades através de uma aálise de estabilidade liear. A partir dessa base foi determiada a velocidade de propagação dessas istabilidades e a taxa de crescimeto das mesmas. Um modelo matemático para geração de Roll Waves em escoametos hipercocetrados e lamiares foi determiado, a partir de uma teoria aalítica de Roll Wave permaete. As codições de choques foram estudadas e determiadas para o modelo em questão. No plao umérico, utilizado-se da liguagem de programação Phyto, pode-se verificar a fucioabilidade do modelo matemático desevolvido este trabalho, tato para fluido hipercocetrado quato para fluido Newtoiao. Sugestões Além dos desevolvimetos matemáticos e resultados uméricos apresetados ao logo deste trabalho, aida que de forma global, acredita-se que este estudo deva ser cotiuado e sistematizado das formas que se seguem: - fazer uma aálise dimesioal do modelo matemático determiado este trabalho; - dar seqüêcia a abordagem matemática de Roll Waves em caais sobre forte declividade, cosiderado uma codição de permeabilidade o fudo do caal, ou seja, cosiderado a porosidade, levado-se em cosideração que os caais ão são totalmete lisos e que a

89 88 porosidade pode iflueciar a formação de istabilidades, coforme mostrado por Pascal (006). Neste caso, utilizar a Lei de Darcy como codição de cotoro, adaptada ao modelo reológico de Herschel-Bulkley; - realizar uma aálise comparativa etre resultados obtidos com a codição de impermeabilidade e de permeabilidade do fudo do caal.

90 89 REFERÊNCIAS ALAVIAN, V., Behaviour of desity currets o a iclie, J. Hydraulic, 986, vol., p BAKHVALOV, N.S., EGLIT, M.E., Ivestigatio of the solutios to sow avalache movemet equatios, World Data Ceter for Glaciology, Soviet Research Avalache bibliography update, , p BALMFORTH, N.J., MADRE, C., Dyamics of roll waves, J. Fluid. Mech., 004, vol. 54, p BENJAMIN, T. B., Wave formatio i lamiar flow dow a iclied plae, J. Fluid Mech., 957, vol., BINGHAM, E. C., Fluidity ad Plasticity, McGraw-Hill, New York, 90. BROCK, R. R., Developmet of roll-wave trais i ope chaels, J. Hydraul. Div., 969, vol. 95, HY4, p BROCK, R. R., Periodic permaet roll-waves, J. of Hydr. Div., 970, ASCE, vol. 96, HY, p BROOK, B.S., FALLE, S.A.E.G., PEDLEY, T.J., Numerical solutios for usteady gravitydrive flows i collapsible tubes: evolutio a roll wave istability of a steady state. J. Fluid Mech, 999, vol. 396, p

91 90 CENEDESE, C., WHITEHEAD, J. A., ASCARELLI, T. A., OHIWA, M., A dese curret flowig dow a slopig bottom i a rotatig fluid. J. Phys. Oceaogr., 004 Vol. 34, p CHEN, C. L., Mometum ad eergy coefficiets based o power-law velocity profile. J. of Hydr. Eg., 99, vol. 8, p CORNISH, V., Ocea Waves ad Kidred Geophysical Pheomea. Cambridge Uiversity Press, 90. COUSSOT, P., PIAU J.M., O the behavior of mud suspesios. Rheologica Acta, 994, Vol. 33, N o 3, p DI CRISTO, C., VACCA, A. O the covective ature of roll waves istability. J. Appl.Math. 3, 005, p DRESSLER, R.F, Mathematical solutio of the problem of roll waves i iclied ope chaels Commus pure appl. Math, 949, vol, p EGLIT, M.E., Theorical approches to avalache dyamics, Wold Data Ceter for Glaciology, Soviet Avalache Research-Avalache Bibliography update, 984, p ENGELUND, F., WAN, Z., Istablity of hypercocetrated flow. J. Hydraulic Res., 984, vol. 0, p FER, I., LEMMIN, U., THORPE, S.A., Witer cascadig of cold water i lake geeva. J. Geophys, 003, vol.07 (C6), Art. º FORTERRE, Y., POULIQUEN, O., Log-surface-wave istability i dese graular flows. J. Fluid Mech., 003, vol. 486, p HERSCHEL, W. H., BULKLEY, R., Measuremet of Cosistecy as applied to rubberbezee solutios. Procedigs of the America Society for Testig Materials, 96, vol. 6, p

92 9 HINDMARSH, A.C., Isode e Isodi, two ew iitial value ordiary differetial equatio solvers, acm-sigum Newsletter, 980, vol.5, º 4, p. 0-. HUANG, X. & GARCIA, M.H., A Herschel-Bulkley model for mud flow dow a slope. J. Fluid Mech., 998, Vol. 374, p HUTTER, K., SAVAGE, S.B. Avalache dyamics: The motio of a fiite mass of gravel dow a moutai side. Procedig of the 5 th Iteratioal Symposium o Ladslides, 988, Lausae, Switzerlad. HWANG, S.H., CHANG, H.C. Turbulet ad iertial roll waves i iclied film flow. Phiys. Fluids, 987, vol. 30, p ISHIHARA, T., IWAGAKI, Y. & IWASA, Y., Theory of the roll wave trai i lamiar water flow o a steep slope surface. Tras. JSCE, 954, vol. 9, p JEFFREYS, H., The flow of Water i a Iclied Chael of Rectagular sectio. Phil Magazie, 95, vol. 49, p JULIAN, B. R., Volcaic termor: Noliear excitatio by fluid flow. J. Geophys, 994, vol. 99, p JULIEN, P. Y., HARTLEY, D. M., Formatio of roll waves i lamiar sheet flow. J. Hydr., 986, vol.4, o., p.5-7. KIRYU, H. S., Ivestigação reológica e aálise mecâica de compósitos ão-ewtoiaos. Ilha Solteira/SP, 003. Dissertação de mestrado, Faculdade de Egeharia, Uiversidade Estadual Paulista. KRANENBURG, C. O the evolutio of roll waves. J. Hydraulic Research, 99, vol. 45, p

93 9 LIU, K., MEI, C.C., Roll waves o a layer of a muddy fluid flowig dow a getle slope A Bigham model. Phys Fluids, 994, vol. 6, p MACIEL, G.F, VILA, J.P. & MARTINET, G. Roll wave formatio i the o Newtoia flows. XIV COBEM, 997, Bauru/SP. MACIEL, G.F. Roll waves evoluido em caais de forte declividade: Uma abordagem matemática com aproximação umérica. Ilha Solteira, 00. Tese (Livre Docêcia em Roll Waves) Faculdade de Egeharia, Uiversidade Estadual Paulista. MADRE, S., Effect of bottom topography o roll wave istabilities. I Proc. 00 Geophysical Fluid Dyamics Summer Study Program. Woods Hole Oceaographic Istitutio. MONTES, S., Hydraulics of Ope Chael Flow. ASCE, 998. MONTUORI, C., Discussio: Stability aspect of flow i ope chaels. J. Hydr. Div., 963, ASCE 89, p OSTWALD, W. O., The velocity fuctio of viscosity of disperse systems. Kolloid Zeitschrift, 95, vol.36, p PIAU, J.M., Flow of a yield stress fluid i a log domai, applicatio to flow o a iclied plae. J. Rheology, 996, vol. 40, p PROKOPIOU, T., CHENG, M. & CHANG, H. C., Log waves o iclied films at high Reyolds umber. J. Fluid Mech., 99, vol., p NEEDHAM, D.J., MERKIN, J.H. O roll waves dow a ope iclied chael. Proc. R. Soc. Lod A 394, 984, p NEEDHAM, D.J., MERKIN, J.H. A ifiite period bifurcatio arisig i roll waves dow ope iclied chael. Proc. R. Soc. Lodo A 405, 986, p

94 93 NG, C.O., MEI, C.C. Roll waves o a layer of fluid mud modelled as a power law fluid, J. Fluid Mech, 994, vol. 63, p NOBLE P., Existece et Stabilité de Roll-Waves pour les Équatios de Sait Veat, C.R. Acad. Sci. Paris, 004, Ser. 338, p PASCAL, J.P., Istability of Power-Law Fluid Dow a Porous Iclie, J. No-Newtoia Fluid Mech, 006, vol 33, p PEDLEY, T. J., Fluid Mechaics of Large Blood Vessels. Cambridge Uiversity Press, 980. PETZOLD, L.R., Automatic Selectio of methods for solvig stiff ad ostiff systems of ordiary differetial equatios, Siam j.sci. Stat. Comput. 4, 983, p RIBEIRO, F.L.B., GALEÃO, A. C., LANDAU L., Edge-based Fiit Elemet Method for Shallow Water Equatios, Iteratioal Joural for umerical methods i fluids, 00, vol. 36, p SANTOS, L.F., Estudo teórico experimetal em via de determiação de lei de atrito em escoametos de fluidos hipercocetrados. Ilha Solteira/SP, 003. Dissertação de mestrado, Faculdade de Egeharia, Uiversidade Estadual Paulista. SHAPIRO A. H., The dyamics ad thermodyamics of compressible fluid flow. New York, 953. SWATERS, G.E., Barocliic characteristics of frictioally destabilized abyssal overflows. J. Fluid Mech., 003, vol. 489, p THOMAS, H. A., The propagatio of waves i sep prismatic coduits. Proc. Hydr. Cof., 939, p TAMADA, K.,TOUGOU, H., Stability of roll-waves o thi lamiar flow dow a iclied plae wall, J. Phys. Soc. Japa, 979, vol. 47 (6), p

95 94 YIH, C. S., Stability of liquid flor dow a iclied plae. Phys. Fluids, 963, vol. 6, p. 3. WOODS, B. D., HURLBURT, E. T., HANRATTY, T. J., Mechaism of slug formatio i dowwardly iclied pipes. Itl. J. Multiphase Flow, 000, vol. 6, p ZANUTTIGH, B., LAMBERTI, A., Roll waves simulatio usig shallow water equatios ad Weighted Average Flux method. J. Hydraulic Research, 00, vol. 40, p

96 APÊNDICE A Demostração do sistema de equações que rege o escoameto Cosiderado um escoameto bidimesioal de um fluido hipercocetrado em um caal icliado, o sistema de coordeadas ( x, z ) é defiido com o eixo x ao logo do caal e z o eixo ormal ao plao icliado. As compoetes de velocidades logitudial e vertical são dadas por ( uw, ) e a pressão por P, sedo a altura total do escoameto dada por h. Codições de cotoro i ( ) = + uh ( ) wh i h t i h i x A h f ( f ) = + uh ( f ) wh t h f x A Itegrado a equação da coservação da massa de h à h. Itegral de u : x h f h f u hf hi dz udz u ( h f ) u ( h i) h x = x h x A3 x i i Seja:

97 u = h h f udz e h f hi = h A4 h f i hi x h f uh udz = A5 h x i Portato: uh hf hi u ( h f ) + u ( h i) x x x A6 Itegral de w : z h f w dz = w ( h f ) w ( h i ) A7 h z i Somado as equações A4 e A5, temos: uh h h uh + uh + wh wh x x x f i ( f ) ( i) ( f ) ( i) A8 Aplicado as codições de cotoro: uh h f hi h f h f hi hi u ( h f ) + u ( h i) + + u ( h f ) u ( h i) x x x t x t x A9 Logo, a equação da coservação da massa fica: uh h + = 0 x t A0

98 O procedimeto será o mesmo para a equação da quatidade de movimeto, a direção OX. Itegral de u : t h f h f u hf hi dz udz u ( h f ) u ( h i) h t = t h t + A t i i Seja: u = h h f udz A h f i hi h f uh = udz A3 t t hi Portato: h f u uh hf hi dz u( hf ) u( hi) h t = t t + A4 t i Itegral de u x : h f h f u h f hi dz u dz u ( h f ) u ( h i) h x = x h x + A5 x i i Seja: u h f = h u dz A6 h f i hi

99 h f uh = udz A7 x x hi Portato: h f u u h hf hi dz u ( h f ) u ( hi) h x = x x + A8 x i Itegral de uw : z h f uw dz = u ( h f ) w ( h f ) u ( h i) w ( h i) A9 h z i Somado os resultados das itegrais 5, 6 e 7, temos: uh h f hi u h h f hi u( h f ) + u( hi) + u ( h f ) + u ( hi) + t t t x x x ( f ) ( f ) ( i) ( i) + u h w h u h w h A0 Aplicado as codições de cotoro: uh h f hi u h h f hi u( hf ) + u( hi) + u ( h f ) + u ( hi) + t t t x x x h f hf hi hi + u( h f ) + u( h f ) u( hi) + u( hi) t x t x A Portato o lado esquerdo da equação da quatidade de movimeto a direção OX fica da seguite forma:

100 h f u u uw uh u h + + dz = + A h t x z t x i O lado direito da equação da quatidade de movimeto fica: h h f τxz dz A3 h i h z i f τxx dz + ρ x ρ h f h g cos( ) zx dz x ρ θ + ρ ρ z τ A4 h i Assim, a partir das equações 3 e 4, tem-se a equação da quatidade de movimeto: f uh u h h + = g cos( θ) + ghse( θ) + τxz dz A5 t t x ρ z h h i Sabedo que, τ xz = 0 a superfície livre, tem se: uh u h h + = gcos( θ) + ghse( θ) τxz( hi) A6 t t x ρ

101 APÊNDICE B Cálculo do Perfil de Velocidade O equacioameto abaixo tem como hipóteses um escoameto uiforme, lamiar, de um fluido icompressível, em caal icliado, baseado a lei de Herschel-Bulkley. du ρ gse( θ)( h z) = τc + K dz B du ρ g θ h z τc = dz K se ( )( ) B Resolvedo a equação diferecial (B), pode-se obter, após algus desevolvimetos matemáticos, o perfil de velocidade u(z) para o fluido em questão: Seja: r =, etão: r ( ) du ρgseθ h z τc = dz µ r B3 ( ) du ρgseθ h z τc = dz µ r B4 Itegrado de 0 à z:

102 ( ) u z z ρ gseθ( h z) τc dz B5 0 µ µ = Note que: ( ) se ( ) ρ gse θ h ρ g θ z τc 0 µ µ µ B6 c h z τ 0 ρ gseθ B7 c h τ z ρ gseθ B8 Seja: z 0 = τc h ρ gseθ, 0 z z 0 B9 Sedo: z 0 : profudidade do fluido a região cisalhada Multiplicado a equação (B9) por ρg seθ ρg e subtraido µ se ( θ ) µ z, tem-se: ( ) ( ) ρgseθ z0 z ρgseθ h z τc = B0 µ µ µ Logo, ( ) u z z r ρgseθ( z0 z) dz B 0 µ =

103 r z ρg seθ 0 B µ 0 r ( ) = ( ) u z z z dz Cosiderado ρ g seθ β =, tem-se: µ r z r 0 B3 0 ( ) = β ( ) u z z z dz Itegrado por substituição: ds s = z0 z = ds = dz B4 dz Logo: ( ) u z z r z r + s s ds B5 0 r + 0 = β = ( ) ( r + ) r ( ( 0 ) ) β + u z = z z z 0 B6 Portato, tem-se o perfil de velocidade a região ão cisalhada ( parte em plug ): β r ( ) ( ) u z = u z = z para z0 z h B7 r + Perfil de velocidade a região cisalhada: β r r+ ( ) = ( ) u z z z z r + para 0 z z0 B8

104 ρg seθ Sabedo que: β = µ pode ser represetado pela seguite expressão: r e r =, o perfil de velocidades a região cisalhada ( ) u z + ρgse ( θ) z 0 z + µ z0 + = B9

105 APÊNDICE C Velocidade Média em Relação à Profudidade do Escoameto Esse item tem como objetivo determiar a velocidade média em relação à profudidade do escoameto, ou seja, o itervalo 0 z h, para adequar ao modelo matemático. Sabedo que: u = udz, etão o itervalo 0 z h, tem-se que: h 0 h z0 h C 0 z 0 u = udz+ udz h z0 + h + + z ρgse ( θ) z 0 u = ( ρgse ( θ) z 0 ) dz dz h 0 z µ z z h C ρgse ( θ) z 0 z u = dz dz+ dz + µ h 0 0 z 0 0 Itegrado por substituição: z v = dv dz z = z, etão: 0 0

106 dz z 0 v dv z0v z0 0 0 z z = = z + = z + C3 Etão: + z0 + ρgse ( θ) z 0 z h u = z+ z0 + [ z] µ 0 0 z + h z + 0 C4 + ρgse ( θ) z µ u = z z + h z + h + C5 u ( θ) ρgse z z = + µ + h C6 c Sabedo que: z0 = h τ ρg seθ, tem-se: u + c ρgseθ hρgseθ τ hρgseθ τc = + µ ρg seθ + h ρg seθ C7

107 APÊNDICE D Cálculo do Coeficiete de Distribuição de Velocidade Para efetuar o cálculo do coeficiete de distribuição de velocidade, tem-se a seguite relação: u u = udz h D ( u ) 0 h + + z 0 se ( ) h ρg θ z 0 z α = dz dz ( u ) h µ + 0 z + 0 z 0 D ( θ) + ρgse z 0 α = ( u ) h + µ z0 h z z dz dz 0 z0 z D3 0 z0 ( θ) + ρgse z 0 α = ( u ) h + µ

108 + + z z z+ z0 + + z0 + z0 3+ z0 0 ( u ) ( θ) + ρgse z 0 h + [ z] D4 h + µ z 0 ( θ) + ρgse z 0 α = z0 z0 z0 + h z0 ( u ) h + µ + 3+ D5 + ( θ) 0 0 ( + ) 0 ( + ) h ( )( ) ρgse z z 3 z α = ( u ) h + µ + 3+ D6 + ( θ) 0 z 0 ( + ) h ( )( ) ρgse z 4 3 α = ( u ) h + µ h + 3+ D7 Sabedo que: ( u ) + se ( ) ρg θ z0 z0 = + µ + h D8 Substituido a equação (8) em (7), tem-se: ( 4+ 3) ( + )( 3 + ) z 0 h α = ( + ). h z0 ( + ) h D9

109 α = ( + )( 3 + ) 0 ( 4 + 3) ( + ) ( + ) h z ( 3+ ) h z h 0 D0 c Substituido: z0 = h τ ρg seθ, tem-se a seguite expressão para o coeficiete de distribuição de velocidade: ( + ) hρ gseθ + τ ( + ) c α = 3 + τ ( ) hρ gseθ ( c ) τc + hρ gseθ D

110 APÊNDICE E Código para resolução umérica do modelo para geração de Roll Waves # -- codig: lati- -- from scipy import from scipy.itegrate import odeit, quad from pylab import figure, close, axes, subplot, show from pylab import from matplotlib.umerix import arage, si, pi def F(H, alf, U,, q): """ Comprimeto da oda""" #Valor ecessário Ah=H-C-(.0-C)pow(((((-U)+UH)(.0-C)/(H-C))(((+.0)+C)/((+.0)H+C))),) Bh = ((alf-)pow(u,)-alfpow(q,)/pow(h,)+bh) h_ = Bh/Ah retur h_ def f(h, z, alf, U,, q): """ Perfil da Roll Wave"""

111 Ah=H-C-(.0-C)pow(((((-U)+UH)(.0-C)/(H-C))(((+.0)+C)/((+.0)H+C))),) Bh = ((alf-)pow(u,)-alfpow(q,)/pow(h,)+bh) h_ = Ah/Bh retur h_ """Plao de Fases""" def dhdz(h, z, alf, U,, q): """ Faz o cálculo da derivada!""" Ah=H-C-(.0-C)pow(((((-U)+UH)(.0-C)/(H-C))(((+.0)+C)/((+.0)H+C))),) Bh = ((alf-)pow(u,)-alfpow(q,)/pow(h,)+bh) retur Ah/Bh def alfa_(, C): retur((.0pow(+.0,.0)+c((4.0)+3.0))((.0)+.0))/((pow(+.0,.0)+(.0c (+.0))+pow(,.0)pow(C,.0))((3.0)+.0)) def q_(, C, hc, alf): retur- pow((hc-c)/(.0-c),(.0+)/)(((+.0)hc+c)/((+.0)+c))(alf-) - pow((alf (alf-)pow((hc-c)/(.0-c),(.0+)/)pow(((+.0)+c)/((+.0)+c),)+bpow(hc,3) ),0.5) def U_(, C, hc, q): retur pow((hc-c)/(.0-c),(.0+)/)(((+.0)hc+c)/(+.0+c))(/hc)-(q/hc) def h_(alf, U, q, B, h): if B == 0 : h = alfpow(q,)/((alf-)pow(u,)h)

112 else: h = -((h/.0)+(alf-.0)(pow(u,.0))/b)+pow((pow(((h/.0)+(alf-.0)(pow(u,.0))) /B),.0)+(.0alfpow(q,.0))/(Bh)),0.5 retur h def labda_(f, alf, U,, q, h, h): # Itegrado para calcular o comprimeto do itervalo retur quad(lambda h: F(h, alf, U,, q), h, h)[0] def h_(f,alf, U,, q, y0): #Itegrado a ODE retur odeit(lambda H, z: f(h, z, alf, U,, q), y0, z)[:, 0] def plota(x,y): fig = plot(x, y, '-', liewidth=.0) show() if ame == " mai ": # Costates B=.0 = 0. C=0. hc =.0 h = 0.65 y0 = 0.65 #Valor iicial tam = 000 # Numero de dados para cada itervalo

113 alf = alfa_(, C) q = q_(, C, hc, alf) U = U_(, C, hc, q) h = h_(alf, U, q, B, h) labda = labda_(f, alf, U,, q, h, h) um = 0 repeticoes = it(um/labda) ## prit repeticoes z = r_[0:labda:000j] h = h_(f, alf, U,, q, y0) ## prit z h_ = zeros((repeticoes, le(h))).tolist() z_ = zeros((repeticoes, le(h))).tolist() for i i rage(repeticoes): z_[i][:] = r_[labdai:labda(i+):000j][:] h_[i][:] = h[:] h_ = reshape(h_, (, repeticoesle(h)))[0] z_ = reshape(z_, (, repeticoesle(h)))[0] prit le(h_) prit le(z_) ## h.reshape hm = (-q)/u ## prit h plota(z_, h_)

114 prit 'valores dados:' prit ' = ', prit ' beta = ', B prit ' C = ', C prit ' h = ', h,'\' prit 'valores calculados:' prit " U = ", U prit " h = ", h prit " hm = ", hm prit " alf = ", alf prit " lambda = ", labda

115 APÊNDICE F ESTUDO DE CASOS Este capítulo tem como objetivo mostrar a validade do modelo matemático para geração de Roll Waves, cosiderado as propostas reológicas mais simplificadas, tais como o modelo reológico do tipo Power Law, Bighamiao e Newtoiao. Geração de Roll Waves para um fluido do tipo Power Law Cosiderado que a tesão crítica de escoameto seja ula ( τ c = 0 ), tem-se um modelo reológico do tipo Power Law e a equação para geração de Roll Waves, fica da seguite forma: h ( ( U) h + h U ) ( ) ( ) h = x α U α U h + β h (F) Sedo o coeficiete de distribuição de velocidade, dado por: ( + ) ( 3 + ) α = (F) Comparado o modelo determiado este trabalho com o que foi obtido por (Ng e Mei, 994), quado utilizou como proposta reológica a lei das potêcias (Power Law), observar-se que os modelos estão em cosoâcia. Através de uma resolução umérica da equação (7.) verifica-se a formação de Roll Waves e a ifluêcia do parâmetro β, a geração e o comportameto de tais istabilidades.

116 a) Ifluêcia do parâmetro β Fixado = 0.4, a Figura () mostra o perfil das Roll Waves através de resultados uméricos da equação (F), variado o valor do parâmetro β e coseqüetemete o úmero de Froude. (a) β = 0 (b) β = (d) β = 5 (d) β = 0 Figura: Perfil das Roll Waves para um fluido do tipo Power Law, variado o valor de β. Através da figura (), observa-se: