ANÁLISE DA PROPAGAÇÃO DOS ERROS MÉDIOS EM PONTOS GEORREFERENCIADOS IRRADIADOS SEGUNDO FUNÇÕES NÃO LINEARES

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1 AÁLIS DA ROAGAÇÃO DOS RROS MÉDIOS M OTOS GORRFRCIADOS IRRADIADOS SGUDO FUÇÕS ÃO LIARS Mauro Menzor(UICAM) mauro@ft.uncamp.br Vtor duardo Molna Jr(UICAM) molna@ft.uncamp.br Resumo: os servços de georreferencamento de móves é possível utlzar város métodos de posconamento e lançar mão de nstrumentos com classes dferentes para que as precsões solctadas pelas normas sejam atenddas. ste artgo dscorre sobre a aplcação da Le de ropagação dos rros Médos segundo funções não lneares para obter as precsões das coordenadas de pontos rradados a partr de vértces de polgonal que possuem coordenadas com precsões conhecdas. O estudo de caso refere-se a uma stuação corrquera na execução de servços de georreferencamento, na qual as coordenadas dos pontos da lnha base e do ponto de dvsa rradado são obtdas utlzando dferentes métodos e equpamentos. o caso em questão, a lnha base fo medda utlzando receptores GSS e o ponto rradado fo meddo com uma estação total. O rotero empregado na análse dos erros médos propagados nas coordenadas do ponto rradado fo estenddo para algumas stuações smuladas consderando o uso de estações totas com dferentes precsões angulares e varando as extensões das dstâncas até que se regstrasse alguma alteração expressva na precsão das coordenadas do ponto rradado, em relação à precsão das coordenadas do vértce da lnha base. Desta forma, o estudo aborda o método empregado na teora dos erros para a obtenção da precsão de coordenadas de um ponto rradado utlzando como gua a propagação de erros médos e mostra que dentro de certas dstâncas lmte a precsão das coordenadas do ponto rradado permanecem guas à precsão das coordenadas do vértce da lnha base empregadas para med-lo. alavras chaves: Georreferencamento, Le de ropagação de rros, Topografa. O-LIAR FUCTIOS ALID TO TH AALYSIS OF ROAGATD MA RRORS OTO OITS MASURD FROM A GORFRCD BASLI Abstract: Measurement n georeferenced jobs can be done by usng several postonng pont methods as well as usng nstruments wth dfferent precsons to reach the precsons requred by the standards. Ths paper dscusses the law of mean errors propagaton accordng to non-lnear functons to obtan the coordnates precson of a border pont that was measured from a baselne wth known coordnates precsons lke those measured wth GSS recevers, for example. The case study refers to a common stuaton n the executon of georeferencng tasks when both the coordnates of the baselne vertces and the border pont were obtaned by usng dfferent methods and equpment. The baselne n the case study s consttuted of vertces that were measured usng GSS recevers and the border pont was measured usng a Total Staton. The proceedngs adopted to perform the propagaton error analyss were extended to some smulated stuatons where dfferent angular accuraces and dfferent dstances were consdered to measure the border pont untl ts coordnate precson have changed when compared to the precson of the baselne orgn vertce coordnates. Wth ths approach the paper ntended to revew the solutons to obtan the precson of coordnates by dfferent ways of analyss, usng the propagaton of the mean errors as a gude to suggest the lmts n dstance were the precson n the border pont coordnates can be consdered equal to the precson n the baselne vertce orgn. Keywords: Georeferencng, law of propagaton of the mean errors, Topography. 1. ITRODUÇÃO os servços de georreferencamento de móves é possível a utlzação de város métodos de posconamento, bem como a utlzação de equpamentos com precsões dferentes. O presente artgo procura dscutr a precsão propagada nas coordenadas de pontos rradados V.1, o., Agosto/18 ágna 55

2 meddos com o emprego de estação total, a partr de vértces de polgonal cujas coordenadas tenham precsões conhecdas. A falta de obrgatoredade da análse da propagação dos erros médos em trabalhos topográfcos convenconas, a pouca dfusão desse tema em cursos de graduação e a baxa oferta de publcações naconas sobre esse assunto fo o que motvou a preparação deste artgo. Segundo Dalmoln (4), classcamente se dz que toda medda contém algum erro, ou seja, não se consegue valores dêntcos para um determnado número de observações repetdas de uma grandeza, mas, valores dspersos dentro de um ntervalo que é função desses erros. Conforme GMAL (15), os erros não decorrem apenas de falhas humanas, mas também da mperfeção dos equpamentos e das condções ambentes que envolvem a medção. Assm, ao se executar um trabalho de campo faz-se uma sére de observações repetdas de certa grandeza com o objetvo de extrar um únco resultado que possa representá-la com um grau de confança adequado. ara Dalmoln (4) as meddas que representam uma mesma quantdade numérca, obtdas por meo de observações, possuem uma dspersão em relação a um valor médo, que é denomnado erro randômco ou acdental. Quando se trata do conceto de acuráca, este ncorpora tanto a tendênca nerente aos erros sstemátcos quanto a precsão devda aos erros aleatóros ou acdentas (Monco et al.,9). Assm, quando não é possível dentfcar o verdadero valor da grandeza, tendo por base apenas os erros acdentas presentes em n observações em campo, a méda artmétca dessas observações é o valor que melhor representa o conjunto. A méda é obtda pela expressão (1): Sendo: l l (1) n l méda artmétca das n observações; l observações n número de observações. A méda artmétca também pode ser expressa por meo de matrzes conforme (): Onde: T e l l () T e e l vetor das observações e vetor untáro A méda representa a estmatva de um valor a partr de um conjunto de observações, porém, é necessáro estmar-se também a qualdade desses dados, o que levará à precsão da grandeza medda. Como o valor verdadero de uma grandeza nunca é conhecdo ou alcançado, o valor médo ou o valor ajustado de um conjunto de observações de uma mesma grandeza pode ser V.1, o., Agosto/18 ágna 56

3 adotado como o valor de referenca no lugar do valor verdadero. Conforme TAYLOR (1), o desvo padrão, também descrto como raz méda quadrátca, é a manera mas útl para caracterzar a confabldade das meddas. A segunda edção da orma Técnca do ICRA para Georreferencamento de Imóves Ruras, datada de 1, defne que a precsão está assocada ao nível de aderênca de um grupo de medções, obtdas sob as mesmas condções, ao valor médo dessas medções, quando calculado sob o valor de um desvo padrão ou um sgma. A atual norma de Georreferencamento de Imóves Ruras do ICRA admte que um ponto de dvsa entre propredades ruras deve ter valores posconas melhores ou guas a,5 m, 3, m e 7,5 m, para vértces em lmtes artfcas, naturas e nacessíves respectvamente. Quando se emprega os receptores GSS na determnação das meddas, os ndcadores de precsão mas utlzados para expressar a qualdade da grandeza são: a varânca, o desvo padrão e a correlação. A varânca ndca como os valores ndvduas de cada observação (l) estão dstantes do valor médo de um conjunto com n meddas e seu valor é obtdo pela equação a segur: ( l l) S n O desvo padrão, também conhecdo também como Root Mean Squared rror (RMS) é outra medda de dspersão que nforma a precsão da grandeza em relação ao valor médo. O desvo padrão é obtdo extrando a raz quadrada do valor da varânca, conforme (4): ( l l) (4) n A nformação posconal de pontos é geralmente apresentada na forma de coordenadas, expressas por abscssa, ordenada e altura. spera-se que as coordenadas tenham um grau de relaconamento entre s e a correlação é utlzada para expressar essa nterdependenca. O fator de correlação entre duas varáves é representado em por: Sendo: XY (5) X fator de correlação Y XY covarânca entre as varáves X e Y. X desvo padrão das observações da varável X. Y desvo padrão das observações da varável Y. A covarânca descreve a varação recíproca entre duas varáves aleatóras, sendo expressa em (6): (3) V.1, o., Agosto/18 ágna 57

4 n ( x x)( y y) XY (6) n A partr dos dados obtdos com receptores GSS são calculadas as coordenadas de cada ponto, bem como suas respectvas precsões. orém, quando se faz o georreferencamento utlzando técncas da Topografa clássca, as precsões propagadas nas coordenadas dos pontos meddos a partr de uma polgonal não é nformada. Os pontos de dvsa dos móves são geralmente pontos que se encaxam nessa stuação. ara o ICRA um ponto de dvsa deve sempre ter coordenadas com precsões conhecdas sejam elas meddas com receptores GSS ou com nstrumentos topográfcos como a stação Total. 1.1 ropagação dos rros Médos A nterpretação da propagação dos erros em grandezas meddas a partr de dados ncas que possuem precsões conhecdas pode ser feto de acordo com a Le de ropagação dos rros Médos. esse caso se consderam duas stuações dstntas: quando o valor fnal da grandeza é calculado usando uma equação de obervação lnear ou quando ele é calculado através de equação de observação que usa uma função exponencal, ou de uma função parabólca ou outra função não lnear qualquer. A dferença entre os dos procedmentos é o passo adconal na determnação dos coefcentes que resultam da dervação da equação de observação. Uma vez determnados esses coefcentes, eles permtem um desenvolvmento smlar ao tratamento dado à propagação segundo funções lneares. A propagação dos erros médos segundo funções não lneares exge, portanto, a dervação matemátca da equação de observação, em relação a todas as varáves que nfluencam o resultado fnal, stuação que pode ser expressa através da expressão (7): S T f ' Kll f ' (7) Onde: S Matrz de Covarâncas do resultado. f Matrz dos coefcentes da função dervada. Kll Matrz das covarâncas das observações.. MATRIAIS MÉTODOS o estudo de caso apresentado na Fgura 1 fo consderada uma stuação teórca e hpotétca na qual uma lnha base, consttuída pelos vértces 1 e 11, fo observada com recptores de snas transmtdos por satéltes orbtas de um sstema de posconamento global que ntegra o GSS, a exemplo do GS e, após processamento, produzu as coordenadas geodéscas referdas ao sstema World Geodetc System 1984 (WGS-84) com precsões conhecdas. ssas coordenadas foram transformadas de geodéscas para UTM, no fuso 3. V.1, o., Agosto/18 ágna 58

5 Fgura 1 Irradação do ponto a partr da lnha base. O estudo de caso consderou uma stuação comum em trabalhos de georreferencamento de móves onde um ponto de dvsa fo meddo com uma estação total total com precsão angular de + 1 segundo e com precsão lnear de + ( mm + p.p.m x D), onde D é a dstânca horzontal tomada em qulometros. Os cálculos ncas empregando a teora dos erros permtram calcular os erros propagados em, desde a lnha base m seguda foram smuladas dferentes stuações, alterando-se o valor do ângulo horzontal e o valor da dstânca horzontal d1-, para se analsar como o erro exstente nas coordenadas dos vértces 1 e 11 se propagaram para o ponto. essas smulações foram dentfcadas dstâncas horzontas lmtes até as quas o valor dos erros propagados nas coordenadas de foram nsgnfcantes (menor que 1 mm por exo), como está demonstrado no tem Resultados e Dscussões. Os passos a segur demontram o processo desenvolvdo nos calculos ncas para se encontrar os erros propagados nas coordenadas do ponto..1. Cálculo do Azmute de Referênca e da Sua recsão O azmute ncal Az11-1, aqu chamado de alfa (), é calculado pela topografa convenconal a partr das coordenadas dos pontos 11 e 1. Assm o azmute no sentdo de 11 para 1 é calculado pela segunte equação de observação: ( AZ ) tan 11 1 (8) 1 11 Sendo esse passo uma função não lnear, faz-se a lnearzação da equação de observação, em relação a cada varável, para se obter a precsão do azmute, obtendo-se as equações lnearzadas de (9) a (1): 1 11 ( Dst ) ( Dst ) ( Dst ) ( Dst ) quações essas que dependem também da dstânca entre os pontos 11 e 1, obtda (9) (1) (11) (1) V.1, o., Agosto/18 ágna 59

6 pela expressão (13): Dst (13) Uma vez determnados esses valores, com eles constró-se a matrz f, com 4 lnhas e 1 coluna, ndcada como (14), base para o desenvolvmento lnear utlzado na obtenção do valor da precsão S do azmute. Assm: f 11 ' 1 (14) 11 1 A construção da matrz das covarâncas das observações, Kll, ndcada como (15), usa as precsões das coordenadas 11, 11, 1, 1 e as suas correlações, se conhecdas. estes cálculos, as correlações foram adotadas como nulas uma vez que as varáves são ndependentes entre s, o que permte a construção de uma matrz de covarânca mas smples, conforme segue. Kll ( S ) 11 ( S ) 11 ( S ) 1 ( S ) 1 (15) or últmo, a precsão do azmute é determnada através da expressão (7), escrta agora em função das matrzes construdas, fazendo-se: S f Kll f T ' (16) Com os dados em estudo o azmute Az11-1 fo calculado gual a 93º 3 com precsão de + 5,5.. Cálculo do Azmute à Vante e sua recsão O cálculo do azmute 1- empregou o azmute Az11-1 e o ângulo, aplcando a quação Geral dos Azmutes para ângulos à dreta, expressa por (17): ( Az + H ) 18º Az (17) n+ 1 n 1 D o estudo o azmute Az1- fo calculado gual a 9º 5' 6", enquanto que a sua precsão é dependente da precsão do azmute Az11-1 combnada com a precsão do ângulo. Segundo TAYLOR (1) a soma de um conjunto de varáves é representada pela expressão (18): x y z... (18) A precsão S para uma soma é expressa por (19): V.1, o., Agosto/18 ágna 6

7 ( ) ( Sx) + ( Sy) + ( Sz) +... S (19) ortanto, a precsão do azmute Az1- é determnada com base na precsão do azmute anteror e do ângulo horzontal, admtndo-se que o valor de 18º é uma constante, não medda em campo e que, portanto, é senta de erro. Assm têm-se: ( ) ( 5,5") + ( 3 ) SAz SAz 1 6,3 segundos 1 ".3 Cálculo das Coordenadas do onto Irradado As coordenadas de, anotadas como e, resultam da adção algébrca dos valores 1 e 1, respectvamente abscssa e ordenada do vértce 1, com as projeções parcas 1- e () (1) Sendo as projeções parcas 1- e 1- calculadas pela topografa através das seguntes equações de observação: ( Az ) DH 1 seno 1 1 () ( Az ) DH cos (3) o caso em estudo, essas projeções parcas terão os seguntes valores: 1-1,76 m x seno (9º 5' 6") > ,97 m 1-1,76 m x cos (9º 5' 6") > ,73 m Valores esses que auxlam na determnação das coordenadas e do ponto, da segunte manera: 55.51,56m + 5,97m 55.57,473m ,58m + 1,73m ,36m Até aqu foram aplcados os procedmentos correntes adotados pela topografa, que não possbltam dentfcar o erro propagado nas coordenadas de..4 rro ropagado no onto Irradado As coordenadas de calculadas no tem anteror podem ser traduzdas em um cálculo dreto conforme as seguntes equações de observação: Y ( Az ) + DH 1 seno 1 1 (4) ( Az ) + DH cos (5) A equação (4) nforma que a precsão de é dependente da precsão da abscssa de 1 combnada com a precsão da dstânca horzontal d1- e com a precsão do azmute Az1- todas conhecdas nesse momento. Segundo TAYLOR (1), a ncerteza na resposta fnal pode ser calculada consderando as etapas de cálculo nas meddas orgnas, desde que V.1, o., Agosto/18 ágna 61

8 elas sejam ndependentes. sse é justamente o caso em estudo. ortanto no cálculo da precsão da abscssa do ponto, consdera-se novamente a expressão (7): S X f ' T Kll A Matrz das dervadas fo obtda conforme descrto abaxo: 1 DH Az Az 1 seno( Az DH 1 f ' o ) sen9 5'6",4861 cos( Az1 o 1,76 cos9 5'6" 1,478 As matrzes a segur referem-se ao desenvolvmento de (7). f ' T Kll 1 ( S ) 1 DH 1 ( SDH ) 1 Az 1 ) ( SAz ) 1 f ' 1 DH Az 1 1 S 1,75 x1 5 S, 419m O mesmo procedmento é aplcado para o cálculo da precsão da ordenada, tendo por referenca a equação (5) fazendo: 1 DH Az cos( Az 1 DH 1 o ) cos9 5'6",8739 seno ( Az1 Obtendo a precsão da ordenada Y: S 1,9873x1 5 o ) 1,76 sen9 5'6" 5,967 m V.1, o., Agosto/18 ágna 6

9 S, 4369 m Desta forma chega-se ao fnal dos cálculos que com os valores das coordenadas do ponto e das suas respectvas precsões, guas a: 55.57,473 m ±,4 m ,36 m ±,4 m O procedmento até aqu apresentado consderou que o ponto fo rradado a partr de uma base georreferencada cujos vértces possuem algum tpo de erro. Como consequenca o azmute do alnhamento que lga esses vértces também possu algum tpo de erro. Ao usar uma estação total de menor precsão angular e com menor precsão lnear para rradar o ponto acrescentam-se mas erros ao problema, de tal forma que as coordenadas de terão a sua qualdade vnculada à precsão angular e lnear utlzadas para medí-las. As magntudes dos erros propagados na abscssa e na ordenada de foram demonstradas no método apresentado e neste caso, elas resultaram guas aos erros exstentes na abscssa e na ordenada de 1, vértce da lnha base que fo usado para medr, consderadas até a undade mm. Os valores de 4 mm em e 4 mm em mostram que todos os erros que nfluencaram na qualdade das coordenadas foram ínfmos e produzram coordenadas de com a mesma precsão das coordenadas de 1, que também são de 4 mm em cada exo. O estudo desenvolvdo a partr daqu fo no sentdo de dentfcar os lmtes até onde a qualdade das coordenadas de permanecera gual à qualdade das coordenadas de 1, quando fossem alterados o valor do ângulo horzontal e o valor da dstânca horzontal d1- lneares meddos para obter a posção de. 3. RSULTADOS DISCUSSÃO As smulações desenvolvdas no sentdo de dentfcar os lmtes a partr dos quas as precsões das coordenadas de se tornaram maores do que as precsões das coordenadas de 1, consderaram dferentes stuações onde as varações no valor do ângulo horzontal e as varações na extensão da dstânca horzontal d1- não ntroduzssem um erro propagado maor que 1 mlímetro, fosse na abscssa ou na ordenada de. a prmera parte da smulação fo nvestgada a nfluênca da varação lnear em dferentes stuações hpotétcas onde estara sempre sendo meddo com uma estação total com precsão angular de + 1, mas afastado a dferentes dstâncas de 1. As dstâncas foram ncrementadas até chegar a uma dstânca lmte onde o erro propagado na abscssa ou na ordenada de passou a ser maor que 1 mlmetro. Abaxo desse valor constatou-se a precsão das coordenadas de guas à precsão das coordenadas de 1. a segunda parte da smulação foram consderadas outras stuações onde podera ser meddo com o uso de estações totas com precsões angulares maores que 1 segundo. um racocíno lógco é de se esperar que uma estação total com menor precsão angular ntroduza erros maores na medção de, erros esses que acabarão propagados nas coordenadas dmnundo a sua precsão. A Tabela 1, a segur, mostra os resultados na prmera parte da smulação quando se fez varar as dstâncas entre 1 e e as precsões da abscssa e da ordenada do ponto rradado permaneceram guas às precsões das coordenadas de 1. A dstânca V.1, o., Agosto/18 ágna 63

10 dentfcada fo a dstânca de 67, metros, até a qual os erros propagados tanto na abscssa quanto na ordenada de são menores que 1 mlímetro. Tabela 1: rro ropagado em quando Meddo Com a Mesma recsão Angular stação Total com recsão de 1 segundo stação Total com recsão de 1 segundo rro no exo rro no exo Dstânca rro no exo rro no exo Dstânca Horzontal Horzontal,, 65,, 1,, 67,,,, 68,,1 3,, 7,,1 4,, 75,,1 5,, 76,1,1 6,, 77,1,1 Quando se encontra a uma dstânca de 68, metros os erros propagados começam a nfluencar na precsão das suas coordenadas, mas precsamente, no valor de 1 mlímetro na ordenada, enquanto que na abscssa o erro propagado anda contnua sendo zero. O erro propagado somente se apresenta no valor de 1 mlímetro em cada exo a partr da dstânca de 76, metros. m função dsso, consderou-se a dstânca horzontal de 67, metros como a dstânca lmte para os casos onde se utlza uma estação total com precsão de 1 segundo para medr. Deve-se ressaltar que o ponto poderá estar em dferentes posções relatvas à 1 em função do ângulo horzontal, que concetualmente pode ter valores entre º e 36º, quando então, as propagações aqu constatadas passarão a ter valores dferentes no exo e no exo, em função do azmute que lga 1. orém, a dstânca lmte contnuará sendo a mesma, ou seja, 67, metros, quando se usa um nstrumento que possu precsão angular de 1 segundo. Isso acontece porque a elpse de erro contnua sendo a mesma, apenas assumndo dferentes posções em relação ao azmute que lga 1. a segunda parte da smulação procurou-se dentfcar as dstâncas lmtes até as quas se pode rradar um ponto, usando estações totas com dferentes precsões angulares a partr das quas o erro propagado passa a nfluencar a precsão das suas coordenadas. Tabela : rro ropagado em quando Meddo Com Dferentes recsões Angulares stação Total de 1 stação Total de 3 stação Total de 5 DH DH DH,,,,,, 1,, 1,, 1,,,,,,,, 3,, 3,, 3,, 4,, 4,, 4,, 5,, 5,, 5,, 6,, 6,, 53,, 65,, 61,, 54,,1 67,, 6,, ,, V.1, o., Agosto/18 ágna 64

11 ssas tabelas mostram que utlzando nstrumentos de precsões angulares mas refnadas pode-se abrr uma dstânca maor entre o vértce orgem e o ponto de dvsa, ao passo que, trabalhando com nstrumentos de precsões angulares menores deve-se dmnur a dstânca entre 1 e para garantr em a mesma precsão das coordenadas do vértce orgem COCLUSÕS a maora dos trabalhos topográfcos convenconas executados no Brasl as polgonas sempre tveram as coordenadas dos seus vértces calculadas a partr de um ponto ncal de coordenadas arbtradas e sempre tveram os seus os seus alnhamentos orentados para o norte magnétco, no mínmo. os cálculos topográfcos convenconas não exsta a cultura de análse ndvdual por ponto para nvestgar a propagação dos erros médos nas coordenadas dos vértces de uma polgonal e muto menos nos pontos rradados. O que no máxmo exsta era a precsão da polgonal que nformava uma razão entre o perímetro da polgonal e erro lnear total cometdo no trabalho. sse tpo de nformação colocava as coordenadas de todos os vértces da polgonal na mesma de precsão, e, não se conheca a precsão dos pontos rradados, o que não é mas sufcente para trabalhos georreferencados. Os resultados aqu apresentados mostram que os pontos rradados conterão pouco ou nenhum erro propagado a partr da lnha base, se a dstânca lmte for respetada. ode-se assumr, pelo que fo demonstrado, que trabalhando com estações totas que possuam 1 ou 3 ou 5 segundos de precsão angular não haverá propagação sgnfcatva de erros nas coordenadas do ponto rradado, se a dstânca entre a lnha base e o ponto rradado for menor que a dstânca lmte de 53 metros. 5. RFRÊCIAS BIBLIOGRÁFICAS DALMOLI, Q. Ajustamento por Mínmos Quadrados. ª dção. Curtba, 4. GMAL, C. Introdução ao Ajustamento de Observações: Aplcações Geodéscas. ª dção. Curtba, dt. UFR, 15. ISTITUTO ACIOAL D COLOIZAÇÃO RFORMA AGRÁRIA. orma Técnca para Georreferencamento de Imóves Ruras. ª dção. Brasíla, 1. ISTITUTO ACIOAL D COLOIZAÇÃO RFORMA AGRÁRIA. orma Técnca para Georreferencamento de Imóves Ruras. 3ª dção. Brasíla, 13. MZORI, M. Georreferencamento Concetos. dtora Baraúna, São aulo, S, (17). MOICO, J.F.G.; DAL ÓZ, A..; GALO, M.; SATOS, M.C.; CASTRO, L.O. Acurára e precsão: revendo os concetos de forma acurada. Boletm de Cêncas Geodéscas, v.15, p , Curtba, 9. SILVA I.; SGATI,.C.L. Topografa para ngenhara. lsever dtora Ltda, Ro de Janero, RJ, 15. TAYLOR, J.R. Introdução à Análse de rros: O studo de Incertezas em Medções Físcas. ª dção. orto Alegre, 1. V.1, o., Agosto/18 ágna 65