Universidade Estadual do Centro-Oeste Departamento de Física CEDETEG. Introdução à construção de gráficos

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1 Unversdade Estadual do Centro-Oeste Departamento de Físca CEDETEG Introdução à construção de gráfcos 004

2 1 1. Introdução Gráfcos, como equações e taelas, mostram como se relaconam duas ou mas grandezas físcas. Como nvestgar quas são as relações exstentes entre as grandezas consttu grande parte do traalho, tanto expermental como teórco, em físca; equações, taelas e gráfcos são mportantes ferramentas. Assm, uma oa forma de analsar um conjunto de dados expermentas e resumr os resultados é colocá-los em um gráfco. É mportante fornecer, no gráfco, toda a nformação necessára que permta sua letura correta e smples. A escolha de uma escala adequada e do tpo de escala tamém é mportante. A avalação sore a qualdade do ajuste da curva é realzada comumente pelo controle do gráfco, dos pontos expermentas e da curva ajustada teorcamente. Um gráfco consttu uma ferramenta para extrar nformação sore uma determnada experênca. Por sso, é muto mportante ser cudadoso em sua apresentação. No caderno de laoratóro do aluno, o gráfco é essencalmente um auxlo para os cálculos; em um relatóro mas formal o gráfco representa a conclusão de um projeto e necessta ser mostrado de uma manera mas elegante e profssonal. O gráfco não deve estar desordenado ou sorecarregado com cálculos de nclnação ou de outras grandezas. Para uma compreensão razoável, as seguntes nformações devem estar presentes no gráfco (ver tamém seção ): um título 1 ; dentfcação dos exos para se defnr as grandezas físcas representadas; as undades físcas das grandezas físcas representadas; um símolo (por ex. um ponto) que corresponda a cada dado expermental, e arras de erros ou retângulos de erros assocados a cada dado; para análse gráfca feta no gráfco, em partcular para os pontos expermentas, utlzar uma dentfcação clara; uma legenda se mas de um conjunto de dados expermentas está representado no gráfco. A construção de gráfcos nos permte realzar uma estmatva de uma determnada grandeza através da nclnação de uma reta méda, ou através 1 Vde comentáro sore o título de um gráfco na seção.

3 do seu coefcente lnear. Esta aplcação não é uma das mas mportantes, prncpalmente quando a reta méda é feta de forma vsual. Deve-se consderar tamém que os gráfcos são um auxlar mportante para a vsualzação de um determnado fenômeno, uma tendênca ou comportamento dos dados, que às vezes fcam dfíces de serem oservados quando os resultados estão regstrados somente na forma de taelas. Em geral, um gráfco transmte um quadro mas claro dos seus resultados que uma taela de números. Quando a análse dos dados expermentas é feta através de um gráfco, chama-se Análse de Dados pelo Método Gráfco. Um gráfco permte determnar como uma varação numa grandeza conduz a uma varação na outra. Descorr que não exste correlação entre as grandezas representadas no gráfco poder ser tamém um mportante resultado num projeto de pesqusa. Para nível de graduação, sso podera acontecer se o aluno colocou as varáves erradas no gráfco ou nclusve se realzou a experênca de forma errada. Um gráfco de dados expermentas pode fornecer uma descrção qualtatva, mas concsa, do expermento sem a necessdade de realzar cálculos adconas. Se os dados não estão correlaconados, não va exstr, de forma clara, uma relação entre as varáves, e uma análse adconal não é necessára. Para uma descrção mas quanttatva necesstamos estaelecer se exste uma relação matemátca entre as varáves. Algumas relações matemátcas podem ser dentfcadas medatamente; por exemplo, n equações do tpo = c x aparecem regularmente em físca, onde c e n são constantes. O valor de n podera não ser óvo a partr dos dados, mas o aluno deve ser capaz de dentfcar e representar grafcamente as funções para n > 1; n < 1e n =1. As funções mas freqüentes encontradas pelos alunos c ncluem = cx, = c x e =, assm como a função lnear. x Uma relação matemátca podera a pror ser fxada pela teora. Desta manera podemos usar esta teora ou os resultados do ajuste da curva para oter alguns sgnfcados físcos dos parâmetros. Por exemplo, a posção de uma partícula que ca lvremente so a gravdade é descrta por um polnômo de segunda ordem = a+ x+ cx, onde os parâmetros a, e c representam a posção ncal (a ), a velocdade ncal ( = v ) e a g metade da aceleração ( c = = x 0 0 ), respectvamente. Os números otdos a partr dos resultados do ajuste quadrátco da curva nos permtem atrur valores a esses parâmetros.

4 Uma vez que se tem uma equação que descreve o comportamento dos dados expermentas, podemos usá-la para predzer como uma experênca podera se comportar fora do ntervalo de medção por meo de uma nterpolação ou extrapolação (vde seção ). A análse por regressão pode fornecer somente uma descrção matemátca dos dados expermentas; compete ao aluno explcar seu sgnfcado físco. Qualquer curva pode ser ajustada pela soma de um polnômo da forma N 4 = = n= 0 a a x a x a x a x a x. Esse ajuste nclusve pode ser feto para um conjunto de dados um tanto errátco, sto é, é possível encontrar uma função que descreva os valores orgnas muto em. No entanto, uma função sem ase físca não va ter nterpretação físca e não tem sgnfcado ndependentemente dos valores otdos pelo computador. Quasquer que sejam as funções matemátcas usadas, a análse deve ser mantda tão smples como seja possível, e não devemos ser tolos tentando tornar o prolema mas complcado. Assm, se os dados expermentas mostram um comportamento lnear, nada mas complcado deve ser testado que um ajuste lnear. Por outro lado, um ajuste lnear não deve ser expermentado se os dados não seguem um comportamento lnear óvo. Atualmente, o ajuste de curva pelo método gráfco dos pontos expermentas pode ser consderado um camnho romântco ou nostálgco para se oter uma estmatva dos parâmetros de uma função. De qualquer manera, podemos enfrentar anda a stuação onde o computador, presente em quase todo lugar, não possa ser acessado para realzar um ajuste numérco estatístco. Além dsso, esse tpo de exercíco possu anda um valor pedagógco, e de fato merece ser estudado. Emora o uso de gráfcos seja uma lnguagem utlzada com freqüênca na Físca, Químca, Engenheras e outras áreas para se dscutr e explorar concetos, os procedmentos para a construção e nterpretação de gráfcos por mutos anda são desconhecdos. Para a utlzação de forma adequada desta lnguagem matemátca, é fundamental que se tenha conhecmento de como construr gráfcos manualmente, o qual remos dscutr detalhadamente a segur. É mportante comentar que em nenhum momento é suestmada a convenênca do uso dos programas de computador para construr gráfcos, mas a capacdade de realzar um gráfco e de nterpretar o sgnfcado dele é uma aptdão fundamental que os alunos devem aprender prmeramente enquanto usam láps e papel. Esta haldade é desenvolvda à medda que n n

5 4 realzam mutos expermentos que ncluem a construção de gráfcos de uma forma ou outra.. Escala lnear A escala mas smples de se traalhar é a escala lnear. Uma escala lnear é aquela em que a coordenada de um ponto é proporconal à grandeza que ela representa. Gráfcos de dados que exem uma relação lnear ( = a+ x) entre as varáves são partcularmente útes. Tomemos por exemplo o conjunto de pontos meddos ( x, ), onde exste uma relação quadrátca entre x e (por ex. = a+ cx ). Um gráfco de versus x mostrará uma curva em forma de paráola da relação entre x e, mas não será útl na determnação das constantes a e c. Já um gráfco de versus x permte um ajuste lnear, uma méda sore todos os dados, resultando em um valor melhor ajustado para a (coefcente lnear), determnado por meo do ntercepto do exo, e para c (nclnação da reta) calculado através da nclnação do ajuste (vde seção 5). Um outro exemplo da vantagem de se escolher as varáves das coordenadas de forma tal que a curva representada seja lnear, pode ser vsta na equação de Sellmeer que relacona o índce de refração com o comprmento de onda n = 1+ ( A λ λ B ). (.1) Reescrevendo esta equação otemos λ λ = B+ A n. (.) 1 Um gráfco de λ versus λ ( n 1) va fornecer os melhores valores ajustados para A e B a partr da nclnação da curva e de seu ntercepto, respectvamente. O ajuste de curva para funções que não apresentam uma dependênca lnear será aordado na seção 5. Em uma escala lnear, costumamos defnr o chamado fator de escala (ou módulo de escala), que é a razão entre a varação da grandeza que se quer representar e o comprmento do papel dsponível para um exo. Por

6 5 exemplo, se o comprmento do papel dsponível para o exo é a grandeza vara de 0 a 1 V, o fator de escala será dado por L = 80 mm, e f ( 1 0) ( 80 0) G V V = = = 0,049 0,05 L mm mm V mm, ou seja, cada mlímetro (mm) do exo corresponde a 0,05 V. Neste exemplo, arredondou-se o fator de escala para um valor maor que o calculado. Esta prátca é aconselhável, pos torna o fator de escala mas fácl de se traalhar e permte utlzar todos os valores da grandeza. Se tvéssemos arredondado o fator para 0,04 V/mm, necesstaríamos mas do que 80 mm para representar os últmos valores da grandeza maores que 11, V; além dsso a construção do gráfco sera muto mas traalhosa, em dependênca do valor do fator de escala. Como procedmento geral, aconselha-se adotar fatores de escala fáces de traalhar, sto é, escalas nas quas a menor dvsão do papel (exo), por exemplo 1 mm, concda com a undade da medção ou se necessáro com múltplos ou sumúltplos de essa undade, em fatores ; 1 ;5 ; 1 ;10 ;0,1;100 ;0,01; etc., ou de forma geral 5 ± 1;;5 x10 n, sendo n um número ntero. ( ) Não se devem empregar fatores de escala em que as coordenadas de um dado expermental sejam dfíces de serem reconhecdas. Por exemplo, deve se evtar que 1 mm concda com ; ; ; ; ; da undade empregada. Deve se evtar tamém fatores de escala, 7 e 9. Um outro cudado mportante que se deve levar em conta ao escolher uma escala é consderar que se têm dados expermentas com 4 ou 5 algarsmos sgnfcatvos, tem que se evtar escolher uma escala muto estreta (fator de escala grande) em que somente pode se aprecar ou algarsmos sgnfcatvos. Essa escolha mplcara em uma perda de toda a nformação contda nos últmos algarsmos sgnfcatvos, e, por consegunte, jogar fora uma oa parte do traalho expermental realzado com uma oa precsão. Por outro lado, se os nstrumentos de medção utlzados não fornecem mas que um ou dos algarsmos sgnfcatvos, não deve se escolher uma escala muto grande (fator de escala pequeno) de tal forma que permta aprecar mas de dos algarsmos, já que não sera necessáro, e é falso. Se exste anda espaço no papel (exo) para prolongar a escala, nunca deve fazer-se além do que correspondera à precsão da medção. Consderando os fatos anterores, sugere-se não fazer escalas que varram muto além do ntervalo de medções, por exemplo, se as meddas são

7 6 entre,6 s e 6,04 s, não é necessáro construr um gráfco com uma escala entre 0 e 10 s, sendo sufcente de,0 s até 6,10 s. A segur, relaconamos, em forma de resumo, alguns cudados que devem ser tomados quando se está construndo um gráfco: a) coloque na parte superor do gráfco o título do gráfco; Gráfcos pulcados em peródcos centífcos normalmente não têm título. Em vez dsso, é usada uma legenda descrtva da fgura. Assm, não é necessáro usar (sempre) um título, mas se decdmos colocá-lo no gráfco, ele deve ser claro e auto-explcatvo. Gráfco de contra x não é aproprado se os exos já foram dentfcados por x e. Esse título não fornece ao letor nenhuma nova nformação sore o gráfco. Um gráfco que estuda a le de Ohm por meo do comportamento da dferença de potencal como função da corrente elétrca podera ter como título Verfcação da le de Ohm. Escrevendo, por exemplo, Gráfco da dferença de potencal contra corrente elétrca o gráfco não nforma nada sore do que se trata a experênca. ) a varável dependente deverá estar (quase) sempre no exo vertcal (exo das ordenadas) e a ndependente no exo horzontal (exo das ascssas), sto é, coloque a causa no exo horzontal e o efeto no exo vertcal; Isso sgnfca que o exo x contém a grandeza que pode ser controlada enquanto o exo contém a que vara como uma conseqüênca da varação da que contém x. Assm, por exemplo, temos que na experênca da le de Ohm, a corrente é varada no crcuto e é medda a queda de potencal (voltagem) através do resstor. Isto não sgnfca que todos os gráfcos de voltagem contra corrente possuem a corrente ndcada ao longo do exo x. Por exemplo, na experênca de Franck-Hertz a voltagem é varada e a corrente é medda. O aluno podera se perguntar, por que essa dferença? No prmero exemplo, utlzamos a nclnação da curva (vde seção 4) para determnar a resstênca do resstor. No segundo, determnamos a energa de exctação, por exemplo, dos átomos de mercúro. Esta últma experênca é completamente dferente da prmera e não exste uma razão para esperar que as curvas sejam as mesmas nos gráfcos. Como A experênca de Franck-Hertz está descrta na maora dos lvros de Físca Moderna, por exemplo, R. Eserg e R. Resnck, Físca Quântca: Átomos, Moléculas, Sóldos, Núcleos e Partículas. Edtora Campus, 18 a Tragem, pp

8 7 decdr o que colocar em cada exo, va depender de qual nformação deseja-se extrar do gráfco. c) fatores de escalas fáces de operar e nterpretar ou ndque claramente o fator de escala para cada exo (vde comentáro acma); d) trace os exos e ndque as grandezas com as respectvas undades entre parênteses; no exo horzontal é usual colocar essa nformação aaxo do exo ou aaxo da seta (ao lado dreto), e no exo vertcal ao lado esquerdo; e) gradue os exos em espaços regulares, de 1cm em 1 cm ou de cm em cm; evte dexar muto espaçamento entre as graduações, ou acumular mutos números nos exos; f) procure não escrever todos os dados da taela, que, em geral, são querados ; localze-os, sem escrever os números; por do que esse procedmento, é escrever exatamente os números presentes nas taelas, sem as graduações em espaços regulares; g) ao localzar os pontos, não utlze tracejados para todos os pontos, reserve os tracejados para alguns pontos mportantes, por exemplo, para determnara nclnação da reta; h) represente os dados no gráfco por ponto, cruz, retângulo ou um outro símolo que torne os dados vsíves (eles devem ser vsíves, porém não exagere!; lemre da precsão da nformação), não utlze apenas pontnhos para localzá-los; ) não lgue os pontos dos a dos através de segmentos de retas, nem passe uma curva lsa por todos os pontos; lemre-se que, em Físca, nenhuma medda é exata ; j) trace uma curva que melhor se ajuste aos pontos, ou seja, uma curva méda, que passe pela maora dos dados expermentas, de tal modo que o número de pontos stuados acma da curva seja aproxmadamente gual ao número de pontos aaxo; k) no caso em que a curva esperada é uma reta, trace uma reta méda de modo que o número de pontos que estejam acma da reta seja aproxmadamente gual ao número de pontos aaxo da reta (para mas nformações sore esta stuação especal ver seção 4); l) quando se deseja representar tamém o erro da medda, coloque arras horzontas e/ou vertcas, de comprmento aproprado. Na verdade, para o ajuste da curva tem que se colocar sempre as arras de erros (ou retângulos de erros). Em relação ao tem l), lemre que nenhuma medda em físca possu um sgnfcado físco a menos que uma estmatva da sua ncerteza lhe seja ndcada. Utlzam-se as arras de erros em um gráfco para ndcar

9 8 ncertezas. Desta manera, o valor verdadero da medda da grandeza fca entre o lmte superor e o nferor da arra de erro. As arras de erros poderam ser omtdas somente se elas fossem muto pequenas para ser mostradas na escala especfca do gráfco. Por outro lado, quando os erros de cada ponto podem ser representados, é mportante não dexar de fazê-lo porque sto ajuda a traçar vsualmente a melhor curva ou reta que passa pelos pontos expermentas. Pode acontecer que se esteja analsando pontos expermentas que teorcamente estejam vnculados por uma relação lnear, mas no gráfco os pontos aparecem relatvamente espalhados e provoque dúvdas de como traçar a reta. Entretanto, com ajuda das arras de erros ou retângulos de erros, poderão ser encontradas rapdamente uma ou váras retas que passem por todas as regões de ncertezas representadas no gráfco. Se apesar das arras ou retângulos de erros nota-se anda um espalhamento acentuado dos dados expermentas, sgnfca que a precsão do método utlzado fo axa e que os erros aleatóros se tornam sgnfcatvos. Na seção 7, veremos como processar os erros aleatóros nos gráfcos.. Interpolação e extrapolação Ao traçar uma lnha contínua juntando os pontos expermentas ou desenhando a melhor curva no gráfco estamos fazendo uso da nterpolação. A nterpolação é a ação pela qual preenchemos o espaço em ranco entre os dados expermentas através de uma curva contínua que supostamente mostra o comportamento dos própros pontos. Por outro lado, a extrapolação sgnfca estender a curva fora do ntervalo dos lmtes dos valores meddos, so a hpótese que o comportamento da curva permanece sendo o mesmo fora do ntervalo do expermento. Tanto a nterpolação como a extrapolação possuem seus rscos. No caso da nterpolação, em dependênca do ntervalo x da varável de controle, podemos estar consderando um comportamento falso dos dados expermentas. Por sso, quando exste alguma razão para duvdar da nterpolação feta, o expermentador deve repetr as medções procurando estretar x para detectar qualquer anomala. Se utlzarmos um ntervalo razoavelmente estreto, e não surgem anomalas, a nterpolação resultante é confável. Infelzmente, o crtéro para decdr o ntervalo x que é razoavelmente estreto, é fornecdo pela experênca de traalho com as medções, e não ndcações fornecdas a Vde o capítulo V no texto Introdução ao cálculo de ncertezas em meddas físcas.

10 9 pror. A únca sugestão geral que pode ser dada é a de estar atento aos nstrumentos de medção não somente no ato da letura, senão durante todo o tempo de medção. Sore o traçado da curva de nterpolação, lemramos que esta curva não precsar conter todos os pontos expermentas (vde tem j) na seção ). O traçado da curva de nterpolação se faz sem desvos ruscos para cada ponto expermental; tentando passar ao longo da regão dos pontos (arras de erros), dexando aproxmadamente a mesma quantdade de pontos de um lado e do outro da curva, de forma eqüdstante (levando em conta as arras de erros). Em relação à extrapolação, esta pode ser muto mas pergosa. Mutas les físcas, encontradas a partr de expermentos realzados em um ntervalo determnado, têm dexado de ser váldas quando utlzadas fora dos lmtes dos valores ncalmente expermentados. Como exemplo destes fracassos temos a aplcação das les de Newton para velocdades próxmas a velocdade da luz no vácuo e para o mcro-mundo. Eles resultaram na teora da Relatvdade e da Mecânca Quântca, respectvamente. A extrapolação é justfcada num gráfco somente se a le estudada se conhece antecpadamente, e a mesma é usada somente como ferramenta para se determnar algum parâmetro de nteresse. Se não for conhecda a le, a extrapolação resultante pode ser falsa. No entanto, o camnho da pesqusa exge às vezes estes rscos. Se a premssa feta desta forma é falsa, a própra prátca, o demonstrará e orgará a uma revsão da hpótese teórca. Se a predção é certa, teremos fcado mas perto do conhecmento de nosso mundo. 4. Gráfcos lneares. Centróde. A teora atrás da maora dos expermentos nos laoratóros ntrodutóros é geralmente smples o sufcente para ser descrta por meo de um gráfco lnear. A relação matemátca mas fácl de reconhecer em um gráfco é a lnear. Qualquer outra curva provocará dúvdas sore a função = f x que lhe corresponde. Ao se colocar os dados expermentas em um gráfco e a curva otda for uma lnha reta, a função que relacona as varáves é = a+ x, onde a e se determnam a partr do gráfco. A nclnação é calculada a partr de dos pontos da reta nos extremos do ntervalo de medção. Assm, teríamos que = 1, (4.1) x x 1 ( )

11 10 onde (, x ) são as coordenadas de dos pontos da reta traçada. Oserve que o parâmetro fo denomnado como nclnação da reta e não como coefcente angular. A segunda denomnação é assocada a um ângulo, prncpalmente pelos estudantes que determnam o valor do parâmetro por meo da relação = tgθ, onde θ é ângulo entre o exo das ascssas e a melhor reta. O prmero a ser comentado é que fornece como resultado um número admensonal, enquanto o parâmetro possu undades. Por outro lado, o valor de somente concde numercamente com o valor da tgθ quando os fatores de escala forem os mesmos em amos os exos ( é apenas numercamente gual a tgθ ). tgθ O valor do coefcente ou parâmetro lnear a pode ser calculado através da relação a = x, (4.) onde ( x, ) são as coordenadas de um ponto sore a lnha reta. Outra manera de se determnar a, sera fazer uma extrapolação da lnha reta até o exo (vde seção ). O ponto onde a reta ntercepta (corta) o exo, sto é para x = 0, representa o valor do coefcente lnear a. Nesta stuação o valor de a é determnado dretamente. Os pontos ( x1, 1) e ( x, ) escolhdos para calcular a nclnação da reta, cujas coordenadas ( x, ) foram meddos e/ou calculados dretamente, não precsam ser dados expermentas. Os dados expermentas (juntos com as arras de erros) servem de gua para traçar a melhor reta, a qual é traçada dexando-se a mesma quantdade de pontos dos dos lados da reta. Se os retângulos de erros estão ndcados no gráfco, as regões por eles delmtadas devem ser consderadas na hora de traçar a melhor curva. Na verdade, o que denomnamos de melhor reta representa uma das dferentes possíves retas que podem ser traçadas no gráfco. Portanto, o correto é falar, o traçado de uma reta méda e não a reta méda. Os pontos da melhor reta traçada são mas confáves para o cálculo da nclnação que os própros dados expermentas. Essa reta é o resultado de contraalançar os erros aleatóros de cada medção, e, em prncípo, representa valores mas exatos que os das medções soladas (do mesmo modo que o valor médo de uma grandeza é mas exato que as leturas ndvduas da grandeza que são utlzadas para calculá-lo 4 ). Como na stuação 4 Vde o capítulo X no texto Introdução ao cálculo de ncertezas em meddas físcas.

12 11 da repetção da medda de uma grandeza, quanto maor o número de dados expermentas mas precsa será a reta expermental para expressar a relação entre as varáves x e. Se o ntervalo de valores meddos não contém o valor x = 0 nem valores próxmos a ele, o melhor aprovetamento da folha de papel mlmetrado fará com que o coefcente lnear a não possa ser ldo dretamente no gráfco. Isto é, se a escala do exo x escolhda entre dos números que não ncluem x = 0, o ntercepto que se oserva sore o exo no gráfco não será o valor do coefcente lnear a procurado; este corresponde somente a x = 0. Assm, do gráfco não se pode extrar dretamente o valor de a. Nesta stuação se deve proceder como ndcado acma na relação (4.). Um ponto que auxla muto para traçar uma reta méda que representa a relação lnear dos dados expermentas ( x, ), é aquele cujas coordenadas ( x, ) representam os valores médos (artmétcos) dos valores ( ) expermentas x, : x 1 N = x, (4.) N = 1 1 N =. (4.4) N = 1 O ponto com coordenadas ( x, ) é denomnado centróde da dstrução de pontos no gráfco. Ao representar os pontos no papel, se estes sugerem uma relação lnear entre x e, deve-se calcular as coordenadas ( x, do centróde e colocá-lo tamém no papel. A melhor reta ) traçada passará pelo centróde, dexando guas quantdades de pontos de um lado e do outro. 5. Lnearzação ou anamorfose. De forma geral, é convenente traalhar com gráfcos de funções lneares. Ao otermos um conjunto de pontos expermentas, se qusermos comparar estes resultados com algum modelo teórco, sso será mas fácl se a função teórca for lnear. Ovamente, nem todos os sstemas físcos têm comportamento lnear, o que nos leva mutas vezes à necessdade de se

13 1 proceder a lnearzação de uma função, ou anamorfose. Isto é, se temos uma função a qual não é lnear, podemos aplcar-lhe funções para lnearzá-la. Podemos formular o prolema matematcamente nos seguntes termos. Consderemos que = ( x; a, ) (5.1) seja uma função não lnear com dos parâmetros a e. Se encontrarmos a transformações Y = Y( x, ) e X = X( x, ), (5.) que permtem escrever a segunte relação ( ) ( ) Y = X F a, + G a,, (5.) onde F e G são expressões conhecdas que somente dependem de a e, então teremos lnearzado. Uma vez que F e G têm sdo encontradas por métodos gráfcos ou numércos, as constantes a e podem ser determnadas pela nversão de F e G. As ncertezas de a e podem ser calculadas pela propagação de erros 5. Freqüentemente, a complexdade da nversão de F e G torna o método de lnearzação mpratcável. Algumas vezes, a lnearzação da função pode ser atngda com escalas não lneares como será mostrado na seção Função quadrátca Consdere que = a x. Defnndo (duas funções para lnearzar a função) ( ), ( ) X x = x Y = então vamos ter a função lnear Y( X) = a X, 5 Vde o capítulo XI no texto Introdução ao cálculo de ncertezas em meddas físcas.

14 1 que pode ser representada num gráfco lnear. O parâmetro a é agora a nclnação da lnha reta, e pode ser estmado usando os métodos anterormente explcados (ver tem 4). A função quadrátca representa uma stuação especal da função potênca que será aordada a segur. 5. Função potênca Consdere a função a = x. (5.4) Aplcando logartmo em amos lados da expressão (5.4) otém-se log = alog x+ log. Ao defnrmos as seguntes funções Y = log, X = log x, vamos oter a função lnear Y = a X + log. (5.5) Neste caso, o coefcente angular a e o ntercepto log da reta méda traçada são o expoente de x e o logartmo do coefcente de x, na equação (5.4), respectvamente. 5. Função exponencal Consdere a função ax = e. (5.6) Aplcando logartmo em amos lados da expressão (5.6) otém-se ( ) log = aloge x + log. Se agora defnmos as seguntes funções Y = log, X = x,

15 14 vamos oter a função lnear ( log ) Y = a e X + log. (5.7) Neste caso a nclnação da reta méda traçada é a loge, e o ntercepto no exo Y é lo g. 6. Escalas logarítmcas Uma escala logarítmca é um exo cuja escala é proporconal ao logartmo do valor representado. A ase do logartmo é artrára para escalas logarítmcas; no entanto por smplcdade consdera-se ase 10. Por exemplo, se representamos numa escala logarítmca os números log 0.1 1, log 1 0, e lo g 10 = 1, oservamos que eles estão 10 = 10 = 10 eqüdstantes. Em geral, qualquer múltplo da potenca 10 va estar a uma mesma dstânca do valor anteror e/ou posteror. A dstânca é característca para um papel com escala logarítmca (de ase 10), e é denomnada de década. Uma das vantagens prncpas do uso de escalas logarítmcas é que podemos representar ntervalos de váras ordens de magntude numa folha. Outra vantagem da utlzação da escala logarítmca é para a lnearzação de funções, o que será dscutdo a segur. Exstem essencalmente duas stuações que podem ser lnearzadas utlzando papel de escalas logarítmcas, conhecdas tamém como papel logarítmco. Quando amos os exos de coordenadas são logarítmcos, temse o chamado papel log-log ou d-log, e quando somente um dos exos é logarítmco e o outro lnear, tem-se o papel sem-log ou mono-log. a Se os dados expermentas oedecem uma le de potênca ( = x ), podemos oter uma lnha reta para a melhor curva, se representarmos e x numa escala logarítmca, especfcamente num papel d-log (vde tem 5.). ax Se os dados expermentas oedecem uma le exponencal ( = e ), oteremos uma lnha reta (melhor curva), se representarmos grafcamente o logartmo de versus x, sto é, se utlzamos um papel sem-logarítmco (sem-log) (vde tem 5.). Ao oservar uma folha com escala logarítmca, perceemos que os valores dos exos podem representar ntervalos dferentes dependendo dos valores dos dados expermentas. Tendo um papel com três décadas, os ntervalos podem ser 1-10; e Se os dados contêm valores

16 15 menores que 1, as três décadas poderam ser 0,01-0,1; 0,1-1 e 1-10, mas se é de nteresse representar valores de x desde x=00 até x=70000, as mesmas três décadas representarão os ntervalos ; e Costuma-se utlzar a notação centífca para dentfcar os ntervalos. Ao colocar ou procurar um ponto na escala logarítmca deve-se levar em conta que a escala do gráfco não é a mesma em todos os suntervalos. Por exemplo, entre 1 e exstem 10 dvsões, enquanto entre 8 e 9 apenas. Por outro lado entre e 4 exstem 5 dvsões. Assm, o valor de cada dvsão pode ser dferente para cada suntervalo, por exemplo, entre 1 e vale 0,1; entre 8 e 9 vale 0,5 e entre e 4 corresponde a 0,. Pelo exposto acma, deve se tomar muto cudado ao se colocar pontos nas escalas logarítmcas. Um outro cudado mportante que se deve tomar ao traalhar com papel logarítmco é o segunte: consdere que se deseja calcular a nclnação de uma reta méda dada pela expressão (5.5) em um papel d-log. Nesta stuação os pontos da reta estão dstruídos segundo os valores de lo g e log x, não valores de e x. Por sto, a nclnação será: log log log 1 1 nclnação = =. log x log x x 1 log x 1 Da mesma manera que explcado no tem 4, deve-se tomar os pontos extremos sore a reta e dentro do ntervalo de medção. Para um gráfco lnear num papel sem-log, a nclnação é dada por: nclnação = x x log 1 1. Para se determnar o ntercepto sore um dos exos logarítmcos, lemre-se que, o que está sendo representado é o valor do logartmo do número, mas a letura do número é feta dretamente na escala. Na taela I estão ndcadas algumas das experêncas áscas dos cursos de laoratóros. Nela estão tamém relaconadas as correspondentes expressões, assm como as grandezas que devem ser representadas nos exos x e. Além dsso, estão ncluídas as nformações que podem ser otdas a partr da nclnação e do ntercepto da reta ajustada.

17 16 Taela I. Relação de experêncas usuas nos laoratóros de físca; expressões fundamentas de cada experênca em como as grandezas que podem ser otdas por meo da nclnação e o ntercepto de um gráfco de uma lnha reta. Os símolos possuem seu sgnfcado hatual. Experênca Formula Exo x Queda lvre Pendulo Smples Dlatação térmca de uma vareta Descarga de um capactor Medda do campo gt = + 0 t T = π g ( α ) ( x + R ) magnétco Dstânca focal de uma lente fna Índce de refração de um meo Efeto Fotoelétrco Constante de Rderg Decamento radoatvo Exo T Inclnação Intercepto g 4π g = 1+ t 0 t α 0 V = V0 e trc t lnv B = µ NI 0 log x = s s f s n senθ senθ ( R ) = senθ r r + log B 1 s hf = ev0 + φ f V = R λ n 1 n lnv 0 RC log ( µ NI ) 1 1 f senθ n 0 1 λ h e R N = N e λt t ln N λ 0 φ R ln N Oservando a taela podemos ver que as relações de potênca ou exponencal podem ser representadas calculando-se prmero os logartmos ou fazendo uso dos papes logarítmcos. Informações útes podem tamém ser otdas a partr do ntercepto do exo x, por exemplo, na experênca do efeto fotoelétrco, o ntercepto em x fornece o valor do da freqüênca de corte. Veja que a nclnação da reta pode ser negatva ou postva.

18 17 7. Erros da nclnação e do ntercepto pelo método gráfco Nesta seção vamos analsar como podemos estmar o erro total assocado ao ntercepto a e à nclnação da lnha reta, utlzando o método gráfco no papel mlmetrado. O resultado fnal deve ser expresso na forma: ± E, a± E, a onde E e E a representam os erros totas da nclnação e do parâmetro lnear da melhor curva traçada, respectvamente. Vamos consderar que as correções relaconadas aos erros sstemátcos já foram fetas. Cada dado expermental está afetado anda por três tpos de erros ndependentes: um aleatóro s, outro de precsão da escala dos nstrumentos α, e o últmo de precsão da escala do exo no papel β 6. Cada coordenada ( x, ) dos dados expermentas carrega estes erros. A melhor reta ou reta méda, traçada a partr dos pontos expermentas, admte um erro x para cada um de seus pontos expressado pela relação: E = s + α + β, (7.1) x x x x e um erro em dado por: E = s + α + β. (7.) A segur, vamos a analsar duas stuações extremas. a) A reta méda passa por todos os dados expermentas Nesta stuação, os erros aleatóros s e de precsão dos nstrumentos α são em menores que os erros de precsão das escalas gráfcas β (s, α ), nos correspondentes exos (os erros s e α fcam comprmdos β dentro da escala). Esta crcunstânca faz que com os erros de cada varável (grandeza) sejam determnados (aproxmadamente) pelas seguntes expressões: E β, E β. x x 6 Para o papel mlmetrado, por exemplo, β estará dado pelo fator de escala nos dos exos (vde tem ).

19 18 O erro do ntercepto será: E ( β ) = β +. (7.) a x A expressão (7.) será justfcada mas adante. O erro total da nclnação pode ser determnado através da propagação de erros quadrátco da relação = x 7. De onde oteremos E β x β = + x, (7.4) onde x e são determnados sore a reta méda traçada pontos próxmos aos extremos do ntervalo de medção. a partr de Na prátca, esta stuação pode ser consderada sempre que dos terço ( ) ou mas dos dados expermentas fquem sore a melhor reta traçada, e o resto dos pontos não estejam muto afastados segundo os erros de precsão dos nstrumentos α e α, ou seja que a reta méda passe, x no mínmo por suas regões de ncerteza. Se mas de um terço (1 ) dos dados expermentas está fora da melhor curva traçada ou o espalhamento dos pontos for maor que o permtdo pelos erros α e α, deve-se avalar os erros aleatóros como se x explca a segur. ) A reta méda dexa dados expermentas em amos lados Neste caso, os erros aleatóros e de precsão dos nstrumentos são maores ou smlares ao de precsão de, no mínmo, uma das escalas (exos) do gráfco. Analsemos como determnar os erros aleatóros da nclnação s e do ntercepto s a. O método que será descrto a segur requer de 0 ou mas pontos expermentas para ser efetvo. Para se determnar o erro aleatóro do ntercepto s a, desloca-se a reta méda para cma de forma paralela a ela mesma de modo que fquem so ela dos pontos expermentas. Esta reta deslocada para cma 7 Vde o capítulo XI no texto Introdução ao cálculo de ncertezas em meddas físcas.

20 19 corresponde um valor de ntercepto máxmo a. Da mesma manera desloca-se a melhor reta para axo, tamém de forma paralela a ela mesma, até que restem dos pontos acma dela. A esta nova reta deslocada lhe corresponde um valor de ntercepto mínmo. A dferença entre os nterceptos destas retas ( a a fornece um valor aproxmado max mn ) do desvo padrão do ntercepto a partr dos N pontos meddos. Oserve que entre as retas extremas fcam 1 dos pontos, e que no ntervalo ± σ em max a mn torno do valor médo devem estar aproxmadamente dos dados expermentas, sto é, cerca do 68%, pelo que 1 deles corresponde a e +σ o outro 1 a σ 8. O erro aleatóro do ntercepto pode ser estmado pela segunte relação: s a a a max mn =. (7.5) N Para se calcular o erro aleatóro da nclnação dvdmos o ntervalo de medções de x em três regões com guas quantdades de pontos expermentas, tendo como lmte dreto e esquerdo os dados expermentas. A regão central, próxma ao centróde não é levada em conta para o que será explcado a segur. A melhor reta é grada em torno do centróde (ou em perto dele) para cma e para axo para calcular as nclnações extremas possíves para o conjunto de dados expermentas: e. mn max ma x Para aproxmar a varação ( ao desvo padrão σ, as retas max mn ) de nclnações extremas são escolhdas do segunte modo: a de maor nclnação dexa dos pontos por axo de s mesma na regão da dreta, e dos dados por cma de s mesma na regão da esquerda; a reta de menor nclnação se otém dstrundo os dados expermentas em cada regão de manera nversa a maor. Deste modo entre as retas com nclnações e fcam 1 dos pontos expermentas. mn O erro aleatóro da nclnação é avalado aproxmadamente por: s max mn =, (7.6) N 8 Vde o tem X. no texto Introdução ao cálculo de ncertezas em meddas físcas.

21 0 onde e se determnam a partr do própro gráfco. max mn Se conhecermos da teora, sto é, com antecedênca, que a reta passa pela orgem de coordenadas, x = 0, = 0, o ntercepto será a = 0, e sem erro 9. O anteror representa uma mposção teórca (ver aaxo stuação prátca). O erro aleatóro da nclnação se determna de forma smlar, mas neste caso, a melhor reta traçada deve ser grada em torno da orgem de coordenadas e não do centróde, e as duas regões que devem ser consderadas para a análse são as duas mas afastadas da orgem, sto é, a regão que contém a orgem não é consderada. Desta manera, a reta de nclnação máxma se otém quando a reta grada para cma dexa para axo dos pontos das duas últmas regões; enquanto a reta de nclnação mínma dexa para cma dela mesma destes pontos. O erro aleatóro da nclnação é calculado pela mesma expressão (7.6). O método explcado neste tem ) consttu um método aproxmado com resultados muto smlares aos que se otém por meo de métodos mas precsos, mas que são muto mas traalhosos, a não ser que se conte com um computador. O aluno podera se perguntar; tenho pontos expermentas sufcentes para realzar meu processamento de dados? À medda que o aluno va desenvolvendo suas haldades na construção de gráfcos, será capaz de decdr por s mesmo quando exstem pontos sufcentes. Um gráfco deve mostrar astantes pontos expermentas sore todo o ntervalo para oter um quadro completo do comportamento das varáves. Na prátca, sto é, nas experêncas áscas dos prmeros anos unverstáros, a coleta de dados está restrngda, em geral, a um número de meddas em torno de 10. Isto é devdo, prncpalmente, aos custos e tempo dsponível para a realzação da coleta de dados. Por este fato, explcamos a segur outra metodologa para estmar o erro aleatóro da nclnação e do ntercepto da reta méda. No gráfco, desenhamos o retângulo de erro correspondente para cada dado expermental. Cada retângulo deve estar centrado no ponto expermental, tendo como comprmento de cada lado o doro da ncerteza no ponto para cada grandeza. A segur traça-se uma lnha reta com máxma nclnação e outra com nclnação mínma, tomando como pvô o centróde (ou 9 Para aplcar esta restrção deve se ter cudado, nas condções expermentas, que ela seja válda.

22 1 um ponto próxmo dele). As retas com nclnação máxma e mínmas devem passar, no mínmo, por dos retângulos de erros. A partr dessas duas curvas teremos dos valores extremos para a nclnação e o ntercepto a. A méda artmétca deles fornecerá valores estmados de e a para a melhor curva traçada: +, a + = a = a max mn max mn. (7.7) A ncerteza máxma para cada um dos parâmetros pode ser estmada pela semdferença dos valores extremos da nclnação e do ntercepto: s, a s a max mn max mn a. (7.8) Nesta stuação, onde os gráfcos expermentas não têm mas de 10 pontos, e às vezes menos, podem estmar-se tamém os erros aleatóros de e a fazendo uso das expressões (7.6) e (7.5), respectvamente. Aqu os valores otdos representam estmatvas dos erros estatístcos, tendo magntudes menores que os consegudos pela equação (7.7). Quando realzamos a mposção teórca de pontos para ajustar uma curva, sgnfca que estamos supondo que a ncerteza dos dados expermentas não está domnada por qualquer erro sstemátco, sto é, os erros sstemátcos são desprezíves quando comparados com os aleatóros. De fato, se temos um erro sstemátco, os pontos teórcos não vão se alnhar com os pontos expermentas. Isto pode provocar provavelmente um grande erro sstemátco na estmatva dos parâmetros, especalmente no caso de ajuste estatístco. Se para nossa reta méda mpormos que ela passe pela orgem de coordenadas (0,0); as retas com máxma e mínma nclnação tamém terão que passar pela orgem. Nessa stuação o ntercepto será a = 0, e sem erro. Ao traçar as curvas com maor e menor nclnação, deve-se sempre tentar passar por todos os retângulos de erros dos dados expermentas. O valor da nclnação da melhor curva e de seu erro é calculado pelas expressões correspondentes em (7.7) e (7.8). De forma geral, o erro total para nclnação é calculado pela expressão: E = s + α + β, (7.9)

23 onde α representa o erro na nclnação devdo ao erro de precsão da escala dos nstrumentos com se medram as grandezas x e ; representa o erro na nclnação devdo ao erro de precsão das escalas do gráfco x e. O erro aleatóro da nclnação pode ser estmado pelas expressões (7.6) ou (7.8), em dependênca da coleta de dados. Para a determnação dos erros de precsão α e s β β utlzamos a relação (4.1) que nos permte calcular a nclnação: = x. A esta expressão aplcamos a propagação quadrátca de erro, otendo-se: α x = + α α x, e (7.10) β x = + β β x. (7.11) anterores Das equações (7.10) e (7.11) podemos solar α e x. Nas expressões e representam os ntervalos completos das medções fetas para as grandezas x e. Isto sgnfca que x mede o ntervalo entre os extremos da coleta de valores da grandeza x onde se realzaram as medções; e de forma smlar para. É com estes ntervalos extremos que se calcula a nclnação : =. x Para o erro total do ntercepto da melhor curva tem se: β Ea = sa + αa + β a, (7.1) onde o erro aleatóro s é calculado pelas equações (7.5) ou (7.8); α representa o erro do ntercepto devdo aos erros de precsão dos nstrumentos, e ndca a precsão das escalas do gráfco. β a expermentar uma varação δ = α a Deve-se levar em conta aqu que apesar do ntercepto ser sore o exo, na sua determnação vão nflur não somente os erros de precsão do exo, como tamém os do exo x. Um erro α nas varáves do exo x pode deslocar a reta méda expermental, de forma paralela a s mesma, num ntervalo ao longo do exo x. Por este motvo, o ntercepto no exo va α x x x, ndependentemente das varações que a

24 podera ntroduzr no ntercepto o erro de precsão α. Levando-se em contas amas as causas temos: ( ) α = α + α. (7.1) a x De manera análoga, otém-se para o erro de precsão da escala: ( ) β = β + β. (7.14) a x Conhecdos os dferentes tpos de erros, e calculados os erros totas da nclnação e do ntercepto da reta méda dos dados expermentas podemos expressar o resultado fnal dos coefcentes como: ± E, a± E. a Devemos salentar que na maora das stuações, mutos dos termos que ntervem nos cálculos de α,, α e β são menores que a metade dos β a a outros da raz. Lemre-se que em tal stuação, esses termos podem, em geral, ser desconsderados. O cálculo de erros é, normalmente, aproxmado a um algarsmo (às vezes a dos), e não é de grande precsão. Por sso, não vale a pena estar somando termos que ao serem elevados ao quadrado e trados da raz vão afetar o segundo, tercero ou quarto algarsmo sgnfcatvo do erro. O processamento dos erros nos gráfcos d-log (ou log-log) não será aordado neste texto. Comentaremos apenas que um mesmo erro de precsão em todas as medções se manfesta como erro dferente nos dstntos ntervalos da escala logarítmca. Como esta escala se contra ao passar de 10 a 100, o comprmento do erro tamém se contra. Na segunte ordem, de 100 a 1000, o erro contnua-se contrando. Oserve que aparentemente o papel volta a amplar-se de 100 a 00; na verdade dentro desse ntervalo temos agora um algarsmo sgnfcatvo a mas que no ntervalo de 90 a 100, e é o últmo algarsmo quem carrega a precsão da medção, desta manera o erro fca anda mas comprmdo. Esta contração gráfca do erro de precsão e do erro aleatóro torna dfícl o cálculo de erros estatístco a partr do gráfco. Entretanto, pode-se estmar um lmte de erro aleatóro para a nclnação e o ntercepto, a partr do gráfco, de uma manera smlar como fo explcado acma para o papel mlmetrado.

25 4 Para os gráfcos em papel mono-log tamém podera ser feto uma estmatva de um lmte de erro estatístco a partr do gráfco. 8. Blografa 1. Raúl P. Duan: Procesamento de Datos Expermentales. Edtora ENPES, La Haana, 1988.