FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO DESCENTRALIZADO UTILIZANDO ALGORITMOS EVOLUTIVOS MULTIOBJETIVO

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1 FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO DESCENTRALIZADO UTILIZANDO ALGORITMOS EVOLUTIVOS MULTIOBJETIVO Elzete de Andrade Amorm José R. S. Mantovan Rubén Romero UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL - UFMS Laboratóro de Pesqusa LABSEEL - Departamento de Engenhara Elétrca - Campus de Campo Grande Caxa Postal CEP Campo Grande MS UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUISTA FILHO Grupo de Pesqusa em Planejamento de Sstemas Elétrcos - Departamento de Engenhara Elétrca - UNESP Caxa Postal 031 -CEP Ilha Soltera SP RESUMO Neste trabalho, apresenta-se o desenvolvmento de uma ferramenta computaconal para a solução do problema de fluxo de potênca ótmo (FPO) descentralzado. Para esta fnaldade o problema de FPO é decomposto em váras áreas, defnndo-se város subproblemas regonas de FPO. O FPO é modelado como um problema de otmzação não-lnear restrto, em que os custos da geração e das perdas de potênca atva são mnmzados smultaneamente. Os subproblemas regonas de FPO são resolvdos através de um algortmo evolutvo multobjetvo (AEMO) baseado na teora de Pareto. No AEMO proposto explora-se um mecansmo de preservação de dversdade entre os ndvíduos da população para evtar a convergênca prematura e soluções ótmas locas. Para extrar a melhor solução compromsso do conjunto Pareto- Ótmo propõem-se um mecansmo de decsão baseado na teora de conjuntos fuzzy. Além dsso, um algortmo de herarqua cluster é mplementado para reduzr a dmensão do conjunto de Pareto. Para valdar a efcênca do modelo e da técnca de solução apresentam-se os resultados obtdos com os sstemas teste RTS-96 e IEEE-354. Artgo submetdo em 16/01/2008 (Id.: 00849) Revsado em 04/06/2008, 26/01/2009 Aceto sob recomendação do Edtor Assocado Prof. Eduardo N. Asada PALAVRAS-CHAVE: Algortmos Evolutvos, Conjuntos fuzzy, Fluxo de Potênca Ótmo, Técncas de Decomposção, Otmzação Multobjetvo. ABSTRACT Ths work presents the development of a computatonal tool for decentralzed optmal power flow (OPF) soluton. For ths purpose, the OPF problem s decoupled nto areas defnng several regonal OPF subproblems. The OPF s modeled as a constraned nonlnear optmzaton problem, nonconvex, n that the actve power losses and optmal dspatch of actve and reactve power are mnmzed smultaneously. Regonal OPF subproblems are solved by multobjectve evolutonary algorthm based on the Pareto theory. The proposed approach employs a dversty-preservng mechansm to overcome the premature convergence of algorthm and local optmal solutons. Fuzzy set theory s employed to extract the best compromses of the Pareto set. In addton, a herarchcal clusterng algorthm s mplemented for reducng Pareto set. To valdate the effcency of the model and the proposed soluton technque, the results e analyses of the smulatons wth the RTS-96 e IEEE-354 test systems are presented. KEYWORDS: Decentralzed Optmal Power Flow, Decom- Revsta Controle & Automação/Vol.20 no.2/abrl, Mao e Junho

2 poston Techncal, Evolutonary Algorthm, Fuzzy Set, Multobjectve Optmzaton. 1 INTRODUÇÃO Com a desregulamentação no setor de energa elétrca os servços de geração, transmssão e dstrbução passaram a ser oferecdos por dferentes empresas em um ambente compettvo. A déa de um sstema de energa elétrca (SEE) centralzado e regulamentado fo substtuída por um mercado caracterzado pela ndependênca entre os setores de geração, transmssão, dstrbução e comercalzação de energa elétrca. No Brasl o mercado elétrco é composto por quatro submercados (04 áreas). Cada área possu suas própras característcas físcas e operaconas, tas como, baca hdrográfca, sstema de transmssão e um custo de operação dferencado, embora, a operação do sstema seja totalmente centralzada sem permtr aos agentes locas uma maor lberdade para procurar lucros. Com a lberalzação do mercado de energa elétrca este aspecto é acetável, porque o processo de prvatzação anda não fo concluído. Mas a tendênca é que a médo e longo prazo o setor elétrco braslero esteja totalmente prvatzado, mgrando de um ambente centralzado e regulamentado para um ambente descentralzado, possbltando a competção no âmbto da geração, dstrbução e comercalzação de energa. A desregulamentação do setor elétrco afeta sensvelmente a flosofa de operação e o planejamento de sstema de potênca. Desta forma, na utlzação ótma dos recursos exstentes e planejamento da expansão são necessáras ferramentas de otmzação robustas, capazes de atender estes novos requstos, em especal, aqueles que nfluencam na qualdade dos servços oferecdos e nos aspectos econômcos dos novos nvestmentos que devem ser prevstos nos sstemas. Nesta nova estrutura do setor elétrco, as concessonáras de energa elétrca estão nteressadas em resolver os problemas de planejamento e operação relaconados com a sua área sem consderar as áreas adjacentes pertencentes às outras companhas competdoras. Assm, um dos problemas que deve ser reformulado com o surgmento dos mercados de energa compettvos é o FPO (Carpenter (1962), Dommel e Tnney (1968)) que pode englobar tanto o planejamento da operação (médo e curto prazo) como o planejamento da expansão da rede. Um sstema de potênca nterconectado de grande porte pode ser decomposto em áreas ndependentes, de acordo com o número de áreas exstentes. A decomposção dos sstemas de potênca é realzada com base em dferentes crtéros, tas como, regulamentações legslatvas, necessdades técncas operatvas e coordenadas geográfcas admnstratvas. Esta decomposção tem por objetvo permtr a solução do problema de FPO multárea de modo descentralzado. Város procedmentos de decomposção têm sdo propostos na lteratura para resolver o problema de FPO descentralzado. Em partcular, as técncas de relaxação lagrangeana (Aguado et al. (1999), Aguado e Quntana (2001)), procedmentos de relaxação lagrangeana aumentada (Km e Baldck (1997), Baldck et al. (1999)) e técncas baseadas no desacoplamento de condções de prmera ordem (Nogales et al. (1999), Bakrtzs e Bskas (2003), Bskas et al. (2005)). Os algortmos de decomposção dvdem o problema de FPO multárea em um conjunto de subproblemas regonas ndependentes. Cada subproblema envolve um subconjunto de varáves de controle locas com o seu própro conjunto de restrções e funções objetvo. Para coordenar os subproblemas é necessáro gerar um problema mestre com varáves e restrções (restrções de acoplamento) específcas que não são ncorporadas na formulação dos subproblemas regonas. As varáves específcas do problema mestre são as magntudes e ângulos de tensão nas barras de fronteras e os fluxos de potênca nas lnhas de lgação. Neste procedmento, há uma troca de nformações bdreconal entre todos os subproblemas regonas e o problema mestre. Vsando atender às necessdades do mercado de energa elétrca reestruturado no presente trabalho apresenta-se uma ferramenta versátl para solução do problema de FPO de sstemas multárea com as seguntes característcas: 1. Otmzação de uma área local do sstema de potênca nterconectado multárea; 2. Habldade para consderar váras funções objetvo tas como: mnmzação dos custos das perdas e geração de potênca atva; despacho ótmo de potênca reatva que podem ser especfcadas ou não pelo usuáro; 3. Detecção dos problemas operaconas e físcos de cada área, tas como: perfl de tensão, défct de potênca reatva, perdas nas lnhas de transmssão, transformadores sobrecarregados, etc; 4. Habldade para tratar um elevado número de varáves de controle dscretas e os subproblemas de potênca atva e reatva smultaneamente. Para atender estes requstos, ncalmente, o problema de FPO multárea é decomposto em áreas defnndo um conjunto de subproblemas regonas de FPO, sto é, para cada área do sstema de potênca nterconectado defne-se um subproblema de FPO. Esta decomposção é realzada com o objetvo de resolver o subproblema de FPO de uma determnada 218 Revsta Controle & Automação/Vol.20 no.2/abrl, Mao e Junho 2009

3 área sem nterferr na solução dos subproblemas das áreas vznhas (áreas que não estão sendo analsadas). Para decompor um sstema de potênca nterconectado é necessáro que cada área tenha seus própros geradores e cargas, e que um controlador central troque nformações com todas as áreas. Além dsso, é necessáro determnar os ntercâmbos de potênca específcos (SIP Scheduled Interchange Power) (Yu e Davd (1996)) que cada área deve mportar ou exportar para as áreas vznhas. No modelo matemátco do problema de FPO consderamse a mnmzação da geração de potênca atva, a mnmzação dos custos das perdas de potênca atva nas lnhas de transmssão e o despacho ótmo de potênca reatva em cada área. O FPO é formulado como um problema de otmzação não-lnear de grande porte, não-convexo, com varáves de controle contínuas e dscretas. Para solução deste problema propõe-se um algortmo evolutvo multobjetvo baseado na teora de Pareto (Deb et al. (2000)). Neste algortmo explorase um mecansmo de preservação da dversdade para evtar a convergênca prematura do algortmo e ótmos locas. Para extrar a melhor solução compromsso do conjunto Paretoótmo propõem-se um mecansmo de decsão baseado na teora do conjunto fuzzy (Srnvasan et al. (1994), Dhllon et al. (2002)). Além dsso, um algortmo de herarqua cluster é mplementado para reduzr a dmensão do conjunto de Pareto. Para valdar a efcênca do modelo e da técnca de solução apresentam-se os resultados obtdos com os sstemas teste RTS-96 (Grgg et al. (1999)) e IEEE-354 (Aguado e Quntana (2001)). 2 FORMULAÇÃO E DECOMPOSIÇÃO DO PROBLEMA O FPO multárea pode ser representado matematcamente através de um problema geral de otmzação com restrções de gualdade e desgualdade como: Sendo: mn f k (x,u) k = 1,..., N obj (1) Sujeto a: g l (x,u) = 0 l = 1,...,r (2) h m (x,u) 0 m = 1,...,s (3) x mn x x max (4) u mn C u C u max C (5) u D D (6) Vetor das varáves de es- x = (x 1, x 2,..., x n ) T R n : tado; u = [u C u D ]: Vetor das varáves de controle; Varáves de con- u C = (u C1, u C2,..., u Cm ) T R n : trole contínuas; Varáves de con- u D = (u D1, u D2,..., u Dm ) T R n : trole dscretas; N obj : Número de funções objetvo; r e s: Número de restrções de gualdade e desgualdade, respectvamente; f k (x, u): g l (x, u): h m (x,u): k-ésma função objetvo; Conjunto de restrções de gualdade; Conjunto de restrções de desgualdade; x mn e x max : Lmtes nferores e superores das varáves de estado; u mn C e umax C : Lmtes nferores e superores das varáves de controle contínuas; D: Regão de factbldade das varáves de controle dscretas. O vetor das varáves de estado (x) é representado pelos ângulos de fase em todas as barras do sstema e magntudes das tensões nas barras de carga. As varáves de controle contínuas(u C ) são representadas pela potênca atva gerada e magntudes das tensões nas barras de tensão controlada. As varáves de controle dscretas (u D ) são representadas pelos transformadores com controle automátco de taps e os bancos de capactores/reatores shunts. Os termos que compõem a função objetvo (1) de um problema de FPO representam o recurso físco (custos de geração, segurança, qualdade e confabldade da operação, etc.) que se deseja otmzar e, desta forma, a sua formulação va depender dos objetvos do estudo. As restrções de gualdade (2) são as equações não-lneares do fluxo de potênca correspondente ao balanço de potênca atva e reatva nas barras do sstema. As restrções de desgualdade (3) são lmtações mpostas a uma varável ou função, e podem ser classfcadas como: restrções físcas e operaconas, restrções de segurança e restrções de acoplamento. Para decompor o problema (1)-(6) em subproblemas regonas de FPO é necessáro estabelecer modelos de restrções de acoplamento adequados devdo aos ntercâmbos de potênca entre as áreas do sstema de potênca nterconectado. Para manter os fluxos de potênca entre as lnhas de lgação em seus lmtes é necessáro um controle coordenado entre as áreas e o sstema completo. Além dsso, é necessáro que cada área do sstema de potênca nterconectado tenha seus Revsta Controle & Automação/Vol.20 no.2/abrl, Mao e Junho

4 própros geradores e cargas e que um controlador central gerence as nformações entre todas as áreas e determne os ntercâmbos de potênca especfcados (SIP) entre as áreas. Entretanto, nenhuma transação blateral específca entre as áreas e nem a quantdade de fluxo de potênca permtda sobre as lnhas de lgação é especfcada no modelo de FPO proposto. Seja Ao conjunto das áreas nterconectadas e a o índce da área sob análse. Assumndo que as funções objetvo assm como as restrções de gualdade e desgualdade são separáves em relação às áreas, então os subproblemas regonas do problema (1)-(6) são matematcamente formulados como segue: Em que: w a esp: w j : mn f a k (x a,u a ) k = 1,...,N obj a A (7) Sujeto a: g a l (x a,u a ) = 0 l = 1,...,r a A (8) h a m (xa,u a ) 0 m = 1,...,s a A (9) wesp a w j = 0 a A (10) j Ka x mn,a x a x max,a a A (11) u mn,a C u a C u max,a C a A (12) u a D D (13) Valores de ntercâmbo líqudo de potênca especfcados (SIP) entre a área a e suas áreas vznhas; Fluxo de potêncas atva e reatva sobre a lnha de lgação j que nterlga a área a e uma área vznha; Ka: Conjunto das lnhas de lgação entre a área a e as áreas vznhas. A restrção (10) é denomnada restrção de acoplamento e contém varáves globas necessáras para o controle de potêncas atva e reatva entre a área a do sstema e as áreas que são suas vznhas. Esta restrção é adconada na formulação do problema de FPO (1)-(6) para permtr que cada empresa que compõe o sstema de potênca multárea opere a sua área ndependentemente, sem afetar as áreas pertencentes às outras empresas vznhas. Esta metodologa permte ao operador do sstema smular o problema de FPO multárea consderando os modelos de operação centralzada e descentralzada como segue: Operação Centralzada: A restrção de acoplamento (10) é removda do problema (7)-(13) e o sstema de potênca multárea é consderado como um únco sstema nterlgado resultando em um problema de FPO convenconal (1)-(6). Operação Descentralzada: Cada área do sstema de potênca multárea é analsada ndependentemente através dos subproblemas regonas de FPO (7)-(13). Esta forma de solução do problema de FPO multárea é descrta através do segunte algortmo: 1. Resolver o problema de fluxo de potênca (FP) convenconal através do Método de Newton (Montcell (1983)) para determnar as magntudes de tensão e os ângulos; 2. Calcular os ntercâmbos de potêncas especfcados entre as áreas (w a esp) do sstema de potênca multáreas e as áreas vznhas; 3. Seleconar uma área a A para análse; 4. Aplcar a técnca de solução escolhda para resolver o subproblema regonal de FPO (7)-(13) referente à área seleconada; 5. Obter os valores otmzados das varáves de controle locas desta área e resolver o problema de FP convenconal para o sstema multárea completo; 6. Calcular os fluxos de potêncas sobre as lnhas de lgação pertencentes à vznhança da área a (wcal a = w j ); j Ka 7. Repta os passos v e v até que a restrção de acoplamento (10) seja satsfeta. Este algortmo é mplementado através de uma versão sequencal e baseado no prncípo da observabldade local (sto é, um modelo smplfcado utlzado para representar o funconamento e mpactos das áreas vznhas). Embora nos passos e v os cálculos das equações do fluxo de carga convenconal sejam realzados para o sstema completo (todas as áreas nterconectadas) esses cálculos são rápdos e toda a base de dados necessára está dsponível no controlador central. Os valores dos ntercâmbos de potênca especfcados (w a esp) são obtdos através da solução de um problema de fluxo de carga convenconal. Por outro lado, os valores destes ntercâmbos podem ser determnados através da solução de um problema de FPO centralzado ou através de contratos blateras. Na prátca estes ntercâmbos podem ser defndos pelos agentes de mercado consderando-se questões técncas relaconadas com a capacdade excedente de geração das áreas, lmtes do sstema de transmssão e das lnhas de nterconexão entre áreas e aspectos econômcos. 220 Revsta Controle & Automação/Vol.20 no.2/abrl, Mao e Junho 2009

5 No passo v as varáves de controle das áreas vznhas que não estão sob análse são fxas. O controle é completamente realzado pelas própras áreas e nenhum controlador central partcpa do processo. Em uma rede nterlgada é necessáro que sejam controlados os ntercâmbos de potênca atva entre as váras áreas que compõem o sstema. O ntercâmbo líqudo de potênca atva de uma área é defndo como a soma algébrca dos fluxos nas lnhas e nos transformadores que nterlgam essa área com as demas (as exportações são consderadas postvas e as mportações negatvas). A cada área do sstema é assocada uma barra de folga (slack), sendo que a barra de folga de uma das áreas funcona também como barra de folga do sstema (em geral é uma barra do tpo V θ que serve também como referênca angular para o sstema). Com exceção da barra de folga do sstema, as njeções de potêncas atva e reatva nas barras de folga das demas áreas são ajustadas para manter os ntercâmbos líqudos dessas áreas nos valores especfcados. É mportante destacar que o controle de ntercâmbo regula o ntercâmbo total de uma área, ou seja, mantém em um valor especfcado a soma algébrca dos ntercâmbos ndvduas nas lnhas e nos transformadores que nterlgam a área com o resto do sstema. Se uma ou mas áreas não possurem barra de folga, então os seus ntercâmbos não podem ser controlados durante o processo teratvo. As barras de folga das áreas, com exceção da barra de folga do sstema (barra V θ), são classfcadas como do tpo V (só as magntudes das tensões nodas são especfcadas), ou seja, as njeções de potênca atva nessas barras dexam de ser especfcadas. 3 OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO Um problema de otmzação multobjetvo é caracterzado pela otmzação smultânea de váras funções objetvo com dferentes soluções ótmas (Goldberg (1989), Deb et al. (2000)). Geralmente, as funções objetvo de um problema de otmzação multobjetvo são não-comensuráves e confltantes entre s e por esta razão não exste uma únca solução que seja ótma smultaneamente para todos os objetvos e sm um conjunto de soluções compromsso denomnado conjunto efcente ou Pareto-ótmo. Para um problema de otmzação multobjetvo com N obj funções objetvo (f ) para serem mnmzadas smultaneamente, a solução x 1 domna a solução x 2 se as condções abaxo são satsfetas: 1. {1, 2,..., N obj } : f (x 1 ) < f (x 2 ) (14) 2. j {1, 2,..., N obj } : f j (x 1 ) f j (x 2 ) (15) Se qualquer uma das condções acma é volada, a solução x 1 não domna a solução x 2. Se a solução x 1 domna solução x 2, então x 1 é denomnada solução não domnada. As soluções que são não-domnadas sobre todo o espaço de busca são chamadas soluções Pareto-ótmas e consttuem o conjunto Pareto-ótmo ou a frontera de Pareto-ótma. 4 TÉCNICA DE SOLUÇÃO PROPOSTA Propõe-se para resolver os subproblemas regonas de FPO (7)-(13) um AEMO baseado em um procedmento de ordenação dos pontos canddatos a serem pontos efcentes da população. Este AEMO é conhecdo na lteratura técnca como Nondomnated Sortng Genetc Algorthm (NSGA) (Srnvas e Deb, (1995)). A dferença desta mplementação em relação a um algortmo genétco smples está no modo com que o operador de seleção é realzado. Tanto o operador de recombnação quanto o operador de mutação são os usuas dos algortmos genétcos. Antes do procedmento de seleção ser aplcado, a população é ordenada com base no nível de não-domnânca dos ndvíduos, sto é, todas as soluções não-domnadas da população corrente recebem valores altos de aptdão. Esta aptdão é a mesma para todos os ndvíduos não-domnados, garantndo assm que todos possuam um mesmo potencal reprodutvo. Para manter a dversdade da população as soluções não-domnadas compartlham os seus valores de aptdão segundo suas dstâncas Eucldanas. Fnalmente, dvde-se o valor da aptdão de cada ndvíduo pelo contador de nchos que é proporconal ao número de vznhos ao seu redor. Este procedmento proporcona a coexstênca de pontos ótmos múltplos na população. O por valor de aptdão compartlhada na solução da prmera frontera não-domnada é então armazenado para uso posteror. Depos que o compartlhamento é executado e que as aptdões são modfcadas os ndvíduos não-domnados são gnorados temporaramente para processar os demas membros da população. O procedmento para determnar novas soluções não-domnadas (segundo nível) é novamente executado, sendo que agora eles recebem um valor de aptdão um pouco menor que o por valor de aptdão compartlhada no nível anteror. Uma vez mas o procedmento de compartlhamento é executado entre as soluções não-domnadas do segundo nível e as novas aptdões são calculadas como antes. Este processo é contnuado até que todos os membros da população tenham um valor de aptdão compartlhado. 4.1 Consderações geras O problema de FPO (7)-(13) é um problema de otmzação não-lnear restrto, não-convexo e com varáves de controle contínuas e dscretas. Este problema é um dos mas complexos na área de otmzação, pos geralmente a maora das soluções contdas no espaço de busca do problema é nfactí- Revsta Controle & Automação/Vol.20 no.2/abrl, Mao e Junho

6 a d p e c y x Fgura 1: Espaço de busca. vel. Além dsso, os conjuntos de soluções factíves e nfactíves podem ser não-convexos e não-conectados (ver Fgura 1). Estas característcas causam dfculdades até mesmo para encontrar uma únca solução factível. A maora dos problemas do mundo real é ntratável, ou seja, são problemas para os quas é mprovável que se consga desenvolver métodos analítcos que possam preservar as característcas físcas e detalhes dos problemas do mundo real. Desta forma, em otmzação, a escolha da técnca de solução a ser utlzada para um determnado problema depende, prncpalmente, da qualdade e precsão da solução que se necessta e da sofstcação do modelo do problema do mundo real. Os algortmos evolutvos (AEs) têm sdo amplamente utlzados em váras áreas das cêncas e engenharas para resolver dversos problemas de otmzação. Estes algortmos podem tratar qualtatvamente dferentes tpos de varáves, tas como: as varáves dscretas, contínuas, reas e nteras. Além dsso, o prncípo de não-domnânca pode ser faclmente adconado em seu algortmo de busca propcando resolver com êxto os problemas de otmzação multobjetvo (Fonseca e Flemng (1998), Srnvas e Deb (1995), Veldhuzen e Lamont (2000)). O maor problema quando se aplca os AEs na solução de problemas de otmzação restrto é o tratamento das restrções, pos os operadores genétcos utlzados para manpular os cromossomos, frequentemente, geram descendentes nfactíves. Quando as restrções do problema pertencem a ntervalos constantes o espaço de busca do problema pode ser consderado como convexo. Entretanto, as restrções nãolneares podem dvdr o espaço de busca em város subespaços não-conectados. Estes subespaços podem ser factíves e nfactíves e, também, podem ser não-convexos (Fgura 1). Na maora das técncas de solução para problemas com restrções de desgualdade, as restrções voladas são adconadas à função objetvo do problema através das técncas de penaldades. Todava, penalzar as restrções não satsfetas reduz a aptdão do ndvíduo e sua probabldade de partcpar do processo de evolução. Por outro lado, é questonável se a penaldade deve mpor que todos os ndvíduos nfactíves sejam por que quasquer outros ndvíduos factíves. Por exemplo, o ponto nfactível y na Fgura 1 está muto mas próxmo do ponto ótmo xque os pontos factíves a, de c,consequentemente o ponto y(mesmo sendo nfactível) pode fornecer nformações mas valosas se seleconado, entretanto devdo à uma polítca de penalzar em demasa os pontos nfactíves a probabldade deste ponto ser seleconado para a recombnação e mutação é muto baxa. Neste trabalho, para contornar estes problemas durante o processamento do AEMO as nfactbldades ocorrdas no conjunto de restrções de desgualdade (9) são tratadas como funções objetvo do problema. Esta estratéga permte atender as restrções físcas, operaconas e de acoplamento entre as áreas do sstema, sem comprometer a qualdade das soluções encontradas. Desta forma, os subproblemas de FPO (7)-(13) para cada área a do sstema elétrco de potênca multárea pode ser reescrto como: A. Funções Objetvo A1. Mnmzação do custo da geração de potênca atva: f 1 = mn GC a 2(P a g) 2 + C a 1(P a g) + C a 0, a A Em que: (16) Pg a : Potênca atva gerada pelo ésmo gerador da área a; G: Conjunto dos geradores; C2 a, Ca 1 e Ca 0 : Coefcentes de custo do -ésmo gerador pertencente à área a. A2. Mnmzação do custo das perdas de potênca atva: Em que: f 2 = mn j NL C a P J Ploss a j, a A (17) Ploss a j : Perdas nas lnhas de transmssão da área a; 222 Revsta Controle & Automação/Vol.20 no.2/abrl, Mao e Junho 2009

7 C a : Coefcentes de custo das perdas na j-ésma lnha de P J transmssão da área a; N L: Conjunto das lnhas de transmssão. B. Funções objetvo referentes às restrções de desgualdade voladas B1. Potênca atva gerada: Sendo: { h 1 = mn 0, Pg a ref P } a, max g ref, a A (18) P a g ref : Potênca atva gerada na barra slack da área a; N: Conjunto das barras do sstema potênca; V a : Magntude de tensão na -ésma barra da área a; a, mn V : Lmte nferor da magntude de tensão na -ésma barra da área a; a, max V : Lmte superor da magntude de tensão na -ésma barra da área a. B4. Fluxo de potênca nas lnhas de transmssão: Sendo: h 4 = mn, j N S a j, a A (21) a, max Pg ref : Capacdade máxma de geração de potênca atva na barra slack da área a. S a j = { S a a, max j Sj, Sj a > Sa, max j 0, caso contráro B2. Potênca reatva gerada: Em que: h 2 = Mn G Q a g, a A (19) Sj a : Fluxo potênca aparente sobre a lnha j da área a; a, max Sj : Capacdade máxma de fluxo potênca aparente sobre a lnha j da área a. B5. Restrção de acoplamento: Q a g = Q a,mn g Q a g, Qa g < Q a,mn g Q a max g Qa, g, Q a g > Q a,max g 0, caso contráro h 5 = Mn w esp a j ka w j, a A (22) Q a g : Potênca reatva gerada pelo -ésmo gerador da área a; Q mn g e Q max g : Capacdade mínma e máxma da geração de potênca reatva na barra, pertencente à áreaa. C. Restrções As restrções do problema de otmzação multobjetvo são as restrções de fluxo de carga: B3. Magntudes de tensão: Em que: h 3 = Mn N V a, N, a A (20) Pg a P L a P (θ, V, t)a = 0, N, a A (23) Q a g Q a L Q (θ, V, t) a +Sa H = 0, N, a A (24) Em que: V a = a, mn V V a a, mn < V V a, V a a, max V, V a > V 0, caso contráro a, max PL a e Qa L : Demanda de potênca atva e reatva na -ésma barra da área a; P (V, θ, t) a : Injeção líquda de potêncas atva na barra, pertencente à área a; Revsta Controle & Automação/Vol.20 no.2/abrl, Mao e Junho

8 θ : Ângulo de fase na barra ; t : -ésmo transformador com controle automátco de taps; Q (V, θ, t) a : Injeção líquda de potêncas reatva na barra, pertencente à área a; SH a : Banco de capactor/reator shunts na -ésma barra, pertencente à área a. 4.2 AEMO Dedcado a Solução dos Subproblemas Regonas de FPO Vsando-se gerar um conjunto sufcentemente dversfcado de soluções não-domnadas e obter um bom desempenho, na solução de problemas complexos, o algortmo proposto combna algumas estratégas, tas como: Codfcação das varáves de controle em base real; Eltsmo; Desacoplamento mplícto das varáves do problema; Seleção e recombnação smultaneamente; Redução do conjunto de Pareto por clusterng; Preservação da dversdade Codfcação e População Incal Devdo às característcas físcas do problema, para se obter um desempenho satsfatóro do AEMO sob os aspectos da efcênca computaconal e qualdade das soluções otmzadas fornecdas pelo algortmo, é necessáro gerar uma população ncal de boa qualdade. Os ndvíduos (cromossomos) que compõem a população podem ser formados por n subconjuntos de varáves, representadas pelas varáves de controle do problema em questão. A Fgura 2 lustra um ndvíduo formado por quatro subconjuntos representados pelas as varáves de controle contínuas (u C ) e dscretas (u D ). A potênca atva gerada (P g ) e as magntudes de tensões (V ) são tratadas como varáves de controle contínuas e geradas de forma pseudo-aleatóra para atender a regão de factbldade destas varáves. Além dsso, a potênca atva gerada na área em análse deve suprr a sua demanda e suas perdas. Pg 1 ( u C ) ( u D ) P g V t 1 V t S 1 H1 Fgura 2: Estrutura do cromossomo da população. SH Os transformadores com controle automátco de taps (t ) e os bancos de capactores e reatores shunts (S H ) são representados por valores dscretos como segue: Seja n número aleatóro ntero no ntervalo [0,..., M ], ( ) u a,max D M = nt u a,mn D, N, a A (25) u D Em que: u D : u a D = u a,mn D + n ( u D ), N, a A Tamanho do passo de dscretzação; a, mn ud : Lmte nferor das varáves dscretas na área a; a, max ud : Lmte superor das varáves dscretas na área a. Tanto as varáves contínuas, quanto as varáves dscretas são codfcadas em base real satsfazendo a suas respectvas regões de factbldade. As vantagens deste sstema de codfcação são armazenar uma maor quantdade de nformações que a codfcação bnára para um cromossomo com a mesma dmensão e trabalhar com a representação real das varáves do problema. A partr das varáves de controle contínuas e dscretas estabelecdas para cada ndvíduo calculam-se as restrções de fluxo de carga (23) e (24). Estas restrções são resolvdas através Método de Newton (Montcell (1983)) e posterormente calculam-se as funções objetvo (16)-(22) Estratéga Eltsta A estratéga eltsta, dentro do contexto multobjetvo, deve ser expandda para o conjunto das soluções não-domnadas da população corrente. Este procedmento é fundamental na resolução de problemas multobjetvos, uma vez que a solução destes problemas é na verdade um conjunto de soluções frontera de Pareto-ótma. Após a classfcação da população os pontos pertencentes à prmera frontera (F 1 ) são retrados da população e armazenados em um subconjunto eltsta (E), para que sejam utlzados no processo de recombnação com o objetvo de aumentar a pressão de seleção e ao mesmo tempo acelerar a convergênca do algortmo Desacoplamento Implícto das Varáves de Controle A estratéga de desacoplamento mplícto tem por objetvo contemplar a solução de problemas que apresentam varáves 224 Revsta Controle & Automação/Vol.20 no.2/abrl, Mao e Junho 2009

9 de controle confltantes entre s. Na metodologa proposta as volações das restrções de desgualdades são tratadas como funções objetvo do problema e, ao atualzar um determnado conjunto de varáves de controle através de recombnação ou mutação, um objetvo é melhorado em detrmento de outros. Desta forma, ao se sortear os ndvíduos (cromossomo) para executar a recombnação ou mutação, deve-se verfcar qual dos objetvos está sendo contemplado e efetuar a recombnação ou mutação consderando apenas o(s) subconjunto(s) de varáves de controle que nterferem dretamente neste(s) objetvo(s) Operadores Genétcos a) Seleção e recombnação O procedmento de seleção adotado é o de torneo, na qual algumas soluções são aleatoramente escolhdas da população e, com base em algum crtéro, a solução vencedora é então seleconada. Normalmente, o crtéro utlzado pela maora dos algortmos evolutvos mono-objetvo é o valor da função de aptdão, já para os algortmos evolutvos multobjetvos alguma estratéga de ncho é empregada de forma a modfcar as aptdões reas dos ndvíduos conforme a densdade de vznhos no seu entorno. Neste trabalho, o procedmento de torneo empregado é efetuado dretamente sobre as ordens (fronteras) recebdas pelos ndvíduos, deste modo, os ndvíduos são seleconados não só pelas suas aptdões, mas sm pelas suas aptdões dentro do contexto multobjetvo de domnânca. Além dsso, este procedmento é realzado em conjunto com o operador de recombnação de um únco ponto. Seja {N pop } o número máxmo de ndvíduos da população e {M} um conjunto que contém as soluções {M/ M N pop e M / E} a serem utlzadas nos processos de seleção e recombnação, como segue: realzada consderando todos os subconjuntos de varáves de controle (Fgura 2). Caso contráro, o desacoplamento mplícto das varáves do problema será realzado; v Repetr os passos de à v até que a nova população possua o número de ndvíduos predefndo. b) Mutação A mutação é um operador de grande mportânca para a solução de problema do mundo real, pos ntroduz, aleatoramente, novas nformações na população, prevenndo a convergênca prematura do algortmo. A sequênca deste procedmento é descrta abaxo: Gerar um número aleatóro m [0, 1]; Se m < Pm (Pm é a probabldade de mutação), então seleconar aleatoramente um dos objetvos do problema, para realzar a mutação. Caso contráro, voltar ao passo ; Se o objetvo escolhdo no passo for dferente do custo da geração, então deve-se realzar o desacoplamento mplícto das varáves do problema. Caso contráro, a mutação será efetuada em todos os subconjuntos das varáves de controle (Fgura 2); v Seleconar o ponto de mutação para a varável que sofrerá mutação; v Trocar o valor atual da varável seleconada por um valor gerado, aleatoramente, no domíno desta varável; v Repetr os passos à v até que a nova população tenha o número de ndvíduos predefndo. Seleconar por torneo um ndvíduo pa, P1, do subconjunto M; Seleconar aleatoramente o segundo pa, P2, do subconjunto E; Seleconar aleatoramente um dos objetvos do problema e ncar o processo de recombnação; v Gerar um número aleatóro r [0, 1]. Se r < Pr (Pr é a probabldade de recombnação), então obter aleatoramente o ponto de recombnação. Caso contráro, voltar ao passo ; v Se o objetvo escolhdo no passo se referr ao custo da geração, então a recombnação de um únco ponto será Redução do Conjunto de Pareto Em alguns problemas o conjunto Pareto-Ótmo pode ser extremamente grande. Nestes casos, a redução do conjunto de soluções não-domnadas sem a degradação das característcas da frontera Pareto-ótma é ndspensável. Neste trabalho, para a redução do número de soluções contdas no conjunto Pareto ótmo utlzou-se a técnca denomnada clusterng (Morse (1980)). Esta técnca partcona o conjunto de soluções domnantes em N grupos (clusters) de acordo com a proxmdade das soluções. Para cada cluster, seleconase uma solução representatva (centróde) e as soluções restantes são descartadas. A dstânca entre quasquer dos elementos do conjunto de soluções não-domnadas é encontrada através da dstânca eucldana (Ztzler e Thele (1999)). Revsta Controle & Automação/Vol.20 no.2/abrl, Mao e Junho

10 4.2.6 Preservação da Dversdade Geralmente para preservar a dversdade da população em algortmos evolutvos multobjetvos utlza-se a técnca de nchng (Goldberg (1989); Deb et al. (2000)). A técnca de nchng consste na dvsão da população em espéces (que reúnem ndvíduos com característcas semelhantes) para reduzr a competção por recursos e crar subpopulações estáves, cada uma delas concentrada em um ncho do espaço de busca. Neste trabalho, um esquema de nchng utlzando o mecansmo de sharng fo adconado ao método proposto. O mecansmo de sharng trabalha alterando a função de avalação de cada elemento da população de acordo com o número de ndvíduos semelhantes a ele na população (Mathfound (2000)). Porém, ao contráro do esperado, seus resultados não melhoraram sgnfcatvamente a dversdade das soluções não domnadas encontradas. Dessa forma, para preservar a dversdade na população, além do mecansmo de sharng utlzaram-se as taxas de recombnação (P r) e mutação (P m) atualzadas de forma adaptatva, como segue: Pr = [ Pr max g (Pr max Pr mn)] /nmax (26) Pm = [ Pm mn + g (Pm max Pm mn)] /nmax (27) Em que: são consderados acetáves pelo projetsta ou decsor. Neste trabalho, para determnar uma solução partcular, após a convergênca do algortmo as soluções não-domnadas pertencentes à prmera frontera de Pareto-ótma (soluções analsadas em relação às funções objetvo (16), (17) e as funções objetvo referentes às volações das restrções de desgualdades (18)-(22)) são analsadas em relação à redução das perdas de potênca atva nas lnhas de transmssão e despacho ótmo de potêncas atva e reatva. Para esta fnaldade aplcam-se os concetos de domnânca (Seção 3) para as funções objetvo (16), (17) e (19) para obter a prmera frontera de Pareto-ótma. Após obter as soluções não-domnadas pertencentes à prmera frontera de Pareto-ótma (F 1 ) aplca-se um mecansmo de decsão, baseado na teora dos conjuntos fuzzy (Abdo (2006); Srnvasan et al. (1994); Dhllon et al. (1993); Dhllon et al. (2002)). Os conjuntos fuzzy são defndos através de equações denomnadas funções de pertnênca (µ ). Estas funções representam o grau de pertnênca no conjunto fuzzy usando valores entre 0 e 1 (Dhllon et al. (1993)). Os valores das funções de pertnênca ndcam o grau de satsfação das funções objetvos do problema. A equação abaxo expressa a função de pertnênca que é defnda como em (Dhllon et al. (1993)). µ = 1 f (x) f mn (x) 0 f (x) f max (x) f max (x) f (x) (x) f (x) f max (x) f max f mn (x) f mn (x) Pr mn, Pr max : Lmtes nferores e superores referentes à taxa de recombnação; Pm mn, Pm max : Lmtes nferores e superores referentes à taxa de mutação; g: nmax: Índces das gerações; Número máxmo de gerações. 4.3 Técnca Fuzzy para Determnar a Melhor Solução Compromsso sendo: f mn = 1,..., N obj (28) (x)e f max (x): Valores mínmos e máxmos da ésma função objetvo. Seja N dom o número de soluções não-domnadas da prmera frontera de Pareto, então, para cada solução não-domnada k (k N dom ) a função de pertnênca é normalzada como: Os algortmos multobjetvos fornecem um conjunto de grande dmensão de soluções acetáves. Tas soluções estão dstrbuídas em dversas fronteras, e conforme já menconado, todos os pontos em uma frontera partcular possuem o mesmo grau de domnânca, sendo os pontos da prmera frontera os mas aptos, porque estão assocados aos pontos domnantes da população. µ k = N obj =1 N dom k=1 µ k N obj =1 µ k (29) Na solução do problema de FPO é desejável encontrar uma solução para o qual os valores de todas as funções objetvo A melhor solução compromsso é dada por γ = max { µ k}, k = 1, 2,..., N dom. 226 Revsta Controle & Automação/Vol.20 no.2/abrl, Mao e Junho 2009

11 Para estabelecer os valores de f mn (x) e f max (x) ncalmente as soluções não-domnadas na prmera frontera de Pareto são ordenadas. A por solução encontrada, para a ésma função objetvo, é denomnada f max (x). Quanto aos valores mínmos consdera-se f mn (x) = 0, se a ésma função objetvo referr-se aos custos das perdas nas lnhas de transmssão ou às nfactldades das restrções de desgualdade. Se a ésma função objetvo referr-se ao custo da geração, então f mn (x) será o menor valor encontrado no conjunto de soluções da prmera frontera de Pareto para esta função objetvo. 4.4 Dagrama de Bloco do Algortmo Proposto Na fgura 3 apresenta-se o dagrama de blocos do algortmo proposto para a solução do problema de FPO descentralzado. w a cal a w esp N area = j Ka w j 5 RESULTADOS O desempenho e a robustez da metodologa proposta foram avalados utlzando os sstemas teste RTS-96 (Grgg et al. (1999)) e IEEE-354 (Aguado e Quntana (2001)). Os dos sstemas teste utlzados para as análses da metodologa são consttuídos de três áreas nterconectadas (Área 1, Área 2 e Área 3) e as condções de smulações para ambos os sstemas são: Lmtes das magntudes de tensões: V a, mn e V = 1, 06 pu; a, mn = 0, 94 pu Tamanhos do passo para as varáves dscretas: u D = 0, 01 pu para os transformadores com controle automátco de taps e u D = 0, 125 pu para os capactores/reatores shunt; Lmtes das taxas de recombnação e mutação: Pr mn = 0, 001; Pr max = 0, 9;Pm mn = 0, 01; Pm max = 0, 5; Crtéro de parada para o AEMO: número máxmo de gerações (nmax). Nas tabelas 1 e 2 apresentam-se os custos da geração de potênca atva e das perdas nas lnhas de transmssão e as volações na geração de potênca reatva para os arquvos de dados orgnas para os sstemas RTS-96 e IEEE-354, referencados neste trabalho como caso base. Estes resultados são obtdos através de um programa de fluxo de carga convenconal utlzando o método de Newton. N area > 1 Fgura 3: Dagrama de blocos da técnca de solução aplcada ao problema de FPO descentralzado. Tabela 1: Resultados do caso base RTS-96. f1 f2 h2 (MVAr) Revsta Controle & Automação/Vol.20 no.2/abrl, Mao e Junho

12 Tabela 2: Resultados do caso base IEEE-354. f1 f2 h2 (MVAr) 5.1 Sstema RTS-96 Este sstema é consttuído de 72 barras e 119 lnhas de transmssão, sendo que 05 lnhas destas são as lnhas que fazem o acoplamento entre as 03 áreas que consttuem o sstema. Cada área deste sstema contém 05 transformadores com controle automátco de taps e 01 reator shunt. Em todas as smulações, o tamanho da população fo adotado como 400 ndvíduos e o número máxmo de gerações gual a 500 gerações. Fgura 4: Soluções não-domnadas na 1 a frontera de Paretoótma para a área 1. As fguras 4, 5 e 6 lustram a prmera frontera de Paretoótma e a melhor solução compromsso obtda nas análses dos subproblemas regonas de FPO para as áreas 1, 2 e 3 respectvamente. Nestas fguras pode-se observar o espaço das soluções não-domnadas na prmera frontera de Paretoótma, consderando se a redução nos custos das perdas nas lnhas de transmssão, o custo total da geração de potênca atva e a mnmzação das nfactbldades ocorrdas na geração de potênca reatva. Analsando-se as Fguras 4, 5 e 6 conclu-se que o algortmo convergu para uma frontera de Pareto-ótma bem dstrbuída na qual as soluções não-domnadas estão ao longo de uma curva claramente dentfcável. Os custos da geração e das perdas, assm como as volações na geração de potênca reatva para a melhor solução compromsso são apresentados na Tabela 3. Fgura 5: Soluções não-domnadas na 1 a frontera de Paretoótma para a área 2. Tabela 3: Melhor solução compromsso obtda para cada subproblema regonal de FPO. f1 f2 h2 (MVAr) Comparando as Tabelas 1 e 3 observa-se que as volações na geração de potênca reatva, para a área sob análse, foram reduzdas em 100%. Consderando-se um nível de carregamento nomnal verfca-se que em cada hora obtém-se uma redução nas perdas das lnhas de transmssão do sstema elétrco de aproxmadamente 14%. Esta redução representa um ganho médo de aproxmadamente $ ,00 ao mês. Quanto aos custos da geração de potênca atva a redução fo Fgura 6: Soluções não-domnadas na 1 a frontera de Paretoótma para a área Revsta Controle & Automação/Vol.20 no.2/abrl, Mao e Junho 2009

13 de aproxmadamente 0,5%. Este fato se justfca pelo conflto entre os objetvos e também pelo conflto entre as restrções operaconas e a função objetvo relaconada com o despacho econômco de potênca atva. Mas ao analsar o ganho médo obtdo na redução dos custos da geração de potênca atva, no decorrer de um mês, o ganho médo em cada subproblema regonal de FPO fo de $ ,00. Somando-se os ganhos nos custos da geração e das perdas nas lnhas de transmssão totalza-se um ganho total de aproxmadamente $ ,00 ao mês, em cada área analsada. Além dos ganhos fnanceros a aplcação da metodologa propcou uma operação mas segura, capaz de atender todas as restrções mpostas para o problema. Na Tabela 4 encontram-se relaconados os resultados da melhor solução compromsso para as análses sucessvas dos subproblemas regonas de FPO. Os resultados apresentados na Tabela 4 foram obtdos analsando-se ncalmente o subproblema regonal de FPO referente à Área 1. Após a convergênca do algortmo os valores obtdos para as varáves de controle desta área são atualzados na base de dados do sstema e um novo subproblema é seleconado para ser otmzado, neste caso, escolheu-se o subproblema regonal de FPO referente à Área 2. Este processo é repetdo até que todas as áreas do sstema de potênca nterconectado sejam analsadas. Comparando-se os resultados apresentados na Tabela 1 com os resultados obtdos após resolver o subproblema regonal de FPO da Área 1 (Tabela 4) observa-se que ao otmzar a Área 1 os resultados das Áreas 2 e 3 permaneceram nalterados. Além dsso, observando-se os resultados numércos de cada subproblema regonal de FPO analsado (Tabela 4) têm-se que ao otmzar uma determna área, as áreas que não estão sendo analsadas têm as suas condções operaconas nalteradas. As pequenas varações nos custos das perdas e Tabela 4: Melhor solução compromsso obtda para as análses sucessvas dos subproblemas regonas de FPO.!" #!$"! $ %! $ &$' %! $ 234" f 1 f 234" 2 2 &$' (($)$* (MVAr) -$!)*! *)** &$' +!,)!&!' *!(),- %+)(- &$' (,+)-*!' *$()%$ %.),- &$' (($)$* -*()*% *)**,%()!% -!()+$ *)**!*$()%$ &.).+ -*$),& *)** -!&),& *)** &$' (,+)-* &$' (($)$* &$',%()!% % &$'$.-)&& ++,)*. *)** h / 0 1 $" nos valores das volações de potênca reatva decorrem da não-lneardade do problema. Desta forma, pode-se conclur que a restrção de acoplamento mposta ao problema fo devdamente atendda. 5.2 Sstema IEEE-354 Este sstema é baseado no sstema teste IEEE-118 (Lebow, (1984)) e possu 354 barras e 543 lnhas de transmssão, sendo que 06 lnhas são as lnhas que fazem o acoplamento entre as 03 áreas que consttuem o sstema. Cada área deste sstema contém 09 transformadores com controle automátco taps e 14 capactores e reatores shunt. Em todas as smulações, o tamanho da população fo adotado como 900 ndvíduos e o número máxmo de gerações gual a 1800 gerações. As fguras 7, 8 e 9 lustram a prmera frontera de Paretoótma e a melhor solução compromsso obtda nas análses dos subproblemas regonas de FPO para as áreas 1, 2 e 3 respectvamente. Nestas fguras pode-se observar o espaço das soluções não-domnadas na prmera frontera de Pareto-ótma para cada subproblema regonal de FPO, consderando-se a mnmzação dos custos das perdas de potênca atva nas lnhas de transmssão, a mnmzação do custo total da geração de potênca atva e a mnmzação das volações de potênca reatva gerada a área em análse ( Q a g ). A méda da redução dos custos das perdas de potênca atva nos subproblemas regonas de FPO fo de aproxmadamente 59%, quando comparada com o valor das perdas para os valores das varáves de controle do arquvo orgnal (Tabela 2). Para obter uma condção de operação mas segura, ou seja, manter as magntudes de tensões e fluxos de potênca nas lnhas de transmssão dentro dos lmtes preestabelecdos, não fo possível reduzr os custos na geração de potênca atva em nenhum dos subproblemas regonas de FPO analsado. Analsando a Tabela 2 conclu-se que no estado de operação com as varáves de controle ajustadas de acordo com o arquvo de dados orgnal (Lebow (1984)), este sstema necessta de suporte de potênca reatva que supere sua capacdade de geração de reatvos. Este ponto de operação ncal causa dfculdades para se encontrar soluções sem volações na geração de potênca reatva e, consequentemente, algumas soluções contdas na frontera de Pareto-ótma, mostrada nas Fguras 7, 8 e 9, apresentam volações nesta restrção. Ao aplcar as funções de pertnêncas para determnar a solução não-domnada que melhor represente o subproblema regonal de FPO as soluções mas voladas são excluídas e uma solução que apresente pequenas volações é seleconada. Analsando-se as Fguras 7, 8 e 9 verfca-se que em todas as smulações realzadas o algortmo convergu para uma Revsta Controle & Automação/Vol.20 no.2/abrl, Mao e Junho

14 Tabela 5: Melhor solução compromsso obtda para cada subproblema regonal de FPO f1 f2 h2 (MVAr) Fgura 7: Soluções não-domnadas na 1 a frontera de Paretoótma para a área 1. frontera de Pareto-ótma bem dstrbuída na qual as soluções não-domnadas estão ao longo de uma curva claramente dentfcável. Na Tabela 5 apresentam-se as melhores soluções compromsso obtdas nas análses dos subproblemas regonas de FPO e aplcação da teora dos conjuntos fuzzy (seção 4.3). Nas análses com os subproblemas regonas de FPO, referentes às áreas 2 e 3 os custos da geração de potênca atva foram relatvamente maores quando comparados com o caso base (Tabela 2). Este fato decorre das característcas do sstema e não afeta o desempenho da metodologa, pos ao somar os custos da geração com os custos das perdas observase que a metodologa apresenta uma operação mas segura e anda obtém-se a redução dos custos operaconas de cada uma das empresas de geração. Esta análse está esquematzada na Fgura 10. Fgura 8: Soluções não-domnadas na 1 a frontera de Paretoótma para a área 2. Os lmtes mínmos e máxmos obtdos nas análses de cada subproblema de FPO e para o caso base são apresentados na Tabela 6. Verfca-se nesta tabela que o perfl das magntudes das tensões é mantdo dentro dos lmtes preestabelecdos a, mn a, mn (V = 0, 94 pu e V = 1, 06 pu). Fgura 9: Soluções não-domnadas na 1 a frontera de Paretoótma para a área 3. Fgura 10: Lucros obtdos em cada subproblema regonal de FPO. 230 Revsta Controle & Automação/Vol.20 no.2/abrl, Mao e Junho 2009

15 Tabela 6: Lmtes mínmos e máxmos obtdos para cada subproblema regonal de FPO e para o caso base geração. Por outro lado, embora as soluções ndcadas como melhor solução compromsso tenha custos de perdas maores do que as outras soluções contdas na prmera frontera de Pareto-ótma, estas soluções estão com as perdas nas lnhas de transmssão sgnfcatvamente reduzdas, quando comparadas com o caso base. 6 CONCLUSÕES 5.3 Dscussão dos resultados O AEMO mplementado convergu para soluções de boa qualdade, ou seja, alteraram-se os controles de potênca reatva dsponíves, melhorando o perfl de tensão. Ressalta-se que as magntudes de tensões (h 3 )permaneceram dentro dos lmtes estabelecdos para todas as barras (referênca, geração e carga) dos sstemas testados. A restrção de fluxo nas lnhas (h 4 ) e a capacdade de geração de potênca atva (h 1 ) foram devdamente atenddas nas smulações com os dos sstemas teste. Os resultados numércos apresentados nas seções 5.1 e 5.2 evdencam o potencal da metodologa e da técnca de solução, para a resolução de problemas de FPO descentralzado. Os testes mostram que a metodologa pode ser aplcada no setor elétrco reestruturado, na qual os servços de geração e transmssão são oferecdos por dferentes empresas, localzadas em dferentes regões geográfcas e elétrcas. Nas smulações realzadas foram utlzadas dferentes sementes para a geração da população ncal e operadores genétcos. Assm, para uma mesma área, dferentes sementes geram dferentes despachos de geração e perfs de tensão, mas ndependente da semente utlzada, o algortmo converge para soluções semelhantes e de boa qualdade. Este fato pode ser comprovado ao analsar os resultados mostrados na Tabela 3 com os resultados apresentados na Tabela 4. Os resultados numércos mostrados na Tabela 4 foram obtdos através de sucessvas análses e com sementes dstntas das utlzadas nas smulações de cada subproblema mostrado na Tabela 3. Mas se as sementes fossem as mesmas os resultados obtdos para os dos casos seram exatamente os mesmos. As funções de pertnênca (seção 4.3) são usadas para avalar cada solução contda na prmera frontera de Pareto-ótma e a solução com maor valor de função de pertnênca é denomnada melhor solução compromsso. Analsando a melhor solução compromsso mostrada nas fguras 4, 5 e 6 observase que os custos da geração de potênca atva foram prorzados em relação aos custos das perdas nas lnhas de transmssão. Pos ao longo da frontera de Pareto-ótma exstem soluções que apresentam menor custo de perdas, do que o escolhdo, mas estas soluções apresentam maores custo de Neste trabalho um procedmento de decomposção fo aplcado ao problema de FPO multárea para defnr város subproblemas regonas de FPO, sto é, um subproblema de FPO para cada uma das áreas de um sstema de potênca nterconectado. Através da decomposção do problema de FPO multárea fo possível analsar as áreas do sstema de potênca nterconectado ndependentemente, entretanto nenhuma transação blateral entre as áreas ou fluxo de potênca específco entre as lnhas de lgação sejam especfcados. As análses realzadas fornecem como resultados soluções ótmas ou de boa qualdade para todas as áreas do sstema de energa elétrca que podem ser consderadas uma empresa de energa elétrca ndependente ou uma área de grande nteresse dentro de uma empresa de grande porte. Estas soluções permtem atender dferentes objetvos dependendo das necessdades do usuáro tas como: mnmzação das perdas de potênca atva nas lnhas de transmssão, despacho ótmo de potêncas atva e reatva e ajustes dos controles de tensão enquanto atende um conjunto de restrções físcas, operaconas e de acoplamento. Consequentemente, a metodologa apresentada é muto útl para a nova estrutura compettva do setor elétrco na qual deseja-se oferecer os servços a custo mínmos, mantendo os padrões de qualdade e segurança e a ndependênca entre as empresas de energa elétrca. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem a Fundação de Ensno Pesqusa e Extensão de Ilha Soltera FEPISA (Processo 001/2007), a Fundação de Apoo ao Desenvolvmento e Tecnologa do Estado de Mato Grosso do Sul - FUNDECT e CNPq (Processo /2007-5) pelo fnancamento deste projeto de pesqusa. REFERÊNCIAS Abdo, M. A., (2006). Multobjectve evolutonary algorthms for electrc power dspatch problem; IEEE Trans. On Evolutonary Computatons, vol. 10, no. 3, pp Aguado, J. A. and Quntana, V. H. (2001). Inter-utltes power-exchange coordnaton: A market-orented ap- Revsta Controle & Automação/Vol.20 no.2/abrl, Mao e Junho