ALGORITMO EVOLUTIVO MULTIOBJETIVO PARA O DESPACHO ECONÔMICO E AMBIENTAL

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1 ALGORITMO EVOLUTIVO MULTIOBJETIVO PARA O DESPACHO ECONÔMICO E AMBIENTAL Elzete de Andrade Amorm 1 LABSEEL - Departamento de Engenhara Elétrca Unversdade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS Endereço da Insttução elzete.amorm@gmal.com Flávo G. M. Lma 1, Selma H. M. Hashmoto 1, José R. S. Mantovan 2 1 LABSEEL - Departamento de Engenhara Elétrca UFMS 2 LAPSELL Departamento de Engenhara Elétrca FEIS UNESP flma@eee.org, mant@dee.fes.unesp.br RESUMO Neste artgo apresenta-se o desenvolvmento de um algortmo evolutvo multobjetvo (AEMO) para a solução do problema de despacho de potênca atva e reatva e mnmzação da emssão de gases poluentes (DEA). O DEA é modelado como um problema de otmzação não-lnear restrto, multobjetvo, com varáves de controle contínuas e dscretas, em que o custo do combustível, os mpactos ambentas e as perdas são tratados como objetvos competndo entre s. O AEMO mplementado explora um mecansmo de preservação da dversdade para evtar a convergênca prematura e torná-lo capaz de encontrar um conjunto de soluções não-domnadas dversfcadas. Adconalmente, um mecansmo de decsão baseado na teora dos conjuntos fuzzy é empregado para extrar a melhor solução compromsso do conjunto de Pareto. Para valdar o algortmo proposto ele fo testado utlzando o sstema de potênca IEEE 30 barras. Os resultados obtdos com os testes demonstram que o método é efcente para resolver o problema de DEA e capaz de gerar um conjunto de soluções não-domnadas dversfcadas e de excelente qualdade. PALAVRAS CHAVE. Algortmo Evolutvo Multojetvo. Despacho Econômco e Ambental. Conjuntos Fuzzy. Metaheurístca ABSTRACT Ths works presents the development of a multobjectve evolutonary algorthm (MOEA) for problem of envronmental and economc power dspatch (EED) problem. The EED s modeled as a nolnear constraned multobjectve optmzaton problem, wth dscrete and contnuous control varables, n that the fuel cost, envronmental mpacts and losses are handled as competng objectves among themselves. The MOEA mplemented employs a dversty-preservng mechansm to overcome the premature convergence and capable of fndng wdely dfferent nondomnated solutons. Moreover, fuzzy set theory s proposed to extract the best compromse soluton of the Pareto set. To valdate the proposed algorthm t was appled to the IEEE 30 test system. The results showed that the method s effcent for solvng EED problem and capable of obtaned a dversty Pareto-optmal set. KEYWORDS. Multobjectve Evolutonary Algorthm. Envronmental and economc power dspatch. Metaheurstc. XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 1860

2 1. Introdução O despacho econômco (DE) é o estudo da alocação ótma de demandas preestabelecdas entre as undades geradoras de um sstema elétrco de potênca. Este problema possu o objetvo de mnmzar o custo da produção de energa elétrca através da otmzação da dstrbução da produção entre os geradores e da utlzação efcente dos recursos energétcos. Além desses objetvos é ndspensável que as condções de operação sejam satsfetas. O planejamento e a operação dos sstemas elétrcos, tradconalmente, são realzados com o ntuto de se obter o menor custo de geração sem consderar os níves de emssão de gases produzdos e, portanto, sem levar em consderação os custos socas devdo à contamnação do meo ambente. Mas devdo a crescente preocupação mundal sobre a polução ambental causada por undades de produção baseadas em combustível fóssl e o cumprmento das normas ambentas dos últmos anos o controle de emssão de gases tem recebdo atenção a nível mundal. Váras estratégas para a redução de emssões atmosfércas têm sdo propostas e dscutdas na lteratura (El-Keb et al. (1994), Talaq et al. (1994)). Estas estratégas ncluem a nstalação de equpamentos de controle para a redução da emssão, a utlzação de combustível de baxa emssão, a troca dos quemadores de combustível por outros mas lmpos, e o despacho de emssões. As prmeras três opções requerem a nstalação e/ou alteração de equpamentos e envolvem nvestmentos de captal consderável, e assm podem ser vstos como um nvestmento a longo prazo. O despacho de emssão é uma alternatva atraente a curto prazo, pos tanto os custos de emssão como o combustível podem ser mnmzados smultaneamente, sem a necessdade de se dspor de captal. Nos últmos anos, dferentes técncas têm sdo publcadas na lteratura por dferentes autores e referencada como problema de despacho econômco e ambental (DEA), destacando-se Dhllon et al. (1993), Srnvassan et al. (1994), Abdo (2001), Abdo (2003), Zhao et al. (2005), entre outros. Em Dhllon et al. (1993) o DEA é convertdo em um problema de otmzação monoobjetvo através da combnação lnear dos dferentes objetvos como uma soma ponderada. Este método permte obter um conjunto de soluções não-domnadas (Pareto-ótma) através da varação dos pesos, mas este método requer que a frontera de Pareto-ótma seja convexa e exge múltplas execuções, sto é, o número de execuções depende do número de soluções não-domnadas preestabelecdo. Em Srnvassan et al. (1994) o custo de geração e a emssão de gases são tratados smultaneamente como objetvos compettvos e resolvdo através uma técnca de otmzação multobjetvo fuzzy. Entretanto, o algortmo não fornece nenhuma estrutura sstemátca para dreconar a busca em dreção à frontera de Pareto-ótma e as soluções encontradas são sub-ótmas. Em Abdo (2001) e Abdo (2003) o DEA é tratado como um problema de otmzação multobjetvo e revolvdo através dos algortmos evolutvos baseados na teora de Pareto. No trabalho Abdo do ano de 2001 propõe-se a uma aproxmação baseada no algortmo Strength Pareto Evolutonary (SPEA) e no trabalho publcado no ano de 2003 propõese a solução através de uma aproxmação baseada no algortmo Nondomnated Sortng Genetc Algorthm (NSGA). Os testes realzados com os algortmos evolutvos multobjetvos demonstraram que estes métodos podem encontrar um conjunto de soluções não domnadas bem dstrbuído e apresentam boa dversdade. O DEA é um problema de otmzação não-lnear restrto e a presença de restrções de dversas naturezas ntroduz uma complexdade adconal para sua solução através dos algortmos evolutvos (AEs), pos os operadores orgnas de busca destes algortmos não garantem a obtenção de soluções váves. Estudos sobre o desenvolvmento e uso dos AEs são recentes, e de acordo com Lenve (1997), a solução de problemas desta classe lmta o uso dos AEs em sua forma orgnal prncpalmente pelo fato de não exstr a garanta de que a factbldade será mantda após a recombnação e mutação. Na lteratura exstem alguns procedmentos que podem ser adotados para tratar os problemas restrtos, tas como: técncas de penalzação, reparação de XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 1861

3 soluções nfactíves, tratamento por múltplos objetvos, operadores modfcados e modfcação da formulação do problema (Reeves, C. R. (1997)). Neste trabalho, para a solução do problema de DEA é desenvolvdo um algortmo evolutvo multobjetvo (AEMO) baseado na teora de Pareto (Deb et al. 2000) que explora um mecansmo de preservação da dversdade para evtar a convergênca prematura do algortmo e soluções ótmas locas. Além dsso, para extrar a melhor solução compromsso do conjunto Pareto-ótmo utlza-se um mecansmo de decsão baseado na teora do conjunto fuzzy (Dhllon et al. (2002)). Vsando-se atender as restrções físcas e operaconas, sem comprometer a qualdade das soluções encontradas as nfactbldades ocorrdas no conjunto de restrções de desgualdades são tratadas como funções objetvo do problema. Para valdar a efcênca do modelo e da técnca de solução apresentam-se os resultados obtdos com o sstema teste IEEE-30 (Alsac e Stott (1974)). 2. Nomenclatura e j : Índces das barras e lnhas de transmssão, respectvamente. N e G : Conjuntos de barras e de geradores do sstema. C, C e C : Coefcentes de custo do -ésmo gerador γ, β, α, ξ e λ : Coefcentes de emssão de gases. P eq : Potêncas atva e reatva gerada pelo -ésmo gerador. g g P L e Q L : Potêncas atva e reatva demandada pela -ésma barra. P ( V, θ, t ) : Injeção líquda de potênca atva na barra. Q ( V, θ, t ) : Injeção líquda de potênca reatva na barra. mn Pg e P g : Capacdades mínma e máxma da geração de potênca atva no -ésmo gerador. mn Qg e Q g : Capacdades mínma e máxma da geração de potênca reatva no -ésmo gerador. V e θ : Magntude de tensão e ângulo de fase na barra. t : -ésmo transformador com controle automátco de taps. S : Banco de capactor/reator shunts na -ésma barra. H mn V e V : Lmtes nferor e superor da magntude de tensão na -ésma barra. S : Fluxo potênca aparente sobre a lnha j. j S : Capacdade máxma de fluxo potênca aparente sobre a lnha j. j mn t e mn S H e t : Lmtes nferor e superor do -ésmo transformador com controle automátco de taps. S : Lmtes nferor e superor do capactor/reator shunts na -ésma barra. H P g ref : Potênca atva gerada na barra slack. P g ref : Capacdade máxma de geração de potênca atva na barra slack. u : Tamanho do passo de dscretzação. D mn u D e u D : Lmtes nferor e superor das varáves dscreta. Pr : Lmtes nferor e superor referentes à taxa de recombnação. mn Pr e mn Pm e Pm : Lmtes nferor e superor referentes à taxa de mutação. g : Índces das gerações. n : Número máxmo de gerações. f x : Valor mínmo da -ésma função objetvo. mn ( ) ( ) f x : Valor máxmo da -ésma função objetvo. XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 1862

4 3. Formulação do Problema O problema de despacho econômco clássco consste em determnar um conjunto de varáves ótmas de estado e controle da rede elétrca, a partr dos dados de carga e dos parâmetros do sstema elétrco de potênca. Se na formulação deste problema adconam-se restrções ambentas para reduzr a polução atmosférca Este problema é caracterzado matematcamente como um problema de otmzação não-lnear restrto, não-convexo e de grande porte (com mlhares de varáves e restrções), com varáves contínuas e dscretas. As nfactbldades no conjunto de restrções de desgualdades são tratadas como funções objetvo do problema e, consequentemente, o problema de DEA pode ser matematcamente formulado como: Objetvos 1. Mnmzação do custo de operação: Esta função objetvo reflete o aspecto econômco do sstema elétrco e na prátca representa o índce a ser otmzado no despacho econômco de usnas térmcas, onde cada undade termoelétrca geradora é representada por uma curva de custo de geração em função da potênca atva gerada. O custo total da geração termoelétrca é obtdo através de uma função quadrátca como: 2 f1 = C2 ( Pg ) + C1 ( Pg ) + C0 ($/h) (1) G 2. Mnmzação da emssão de gases poluentes: A função de emssão de gases pode ser representada como a soma de todos os tpos de emssão consderados, tas como, dóxdo de carbono, dóxdo de enxofre, óxdos de ntrogêno, monóxdo de carbono e dóxdo de ntrogêno. 2 2 f2 = 10 ( γ Pg + β Pg + α ) + ξ exp ( λ Pg ) (ton/h) (2) G 3. Mnmzação das perdas de potênca atva: Este objetvo vsa dmnur o valor das perdas no sstema e, determnar a geração de potênca reatva (ou nível de tensão gerada) e os taps dos transformadores com comutação sob carga de forma a resultar em uma operação mas econômca. É mportante enfatzar, que o efeto da mnmzação deste índce no custo de geração de potênca atva é consderado de segunda ordem. A mnmzação das perdas de potênca atva nas lnhas de transmssão pode ser expressa como: 2 2 loss ( ) k j j j j (MW) (3) f3 = P = g v + v 2v v cosθ k NL k NL Funções objetvo referentes às restrções de desgualdades voladas 1. Potênca atva gerada { g } ref gref f4 = Mn 0, P P 2. Potênca reatva gerada f = Mn Q 5 g G mn mn Qg Qg, Qg < Qg Em que Qg = Qg Qg, Qg > Qg 0, caso contráro (4) (5) 3. Magntude de tensão XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 1863

5 f = Mn V 6 N mn mn V V, V < V Em que V = V V, V > V 0, caso contráro (6) 4. Fluxo de potênca nas lnhas de transmssão f = Mn S 7 Em que S, j N j j S S, S > S = 0, caso contráro j j j j (7) Restrções As restrções do problema de DEA são as restrções de fluxo de carga: ( θ ) P P P, V, t = 0 (8) g L ( θ ) Q Q Q, V, t + S = 0 (9) g L H 4. Prncípo da Otmzação Multobjetvo Um problema de otmzação multobjetvo é caracterzado pela otmzação smultânea de váras funções objetvo com dferentes soluções ótmas (Deb et al. (2000)). Geralmente, as funções objetvo de um problema de otmzação multobjetvo são não-comensuráves e confltantes entre s e por esta razão não exste uma únca solução que seja ótma smultaneamente para todos os objetvos e sm um conjunto de soluções compromsso denomnado conjunto efcente ou Pareto-ótmo. Para um problema de otmzação multobjetvo com N obj funções objetvo ( f ) para serem mnmzadas smultaneamente, a solução x 1 domna a solução x 2 se as condções abaxo são satsfetas: 1. { 1,2,, N } : f ( x ) < f ( x ) obj j { 1,2,, N } : f ( x ) f ( x ) obj j 1 j 2 Se qualquer uma das condções acma é volada, a solução x 1 não domna a solução x 2. Se a solução x 1 domna solução x 2, então x 1 é denomnada solução não domnada. As soluções que são não-domnadas sobre todo o espaço de busca são chamadas soluções Pareto-ótmas e consttuem o conjunto Pareto-ótmo ou a frontera de Pareto-ótma. 5. Metodologa Proposta Para solução do DEA tratado como um problema de otmzação multobjetvo propõe-se um AEMO baseado em um procedmento de ordenação dos pontos canddatos a serem pontos efcentes da população (Srnvas. e Deb (1995)). A dferença desta mplementação em relação a um algortmo genétco smples está no modo com que o operador de seleção é realzado. Tanto o operador de recombnação quanto o operador de mutação são os usuas dos algortmos genétcos. Antes do procedmento de seleção ser aplcado, a população é ordenada com base no nível de não-domnânca dos ndvíduos, sto é, todas as soluções não-domnadas da população corrente recebem valores altos de aptdão. Esta aptdão é a mesma para todos os ndvíduos nãodomnados, garantndo assm que todos possuam um mesmo potencal reprodutvo. (10) (11) XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 1864

6 Para manter a dversdade da população as soluções não-domnadas compartlham os seus valores de aptdão segundo suas dstâncas Eucldanas (Ztzler e Thele (1999)). Fnalmente, dvde-se o valor da aptdão de cada ndvíduo pelo contador de nchos que é proporconal ao número de vznhos ao seu redor. Este procedmento proporcona a coexstênca de pontos ótmos múltplos na população. O por valor de aptdão compartlhada na solução da prmera frontera não-domnada é então armazenado para uso posteror. Depos que o compartlhamento é executado e que as aptdões são modfcadas os ndvíduos não-domnados são gnorados temporaramente para processar os demas membros da população. O procedmento para determnar novas soluções não-domnadas (segundo nível) é novamente executado, sendo que agora eles recebem um valor de aptdão um pouco menor que o por valor de aptdão compartlhada no nível anteror. Uma vez mas o procedmento de compartlhamento é executado entre as soluções não-domnadas do segundo nível e as novas aptdões são calculadas como antes. Este processo é contnuado até que todos os membros da população tenham um valor de aptdão compartlhado. Os algortmos multobjetvos fornecem um conjunto de soluções acetáves de grande dmensão. Tas soluções estão dstrbuídas em dversas fronteras, e conforme já menconado, todos os pontos em uma frontera partcular possuem o mesmo grau de domnânca, sendo os pontos da prmera frontera os mas aptos, porque estão assocados aos pontos domnantes da população. Na solução do DEA é desejável encontrar uma solução para o qual os valores de todas as funções objetvo são consderados acetáves pelo projetsta ou decsor. Para determnar uma solução partcular, a cada geração as soluções não-domnadas pertencentes à prmera frontera de Pareto-ótma são analsadas em relação ao despacho econômco de potênca atva e a função objetvo referente às nfactbldades das restrções de desgualdade. Para esta fnaldade aplca-se um mecansmo de decsão, baseado na teora dos conjuntos fuzzy. Este mecansmo é detalhado nas próxmas seções. Para gerar um conjunto sufcentemente dversfcado de soluções não-domnadas e obter um bom desempenho, na solução do DEA, o algortmo proposto combna algumas estratégas, tas como: Codfcação das varáves de controle em base real; Eltsmo; Desacoplamento mplícto das varáves do problema; Seleção e recombnação smultaneamente; Redução do conjunto de Pareto através de clusterng; Preservação da dversdade Codfcação e população ncal Devdo às característcas físcas do problema, para se obter um desempenho satsfatóro do AEMO sob os aspectos da efcênca computaconal e qualdade das soluções otmzadas fornecdas pelo algortmo, é necessáro gerar uma população ncal de boa qualdade. Os ndvíduos (cromossomos) que compõem a população são formados por 4 subconjuntos de varáves, representadas pelas varáves de controle contínuas ( u C ) e dscretas ( u D ) conforme apresentado na Fg. 1. Pg 1 Varáves de controle contínuas ( uc ) Varáves de controle dscretas ( u D ) Subconjunto 1 P g V t 1 V t S 1 H1 Subconjunto 2 Subconjunto 3 Subconjunto 4 Fg. 1: Estrutura do cromossomo da população. A potênca atva gerada ( P g ) e as magntudes de tensões ( V ) são tratadas como varáves de SH XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 1865

7 controle contínuas e geradas de forma aleatóra satsfazendo seus respectvos lmtes mínmos e máxmos. A potênca atva gerada total deve suprr as demandas das cargas e as perdas atva do sstema. Vsando-se satsfazer esta condção, para cada gerador é gerado um valor aleatóro que representa a sua geração de potênca atva e que deve estar dentro dos seus lmtes preestabelecdos de geração. Desta forma, somando as propostas de potênca atva gerada de cada gerador e um valor aproxmado de estmatva para as perdas atva do sstema deve se ter a capacdade total de geração da rede. A dferença entre esta soma e a demanda total com as perdas deve ser suprda pela barra de referênca. Os transformadores com controle automátco de taps ( t ) e os bancos de capactores e reatores shunts ( S H ) são representados por valores dscretos como segue: Seja 0,, e K n número aleatóro ntero no ntervalo [ K ] valores dscretos são dados por: ( ) mn D D D mn ud u D = nt u, então os D u = u + n u N (12) Tanto as varáves contínuas, quanto as varáves dscretas são codfcadas em base real satsfazendo suas respectvas regões de factbldade. As vantagens deste sstema de codfcação são armazenar uma maor quantdade de nformações que a codfcação bnára para um cromossomo com a mesma dmensão e trabalhar com a representação real das varáves do problema. A partr das varáves de controle contínuas e dscretas estabelecdas para cada ndvíduo calculam-se as restrções de fluxo de carga (8) e (9). Estas restrções são resolvdas através do Método de Newton (Montcell, (1983)) e posterormente calculam-se as funções objetvo Eltsmo A estratéga eltsta, dentro do contexto multobjetvo, deve ser expandda para o conjunto das soluções não-domnadas da população corrente. Este procedmento é fundamental na resolução de problemas multobjetvos, uma vez que a solução destes problemas é na verdade um conjunto de soluções frontera de Pareto-ótma. Após a classfcação da população os pontos pertencentes à prmera frontera ( ) 1 F são retrados da população e armazenados em um subconjunto eltsta (E), para que sejam utlzados no processo de recombnação com o objetvo de aumentar a pressão de seleção e ao mesmo tempo acelerar a convergênca do algortmo Desacoplamento mplícto das varáves de controle A estratéga de desacoplamento mplícto tem por objetvo contemplar a solução de problemas que apresentam varáves de controle confltantes entre s. Na metodologa proposta as volações das restrções de desgualdades são tratadas como funções objetvo do problema e, ao atualzar um determnado conjunto de varáves de controle através de recombnação ou mutação, um objetvo é melhorado em detrmento de outros. Desta forma, ao se sortear os ndvíduos para executar a recombnação ou mutação, deve-se verfcar qual dos objetvos está sendo contemplado e efetuar a recombnação ou mutação consderando apenas o(s) subconjunto(s) de varáves de controle que nterferem dretamente neste(s) objetvo(s) Operadores genétcos Seleção e recombnação: O procedmento de seleção adotado é o de torneo, na qual algumas soluções são aleatoramente escolhdas da população e, com base em algum crtéro, a solução vencedora é então seleconada. Normalmente, o crtéro utlzado pela maora dos algortmos evolutvos mono-objetvo é o valor da função de aptdão, já para os algortmos evolutvos XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 1866

8 multobjetvos alguma estratéga de ncho é empregada de forma a modfcar as aptdões reas dos ndvíduos conforme a densdade de vznhos no seu entorno. O procedmento de torneo empregado é efetuado dretamente sobre as ordens (fronteras) recebdas pelos ndvíduos, deste modo, os ndvíduos são seleconados não só pelas suas aptdões, mas sm pelas suas aptdões dentro do contexto multobjetvo de domnânca. Além dsso, este procedmento é realzado em conjunto com o operador de recombnação de um únco ponto. Seja { N pop } o número máxmo de ndvíduos da população e { M } um conjunto que contém as soluções { M / M N pop e M E} a serem utlzadas nos processos de seleção e recombnação, como segue:. Seleconar por torneo um ndvíduo pa, P1, do subconjunto M;. Seleconar aleatoramente o segundo pa, P2, do subconjunto E;. Seleconar aleatoramente um dos objetvos do problema e ncar o processo de recombnação; r. Se r < Pr ( Pr é a probabldade de recombnação), então obter aleatoramente o ponto de recombnação. Caso contráro, voltar ao passo ; v. Gerar um número aleatóro [ 0,1] v. Se o objetvo escolhdo no passo se referr ao custo da geração, então a recombnação de um únco ponto será realzada consderando todos os subconjuntos de varáves de controle (Fgura 1). Caso contráro, o desacoplamento mplícto das varáves do problema será realzado; v. Repetr os passos de à v até que a nova população possua o número de ndvíduos predefndo. Mutação: A mutação é um operador de grande mportânca para a solução de problema do mundo real, pos ntroduz, aleatoramente, novas nformações na população, prevenndo a convergênca prematura do algortmo. A seqüênca deste procedmento é descrta abaxo:. Gerar um número aleatóro [ 0,1] m ;. Se m < Pm ( Pm é a probabldade de mutação), então seleconar aleatoramente um dos objetvos do problema, para realzar a mutação. Caso contráro, voltar ao passo ;. v. Se o objetvo escolhdo no passo for dferente do custo da geração, então deve-se realzar o desacoplamento mplícto das varáves do problema. Caso contráro, a mutação será efetuada em todos os subconjuntos das varáves de controle (Fgura 1); Seleconar o ponto de mutação para a varável que sofrerá mutação; v. Trocar o valor atual da varável seleconada por um valor gerado, aleatoramente, no domíno desta varável; v. Repetr os passos à v até que a nova população tenha o número de ndvíduos predefndo Redução do conjunto de Pareto Em alguns problemas o conjunto Pareto-Ótmo pode ser extremamente grande. Nestes casos, a redução do conjunto de soluções não-domnadas sem a degradação das característcas da frontera Pareto-ótma é ndspensável. Neste trabalho, para a redução do número de soluções contdas no conjunto Pareto ótmo utlzou-se a técnca denomnada clusterng (Morse (1980)). Esta técnca partcona o conjunto de soluções domnantes em N grupos (clusters) de acordo com a proxmdade das soluções. Para cada cluster, selecona-se uma solução representatva (centróde) XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 1867

9 e as soluções restantes são descartadas. A dstânca entre quasquer dos elementos do conjunto de soluções não-domnadas é encontrada através da dstânca eucldana (Ztzler e Thele (1999)) Preservação da dversdade Geralmente para preservar a dversdade da população em algortmos evolutvos multobjetvos utlza-se a técnca de nchng (Deb et al. (2000)). A técnca de nchng consste na dvsão da população em espéces (que reúnem ndvíduos com característcas semelhantes) para reduzr a competção por recursos e crar subpopulações estáves, cada uma delas concentrada em um ncho do espaço de busca. Neste trabalho, um esquema de nchng utlzando o mecansmo de sharng fo adconado ao método proposto. O mecansmo de sharng trabalha alterando a função de avalação de cada elemento da população de acordo com o número de ndvíduos semelhantes a ele na população (Mathfound (2000)). Porém, ao contráro do esperado, seus resultados não melhoraram sgnfcatvamente a dversdade das soluções não domnadas encontradas. Dessa forma, para preservar a dversdade na população, além do mecansmo de sharng utlzaram-se as taxas de recombnação e mutação atualzadas de forma adaptatva, como segue: ( ) mn ( ) (13) mn Pr = Pr g Pr Pr n = + (14) mm Pm Pm g Pm Pm n 5.7. Melhor solução compromsso Os conjuntos fuzzy são defndos através de equações denomnadas funções de pertnênca ( µ ). Estas funções representam o grau de pertnênca no conjunto fuzzy usando valores 0 e 1. Os valores das funções de pertnênca ndcam o grau de satsfação das funções objetvos do problema. A equação abaxo expressa a função de pertnênca que é defnda como em Dhllon et al. (1993). mn 1 f ( x ) f ( x ) µ = 0 f ( x ) f ( x ), = 1, Nobj (15) f ( x ) f ( x ) mn f mn ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) Seja N dom o número de soluções não-domnadas da prmera frontera de Pareto, então, para cada solução não-domnada k ( k N ) a função de pertnênca é normalzada como: µ k = Nobj k µ = 1 Ndom Nobj k µ k = 1 = 1 k A melhor solução compromsso é dada por γ { µ } mn Para estabelecer os valores de f ( x ) e f ( ) dom =, k = 1,2,, N dom. (16) x, Incalmente, as funções objetvo referentes aos custos de operação e mnmzação das perdas nas lnhas de transmssão são otmzadas ndvdualmente para obter os pontos extremos da curva de Pareto e avalar a dversdade das soluções de Pareto-ótma. Para as funções objetvo referentes às restrções de desgualdade os valores mínmos são consderados guas a zero e os valores máxmos são guas a soma das nfactbldades obtdas nas smulações do fluxo de carga convenconal (método de Newton). 6. Resultados e Dscussões O AEMO desenvolvdo fo aplcado ao sstema teste IEEE-30 (Alsac e Stott (1974)). Este XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 1868

10 sstema possu 30 barras, 41 lnhas e os dados necessáros para analsar o despacho econômco e ambental são expostos nas Tabelas 1 e 2, respectvamente. Adotou-se V mn Geradores TABELA 1 Dados da função de custo dos geradores N 0 Barra C2 C ( P ) + C ( P ) + C ($ / h) 2 2 g 1 g 0 C1 C0 P g (MW) mn P g (MW) TABELA 2 Dados da função de emssão de gases 2 2 Geradores 10 ( γ Pg + β Pg + α ) + ξ exp ( λ Pg ) N 0 Barra γ β 1 1 6,490-5,554 4,091 2,0e-4 2, ,638-6,047 2,543 5,0e-4 3, ,586-5,094 4,258 1,0e-6 8, ,380-3,550 5,426 2,0e-3 2, ,586-5,094 4,258 1,0e-6 8, ,151-5,555 6,131 1,0e-5 6,667 = 0,95 pu para todas as barras do sstema e V α ξ λ = 1,10 pu para as barras de geração (2, 5, 8, 11 e 13) e para as demas barras V = 1,05 pu. Os tamanhos dos passos para a dscretzação dos transformadores com controle automátco de taps e capactores/reatores shunt são u D = 0, 01 pu e u D = 0, 02 pu respectvamente. Os lmtes mínmo e máxmo dos transformadores com controle automátco de taps são 0,9 pu e 1,1 pu. Os lmtes mínmo e mn máxmo da probabldade de recombnação são Pr = 0,001 e Pr = 0,9, respectvamente. Os lmtes mínmo e máxmo da probabldade de mutação são respectvamente. mn Pm = 0,01 e Pm = 0,5, A melhor solução compromsso e a dstrbução das soluções não-domnadas da frontera de Pareto-ótma utlzando o AEMO proposto são apresentadas na Fgura 2. Nesta fgura pode-se verfcar com precsão a relação entre o custo da geração de potênca atva, a emssão de gases poluentes e as perdas nas lnhas de transmssão. Como os três objetvos em questão são confltantes a tentatva de se obter um ponto de operação com um custo menor resulta em um aumento na emssão de gases poluentes e das perdas nas lnhas de transmssão. A melhor solução compromsso pertencente ao conjunto de soluções não-domnadas da frontera de Pareto-ótma é mostrada de forma detalhada na Tabela 3. Para fns de comparação, na tabela 3 são apresentados os resultados obtdos neste trabalho e os resultados apresentados em dos trabalhos da lteratura. Nas smulações com o algortmo PSO (Zhao et al. (2005)) o DEA é tratado como um problema de otmzação multobjetvo, no qual os custos da geração, emssão de gases e perdas são mnmzados smultaneamente. Os resultados obtdos com o algortmo SPEA (Abdo (2003)) referem-se caso 3, no qual se consderam todas as restrções do problema a emssão e os custos de geração são mnmzados smultaneamente. Analsando os resultados apresentados na tabela 3, observa-se que o AEMO convergu para uma solução de boa qualdade superando os algortmos PSO e SPEA. Para o algortmo SPEA (Abdo (2003)) adotou-se os números máxmos de ndvíduo na população e de gerações guas a 200 e 500, respectvamente. Enquanto para o AEMO proposto adotou os números máxmos de XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 1869

11 ndvíduo na população e de gerações guas a 90 e 100, respectvamente. O AEMO mplementado convergu para soluções de boa qualdade, ou seja, alteraram-se os controles de potênca reatva dsponíves, melhorando o perfl de tensão. Ressalta-se que as magntudes de tensões permaneceram dentro dos lmtes estabelecdos para todas as barras (referênca, geração e carga). As restrções referentes aos fluxos de potênca nas lnhas de transmssão e à capacdade de geração de potênca atva foram devdamente atenddas em todas as smulações realzadas. Fg. 2: Frontera de Pareto-ótma e melhor solução compromsso. Tabela 3: Resultados da melhor solução compromsso obtdos com os algortmos PSO, SPEA e AEMO. Potênca atva gerada e custos de geração PSO SPEA AEMO Pg1 0,3976 0,4797 0,2105 Pg 2 0,4181 0,5386 0,3467 Pg3 0,6440 0,6711 0,7741 Pg 4 0,7515 0,5317 0,7059 Pg5 0,4462 0,1257 0,5226 Pg 6 0,4897 0,5301 0,3029 Custo ($/h) 614,91 651,63 614,15 Emssão (ton) 0,2081 0,2047 1,8804 Perdas (MW) 2,8865-0,2075 Tempo Computaconal s 7. Conclusões Neste trabalho o problema de despacho econômco e ambental fo abordado como um problema de otmzação multobjetvo e resolvdo através de um algortmo evolutvo baseado na teora de Pareto. Os resultados demonstram que a metodologa proposta é efcente para resolver XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 1870

12 problemas de otmzação multobjetvos que envolvem um grande número de varáves dscretas e váras restrções. As soluções não domnadas na frontera de Pareto são bem dstrbuídas e apresentam dversdade satsfatóra. Além dsso, a metodologa não mpõe nenhuma lmtação quanto ao número de funções objetvo, sendo assm, o aumento do número de funções objetvo podem ser consderadas de forma smples e efcente na metodologa proposta. Agradecmentos Os autores agradecem o suporte fnancero da Fundação de Apoo ao Desenvolvmento e Tecnologa do Estado de Mato Grosso do Sul - FUNDECT e CNPq (Processo: /2007-5). Referêncas Abdo, M. A. (2001), A New Multobjectve Evolutonary Algorthm for Envronmental/Economc Power Dspatch, IEEE Transactons on Power Systems, Abdo, M. A. (2003), Envronmental/Economc Power Dspatch Usng Multobjectve Evolutonary Algorthms, IEEE Transactons on Power Systems. Vol. 18, no. 4, Alsac, O. and Stott, B. (1974). Optmal load flow wth steady state securty; IEEE Trans. Power Syst., vol. PAS-93, pp Deb, K.; Pratap, A.; Agarwal, S. and Meyarvan, T. (2000), A fast and eltst non domnated sortng genetc algorthm for multobjectve optmzaton: NSGA-II, Kan Gal report. Dhllon, J. S., Part, S. C., and Kothar, D. P. (1993), Stochastc Economc Emsson Load Dspatch, Electrc Power Syst. Res., Vol. 26, Dhllon, J. S.; Part, S. C. and Kothar, D. P. (2002), Fuzzy decson makng n stochastc multobjectve short-term hydrothermal schedulng, IEE Proc.-C, 149, vol.2, El-keb, A. A., Ma, H., and Hart, J. L (1994), Economc Dspatch n Vew of the Clear Ar Act of 1990, IEEE Trans. Power Syst. Vol. 9, Lenve, D. (1997), Genetc algorthms: a practtoner s vew, Journal on Computng, vol. 9, no. 3, Mathfound, S. W. (2000), Nchng methods, In: Back, T.; Fogel, D.B.; Mchalewcz (Eds.), Evolutonary Computaton 2, 87-92, Insttute of Physcs Publshng. Montcell, A. (1983), Fluxo de Carga em Redes de Energa Elétrca, Edtora Edgard Blücher Ltda. Morse, J. N. (1980), Reducng the sze of nondomnated set: Prunng by cluterng, Comput. Oper. Res., vol. 7, no. 1 2, Reeves, C. R. (1997), Genetc algorthms for the operatons researcher, Journal on Computng, vol. 9, no. 3, Srnvas, N. e Deb K. (1995), Mult-Objectve Functon Optmzaton Usng Non-Domnated Sortng Genetc Algorthm, Evolutonary Computaton, 2(3), Srnvasan, D. and Tettamanz, A. (1997), An Evolutonary Algorthm for Evaluaton of Emsson Complance Optons n Vew of the Clean Ar Act Amendments, IEEE Trans. Power Syst. Vol. 12, Srnvasan, D., Chang, C. S., and Lew, A. C. (1994), Multobjectve Generaton Schedule usng Fuzzy Optmal Search Technque, In Proceedngs of Inst. Elect. Eng. Gen. Transm. Dst.. Talaq, J. H., El-Hawary, F., and El-Hawary, M. E. A (1994), Summary of Envronmental/Economc Dspatch Algorthms, IEEE Trans. Power Syst., Vol. 9, Zhao Bo and Cao Y-ja (2005), Multple objectve partcle swarm optmzaton technque for economc load dspatch, Journal of Zhejang Unversty Scence, Ztzler, E. and Thele, L. (1999), Multobjectve evolutonary algorthm: a comparatve case study and the Strength Pareto approach, IEEE Transacton on Evolutonary Computaton, vol. 3, no. 4, XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 1871