Problema rotodinâmico de autovalor (parte 2): sistemas giroscópicos amortecidos.

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1 PESQUISA Problema rotodnâmo de autovalor (parte ): sstema grosópo amortedo Vtor Prodonoff * e Adhemar Castlho ** Resumo Apresenta-se um novo método para o desaoplamento das equações de movmento de um sstema rotodnâmo amortedo São utlzadas as matrzes de massa, rgdez, amortemento e grosópa, no seu estado orgnal de espaço padrão (n x n), não sendo neessára a duplação das matrzes para o espaço estado (n x n) São usados no desaoplamento os autovetores omplexos onjugados e bortogonas da matrz soma das matrzes grosópa e de amortemento As matrzes de massa e rgdez são smétras e as matrzes grosópa e de amortemento são não smétras Palavras-have Autovalor, autovetor, efeto grosópo, amortemento modal, desaoplamento, sstemas amortedos, sstemas grosópos amortedos Introdução Em artgo anteror [] dos autores, fo mostrado que as matrzes modas, [U] da matrz grosópa G e [V] de sua transposta G -G, formam um onjunto bortogonal [V] [U] [I] que, usadas em onjunto, desaoplam um sstema não amortedo om equações grosópas Neste artgo nos propomos a mostrar que os autovetores bortogonas [U] e [V] da matrz modal da soma de [C] + [G] [D], sendo [C] a matrz de amortemento, desaoplam as equações do sstema grosópo amortedo A proposta é válda quando as matrzes de massa M e de rgdez K são smétras, omo no aso largamente empregado dos elementos fntos Nos asos em que o amortemento é relatvamente baxo, omo em manas de rolamento, a solução do problema de autovalor pode ser smplfada, om a ajuda do oneto de amortemento proporonal [3] Nesses asos a matrz de amortemento C é substtuída por uma ombnação lnear entre M e K, forneendo a equação matral [M]{q}+([αM+βK]) {q} + Ω[G] {q} + [K]{q} {Q(t)} () * Ph D, Cefet/RJ Centro Federal de Eduação enológa do Ro de Janero ** DS, Petróleo Braslero SA, Petrobras 4 o QUADRIMESRE DE 8

2 sendo q vetor de desloamento, Q vetor de forças, α e β são esalares onvenentemente esolhdos de modo a satsfazer o amortemento em freqüênas prevamente esolhdas [3] O mesmo método usado no artgo anteror [] pode ser aqu usado, sto é, utlzam-se as matrzes bortogonas de G para desaoplar o sstema No aso geral de amortemento em manas de deslzamento, ou amortemento loalzado, não podemos mas onsderar a matrz C omo smétra, e, assm, o método ndado ama não produzrá o desaoplamento desejado das equações Desaoplamento das Equações de Movmento Sstema Grosópo Amortedo a) Dagonalzação das matrzes do sstema Nesta seção prova-se que os autovetores adjuntos da matrz [D] [C] + [G] desaoplam as equações de um sstema rotodnâmo amortedo As matrzes modas adjuntas [U] de [D], e [V] de [D], além de dagonalzarem [D], também dagonalzam M e K A prova dessa propredade é feta para um modelo de n graus de lberdade, usando-se apenas matrzes (n x n), não sendo neessáro onverter o sstema para o espaço estado (n x n) Consdere o sstema dnâmo representado pela segunte equação homogênea: [ M ]{} & q + ([ C + G] ) {} q& + [ K ]{} q {}, [D] [C + G] () ω t A solução harmôna {} {} q u e, sendo {u} o vetor de desloamentos modas de [D], para a freqüêna ω, quando substtuída em (), fornee o sstema algébro abaxo: ω [M] {u} + ω[d]{u} + [K]{u} {} (3) Como a matrz [D] não é smétra, onsdere o sstema adjunto formado pela matrz transposta de [D] [ M ]{} & q + [ D ] {} q& + [ K ]{} q {}, A solução harmôna {q} {v}e ωt, sendo {v} o vetor de desloamentos modas de [D], para a freqüêna ω, fornee [ M]{} v + ω [ D] {} v + [ K]{} v {} Consderando duas soluções dstntas:, j sendo j, as equações (3) e (5) forneem: [ M ]{ u } + ω [ D ]{ u } + [ K ]{ u } { } [ M]{ v } + ω [ D] { v } + [ K]{ v } {} j j j j j Pré-multplando (6a) por {v j } e (6b) por {u }, obtém-se: { v } [ M]{ u } + ω { v } [ D]{ u } + { v } [ K]{ u } j j j { u } [ M]{ v } + ω { u } [ D] { v } + { u } [ K]{ v } j j j j j Cada parela das equações (7a) e (7b) são termos esalares, portanto guas a seu transposto Assm sendo, transpondo a equação (7b) e dela subtrando (7a), enontramos a relação: ( ω j ){ v j} [ M]{ u} ( ω j ){ v j} [ D]{ u} + uma vez que [ M ] [ M] e [ ] [ K] K, e onsderando que { } [ M]{ v } { v } [ M] { u } { } [ K]{ v } { v } [ K] { u } u ; u j j Como {v j } e {u j } são autovetores adjuntos de [D], portanto {v j } [D]{u j }, (9) j j (4) (5) (6a) (6b) (7a) (7b) (8) o QUADRIMESRE DE 8 5

3 logo: { v } [ M]{ u } j Retornando à equação (7a) mostrada anterormente, vemos que para todos os asos nos quas j, {v j } [M]{u } e {v j } [D]{u } serão nulos, bem omo { v } [ K]{ u } j Mostramos que os autovetores {u } da matrz [D] e os autovetores {v j } de [D] desaoplam as equações do sstema grosópo amortedo Dessa forma fa provado que os autovetores adjuntos {u} de [D] e {v} de [D], além de dagonalzarem D, também dagonalzam M e K e desaoplam as equações de movmento b) Equações modas Partndo da equação matral [ M ]{} & q + [ D ]{} q& + [ K ]{} q { Q} onde [M] [M], [K] [K], [D] [C + G] e [D] [D] e fazendo a transformação lnear q [ U]{} η sendo [U] a matrz dos autovetores de [D] e{} η o vetor de varáves modas, obtém-se o sstema alternatvo [ M ][ U]{} η && + [ D][ U]{} η& + [ K][ U]{} η { Q} () () () (3) (4) Pré-multplando (4) por [V], onde [V] é a matrz dos autovetores de [D], obtém-se o sstema desaoplado mostrado a segur [ V] [ M][ U]{} η && + [ V] [ D][ U]{} η& + [ V] [ K][ U]{} η [ V] { Q} (5) sendo: [ V] [ D][ U] [ λ] Matrz om autovalores de [D] [ V] [ M][ U] [] I [ ] [ K][ U] [ k] Matrz de massa normalzada (6b) V Matrz de rgdez dagonalzada (6) Substtundo os valores ama na equação, teremos: []{} I η && + [ λ]{} η& + []{} k η [ V] { Q} Este sstema é formado de equações desaopladas do tpo η & + λ η& + κ η f ; f {} v { Q},,3, n (6a) (7) (7a) Dessa forma fa alançado o objetvo de desaoplar as equações smultâneas de movmento Isto é onsegudo em vrtude de os autovetores adjuntos de [D] são os mesmos de M, D e K, onforme demonstrado em () Exemplo lteral A nvestgação da solução de um problema grosópo amortedo, em sua forma padrão, será feta por ntermédo da observação no plano XY, do movmento de uma massa m om reação elásta k e submetda a um amortemento vsoso, que norporem as propredades grosópas e de amortemento ao modelo físo mostrado a segur, de forma ndependente 6 o QUADRIMESRE DE 8

4 a) Autovalores e autovetores da matrz grosópa amorteda D Consdere o problema de autovalor da matrz [D]: [ D] λi []]{} {u} u { } m Ω λ u m Ω u Fgura Exerío grosópo amortedo As matrzes representatvas desse sstema são: [4] m && x mω x& K mω + + m && y mω y& x K mω y (8) λ mω u m Ω λ u (3) que fornee λ mω Det mω λ (4) A equação araterísta λ λ + 4m Ω tem as raízes (5) roando e sendo [ ] x y por {} q u u C [ C] ; mω mω [ G] (9) (), ± 4m λ Ω C CRI 4mΩ ; r r Ω ω λ + q; λ q, onde rr (6) (7) q 4m Ω, (8) u&& && u u& u & [ M] + [ D] + [ K] u u [ M]{} && q + [ D]{} q& + [ K]{} q {} () ξ ξrr 4Mrrωrr C CRI fator de amortemento modal (9) A matrz grosópa amorteda mω mω [ D] [ C] + [ G] [ D] é não smétra, e, por ausa dsto, um novo método de desaoplamento é apresentado () Portanto os autovalores de D são omplexos onjugados Expandndo (3), obtemos um sstema homogêneo de equações algébras nas nógntas dos autovetores u e u ( λ) u m Ω u m Ω u λ u (3a,b) o QUADRIMESRE DE 8 7

5 Substtundo nalmente o autovalor λ + q em (3a) e arbtrando u enontramos o autovetor: u ( ) + q ( ) {} m Ω + mω q + q a + b Substtundo gualmente o autovalor λ qem (3a) e arbtrando u, enontramos o autovetor: u ( ) + q ( ) {} m Ω mωq a b + q Podemos mostrar que esses autovetores [u} e {u} não são ortogonas: a + b [ U ] [ ] [ U] (a b a + b a b + ) + ab + U a + b + (a b + ) ab (33) A não ortogonaldade dos autovetores da matrz D é plenamente esperada, na medda em que essa matrz é não smétra É mportante destaar que a operação [U] [D][U] não dagonalza a matrz D b) Determnação dos autovetores adjuntos de D Det [ ] λ mω D Det m Ω λ ( ) λv + m Ω v m Ωv + λv (3) (3) (34a,b) Equação araterísta λ λ + 4m Ω, a mesma da matrz D Substtundo λ + q e λ q em (34a) e arbtrando v nos dos asos, enontramos os autovetores {v} e {v} m Ω {} v ( ) + q ( ) m Ω + {} v ( ) + q ( ) mωq + q mωq + q a b a + b Da mesma forma que no aso anteror, {v} e {v} são omplexos onjugados e não são ortogonas entre s Mas vamos mostrar que exste a bortogonaldade, ou seja, [v] [U] é uma matrz dagonal Usaremos, a partr desse ponto, quantdades admensonas, omo abaxo C CRI m Ω ( ) ( ) 4mΩ + q ; Assm sendo m Ω 4m Ω CCRI mωq + q m Ωq 4m Ω ξ ξ A substtução de (38) e (39) em (3), (3), (35) e (36) fornee a forma admensonal das matrzes dos autovetores [U] e [V] [ U] [ V] ξ + ξ ξ ξ ; ξ + ξ Podemos então verfar a bortogonaldade exstente entre [U] e [V] (35) (36) (37) (38) (39) (4) 8 o QUADRIMESRE DE 8

6 [ V] [ U] [ U] [ V] ( ) ξ ( ) + ξ (4a) ) Desaoplamento das equações dferenas Voltando à equação (), fazendo a transfor- U η & U η& q&& U η&& mação lnear{ q } [ ]{ }, { q } [ ]{ } e { } [ ]{ } (4) onde [U] é a matrz dos autovetores de [D] e {} η o vetor de oordenadas modas, obtemos: [ M ][ U]{} η && + [ D][ U]{} η& + [ K][ U]{} η {} Pré-multplando por [ ] V (4) [ V] [ M][ U]{} && η + [ V] [ D][ U]{} η& + [ V] [ K][ U]{} η {} (43) Calulando ada um dos produtos das matrzes M, D e K, teremos: [ V] [ M][ U] ξ ξ+ m ξ+ ξ ξ ξ m ( ) V m [ ] [ M][ U] Proedendo de forma semelhante ξ ( ) + ξ (44) [ V] [ D][ U] ξ ξ+ m Ω mω ξ+ ξ ξ ξ ξω+ Ω ( ξ ) V m [ ] [ D][ U] ξ ξω Ω ( ξ ) + ξ (45) Da mesma forma [ V] [ K][ U] ξ ξ+ k mω ξ+ ξ k mω ( ) ω Ω ( ξ ) V m [ ] [ K][ U] ξ ( ) ( ) ω Ω + ξ (46) onde fo usado a freqüêna ω k m (47) o QUADRIMESRE DE 8 9

7 A substtução de (44), (45) e (46) na equação (43) fornee duas equações ndependentes em η e η As expressões ( ξ ) ± ξ ξ são nulas somente quando ξ ou seja C CRI, no aso de amortemento ríto Como estamos estudando o aso em que < C CRI, podemos dvdr as equações de η e η pela expressão entre olhetes, resultando fnalmente as equações η& + Ω ξ + ξ η& + ( ω Ω ) η (48a) η& + Ω ξ ξ η& + ( ω Ω ) η (48b) d) Solução das equações dferenas A solução da equação homogênea é do tpo rt rt rt η e ; η& re ; η& & r e (49) Substtundo esses valores na equação (48a), teremos as raízes r, Ω ξω+ Ω ± ξω+ Ω ( ) A solução da equação homogênea (48b) é st s t st do tpo η e ; η& se ; η& & s e (5) Substtundo esses valores, teremos as duas outras raízes s, (5) Ω ξω Ω ± ξω Ω ( ) (5) Para que possamos ontnuar om uma solução analíta e ter um melhor sentmento físo do resultado, vamos fazer uma smplfação nos radandos das raízes (5) e (5) Isto em nada dmnurá a generaldade da solução, uma vez que numeramente as raízes podem ser aluladas exatamente Consderando-se ξ <<, ou seja, um pequeno amortemento, esta smplfação faz om que ξ Ω± Ω ξ ( ω Ω ) ±ω As raízes farão om a forma mostrada abaxo: r ξω+ ( Ω + ) preessão retrógrada r ω ξω ( Ω ξ + ) preessão sínrona ω s ξω ( Ω ξ + ) preessão retrógrada s ω ξω + ( Ω ξ + ) preessão sínrona ω (57) Com as raízes ama, as varáves modas assumem a forma η C e η De ( Ω +ω) t ξ Ωt ( Ω +ω)t e + C e r t r t t ξ Ω + Ce C e e ( Ω +ω) t ξ Ωt ( Ω +ω)t + D e s t s t t ξ Ω + De De e e (59) onde, Ω Ω ξ (6) Voltando ao vetor orgnal q [U]η, equação (4), e substtundo q da equação (9), U da equação (4): {} q x ξ + y ξ η + ξ ξ η + η (53) (54) (55) (56) (58) η (6) o QUADRIMESRE DE 8

8 A solução fnal nas varáves x (t) e y (t) apresenta movmentos harmônos om freqüênas de preessão sínrona e retrógrada x (t) ξωt e [ y (t) ξωt e [ E os ( Ω ) + ω t + F sen ( Ω ) + ω t + G os ( Ω ) + ω t + Ω ω + F sen ( Ω ) + ω t + G os ( Ω ) + ω t + E os ( + ) t H sen ( Ω ) + ω t] H sen ( Ω ) + ω t] (6) (63) As expressões ξ ± ξ, por serem onstantes, foram norporadas às onstantes de ntegração Exstem apenas quatro onstantes ndetermnadas de ntegração, uma vez que elas relaonam-se entre s na forma abaxo: E ξe ξ F (64) ξf + ξ E F G H (65) ξg + ξ H (66) ξh ξ G (67) As equações (6) e (63) mostram que o movmento nas dreções x e y são vbrações harmônas amortedas; o fator t e ξ Ω fará om que as ampltudes de vbração deresçam exponenalmente om o tempo As freqüênas naturas são alteradas em relação ao movmento não amortedo Essa freqüêna é reduzda no aso da preessão sínrona e aumentada no aso da preessão retrógrada O objetvo prnpal desse exemplo lteral fo mostrar o desaoplamento das equações nas varáves modas onforme equações (48) Nesse aso partular, não há a possbldade delas farem aopladas pelas matrzes de massa ou rgdez, duas a duas, uma vez que os autovalores da matrz D não serem omplexos onjugados puros, ou seja: ω j a + b, ω j + a b, para j ímpar e, portanto, ω j + ω j+ a Mesmo no asos em que não há amortemento, os pares de equações modas, orrespondentes aos autovalores onjugados puros ω,+ ±ω, são desaoplados também, quando as matrzes de massa e rgdez possuem submatrzes dagonas ( x ), ao longo das três dagonas entras, omo na dsretzação em Elementos Fntos, pos m, m +,+ e m,+ m +,, onde,3,5, o mesmo aonteendo para a matrz de rgdez Veja detalhes em [] e [] Conlusões Um novo método está sendo proposto para desaoplamento de um sstema smultâneo de equações dferenas de movmento rotodnâmo amortedo O desaoplamento é realzado no espaço padrão, om matrzes (n x n) somente, evtando, dessa manera, o grande esforço omputaonal para o álulo dos autovalores quando o sstema é transformado para o espaço estado (n x n) São utlzadas as matrzes de massa M e de rgdez K, ambas smétras, e a matrz grosópa amorteda D não smétra, sendo esta últma a soma da matrz de amortemento C e da matrz grosópa G Devdo ao fato da matrz D não ser smétra, é neessára a solução de dos problemas onjugados, o prmero envolvendo M, D, K e o segundo, a matrz transposta de D, ou seja, M, D, K A exstêna de dos problemas onjugados não apresenta esforço omputaonal adonal, uma vez que os autovalores dos dos sstemas o QUADRIMESRE DE 8

9 são os mesmos Os autovalores da matrz solada D são dferentes dos autovalores fornedos pelo sstema, porém seus autovetores são os mesmos O desaoplamento das equações dferenas é obtdo da segunte forma: a) Dagonalza-se a matrz D através dos autovetores de D e de sua transposta D, que formam um sstema bortogonal; b) Sendo esses autovetores os mesmos do sstema D, M e K, omo onseqüêna, eles também dagonalzam as matrzes M e K Dessa forma são obtdas as n equações dferenas ndependentes nas varáves modas Um exemplo em forma lteral mostra todas as fases do desaoplamento, dando anda as soluções nas varáves orgnas, onde se pode pereber a possbldade das duas preessões, a sínrona e a retrógrada Referênas [] CASILHO, A, PRODONOFF, V, LOPES, A P Problema Rotodnâmo de Autovalor (Parte ): Sstema Grosópo Não Amortedo [] CASILHO, A, 7, Uma Vsão Global da Rotodnâma de urbomáqunas: Ênfase no Método de Elementos Fntos e na Propredade dos Autovetores Grosópos de Desaoplaram as Equações de Movmento, ese de D S, Programa de Engenhara Oeâna, COPPE/UFRJ, Ro de Janero, RJ, Brasl [3] ZEPKA, S, 98, Resposta Dnâma de orres Estaadas, ese de Mestrado, Programa de Engenhara Meâna, Insttuto Mltar de Engenhara, Ro de Janero, RJ, Brasl [4] MEIROVICH, L,, Prnples n ehnque of Vbratons, Prente-Hall Internatonal (UK) Lmted, London [5] MEIROVICH, L, A Modal Analsys for the Response of Lnear Gyrosop Systems, Journal of Appled Mahans, vol 4, n, 975, pp [6] ZHENG, Z, REN, G,WILLIAMS, F W, he Egenvalue Problem for Damped Gyrosop Systems, Int J Meh S, vol 39, n 6, 997, pp [7] SAWICKI, J, GENA, G, Modal Unouplng of Damped Gyrosop Systems, Journal of Sound and Vbraton vol 44, n 3,, pp Lsta de símbolos C, [C] Matrz de amortemento q Vetor de oordenadas generalzadas G, [G] Matrz grosópa Q(t) Vetor força externa [G] Matrz grosópa transposta t empo g, j Coefente da matrz grosópa U, u Autovetor de [D], j Coefente da matrz de amor temento V, v Autovetor de [D] D, [D] Soma das matrzes grosópa e de amortemento XYZ Referenal Ineral, Fxo ou Global d, j Soma de, j + g, j xyz Referenal Móvel soldáro à roda [I] Matrz uuntára η Vetor de oordenadas modas ; j - Undade no ampo omplexo ξ Razão de amortemento K, [K] Matrz de rgdez ω Freqüêna Natural k, j Coefente da matrz de rgdez [λ] Matrz de Autovalores M, [M] Matrz de Massa λ - ω Autovalor m, j Coefente da matrz de massa Ω Freqüêna de Rotação da roda o QUADRIMESRE DE 8