Alexandre Francisco Barral Silva. Modelagem de Sistemas Robóticos Móveis para Controle de Tração em Terrenos Acidentados DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

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1 Alexandre Franso Barral Slva Modelagem de Sstemas Robótos Móves para Controle de Tração em Terrenos Adentados DISSERTAÇÃO DE MESTRADO DEPARTAMENTO DE MECÂNICA Programa de Pós-Graduação em Engenhara Meâna Ro de Janero, outubro de 007

2 Alexandre Franso Barral Slva Modelagem de Sstemas Robótos Móves para Controle de Tração em Terrenos Adentados Dssertação de Mestrado Dssertação apresentada omo requsto paral para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós- Graduação em Engenhara Meâna do Departamento de Engenhara Meâna do Centro Téno Centífo da PUC-Ro. Orentador: Maro Antono Meggolaro Ro de Janero Abrl de 007

3 Alexandre Franso Barral Slva Modelagem de Sstemas Robótos Móves para Controle de Tração em Terrenos Adentados Dssertação apresentada omo requsto paral para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós- Graduação em Engenhara Meâna do Departamento de Engenhara Meâna do Centro Téno Centífo da PUC-Ro. Aprovada pela Comssão Examnadora abaxo assnada. Maro Antono Meggolaro Orentador Pontfía Unversdade Católa do Ro de Janero - PUC-Ro Mauro Speranza Neto Pontfía Unversdade Católa do Ro de Janero - PUC-Ro Carlos Alberto de Almeda Pontfía Unversdade Católa do Ro de Janero - PUC-Ro Max Suell Dutra Unversdade Federal do Ro de Janero - UFRJ Prof. José Eugeno Leal Coordenador Setoral do Centro Téno Centífo PUC-Ro Ro de Janero, 0 de abrl de 007.

4 Todos os dretos reservados. É probda a reprodução total ou paral do trabalho sem a autorzação da unversdade, do autor e do orentador. Alexandre Franso Barral Slva Graduou-se em Engenhara Meâna na Unversdade Federal do Pará Belém, Pará em 005. Fha Catalográfa Slva, Alexandre Franso Barral Modelagem de sstemas robótos móves para ontrole de tração em terrenos adentados / Alexandre Franso Barral Slva ; orentador: Maro Antono Meggolaro f. : l. ; 30 m Dssertação Mestrado em Engenhara Meâna Pontfía Unversdade Católa do Ro de Janero, Ro de Janero, 007. Inlu bblografa. Engenhara meâna Teses.. Controle de tração. 3. Ângulos de ontato. 4. Mnmzação de potêna. 5. Terrenos adentados. I. Maggolaro, Maro Antono. II. Pontfía Unversdade Católa do Ro de Janero. Departamento de Engenhara Meâna. III. Título. CDD: 6

5 A Deus, mnha mãe Elete, meu flho Paulo, mnha esposa Elayne e meus rmãos Rubens e Rosana.

6 Agradementos Ao professor Maro Antono Meggolaro, pela orentação durante o desenvolvmento do urso de Mestrado. Ao professor Mauro Speranza Neto pela ordaldade e ajuda dspensada. A Leonardo Dantas, Auder Santos, Breno Fgueredo e Pedro Gonzáles, pela ajuda dspensada. A todos do Laboratóro de Robóta do CENPES Petrobras, os quas agradeço através da pessoa do engenhero Ney Robnson A ANP e ao professor Arthur Braga, pelo suporte fnanero. Aos professores da PUC RIO, pelo ensno. A todos os olegas da pós-graduação. A todos os funonáros do departamento de Engenhara Meâna, pela ajuda onedda durante este tempo. À Pontfía Unversdade Católa do Ro de Janero, e seus funonáros em geral.

7 Resumo Slva, Alexandre F. B.; Meggolaro, Maro Antono. Modelagem de Sstemas Robótos Móves para Controle de Tração em Terrenos Adentados. Ro de Janero - RJ, p. Dssertação de Mestrado - Departamento de Engenhara Meâna, Pontfía Unversdade Católa do Ro de Janero. Em terrenos adentados é ríto para robôs móves manter uma adequada tração nas rodas, pos um exessvo deslzamento das mesmas pode fazer o robô apotar ou desvar da rota desejada. Também, se uma força exessva é aplada sobre uma regão do terreno, pode levar o mesmo a eder dexando as rodas presas. Para se evtar os problemas ama tados e anda otmzar o onsumo de energa em terrenos planos, a presente dssertação desenvolveu um ontrole de tração para terrenos adentados om o ntuto de aplá-lo ao Robô Ambental Híbrdo RAH da Petrobrás. O RAH é um robô móvel anfíbo que está em fase de desenvolvmento no Laboratóro de Robóta do CENPES Petrobras, que poderá ser omandado por um operador ou se desloar autonomamente. Esse robô faz parte do projeto Cogntus, braço tenológo do projeto Patam Potenas Impatos e Rsos Ambentas da Indústra de Óleo e Gás na Amazôna, e será aplado na montoração e oleta de dados do meo ambente de dos gasodutos da Petrobrás na regão Amazôna, o gasoduto Uruu AM- Porto Velho RO e o gasoduto Coar AM Manaus AM. A téna de ontrole de tração de veíulos robótos em terrenos adentados desenvolvda vsa ontrolar a velodade ao mesmo tempo em que garante a establdade dnâma, não deslzamento das rodas, evta a saturação dos motores, e em ertas ondções anda permte mnmzar a potêna requerda através do onhemento dos ângulos de ontato entre as rodas e o terreno. Foram fetas duas modelagens ndependentes, uma onsderando a suspensão do robô flexível e a outra onsderando o veíulo robóto omo um orpo rígdo, sendo ambas para o aso plano D.Foram realzadas smulações em terrenos suaves e adentados, as quas omprovaram a efáa das ténas de ontrole propostas. Palavras-have Controle de tração; ângulos de ontato, mnmzação de potêna, terrenos adentados.

8 Abstrat Slva, Alexandre F. Barral Slva; Meggolaro, Maro Antono. Traton Control to Moble Robot Systems n Rough Terran. Ro de Janero, p. MS. Thess - Departamento de Engenhara Meâna, Pontfía Unversdade Católa do Ro de Janero. In rough terran t s rtal for moble robots to mantan adequate wheel traton, beause exessve sldng ould ause the robot to roll over or devate from ts ntended path. Also, f an exessve fore s appled onto the terran, the sol may fal and trap the robot wheels. To avod these problems, and also mnmze the power onsumpton on even terran, the present work develops a rough terran traton ontrol to be appled to the Hybrd Envronmental Robot HER from Petrobras. The HER s an amphbous moble robot developed by the Robots Laboratory from CENPES Petrobras. It an be ommanded by an operator or autonomously. Ths robot s part of the Cogntus Projet, tehnologal branh of the Patam projet Potental Impats and Envronmental Rsks of the Ol and Gas Industry n the Amazon. It wll be used for montorng and envronmental data olletng along two gas ppelnes n the Amazon regon, the Uruu AM - Porto Velho RO and the Coar AM - Manaus AM. The developed traton ontrol of robot vehles n rough terran ams to ontrol the speed at the same tme that t guarantees dynam stablty, no slp of the wheels, prevents motor saturaton, and under ertan ondtons t may also allow for the mnmzaton of the requred power. Ths ontrol needs the knowledge of the urrent state of the robot, nludng the ontat angles between ts wheels and the terran. Two ndependent D models have been proposed, one nludng the suspenson omplane and one onsderng the robot vehle as a rgd body. Smulatons have been performed n even and rough terrans, provng the effetveness of the proposed ontrol tehnques. Keywords Traton ontrol, ontat angles, rough terran, mnmum power onsumpton.

9 Sumáro Introdução 9 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 8.. Coordenadas Generalzadas 8.. Ângulos de Contato e Curva de Centros 8.3. Cnemáta Dreta Cnemáta Inversa Análse Estáta Análse Dnâma 46 3 Modelagem D do veíulo om suspensão flexível 57 4 Controle de Tração Cálulo das forças de atrto para obtenção da velodade desejada Mnmzação do onsumo de potêna do sstema 70 5 Smulador Módulo I: Entrada de dados do Sstema Módulo II: Ajuste do veíulo robóto Módulo III: Cálulo dos parâmetros do problema dnâmo Módulo IV: Controle de Tração Módulo V: Cálulo do novo estado do sstema 99 6 Resultados Parâmetros Analsados Valores dos parâmetros físos e geométros do sstema utlzados nas smulações Perfs do terreno Resultados das smulações 04

10 7 Conlusões e Sugestões para Trabalhos Futuros 39 Referêna Bblográfa 4 Apênde A: Prova das Razões da Força de Atrto pela Força Normal Fat/N para a Análse Estáta 43 Anexo I: Códgos Fonte 46

11 Lsta de fguras Fgura 8 - Coordenadas generalzadas x,y,, ângulos de ontato γ e γ e pontos de ontato P e P. 9 Fgura 9 - Ponto da urva de entros x,y assoado ao ponto de ontato P=x,y. 30 Fgura 0 - Caraterístas geométras do veíulo. 3 Fgura - Dreção das velodades do entro das rodas e V e V, respetvamente. 33 Fgura - Velodades V e V e suas omponentes na dreção de t e n. 35 Fgura 3 - Forças agndo no veíulo. 37 Fgura 4 - Regão de pontos Fat,Fat anddatos a mínmo do problema. 43 Fgura 5 - Regão D` om os pontos extremos P e P. 45 Fgura 6 - Modelo do veíulo om suspensão flexível. 57 Fgura 7 - Forças agndo no hass do veíulo. 58 Fgura 8 - Forças e torque agndo em uma roda do veíulo. 59 Fgura 9 Obtenção da regão D para a abordagem de orpo rígdo. 68 Fgura 0 - Obtenção da regão D para a abordagem om suspensão flexível. 69 Fgura - Regão Γ de possíves valores das forças de atrto para esolha do ontrole. 70 L Fgura Velodades V e V. 7 Fgura 3 - Fluxograma representatvo do programa de smulação do sstema. 78 Fgura 4 - Exemplo de um perfl de terreno utlzado na smulação 80 Fgura 5 - Obtenção do ponto x,y da urva de entros. 8 Fgura 6 - Pontos de ontato quando R < r. 84 Fgura 7 - Stuação de ponto de degeneração da urva do perfl do terreno em que a roda gra em torno do mesmo. 85 Fgura 8 - Relação entre θ, e. 86 Fgura 9 - Grupo de pontos degenerados em que f x < f x. 87 ε ε Fgura 30 - Parâmetros envolvdos no ajuste nal do ângulo 88 Fgura 3 Ajuste do veíulo através da fxação do entro das rodas sobre a urva de entros gx. 89

12 Fgura 3 - Esquema para o álulo do entro da roda C. 90 Fgura 33 Reta assoada à velodade V L mas próxma de V d. 97 Fgura 34 -Perfl de terreno rampa om equação fx=0,x. 04 Fgura 35 Perfl de terreno senodal om equação fx=.sen 0,x. 04 Fgura 36 Perfl de terreno senodal om equação fx=.sen 0,3x. 05 Fgura 37 - Velodade do entro de massa do robô ao longo da dreção de V d para o perfl fx=0,x para o ontrole proposto e o ontrole PI. 06 Fgura 38- Potêna requerda para o perfl de rampa fx=0,x, om ontrole PI e om ontrole proposto. 07 Fgura 39- Razões F /N para o ontrole PI. 08 Fgura 40- Razões F /N para o ontrole proposto. 09 Fgura 4- Forças de tração para o perfl de rampa fx = 0,x, om ontrole PI. 0 Fgura 4- Forças de tração para o perfl de rampa fx = 0,x, om ontrole proposto. 0 Fgura 43- Forças normas para o perfl de rampa fx=0,x, om ontrole PI. Fgura 44- Forças normas para o perfl de rampa fx=0,x, om ontrole de tração proposto. Fgura 45- Velodade do entro de massa do robô ao longo da dreção de V d para o perfl fx=sen0,x para o ontrole proposto e o ontrole PI. 3 Fgura 46- Potêna requerda para o perfl senodal fx=sen0,x, om ontrole PI e om ontrole proposto. 4 Fgura 47- Razões F /N para o ontrole PI. 5 Fgura 48- Razões F /N para o ontrole proposto. 5 Fgura 49- Forças de tração para o perfl senodal fx=sen0,x, om ontrole PI. 6 Fgura 50- Forças de tração para o perfl senodal fx=sen0,x, om ontrole proposto. 7 Fgura 5- Forças normas para o perfl senodal fx=sen0,x, om ontrole PI. 8 Fgura 5- Forças normas para o perfl senodal fx=sen0,x, om ontrole de tração proposto. 8

13 Fgura 53- Velodade do entro de massa do robô ao longo da dreção de V d para o perfl fx=sen0,3x para o ontrole proposto e o ontrole PI. 9 Fgura 54- Potêna requerda para o perfl senodal fx=sen0,3x, om ontrole PI e o ontrole proposto. 0 Fgura 55- Razões F /N para o ontrole PI, para o perfl do terreno senodal fx=sen0,3x. Fgura 56- Razões F /N para o ontrole proposto, para o perfl do terreno senodal fx=sen0,3x. Fgura 57- Forças de tração para o perfl senodal fx=sen0,3x, om ontrole PI. Fgura 59- Gráfo das Fat s para o perfl senodal fx=.sen 0,3x, ontrole de velodade e potêna 4 Fgura 60- Gráfo das Fat s para o perfl senodal fx=.sen 0,3x, sem ontrole 4 Fgura 6 - Velodade desejada e real do robô no perfl rampa fx=0,x, para os modelos flexível e rígdo. 5 Fgura 6 - Potêna requerda para o perfl rampa fx=0,x, para os modelos de orpo rígdo e om suspensão flexível. 6 Fgura 63- Razão F /N para o perfl rampa fx=0,x, para o modelo flexível e rígdo. 7 Fgura 64 - Razão F /N para o perfl rampa fx=0,x, para o modelo flexível e rígdo. 7 Fgura 65- Força de tração da roda F alulada para o perfl rampa fx=0,x, para o modelo flexível e rígdo. 8 Fgura 66 - Força de tração da roda F alulada para o perfl rampa fx=0,x, para o modelo flexível e rígdo. 9 Fgura 67- Força normal N para o perfl rampa fx=0,x, para o modelo flexível e rígdo. 30 Fgura 68 - Força normal N para o perfl rampa fx=0,x, para o modelo flexível e rígdo. 30 Fgura 69 - Velodade desejada e real do robô no perfl senodal fx=.sen0,x, para os modelos flexível e rígdo. 3

14 Fgura 70 - Potêna requerda para o perfl senodal fx=.sen0,x, para os modelos de orpo rígdo e om suspensão flexível. 33 Fgura 7 - Razão F /N para o perfl senodal fx=.sen0,x, para o modelo flexível e rígdo. 34 Fgura 7- Razão F /N para o perfl senodal fx=.sen0,x, para o modelo flexível e rígdo. 35 Fgura 73 - Força de tração da roda F alulada para o perfl senodal fx=.sen0,x, para o modelo flexível e rígdo. 36 Fgura 74- Força de tração da roda F alulada para o perfl senodal fx=.sen0,x, para o modelo flexível e rígdo. 36 Fgura 75- Força normal N para o perfl senodal fx=.sen0,x, para o modelo flexível e rígdo. 37 Fgura 76 - Força normal N para o perfl senodal fx=.sen0,x, para o modelo flexível e rígdo. 38

15 Lsta de Símbolos A Matrz de oefentes das forças normas para a análse dnâma A a L Vetor de termos ndependentes das equações de restrções do sstema Aeleração do entro de massa CM do veíulo longtudnal ao hass, [m/s ] a 0 Aeleração do veíulo devdo a forças externas e de ampo, [m/s ] B C Matrz de oefentes das forças de atrto para a análse dnâma Constante de amortemento das suspensões na dreção transversal ao hass do veíulo, [N.s/m] Matrz de oefentes das aelerações generalzadas nas equações de restrções do sstema C Centro da roda, x,y C Centro da roda, x,y D Regão gerada pelos pontos Fat,Fat que podem ser obtdos para o robô D Interseção de D om uma dada restrção do problema d N, Braço de alavana de N em relação a P, [m] d N, Braço de alavana de N em relação a P, [m] d Fat, Braço de alavana de Fat em relação a P, [m] d Fat, Braço de alavana de Fat em relação a P, [m] d N Braço de alavana de N em relação ao CM, [m] d N Braço de alavana de N em relação ao CM, [m] d Fat Braço de alavana de Fat em relação ao CM, [m] d Fat Braço de alavana de Fat em relação ao CM, [m] dv L dx Módulo do erro entre a velodade desejada e a velodade real do entro de massa do robô para o ontrole proposto, [m/s] Dstâna entre os valores de x no perfl do terreno, [m]

16 E E F r at Fat Fat o Fat Erro entre a velodade desejada e a velodade real do entro de massa do robô para o ontrole PI, [m/s] Erro médo das oordenadas y em relação à urva de entros, [m] Vetor das forças de atrto Força de atrto atuando na roda, [N] Força de atrto atuando na roda, [N] Força de atrto da roda que otmza o sstema, [N] o Fat F F r F r Fsat Fsat fx Força de atrto da roda que otmza o sstema, [N] Força de tração na roda alulada pelo ontrole PI, [N] Força de reação longntudnal da suspensão sobre o hass, [N] Força de reação longntudnal da suspensão sobre o hass, [N] Força de saturação da roda, [N] Força de saturação da roda, [N] Função representatva da urva do perfl do terreno, y=fx f x Dervada espaal de fx em x = x. g Aeleração loal da gravdade, [m/s ] g Dervada espaal de gx em x g Dervada espaal de gx em x g Segunda dervada espaal de gx em x g Segunda dervada espaal de gx em x gx Função representatva da urva de entros, y =gx h h r I I I I Dstâna transversal entre C e CM, [m] Dstâna transversal entre C e CM, [m] Vetor untáro na dreção do exo x Momento de néra do robô em relação ao exo z passando pelo CM, [kg.m ] Corrente elétra, [A] Corrente elétra do motor de aonamento da roda, [A] Corrente elétra do motor de aonamento da roda, [A] I Intervalo de possíves valores das forças de atrto da roda I Intervalo de possíves valores das forças de atrto da roda

17 r j K KI K m KP K p L L m M n N r N N P P e Pot Pot Pot P T P total Vetor untáro na dreção do exo y Constante de rgdez transversal das suspensões, [N/m] Ganho ntegral do ontrole PI; Constante de proporonaldade do motor da roda, [N.m/A] Ganho proporonal do ontrole PI; Ganho proporonal do ontrole proposto, [/s] Dstâna longtudnal entre C e CM, [m] Dstâna longtudnal entre C e CM, [m] Massa do robô, [kg] Matrz de néra do sstema Vetor untáro na dreção normal ao hass do robô Vetor das forças normas Força normal atuando na roda, [N] Força normal atuando na roda, [N] Força peso do veíulo robóto, [N] Potêna do exo dos motores de aonamento das rodas, [W] Potêna dsspada por efeto joule, [W] Potêna dsspada por efeto joule pelo motor da roda, [W] Potêna dsspada por efeto joule pelo motor da roda, [W] Potêna total dsspada pelo exo dos motores das rodas, [W] Potêna total dsspada pelas rodas do robô, [W] P Ponto de ontato entre a roda e o solo, x, y P Ponto de ontato entre a roda e o solo, x, y r R Rao da roda do robô, [m] Resstêna elétra, [Ω] R x Rao de urvatura de fx em x. R R t u r V d V L Resstêna elétra do motor da roda, [Ω] Resstêna elétra do motor da roda, [Ω] Vetor untáro na dreção paralela ao hass do robô Vetor de termos ndependentes na equação dnâma do sstema Velodade desejada do robô, [m/s] Velodade do CM na dreção longtudnal ao hass, [m/s]

18 0 V L Velodade do CM na dreção longtudnal no nstante t 0, [m/s] V Vetor velodade do entro da roda V Vetor velodade do entro da roda n V Componente da velodade do entro da roda ao longo de n, [m/s] n V Componente da velodade do entro da roda ao longo de n, [m/s] t V t V X &r & x x x x x x x& x& x& Componente da velodade do entro da roda ao longo de t, [m/s] Componente da velodade do entro da roda ao longo de t, [m/s] Vetor de aelerações generalzadas do sstema Coordenada x do entro de massa do sstema em relação a uma base neral, [m] Coordenada x da urva de entros, [m] Coordenada x do entro da roda, [m] Coordenada x do entro da roda, [m] Coordenada x do ponto de ontato da roda om o solo, [m] Coordenada x do ponto de ontato da roda om o solo, [m] Velodade em x do entro de massa do robô, [m/s] Velodade em x do entro da roda, [m/s] Velodade em x do entro da roda, [m/s] & x& Aeleração em x do entro de massa do robô, [m/s ] & x& Aeleração em x do entro da roda, [m/s ] & x& Aeleração em x do entro da roda, [m/s ] y y y y y y y& Coordenada y do entro de massa do sstema em relação a uma base neral,[m] Coordenada y da urva de entros, [m] Coordenada y do entro da roda, [m] Coordenada y do entro da roda, [m] Coordenada y do ponto de ontato da roda om o solo, [m] Coordenada y do ponto de ontato da roda om o solo, [m] Velodade em y do entro de massa do robô, [m/s]

19 y& y& Velodade em y do entro da roda, [m/s] Velodade em y do entro da roda, [m/s] & y& Aeleração em y do entro de massa do robô, [m/s ] & y& Aeleração em y do entro da roda, [m/s ] & y& Aeleração em y do entro da roda, [m/s ] & Ângulo de rotação do veíulo em torno do exo z perpendular ao plano, [rad] Velodade angular do robô, [rad/s] & & Aeleração angular do robô, [m/s ] γ γ η Ângulo de ontato entre a roda e o solo,[rad] Ângulo de ontato entre a roda e o solo,[rad] Termo ndependente da equação que relaona o erro das η η velodades om a aeleração a L Coefente da Fat na equação que relaona o erro das velodades om a aeleração a L Coefente da Fat na equação que relaona o erro das velodades om a aeleração a L µ Coefente de atrto estáto entre as rodas e o solo µ Coefente de atrto estáto entre a roda e o solo µ Coefente de atrto estáto entre a roda e o solo ξ ξ & ξ & ξ ω ω Alongamento / ompressão da suspensão na dreção transversal ao hass do veíulo, [m] Alongamento / ompressão da suspensão na dreção transversal ao hass do veíulo, [m] Taxa de varação no tempo do alongamento / ompressão da suspensão na dreção transversal ao hass do veíulo, [m/s] Taxa de varação no tempo do alongamento / ompressão da suspensão na dreção transversal ao hass do veíulo, [m/s] Velodade angular do exo do motor da roda, [rad/s] Velodade angular do exo do motor da roda, [rad/s]

20 Introdução 9 Introdução Em outubro de 986 a Petrobras desobru a provína petrolífera de Uruu AM, stuada na baa do Ro Solmões em plena floresta Amazôna a 600 km da dade de Manaus. Sendo que dos anos mas tarde, ou seja em 988, omeçou a exploração dessa reserva petrolífera. A planta de Uruu Fg. é a maor Undade Produtora de Gás Natural do Brasl UPGN3, om uma produção de mas de ses mlhões de metros úbos de gás natural por da. O petróleo lá prospetado é onsderado o de melhor qualdade do país, sendo dele produzdos prnpalmente dervados mas nobres de alto valor agregado omo desel e nafta Santos []. Fgura - Base de Uruu. No entanto, um dos prnpas problemas enontrado em Uruu é quanto ao transporte do petróleo e gás natural, haja vsta que esta reserva petrolífera se enontra enravada na floresta Amazôna e qualquer adente pode ausar grandes mpatos sobre o meo ambente. De 988 a 998 a produção de Uruu era esoada até a Refnara Isaa Sabbá UN-Reman, stuada em Manaus, através de balsas. Em 998 teve nío a operação de um polduto, om 85 km de extensão, entre Uruu e Coar, dade mas próxma da base petrolífera. Sendo que de Coar o petróleo e o gás vajam 0 das de balsa até Manaus.

21 Introdução 0 Busando maor efêna no esoamento do gás natural e ente do rso que essas embarações levam à regão, a Petrobras planejou a onstrução de dos gasodutos: Coar-Manaus om 40 km de extensão, Fg. e Uruu-Porto Velho om 550 km. Fgura - Gasoduto Coar Manaus. Para montorar esses quase ml qulômetros de dutos em uma regão de dfíl aesso e evtar desastres ambentas, a Petrobras, através do projeto Cogntus, braço tenológo do projeto Patam Potenas Impatos e Rsos Ambentas da Indústra de Óleo e Gás na Amazôna, está desenvolvendo uma sére de robôs, apeldados de AmazonBots. Esses robôs têm o objetvo de detetar quasquer anomalas ambentas, espealmente aquelas provoadas por vazamento de gás ou óleo, além de oletar dados sobre o meo ambente e dsponblzá-los em tempo real va satélte para uma base de dados em Coar, de onde serão envados ao Ro de Janero, também va satélte. Dentre os modelos a serem onstruídos, está o Robô Ambental Híbrdo RAH, um robô móvel que poderá ser operado va satélte ou trpulado. As Fguras 3 e 4 mostram o prmero e segundo protótpos, respetvamente, do RAH desenvolvdo pelo Laboratóro de Robóta do Centro de Pesqusas e Desenvolvmento Leopoldo Améro M. de Melo CENPES da Petrobras.

22 Introdução Fgura 3 - Prmero protótpo do RAH. Fgura 4 - Segundo protótpo do RAH. O RAH terá araterístas de projeto espeas para poder se desloar na Amazôna devdo aos dferentes tpos de terrenos enontrados, tas omo: matas de terra frme, matas de várzea, alagadas pelos ros na estação das heas e matas de gapó, nundadas permanentemente, possundo anda uma alta densdade vegetal. A Fg. 5 mostra uma típa pasagem enontrada na Amazôna. Fgura 5 - Terreno típo da Regão Amazôna. As margens do ro Solmões próxmo a Coar são de matas de várzea, sendo que no período da hea o ro transborda e alaga uma área de 40 qulômetros de extensão floresta adentro, por sso o RAH tem também a apadade de se desloar tanto na terra quanto na água.

23 Introdução Nos últmos anos oorreu um grande resmento no desenvolvmento e pesqusa de robôs móves. Isso oorreu, prnpalmente devdo ao grande leque de aplações da robóta móvel, sendo utlzada em tarefas de alto rso ao homem omo: em ndústras mneradoras, manejo e manpulação de materas pergosos [,3,4]; em áreas de dfíl aesso, tas omo: exploração espaal [4,5], áreas de atvdade vulâna Caltabano [6] e também em outras atvdades não novas nas áreas ndustral, méda, ambental e anda utlzados em tarefas doméstas Albagul [7]. A Fg. 6 abaxo mostra o rover Sojourner, utlzado pela NASA em uma mssão em Marte no ano de 997. Fgura 6 - Robô Sojourner do Laborátoro de Propulsão a Jato da NASA. Dentre os város tpos de meansmos de loomoção utlzados em robóta móvel, há de se destaar o que utlza rodas. Tendo este, omo prnpas vantagens um menor onsumo de potêna, uma maor velodade e dsponbldade para suportar altos arregamentos Grand [8]. O movmento de robôs móves em terrenos adentados envolve nterações omplexas entre suas rodas e o solo. Sendo que tas nterações estão relaonadas às propredades físas e geométras do solo. Assm, é fator preponderante no movmento do robô, em tas terrenos, manter uma adequada tração nas rodas. Pos, um exessvo deslzamento das rodas pode fazer o robô perder establdade apotar ou desvar da rota desejada. Também, se uma força exessva é aplada sobre uma regão do terreno, pode levar o mesmo a eder dexando as rodas presas Iagnemma [].

24 Introdução 3 Além dsso, devdo às lmtações quanto à apadade de armazenamento de energa no robô, é neessáro que se onsga gerar o movmento desejado om um mínmo onsumo de potêna. Desta forma, é fundamental para robôs móves, trafegando em terrenos adentados, a utlzação de um ontrole de tração que onsga um elevado desempenho do seu sstema de loomoção om um mínmo onsumo de energa. Para sso, o mesmo deve busar otmzar a tração em ada roda de modo a obter um movmento satsfatóro em terrenos muto adentados e mnmzar o onsumo de potêna em terrenos suaves. O desenvolvmento de ontrole de tração para terrenos adentados tem sdo motvado nos últmos anos, prnpalmente, para aplações espaas. Mssões espaas reentes têm utlzado robôs móves rovers para oletar amostras de solos, mneras, et em outros planetas Balaram [5]. Sendo que nestes ambentes eles enontram os mas varados tpos de terrenos arenoso, pedregoso, et, tendo assm que utlzar um ontrole de tração que leve em onsderação estes terrenos rregulares. O ontrole de tração apresenta um grande número de trabalhos de pesqusa aplados a veíulos de passageros, trafegando em estradas planas Anwar [9]. Uma téna muto utlzada pela ndústra automoblísta é o ABS antlok brakng system, que onsste em usar a nformação do deslzamento de ada roda para orrgr a velodade da mesma, lmtando assm o deslzamento Saka et al. [0]. Métodos baseados no sstema ABS podem ser dervados para serem usados no ontrole de tração de rovers em terrenos adentados. Contudo, tas métodos não levam em onta a nemáta e o modelo físo do rover. Desta forma eles são lmtados quando utlzados em terrenos muto adentados, além do que as velodades só são alteradas quando o deslzamento já oorreu e o sstema reage om um erto atraso, gerando assm erros na loalzação do robô. Um dos prnpas nonvenentes quanto à mplementação de tas métodos é que os mesmos assumem onhedas as velodades lneares, as quas são dfíes de serem meddas ou estmadas para robôs em baxas velodades Iagnemma [].

25 Introdução 4 Em Lamon & Segwart [] é apresentado um método que propõe a mnmzação da razão entre a forças de tração e normal em ada roda, as quas são meddas om sensores oloados na própra roda, para o ontrole de seu deslzamento. Este método tem a vantagem de não requerer o onhemento das araterístas do terreno e da velodade do robô, sendo que o mesmo obteve bons resultados em smulações realzadas, entretanto não foram realzados expermentos prátos para valdá-lo em stuações reas. Este método tem omo nonvenente o usto e a omplexdade das rodas utlzadas. Há anda modelos que se baseam em obter um erto valor de deslzamento ótmo S r entre as rodas e o solo de forma a se onsegur uma máxma força de tração. O valor de S r depende da ombnação pneu/solo, varando onsderavelmente para dferentes ombnações [,3]. Essa abordagem tem os seguntes nonvenentes: A hpótese de a roda ser flexível e o solo rígdo, o que nem sempre é fatível; Ser dependente do onhemento de S r para ada tpo de ombnação pneu/solo, apresentando baxa performane em solos om omposção bastante heterogênea ; Neesstar onheer a velodade do veíulo e as forças normas atuando em ada roda. No entanto, Burg & Blazev [4] apresentaram uma abordagem baseada na estmação de S r que não utlza o onhemento das araterístas do solo, porém a mesma só é válda para terrenos planos e é muto susetível a erros devdo a varações no terreno ou vbrações do robô. Em Chatla et al. [5] o ontrole de tração atua através da omparação das velodades das rodas. Sendo que o mesmo esolhe algumas rodas para serem lvres, ou seja, terem ontrbução nula na tração do veíulo, e ompara a velodade dessas om as das outras rodas aonadas. É onsderado que as rodas lvres não sofrem deslzamento, sendo desta forma que sua velodade angular multplada pelo seu rao deve gualar a velodade lnear do veíulo. Uma vez onheda a velodade lnear do veíulo, através das velodades das rodas lvres, pode-se alular o deslzamento das rodas aonadas.

26 Introdução 5 A esolha das rodas lvres se basea no onhemento das forças normas agndo sobre o veíulo, sendo muto dfíl e ustoso obter esses valores em terrenos rregulares. Esse método apresenta outro problema, que é o levantamento da relação entre torque e deslzamento para as rodas lvres, sendo que essa relação está ntmamente lgada ao tpo de solo e à sua geometra. Iagnemma [] apresentou um método de ontrole de tração para terrenos adentados que utlza omo dados de entrada medções das propredades do terreno e de sua geometra, para otmzar o torque om o ntuto de obter máxma tração nas rodas ou mínmo onsumo de potêna, dependendo da dfuldade loal do terreno. Esta abordagem não se basea em sstemas de dstrbução de torque ou meddas de deslzamento das rodas, tendo omo prnpal parâmetro a medção dos ângulos de ontato entre as rodas e o solo Fg. 7. O mesmo apresentou bons resultados, tanto nas smulações omo nos expermentos realzados. Fgura 7 - Ângulos de ontato γ e γ. Em Caltabano & Musato [6] é feta uma omparação entre o método de ontrole de tração para terrenos adentados CTTA proposto por Iagnemma [] e um ontrole de tração mplementado om um ontrole de velodade proporonal-ntegral PI. Os resultados do CTTA, onsderando baxos ruídos nos sensores utlzados na abordagem, apresentaram grande superordade em

27 Introdução 6 termos da relação força de atrto/força normal em relação ao ontrole PI, demonstrando assm a sua efetvdade em terrenos adentados. Contudo, o método de ontrole de tração para terrenos adentados utlza uma abordagem quase-estáta na formulação do problema, não onsderando os efetos dnâmos. Além dsso, o mesmo modela o robô omo orpo rígdo e apresenta omo função objetvo empregada na otmzação do sstema, uma função que dede entre a mnmzação do deslzamento ou da potêna de forma solada, tendo omo parâmetro de omparação os ângulos de ontato do veíulo. A presente dssertação, por outro lado, apla uma abordagem dnâma na formulação do problema, e utlza dos modelos para análse e smulação do sstema robóto móvel, o prmero onsderando o robô omo um orpo rígdo e o segundo modelando as suspensões do robô para nlur efetos de flexbldade e amortemento. O ontrole de tração também busa prover ao robô uma adequada tração, para o mesmo vener os obstáulos em terrenos muto adentados, e mnmzar o onsumo de potêna em terrenos suaves. A le de ontrole proposta assegura ao veíulo robóto vener os obstáulos ao mesmo tempo em que ontrola uma determnada velodade desejada V d do seu entro de massa, a qual é onsderada um dado de entrada e que pode ser alulada no módulo de planejamento do movmento do robô. A potêna é mnmzada sempre que exstr mas que uma ombnação das forças de tração do veíulo provenentes do atrto entre as rodas e o solo para gerar V d. Esse método de otmzação tem a vantagem de não presar esolher o valor de um lmar que deda entre o ontrole de velodade, de establdade, ou a mnmzação da potêna, uma vez que o valor desse lmar rá varar om o tpo de relevo do terreno. Vsando atngr os objetvos propostos a presente dssertação está organzada da segunte forma: O Capítulo apresenta a análse: nemáta dreta e nversa, estáta e dnâma do robô, modelado omo orpo rígdo. No Capítulo 3 há o desenvolvmento do modelo dnâmo do veíulo onsderando as suspensões flexíves e om um erto amortemento. No Capítulo 4 enontra-se o desenvolvmento da le de ontrole, tanto para o modelo de orpo rígdo quanto para o de suspensão flexível.

28 Introdução 7 O Capítulo 5 desreve a mplementação do programa de smulação do sstema desenvolvdo utlzando o software MatLab 6.5. No Capítulo 6 apresentam-se os resultados das smulações realzadas, analsando ada smulação e omparando os resultados dos modelos de orpo rígdo e de suspensão flexível. O Capítulo 7 é a onlusão sobre o ontrole de tração proposto e propõe possíves trabalhos futuros. Em seguda são apresentadas as referênas bblográfas e o Apênde A om a prova da otmzação das razões entre o módulo da forças de atrto e as forças normas em ada roda do veíulo na análse estáta.

29 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 8 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo Na modelagem D do sstema sem suspensão onsderam-se o hass e as rodas do veíulo omo um úno orpo rígdo, tendo a sua néra onentrada no seu entro de massa. Na ausêna de deslzamento, as forças de atrto entre as rodas e o solo são aluladas pela razão entre o torque de entrada em ada roda T e o rao da roda r. Outra onsderação é que as rodas e o terreno são rígdos, ou seja, não se deformam... Coordenadas Generalzadas Para que a loalzação do veíulo fque totalmente determnada no plano é neessáro o onhemento de três oordenadas ndependentes, as oordenadas generalzadas do sstema. Neste problema, as oordenadas generalzadas para o aso sem restrção serão:x,y e. onde neral; neral; plano. x = oordenada x do entro de massa do sstema em relação a uma base y = oordenada y do entro de massa do sstema em relação a uma base = ângulo de rotação do veíulo em torno do exo z perpendular ao.. Ângulos de Contato e Curva de Centros Para o problema aqu analsado é fundamental o onhemento da dreção das forças de atrto Fat s entre as rodas e o solo. Pos, dferentemente de terrenos planos, em terrenos adentados nem sempre a dreção das Fat s é paralela ao hass do veíulo. A dreção de atuação da força de atrto, entre uma roda e o solo, é a mesma da tangente à urva do perfl do terreno no ponto de ontato entre a roda e o solo. Assm, o ângulo entre essa tangente e o exo das absssas x defne a

30 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 9 dreção da força de atrto entre a roda e o solo, sendo esse ângulo denomnado de ângulo de ontato γ entre a roda do veíulo e o solo. A Fg. 8 mostra as oordenadas generalzadas, os pontos e ângulos de ontato do veíulo. Fgura 8 - Coordenadas generalzadas x,y,, ângulos de ontato γ e γ e pontos de ontato P e P. Contudo, para alular os ângulos de ontato é neessáro prmeramente onheer as oordenadas dos pontos de ontato P. Para enontrar essas oordenadas pode-se proeder de duas maneras: alular a partr das oordenadas generalzadas x,y, as oordenadas do entro da roda, C = x, y. Em seguda alular o ponto de nterseção entre uma runferêna de rao r entrada em C om a urva do perfl do terreno, que será o ponto de ontato P. alular para ada ponto de uma dsretzação do perfl do terreno P as oordenadas x,y que o entro de uma roda qualquer do veíulo devera ter para que P fosse um ponto de ontato entre o solo e a roda Fg. 9. Assm, onheendo-se o entro da roda C pode-se hegar de uma manera dreta ao onhemento de P. O onjunto gerado por todos os pontos x,y rá gerar uma urva, que será hamada urva de entros.

31 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 30 Fgura 9 - Ponto da urva de entros x,y assoado ao ponto de ontato P=x,y. A metodologa aqu empregada utlza o álulo da urva de entros, pos este método resulta em menor número de operações neessáras para a obtenção dos pontos de ontato, portanto é menos aro omputaonalmente..3. Cnemáta Dreta O problema da nemáta dreta pode ser enunado da segunte forma: Dados a posção, velodade e aeleração das oordenadas generalzadas do sstema, qual será a posção, velodade e aeleração dos entros das rodas? A metodologa esolhda para a resolução do problema da nemáta dreta fo a segunte: prmero se alulam as oordenadas dos entros das rodas x,y, em seguda derva-se x,y em relação ao tempo e enontram-se as velodades dos entros das rodas [ x & ] T y&, e por últmo derva-se uma segunda vez as oordenadas dos entros das rodas em relação ao tempo para enontrar as aelerações dos mesmos [& x.aplando essa abordagem ao sstema, temse: ] T & y

32 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 3 Fgura 0 - Caraterístas geométras do veíulo..3.. Coordenadas dos entros das rodas x,y : De aordo om a Fgura 0 ama, as oordenadas dos entros das rodas podem ser esrtas omo:.3... Coordenadas do entro da roda x,y. x = x L os h sen y = y L sen h os.3... Coordenadas do entro da roda x,y. onde x = x L os h sen 3 y = y L sen h os 4 h = dstâna transversal ao hass do veíulo entre o entro da roda e o entro de massa do veíulo CM, onstante para essa modelagem sem suspensão; h = dstâna transversal ao hass do veíulo entre o entro da roda e o CM, também onstante; o CM; o CM; L = dstâna longtudnal ao hass do veíulo entre o entro da roda e L = dstâna longtudnal ao hass do veíulo entre o entro da roda e

33 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo Velodades dos entros das rodas [ x & & ] T : y.3... Velodade do entro da roda. Dervando-se em relação ao tempo as equações e ama, resulta em: x& = & os & x L sen h 5 y& = & os & y L h sen Velodade do entro da roda. Dervando-se em relação ao tempo as equações 3 e 4 ama, resulta em: x& = & sen os & x L h 7 y& = & os sen & y L h Aelerações das rodas [& x & ] T : y Aeleração do entro da roda. Para se alular a aeleração da roda alula-se a dervada temporal das equações 5 e 6 ama, resultando em: & x & y && && & = x L sen h os L os h sen 9 && && & = y L os h sen L sen h os Aeleração do entro da roda. Tomando a dervada temporal das equações 7 e 8 ama, tem-se: & x && && & = x L sen h os L os h sen & y && && & = y L os h sen L sen h os

34 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo Cnemáta Inversa O problema da nemáta nversa pode ser enunado da segunte forma: Dadas as oordenadas x,y dos entros das rodas e suas velodades V e V, quas serão as oordenadas [ x ] T e as velodades generalzadas [ x& & & ] T y do sstema? y A Fg. lustra as oordenadas do entro da roda e da roda, C e C respetvamente, e as velodades das mesmas V e V. Fgura - Dreção das velodades do entro das rodas e V e V, respetvamente..4.. Cálulo das oordenadas generalzadas [ x ] T : y Para enontrar as oordenadas generalzadas [ x ] T do sstema a y partr das oordenadas dos entros das rodas x,y e x,y, proede-se da segunte forma: Prmeramente alula-se o ângulo de rotação do veíulo. Subtrando a Eq. da Eq. 3 e a Eq. da Eq. 4, obtém-se as seguntes equações: x x = L L os h h sen 3 y y = L L sen h h os 4

35 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 34 Multplando a Eq. 3 por L L e somando-se a equação resultante da Eq. 4 multplada por h h, resulta: os ] [ = h h L L h h y y L L x x 5 ] [ os h h L L h h y y L L x x = 6 = ± ] [ os h h L L h h y y L L x x a 7 O snal de na Eq. 7 ama é dado pelo snal de y -y. Desta forma o ângulo será dado por: = ] [ os h h L L h h y y L L x x a y y sgn 8 onde x x x sgn para 0 x e 0 0 sgn. Em seguda através das Equações e, ou 3 e 4, alulam-se as oordenadas x,y. Assm, utlzando-se as Equações e, obtém-se os seguntes valores para x e y : sen os = h L x x 9 os sen = h L y y Cálulo das velodades generalzadas [ ] T y x & & & : As velodades generalzadas são aluladas a partr das velodades do entro das rodas e, V e V respetvamente. Calulando as omponentes das velodades V e V nas dreções t e n dreção paralela ao hass do veíulo e dreção normal a este, respetvamente onforme a Fg., resulta em:

36 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 35 Fgura - Velodades V e V e suas omponentes na dreção de t e n Velodade angular & Velodades ao longo de t: V t = V os γ V t = V os γ Como o sstema é modelado omo um orpo rígdo em função de t V da segunte forma: V t = V h & t h Velodades ao longo de n: E t V pode ser alulada 3 V n = V sen γ 4 V n = V sen γ 5 n n V pode ser alulada a partr de V do segunte modo: V n = V L & n L 6

37 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 36 Resultando no segunte valor para & : n n V V & = 7 L L Substtundo-se os valores das velodades Eq. 7 ama obtém-se: n n V e V dados em 4 e 5 na V sen γ V sen γ & = 8 L L.4... Velodade lnear do Centro de Massa x&, y& Com o valor de & dado pela Eq. 8, pode-se alular as velodades x& e y& através das Equações 5 e 6, ou 7 e 8. Utlzando-se as Equações 5 e 6, hega-se aos seguntes valores para x& e y& : onde.5. Análse Estáta x& = & sen os & x L h 9 y& = & os sen & y L h 30 & 3 x = V osγ & 3 y = V senγ A análse estáta vsa alular a força de atrto Fat que deve agr no ponto de ontato entre ada roda om =, e o solo a fm de manter o sstema em equlíbro. Para obter o equlíbro do sstema, o somatóro das forças agndo sobre o mesmo deve ser nulo e também o momento resultante em qualquer um dos pontos do veíulo deve ser gual à zero. A Fg. 3 lustra as forças agndo no sstema, que são as seguntes: forças de atrto Fat e Fat, forças normas N e N e força peso P.

38 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 37 Fgura 3 - Forças agndo no veíulo. Assm, aplando as ondções de equlíbro ao sstema resultam as seguntes equações: Somatóro das forças na dreção x e y gual a zero. F x = 0 Fat os γ Fat os γ N sen γ N sen γ = 0 33 N sen γ N sen γ = Fat os γ Fat os 34 γ Somatóro dos momentos nos pontos de ontato gual a zero. Tomando o somatóro de momentos em relação aos pontos de ontato P =x,y e P =x,y gual a zero, resulta nas seguntes equações: M P = 0 Fat Fat [ x [ x Defnndo: sen γ N os γ N x os γ y x sen γ y os γ x sen γ y x y sen γ ] N y P x y os γ ] Fat d N, γ = P x x = 0 x x x os γ y y sen 37 d Fat x x sen γ y y os 38, γ

39 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 38 Resulta em: N x x P d Fat, Fat = 39 d N, M P = 0 Fat N [ x sen γ N sen γ y [ x x os γ y os γ x y P x x sen γ y x x Fat = 0 y sen γ ] N y os γ ] Fat = P x os γ x 40 4 Defnndo anda: d N, γ x x os γ y y sen 4 d Fat x x sen γ y y os 43, γ Resulta em: N x x P d Fat, Fat = 44 d N, As Equações 34,39 e 44 formam um sstema de equações lnearmente ndependentes e podem ser esrtas omo: N sen γ N sen γ = Fat os γ Fat os 45 N N onde defnem-se: e γ e S Fat = 46 e S Fat = 47 x x P 48 d N, e x x P d 49 N, d Fat, S 50 d N, d Fat, S 5 d N,

40 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 39 As nógntas do problema estáto são Fat, Fat, N e N. Sendo que as forças Fat e Fat podem ser ontroladas através dos torques transmtdos às rodas pelos motores do veíulo, e as forças normas N e N são dependentes desses torques em um terreno genéro. Como o sstema em questão apresenta quatro nógntas e apenas três equações lnearmente ndependentes, o mesmo é sobredetermnado. Assm, este sstema apresenta um grau de lberdade para a esolha de Fat ou Fat, o qual pode ser utlzado para otmzar alguma araterísta do sstema..5.. Otmzação do Sstema para o aso Estáto sstema: No presente trabalho, esolheu-se otmzar as seguntes araterístas do a Mnmzar a possbldade de deslzamento das rodas; b Mnmzar o onsumo de potêna. Sendo que rá se busar mnmzar a possbldade de deslzamento das rodas em terrenos mas adentados e íngremes e mnmzar o onsumo de potêna em terrenos suaves. Para sso, serão aluladas as forças de atrto de ada roda, a fm de se obter a otmzação desejada do sstema, para o aso quaseestáto. a Cálulo das forças de atrto para mnmzar a possbldade de deslzamento das rodas. Para mnmzar a possbldade de deslzamento das rodas, deseja-se onheer as forças de atrto Fat s que devem agr sobre o sstema de modo que a razão entre o módulo da força de atrto e a força normal em ada roda seja mínma. Antes de se alular as razões ótmas entre as forças de atrto e as suas orrespondentes foras normas, deve-se enontrar os possíves valores que as forças de atrto devem assumr para que sejam respetadas as seguntes ondções: Fat Fsat e Fat Fsat, restrção referente à força de saturação dos motores, onde Fsat e Fsat são as máxmas forças de atrto que podem ser obtdas pelos torques do motor da roda e da roda, respetvamente; N > 0 e N > 0, ondção de não desolamento entre as rodas e o terreno;

41 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 40 Fat µ N e Fat µ N, ondção de não deslzamento sendo µ o oefente de atrto estáto. Além das três ondções ama, exste anda mas uma equação de restrção para garantr que o sstema esteja em equlíbro estáto. Essa equação é obtda substtundo os valores de N e N, dados pelas Equações 46 e 47, na Eq. 45 resultando em: Defnndo: a Fat a Fat = a 5 a a γ γ e 53 [os S sen ] [os S sen ] γ γ e 54 a e sen γ e sen 55 γ Com as ondções a e a Eq. 54 obtém-se um onjunto I={Fat,Fat } dos possíves valores das forças Fat e Fat. O ponto Fat, Fat que rá gerar razões Fat /N =, o mas longe possível da stuação de deslzamento será um dos pontos da frontera de I ou o ponto em que a razão do módulo da força de atrto pela respetva força normal deve ser gual nas duas rodas prova no Apênde A. Assm para enontrar esse últmo ponto deve-se ter: Fat N Fat que resulta, nas seguntes possbldades: om Fat Fat = = λ N N =, om N,N >0 56 Fat Fat Fat Fat = = λ, = λ. N N N N λ R. N Pode-se esrever 57 e 58 de uma forma ompata, omo segue: Fat Fat N = λ 59 = ± λ 60 N

42 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 4 Substtundo os valores de N e N dados pelas Equações 46 e 47 nas Equações 58 e 59 resulta nos seguntes valores para as forças de atrto: Fat S e Fat = λ 6 S e Fat = λ λ 6 Fat S e Fat ± = λ 63 S e Fat ± ± = λ λ 64 Substtundo 6 e 64 na Eq. 5, resulta o segunte: a S e a S e a = ± ± λ λ λ λ 65 A Eq. 65 ama, dará orgem a duas equações do segundo grau, a saber: 0 = a S a S a e a e a S S a S e a S e a λ λ 66 0 = a S a S a e a e a S S a S e a S e a λ λ 67 A equação que dará a solução do problema será a que apresentar raízes reas. Após obter a equação verdadera do problema e resolvê-la, haverá dos valores anddatos a solução do mesmo, as raízes da equação do segundo grau λ λ e. Sendo que a solução do problema será a raz que resulta em normas postvas. b Cálulo das forças de atrto para mnmzar a potêna onsumda. Na abordagem do problema aqu utlzada, onsdera-se que o veíulo é aonado por motores elétros omo no Robô Ambental Híbrdo. Além dsso, onsdera-se potêna onsumda apenas a potêna dsspada por efeto joule na resstêna do motor, uma vez que nesta análse quase-estáta o trabalho meâno é desprezível omparado om a energa elétra dsspada. Para motores de orrente ontínua esta potêna é dada por: I R Pot = 68 onde R = resstêna do motor dada em ohm; I = orrente elétra do motor dada em ampére.

43 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 4 om: Assm, a potêna total onsumda pelos dos motores, será: P total = Pot Pot 69 Pot Pot = R I 70 = R I 7 Consderando que os motores sejam guas, resulta que R = R = R, e a Eq. 69 pode ser esrta da segunte forma: P = R I I 7 total Em motores de orrente ontínua o torque entregue ao exo é proporonal a orrente elétra do motor, assm: onde T = K I 73 m T = torque no exo do motor em N.m; K m = onstante de proporonaldade do motor em N.m/A; Como o sstema está em equlíbro estáto, o torque em ada roda deve ser gual à força de atrto, agndo entre tal roda e o solo, multplada pelo rao da roda. Assm, têm-se: T = Fat r 74 T = Fat r 75 Substtundo o valor do torque dado pela Eq. 73 nas Equações 74 e 75 ama, resulta em: Fat Fat r r = K m I I = 76 K m Fat r Fat 77 r = Km I I = Km Substtundo os valores das orrentes I e I, dados nas Equações 76 e 77, na Eq. 69 da potêna total, obtêm-se: Fat r Fat r P = total R 78 K m K m P R r = Fat Fat 79 K total m

44 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 43 Defnndo-se: R r K m K pot A Eq. 79 ama resulta em: 80 P = K Fat Fat 8 total pot Assm, de aordo om a Eq. 8, para mnmzar a potêna total onsumda presa-se mnmzar: W Fat = Fat Fat 8, Fat sujeta as restrções a, anterormente menonadas, e a restrção de equlíbro estáto dada pela Eq. 5.: As restrções a rão gerar uma regão fehada pontos Fat,Fat, que serão os anddatos a mínmo do problema. D R Fg. 4 de Fgura 4 - Regão de pontos Fat,Fat anddatos a mínmo do problema. Desta forma, o problema de mnmzação da potêna onsumda será o de enontrar o mínmo de uma função, neste aso W, em um domíno fehado D, sujeto à restrção dada pela Eq, 5.

45 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 44 De aordo om Demdovth [6] os pontos rítos do problema que são anddatos a mínmo de W serão: a Os pontos em que dw é nula. onde pela Eq. 8, e assm W W dw Fat, Fat = 0 dfat dfat = 0 83 Fat Fat W Fat W Fat = Fat = Fat = Fat dfat Fat dfat 0 86 Contudo, dfat e dfat não são ndependentes, sendo que estão relaonados através da Eq. 5, da segunte forma: a a 87 dfat a dfat = 0 dfat = dfat a Substtundo o valor de dfat dado pela Eq. 87 na Eq. 86, resulta em: a Fat dfat Fat dfat = 0 88 a a Fat Fat dfat = 0 89 a a Fat Fat = 0 90 a Juntando-se a Eq. 90 om a Eq. 5 pode-se alular o ponto ríto P o = Fat o Fat o,, sendo Se o Fat e o Fat dados pelos seguntes valores: a a Fat o = 9 a a a a Fat o = 9 a a P o pertener ao onjunto resultante da nterseção entre D e a reta dada pela Eq. 5 no plano Fat x Fat, então P o será um anddato a ponto de mínmo.

46 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 45 b Pontos da frontera Os outros pontos anddatos serão os pontos P e P das fronteras do domíno D, dado pela nterseção do onjunto D om o onjunto R = { Fat, Fat R / a Fat a Fat = }, ou seja, D' = D R'. ' a Assm, D será um segmento de reta no plano Fat xfat om pontos extremos P e P Fg. 5. Fgura 5 - Regão D` om os pontos extremos P e P. Após alular todos os pontos rítos do problema, verfa-se qual deles mnmza a função W, sendo este o ponto desejado. Portanto, onforme vsto ama, pode-se no problema estáto assoado a este sstema enontrar valores aproprados das forças de atrto Fat e Fat que otmzem uma dada araterísta do mesmo. Sendo que, no presente aso, optou-se por alular as forças de atrto que mantêm o veíulo o mas longe possível do deslzamento em terrenos muto adentados ou as que mnmzam o onsumo de potêna em terrenos suaves. No entanto, podem-se unr essas duas ondções de otmzação em uma úna função, sendo que neste aso haverá a neessdade de se ntroduzr pesos para ponderar ada uma das araterístas em questão. As ténas de ontrole aqu ntroduzdas serão generalzadas no Capítulo 4, quando serão nluídos efetos dnâmos e de suspensões flexíves.

47 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo Análse Dnâma A análse dnâma do sstema tem por objetvo alular as aelerações do mesmo e por onsegunte as suas varáves de estado x y,, x&, y&, &., Para o álulo dnâmo, foram utlzadas as equações de Newton-Euler. Essas equações representam os prnípos que enunam o segunte: a soma das forças agndo sobre o sstema deve gualar o produto de sua massa pela aeleração do seu entro de gravdade, e o somatóro dos momentos em relação ao entro de gravdade é gual ao momento de néra de massa do orpo em relação a este ponto vezes a aeleração angular do orpo. As forças externas agndo no veíulo são as mesmas mostradas na Fg. 3. resulta: Assm, aplando as equações de Newton-Euler ao sstema da Fg. 3, F = m & & x x m & x = Fat γ γ N senγ N senγ 93 F = m & & x y os Fat os m & y = Fat senγ Fat senγ N osγ N osγ P 94 M CM = I & & Fat Fat d Fat Fat d N N d N N I & & = d 95 onde N = força normal na roda ; Fat = força de atrto entre a roda e o solo; & x& = aeleração lnear do entro de gravdade do veíulo na dreção x; & y& = aeleração lnear do entro de gravdade do veíulo na dreção y; & & = aeleração angular do veíulo ao longo do exo z; x = oordenada x do ponto de ontato entre a roda e o terreno; y = oordenada y do ponto de ontato entre a roda e o terreno; d d Fat y y osγ x x senγ = 96 = 97 Fat y y osγ x x senγ

48 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 47 d N os 98 = y y senγ x x γ d N os 99 = y y senγ x x γ As Equações 93 a 95 resultam no segunte sstema: m & x = Fat γ γ N senγ N senγ 00 os Fat os m & y = Fat senγ Fat senγ N osγ N osγ P 0 I & & = d 0 Fat Fat d Fat Fat d N N d N N Assumndo-se que Fat e Fat foram espefados, o sstema de equações ama possu no nógntas N, N, & x,&& y, & & e somente três equações, resultando que o mesmo possu nfntas soluções. Contudo, em um dado nstante de tempo t é neessáro que haja uma úna quna N, N, x&,&& y, & & que seja & solução deste sstema de equações e por onseqüêna do problema dnâmo, para que se possa alular o estado do sstema em qualquer tempo t*>t. Desta forma, são neessáras mas duas equações para que o problema dnâmo assoado ao movmento do veíulo tenha uma úna solução. Essas duas equações adonas serão dervadas das restrções que devem ser mpostas ao movmento do veíulo..6.. Equações de Restrção As equações de restrções surgem da neessdade de se restrngr as possíves opções de movmento para o veíulo. Uma ondção que deve ser respetada é a de não nterpenetração entre as rodas do veíulo e o solo, pos ambos são onsderados orpos rígdos. Para garantr esta restrção é neessáro, sempre que uma dada roda estver em ontato om o solo N >0, que o movmento da mesma seja restrto a uma dada trajetóra dependente do perfl do terreno. Essa trajetóra será dada pela urva de entros, defnda no tem.. Desta forma, sempre que uma roda estver em ontato om o terreno o seu entro deverá pertener à urva de entros, ou seja: x = x 03 y = y 04

49 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 48 onde x, y = oordenadas artesanas do entro geométro da roda ; entros. x, y = oordenadas artesanas de um ponto pertenente à urva de Para os perfs de terrenos onsderados nesta dssertação, os pontos da urva de entros, através de um aproprado tratamento matemáto, serão da segunte forma: x,gx, ou seja, a oordenada y do mesmo será função de x y =gx. Assm, as Equações 03 e 04 ama podem ser ondensadas em uma úna equação: y = g x 05 Logo, para garantr que as duas rodas do veíulo estejam em ontato om o terreno basta que as seguntes gualdades sejam verdaderas: x y = g 06 x y = g 07 Dervando em relação ao tempo as Equações 06 e 07, obtêm-se as restrções referentes às velodades dos entros das rodas. dy y & y & dt dg x = dx g x x dx dt x 08 = & 09 = & 0 g x x Dervando-se uma segunda vez as restrções 06 e 07, em relação ao tempo, obtêm-se as aelerações dos entros das rodas. A segunda dervada temporal da oordenada y do entro de uma roda é dada omo abaxo: d dt y dg x = dx d x dt Assm, as aelerações das rodas e devem ser: d g x x dx dt x dx & y & y = && & g x g x = && & 3 g x g x

50 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 49 onde x g g = 4 x g g = 5 x g g = 6 x g g = 7 Substtundo as Equações 9 e 0 na Eq., enontra-se: ] os os [ os os x g sen h L h sen L x g h sen L sen h L y & & && && & && && = 8 Rearranjando os termos da equação ama, resulta em: ] os [os ] os [os & & && && && = L g sen h sen g x g h g sen L sen g y x g 9 Substtundo as Equações e na Eq. 38, enontra-se: ] os os [ os os x g sen h L h sen L x g h sen L sen h L y & & && && & && && = 0 Rearranjando os termos da equação ama, resulta em: ] os os [ ] os [os & & && && && = h sen g L g sen x g h g sen L sen g y x g Defnndo: os os h g sen L sen g E os os h g sen L sen g E 3 ] os [os x g L g sen h sen g A & & 4 ] os os [ x g h sen g L g sen A & & 5 as Equações 9 e, resultam em: A E y x g = & & && & & 6 A E y x g = & & && & & 7

51 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 50 As Equações 6 e 7 são as equações de restrções para as aelerações do entro de gravdade do sstema. As mesmas podem ser esrtas de uma manera matral da segunte forma: & C X r = A 8 onde g E C = 9 g E X & r = [&& x ] T && y & & 30 T = [ A A 3 A ] Para que o sstema dado pelas Equações 00 a 0 tenha solução as equações de restrção 6 e 7 devem ser lnearmente ndependentes L.I., sendo que sso oorrerá se o posto da matrz de oefentes das aelerações C for gual a dos Anton [7]. Assm deve-se ter: g E posto C = posto = 3 g E A menos de alguns asos espeas, regões da urva do perfl do terreno em que o rao de urvatura é menor que o rao da roda e pontos da mesma que não possuem dervada, de um modo geral pode-se onsderar que g = tanγ. Desta forma C pode ser esrto da segunte forma: tanγ C = tanγ E E 33 Logo, sempre que tanγ tanγ o posto de C será gual a dos e por onseqüêna as Equações 6 e 7 serão L.I. Como os ângulos de ontatos pertenem ao ntervalo real ]-π/;π/[, para que tanγ tanγ basta que γ γ. Assm, sempre que os ângulos de ontato forem dferentes, as restrções 6 e 7 serão L.I. Quando tanγ = tanγ γ = γ, o que sera verfado, por exemplo, em um terreno plano, busa-se uma nova equação de restrção da segunte forma.

52 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 5 De aordo om as Equações 3 e 7, tem-se o segunte: & 34 t t h h = V V n n V V & = 35 L L Sendo que as velodades ao longo de t e de n de uma roda são dadas da segunte forma : V V t = x& os y& sen 36 x& sen y& os 37 n = Substtundo 36 e 37 nas Equações 34 e 35 ama, resulta: h h & = x& x& os y& y sen 38 & x& x& sen y& y& os & = 39 L L Como as rodas são onsderadas em ontato om o solo, as Equações 09 e 0 são verfadas, e om velodades das rodas: y & y & g = tanγ, resulta nas seguntes relações para as = γ x& 40 tan = γ x& 4 tan Substtundo os valores de y& e y& dados pelas Equações 40 e 4 ama, respetvamente, nas Equações 38 e 39 e sendo γ = γ = γ, resulta no segunte: & = x& x& os tanγ sen 4 h h x& x& sen tan γ os & = 43 L L Igualando os valores de x & x& nas equações 4 e 43 ama, resulta na segunte equação: h sen tanγ os & = os tan γ sen L & 44 h L sen tanγ os h & = & h L L 44a os tanγ sen tan tan γ h & = & h L L 44b tanγ tan h h tan γ & = L & 44 L

53 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 5 relação: Analsando a Eq. 44 ama se verfa que h = h ou = γ & = 0. Para h h e γ e onsderando-se & 0, deve-se ter a segunte L L L L tan γ = γ = a tan 45 h h h h No entanto, omo a Eq. 44 deve ser verdadera para qualquer γ, a velodade angular do sstema deve ser nula & =0. Desta forma, verfa-se que γ = γ & 0, logo nestes asos a segunda equação de restrção será: = & & = 0 46 Portanto, as equações de restrções do sstema, onsderando que as duas rodas do veíulo estão em ontato om o terreno, serão: & && & & 47 x y 3 = A onde 3 = g ; = ; = E ; g, se γ γ = ; 0, se γ = γ & && & & 48 x y 3 = A A 3, se γ γ = ; 0, se γ = γ E, se γ γ = ;, se γ = γ A = A ; A, se γ γ =. 0, se γ = γ

54 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 53 As Equações 47 e 48 ama podem ser esrtas de forma matral da segunte forma: om: C = [ A A ] T A = 3 3 ;.6.. Sstemas de Equações Resultantes & C X r = A 49 Unndo-se as equações 47 e 48 om as Equações 00 a 0 resulta no segunte sstema de equações algébro-dferenas: I m & x N sen N sen = Fat Fat γ 50 γ γ osγ os m & y N osγ N osγ = Fat senγ Fat senγ P 5 & & d 5 N N d N N = d Fat Fat d Fat Fat & && & & 53 x y 3 = A & && & & 54 x y 3 = A Que pode ser esrto matralmente da segunte forma: r r r M X & r A N = B F u 55 at onde r [ N N ] T N = r [ Fat Fat ] T Fat = ; & C X r = A 56 ; senγ senγ A = osγ osγ ; d N d N osγ osγ B = senγ senγ ; d Fat d Fat r T u = 0 P 0 [ ].

55 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 54 e M é a matrz de néra do sstema, sendo que a mesma é dagonal postva defnda a sua nversa exste, logo da Eq. 55 tem-se: u N A F B M X at r r r & & r = 57 Substtundo 57 em 56, resulta: A u N A F B M C at = r r r 58 A M C F B M C N A M C at = r r 58a ] [ A M C F B M C A M C N at = r r 58b Defnndo: B M C A M C H 59 A M C A M C U 60 O valor do vetor das normas N r será dado por: U F H N at = r r 6 Substtundo o valor de N r dado pela Eq. 6 na Eq. 58, resulta em: ] [ u U F H A F B M X at at r r r & & r = 6 U A u M F H A B M X at = r r & & r 6a Defnndo: H A B M G 6b U A u M E r 6 A Eq. 6a ama fa: E F G X at = r & & r 63 Assm, através das Equações 6 e 63 ama é possível, respetvamente, alular as forças normas e as aelerações agndo no sstema. Contudo, para se hegar a essas equações foram utlzadas as hpóteses de não deslzamento e não desolamento das rodas do veíulo. No entanto, quando oorrer deslzamento e/ou desolamento das rodas as Equações 6 e 63 ama ontnuarão váldas, sendo somente neessáro alterar algumas matrzes que são empregadas para o álulo das matrzes H, U,G e E omo mostrado abaxo.

56 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 55 Se houver deslzamento em uma dada roda, as matrzes A e B serão alteradas, sendo que a nova oluna de ada uma delas será da segunte forma: A :, = [ senγ µ * osγ osγ µ * senγ d µ * d ] 64 N Fat T onde T B :, = [0 0 0] 65 A:, oluna da matrz A; B:, oluna da matrz B. µ * = sgn Fat µ ; µ = oefente de atrto entre a roda e o solo. Para o aso em que somente uma roda esteja em ontato om o terreno, as matrzes A, B, C e A deverão ser alteradas para o segunte: [ senγ osγ d ] T A = 66 N [ osγ senγ d ] T B = 67 [ ] Fat C = g E 68 A = A ] 69 [ Já para o aso em que nenhuma roda esteja em ontato om o solo, não exstrão forças normas atuando sobre o veíulo, e as aelerações do sstema serão dadas por: & X r r = M u 70 Em suma, onforme vsto ama, as equações que regerão o movmento do veíulo serão as seguntes: a Se houver ao menos uma roda em ontato om o solo, as normas normal e as aelerações do sstema serão dadas por: r r N = H Fat U 7 & X r r = G Fat E 7 b Se o veíulo não estver em ontato om o solo, não exstrão normas, e as aelerações do sstema são aluladas da segunte forma: & X r r = M u 73

57 Modelagem D do veíulo omo orpo rígdo 56 Assm, uma vez espefados os torques nas rodas e onhedo o perfl do terreno, podem-se obter todas as forças normas e aelerações do sstema, permtndo sua smulação, omo será vsto no Capítulo 5. Note que esse modelo assumu suspensão rígda no veíulo. O próxmo apítulo apresenta uma formulação smlar para o aso de suspensão flexível ndependente.

58 Modelagem D do veíulo om suspensão flexível 57 3 Modelagem D do veíulo om suspensão flexível Neste apítulo, as suspensões do veíulo são modeladas omo tendo uma erta flexbldade e amortemento na dreção transversal ao hass e sendo rígdas na dreção longtudnal ao mesmo.o modelo também não leva em onsderação as néras das suspensões e das rodas omo orpos rígdos solados, sendo as mesmas onsderadas onentradas no entro de massa. A Fg. 6 lustra o modelo do veíulo om a suspensão flexível. Fgura 6 - Modelo do veíulo om suspensão flexível. A Fg. 7 lustra as forças atuando sobre o hass do veíulo, sendo que a aplação das les de Newton-Euler ao mesmo resulta nas seguntes equações:

59 Modelagem D do veíulo om suspensão flexível 58 Fgura 7 - Forças agndo no hass do veíulo. F = m & x x m & x = K ξ ξ & ξ & ξ ] sen F F os 74 [ r r F = m & y y m & y = K ξ ξ & ξ & ξ ] os F F sen P 75 [ r r M CM = I & & I && = K ξ & ξ L K ξ & ξ L Fr h ξ Fr h 76 onde do veíulo; ξ K = onstante de rgdez das suspensões na dreção transversal ao hass = onstante de amortemento das suspensões na dreção transversal ao hass do veíulo; ξ = alongamento / ompressão da suspensão na dreção transversal ao hass do veíulo; & ξ = taxa de varação no tempo do alongamento / ompressão da suspensão na dreção transversal ao hass do veíulo; longtudnal; F r = força de reação nterna da suspensão sobre o hass na dreção = ângulo de nlnação do hass do veíulo em relação ao exo x;

60 Modelagem D do veíulo om suspensão flexível 59 O dagrama de orpo lvre de uma roda do veulo é lustrado pela Fg. 8 abaxo, aplando as les de Newton-Euler a mesma resulta nas seguntes equações: Fgura 8 - Forças e torque agndo em uma roda do veíulo. F x = 0 K ξ & ξ sen F os Fat osγ N senγ = 0 77 r F y = 0 K ξ & ξ os F sen Fat senγ N osγ = 0 78 r onde M C = 0 T Fat r T Fat = 0 = 79 r T = torque de entrada da roda ; γ = ângulo de ontato entre a roda e o solo. O desloamento ξ e a sua taxa de varação no tempo & ξ são alulados a partr do onhemento do estado atual do sstema x,, x&, y&, & e das, y oordenadas artesanas do entro da roda x,y, que são onhedas a partr do perfl do terreno. Sendo que essas quantdades são aluladas omo segue: ξ x x sen y y os 80 = & dξ ξ = 8 dt & ξ = x& [ x x x& sen y& os y y y& os sen ] & 8a

61 Modelagem D do veíulo om suspensão flexível 60 Como as néras das rodas e das suspensões são onsderadas desprezíves, as mesmas nuna sofrerão alongamento. Desta forma as Equações 80 e 8a são váldas apenas para a stuação de ompressão das suspensões, aso ontráro têm-se que ξ & ξ = 0. Assm, sempre que a Eq. 8a for válda o veíulo = estará om a sua roda em ontanto om o solo e as velodades do entro desta roda ao longo do exo y e do exo x estarão relaonadas da segunte forma: y & = tan γ x& 8 Consderando que num dado nstante a velodade do entro da roda na dreção longtudnal ao hass do veíulo é dada por: onde L L V = V h ξ & 83 V V L L = x& os y& sen 84 = x& os y& sen 85 Substtundo 84 e 85 na Eq. 83 e utlzando o resultado da Eq. 8, resulta em: x & os tan γ sen = x& os y& sen h ξ & 86 x& os y& sen h ξ & x& = 87 os tanγ sen Substtundo 87 em 8, obtém-se o segunte valor para y& : x& os y& sen h ξ & y& = tanγ 88 os tanγ sen Assm, substtundo as Equações 87 e 88 ama na Eq. 8a é possível alular & ξ somente em função do estado atual do sstema e das oordenadas artesanas do entro da roda, sendo o seu valor dado por: & ξ = x& sen y& os [ x x os y y sen ] & sen tanγ os 89 x& os y& sen h ξ & os tanγ sen & ξ = [tan γ os sen ] x& [ h ξ tan γ x [tan γ sen os] y& x os y y sen ] & 90 Analsando as Equações 77 a 79, e assumndo que o torque T em ada é dado, as mesmas apresentam omo nógntas N e F r.

62 Modelagem D do veíulo om suspensão flexível 6 Assm, rearrumando as equações 77 e 78 ama, resulta no segunte sstema de equações lneares: F F r r os N senγ = K ξ & ξ sen Fat osγ 9 sen N os γ = K ξ & ξ os Fat senγ 9 Somando a Eq. 9. os γ a Eq. 9. senγ resulta o segunte: Fr sen osγ os senγ = K ξ & ξ sen osγ os senγ Fat r 93 os γ sen γ F os γ = K ξ & ξ sen γ Fat 93a Fat F r = K ξ & ξ tan γ 93b os γ Substtundo a Eq. 93b na Eq. 9, resulta em: N = Fat K ξ & ξ tan γ os γ 94 Portanto, fazendo =, nas equações 93b e 94 é possível alular as forças de reação nterna e a força normal atuando sobre a roda e, respetvamente, sendo os seus valores o segunte: Fat F = K ξ & r ξ tan γ 95 os γ Fat F = K ξ & r ξ tan γ 96 os γ K ξ & ξ N = Fat tan γ 97 os γ K ξ & ξ N = Fat tan γ 98 os γ Substtundo os valores de F r e F r alulados onforme as Equações 95 e 96 e os valores dos desloamentos das suspensões e de suas taxas de varação no tempo ξ e & ξ, para =, dados pelas Equações 80 e 90, respetvamente, nas Equações 74 a 76 ama, resulta no segunte sstema de equações:

63 Modelagem D do veíulo om suspensão flexível 6 γ γ ξ ξ γ γ ξ ξ ξ ξ ξ ξ os os tan os tan ] [ = Fat K Fat K sen K x m & & & & && 99 P sen Fat K Fat K K y m = γ γ ξ ξ γ γ ξ ξ ξ ξ ξ ξ os tan os tan os ] [ & & & & && 00 os tan ξ γ γ ξ ξ ξ ξ ξ ξ = h Fat K L K L K I & & & && os tan ξ γ γ ξ ξ h Fat K & 0 que após manpulação algébra, resultam nos seguntes valores das aelerações: os os os os ] os tan [ ] os tan [ γ γ γ ξ ξ γ ξ ξ = Fat Fat sen K sen K x m & & && 0 P sen Fat sen Fat sen K sen K y m = os os ] tan os [ ] tan os [ γ γ γ ξ ξ γ ξ ξ & & && 03 os os ] tan [ ] tan [ γ ξ γ ξ ξ γ ξ ξ ξ γ ξ ξ = h Fat h Fat h L K h L K I & & && 04 Analsando as Equações 0 a 04 pode-se observar que o novo estado do sstema estará ondonado ao perfl do terreno e às forças de atrto atuando entre as rodas e o solo, sendo que estas forças podem ser ontroladas através do torque aplado a ada roda. Nota-se que, ao ontráro das Equações 03 a 05 para suspensão rígda, as Equações 0 a 04 om suspensão flexível não dependem dretamente das forças normas N e N. No aso de suspensão rígda, as forças normas varavam nstantaneamente om as alterações das forças de atrto. Na suspensão flexível sso não oorre, uma vez que varações nas forças de

64 Modelagem D do veíulo om suspensão flexível 63 atrto afetarão prmeramente o estado das suspensões, para então só depos nfluenar nas forças normas quanto mas flexível, mas retardado será o efeto. Em suma, as equações apresentadas permtem que o modelo do veíulo om suspensão flexível seja smulado desde que as forças de atrto Fat e Fat sejam espefadas e se onheça o estado atual do veíulo e o perfl do terreno. No próxmo apítulo, ténas de ontrole de tração serão apresentadas para evtar deslzamento, mnmzar o onsumo de potêna e garantr não desolamento das rodas onsderando a suspensão flexível ou rígda.

65 Controle de Tração 64 4 Controle de Tração O ontrole de tração busará prover as rodas do veíulo um torque que alane os seguntes objetvos: a Proporonar ao veíulo robóto vener os obstáulos em terrenos adentados om um mínmo deslzamento; b Mnmzar o onsumo de potêna do sstema em terrenos suaves. O ompromsso prortáro do ontrole de tração será om o movmento do veíulo, assm sendo o objetvo de vener obstáulos terá prordade sobre a mnmzação do onsumo de potêna. O movmento de um orpo está ntmamente lgado à sua velodade. Assm sendo, ada movmento desejado do veíulo estará assoado a uma velodade do seu entro de massa, onde o módulo dessa velodade será denomnado velodade desejada. Desta forma, para fazer om que o sstema onsga realzar o seu movmento desejado basta assegurar que o mesmo tenha a velodade desejada V d assoada ao dado movmento. Baseado nsso, para alançar o objetvo da letra a ama o ontrole de tração rá alular as forças de atrto que devem atuar entre ada roda e o solo de modo a fazer om que a velodade do entro de massa do sstema seja V d, onde V d será um dado de entrada relaonado ao movmento desejado do sstema, ao mesmo tempo em que evta deslzamento e desolamento das rodas. Já a mnmzação da potêna dsspada pelo veíulo oorrerá quando o ontrole tver mas que uma opção de esolha das Fat s que devem atuar sobre o sstema para alançar V d, e neste aso o ontrole de tração esolherá as forças de atrto Fat e Fat que mnmzem a potêna onsumda do sstema.

66 Controle de Tração Cálulo das forças de atrto para obtenção da velodade desejada A velodade desejada V d do entro de massa do veíulo será sempre tomada na dreção longtudnal ao hass do mesmo, assm: onde V d = V L 05 V Sendo que V L pode ser alulada onforme abaxo: V L d = x& os y& sen 06 = 0 V L tf a t0 L dt 07 V L = velodade do entro de massa do veíulo na dreção longtudnal ao hass do mesmo. 0 V L = velodade do entro de massa do veíulo na dreção longtudnal ao hass do mesmo no nstante t 0 ; a L = aeleração do entro de massa do veíulo na dreção longtudnal ao hass do mesmo no ntervalo de tempo [t 0,t f ]. A aeleração a L pode ser ontrolada através dos torques das rodas, que geram as forças de atrto. Pela Eq. 07 o sstema é de prmera ordem, portanto um ontrole proporonal é satsfatóro. Consderando um ganho proporonal K p para o erro entre as velodades longtudnas desejada e real, tem-se a segunte le de ontrole: a L 0 : = K V V 08 A equação do movmento resultante om esse ontrole é V L = 0 V L p tf d t0 K p L 0 V V dt 09 Note que a velodade V L ra varar devdo ao termo ntegral, establzando quando a mesma fo gual à V d. A aeleração a L é dada por: a L d L = & x os & y sen 0 De aordo om as Equações 50 e 5 do Capítulo e as Equações 0 e 03 do Capítulo 3, as aelerações & x& e & y& são funções do estado atual do sstema e das forças de atrto, assm pode-se esrever omo: a L de uma forma geral

67 Controle de Tração 66 a L = η η Fat Fat a0 onde os oefentes η,η e a 0 dependem do estado atual do sstema e das suas araterístas físas e geométras, além do modelo adotado para a suspensão. Assm, esses oefentes são alulados da segunte forma: a Veíulo modelado omo orpo rígdo De aordo om a Eq. 63, as aelerações & x& e veíulo são dadas por: Fat g Fat e & y& do entro de massa do & x = g onde & y = g 3 Fat g Fat e g j = é o elemento da lnha e oluna j da matrz G, defnda em 6b; a L e = é o -ésmo elemento do vetor E, defndo em 6. Substtundo e 3 na eq. 0, tem-se: = g Fat g Fat e os g Fat g Fat e sen 4 a L g = g os g os g sen Fat sen Fat e os e sen 5 Comparando a eq. om a Eq. 5, verfa-se que para o aso em que o veíulo é modelado omo um orpo rígdo os valores de η,η e a 0 são: η g os g sen 6 η g os g sen 7 a0 e os e sen 8 b Veíulo modelado om suspensão flexível: De aordo om as Equações 0 e 03 do Capítulo 3, as aelerações & x& e & y& podem ser esrtas omo: os os & x = ζ Fat Fat 9 m os γ m os γ sen sen & y = ζ Fat Fat P 0 m os γ m os γ

68 Controle de Tração 67 onde K ξ & ξ [ sen tan γ os] K ξ & ξ [ sen tan γ os] ζ m ζ = K ξ & ξ [ os tan γ sen ] K ξ & ξ [ os tan γ sen ] Substtundo 9 e 0 na Eq. 0 resulta em: m a L os os = ζ Fat Fat m γ m γ os os os sen sen ζ Fat Fat P sen m γ m γ os os 3 a L a L os sen os sen = Fat Fat mos γ mos γ ζ os ζ sen Psen 3a = Fat Fat ζ os ζ sen Psen mos γ mos γ 3b Assm, omparando agora a Eq. om a Eq. 3b resulta nos seguntes valores para η,η e a 0 : η m os γ 4 η m os γ 5 a0 ζ os ζ sen P sen 6 Substtundo a Eq. na Eq. 08, resulta em: 0 η Fat η Fat a = K V V 7 0 p d L η η a 8 0 Fat Fat = K p Vd VL Assm, de aordo om a Eq. 8 ama pode-se verfar que os valores de Fat e Fat que aplados às rodas do veíulo resultam em uma velodade desejada V d do entro de massa do mesmo formam um plano. No entanto, nem todos os pontos Fat,Fat de tal plano poderão ser obtdos a partr de uma dado torque aplado as rodas do sstema, sendo que as Fat s possíves de serem obtdas entre as rodas e o solo devem satsfazer as seguntes ondções: 0

69 Controle de Tração 68 Fat Fsat, restrção referente à força de saturação do motor da roda ; Fat Fsat, restrção referente à força de saturação do motor da roda ; N > 0, ondção para haver ontato entre a roda e o terreno; v N > 0, ondção para haver ontato entre a roda e o terreno; v Fat µ N, ondção de não deslzamento da roda ; v Fat µ N, ondção de não deslzamento da roda ; Assm, haverá uma regão D = { Fat, Fat / as ondções a v R ama sejam verdaderas} das possíves forças de atrto que poderão agr no sstema. A forma da regão D rá depender do tpo de abordagem aplada ao estudo do sstema, sendo que as Fguras 9 e 0 mostram a forma de D para o veíulo onsderado omo orpo rígdo e para o veíulo om suspensão flexível, respetvamente. Fgura 9 Obtenção da regão D para a abordagem de orpo rígdo.

70 Controle de Tração 69 Fgura 0 - Obtenção da regão D para a abordagem om suspensão flexível. O modelo que onsdera o veíulo om suspensão flexível possu a regão D retangular Fg. 0 devdo à equação das forças normas não apresentar aoplamento nstantâneo om as das forças de atrto, omo dsutdo no Capítulo 3. Dessa forma, ndependente do modelo adotado, o onjunto de pontos Fat,Fat que o ontrole de tração poderá esolher para gerar V d será: Γ = D D' 9 onde 0 D = { Fat, Fat R / η Fat η Fat = K V V }30 ' p d L a0 Se Γ =, então não será possível para o ontrole fazer om que o veíulo alane a velodade V d no estado segunte do sstema, assm será esolhdo no domíno D de possíves valores das forças de atrto um ponto Fat, Fat que mnmze o valor absoluto da dferença entre a velodade longtudnal do entro

71 Controle de Tração 70 de massa V L e a velodade desejada para o mesmo V d, ou seja: Fat, Fat será tal que mnmza V = V V. Entretanto, se L L d D D', Γ será um segmento de reta no plano Fat x Fat onforme mostrado na Fg.. Assm, haverá nfntos pontos Fat,Fat que aplados ao sstema rão gerar V d, podendo nesse aso se aplar um rtéro de otmzação para esolher as forças de atrto a serem apladas ao veíulo. Fgura - Regão Γ de possíves valores das forças de atrto para esolha do ontrole. No problema aqu abordado o rtéro de otmzação será, omo já menonado, mnmzar o onsumo de potêna do veíulo, onde a metodologa empregada nessa otmzação será a desrta no tem 4. a segur. 4.. Mnmzação do onsumo de potêna do sstema A potêna dsspada pelos motores de aonamento das rodas pode ser dvdda em duas parelas. Uma devdo ao efeto Joule que dependerá da resstêna elétra do motor e da orrente elétra que atravessa o motor dada onforme a Eq. 68 do Capítulo e a outra é devdo ao trabalho meâno do exo do motor, dada por: onde das rodas; ω ω P e = T T 3 P e = potêna devdo ao movmento do exo dos motores de aonamento T = torque do exo do motor da roda dado em N.m; T = torque do exo do motor da roda dado em N.m;

72 Controle de Tração 7 ω = velodade angular do exo do motor da roda dada em rad/s ; ω = velodade angular do exo do motor da roda dada em rad/s. Na presente abordagem a parela da potêna elétra dsspada será desprezada, assumndo que a resstêna elétra do motor é pequena, resultando assm que a potêna total dsspada pelo sstema em análse será gual a P e. Desta forma, a potêna total dsspada pelo sstema P T pode ser esrta da segunte forma: ω ω PT = Pe PT = T T 3 Consderando que não há deslzamento entre o exo dos motores e as rodas transmssão sem embreagem ou lmtadores de torque, as velodades angulares das rodas serão guas às dos exos. E omo as néras das rodas foram desprezadas, o torque do exo do motor de aonamento de uma dada roda será gual à força de atrto entre essa roda e o solo multplada pelo rao da mesma, ou seja: T = Fat r 33 Assumndo que, o ontrole rá sempre onsegur evtar o deslzamento das rodas, a velodade angular de uma roda do veíulo estará relaonada om o módulo da velodade lnear do entro desta roda da segunte forma: onde V ω = sgnω 34 r V = módulo da velodade lnear do entro da roda ; r = rao da roda. Substtundo as Equações 34 e 33 na Eq. 3, resulta em: P P T T V V = Fat r sgn ω Fat r sgn ω 35 r r = Fat ω ω 35a sgn V Fat sgn V P T = Fat ω ω 35b sgn V Fat sgn V P = Fat V Fat V 35 T

73 Controle de Tração Cálulo da potêna dsspada nas duas abordagens empregadas na análse do sstema Como o sstema fo analsado om duas abordagens dferentes, faz-se neessáro dervar a relação entre a potêna dsspada e as velodades dos entros das rodas para ada aso. L Fgura Velodades V e V. Analsando a Fg. pode-se verfar que V está relaonada om a velodade L V, que é a velodade do entro da roda na dreção longtudnal ao hass do veíulo, da segunte forma: L V V = 36 os γ A Eq. 36 é válda tanto para o modelo do veíulo omo orpo rígdo, quanto para a modelagem que onsdera as suspensões do veíulo flexíves. Assm, a equação da potêna total dsspada do sstema pode ser esrta de aordo om a Eq. 35, em ambas as abordagens do sstema, da segunte forma: L L V V P T = Fat Fat 37 os γ os γ

74 Controle de Tração 73 A expressão das velodades L V vara onforme o modelo empregado para análse do sstema, tendo omo onseqüêna a varação também da potêna dsspada P T. Dessa forma, é neessáro dervar a expressão da potêna dsspada para ada uma das abordagens empregadas para modelagem do sstema, onforme abaxo. que onde a Veíulo modelado omo orpo rígdo Como essa abordagem onsdera o veíulo omo um orpo rígdo, tem-se L V será: L L V V h & 38 = L V = velodade do entro de massa na dreção longtudnal ao hass do veíulo; Substtundo L L V por V d na Eq. 38, pos deseja-se que V = V d, resulta em: L V V h & 39 = d Observando a Eq. 39 pode-se verfar que uma vez defnda a velodade desejada V d, a velodade segunte, pos L V será onstante na transção deste estado para o L V depende do estado atual do sstema que já é onhedo, do perfl do terreno que também está fxado e da velodade desejada V d. De aordo om a Eq. 39 as velodades do entro das rodas, na dreção longtudnal ao hass, serão: L V Vd & 40 = h L V V & 4 = d h Assm, substtundo as velodades aluladas em 40 e 4 na Eq. 37 da potêna, resulta em: V & & d h Vd h PT = Fat Fat 4 os γ os γ Como as varáves de estado são onsderadas onstantes ao longo da transção de um estado j para o estado segunte j, somente varando os seus valores no nstante de hegada ao estado j, a Eq. 4 ama pode ser esrta da segunte manera: P T = Fat Fat 43

75 Controle de Tração 74 om V d h & 44 os γ V d h & 45 os γ Note que e são onstantes no estado atual do sstema. Assm, a Eq. 43 revela que a potêna dsspada pelo sstema será função das forças de atrto, ou seja, P = f Fat, Fat T. b Veíulo modelado om suspensão flexível Quando as suspensões do veíulo são modeladas omo flexíves na dreção transversal ao hass do mesmo, onsderam-se as velodades L V dadas por: L L V = V h ξ & 46 Conforme já menonado, tem-se que V = V, resultando no segunte valor L d de L V : L V = V h ξ & 47 d Substtundo =, na Eq. 47 enontram-se Desta forma, tem-se que: onde L V e L V, respetvamente. L V = ξ & Vd h 48 L V = ξ & Vd h 49 Substtundo as Equações 48 e 49 na Eq. 37, resulta em: V ξ & ξ & d h Vd h PT = Fat Fat 50 os γ os γ Analogamente à Eq. 43, P T pode ser esrta da segunte forma: P T = Fat Fat 5 V d h ξ & 5 os γ V ξ d h & 53 os γ

76 Controle de Tração 75 Como e dependem apenas do estado atual do sstema e do perfl do terreno, os mesmos podem ser onsderados onstantes na transção de estado, resultando assm que a potêna dsspada para o aso onde a suspensão do veíulo é modelada omo flexível será função apenas das forças de atrto, ou seja, P T = f Fat, Fat. Desta forma, onforme vsto nos tem a e b ama, a potêna dsspada pelo sstema P T pode ser esrta de uma forma geral omo: P T = Fat Fat 54 onde os oefentes das forças de atrto e rão depender da abordagem utlzada na resolução do problema.suspensão rígda ou flexível 4... Cálulo das Forças de Atrto que mnmzam a Potêna Total Dsspada O problema de mnmzação de P T é na verdade um problema de se ahar o mínmo de uma função em um domíno fehado, o qual será o onjunto Γ defndo anterormente. Como as forças de atrto Fat e Fat anddatas à solução do problema devem pertener ao onjunto Γ, as mesmas estão relaonadas, de aordo om a Eq. 8, da segunte manera: Fat K V V a η Fat 0 = p d L 0 η 55 Substtundo agora a Eq. 55 na Eq. 54, obtém-se: K V V a η Fat 0 p d L 0 T = Fat 56 η P Assm, P T é agora uma função de uma úna varável Fat, sendo que os possíves anddatos a ponto de mínmo, de aordo om Demdovth [6], serão: os pontos da frontera de Γ, os pontos onde a dervada de P T em relação a Fat é nula e onde a dervada não exste.

77 Controle de Tração 76 O domíno Γ pode ser esrto omo: Γ = Fat, Fat R K / Fat [ fat_mn, fat_max] e Fat = Assm, os pontos anddatos a mínmo serão: Pontos da frontera de Γ : p 0 V V a d L η 0 η Fat 57 K P = fat _ mn, K P = fat _ max, p p V d V d 0 V L 0 V Pontos onde a dervada de P T é nula ou não exste: L a 0 η fat _ mn η a 0 η fat _ max η dp De aordo om a Eq. 56 ama, pode-se verfar que T 0, para dfat todos os pontos Fat,Fat pertenentes a Γ. Pode-se verfar que dp T não é defnda em : dfat e Fat Fat = 0 60 K V V a 0 p d L 0 = 0 Fat = 6 η Os valores de Fat dados pelas Equações 60 e 6 rão gerar mas dos pontos, a saber: K P = 3 0, p V d 0 V η L a K p Vd VL a0 P =, 0 4 η 63 Sendo que para P 3 e P 4 serem anddatos a mínmo da função P T, os mesmos devem pertener a Г, ou seja, os valores de sua oordenada Fat devem pertener ao ntervalo [ fat _ mn, fat _ max]. Desta forma, as forças de atrto Fat o, Fat o que o ontrole aplará ao sstema serão as omponentes do ponto P tal que : o o o o P = Fat, Fat tal que mn PT = PT Fat, Fat em Γ, om =,

78 Controle de Tração 77 Assm, o ontrole proposto atuando de forma ndependente sobre o torque dos motores de aonamento das rodas onsegue fazer om que o robô vença os obstáulos ao longo do seu perurso através da manutenção de uma dada velodade desejada, evtando deslzamento e desolamento das rodas e saturação dos motores. Além dsso, se todas as ondções ama puderem ser satsfetas om mas de uma ombnação Fat, Fat, o ontrole proposto anda busa a solução que mnmza o onsumo de potêna. No próxmo apítulo será apresentado o smulador desenvolvdo para omprovar a efáa das ténas apresentadas.

79 Smulado 78 5 Smulador Para se observar o desempenho do ontrole de tração proposto em város tpos de terrenos, fo desenvolvdo um programa utlzando o software MatLab 6.5 para smular o movmento do veíulo robóto.a Fg. 3 lustra os módulos que ompõe esse smulador. Módulo I Entrada de dados do veíulo e terreno Módulo II Ajuste do robô ao solo orreção dos erros de segunda ordem Módulo V Cálulo do novo estado do sstema robóto Módulo III Cálulo dos parâmetros dnâmos Módulo IV Controle de tração Fgura 3 - Fluxograma representatvo do programa de smulação do sstema. A desrção detalhada de ada um desses módulos é feta abaxo. 5.. Módulo I: Entrada de dados do Sstema Este módulo é responsável pela entrada de dados do sstema, a qual é feta pelo usuáro, e pelo álulo da urva de entros do terreno. Os dados requerdos por este módulo são os seguntes:

80 Smulado Propredades físas e geométras do sstema analsado As propredades físas requerdas por este módulo são: Massa do veíulo robóto m: dada em [kg]; Momento de néra dnâmo I do entro de massa do veíulo em relação ao exo z: dado em [kg.m ]; Aeleração loal da gravdade g: dada em [m/s ]; Máxmo torque dsponblzado por ada motor T sat do veíulo: dado em [N.m]; Coefente de atrto estáto entre as rodas e o solo µ. Já as araterístas geométras requerdas do veíulo são: Rao das rodas r : dado em [m]; Comprmentos L e L, que representam as dstânas dos entros das rodas e, respetvamente, ao exo transversal ao hass do veíulo que passa pelo entro de massa do mesmo vde Fg. 0 do Capítulo ; Comprmentos h e h, que representam a dstâna dos entros das rodas e, respetvamente, ao exo longtudnal ao hass do veíulo e que passa pelo entro de massa do mesmo vde Fg. 0 do Capítulo. A partr desses dados, se alula o peso de veíulo e a máxma força de atrto que pode atuar no sstema devdo ao torque do motor de aonamento das rodas, onforme ndado abaxo: P = m g 65 Tsat Fsat = 66 r F sat é força de atrto máxma dsponblzada pelo torque das rodas que não satura os motores,sendo válda em ambos os sentdos de movmento das rodas do veíulo. Assm, a restrção para os possíves valores da força de atrto entre uma dada roda e o solo, dada pela saturação do motor, é a segunte: F Fat F 67 sat a qual pode ser esrta de uma forma mas ompata, omo: sat Fat F sat 68

81 Smulado Perfl do terreno O perfl do terreno a ser usado na smulação é obtdo de forma dsretzada através do fornemento de um arquvo de dados ontendo pontos P = x,y, onde x é a dstâna horzontal deste ponto a um referenal fxo e y é a altura do ponto, também medda em relação a um referenal fxo. A dstâna em x de dos pontos onseutvos P e P é onstante e gual a dx, e x pertenerá a um ntervalo da forma [a,b]. Todos os perfs utlzados nas smulações realzadas são funções, ou seja, os pontos serão do tpo: P = x, f x 69 A Fg. 4 lustra um perfl de terreno utlzado na smulação. Na práta os valores de dx são bem menores que os da fgura, para não omprometer a presão da smulação. Fgura 4 - Exemplo de um perfl de terreno utlzado na smulação Curva de Centros Este módulo alula anda os pontos pertenentes à urva de entros, a partr dos pontos do perfl do terreno. A urva de entros, omo menonada no Capítulo, é omposta por todos os pontos do plano x-y que o entro de uma dada roda do robô poderá oupar, quando a mesma estver em ontato om o solo. Para se alular essa urva onsdera-se, a pror, que todo ponto do perfl do terreno pode ser um ponto de ontato entre uma dada roda do veíulo e o solo. Assm, para ada ponto P = x,y do perfl do terreno alulam-se as oordenadas artesanas x,y que uma das rodas do veíulo deverá ter para que P seja um ponto de ontato. Como as rodas do veíulo são modeladas omo írulos,o ponto x,y será o entro desta runferêna e estará a uma dstâna r rao da roda do

82 Smulado 8 ponto P, além dsso a reta que passa por x,y e P será a reta normal ao perfl do terreno no ponto P. Desta forma, para se alular as oordenadas do ponto x,y pertenente à urva de entros, basta alular o ponto sobre a normal ao perfl do terreno no ponto P que está a uma dstâna r deste Fg. 5. Fgura 5 - Obtenção do ponto x,y da urva de entros. A normal n a uma urva em um dado ponto P = x,y, é dada de aordo om Kreyszg [8] da segunte forma: C n = 70 C Sendo C = y f x = 0 7 r r C = f x j 7 C = [ f x ] 73 onde r = vetor untáro na dreção do exo x; r j = vetor untáro na dreção do exo y; f x = dervada espaal de fx em x = x. Substtundo as Equações 7 e 73 na Eq. 70, resulta o segunte valor para n: n = f x r [ f x ] [ f x ] r j 74

83 Smulado 8 Sendo R= r.n, o vetor de P = x,y a P = x,y, o mesmo pode ser alulado omo: R, y y x x P P P P = = = 75 Através da Eq. 74, R pode ser esrto omo: R = j x f x f x f r r r ] [ ] [ 76 R = = ] [, ] [ ] [ ] [ x f r x f r x f j x f r x f r x f r r 77 Assm, da Eq. 75 e da Eq. 77 enontra-se o segunte: = ] [, ] [, x f r x f r x f y y x x 78 ] [ = x f r x f x x 79 ] [ = x f r y y 80 As Equações 79 e 80 ama mostram que, para o álulo de x e y, ada ponto P da função fx deve ser dferenável em todo o domíno de x. No entanto, nem sempre fx será dferenável em todo o seu domíno, sendo que os pontos f x não for defnda serão tratados de uma forma aproprada para obter os pontos da urva de entros assoada. Para a urva de entros ser uma urva representatva de uma função, ou seja, x g y =, x deve ser resente. Para garantr que x seja resente, tem-se que: > 0 dx dx 8 = ] [ x f r x f x dx d dx dx 8 = ] [ x f x f dx d r dx dx 83

84 Smulado 83 Sendo onde: Resulta que: d dx dx dx f x = [ f x ] = r f x 3 [ f x ] Contudo, de aordo om Demdovth [6]: f x [ f x ] 3 R x = R x = rao de urvatura de fx em x. Assm, de 8,85 e 86 resulta que: r 0 R > x f x 3 [ f x ] r > 88 R x Para urvaturas postvas, ou seja, a urva ter onavdade para ma em x, a desgualdade 88 resulta em: R x r 89 > Sendo que para urvaturas negatvas a desgualdade 88 não se apla, pos os pontos da urva de entros sempre são tomados no sem-plano superor à urva do perfl do terreno. Assm, para que a urva de entros seja uma função, o rao de urvatura da urva do perfl do terreno nos pontos em que a mesma tenha onavdade para ma tem que ser maor que o rao da roda, para R dferente de zero. Quando R x =0, fx será uma reta na regão em que se enontra x, e dessa forma não haverá problema para determnar x. O resultado ama obtdo, no entanto, serve apenas para pontos em que fx seja dferenável. Os pontos em que fx não possu dervada, assm omo os pontos em que o rao de urvatura do perfl do terreno for menor que o rao da roda, devem ser tratados de uma forma espeal omo mostrado a segur, para que a urva de entros seja uma função.

85 Smulado Pontos em que 0 < R < r Sempre que R for postvo e menor que o rao da roda, haverá uma stuação lmte na qual a roda do veíulo fará ontato om o terreno em dos pontos P e P f, onforme mostra a Fg. 6, e todo ponto pertenente à urva do perfl do terreno entre P e P f não poderá ser ponto de ontato entre a roda do robô e o terreno, não tendo assm ponto orrespondente na urva de entros. Já P e P f terão o mesmo ponto orrespondente na urva de entro. Fgura 6 - Pontos de ontato quando R < r. Para se resolver este problema, o algortmo que gera a urva de entros, após alular o valor de x assoado a um ponto do perfl do terreno P = x,y, faz a segunte verfação: S : x é menor que o seu anteessor, ou seja, se x < x - Dependendo se a sentença S for verdadera ou falsa, o algortmo realza as ações desrtas nas letras a e b abaxo, respetvamente. a Se S for verdadera o algortmo faz uma varredura em todos os pontos anteessores a x até enontrar um x k tal que x k < x. Após enontrar x k toma-se o valor y k e o ponto P do perfl do terreno assoados a tal valor de x, sendo que esses pontos já estão armazenados na urva de entros. Já o ponto P f é enontrado da segunte forma, a partr de P = x,y alulam-se os valores dos x j dos pontos subseqüentes a P até que se enontre um x h tal que x h > x k. Nesse aso o ponto P j =x j,y j do perfl do terreno assoado a x h,y h será o ponto P f. Todos os

86 Smulado 85 pontos do perfl do terreno entre P e P f não possurão pontos assoados na urva de entros. b Se S for falso, então alular-se-á o valor de y através da Eq. 80 assoado ao ponto P e então o ponto x,y será armazenado omo um ponto da urva de entros orrespondente ao P do perfl do terreno. Através do algortmo ama, pode-se detetar a stuação de degeneração da urva de entros sem a neessdade de se alular a segunda dervada de fx Pontos em que fx não possu dervada espaal As Equações 79 e 80 não se aplam para o álulo das oordenadas x e y da urva de entros nos pontos da urva do perfl do terreno em que fx não possu dervada. Por sso, os pontos do perfl do terreno que não possuem dervada devem ter um tratamento espeal, sendo que para faltar a análse de tal stuação esses pontos serão dvddos em dos grupos, a saber: a Pontos x,fx que não possuem dervada e que exste um número real ε postvo e tão pequeno quanto se quera, tal que f x ε > f x ε. Nesse tpo de aso a roda do veíulo rá grar em torno desse ponto omo se a mesma estvesse pvotada nele, e a trajetóra do entro desta roda será um aro de runferêna om entro em x,fx, omo mostrado na Fg. 7. Fgura 7 - Stuação de ponto de degeneração da urva do perfl do terreno em que a roda gra em torno do mesmo.

87 Smulado 86 Assm, em tas asos um úno ponto x,fx terá assoado a s na urva de entros um aro de runferêna. Para defnr esse aro de runferêna é preso determnar o valor de seu ângulo entral θ. De aordo om a Fg. 8, θ pode ser alulado da segunte forma: θ = π 90 Fgura 8 - Relação entre θ, e. Sendo que, e são dados por: a tan f x 9 = ε a tan f x 9 = ε As oordenadas x e y dos pontos do aro de runferêna gerado por este tpo de degeneração serão: onde x y = x r os λ k 93 = y r sen λ 80 k λ k, ] 8 [ θ O programa mplementado utlza dez pontos para gerar o aro de runferêna dsretzado, ou seja, k =,..,0. b Pontos em que fx não possu dervada e exste um número real ε postvo e tão pequeno quanto se quera, tal que f x ε < f x ε. Neste tpo de stuação, oorrerá assm omo no aso em que o rao de urvatura é menor que o rao da roda, que a mesma rá possur dos pontos de ontato om o solo Fg. 9. Sendo que os pontos do terreno que se enquadrarem neste aso terão um tratamento gual ao dos pontos analsados no tem

88 Smulado 87 Fgura 9 - Grupo de pontos degenerados em que f x ε < f x ε. Os pontos da urva de entros junto om os pontos da urva do perfl do terreno assoados àqueles são armazenados em uma tabela hamada Tab_urva_entros. Os ampos de Tab_urva_entros são: P ; P. x = valor x do ponto de ontato P na urva do terreno; y = valor y do ponto de ontato P na urva do terreno; x_ = valor x pertenente à urva de entros assoado ao ponto de ontato y_ = valor y pertenente à urva de entros assoado ao ponto de ontato Estado nal O estado nal do veíulo deve ser nformado pelo usuáro a este módulo, om exeção do ângulo de nlnação nal do robô para o modelo de orpo rígdo do sstema, que é alulado pelo programa. Assm, o usuáro deve entrar om x y,, x&, y&, &, sendo que para o modelo de orpo rígdo o usuáro não, nforma, pos o mesmo é alulado pelo programa. O álulo do ângulo de nlnação nal 0 do robô no modelo de orpo rígdo é feto de aordo om o proedmento a segur. Através do onhemento das oordenadas do entro de massa CM do veíulo robóto x,y, faz-se o robô rotaonar em torno deste ponto, om pertenente ao ntervalo ]-π/, π/[ até se enontrar um ângulo 0 que mnmze a soma das dstânas em y dos entros das rodas à urva de entros Fg. 30.

89 Smulado 88 Assm, 0 é dado por: 0 é tal que E 0 = mn E, e E = E E 8 E E g x y = 83 g x y = 84 ou seja, o programa rá busar o ângulo de rotação do robô em torno de seu CM que resulte em um melhor ajuste do robô ao solo. Fgura 30 - Parâmetros envolvdos no ajuste nal do ângulo 5.. Módulo II: Ajuste do veíulo robóto Este módulo tem a tarefa de ajustar o robô ao terreno, sendo que o mesmo possu duas mplementações, uma para o modelo do veíulo omo orpo rígdo e a outra para o veíulo modelado om suspensão flexível Implementação para o modelo de orpo rígdo Para o modelo de orpo rígdo é neessáro ajustar as oordenadas x y, do veíulo a ada novo estado alulado, devdo ao álulo das, mesmas ser aproxmado e não exato, pos a ada passo de teração exstrão erros de segunda ordem que presam ser elmnados aso ontráro o veíulo desolara do terreno, mesmo om normas postvas, o que sera mpossível. Esse ajuste se faz através da fxação do entro das rodas do veíulo robóto sobre a urva de entros, pos sempre que sso oorrer resultará que as rodas do robô estão em

90 Smulado 89 ontato om o solo em um úno ponto, e por onseqüêna o robô estará ajustado ao terreno Fg. 3. Fgura 3 Ajuste do veíulo através da fxação do entro das rodas sobre a urva de entros gx. Para fazer esse ajuste, fxa-se a oordenada x e alulam-se os novos valores de y e que melhor ajustem o robô ao terreno. Para sso, proura-se um ângulo no ntervalo ] π /, π / [ que faça om que os erros E e E defndos em 83 e 84, respetvamente, tornem-se guas. Assm, para o ângulo de nlnação do veíulo resultará o segunte: Defnndo: E = E E E 0 85 = de = E E 86 O ângulo será então a raz da função de em torno do ângulo, ou então pode-se esolher um erto valor de tolerâna tol tal que: de tol 87 E será o ângulo que torna a Eq. 87 verdadera. Uma vez enontrado, alula-se o erro médo E e o valor de mostrado abaxo: y omo E E E = 88 y = y E 89

91 Smulado 90 Após alular e sendo o seus novos valores os seguntes: N y atualza-se as oordenadas x, y, do sstema, x = x 90 y = y 9 N N = 5... Implementação para o modelo de suspensão flexível 9 Neste modelo, o veíulo possu dos graus de lberdade adonas, e por sso as oordenadas generalzadas não presam ser orrgdas a ada teração devdo a erros de segunda ordem. O úno álulo que preso ser realzado é o do desloamento das suspensões, pos as mesmas é que rão ajustar o veíulo ao solo. Devdo às néras das suspensões e das rodas serem desprezadas, as suspensões nuna poderão se dstender, podendo somente estar em ompressão ou relaxadas. Desta forma, uma suspensão deve ter: ξ 0 93 O desloamento ξ da suspensão é alulado da segunte forma: a partr do onhemento das oordenadas generalzadas do sstema x as oordenadas do entro da roda x, y, y,, alulam-se através da nterseção entre a reta normal ao hass do veíulo passando por P ponto em que a suspensão da roda é fxada ao hass do robô e a urva do perfl do terreno fx, onforme mostra a Fg. 3. Fgura 3 - Esquema para o álulo do entro da roda C.

92 Smulado 9 Após se alular C = x, y ξ, enontra-se ξ através da Eq. 94 abaxo. x x sen y y os 94 = Assm, alulando C e C e substtundo =, na Eq. 94, enontra-se: ξ ξ x x sen y y os 95 = x x sen y y os 96 = Como já menonado anterormente, se algum dos desloamentos ξ ou ξ alulados através de 95 e 96 for maor que zero, então altera-se o seu valor para zero e as oordenadas do entro da roda assoada serão dadas pelas Equações e ou 3 e 4, respetvamente, e a roda assoada om ξ = 0 desolou do terreno Módulo III: Cálulo dos parâmetros do problema dnâmo Este módulo é responsável pelos álulos dos parâmetros para a resolução do problema dnâmo assoado ao robô. Esses parâmetros são desrtos a segur Ângulos e pontos de ontato O ângulo de ontato γ e o ponto de ontato x, y assoados a roda, são alulados a partr da oordenada x do entro da roda x. Sendo que as oordenadas do ponto de ontato na urva do perfl do terreno é enontrado através de uma nterpolação lnear na tabela que armazena os pontos da urva de entros e os seus pontos assoado na urva do perfl do terreno Tab_urva_entros, omo abaxo: p = x x x 97 x x y = x p x 98 = y p y 99 onde x = valor do ampo x_ da tabela Tab_urva_entros medatamente maor ou gual a x ; x = valor do ampo x_ da tabela Tab_urva_entros medatamente menor ou gual a x ;

93 Smulado 9 x ; x. x = valor do ampo x_ da tabela Tab_urva_entros assoado a x ; x = valor do ampo x_ da tabela Tab_urva_entros assoado a y = valor do ampo y_ da tabela Tab_urva_entros assoado a x ; y = valor do ampo y_ da tabela Tab_urva_entros assoado a O ângulo de ontato será: y y γ = a tan 300 dx Parâmetros de restrção e taxa de desloamento da suspensão Se o modelo utlzado para a representação do robô for o de orpo rígdo, então se alularão os parâmetros de restrção, por: A E g sen L sen g h 30 os os [os g sen h sen g os L ] g x 30 x dx g x g g = 303 dx x dx g x g g = 304 dx Se γ γ então alula-se: A E h 305 os g sen L sen g os & & 306 [ sen g os L os g sen h ] g x x dx g x g g = 307 dx x dx g x g g = 308 dx Já se o modelo for de suspensão flexível, então alulam-se as taxas de desloamento no tempo das suspensões & ξ e & ξ, omo mostrado abaxo: & ξ = [tan γ os sen] x& [ h ξ tan γ x x [tan γ sen os] y& os y y & sen] & & 309 & ξ γ & γ & = [tan os sen ] x [tan sen os ] y 30 [ h ξ tan γ x x os y y sen] &

94 Smulado Módulo IV: Controle de Tração Esse módulo mplementa o ontrole de tração proposto, tendo assm omo tarefa alular as forças de atrto que devem agr em ada roda para que o veíulo tenha o movmento desejado. A velodade desejada V d e o ganho proporonal ontrole K são dados de entrada desse módulo, sendo os álulos realzados desrtos a segur: Parâmetros assoados à V d Os parâmetros assoados a V d que presam ser alulados são: p 0 V L, η, η, a0. A velodade 0 VL é dada por: 0 V L = x& os y& sen 3 Já os valores dos outros parâmetros rão depender da modelagem aplada ao sstema, assm tem-se: a Modelo de orpo rígdo. onde os oefentes b Modelo de suspensão flexível. η = g os g sen 3 η = g os g sen 3 a0 = e os e sen 33 gj e e k estão espefados no Capítulo 4. η = m os γ 34 η = m os γ 35 a0 = ζ os ζ sen P sen 36 onde os oefentes ζ e ζ são dados pelas equações e, respetvamente, do Capítulo 4.

95 Smulado Geração da Regão Γ das Fat s que podem ser apladas ao sstema A regão Γ está defnda em 9 do Capítulo 4, sendo que a mesma engloba todos os pares Fat,Fat que satsfazem às seguntes ondções: não saturação dos motores de aonamento das rodas, não desolamento das rodas, não deslzamento e ontrole da velodade desejada V d. Essa regão Γ, se exstr, será um segmento de reta no plano Fat x Fat onforme vsto na Fgura do Capítulo 4 e será alulada de forma separada para ada um dos modelos aplados na análse do sstema robóto Geração de Γ para o modelo de suspensão flexível No modelo de suspensão flexível, pode-se prmero gerar o domíno D, formado pelas desgualdades: Fat Fsat Fat F, ondção de não saturação do motor; e sat N > ε e N > ε, ondção de não desolamento das normas. Sendo ε um valor lmte espefado pelo usuáro para as forças normas; rodas. Fat µ N e Fat µ N, ondção de não deslzamento das Neste modelo, as forças normas N e N podem ser esrtas, onforme as Equações 97 e 98 do Capítulo 3, omo: onde N 37 = Λ Fat Σ N 38 = Λ Fat Σ Λ = tan γ 39 Λ = tan γ 30 Σ Σ K ξ & ξ = os γ K ξ & ξ = os γ 3 3

96 Smulado 95 Como nas equações das forças normas as Fat s não se enontram aopladas, a regão D que é formada pela nterseção dos três retângulos defndos por a, também será um retângulo no plano Fat x Fat. Assm, as forças de atrto Fat e Fat que ompõem o domíno D pertenerão a ntervalos reas, que serão denomnados I e I, respetvamente, onde. I = [ fat _ mn, fat _ max] 33 I = [ fat _ mn, fat _ max] 34 Como D será um retângulo e a regão Γ resulta em segmento de reta, a mesma fará defnda pelo onhemento das nterseções entre os lados de D e a reta utlzada pelo ontrole para gerar V d : η η a 35 0 Fat Fat = K p Vd VL Fat = K p V d 0 V a η L 0 η Fat η 0 36 Se após esses álulos Γ resultar em um onjunto vazo, sgnfa que a velodade desejada não poderá ser obtda dentro das ondções mpostas pelo ontrole. Neste aso, as forças de atrto serão esolhdas de forma a resultar em uma velodade longtudnal ao hass do veíulo mas próxmo possível de V d, ou seja, Fat e Fat serão esolhdas de forma a mnmzar : dv L = V d V L = V d η Fat η Fat K p a 0 0 V L 37 O par Fat, Fat que rá mnmzar a Eq. 37 será um dos vértes do retângulo que representa a regão D, ou seja, um dos pontos abaxo: P = fat _ mn, fat _ mn 38 P = fat _ mn, fat _ max 39 P 3 = fat _ max, fat _ mn 330 onde P 4 = fat _ max, fat _ max 33 P = Fat, Fat 33 Geometramente, o resultado ama é equvalente a afrmar que o ponto de um retângulo mas próxmo a uma reta genéra externa a ele será sempre um de seus vértes.

97 Smulado 96 Assm, o valor de o Fat e o Fat envado pelo ontrole ao módulo de álulo do novo estado do sstema será o do ponto P =,..,4 que mnmzar a Eq. 37. Contudo, se Γ for dferente de vazo todos os seus pontos satsfarão às ondções, e ama e anda a ondção de ontrole de velodade, sendo que dentre estas nfntas ombnações de Fat e Fat podem-se esolher aquelas que por exemplo, mnmzam a potêna requerda Cálulo de Γ para o modelo de orpo rígdo. As restrções a do tem ama, que geram a regão D, também são empregadas no álulo de Γ para o modelo de orpo rígdo. Neste modelo as normas N e N são, onforme a Eq. 65 do Capítulo, da segunte forma: onde N = 333 H Fat H Fat U N = 334 H Fat H Fat U H j = elemento da -ésma lnha e j-ésma oluna da matrz H defnda em 63 do Capítulo ; U = -ésmo elemento do vetor U defndo em 64 do Capítulo. Através de 333 e 334 verfa-se que as forças de atrto se enontram aopladas nas expressões que alulam as normas, sendo muto dfíl, portanto, se alular a regão D de forma solada. Por sso, é preferível agrupar as ondções e do tem om a equação da velodade desejada e gerar dretamente Γ. Note que, no aso de suspensão rígda, a regão D é sempre um polígono. Assm, proede-se dreto ao álulo dos ntervalos I e I das Fat e Fat que formarão Γ, utlzando as seguntes ondções: a Fat Fsat e Fat Fsat ; b N > ε e N > ε ; Fat µ N e Fat µ N ; η η 0 d Fat Fat = K p Vd VL a0

98 Smulado 97 Do tem d ama, resulta a segunte relação entre Fat e Fat : Fat = K p V d 0 V a η L 0 η Fat η 335 Substtundo o valor de Fat dado pela Eq. 335 nas desgualdades a a ama, e resolvendo para Fat as desgualdades resultantes enontra-se I = fat _ mn, fat _ max] e utlzando novamente a Eq. 335 enontra-se [ I = fat _ mn, fat _ max]. Se I ou I resultar em um onjunto vazo, [ sgnfa que V d não poderá ser obtda e a ondção d ama não será mas válda. a função Quando sto aonteer, o programa rá busar o par Fat,Fat que mnmze dv L dada pela Eq. 37. Para sso, o programa prmero rá dsretzar o retângulo resultante da ondção a ama n_pts pontos. Em seguda rá seleonar todos os pontos que obedeem às ondções b e ama, gerando assm o onjunto D e então rá tomar o ponto pertenente a D que esteja mas próxmo à reta de V d, defnda pela ondção d ama, onforme mostra a Fg. 33. Fgura 33 Reta assoada à velodade V L mas próxma de V d. Assm, os valores das forças de atrto serão as omponentes do ponto que mnmzar: o Fat e o Fat empregadas ao sstema dv L = V d V L = V d η Fat η Fat K p a 0 0 V L 336 Já se I e I forem ambos dferentes de vazo, haverá nfntas soluções para se ontrolar a velodade, e nesse aso pode-se esolher as forças de atrto que otmzem o onsumo de potêna.