MAF 1292 Eletricidade e Eletrônica

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ESCOLA DE CIÊNCIAS EXATAS E DA COMPUTAÇÃO - ECEC Professores: Renato Medeiros MAF 1292 Eletricidade e Eletrônica NOTA DE AULA I Goiânia 2018

2 CAPACITORES Um capacitor (ou condensador) é constituído por dois condutores separados por um isolante, onde os condutores são chamados de armaduras (ou placas do capacitor) e o isolante é o dielétrico do capacitor. Quando um capacitor está carregado, cada uma das duas placas contêm cargas de mesmo módulo e sinais oposto (+q e q). Entretanto, quando nos referimos à carga q de um capacitor, estamos falando do módulo da carga de uma das placas e não da carga total do capacitor (a carga total em um capacitor é sempre zero). Símbolo do capacitor Capacitância de capacitor A capacitância, C, de um capacitor pode ser definida como a razão entre a carga Q de qualquer dos condutores e o módulo da diferença de potencial, V, entre os condutores. Para um determinado capacitor esta razão permanece constante. onde : Q C Q VC V C = é a capacitância do capacitor Q = é a carga de uma das armaduras do capacitor V = é a diferença de potencial entre as placas do capacitor Unidade de capacitância no S.I. A unidade de capacitância (S.I) é o Coulomb por Volt. Esta unidade é chamada de farad (F), em homenagem ao Físico britânico Michael Faraday coulomb / volt = farad ( F ) Observação:

3 O farad é uma unidade muito grande, por isso usamos constantemente seus submúltiplos: 6 F microfarad 10 F 9 nf nanofarad 10 F 12 pf picofarad 10 F Carregando ou descarregando um capacitor: O capacitor não carrega linearmente e nem descarrega linearmente. Capacitor de Placas Paralelas O tipo mais comum de capacitor consiste em duas placas condutoras e paralelas, separadas por uma distância pequena em relação às dimensões da placa. Se as placas estiverem

4 suficientemente próximas podemos desprezar a deformação do campo elétrico próximo às bordas das placas, e o campo elétrico entre as placas pode ser considerado uniforme. A capacitância de um capacitor de placas paralelas depende diretamente da área das placas e inversamente da distância de separação entre elas, sendo dada por: A C d d onde : A = é a área da superfície das placas d = é a distância entre as placas No vácuo, temos que: o 8,85 10 C / Nm Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de raio 8,2 cm e separação 1,3 mm. (a) Calcule sua capacitância. (b) Que carga aparecerá sobre as placas se a diferença de potencial aplicada for de 120 V? r 8, 2cm d 1,3mm V 120V a) 2 8,2x10 2 A C o 8,85x10 143, 7310 F 3 d 1,3 x10 b) 12 9 q CV 143, 73x10 F , 2510 C 2. Sejam duas placas metálicas planas, cada uma de área 1,00 m2, com as quais desejamos construir um capacitor de placas paralelas. Para obtermos uma capacitância de 1,00 F, qual deverá ser a separação entre as placas? Será possível construirmos tal capacitor? 3. Duas placas paralelas de folha de alumínio têm uma separação de 1,0 mm, uma capacitância de 10 pf e estão carregadas a 12 V. (a) Calcule a área da placa. Mantendo-se a carga constante, diminuímos a separação entre as placas de 0,10 mm. (b) Qual é a nova capacitância? (c) De quanto varia a diferença de potencial?

5 Associação de capacitores em série Numa associação de capacitores em série, a placa negativa de um capacitor está ligada à placa positiva do seguinte. Sendo que, se uma diferença de potencial V for aplicada em uma associação de capacitores em série, a carga q armazenada é a mesma em cada capacitor da associação e a soma das diferenças de potencial aplicada a cada capacitor é igual à diferença de potencial V aplicada na associação. Capacitores ligados em série podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga q e a mesma diferença de potencial V aplicada à associação. Para três capacitores em série temos que:

6 V V V V T T qt q1 q2 q C C C C série : q q q q C C C C T T Temos que: Todos os capacitores estão carregados com a mesma carga. A diferença de potencial VAB é igual à soma das voltagens de cada capacitor. Este resultado pode ser generalizado para n capacitores C Associação de capacitores em paralelo N 1 1 T i1 C Numa associação de capacitores em paralelo, todas as armaduras positivas estão ligadas a um mesmo ponto, assim como todas as negativas estão ligadas a outro ponto comum. Quando uma diferença de potencial V é aplicada em uma associação de capacitores em paralelo, a diferença de potencial V é a mesma entre as placas de cada capacitor, e a carga total q armazenada na associação é a soma das cargas armazenadas em cada capacitor. Capacitores ligados em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga total q e a mesma diferença de potencial V aplicada à associação. Para três capacitores em paralelo temos que: i

7 q q q q T T T C V C V C V C V paralelo : V V V V T C C C C T Temos que: A voltagem é a mesma em todos os capacitores. A carga armazenada no capacitor equivalente é igual à soma das cargas de cada capacitor. Este resultado pode ser generalizado para n capacitores C T N i1 Ci 4. Quantos capacitores de 1,0 μf devem ser ligados em paralelo para acumularem uma carga de 1 C na associação? Considere que a ddp aplicada à associação seja de 110 V. V 110 V; C=1F; q=1c AB Vamos determinar a capacitância equivalente. q 1 Ceq F V 110 AB Como a capacitância equivalente é a soma das capacitâncias, temos que: 1 6 Ceq nc n110 n 9090,9 capacitores Um capacitor de capacitância C 1 = 6,00 F é ligado em série com outro de capacitância C 2 = 4,00 F e uma diferença de potencial de 200 V é aplicada através do par. (a) Calcule a capacitância equivalente da associação. (b) Qual é a carga sobre cada capacitor? (c) Qual é a diferença de potencial através de cada capacitor?

8 6. Um capacitor de capacitância C 1 = 6,00 F é ligado em paralelo com outro de capacitância C 2 = 4,00 F e uma diferença de potencial de 200 V é aplicada através do par. (a) Calcule a capacitância equivalente da associação. (b) Qual é a carga sobre cada capacitor? (c) Qual é a diferença de potencial através de cada capacitor? 7. Para a associação representada na figura abaixo, considerando C 1 = 10,0 F, C 2 = 5,00 F, C 3 = 4,00 F e V = 100 V determine (a) a capacitância equivalente. (b) a carga, (c) a diferença de potencial e (d) a energia armazenada para cada capacitor.

9 C 1 e C 2 estão em série, portanto: C C C C C 12 está em paralelo com C 3, portanto: 6 F Ceq C C Ceq 7,33 10 F 3 8. Para a associação representada na figura abaixo, considerando C 1 = 10,0 F, C 2 = 5,00 F, C 3 = 4,00 F e V = 100 V determine (a) a capacitância equivalente, (b) a carga, (c) a diferença de potencial e (d) a energia armazenada para cada capacitor.

10 9. A figura abaixo mostra dois capacitores em série, cuja seção central, de comprimento b, pode ser deslocada verticalmente. Mostre que a capacitância equivalente dessa combinação em série é independente da posição da seção central e é dada por C A 0 a b Energia potencial elétrica armazenada por um capacitor Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um capacitor. O trabalho necessário para carregar o capacitor é armazenado na forma de energia potencial, U, no capacitor, sendo que, esta energia pode ser recuperada, descarregando-se o capacitor em um circuito. A energia potencial de um capacitor carregado pode ser considerada armazenada no campo elétrico entre suas placas. Vamos determinar a expressão para calcular esta energia Tomemos um capacitor com uma carga inicial q ' ' ' q V C E queremos colocar mais carga nesse capacitor. Para isso precisamos realizar trabalho, ou seja, ligar uma bateria, por exemplo, para fazer isso. Então:

11 U 1 CV Dois capacitores, de capacitâncias C 1 = 2 μf e C 2 = 4 μf, são ligados em paralelo através de uma diferença de potencial de 300 V. Calcular a energia total armazenada nos capacitores. C1 2F C2 4F V 300V paralelo UT U U C C V U T 0,27J Capacitores com um Dielétrico Se o espaço entre as placas de um capacitor for completamente preenchido com um material dielétrico, a capacitância do capacitor aumenta de um fator k, chamado de constante dielétrica, que é característica do material. Em uma região que está completamente preenchido por um dielétrico, todas as equações eletrostáticas que contém 0 (constante de permissividade no vácuo) devem ser modificadas, substituindo-se 0 por k 0. O uso de um dielétrico em um capacitor apresenta uma série de vantagens. A mais simples destas é que as placas condutoras podem ser colocadas muito próximas sem o risco de elas entrarem em contato. Além disto, qualquer substância submetida a um campo elétrico muito alto pode se ionizar e se tornar um condutor. Os dielétricos são mais resistentes à ionização que o ar, deste modo um capacitor contendo um dielétrico pode ser submetido a uma tensão mais elevada. Qual a nova capacitância ( C ) devido ao uso do dielétrico entre as placas? O dielétrico enfraquece o campo (devido ao campo induzido no dielétrico) e com isso a capacitância aumenta. A nova capacitância será: ' C KC ar

12 Onde: K é a constante dielétrica do meio e C ar a capacitância com o ar ou vácuo. 11. Um capacitor de placas paralelas com ar entre as placas, possui uma capacitância de 1,3 pf. A separação entre as placas é duplicada e introduz-se cera entre elas. A nova capacitância é igual a 2,6 pf. Determine a constante dielétrica da cera. 12. Um capacitor de placas paralelas, preenchido com ar entre elas, possui capacitância de 50 pf. (a) Se cada uma de suas placas possuírem uma área de 0,35 m 2, qual a separação entre as placas? (b) Se a região entre as placas for agora preenchida com um material tendo k = 5,6, qual a nova capacitância?

13 13. Uma certa substância tem uma constante dielétrica de 2,8 e uma rigidez dielétrica de 18 MV/m. Se esta substância for usada como dielétrico de um capacitor da placas paralelas, qual deverá ser, no mínimo, a área das placas do capacitor para que a capacitância seja 0, 07 μf e o capacitor suporte uma diferença de potencial de 4 kv? A rigidez dielétrica é o valor máximo do campo elétrico entre as placas. A 0,63m 2 CORRENTE ELÉTRICA Estudamos anteriormente os fenômenos que pertencem ao campo da eletrostática, ou seja, com cargas estacionárias. Iniciaremos o estudo de fenômenos elétricos relacionados com cargas em movimento, isto é, estamos começando o estudo das correntes e circuitos elétricos. Apesar de corrente elétrica ser gerada por cargas em movimento, nem sempre as cargas em movimento constituem uma corrente elétrica. Para que haja uma corrente elétrica através de uma superfície, tem de haver um fluxo resultante de cargas através dessa superfície. A condição fundamental para que haja uma corrente elétrica entre dois pontos de um circuito fechado é que tenhamos uma diferença de potencial elétrico (voltagem) entre estes pontos. Esta ddp pode ser gerada por uma bateria. Como está representado na figura abaixo

14 Sentido convencional da corrente elétrica O sentido convencional da corrente elétrica é escolhido como sendo o sentido do movimento de cargas positivas. Então, uma seta indicando o sentido convencional da corrente elétrica é desenhada no sentido no qual se moveriam portadores de carga positiva, mesmo que os verdadeiros portadores de carga sejam negativos e se movam no sentido contrário. Devemos lembrar que carga negativa desloca-se espontaneamente para pontos de maior potencial elétrico, o que justifica a necessidade de uma diferença de potencial. Devemos observar que a corrente elétrica é uma grandeza escalar, apesar de usarmos setas para indicar o seu sentido. Estas setas não são vetores e sua soma é escalar. Intensidade da corrente elétrica (i) A intensidade da corrente elétrica é a medida da quantidade de carga que passa, por unidade de tempo, através de uma seção do condutor. Para o caso de um fluxo de corrente constante, temos que: Quando uma quantidade de carga Q passa através da secção de um condutor, durante um intervalo de tempo t, a intensidade de corrente i nesta secção é dada por: Q i t Quando a taxa de fluxo de carga não for constante, podemos generalizar a definição de corrente usando-se as derivadas. A corrente instantânea i é definida como dq i dt Unidade de corrente elétrica A unidade de corrente no SI, Coulomb por segundo, é chamada de ampère (A), em homenagem ao Físico Francês André Marie Ampére. Pequenas correntes são convenientes 3 6 expressas em miliampères ( ma 10 A ) ou em microampères ( A 10 A).

15 14. Uma corrente de 5,0 A percorre um resistor de 10 durante 4,0 min. Quantos (a) coulombs de carga e (b) elétrons passam através da seção transversal do resistor nesse intervalo de tempo? i 5 A, R 10 t 4 min 240s a) q i q q 1200C t b) 1200 q ne n n 19 1, ,5 10 elétrons 15. A corrente num feixe de elétrons de um terminal de vídeo é de 200 μa. Quantos elétrons golpeiam a tela a cada segundo? i 200 A t 1s 4 q ne it i n n 19 t t e 1, , elétrons RESISTÊNCIA ELÉTRICA Se aplicarmos a mesma diferença de potencial entre as extremidades de fios de mesmas dimensões, mas de materiais diferentes, teremos correntes diferentes passando pelos fios. A característica do condutor a ser considerada aqui é a resistência elétrica, que caracteriza a oposição que um condutor oferece à passagem de corrente através dele. Quando uma voltagem VAB é aplicada nas extremidades de um condutor, estabelecendo nele uma corrente elétrica i, a resistência deste condutor é dada pela relação: V AB R VAB R. i i Unidade de resistência no SI: A unidade de resistência no SI é o Volt por ampère. Esta unidade é denominada ohm () 1V/A = 1 ohm = 1 Resistividade de um material

16 É comum não lidarmos com objetos particulares, mas com os materiais. Em vez da resistência R de um objeto podemos lidar com a resistividade ρ do material (A resistência é uma propriedade de um objeto e a resistividade é uma propriedade de um material). Se conhecermos a resistividade de uma substância, podemos calcular a resistência elétrica de um pedaço de fio feito dessa substância. Considere um fio condutor de comprimento L e secção transversal de área A. Verifica-se que, a resistência elétrica R é diretamente proporcional ao comprimento do fio condutor e inversamente proporcional à área da sua secção transversal. L R A Onde: é a resistividade do material. No SI, a unidade de resistividade é dada por:. m 17. Um fio condutor tem um diâmetro de 1,0 mm, um comprimento de 2,0 m e uma resistência de 50 m. Qual é a resistividade do material? 3 D 1, 0mm r 0,5 10 m L 2, 0 m R 50m 8 1, L RA R r ,510 R A L L 2 m 3 3

17 18. A área da seção transversal do trilho de aço de um bonde elétrico é de 56 cm 2. Qual é o valor da resistência de 10 km deste trilho? A resistividade do aço é Ω.m. 2 7 A 56 cm L 10, 0 km 3, 010 m L R A R 0, Muitas vezes caracterizamos um fio metálico como um condutor e outras vezes como um resistor, conforme a propriedade que se deseja realçar. O inverso da resistividade é a condutividade, portanto temos: 1 A LEI DE OHM Para determinados condutores, o valor de sua resistência permanece constante, não dependendo da voltagem aplicada ao condutor. Os condutores que obedecem a esta lei são denominados condutores ôhmicos. Para estes condutores a corrente elétrica ( i ) que os percorrem é diretamente proporcional à voltagem ou ddp (V) aplicada. Consequentemente o gráfico V versus i é uma linha reta, cuja inclinação é igual o valor da resistência elétrica do condutor, como mostra o gráfico abaixo, Dispositivos ôhmicos obedecem à lei de Ohm Dispositivos não Ôhmicos Observa-se, em uma grande família de condutores que, alterando-se a ddp (V) nas extremidades destes dispositivos altera-se a intensidade da corrente elétrica i, mas a duas

18 grandezas não variam proporcionalmente, isto é, o gráfico de V versus i não é uma reta, portanto eles não obedecem à lei de Ohm, veja um exemplo no gráfico abaixo. Estes dispositivos são denominados não ôhmicos. Dispositivos não ôhmicos não obedecem à lei de Ohm Observações: Para os condutores ôhmicos, o gráfico VAB i é uma reta passando pela origem. Se o condutor não obedecer à lei de Ohm, o gráfico VAB i não será retilíneo, podendo apresentar diversos aspectos, dependendo da natureza do condutor. É comum ouvir a afirmação de que a expressão VAB = R.i é uma representação matemática da lei de Ohm. Isso não é verdade! Essa expressão é usada para definir o conceito de resistência e se aplica a todos os dispositivos que conduzem corrente elétrica, mesmo que não obedeçam à lei de Ohm. Ou seja, ela é válida quer o dispositivo obedeça ou não à lei de Ohm. 19. Uma pessoa pode morrer se uma corrente elétrica da ordem de 50 ma passar perto do coração. Um eletricista trabalhando com as mãos suadas, o que reduz consideravelmente a resistência da pele, segura dois fios desencapados, um em cada mão. Se a resistência do corpo do eletricista é de 2000 Ω, qual é a menor diferença de potencial entre os fios capaz de produzir um choque mortal? i 50 ma R=2000 V V AB AB Ri V Um fio de Nicromo (uma liga de níquel, cromo e ferro comumente usada em elementos de aquecimento) tem um comprimento de 1,0 m e área da seção transversal de 1,0 mm 2. Ele transporta uma corrente de 4,0 A quando uma diferença de potencial de 2,0 V é aplicada entre os seus extremos. Calcular a condutividade do Nicromo. L m mm A V V 2 1 A 1 i 4 AB 2

19 Inicialmente vamos calcular a resistência do fio: 2 VAB Ri R 0,5 4 L RA 0,51, 010 R A L 1, , , ,010 6 Energia e Potência em circuitos elétricos. Na figura abaixo temos a representação de um circuito formado por uma bateria B ligada por fios de resistência desprezível a um componente não-especificado, o qual pode ser um resistor, uma bateria recarregável, um motor elétrico ou outro dispositivo elétrico. A bateria mantém uma diferença de potencial de valor absoluto V entre seus terminais e, portanto, mantém a mesma ddp nos terminais do componente elétrico. Neste circuito a bateria B fornece energia a um componente elétrico. Esta energia pode ser transformada em energia química se o componente for uma bateria recarregável, em energia térmica se o componente for um resistor ou pode ser usada para realizar trabalho no caso de um motor elétrico. m 1 m Energia elétrica é de suma importância para o ser o humano, pois ela pode ser facilmente transformada em outras formas de energia. Podemos citar uma infinidade destas transformações, como por exemplo, os motores elétricos que convertem energia elétrica em mecânica. Outros aparelhos tais como chuveiro, aquecedores, secadores de cabelo são alguns exemplos de conversão de energia elétrica em calor. O funcionamento das lâmpadas comuns de bulbo é uma forma de transformar energia elétrica em luz. De uma maneira geral, os aparelhos elétricos são dispositivos que transformam energia elétrica em outra forma de energia. A taxa de transformação dessa energia é a potência do aparelho.

20 Se um aparelho elétrico, ao ser submetido a uma diferença de potencial VAB, for percorrido por uma corrente i, a potência desenvolvida neste aparelho será dada por (ver a demonstração dessa expressão no livro texto): Efeito joule P iv AB O efeito joule consiste na transformação de energia elétrica em energia térmica em uma resistência percorrida por uma corrente elétrica. Essa conversão de energia ocorre por meio de colisões entre os elétrons e as moléculas do resistor, o que leva a um aumento de temperatura do resistor. Mesmo sabendo-se que esta energia pode ser aproveitada, é comum se referir a esta energia térmica como energia dissipada no resistor. Sendo R o valor da resistência, VAB a voltagem nela aplicada e i a corrente que a percorre, a potência desenvolvida, por efeito joule, nesta resistência, pode ser calculada pelas expressões: P iv P Ri ou AB V P R 2 AB 2 Devemos observar que a equação P iv se aplica a transferências de energia AB elétrica de todos os tipos, mas, as duas equações P R. i 2 2 V AB e P se aplicam apenas a R transferências de energia elétrica para energia térmica em um dispositivo com resistência elétrica. Devido à energia térmica a temperatura do resistor aumenta, a menos que haja um fluxo de calor para fora do mesmo. Cada resistor tem uma potência máxima, que pode ser dissipada sem superaquecer o dispositivo. Quando esta potência é ultrapassada, a resistência pode variar de forma imprevisível, em casos extremos, o resistor pode-se fundir. Observação: Devemos lembrar que a unidade de potência no SI é watt (W) 21. Um estudante manteve um rádio de 9 V e 7 W ligado no volume máximo das 9 horas às 14 horas. Qual foi a quantidade de carga que passou através dele? P 7 W t horas V 9V AB

21 P V i 7 9i i 0, 78A AB q i q it q 0, 781,8 10 t 4 q 1,4 10 C Um resistor dissipa uma potência de 100 W quando percorrido por uma corrente elétrica de 3 A. Qual é o valor da resistência do resistor? P 100 W i 3A P ,11 i 3 2 P i R R R Um determinado resistor é ligado entre os terminais de uma bateria de 3,00 V. A potência dissipada no resistor é 0,540 W. O mesmo resistor é, então, ligado entre os terminais de uma bateria de 1,50 V. Que potência é dissipada neste caso? V 3 V P 0,54 W V 1,5V Inicialmente vamos calcular o valor da resistência. V V 3 P R R 16, R1 P1 0,54 Como o resistor é o mesmo nos dois casos, temos: V 1,5 P P 0,135W R1 16, Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada a um aquecedor de ambiente de 500 W. (a) Qual é o valor da resistência do elemento de aquecimento? (b) Qual é a corrente no elemento de aquecimento? 25. Um aquecedor de 500 W foi projetado para funcionar com uma diferença de potencial de 115 V. Qual é a queda percentual da potência dissipada se a diferença de potencial aplicada diminui para 110 V?

22 26. Um aquecedor de ambiente de 1250 W foi projetado para funcionar com 115 V. (a) Qual é o valor da corrente elétrica no aquecedor? (b) Qual é a resistência do elemento de aquecimento? (c) Qual é a energia térmica, em kwh, gerada pelo aparelho em 1 hora? 27. Um elemento calefator é feito mantendo-se um fio de Nicromo, com seção transversal de 2,60 x 10-6 m 2 e resistividade de 5,00 x 10-7.m, sob uma diferença de potencial de 75,0 V. (a) Sabendo-se que o elemento dissipa W, qual é o seu comprimento? (b) Para obtermos a mesma potência usando uma diferença de potencial de 100 V, qual deveria ser o comprimento do fio?

23 Energia elétrica consumida Atualmente percebe-se grande preocupação em relação à economia de energia, portanto, cresce a procura por aparelhos que consumam menos energia. A informação dos fabricantes sobre o consumo de cada aparelho, geralmente se da por meio de sua potência, mesmo porque a energia consumida depende do tempo de funcionamento. Para um mesmo tempo de funcionamento, quanto maior a potência de um aparelho maior será o seu consumo de energia. A energia consumida por um aparelho de potência P, num intervalo de tempo t, é dada por: E P t UNIDADES DE ENERGIA No S.I a potência deve estar em watt (W), o tempo em segundo e a energia em joules (J). Quando a potência está em kw e o tempo em horas, a unidade de energia será kwh. A relação entre esta unidade prática de energia e o joule é: 1kWh 3, J

24 28. Uma lâmpada de 100 W é ligada a uma tomada padrão de 120 V. (a) Quanto custa para deixar a lâmpada acesa durante um mês (30 dias)? Suponha que a energia elétrica custe R$ 0,48 o kw.h. (b) qual é a resistência da lâmpada? (c) Qual é a corrente na lâmpada? 29. Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada a um aquecedor de ambiente cuja resistência é de 14 quando quente. (a) Qual a taxa (potência) com que a energia elétrica é transformada em calor? (b) A R$ 0,50 o kwh, quando custa operar este dispositivo por 5 horas? 30. Em uma residência 8 lâmpadas de 100W ficam ligadas durante 9 horas por dia, e um chuveiro de 3000 W fica ligado durante 45 minutos por dia. Sabendo-se que 1 kwh custa R$ 0, 48, determine o gasto mensal ( 30 dias ) com as lâmpadas e o chuveiro. Considere que as lâmpadas e o chuveiro sejam ligados corretamente. R: R$ 136,08

25 31. Determine o custo mensal ( 30 dias ) de um banho diário de 15 minutos em um chuveiro de resistência R = 11, ligado em uma voltagem de 220 V. Considere que um kwh custa R$ 0,48. CIRCUITOS ELÉTRICOS Circuitos elétricos, nos dias de hoje, são elementos básicos de qualquer aparelho elétrico e eletrônico, como rádios, TV, computadores, automóveis, aparelhos científicos, etc. Quando desenhamos um diagrama para um circuito, representamos as baterias, capacitores e resistores por

26 símbolos, como mostra a tabela. Fios cuja resistência é desprezível comparado com as outras resistências do circuito são desenhados como linhas retas. Associação de resistores Em determinados circuitos podemos ter associações de alguns componentes. Vamos estudar neste momento a associação de resistores. Associação de resistores em série Muitas vezes, nos circuitos elétricos, aparecem resistores ligados em série (um em seguida ao outro), como está representado no segmento de circuito da figura abaixo. Considere que exista uma diferença de potencial entre A e B. i i R1 R2 R3 A C D B V AC V CD V DB equivalente Rs Em termos de resistência, esta associação pode ser substituída por um único resistor A RS i B As características dessa associação são:

27 a). A intensidade da corrente i é a mesma em todos os resistores, pois estão ligados um após o outro no mesmo fio. i 1 i 2 i 3 i b). A voltagem na associação é igual à soma das voltagens em cada resistor. Esta propriedade é consequência da conservação da energia. VAB VAC VCD VDB c). A resistência equivalente da associação é igual à soma das resistências dos resistores da associação. RS = R1 + R2 + R3 Demonstração da expressão usada no cálculo da resistência equivalente: V R. i, V R. i, V R. i, V R. i AB s AC 1 CD 2 DB 3 R. i R. i R. i R. i s S R R R R d). Na resistência de maior valor, será observada a maior ddp. e). Para o caso de N resistores associados em série, a resistência equivalente é igual à soma direta das N resistência em separado, isto é; N R R j1 Note que quando mais resistência é introduzida no circuito em série, menor será a corrente no circuito, supondo que a ddp (VAB) aplicada, se mantenha constante. j Associação de resistores em paralelo Os resistores podem estar associados em paralelo (um dos terminais de todos os resistores é ligado a um ponto, o outro terminal de todos os resistores é ligado a um segundo ponto), como está representado no segmento de circuito da figura abaixo. Considere que exista uma diferença de potencial entre os pontos A e B. R1 i1 A i R2 i2 i B R3 i3 Resistor equivalente A i RP i B

28 As características dessa associação são: a). A d.d.p. total aplicada à associação é igual à d.d.p. aplicada em cada resistor. V1 V2 V3 VAB b). A intensidade de corrente elétrica total é igual à soma das intensidades de corrente elétrica nos resistores associados. Esta propriedade é consequência da conservação das cargas. i i1 i2 i3 c). O inverso da resistência equivalente é igual à soma dos inversos das resistências dos resistores associados R R R R P Demonstração da expressão usada no cálculo da resistência equivalente: V V V V i, i, i, i R R R R AB AB AB AB p V V V V R R R R AB AB AB AB P R R R R P d). A resistência equivalente é menor do que a menor das resistências da associação. e). A resistência de menor valor será percorrida pela corrente de maior intensidade. f). Podemos generalizar para o caso de N resistores, a expressão usada no cálculo da resistência equivalente de 3 resistores em paralelo ou R R R R N 1 1 R j1 R j 32. No circuito da figura abaixo determine a resistência equivalente entre os pontos (a) A e B, (b) A e C e (c) B e C.

29 33. Na figura abaixo, determine a resistência equivalente entre os pontos D e E. 34. Uma linha de força de 120 V é protegida por um fusível de 15A. Qual o número máximo de lâmpadas de 500 W que podem operar, simultaneamente, em paralelo, nessa linha sem "queimar" o fusível? 35. Deseja-se produzir uma resistência total de 3 Ω ligando-se uma resistência desconhecida a uma resistência de 12 Ω. Qual deve ser o valor da resistência desconhecida e como ela deve ser ligada?.

30 Curto - circuito Nós dizemos que o trecho entre dois pontos de um circuito está em curto - circuito, quando estes pontos estão ligados por um fio ideal (condutor de resistência desprezível). OBSERVAÇÃO: Sempre que dois pontos estiverem em curto - circuito, terão o mesmo potencial elétrico e poderão ser considerados como pontos coincidentes em um novo esquema do mesmo circuito. A e B. Exemplo: Na associação da figura abaixo, vamos calcular a resistência equivalente entre os terminais A C D 30 E F B O trecho ACE está em curto circuito, portanto, os pontos A, C e E podem ser considerados coincidentes. De maneira equivalente, os pontos D, F e B podem ser coincidentes. Com estas considerações um novo esquema do circuito, mais simples que o anterior, pode ser encontrado A B A 10 B Cálculo da corrente em circuitos de uma única malha - circuito série Quando percorremos uma malha de um circuito o potencial elétrico pode sofrer aumento ou queda ao longo do percurso. Inicialmente vamos estudar apenas os casos de aumento ou queda

31 de potencial devido à passagem por geradores, receptores e resistores. Nestes casos podemos usar duas regras, a da fem ou fcem e a resistência. Regra da fem ou fcem: Ao passarmos por um gerador (fem) ou receptor (fcem), de seu polo negativo para o polo positivo, o potencial aumentará de um valor. Se a passagem ocorrer em sentido contrário, o potencial diminuirá da mesma quantidade. Regra da resistência: Ao passarmos por uma resistência R (inclusive pela resistência interna de um gerador ou de um receptor), no mesmo sentido da corrente i, o potencial diminuirá de um valor Ri. Se a passagem ocorrer em sentido contrário, o potencial aumentará da mesma quantidade Ri. As duas regras citadas acima podem ser resumidas graficamente como: R i Regra da Resistência + Ri - Ri - + Regra da fem ou fcem Para calcularmos a corrente em um circuito de uma única malha, podemos aplicar a regra das malhas de Kirchhoff (também conhecida como lei das malhas de Kirchhoff em homenagem a Gustav Robert Kirchhoff Físico Alemão). Lei das Malhas Percorrendo-se uma malha fechada num certo sentido, a soma algébrica das ddps é nula. Quando nos deslocamos sobre uma malha fechada do circuito, o potencial pode aumentar ou diminuir ao passarmos por um resistor, gerador ou outros componentes da malha, mas ao completarmos a malha e chegar ao ponto de partida, a variação líquida do potencial tem que ser nula. Esta regra é o resultado direto da conservação da energia. Considere o circuito abaixo, composto por um gerador de fem 1 e resistência interna r1, um receptor de fcem 2 e resistência interna r2 e dois resistores R1 e R2. A r ε i R R i r ε B

32 Aplicando a lei das malhas, no sentido anti-horário, temos que: R i r i R i ri i( R R r r ) i ( R R r r ) Observando que o numerador desta expressão representa a soma algébrica das fem e fcem que aparecem no circuito (considerando negativa a fcem ) e, o denominador, a soma de todas as resistências (internas e externas) deste circuito, podemos generalizar esta expressão. Equação do circuito série Para calcular a corrente elétrica de um circuito composto por geradores, receptores e resistores, estando todos os componentes ligados em série, temos a seguinte equação: ' i R Onde: = é a soma das forças eletromotrizes = é a soma das forças contra-eletromotrizes R = é a soma das resistências (internas e externas) Observação: Devemos observar que na expressão acima deve ser maior que, pois, um sinal negativo para a corrente elétrica indica que o seu sentido não está correto. Cálculo da diferença de potencial entre dois pontos de um circuito O valor da diferença de potencial entre dois pontos quaisquer A e B de um circuito, será obtido somando-se algebricamente ao potencial de A (VA) as variações de potencial que ocorrem no percurso de A para B, tomando-se os aumentos com sinal positivo e as diminuições com sinal negativo e igualando-se esta soma ao potencial de B (VB). Para determinar o aumento ou queda de potencial ao longo do circuito vamos usar as regras da fem ou fcem e a da resistência, estudadas anteriormente.

33 Como exemplo, podemos determinar a ddp VAB no circuito anterior. Percorrendo-se o circuito de A até B, no sentido horário (se o percurso for no sentido anti-horário, o resultado final será o mesmo) temos: V ri R i V A V V V ri R i AB A B B No circuito da figura abaixo, 1 = 12 V e 2 =8 V. (a) Qual é o sentido da corrente no resistor R? (b) Que bateria está realizando trabalho positivo? (c) Que ponto A ou B, está no potencial mais alto? 37. Suponha que as baterias na figura abaixo tenham resistências internas desprezíveis. Determine (a) a corrente no circuito, (b) a potência dissipada em cada resistor e (c) a potência de cada bateria e se, a energia é absorvida ou fornecida por ela?

34 38. Na figura, quando o potencial no ponto P é de 100 V, qual é o potencial no ponto Q? 39. No circuito da figura abaixo calcule a diferença de potencial através de R 2, supondo = 12 V, R 1 = 3,0, R 2 = 4,0, R 3 = 5,0.

35 R1 R2 R3 40. No circuito da figura abaixo, que valor deve ter R para que a corrente no circuito seja de 1,0 ma? Considere 1 = 2,0 V, 2 = 3,0 V e r 1 = r 2 = 3,0. R: Quatro resistores de 18,0 estão ligados em paralelo através de uma bateria ideal cuja fem é de 25,0 V. Qual a corrente que percorre a bateria? 42. A corrente num circuito de malha única com uma resistência total R é de 5 A. Quando uma nova resistência de 2 Ω é introduzida em série no circuito. A corrente cai para 4 A. Qual é o valor de R?

36 Circuito com várias malhas Para resolver problemas envolvendo circuitos com mais de uma malha, podemos aplicar a regra das malhas (já estudada anteriormente) e a regra dos nós de Kirchhoff (também chamada de lei dos nós). Lei dos Nós Em um nó, a soma das intensidades de corrente que chegam é igual à soma das intensidades de corrente que saem. Esta regra é consequência da conservação das cargas. Aplicando a regra dos nós em B, temos que: i1 i2 i3 Podemos verificar facilmente que aplicando esta mesma regra em E leva exatamente a mesma equação. Vamos aplicar a regra das malhas na malha da esquerda e na malha da direita. Percorrendo-se a malha (ABEFA) no sentido horário partindo do ponto A, temos que: ri r i R i R i Percorrendo-se a malha (BCDEB) no sentido anti-horário partindo do ponto B, temos que: r i R i r i R i Temos agora três equações envolvendo as três correntes desconhecidas, e elas podem ser resolvidas por várias técnicas. i F r 1 R 1 1 A B C i 2 r 2 2 R 2 E R 3 i D 3 r 3

37 43. Na figura abaixo determine a corrente em cada resistor e a diferença de potencial entre a e b. Considere 1 = 6,0 V, 2 = 5,0 V, 3 = 4,0 V,. R 1 = 100 e R 2 = Um circuito contém cinco resistores ligados a uma bateria cuja fem é de 12 V, conforme é mostrado na figura abaixo. Qual é a diferença de potencial através do resistor de 5,0?

38 45. Calcule a corrente que atravessa cada uma das baterias ideais do circuito da figura abaixo. Suponha que R 1 = 1,0, R 2 = 2,0, 1 = 2,0 V, 2 = 3 = 4,0 V. b) Calcule V a - V b.

39 46. Na figura abaixo, qual é a resistência equivalente do circuito elétrico mostrado? (b) Qual é a corrente em cada resistor? R 1 = 100, R 2 = R 3 = 50, R 4 = 75 e = 6,0 V; suponha a bateria ideal.

40 Circuito RC em Série Resistores e capacitores são frequentemente encontrados juntos em circuitos elétricos. Um exemplo muito simples desta combinação é mostrado no circuito RC abaixo. Nos circuitos considerados até agora, supôs-se que as correntes eram constantes. Na figura abaixo está representando um circuito RC no qual a corrente não é constante quando o capacitor está carregando ou descarregando.

41 Quando a chave S é fechada sobre a, o capacitor é carregado através do resistor. Quando a chave é depois fechada sobre b, o capacitor descarrega através do resistor. Carregando um capacitor Quando ligamos a chave s em a, se o capacitor estiver inicialmente descarregado, a diferença de potencial inicial no capacitor é zero e a voltagem da bateria aparecerá toda sobre o resistor, gerando uma corrente inicial i0 = ε/r. À medida que o capacitor se carrega, a sua voltagem aumenta e a diferença de potencial sobre o resistor diminui, correspondendo a uma diminuição na corrente. Após um longo tempo, o capacitor torna-se totalmente carregado e a voltagem da bateria aparece toda no capacitor, então, não há diferença de potencial no resistor e a corrente torna-se nula, ou seja, este processo ocorrerá até que diferença de potencial entre as placas do capacitor fique igual a da bateria. Isto significa que a corrente elétrica deve diminuir com o tempo. Na figura abaixo temos a representação do circuito (a) e o gráfico da variação da corrente elétrica (b) durante o processo de carregar o capacitor. (a) Circuito RC (b) Evolução temporal da corrente no circuito RC. A carga q e a corrente i são funções exponenciais do tempo, dadas por (ver discussão mais aprofundada destas expressões no livro texto): q C e q e t / Rc t / RC (1 ) F (1 ) i ( ) e i e R t / RC t / RC 0 O produto RC possuí dimensão de tempo e é chamado de constante de tempo capacitiva. Devemos observar que:

42 p / t q C q e i 0 final p / t 0 q 0 e i i R 0 A equação mostra que a carga no capacitor, inicialmente, cresce rapidamente com o tempo, mas tem um valor limite que é igual a Qmax= Cε. Na figura abaixo temos a representação gráfica da variação da carga do capacitor no processo de carregamento. Evolução temporal da carga no capacitor no processo de carregamento Nos gráficos da corrente e da carga em função do tempo podemos perceber que no instante t = RC a corrente decresce de um fator igual a 1/e = 0,37 com relação ao seu valor inicial io e a carga cresce de um fator 0,63 do seu valor final. Descarregando um Capacitor Suponha agora que o capacitor do circuito esteja totalmente carregado a um potencial V0 = ε. Em um novo instante t = 0, a chave s é virada de a para b de modo que o capacitor possa descarregar através da resistência R. A carga q e a corrente i, no capacitor, diminuem exponencialmente com o tempo da seguinte forma (ver discussão mais aprofunda destas expressões no livro texto): Devemos observar que: q q e 0 0 i i e t / RC t / RC p / t q 0 e i 0 p / t 0 q q e i i 0 0

43 No gráfico abaixo temos a representação da variação da diferença de potencial nos terminais de um capacitor no processo de carregar e descarregar o capacitor. Tipos de fontes Para o funcionamento de um circuito eletrônico necessitamos de uma fonte, esta fonte pode ser uma fonte de tensão ou uma fonte de corrente. FONTES DE TENSÃO. As fontes podem ser ideal (produz uma tensão constante na saída) ou real (tem resistência interna). Uma fonte de tensão ideal produz uma tensão constante. Um exemplo de uma fonte de tensão ideal é uma bateria perfeita, ou seja, sem resistência interna. No caso de uma fonte real a tensão na carga é menor que o ideal devido à resistência interna da mesma. Exemplos de fontes reais são as baterias de carros e as pilhas comuns. Podemos tratar uma bateria real como uma fonte de tensão próxima do ideal, chamada de fonte quase ideal, se a resistência de carga ( R ) for aproximadamente 100 (cem) vezes maior que a resistência interna ( r i ), ou seja, L R L 100r i Com isso a resistência interna deve ser a menor possível. Tomemos o exemplo abaixo onde temos uma fonte de tensão de 12 V cuja resistência interna vale 0,06, será que podemos desprezar esta resistência interna?

44 A resistência de carga ( R ) é ajustável. Sobre que faixa de valores de resistência de carga a tensão da L fonte é considerada quase ideal? Multiplique por 100 a resistência interna para obter: RL 100x0, 06 6 Enquanto a resistência de carga for maior que 6, podemos ignorar a resistência interna de 0,06 nos cálculo da tensão e corrente na carga. FONTES DE CORRENTE. Neste tipo de fonte (bateria mais resistência alta) a resistência interna alta produz uma corrente constante na saída. Tomemos o exemplo abaixo para entender isso. Temos um circuito com uma bateria de 12 V em série com uma resistência alta de 10M. Será que podemos desprezar esta resistência? Se a resistência de carga for igual a 10k a corrente na carga será de : IL ,2 A 10M 10k 10, 01M

45 Quando a resistência de carga for de 100k, a corrente na carga será 99% do valor ideal. Neste caso para termos uma fonte quase ideal de corrente, devemos ter a resistência interna da fonte ( r i ) 100 (cem) vezes maior que a resistência de carga ( R ), ou seja, L r 100R i L Isto é exatamente o oposto da condição para uma fonte de tensão quase ideal. Uma fonte de corrente funciona melhor quando tem resistência interna muito alta, enquanto fontes de tensão funcionam melhor quando tem resistência interna muito baixa. 47. Suponha que uma fonte de tensão tenha tensão ideal de 15 V e uma resistência da fonte de 0,2 Ω. Para que valores de resistência de carga a tensão da fonte poderá ser considerada quase ideal? TEOREMA DE THÈVENIN Sistemas elétricos que contenham fonte de tensão ou de corrente independentes e componentes passivos (resistores, indutores e capacitores) tem características de circuitos lineares e, portanto pode-se utilizar em sua analise teoremas como a da superposição d de circuitos equivalentes, como o de Thèvenin e de Norton. Qualquer rede linear com saídas a-b pode ser substituído por uma única fonte de tensão em série com uma resistência, como mostrado na figura abaixo. Esta tensão é chamada tensão de Thèvenin ( V TH resistência de Thèvenin R TH. ) e

46 Esta transformação na representação do circuito deve garantir as características elétricas do circuito original. A tensão nos terminais de saída a-b indicados deve permanecer inalterada. A corrente fornecida a uma carga também deve ser mantida. Isto significa dizer que a resistência de saída do sistema original não será modificada. Como fazer isto? Podemos fazer isso facilmente utilizando o roteiro abaixo: 1- Determine os terminais de saída a-b (onde esta ligada a resistência de carga); 2- Desconecte a resistência de carga do circuito, deixando-o aberto nos terminais; 3- Calcule a corrente que passa pelos terminais a-b; 4- Ache a tensão entre os terminais a-b, esta tensão é a tensão de Thèvenin; 5- Curte-circuite a fonte e encontre a resistência equivalente do circuito, chamada resistência de Thèvenin; 6- Conecte a resistência em serie com a tensão e a resistência de Thèvenin. Exemplo: No circuito abaixo determine o equivalente de Thèvenin

47 TEOREMA DE NORTON Os sistemas lineares podem também ser representados por um circuito formado por uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência. Este circuito é o dual do circuito equivalente de Thèvenin. A corrente utilizada na representação de Norton é um corrente de curto circuito entre os pontos a-b considerados. A resistência interna do circuito é obtida da mesma forma que no equivalente de Thèvenin. Assim, a tensão e a corrente fornecida a uma resistência de carga devem ser garantidas as mesmas, tanto no circuito original quanto no circuito equivalente de Norton. Veja a figura abaixo: Após desenharmos o equivalente de Thèvenin, desenhar o equivalente de Norton é muito simples. Enquanto o Thèvenin é uma fonte de tensão, o Norton é uma fonte de corrente, e por isso deve ter uma resistência interna em paralelo. Dessa maneira teremos o seguinte desenho Onde temos I V TH N é a fonte de corrente de Norton e N RTH da resistência de Thèvenin. Podemos escrever as seguintes equações: R (resistência de Norton) tem o mesmo valor I N V R TH e N TH TH R R

48 48. Qual a tensão e a resistência de Thèvenin na figura abaixo? 49. No circuito abaixo determine o circuito equivalente de Thèvenin e Norton

49 50. A fonte de tensão do circuito do exercício 03 diminui para 12 V. O que ocorre com a tensão de Thèvenin e com a resistência de Thèvenin? 51. Um circuito tem uma tensão de Thevenin de 15 V e uma resistência de Thevenin de 3 kω. Desenhe o circuito de Norton.

50 52. Um circuito tem uma corrente de Norton de 10 ma e uma resistência de Norton de 10 kω. Desenhe o circuito equivalente de Thevenin.