Representamos os conjuntos por letras maiúsculas: Representamos os elementos dos conjuntos por letras minúsculas:

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1 1. Conjuntos 1.1. Propriedades básicas Notação: Representamos os conjuntos por letras maiúsculas: A, B, C,.... Representamos os elementos dos conjuntos por letras minúsculas: a, b, c,.... Representamos colecções de conjuntos (ou seja, conjuntos cujos elementos são também conjuntos) por letras caligráficas: A, B, C,.... Dados conjuntos A e B, representamos por A B o conjunto dos pontos que estão em A mas não em B. Teorema 1.1. Dados um conjunto X e subconjuntos A, B X, temos: (1) A B é equivalente a X B X A. (2) A X B H é equivalente a A X B. (3) A Y B X é equivalente a X A B. Definição 1.1. Uma parametrização duma colecção de conjuntos C é uma função sobrejectiva f : J Ñ C. Chamamos a J o conjunto dos índices. Para cada α P J escrevemos fpαq X α P C e representamos a colecção parametrizada por tx α u αpj. Dada uma colecção de conjuntos tx α u: (1) podemos definir a união x P αpj X α ô Existe um α P J tal que x P X α (2) se C H, podemos definir a intersecção: x P αpj X α ô Para qualquer α P J temos x P X α Teorema 1.2. Dada uma colecção de conjuntos tx α u e um conjunto Y, temos (1) Y X X α py X Xα q. (2) Y Y X α py Y Xα q. (3) Y X α py Xα q Funções Definição 1.2. Dada uma função f : X Ñ Y e um conjunto U X, representamos por fpuq Y o conjunto dos valores de f em U: fpuq y P Y : existe um x P U tal que y fpxq ( 1

2 2 Teorema 1.3. Dada uma função f : X Ñ Y e uma colecção tu α u de subconjuntos de X temos (1) f U α fpuα q. (2) f U α fpuα q, com igualdade se f for injectiva. Definição 1.3. Dada uma função f : X Ñ Y e um conjunto V Y, representamos por f 1 pv q X o conjunto dos pontos cuja imagem está em V : f 1 pv q tx P X : fpxq P V u Teorema 1.4. Dada uma função f : X Ñ Y e uma colecção tv α u de subconjuntos de Y temos (1) f 1 Vα f 1 pv α q. (2) f 1 Uα f 1 pv α q. (3) f 1 pv α V β q f 1 pv α q f 1 pv β q. Em particular, para qualquer V Y, f 1 py V q X f 1 pv q Teorema 1.5. Dada uma função f : X Ñ Y, e conjuntos U X e V Y : (1) fpuq V é equivalente a U f 1 pv q. (2) fpuq X V H é equivalente a U X f 1 pv q H. (3) U f 1 fpuq, com igualdade se f for injectiva. (4) f f 1 pv q V, com igualdade se f for sobrejectiva Relações de equivalência Definição 1.4. Dizemos que uma relação num conjunto X é uma relação de equivalência se: (1) x x para qualquer x P X. (2) x y se e só se y x. (3) Se x y e y z então x z. Chamamos classe de equivalência dum ponto x P X ao conjunto rxs ty P X : y xu dos pontos equivalentes a x. Teorema 1.6. Dados x, y P X, ou rxs rys ou rxs X rys H. Demonstração. Primeiro observamos que, se x y, então rxs rys pois se w P rxs então w x logo w y logo w P rys e de modo análogo, se w P rys então w P rxs. Agora, se rxs X rys H, tomamos z P rxs X rys; então z x e z y, logo x y, pelo que rxs rys. Definição 1.5. Chamamos partição de X a uma colecção ta α u de subconjuntos de X disjuntos dois a dois e tal que X A α. Teorema 1.7. Seja X um conjunto. (1) Dada uma relação de equivalência em X, a colecção das classes de equivalência formam uma partição de X. (2) Reciprocamente, dada uma partição ta α u de X existe uma única relação de equivalência em X tal que ta α u é a colecção das classes de equivalência de.

3 1.4. Ordem Definição 1.6. Dizemos que uma relação num conjunto X é uma relação de ordem se: (1) A relação x x é falsa para qualquer x P X. (2) Se x y e y z então x z (transitividade). (3) Para quaisquer x, y P X, ou x y, ou x y ou y x. Se a condição (3) não se verificar, dizemos que é uma relação de ordem parcial. Repare que nunca podemos ter simultaneamente x y e y x pois nesse caso, pela transitividade, teríamos também x x. Exemplo 1.1. A recta acabada R R Y t 8, 8u tem uma relação de ordem em que 8 a 8 para qualquer a P R. Exemplo 1.2. A inclusão estrita de conjuntos é uma ordem parcial na colecção PpXq dos subconjuntos de X. Exemplo 1.3. Dados conjuntos ordenados A e B, a ordem do dicionário em A B é definida por: pa 1, b 1 q pa 2, b 2 q ô a 1 a 2, ou a 1 a 2 e b 1 b O Lema de Zorn Definição 1.7. Uma relação de ordem num conjunto X diz-se uma boa ordem se qualquer subconjunto não vazio de X tiver mínimo. Um conjunto com uma boa ordem diz-se bem ordenado. Exemplo 1.4. O conjunto N com a ordem usual é bem ordenado. O produto N N com a ordem do dicionário é também bem ordenado. Lema 1.1 (Zorn). Seja X um conjunto parcialmente ordenado tal que qualquer subconjunto A X totalmente ordenado é majorado. Então X tem um elemento maximal. Antes de passarmos à demonstração introduzimos alguma notação. Dado um conjunto A totalmente ordenado e x P A escrevemos S A pxq ty P A : y xu. Escrevemos x A se para qualquer y P A tivermos y x. Demonstração. Vamos supor por absurdo que X não tem nenhum elemento maximal: para qualquer x P X existe um y P X tal que y x. É então possível escolher, para cada conjunto A X totalmente ordenado, um elemento fpaq P X tal que A fpaq. Dizemos que um subconjunto T X bem ordenado é uma torre se, para qualquer x P T, tivermos x f S T pxq. Em particular, se x min T, temos x fps T pxqq fphq.

4 4 (1) Sejam T 1, T 2 duas torres, T 1 T 2. Vamos provar que, ou existe um x 1 P T 1 tal que T 2 S ( T1 px 1 q, ou vice versa. Seja B y P T 1 X T 2 : S T1 pyq S T2 pyq. Então fphq P B. Como T 1 T 2, podemos assumir que B T 1. Primeiro observamos que, se y P B, então S T1 pyq B. Daqui segue que, se x minpt 1 Bq, então S T1 pxq B, logo x fpbq P T 1. Basta agora mostrar que T 2 B. Caso contrário, repetindo o argumento, poderíamos concluir que fpbq P T 2. Mas tal é impossível pois nesse caso teríamos fpbq P B. Concluimos que B T 2 e portanto x fpt 2 q. (2) Seja M a união de todas as torres em X. Vamos mostrar que M é uma torre. É fácil de ver que M é totalmente ordenado. Se C M é não vazio tomamos x P C. Então x P T para alguma torre T e temos minpt X Cq min C. (3) Falta apenas observar que M Y tfpmqu é uma torre, o que é uma contradição. Teorema 1.8. Qualquer conjunto possui uma boa ordem. Demonstração. Seja O o conjunto dos pares pa, q em que A X e é uma boa ordem em A. Dizemos que pa 1, 1q pa 2, 2q se A 1 A 2 e 1 for a restrição de 2 a A 1. Então é uma ordem parcial em O que satisfaz as condições do Lema de Zorn. Um elemento maximal é uma boa ordem em X Cardinalidade Definição 1.8. Dizemos que dois conjuntos X e Y têm a mesma cardinalidade (ou que são isomorfos) se existir uma função bijectiva f : X Ñ Y. Dizemos que um conjunto é numerável se tiver a mesma cardinalidade que N. Dizemos que um conjunto é contável se for finito ou numerável. Exemplo 1.5. O conjunto Z dos números inteiros é numerável. Teorema 1.9. (1) Se A e B são contáveis então A B é também contável. (2) A união dum número contável de conjuntos contáveis é contável. Teorema Existe um conjunto bem ordenado, que representamos por S Ω, com as seguintes propriedades: (1) S Ω não é contável. (2) Para qualquer a P S Ω, o conjunto tx P S Ω : x au é contável. (3) Qualquer subconjunto contável de S Ω é majorado. Demonstração. Dado um conjunto não contável X com uma boa ordem seja Ω P X o mínimo do conjunto dos pontos a P X tais que S X paq não é contável. Então S X pωq satisfaz as 3 propriedades indicadas.

5 Exercícios (1) Dados conjuntos A, B e C: (a) Mostre que, se A B e A C, então A B X C. (b) Verdadeiro ou falso: se A B Y C então A B ou A C. (c) Mostre que A X pb Cq pa X Bq pa X Cq. (2) Dê um exemplo de conjuntos A, B, C tais que AXB XC H mas AXB, B X C e A X C são os três não vazios. (3) Sejam I, J R intervalos. Verdadeiro ou falso: (a) I X J é um intervalo. (b) I Y J é um intervalo. (c) I J é um intervalo. (d) Se I é um intervalo aberto, R I é uma união de intervalos fechados. (4) Sejam tu α u e tv α u colecções de conjuntos tais que U α X V α H para todo o α. Mostre que U α X Vα H. (5) Dada uma função f : X Ñ Y e um conjunto U X: (a) Existe alguma relação entre fpx Uq e Y fpuq? (b) E se f for injectiva? (c) E se f for sobrejectiva? (6) Dadas funções f : X Ñ Y e g : Y Ñ Z e conjuntos A X e B Z mostre que pg fqpaq g fpaq e pg fq 1 pbq f 1 g 1 pbq. (7) Prove os Teoremas 1 a 4. (8) Seja f : X Ñ Y uma função contínua. Mostre que, para quaisquer A X e B Y, temos: B Y fpcq ô f 1 pbq X C. (9) Dado um conjunto X, verifique que a inclusão estrita é uma relação de ordem parcial na colecção P dos subconjuntos de X. (10) Seja X um conjunto ordenado. Dado a P X, dizemos que b P X é um sucessor de a se b a e o intervalo sa, br for vazio. (a) Mostre que o sucessor, se existir, é único. (b) Mostre que se X for bem ordenado, qualquer a P X tem sucessor. (11) Mostre que R não é bem ordenado. (12) Mostre que qualquer subconjunto dum conjunto bem ordenado é também bem ordenado. (13) Mostre que o conjunto tk p1{nq : k, n P Nu R é bem ordenado. (14) Mostre que, se X é bem ordenado, qualquer a P X tem um sucessor, isto é, um elemento b a tal que o intervalo sa, br é vazio. (15) Se X é bem ordenado, será que qualquer elemento a P X tem um predecessor? (16) Dados conjuntos ordenados X e Y, introduzimos a chamada ordem do dicionário no produto X Y do seguinte modo: px 1, y 1 q px 2, y 2 q se x 1 x 2 ou x 1 x 2 e y 1 y 2. (a) Verifique que se trata duma relação de ordem. (b) Considere o conjunto r0, 1s r0, 1s com a ordem do dicionário. Esboce os intervalos abertos que contém o ponto p1{2, 1{2q. 5

6 6 (c) Considere o conjunto X N r0, 1r com a ordem do dicionário. Construa uma função bijectiva f : X Ñ r0, 8r que preserva as relações de ordem. (d) Considere o conjunto X r0, 1r N com a ordem do dicionário. Mostre que qualquer a P X tem um sucessor. (e) Mostre que, se X e Y são bem ordenados, então X Y é também bem ordenado. (f) Quais dos seguintes subconjuntos de R 2 com a ordem do dicionário satisfazem o axioma do supremo? (a) r0, 1s r0, 1s (b) r0, 1s r0, 1r (c) r0, 1r r0, 1s 2. Topologia em R n Começamos por recordar algumas noções topológicas em R n. A distância entre dois pontos x, y P R n é dada por dpx, yq }x y}. Dado um ponto x P R n e um número real r 0, chamamos bola centrada em x de raio r ao conjunto Bpx, rq ty P R n : dpx, yq ru. Um conjunto A R n define uma partição de R n em três conjuntos: o interior, a fronteira e o exterior de A. (1) Um ponto x P R n diz-se um ponto interior de A se existir uma bola centrada em x e contida em A. (2) Um ponto x P R n diz-se um ponto exterior de A se existir uma bola centrada em x que não intersecta A. (3) Um ponto x P R n diz-se um ponto fronteiro de A se x não for nem interior nem exterior a A. Dito de outro modo, qualquer bola centrada em x contém pontos de A e pontos que não estão em A. Chamamos interior, exterior e fronteira de A respectivamente aos conjuntos dos pontos interiores, exteriores e fronteiros e representamos estes conjuntos por int A, ext A e fr A. Repare que ext A intpx Aq Conjuntos abertos e fechados Para qualquer conjunto A temos sempre int A A pint A Y fr Aq. Definição 2.1. Um conjunto A R n diz-se aberto se para qualquer x P A existir uma bola centrada em x e contida em A. Ou seja, A é aberto sse A int A. Teorema 2.1. Para qualquer y P Bpx, rq temos B y, r dpx, yq Bpx, rq. Portanto as bolas são conjuntos abertos. Demonstração. Dado um z P B y, r dpx, yq temos dpz, yq r dpx, yq, ou seja, dpx, yq dpy, zq r. Queremos mostrar que z P Bpx, rq, ou seja, que dpx, zq r. Tal é uma consequência imediata da desigualdade triangular: dpx, zq dpx, yq dpy, zq. Teorema 2.2. Seja ta α u αpj uma colecção de subconjuntos abertos de R n.

7 (1) A união A α é também um aberto. (2) Se a colecção ta α u for finita, a intersecção A α é também um aberto. Demonstração. (1) Dado um ponto x P A α, existe um β P J tal que x P A β. Como A β é aberto, existe uma bola Bpx, rq A β. Mas então Bpx, rq A α logo x é um ponto interior de A α. Sendo x um ponto arbitrário, vemos que todos os pontos de A α são pontos interiores pelo que Aα é aberto. (2) Começamos por mostrar que a intersecção de dois abertos é um aberto. Dados conjuntos abertos A 1 e A 2 e um ponto x P A 1 X A 2, temos x P A 1 e x P A 2 logo existem bolas Bpx, r 1 q A 1 e Bpx, r 2 q A 2. Seja r mintr 1, r 2 u; então Bpx, rq A 1 X A 2 logo x é um ponto interior de A 1 X A 2. Portanto A 1 X A 2 é aberto. O caso geral prova-se agora facilmente por indução. Um conjunto A diz-se fechado se contiver a sua fronteira, ou seja, se A int A Y fr A. Como int A, fr A e ext A formam uma partição de R n, isto é equivalente a dizer que R n A ext A ou seja: um conjunto A R n é fechado se e só se o seu complementar for aberto Continuidade e limites Recorde que uma sucessão px n q npn em R n converge para um ponto a P R n se para qualquer ε 0 existir um p P N tal que n p ñ }x n a} ε. A condição }x n a} ε é equivalente a x n P Bpa, εq, pelo que podemos reescrever a definição de limite duma sucessão em termos de bolas: Uma sucessão px n q npn converge para um ponto a P R n sse dada qualquer bola B centrada em a existir um p P N tal que n p ñ x n P B. Uma função f : R k Ñ R n é contínua num ponto a P R k sse para qualquer ε 0 existir um δ 0 tal que }x a} δ ñ }fpxq fpaq} ε. Tal como para sucessões, podemos reescrever esta definição em termos de bolas: uma função f : R k Ñ R n é contínua num ponto a P R k sse para qualquer bola B centrada em fpaq existir uma bola B 1 centrada em a tal que x P B 1 ñ fpxq P B. Mas esta última condição é equivalente a dizer que fpb 1 q B pelo que: Uma função f : R k Ñ R n é contínua num ponto a P R k sse para qualquer bola B centrada em fpaq existir uma bola B 1 centrada em a tal que fpb 1 q B. 7

8 Espaços métricos Para definirmos continuidade e limite em R n usámos a distância dpx, yq }x y}. Nas demonstrações que fizemos não usámos qualquer propriedade não trivial de d, com excepção da desigualdade triangular usada na demonstração do Teorema 2.1. Todos os resultados que vimos podem ser facilmente generalizado a qualquer conjunto no qual esteja definida uma distância: Definição 2.2. Dado um conjunto X, uma distância (também chamada de métrica) em X é uma função d: X X Ñ R não negativa tal que, para quaisquer x, y, z P X, temos: (1) dpx, yq 0 ô x y. (2) dpx, yq dpy, xq. (3) dpx, zq dpx, yq dpy, zq (a desigualdade triangular). Exemplo 2.1. Representamos por l 8 o conjunto das sucessões limitadas em R. Definimos a distância entre duas sucessões px n q, py n q P l 8 por: d px n q, py n q sup x n y n. npn Mais geral ainda que a noção de espaço métrico é a noção de espaço topológico, que estudaremos na próxima secção. Exercícios (1) Determine o interior, o exterior e a fronteira dos seguintes subconjuntos de R 2 : (a) px, yq P R 2 : y 0 (. (b) px, yq P R 2 : y 0 e x 0 (. (c) px, yq P R 2 : y 0 e x 0 (. (d) px, yq P R 2 : y 0u Y tpx, yq P R 2 : x 0 (. (e) px, yq P R 2 : xy 0 (. (f) px, yq P R 2 : x P Q (. (g) px, yq P R 2 : x 0 e y 1{x (. (h) px, yq P R 2 : x, y P Z (. (2) Mostre que os seguintes subconjuntos de R 2 são abertos: (a) px, yq P R 2 : x 0 (. (b) B p0, 0q, 2 X B p2, 0q, 1. (c) npz B pn, 0q, 1. (d) px, yq P R 2 : x 2 y 2 1 (. (e) px, yq P R 2 : 1 x 2 y 2 2 (. (3) Um ponto x P R n diz-se um ponto limite dum conjunto A R n se qualquer bola centrada em x intersectar A num ponto distinto de x. Determine quais os pontos limites dos conjuntos do exercício 1. (4) Um ponto x P R n diz-se um ponto isolado dum conjunto A R n se existir uma B bola centrada em x tal que B X A txu. Determine quais os pontos isolados dos conjuntos do exercício 1.

9 (5) Dado um conjunto A R n, representamos por A 1 o conjunto dos pontos limites (exercício 3) e por A a união int A Y fr A. Mostre que: (a) A A Y A 1 ; (b) A 1 A, e o conjunto A A 1 é o conjunto dos pontos isolados (exercício 4). (6) Dados conjuntos A, B R n, decida, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas: (a) Se A B então fr A fr B. (b) Se A B então ext A ext B. (c) Se A B então ext A ext B. (7) Considere o espaço l 8 introduzido no Exemplo 2.1. (a) Verifique que a função d é uma distância. (b) Seja A l 8 o conjunto das sucessões que tendem para zero. Determine int A, ext A e fr A. (c) Seja B l 8 o conjunto das sucessões que são iguais a zero a partir de certa ordem. Determine int B, ext B e fr B. 3. Espaços topológicos Dar uma topologia num conjunto X é dizer quais dos subconjuntos de X são abertos. Definição 3.1. Uma topologia num conjunto X é uma colecção T de subconjuntos de X (os abertos) tal que: (1) H, X P T. (2) A união de qualquer colecção de abertos ta α u é também um aberto. (3) A intersecção dum número finito de abertos é também um aberto. Chamamos espaço topológico ao par px, T q. Observação 3.1. Para mostrar que a propriedade (3) se verifica basta mostrar que a intersecção de dois abertos é um aberto: o caso dum número finito de abertos segue facilmente por indução. Exemplo 3.1. A colecção dos abertos em R n formam uma topologia em R n, à qual chamaremos a topologia usual. Mais geralmente, dado um conjunto X com uma métrica d, seja T a colecção dos conjuntos A X tais que, para qualquer x P A existe um ε 0 tal que Bpx, εq A. A colecção T é uma topologia em X. Chamamos a esta topologia a topologia da métrica. Exemplo 3.2. Dado qualquer conjunto X: (1) A colecção de todos os subconjuntos de X é uma topologia em X, chamada de topologia discreta. (2) A colecção th, Xu é chamada de topologia indiscreta. (3) A colecção dos conjuntos A X cujo complementar X A é finito ou igual a X é chamada de topologia cofinita. (4) A colecção dos conjuntos A X cujo complementar X A é contável ou igual a X é chamada de topologia cocontável. 9

10 10 Exemplo 3.3. Seja X um conjunto ordenado. Chamamos intervalo aberto a um subconjunto de X da forma tx P X : a x bu, ou tx P X : x au ou tx P X : x bu (com a, b P X). Dizemos que um conjunto A X é aberto se para qualquer x P A existir um intervalo aberto I tal que x P I e I A. Chamamos a esta topologia a topologia da ordem. Por exemplo, a recta acabada R R Y t 8, 8u tem uma topologia induzida pela sua relação de ordem. Exemplo 3.4. A colecção T l dos subconjuntos A R tais que, para qualquer x P A, existe um ε 0 tal que rx, x εr A define uma topologia em R. Representamos R com esta topologia por R l pr, T l q. Definição 3.2. Dado um conjunto X, e duas topologias T 1, T 2 em X, dizemos que a topologia T 1 é mais fina que T 2 se T 2 T 1. Exemplo 3.5. Em R, a topologia discreta é mais fina que a topologia usual, que é mais fina que a topologia cofinita, que é mais fina que a topologia indiscreta Noções topológicas Definição 3.3. Dizemos que um subconjunto F X dum espaço topológico X é fechado sse X F for aberto. Passando ao complementar as propriedades dos abertos obtemos de imediato: Teorema 3.1. Seja X um espaço topológico. Então: (1) H e X são fechados. (2) A intersecção de qualquer colecção de fechados tf α u é também um fechado. (3) A união dum número finito de fechados é também um fechado. Definição 3.4. Dado um conjunto A X: (1) O interior de A, que representamos por int A, é a união de todos os abertos contidos em A. (2) O fecho, ou aderência de A, que representamos por A, é a intersecção de todos os conjuntos fechados que contém A. (3) Dizemos que um ponto x P X é um ponto limite de A se x P A txu. Teorema 3.2. (1) Para qualquer conjunto A temos int A A A. (2) Um conjunto A é aberto se e só se A int A. (3) int A é o maior conjunto aberto contido em A, ou seja: se U é aberto e U A então U int A. (4) Para qualquer conjunto A X temos intpx Aq X A. (5) Um conjunto A é fechado sse A A. (6) A é o menor conjunto fechado que contem A, ou seja: se F é fechado e A F então A F.

11 Exercícios (1) Determine todas as topologias no conjunto X ta, bu e compare-as. (2) Seja X ta, b, cu. Decida, justificando, quais das seguintes colecções de subconjuntos de X são topologias em X: (a) T H, X, ta, bu, tcu ( (b) T H, X, ta, bu, tbu ( (c) T H, X, ta, bu, tb, cu (d) T H, X, tau, tcu ( (e) T H, X, tbu ( (3) Compare as topologias do exercício 2. (4) Determine o interior e o fecho do conjunto tcu em cada uma das topologias do exercício 2. (5) Decida se a colecção T de todos os intervalos abertos em R é ou não uma topologia. (6) Compare as topologias do exemplo 3.2. (7) Dado um conjunto X infinito, decida, justificando, se a colecção dos subconjuntos de X cujo complementar é infinito, mais o X, é ou não uma topologia em X. (8) Mostre que as seguintes colecções de subconjuntos de R são topologias em R e compare-as entre si e com a topologia usual em R: (a) A colecção dos subconjuntos A R tais que 0 P A, mais o conjunto vazio. (b) A colecção dos subconjuntos A R tais que 0 R A, mais o conjunto R. (c) A topologia T l do exemplo 3.4. (d) A colecção dos intervalos da forma s 8, ar, mais o conjunto vazio e o R. (9) Determine o interior e o fecho dos conjuntos r0, 1s, s0, 1r e t1, 1{2, 1{3, 1{4,...u em R nas topologias discreta, indiscreta, cofinita, cocontável, e em cada uma das topologias do exercício 8. (10) Sejam T 1, T 2 topologias num conjunto X com T 2 mais fina que T 1. Relacione o fecho dum conjunto A X nas topologias T 1 e T 2. Faça o mesmo para o interior. (11) Dada uma colecção de espaços topológicos tx α u αpj seja X α X α. Dizemos que um conjunto U X é aberto sse para qualquer α P J o conjunto U XX α for aberto em X α. Verifique que se trata duma topologia em X. (12) Quais dos seguintes conjuntos são abertos em R l? Quais são fechados? sa, br, sa, bs, ra, br, ra, bs (13) Seja X um conjunto ordenado com a topologia da ordem (Exemplo 3.3). (a) Verifique que a topologia da ordem é de facto uma topologia. (b) Mostre que os intervalos abertos são conjuntos abertos. (c) Verifique que a topologia da ordem em R é a topologia usual. 11

12 12 (d) Considere a recta acabada R com a topologia da ordem. Mostre que, de facto, o fecho do conjunto R é R R Y t 8, 8u (o que justifica a notação usada para a recta acabada). (e) Verifique que a topologia da ordem em N é a topologia discreta. (f) Dado a P X, mostre que o fecho do conjunto tx P X : x au está contido em tx P X : x au. (g) Quais dos seguintes conjuntos são abertos na topologia da ordem do dicionário em R 2? Quais são fechados? ra, bs sc, dr, sa, br rc, ds, ra, br R, R rc, dr (14) Mostre que: (a) intpx Aq X A. (b) Se A B então int A int B e A B. (c) intpint Aq int A e A A. (d) A Y B A Y B e intpa X Bq int A X int B. (15) Seja ta α u uma colecção de subconjuntos dum espaço topológico X. (a) Mostre que A α A α e dê um exemplo em que não haja igualdade. (b) Repita a alínea (a) para a intersecção. Qual das inclusões se verifica? (c) Repita as alíneas (a) e (b) substituindo o fecho pelo interior. (16) Dados A, B X, existe alguma relação entre A B e A B? (17) Seja X um espaço topológico. Mostre que um conjunto A X sem pontos limites é necessariamente fechado. (18) Mostre que um conjunto A X intersecta qualquer aberto não vazio sse A X. (19) Seja X um conjunto e suponha definida na colecção dos subconjuntos de X uma operação A ÞÑ A satisfazendo as propriedades seguintes: p1q H H A X A A A,B X A Y B A Y B A X A A Mostre que existe exactamente uma topologia em X para a qual esta é a operação de fecho. (20) Mostre que, partindo dum qualquer conjunto A X e aplicando sucessivamente as operações ou de fecho ou de passagem ao complementar, obtemos no máximo 14 conjuntos diferentes. Dê um exemplo dum conjunto A R na topologia usual em que o número 14 seja atingido. 4. Bases 4.1. Vizinhanças e bases locais; sucessões Definição 4.1. Dizemos que um conjunto V X é uma vizinhança dum ponto x P X se V for aberto e x P V. Representamos a colecção das vizinhanças dum ponto x P X por V x. Na topologia da métrica, as bolas Bpx, rq são vizinhanças de x mas x tem muitas outras vizinhanças que não são bolas. No entanto, qualquer

13 vizinhança de x contém uma bola centrada em x: estas bolas formam o que chamaremos uma base de vizinhanças: Definição 4.2. Dizemos que uma colecção de vizinhanças B x V x é uma base de vizinhanças de x se para qualquer vizinhança U P V x existir um B P B x tal que B U. Exemplo 4.1. Em R l, a colecção dos intervalos da forma rx, x base de vizinhanças de x. 13 εr é uma Vamos agora generalizar para um espaço topológico X a definição de limite duma sucessão: Definição 4.3. Dizemos que uma sucessão px n q npn num espaço topológico X converge para um ponto a P X se, dada qualquer vizinhança U de a existir um p P N tal que n p ñ x n P U. Exemplo 4.2. Na topologia indiscreta em X, dado um ponto x P X temos V x txu pelo que qualquer sucessão converge para qualquer ponto. Exemplo 4.3. Seja X um espaço topológico com a topologia cocontável. Dada uma sucessão px n q e um ponto a P X, O conjunto C tx n : n P N, x n au é contável logo V X C é uma vizinhança de a. Claramente x n P C ô x n a pelo que x n Ñ a sse a sucessão px n q for constante igual a a a partir de certa ordem. Teorema 4.1. Seja X um espaço topológico, x P X um ponto e B x uma base de vizinhanças de x. Então: (1) Uma sucessão px n q converge para a sse para qualquer B P B x existir um p P N tal que n p ñ x n P B. (2) Dado um conjunto A X, temos x P int A sse existir um B P B x tal que B A. (3) x P A sse qualquer B P B x intersectar A. (4) x é um ponto limite de A sse qualquer B P B x intersectar A txu. Definição 4.4. Dizemos que um ponto a P X é sequencialmente aderente a um conjunto A X se existir uma sucessão px n q de termos em A com limite a. Um ponto a sequencialmente aderente a um conjunto A é aderente a A, pois qualquer vizinhança U de a contem pontos da sucessão, pelo que U X A H. No entanto, o recíproco não é necessariamente verdade. Exemplo 4.4. Na topologia cocontável o fecho sequencial dum conjunto A é o próprio A mas A A só se verifica se A for fechado. Definição 4.5. Dizemos que X satisfaz o primeiro axioma de numerabilidade se todo o ponto x P X tiver uma base de vizinhanças contável. Exemplo 4.5. Num espaço métrico, a colecção das bolas Bpx, 1{nq ( npn formam uma base contável de vizinhanças do ponto x.

14 14 Lema 4.1. Seja X um espaço com o primeiro axioma de numerabilidade. Então qualquer ponto x P X tem uma base de vizinhanças encaixadas, isto é, uma base tb n u npn tal que B 1 B 2 B n. Demonstração. Dada uma base contável tu n u npn de vizinhanças, para cada n P N tomamos B n U 1 X X U n. Podemos agora verificar que: Teorema 4.2. Seja X um espaço topológico com o primeiro axioma de numerabilidade. Então um ponto é aderente a um conjunto se e só se for sequencialmente aderente. Portanto a topologia cocontável não satisfaz o primeiro axioma de numerabilidade. Demonstração. Seja a P A e seja tb n u uma base local em a tal que B 1 B 2 B n. Para cada n P N escolhemos um ponto x n P B n X A H. Então x n P A e para qualquer n P N temos x k P B n para k n logo x n Ñ a, e portanto a é sequencialmente aderente a A Bases globais Já falámos de bases de vizinhanças num ponto x P X. Falaremos agora de bases globais da topologia: Definição 4.6. Dado um espaço topológico X, uma colecção de abertos B diz-se uma base da topologia se qualquer conjunto aberto puder ser escrito como uma união de elementos de B. Outra caracterização importante duma base é dada pelo próximo teorema. Teorema 4.3. Uma colecção de abertos B é uma base se e só se, dado qualquer aberto A e qualquer ponto x P A, existir um B P B tal que x P B A. Exemplo 4.6. Em R n, a colecção das bolas formam uma base da topologia. Definição 4.7. Dizemos que um espaço topológico X satisfaz o segundo axioma de numerabilidade se X possuir uma base contável B. Exemplo 4.7. A colecção B sa, br : a, b P Q ( é uma base contável de R. Dizemos que um conjunto A X é denso se A X. Um conjunto é denso sse intersectar qualquer aberto não vazio. Dizemos que um espaço X é separável se contiver um conjunto contável denso. Teorema 4.4. Seja X um espaço com uma base contável B. Então: (1) X tem o primeiro axioma da numerabilidade. (2) X é separável. (3) Na topologia da métrica, (2) é equivalente à existência duma base contável em X.

15 Demonstração. (1) Basta observar que B X V x é uma base de vizinhanças de x. (2) Basta escolher um ponto em cada aberto B P B. (3) Se A é um conjunto contável ( denso, vamos ver que a colecção B Bpa, rq : a P A, r P Q é uma base contável de X. Seja y P X e U P V y. Então existe um ε 0 tal que Bpy, εq U. Tomemos um ponto a P A X Bpy, 1 2 εq. Então B a, ε dpa, yq Bpy, εq U. Tomemos agora um r P Q tal que dpa, yq r ε dpa, yq. Então y P Bpa, rq U. Exemplo 4.8. Vamos ver que o espaço l 8 não é separável e portanto não satisfaz o segundo axioma de numerabilidade, pois l 8 tem a topologia da métrica. Seja A l 8 o conjunto das sucessões px n q tais que x n P t0, 1u para todo o n. Então as bolas de raio 1 2 centradas em pontos de A formam uma colecção não contável de bolas disjuntas 2 a 2. Qualquer conjunto denso intersecta todas estas bolas pelo que não pode ser contável. Exercícios (1) Descreva as sucessões convergentes e os seus limites na topologia discreta. (2) Seja X t 1, 1u e seja x n p 1q n. Descreva os limites da sucessão px n q em todas as topologias de X (há 4 topologias possíveis em X). (3) Seja T uma topologia em R. Sabendo que B R, s 8, 1r, s0, 1r, s1, 8r ( é uma base de T : (a) Mostre que qualquer sucessão tem 1 como limite. (b) Calcule os limites da sucessão x n 1{n nesta topologia. (c) Mostre que qualquer x P R possui uma base de vizinhanças com um só elemento. (4) Se T e T 1 são duas topologias num conjunto X tais que T 1 é mais fina que T, que relação existe entre a convergência duma sucessão nas topologias T e T 1? (5) Dadas duas topologias T e T 1 num conjunto X, mostre que se existir uma base B de T tal que B T 1, então T 1 é mais fina que T. (6) Encontre uma base, tão pequena quanto possível, para a topologia discreta. (7) Seja X um conjunto ordenado com a topologia da ordem. Mostre que a colecção dos intervalos abertos é uma base da topologia. (8) Seja A R um conjunto denso. Mostre que a colecção dos intervalos sa, br R com a, b P A é uma base da topologia usual em R. (9) Decida quais dos axiomas de numerabilidade são satisfeitos pelas seguintes topologias em R. Averigue também se o espaço é separável: (a) A topologia indiscreta: T th, Ru. (b) A topologia discreta. (c) A topologia T ta R : 0 P A ou A Hu. (d) A topologia T ta R : 0 R A ou A Ru. (e) A topologia T ts 8, ar : a P Ru Y th, Ru. 15

16 16 (10) Mostre que, se T é separável e T é mais fina que T 1 então T 1 também é separável. (11) Seja X um espaço topológico. (a) Mostre que, se B é uma base da topologia, para cada x P X a colecção tb P B : x P Bu é uma base local de vizinhanças de x. (b) Mostre que, se para cada x P X, B x for uma base local de vizinhanças de x, então a união xpx B x é uma base da topologia de X. (12) Considere as seguintes topologias em R: a topologia usual, a topologia com base os intervalos ra, br com a, b P R, e a topologia com base os intervalos rp, qr, com p, q P Q. (a) Compare estas 3 topologias. (b) Determine o fecho dos intervalos 0,? 2 e? 2, 3 em cada uma das topologias. (13) Considere a recta acabada com a topologia ( da ordem. ( (a) Mostre que B 8 sa, 8s apr e B 8 r 8, br são bases bpr de vizinhanças de respectivamente 8 e 8. ( (b) Mostre que, para cada x P R, B x sa, br é uma base de a x b vizinhanças de x. (c) Mostre que a recta acabada satisfaz o primeiro axioma de numerabilidade. (14) Mostre que uma sucessão px n q converge para um ponto a sse dada qualquer vizinhança U de a o conjunto tn P N : x n R Uu for finito. (15) Seja X um espaço topológico tal que quaisquer dois pontos distintos têm vizinhanças disjuntas. Mostre que em X qualquer sucessão tem no máximo um limite. (16) Mostre que, na recta acabada com a topologia da ordem, uma sucessão de termos em R converge para 8 sse convergir no sentido usual. (17) Considere o conjunto R com a topologia cofinita. (a) Mostre que, se uma sucessão px n q convergir para um ponto a P R na topologia usual, então x n Ñ a também na topologia cofinita. (b) Mostre que a sucessão y n p 1q n não tem limite. Sugestão: considere os abertos R t1u e R t 1u. (c) Seja x n 1{n. Mostre que qualquer aberto A só não contem um número finito de pontos de x n. Para que ponto (ou pontos) converge a sucessão px n q? (18) Considere R R com a topologia da ordem do dicionário. Verifique que a colecção dos intervalos da forma spa, bq, pa, cqr, com b c, é uma base da topologia. (19) Sejam T f e T c respectivamente as topologias cofinita e cocontável em R. (a) Averigue se T f e T c são ou não separáveis. (b) Mostre que T f e T c não obedecem ao primeiro axioma de numerabilidade. Sugestão: assuma que existia uma base contável ta k u de vizinhanças dum ponto a. Mostre que existe uma vizinhança de a estritamente contida em k A k.

17 (20) Recorde que R l é a topologia em R em que A R é aberto sse para todo o x P A existir um ε 0 tal que rx, x εr A (exemplo 3.4 na página 10). (a) Mostre que a colecção dos intervalos da forma ra, br com a, b P R é uma base da topologia. (b) Decida se a colecção dos intervalos da forma ra, br com a, b P Q é ou não uma base da topologia. (c) Descreva as sucessões convergentes em R l. (d) Mostre que R l satisfaz o primeiro axioma de numerabilidade. (e) Averigue se R l é ou não separável. (f) Mostre que R l não satisfaz o segundo axioma de numerabilidade. Sugestão: se B é uma base de R l, para cada x P R tem que existir um B P B tal que min B x. (21) Seja X um espaço tal que qualquer conjunto com um só elemento txu é fechado. Mostre que um ponto a é ponto limite dum conjunto A sse qualquer vizinhança de a contiver um número infinito de pontos de A. Sugestão: caso contrário U X pa tauq seria fechado. (22) Dado um espaço topológico X, um conjunto V X diz-se uma vizinhança generalizada dum ponto x P X se x P int V. Seja N x a colecção das vizinhanças generalizadas de x. (a) Mostre que, se no Teorema 4.1 substituirmos B x por N x, as conclusões do teorema permanecem válidas. (b) Mostre que N x tem as seguintes propriedades: (i) Para qualquer x P X temos N x H. (ii) Se U P N x então x P U. (iii) Se U P N x e U V então V P N x. (iv) Se U, V P N x então U X V P N x. (v) Para qualquer U P N x existe um V P N x tal que, para qualquer y P V temos U P N y. (c) Reciprocamente, dado um conjunto X e, para cada x P X, uma colecção N x de subconjuntos de X satisfazendo as propriedades (i) a (v), mostre que existe uma única topologia em X tal que N x é a colecção das vizinhanças generalizadas de X Subespaços Dado um espaço topológico X e um conjunto Y X, a topologia de X induz uma topologia em Y : Definição 5.1. Seja X um espaço topológico. Dado um subconjunto Y X, a topologia de subespaço em Y é a topologia cujos abertos são os conjuntos da forma U X Y em que U é aberto em X. Exemplo 5.1. A topologia de subespaço de R R 2 é a topologia usual.

18 18 Exemplo 5.2. O intervalo s0, 1s é aberto no subespaço r 1, 1s R (com a topologia usual) pois é a intersecção de um aberto de R com r 1, 1s: s0, 1s s0, 2r X r 1, 1s. Exemplo 5.3. Chamamos esfera de dimenção n ao subespaço S n tx P R n 1 : }x} 1u R n 1. O hemisfério norte tpx, y, zq P S 2 : z 0u é aberto pois é a intersecção de S 2 com o conjunto tpx, y, zq P R 3 : z 0u que é um subconjunto aberto de R 3. Teorema 5.1. Os conjuntos fechados em Y são os conjuntos da forma F XY em que F é fechado em X. Demonstração. É uma consequência da igualdade de conjuntos px Uq X Y Y pu X Y q: (1) Seja G F X Y em que F é fechado em X. Seja U X F ; então U é aberto em X e F X Y px Uq X Y Y pu X Y q. Como U X Y é aberto em Y, G F X Y é fechado em Y. (2) Reciprocamente, se G é fechado em Y, então Y G é aberto em Y, logo Y G U X Y, com U aberto em X. Mas então G Y pu X Y q px Uq X Y. Portanto G é a intersecção com Y dum fechado em X, nomeadamente: F X U. Teorema 5.2. Para qualquer A Y temos A Y A X XY, em que A X e A Y representam os fechos de A nas topologias de X e de Y, respectivamente. Demonstração. Basta observar que o fecho de A é a intersecção de todos os fechados que contém A e aplicar o Teorema 5.1. Exemplo 5.4. O fecho de s0, 1r em s 1, 1r R (com a topologia usual) é r0, 1s X s 1, 1r r0, 1r. Um conjunto aberto A num subespaço Y X não é necessariamente aberto em X: o intervalo s0, 1r é aberto em R R 2, mas não é aberto em R 2. Teorema 5.3. Seja X um espaço topológico, Y X um subespaço. (1) Se A Y é aberto em Y e Y é aberto em X, então A é aberto em X. (2) Se A Y é fechado em Y e Y é fechado em X, então A é fechado em X. Uma base dum subespaço Y X pode facilmente ser obtida a partir duma base de X: Teorema 5.4. Seja X um espaço topológico com base B, e seja Y X um subespaço. Então a colecção de conjuntos tb X Y : B P Bu é uma base de Y.

19 19 Exercícios (1) Seja X ta, b, c, du e considere a seguinte topologia em X: T tau, tb, cu, ta, b, cu, X, H (. Determine a topologia induzida nos subespaços ta, bu, tb, cu e tc, du. (2) Descreva a topologia de subespaço de Z R, em que R tem a topologia usual. (3) Considere o subespaço Y r0, 1r Y t2u R. Indique justificando quais dos conjuntos t0u, s0, 1r, r0, 1r, t2u e t0, 2u são abertos em Y e quais são fechados em Y. (4) Mostre que, se X tem a topologia discreta, a topologia induzida em qualquer subconjunto Y X é também a topologia discreta. Repita o exercício para as topologias cofinita e cocontável. (5) Seja X um espaço topológico, Y X. Mostre que se um conjunto A Y for aberto (ou fechado) em X então é também aberto (ou fechado) em Y. Dê exemplos em que A é aberto em Y mas não em X, e em que A é fechado em Y, mas não em X. (6) Seja X um espaço topológico, Y X um subespaço. (a) Mostre que se X tiver o primeiro axioma de numerabilidade, Y também o tem. (b) Mostre que se X tiver o segundo axioma de numerabilidade, Y também o tem. (c) Mostre que se X for separável e Y for aberto em X, então Y também é separável. (7) Mostre que a topologia induzida por R l em Q tem por base a colecção dos intervalos da forma rp, qr com p, q P Q. (8) Considere a topologia em R 2 em que A é aberto sse para qualquer ponto px, yq P A existir um ε 0 tal que rx, x εr ry, y εr A. (a) Verifique que R 2, com esta topologia, é separável. (b) Determine qual a topologia induzida em tpx, yq P R 2 : y xu e verifique que esta topologia não é separável. (9) Sejam T e T 1 topologias num conjunto X tais que T 1 é mais fina que T. Pode concluir alguma coisa sobre as topologias induzidas num subconjunto Y X? Se T 1 T poderá concluir que as topologias induzidas também são diferentes? (10) Seja X um conjunto com a topologia induzida por uma distância d e considere um subconjunto Y X. (a) Verifique que d induz, por restrição, uma distância em Y e que as bolas em Y são a intersecção com Y das bolas em X. (b) Mostre que a topologia da métrica em Y é a topologia de subespaço. (11) Mostre que a topologia da ordem em r0, 1s R coincide com a topologia de subespaço. (12) Verdadeiro ou falso: Dados A Y X, o interior de A na topologia de Y é a intersecção de Y com o interior de A na topologia de X.

20 20 (13) Seja X um espaço topológico, Y X. Mostre que uma sucessão px n q em Y converge para um ponto a P Y na topologia de Y sse convergir para a na topologia de X. (14) Seja I r0, 1s. Compare as seguintes topologias no quadrado I I: a topologia da ordem do dicionário, a topologia induzida pela topologia usual em R 2 e a topologia induzida pela topologia da ordem do dicionário em R 2. (15) Seja X um conjunto com uma topologia T e seja A X com fecho A. Seja T 1 uma topologia mais fina que T tal que as topologias induzidas em A por T e por T 1 são iguais. Mostre que o fecho de A na topologia T 1 é igual a A (o fecho na topologia T ). (16) Seja X um espaço topológico, Y X um subespaço. (a) Mostre que se U, V Y são abertos disjuntos (em Y ) os seus fechos em X satisfazem U X V U X V H. (b) Mostre que, se Y U Y V e os fechos em X satisfazem U X V U X V H então U e V são abertos em Y. (17) Seja X um espaço topológico, Y X um subespaço. Encontre uma fórmula relacionando o interior em Y dum conjunto A Y com o interior em X dum certo conjunto B X que depende de A. 6. Continuidade 6.1. Continuidade num ponto Definição 6.1. Dizemos que uma função f : X Ñ Y é contínua num ponto a P X se, para qualquer vizinhança V de fpaq existir uma vizinhança U de x tal que fpuq V. A condição fpuq V é equivalente a U f 1 pv q, pelo que f é contínua em a se, para qualquer vizinhança V de fpaq tivermos a P int f 1 pv q. Teorema 6.1. Dada uma função f : X Ñ Y e um ponto a P X, são equivalentes: (1) f é contínua em a. (2) Dadas bases locais B a e B fpaq de a e de fpaq, para qualquer B P B fpaq existe um B 1 P B a tal que fpb 1 q B. (3) Para qualquer conjunto C X, temos: a P C ñ fpaq P fpcq. Demonstração. Vamos mostrar que 1 ñ 2 ñ 3 ñ 1 1 ñ 2 Seja B P B fpaq. Como f é contínua em a, existe um U P V a tal que fpuq B. Por definição de base, existe um B 1 P B a tal que B 1 U logo fpb 1 q B. 2 ñ 3 Seja C X tal que a P C. Queremos mostrar que fpaq P fpcq. Para qualquer B P B fpaq, existe um B 1 P B a tal que fpb 1 q B. Como B 1 X A H (pois a P C) e fpb 1 X Aq fpb 1 q X fpaq B X fpaq, então B X fpaq H, portanto fpaq P fpcq.

21 3 ñ 1 Vamos ver que, se (1) é falso então (3) é também falso. Assumimos que existe uma vizinhança V de fpaq tal que a R int f 1 pv q, o que é equivalente a: a P X int f 1 pv q X f 1 pv q f 1 py V q. Seja C f 1 py V q. Então a P C mas fpcq fpf 1 py V qq Y V logo, como Y V é fechado, temos fpcq Y V. Como fpaq P V, temos fpaq R fpcq portanto (3) é falso, o que termina a demonstração. Exemplo 6.1. Na topologia da métrica a colecção das bolas centradas em x é uma base local de vizinhanças de x. Assim, por (2), uma função f : X Ñ Y entre espaços com a topologia da métrica é contínua num ponto a P X sse para qualquer bola B fpaq, ε existir uma bola Bpa, δq tal que f Bpa, δq B fpaq, ε, o que é equivalente a escrever: dpx, aq δ ñ d fpxq, fpaq ε. Teorema 6.2. Dada uma função f : X Ñ Y e um ponto a P X: (1) Se f é contínua em A, para qualquer sucessão px n q em X tal que x n Ñ a temos fpx n q Ñ fpaq. (2) O recíproco é verdadeiro se X tiver o primeiro axioma de numerabilidade. Demonstração. (1) Seja px n q uma sucessão em X que converge para a; queremos mostrar que fpx n q Ñ fpaq. Seja V uma vizinhança de fpaq. Como f é contínua em a, existe um U P V a tal que fpuq V. Como x n Ñ a, existe um p P N tal que n p ñ x n P U. Mas então n p ñ fpx n q P fpuq V. Por definição de limite, fpx n q Ñ fpaq. (2) Assumimos agora que X tem o primeiro axioma de numerabilidade. Seja C X um conjunto tal que a P C. Então existe uma sucessão px n q em C tal que x n Ñ a, logo fpx n q Ñ fpaq. Como fpx n q P fpcq, concluimos que fpaq P fpcq Continuidade global Definição 6.2. Sejam X, Y espaços topológicos. Uma função f : X Ñ Y diz-se contínua se para qualquer conjunto aberto A em Y, a imagem inversa f 1 paq for um aberto em X. Exemplo 6.2. A função identidade f : X Ñ X é sempre contínua pois f 1 paq A. 21

22 22 Exemplo 6.3. Uma função constante é sempre contínua pois f 1 paq só pode ser vazio ou o espaço todo. Da definição segue facilmente que: Teorema 6.3. Se f : Y Ñ X e g : X Ñ Y forem funções contínuas então f g também é contínua. Teorema 6.4. Dada uma função f : X Ñ Y, são equivalentes: (1) f é contínua. (2) f é contínua em todos os pontos a P X. (3) Para qualquer conjunto A X, temos fpaq fpaq. (4) A imagem inversa de qualquer fechado em Y é um fechado em X. Demonstração. Vamos mostrar que 1 ñ 2 ñ 3 ñ 4 ñ 1. 1 ñ 2 Seja x P X, e seja V uma vizinhança de fpxq. Então basta tomar U f 1 pv q, pois fpuq f f 1 pv q V. 2 ñ 3 Sai de imediato do Teorema ñ 4 Seja F Y um fechado e seja C f 1 pf q. Queremos mostrar que C é fechado. Para tal basta ver que C C. Seja a P C. Então fpaq P fpcq fpf 1 pf qq F F. Assim, fpaq P F o que é equivalente a a P f 1 pf q C. 4 ñ 1 Basta passar ao complementar: se A é aberto, Y A é fechado logo f 1 py Aq X f paq 1 é fechado, logo f 1 paq é aberto. Exemplo 6.4. A função de Heaviside H: R Ñ R definida por Hpxq 1 para x 0 e Hpxq 0 para x 0 não é contínua em todos os pontos do intervalo r0, 8r (não é contínua em x 0) mas a restrição de H a r0, 8r é uma função contínua pois é constante Continuidade e Subespaços Teorema 6.5. Seja Y X. Então a inclusão i: Y Ñ X é uma função contínua. Demonstração. Para qualquer U aberto em X temos i 1 puq U X Y o que mostra de imediato que i é contínua. Teorema 6.6. Sejam X, Y espaços topológicos, f : X Ñ Y uma função contínua. (1) A restrição de f a um subespaço A X é contínua. (2) Se Y Z, a função induzida p f : X Ñ Z é contínua. (3) Se W Y e Im f W, a função induzida r f : X Ñ W é contínua. É frequentemente útil definir funções por ramos: Teorema 6.7. Dados espaços topológicos X e Y, subconjuntos fechados A, B X tais que X A Y B, e funções contínuas f : A Ñ Y e g : B Ñ Y

23 tais que fpxq gpxq para qualquer x P A X B, então a função h: X Ñ Y definida por # fpxq, se x P A ; hpxq gpxq, se x P B é uma função contínua Homeomorfismos Definição 6.3. Dizemos que uma função f : X Ñ Y é um homoemorfismo se f for contínua, bijectiva, e a sua inversa f 1 : Y Ñ X for também contínua. Dizemos então que os espaços X e Y são homeomorfos. Exemplo 6.5. A função fpxq tan x é um homeomorfismo entre s π{2, π{2r e R. Exemplo 6.6. A bola de raio um centrada em 0 P R n é homeomorfa a R n : a função f : R n Ñ Bp0, 1q dada por fpxq x{p1 }x}q é um homeomorfismo com inversa f 1 pyq y{p1 }y}q. Exemplo 6.7. Seja p p1, 0,..., 0q P R n 1. Então ( S n tpu é homeomorfo a R n. Seja S n pt, xq P R R n : t 2 }x} 2 1 a esfera de dimensão n e seja X S n tp1, 0qu. Então a função f : X Ñ R n definida por fpt, xq x{p1 tq (chamada de projecção estereográfica) é um homeomorfismo com inversa g : R n Ñ X dada por gpyq }y} 2 1 }y} 2 1, 2y }y} 2 1 Definição 6.4. Dizemos que uma função f : X Ñ Y é aberta se para qualquer aberto U X, o conjunto fpuq for também aberto. Dizemos que f é fechada se para qualquer fechado F X, o conjunto fpf q for também fechado. Uma função contínua e bijectiva é um homeomorfismo sse for aberta, sse for fechada. Definição 6.5. Dizemos que uma função injectiva f : Y Ñ X é um mergulho se a função induzida f : Y Ñ fpy q for um homeomorfismo. Repare que um mergulho é a composição dum homeomorfismo com uma inclusão. Exercícios (1) Se X tiver a topologia indiscreta e Y a topologia discreta, mostre que uma função f : X Ñ Y é contínua sse for constante. (2) Encontre dois subespaços A, B s0, 1s homeomorfos tais que A é aberto mas não fechado em s0, 1s e B é fechado mas não aberto em s0, 1s. (3) Dê um exemplo duma função f : R Ñ R (com a topologia usual) tal que: (a) f é contínua, aberta e fechada.. 23

24 24 (b) f é contínua mas não aberta. (c) f é fechada mas não contínua. (d) f não é nem contínua, nem aberta nem fechada. (e) f é contínua mas não fechada. (4) Considere as seguintes topologias no conjunto X ta, b, cu: T 1 H, tau, ta, bu, X ( e T 2 H, X, ta, cu, tcu (. Mostre que os espaços topológicos px, T 1 q e px, T 2 q são homeomorfos. (5) Decida, justificando, se os seguintes conjuntos são abertos ou fechados em R 2 : (a) tpx, yq : x 2 y 2 1u. (b) tpx, yq : xy 1u. (c) tpx, yq : x 4 y 4 1u. (d) tpx, yq : y x 2 u. ( (6) Seja X ta, bu com a topologia T tau, X, H. Estude quanto à continuidade em a e em b a função f : X Ñ X tal que fpaq b e fpbq a. (7) Sejam X, Y espaços topológicos e seja a P X tal que o conjunto tau é aberto. Mostre que qualquer função f : X Ñ Y é contínua em a. (8) Sejam T, T 1 duas topologias num conjunto X. Mostre que a funcção identidade px, T q Ñ px, T 1 q é contínua sse T for mais fina que T 1. (9) Seja f : X Ñ R uma função contínua. Mostre que a função fpxq é também contínua. Sugestão: defina f por ramos. (10) Sejam a, b P R. Mostre que os seguintes subespaços de R. são homeomorfos: (a) r0, 1s e ra, bs. (b) s0, 1r e sa, br. (c) r0, 1r e sa, bs. (11) Seja B 2 tpx, yq P R 2 : x 2 y 2 1u. Mostre que existe uma função contínua r : R 2 Ñ B 2 tal que rpxq x para x P B 2. Sugestão: para }x} 1 defina rpxq x{}x}. (12) Mostre que R com a topologia gerada pelos intervalos ra, br com a, b P R é homeomorfo ao espaço R com a topologia gerada pelos intervalos sc, ds com c, d P R. (13) Seja Opnq o conjunto das matrizes n n ortogonais (isto é, AA t 1. Damos a Opnq a topologia de subespaço identificando o conjunto das matrizes n n com R n2 com a topologia usual. (a) Mostre que Opnq é um subconjunto fechado de R n2. (b) Mostre que o determinante define uma função contínua f : Opnq Ñ t 1, 1u. (c) Definimos SOpnq Opnq como o conjunto das matrizes de determinante 1. Mostre que SOpnq é aberto e fechado como subconjunto de Opnq. (14) Mostre que uma função contínua f : R Ñ R pode ser prolongada por continuidade à recta acabada sse existirem, no sentido usual do Cálculo, os limites de f em 8.

25 (15) Representamos por R l e R u o conjunto R com a topologia com base os intervalos ra, br e o conjunto R com a topologia usual, respectivamente. Mostre que uma função f : R l Ñ R u é contínua num ponto a P R sse lim fpxq fpaq. xña (16) Considere a função f : R Ñ R tal que fpxq 1 para x P Q e fpxq 0 se x R Q. Determine, em cada uma das seguintes topologias, em que pontos é f contínua. (a) Topologia discreta. (b) Topologia indiscreta. (c) Topologia cocontável. (d) Topologia usual. (e) A topologia em que os abertos são os conjuntos que contém o zero (mais o vazio). (f) A topologia em que os abertos são os conjuntos que não contém o zero (mais o R). (17) Considere a função f : r0, 2πr Ñ S 1 definida por fptq pcos t, sin tq. (a) Mostre que f, apesar de ser bijectiva, não é um homeomorfismo. Sugestão: mostre que f 1 não é sequencialmente contínua no ponto p1, 0q P S 1. (b) Mostre que a restrição de f a s0, 2πr é um mergulho. Sugestão: construa a inversa f 1 por ramos. (18) Uma propriedade topológica P é uma propriedade que é invariante por homeomorfismos; isto é, se X e Y forem espaços topológicos homeomorfos, então X tem a propriedade P se e só se Y a tiver. (a) Dizemos que um espaço topológico X é T 1 se os conjuntos com um só elemento forem fechados. 25 Mostre que esta é uma propriedade topológica. (b) Averigue se a propriedade de ser limitado é uma propriedade topológica. (19) Seja I p0, 0, zq P R 3 : 1 t 1 ( e seja X S 2 Y I. (a) Mostre que I é homeomorfo ao conjunto Y px, 0, zq P R 3 : x 2 z 2 1, z 0 (. (b) Mostre que X tp1, 0, 0qu é homeomorfo à união do plano xy com Y. Sugestão: projecção estereográfica. (20) Sejam X, Y conjuntos ordenados com a topologia da ordem. (a) Seja f : X Ñ Y uma função crescente e bijectiva. Dados intervalos I 1 X e I 2 Y, mostre que fpi 1 q e f 1 pi 2 q são intervalos. (b) Mostre que a recta acabada é homeomorfa ao intervalo r0, 1s. (c) Mostre que N r0, 1r com a topologia da ordem do dicionário é homeomorfo a r1, 8r. (21) Verdadeiro ou falso: dada uma função f : R Ñ R, a restrição f r0,1s é contínua sse f for contínua em todos os pontos x P r0, 1s. (22) Mostre que uma função f : X Ñ Y é contínua sse qualquer ponto x P X tiver uma vizinhança U tal que f U é contínua.