MAT /03 Topologia e elementos de análise funcional

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1 MAT /03 Topologia e elementos de análise funcional Salvatore Cosentino Departamento de Matemática e Aplicações - Universidade do Minho Campus de Gualtar, 4710 Braga - PORTUGAL gab B.4023, tel scosentino@math.uminho.pt url 13 de Dezembro de 2002 Resumo Isto não é um livro! Estas páginas contêm as minhas notas das aulas de topologia leccionadas no ano letivo 2012/03, e portanto foram escritas de maneira sintética, esquemática e por vezes informal. Conteúdo 1 Espaços métricos 2 2 Espaços topológicos 8 3 Noções topológicas 12 4 Aplicações contínuas 16 5 Espaços compactos 21 6 Espaços métricos completos 25 7 Conidade 30 1

2 1 ESPAÇOS MÉTRICOS 2 1 Espaços métricos Espaços métricos. Seja X um conjunto não vazio. Uma métrica em X é uma função d : X ˆ X Ñ R tal que para todos x, x 1, x 2 P X dpx, x 1 q ě 0, e dpx, x 1 q 0 sse x x 1 dpx, x 1 q dpx 1, xq dpx, x 1 q ď dpx, x 2 q ` dpx 2, x 1 q A última propriedade é dita desigualdade do triângulo. Um espaço métrico é um par px, dq, um conjunto não vazio X munido de uma métrica d. Os elementos de X são ditos pontos do espaço métrico, e o número não negativo dpx, x 1 q é dito distância entre os pontos x e x 1. Distâncias distintas em X definem espaços métricos distintos. Por razões de economia é usual escrever o espaço métrico X em vez de o espaço métrico px, dq, quando a métrica particular não é importante, ou quando está implícita no contto. eg Métrica discreta. Seja X um conjunto não vazio. A métrica discreta, ou métrica zero-um, em X é a métrica definida por dpx, x 1 q 1 se x x 1. Em particular, todo conjunto não vazio admite uma métrica. eg Recta real e recta compla. A função px, x 1 q ÞÑ x x 1 define uma métrica na recta real R. A função pz, z 1 q ÞÑ z z 1 define uma métrica em C. eg Espaços normados. Se V é um espaço vectorial real ou complo, e é uma norma em V, então d, definida por dpx, x 1 q : x x 1, é uma métrica em V. eg Espaços euclidianos. Se V é um espaço vectorial sobre os reais, e x, y é um produto interno em V, então, definida por x a xx, xy, é uma norma em V (a desigualdade do triângulo sendo uma consequência da desigualdade de Cauchy-Schwarz xx, x 1 y ď x x 1 ), e portanto d, definida por dpx, x 1 q : a x x 1 2 é uma métrica em V. Espaços euclidianos e espaços normados são emplos de espaços métricos. eg Métrica euclidana em R n. em R n, definida por Um caso particular da construção acima é a métrica euclidiana g fÿ d 2 px, x 1 q : e n px i x 1 i q2 que é a métrica induzida pelo produto interno euclidiano xx, x 1 y ř n i 1 x i x 1 i. A seguir, a menos de indicação contrária, o espaço vectorial R n será implicitamente considerado munido da métrica euclidiana. eg Espaço de Hilbert. O espaço de Hilbert estandard l 2 pcq, o espaço das sucessões (palavras infinitas) x px 1, x 2, x 3,... q P C N tais que }x} 2 : i 1 8ÿ x n 2 ă 8 n 1 munido do produto interno 8ÿ xx, yy : x n y n n 1

3 1 ESPAÇOS MÉTRICOS 3 eg Métrica do máximo e métrica da soma. Outras normas em R n são a norma do máximo, definida por }x} 8 : max x i i 1,...,n e a norma da soma, definida por }x} 1 : nÿ x i As métricas induzidas, d 8 e d 1 respectivamente, são ditas métrica do máximo e métrica da soma. eg Norma e métrica do sup. Sejam X um conjunto não vazio, e BpX, Rq o espaço das funções limitadas f : X Ñ R (uma função f é limitada se iste M ą 0 tal que fpxq ď M para todo x P X). BpX, Rq é um espaço linear sobre os reais, se f ` g é definido por x ÞÑ fpxq ` gpxq e λf, com λ P R, é definido por x ÞÑ λ fpxq. A norma do sup, ou norma da convergência uniforme, em BpX, Rq é definida por }f} 8 : sup f pxq xpx A métrica induzida, dpf, gq }f g} 8, é dita métrica do sup. Prove que d 2, d 1 e d 8 são métricas em R n. Sejam d e d 1 duas métricas definidas em X. Mostre que max td, d 1 u e d ` d 1 são métricas, e que min td, d 1 u pode não ser uma métrica. i 1 Seja X t0, 1u N o espaço das funções x : N Ñ t0, 1u. Então dpx, x 1 q 8ÿ i 1 x i x 1 i 2 i é uma métrica em X. Métricas produto. Sejam px, d X q e py, d Y q dois espaços métricos. Então max td X, d Y u e d X ` d Y, definidas por max td X, d Y u ppx, yq, px 1, y 1 qq : max d X px, x 1 q, d Y py, y 1 q ( e pd X ` d Y qppx, yq, px 1, y 1 qq : d X px, x 1 q ` d Y py, y 1 q são métricas no produto X ˆ Y. Enuncie e prove um resultado análogo para productos finitos de espaços métricos. Pseudométricas. Uma pseudométrica no conjunto X é uma função d : X ˆ X Ñ R tal que i) dpx, x 1 q ě 0, e dpx, x 1 q 0 se x x 1 ii) dpx, x 1 q dpx 1, xq iii) dpx, x 1 q ď dpx, x 2 q ` dpx 2, x 1 q para todos x, x 1, x 2 P X. Seja a relação de equivalência definida por: x x 1 sse dpx, x 1 q 0. O espaço quociênte X{ é de forma natural um espaço métrico, se a distância entre duas classes está definida como a distância entre dois representantes em X.

4 1 ESPAÇOS MÉTRICOS 4 Subespaços, imersões isométricas e isometrias. Sejam px, dq um espaço métrico e S um subconjunto não vazio de X. A restrição da função d a S ˆ S define uma métrica d S em S, dita métrica induzida. O conjunto S, munido da métrica induzida, é dito subespaço (métrico) do espaço métrico X. Portanto, subconjuntos de espaços métricos são de maneira natural espaços métricos. Sejam px, d X q e py, d Y q dois espaços métricos. Uma aplicação f : X Ñ Y é uma imersão isométrica se preserva as distâncias, i.e. se d Y pfpxq, fpx 1 qq d X px, x 1 q para todos x, x 1 P X. Toda imersão isométrica é injetiva. Uma imersão isométrica bijetiva f : X Ñ Y é dita isometria, e neste caso os espaços X e Y são ditos isométricos. É imediato ver que: a identidade id : X Ñ X é um isometria, se f : X Ñ Y é uma isometria então f 1 : Y Ñ X também é uma isometria, se f : X Ñ Y e g : Y Ñ Z são isometrias, então g f : X Ñ Z é uma isometria. Portanto, a istência de uma isometria entre dois espaços métricos é uma relação de equivalência. As propriedades comuns às classes de espaços isométricos são ditas propriedades métricas. eg Métrica induzida por uma injeção. Sejam py, d Y q um espaço métrico e X um conjunto não vazio. Uma aplicação injetiva f : X Ñ Y induz uma métrica d X em X, definida por d X px, x 1 q d Y pfpxq, fpx 1 qq, que torna f uma imersão isométrica. Grupos de isometrias. Seja X um espaço métrico. O conjunto IsompXq das isometrias g : X Ñ X é um grupo, dito grupo das isometrias de X, com respeito à lei de composição. eg Isometrias de R n. As translações x ÞÑ x ` a, com a P R n, são isometrias do espaço euclidiano R n. Em particular, R n é um espaço métrico homogéneo: dados x, x 1 P R n iste uma isometria g P IsompR n q tal que gpxq x 1. As isometrias de R n que fixam a origem 0 P R n são as transformações lineares x ÞÑ T pxq com T P Opnq. O grupo das isometrias do espaço euclidiano R n é, portanto, IsompR n q tx ÞÑ T pxq ` a com T P Opnq e a P R n u Sejam a, b P R n com b 1. A aplicação f : R Ñ R n, definida por t ÞÑ a ` tb, é uma imersão isométrica. Diâmetro e distância entre conjuntos. Um subconjunto não vazio S do espaço métrico X é limitado se iste M ą 0 tal que dpx, x 1 q ă M para todos x, x 1 P S. O diâmetro do subconjunto não vazio S é diampsq : sup dpx, x 1 q x,x 1 PS Ou seja, um subconjunto de um espaço métrico é limitado sse tem diâmetro finito. A distância entre dois subconjuntos não vazios S e T de X é definida por dps, T q : inf dpx, xps,x 1 PT x1 q A distância de um ponto x P X a um subconjunto não vazio S de X é definida por dpx, Sq : inf x 1 PS dpx, x1 q Um subconjunto S de um espaço métrico X é limitado sse está contido numa bola, i.e. se istem x P X e R ą 0 tais que S Ă tx 1 P X t.q. dpx, x 1 q ă Ru. A reunião de uma família finita de subconjuntos limitados de um espaço métrico é um conjunto limitado.

5 1 ESPAÇOS MÉTRICOS 5 Sejam X um espaço métrico, x, x 1 P X e S Ă X um subconjunto não vazio. Então ˇ ˇdpx, Sq dpx 1, Sqˇˇ ď dpx, x 1 q Bolas e conjuntos abertos. Seja px, dq um espaço métrico. A bola aberta de centro x e raio r ą 0 é o conjunto dos pontos de X a distância menor que r de x, i.e. B r pxq x 1 P X t.q. dpx, x 1 q ă r ( Um subconjunto A do espaço métrico X é aberto em X se para todo x P A iste r ą 0 tal que B r pxq Ă A, i.e. se (é vazio ou se) todo ponto de A é centro de uma bola aberta contida em A. Ser aberto é uma propriedade relativa. Pode acontecer que um subconjunto A Ă X não seja aberto no espaço métrico px, dq, mas seja aberto no espaço métrico py, d Y q, onde Y é um subconjunto de X munido da métrica induzida d Y. Por razões de economia, é costume dizer que um subconjunto A de X é aberto em vez de é aberto em X, desde que seja claro o espaço ambiente px, dq. O conjunto vazio H e o espaço todo X são abertos em X. Uma observação trivial mas crucial é que as bolas abertas de um espaço métrico são subconjuntos abertos, pois, se x 1 P B r pxq e s dpx, x 1 q ă r, então a desigualdade do triângulo implica que B r s px 1 q Ă B r pxq. Teorema 1.1 (um aberto é uma reunião de bolas abertas). Um subconjunto de um espaço métrico é aberto sse é uma reunião de bolas abertas. Demonstração. ñ Seja A um aberto do espaço métrico X. Para todo x P A iste εpxq ą 0 tal que B εpxq pxq Ă A. Portanto A Ť xpa B εpxqpxq. ð Seja A Y αpa B α uma reunião de bolas abertas B α do espaço métrico X. Se x P A iste α P A tal que x P B α. Sendo B α aberta, iste ε ą 0 tal que B ε pxq Ă B α Ă A. Teorema 1.2 (propriedades dos abertos). Toda reunião de subconjuntos abertos é aberta. interseção de dois (e portanto toda interseção finita de) subconjuntos abertos é aberta. A Demonstração. Seja A Y αpa A α, onde os A α são abertos no espaço métrico X e A é um conjunto arbitrário. Se x P A então iste α P A tal que x P A α. Sendo A α aberto, iste ε ą 0 tal que B ε pxq Ă A α Ă A. Sejam A e A 1 dois abertos no espaço métrico X, e x P A X A 1. Então istem ε ą 0 e ε 1 ą 0 tais que B ε pxq Ă A e B ε 1pxq Ă A 1. Portanto, a bola aberta B mintε,ε 1 upxq está contida em A X A 1. Sejam x e x 1 dois pontos distintos do espaço métrico X. Então istem duas bolas abertas disjuntas B e B 1 que contêm respectivamente x e x 1. O intervalo r0, 1r é aberto em r0, 2s, mas não é aberto na recta R. Diga se os seguintes subconjuntos de R n euclidiano são abertos em R n. Q em R, Z em R, Q ˆ R em R 2 tpx 1, x 2 q t.q. x 1 x 2 u em R 2, tpx 1, x 2 q t.q. x 1 x 2 0u em R 2, tpx 1, x 2 q t.q. x 1 ą 0u em R 2 tx P R n t.q. x ď 1u em R n, tx P R n t.q. x 1u em R n, tx P R n t.q. x 0u em R n Uma interseção de subconjuntos abertos de um espaço métrico pode não ser aberta. eg Bolas em espaços ultramétricos. Uma métrica d definida no conjunto X é dita ultramétrica se dpx, x 1 q ď max dpx, x 2 q, dpx 2, x 1 q ( para todos x, x 1, x 2 P X. Mostre que se x 1 P B r pxq então B r px 1 q B r pxq, i.e. todo ponto de uma bola aberta é um seu centro.

6 1 ESPAÇOS MÉTRICOS 6 Abertos e continuidade. Sejam px, d X q e py, d Y q dois espaços métricos. A aplicação f : X Ñ Y é contínua no ponto x P X se para todo ε ą 0 iste δ ą 0 tal que d Y pfpxq, fpx 1 qq ă ε se dpx, x 1 q ă δ. Isto quer dizer que para toda bola aberta B ε pfpxqq Ă Y centrada em fpxq iste uma bola aberta B δ pxq Ă X centrada em x tal que f pb δ pxqq Ă B ε pfpxqq A aplicação f : X Ñ Y é contínua se é contínua em todos os pontos de X. A relação entre continuidade e abertos é contida na seguinte observação. Teorema 1.3 (f contínua ô f 1 (aberto) = aberto). Uma aplicação f : X Ñ Y entre os espaços métricos X e Y é contínua sse a imagem inversa f 1 paq de todo aberto A de Y é aberta em X. Demonstração. pñq Sejam f contínua, A um subconjunto aberto e não vazio de Y, e x P f 1 paq. Como A é aberto e fpxq P A, iste uma bola aberta B ε pfpxqq contida em A. Pela continuidade de f em x, iste uma bola aberta B δ pxq tal que f pb δ pxqq Ă B ε pfpxqq. Portanto, a bola aberta B δ pxq está contida em f 1 paq. Isto prova que f 1 paq é aberto em X. pðq Seja x P X. A bola B ε pfpxqq é aberta em Y, portanto a sua imagem inversa f 1 pb ε pfpxqqq é aberta em X. Como x P f 1 pb ε pfpxqqq, iste uma bola aberta B δ pxq contida em f 1 pb ε pfpxqqq, logo f pb δ pxqq Ă B ε pfpxqq. Isto prova que f é contínua em x. Este teorema mostra que a única estrutura de um espaço métrico que joga um papel na definição de continuidade é a família dos conjuntos abertos, dita topologia. Portanto, espaços métricos que têm os mesmos abertos são domínios ou contradomínios das mesmas funções contínuas. eg Aplicações lipschitzianas. Uma aplicação f : X Ñ Y entre os espaços métricos px, d X q e py, d Y q é lipschitziana se iste λ ą 0 (dita constante de Lipschitz de f) tal que d Y pfpxq, fpx 1 qq ď λ d X px, x 1 q para todos x, x 1 P X. Uma aplicação lipshitziana é contínua (basta pôr δ ε{λ na definição com ε e δ). eg Imersão de Kuratowski. Sejam px, dq um espaço métrico, x P X, e BpX, Rq o espaço das funções limitadas f : X Ñ R munido da métrica do sup. A aplicação f x : X Ñ R definida por f x px 1 q dpx, x 1 q é contínua. A aplicação ϕ : X Ñ BpX, Rq definida por x 1 ÞÑ f x 1 f x é uma imersão isométrica. Portanto, todo espaço métrico é de maneira natural um subespaço de um espaço normado. Homeomorfismos. Uma aplicação f : X Ñ Y entre os espaços métricos px, d X q e py, d Y q é um homeomorfismo se é bijectiva, contínua e tem inversa contínua. Dois espaços métricos são homeomorfos se iste um homeomorfismo entre eles. Toda isometria é um homeomorfismo, mas um homeomorfismo pode não ser uma isometria. eg Por emplo, x ÞÑ ppxq é un homeomorfismo de R sobre R`, mas não é uma isometria (para as métricas euclidianas de R e R`). Sejam X um espaço métrico, x 1 P X e S um subconjunto não vazio de X. A aplicação ϕ : X Ñ R definida por x ÞÑ dpx, x 1 q é contínua. A aplicação φ : X Ñ R definida por x ÞÑ dpx, Sq é contínua. A aplicação d : X ˆ X Ñ R definida por px, x 1 q ÞÑ dpx, x 1 q é contínua, se X ˆ X é munido da métrica produto. Seja X um espaço métrico discreto e Y é um espaço métrico arbitrário. Toda função f : X Ñ Y é contínua.

7 1 ESPAÇOS MÉTRICOS 7 Uma aplicação linear L : R n Ñ R n é contínua. Uma função constante f : X Ñ Y (i.e. tal que fpxq y para todo x P X) entre dois espaços métricos é contínua. Se Y é um subconjunto do espaço métrico X, munido da métrica induzida, então a inclusão i : Y Ñ X, definida por ipyq y, é contínua. Imersões isométricas e isometrias são aplicações contínuas. Uma aplicação f : X Ñ Y entre os espaços métricos px, d X q e py, d Y q é hölderiana se istem α ą 0 e µ ą 0 tais que d Y pfpxq, fpx 1 qq ď µ d X px, x 1 q α para todos x, x 1 P X. Uma aplicação hölderiana é contínua. Existe um homeomorfismo entre Q e R? Métricas equivalentes. É possível que métricas distintas no espaço X definam os mesmos subconjuntos abertos, neste caso as métricas são ditas topologicamente equivalentes. As métricas d e d 1 em X são equivalentes sse, para todo x P X, toda bola aberta B ε pxq para a métrica d contém uma bola aberta Bε 1 1pxq para a métrica d1 e vice-versa. eg Normas equivalentes num espaço vetorial de dimensão finita. No espaço vectorial R n, as métricas euclidiana, do máximo e da soma são topologicamente equivalentes. Isto vem das desigualdades d 8 px, x 1 q ď d 2 px, x 1 q ď d 1 px, x 1 q ď n d 8 px, x 1 q que implicam B 8 ε{n pxq Ă B1 εpxq Ă B 2 εpxq Ă B 8 ε pxq para todo x P R n e todo ε ą 0. De facto, todas as normas num espaço vetorial de dimensão finita são equivalentes! A métrica discreta e a métrica euclidiana em R não são equivalentes. Se d é uma métrica em X e λ ą 0, a métrica d λ definida por d λ px, x 1 q λ dpx, x 1 q é equivalente a d (observe que as bolas de px, dq são também bolas de px, d λ q e vice-versa). Seja px, dq um espaço métrico. Então d 1, definida por d 1 px, x 1 q : dpx, x1 q 1 ` dpx, x 1 q é uma métrica em X, equivalente a d. Observe que o espaço métrico px, d 1 q é limitado, i.e. tem diâmetro finito, independentemente de X ser limitado ou não. Sejam d e d 1 duas métricas equivalentes em X. A aplicação identidade id : X Ñ X é um homeomorfismo entre px, dq e px, d 1 q.

8 2 ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 8 2 Espaços topológicos Espaços topológicos. Seja X um conjunto não vazio. Uma topologia em X é uma família não vazia τ de subconjuntos de X, ditos abertos (da topologia), tal que i) H e X são abertos, ii) toda reunião de abertos é um aberto, iii) a interseção de dois abertos é um aberto. A última propriedade é equivalente a toda interseção finita de abertos é um aberto. Um espaço topológico é um par px, τq, um conjunto não vazio X munido de uma topologia τ. Os elementos de X são ditos pontos do espaço topológico, os elementos de τ são ditos abertos do espaço topológico. Topologias distintas em X definem espaços topológicos distintos. Por razões de economia é usual escrever o espaço topológico X em vez de o espaço topológico px, τq, quando a topologia particular não é importante, ou quando está implicita no contto. É também usual dizer que um subconjunto A de X é aberto em vez de utilizar a pressão correcta é um aberto do espaço topológico px, τq, desde que seja claro qual é o espaço ambiente X e qual é a topologia τ. eg Topologia trivial. A família th, Xu é uma topologia no conjunto X, dita topologia trivial. Um conjunto X munido da topologia trivial é dito espaço (topológico) trivial. Espaços topológicos metrizáveis. Seja px, dq um espaço métrico. A família formada pelas reuniões das bolas abertas de X é uma topologia, dita topologia induzida da métrica d. Portanto, todo espaço métrico é de maneira natural um espaço topológico. Métricas equivalentes induzem a mesma topologia. Um espaço topológico px, τq é dito metrizável se o conjunto X admite uma métrica d que induz a topologia τ. A seguir, portanto, as pressões seja px, τq um espaço topológico metrizável ou simplesmente seja X um espaço metrizável serão sinónimos de seja px, τ q um espaço topológico tal que a topologia τ é induzida por uma métrica d definida em X. A razão desta definição está no facto da métrica particular d, que evidentemente não é única, não jogar nenhum papel nas propriedades de X em quanto espaço topológico. eg Topologia euclidiana. A topologia euclidiana em R n é a topologia induzida pela métrica euclidiana d 2, ou pelas métricas equivalentes d 1 e d 8. A seguir, a menos de indicação contrária, o espaço vectorial R n será implicitamente considerado munido da topologia euclidiana. eg Topologia discreta. A família PpXq, as partes de X, é uma topologia em X, dita topologia discreta. É a topolgia induzida pela métrica discreta em X. Um conjunto X munido da topologia discreta é dito espaço (topológico) discreto. eg Topologia cofinita. A topologia cofinita em X é a família K formada pelo conjunto vazio e pelos conjuntos cujos complementares têm cardinalidade finita, i.e. K thu Y ta Ă X t.q. XzA é finitou eg Topologia de Sierpinsky. Se X é um conjunto finito, toda métrica em X induz a topologia discreta. Portanto, uma topologia diferente da topologia discreta em um conjunto finito não é metrizável. Um emplo é a topologia de Sierpinsky em X ta, bu, definida por τ th, tau, Xu. Topologia relativa. Sejam px, τ q um espaço topológico e Y um subconjunto não vazio de X. A família τ Y ta X Y com A P τu

9 2 ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 9 é uma topolgia em Y, dita topologia relativa. O conjunto Y, munido da topologia relativa, é dito subespaço (topológico) do espaço topológico X. Portanto, os aberto de Y são os subconjuntos B Ă Y tais que iste um aberto A de X tal que B A X Y. Se d é uma métrica em X e Y Ă X é munido da métrica induzida d Y, então as bolas abertas de py, d Y q são da forma B r pxq X Y onde B r pxq é uma bola aberta de px, dq e x P Y. Portanto, se τ é a topologia induzida pela métrica d, a topologia relativa τ Y coincide com a topologia induzida pela métrica d Y em Y. Determine todas as possíveis topologias de X ta, b, cu. (metrizável e finito ñ discreto) A topologia de um espaço metrizável finito é a topologia discreta. (metrizável ñ Hausdorff) Seja X um espaço topológico metrizável. Prove que, dados dois pontos distintos x e x 1 de X, istem dois abertos disjuntos A e B de X tais que x P A e x 1 P B. Seja X um conjunto não vazio, e x P X. Prove que τ thu Y ta Ă X t.q. x P Au é uma topologia em X. Prove que, se X txu, a topologia τ não é metrizável. Comparação entre topologias. Sejam τ e τ 1 duas topologias no conjunto X. A topologia τ 1 é mais fina do que a topologia τ (ou, a topologia τ é menos fina do que a topologia τ 1 ) se τ Ă τ 1, i.e. se todo aberto de px, τq é também um aberto de px, τ 1 q. Observe que esta é apenas uma ordem parcial no espaço das topologias definidas num conjunto fixado X, e que duas topologias distintas podem não ser comparáveis. A topologia discreta em X é mais fina do que toda topologia em X. Toda topologia em X é mais fina do que a topologia trivial em X. Bases. Seja px, τq um espaço topológico. Uma base da topologia τ é uma família B de abertos tal que todo aberto de X é uma reunião de elementos de B. Isto é equivalente a dizer que para todo A P τ e todo x P A iste B P B tal que x P B Ă A. Evidentemente, τ é uma base da topologia τ. A importância desta definição consiste na possibilidade de definir uma topologia à custa de uma família particular de abertos. eg Base de uma topologia metrizável. As bolas abertas de um espaço métrico são uma base da topologia induzida pela métrica, porque todo aberto é uma reunião de bolas abertas.. eg Base da topologia discreta. em X. A família ttxu com x P Xu é uma base da topologia discreta Teorema 2.1 (caracterização das bases). Seja Xum conjunto não vazio, e B uma família de subconjuntos de X tal que i) B é uma cobertura de X, i.e. Ť BPB B X ii) se B, C P B então B X C é uma reunião de elementos de B Então iste uma (única) topolgia τ B em X tal que B é uma sua base.

10 2 ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 10 Demonstração. A unicidade é evidente, uma vez provada a istência. Pois, τ B tem que conter todas as reuniões de elementos de B, e, vice-versa, todo elemento de τ B tem que ser uma reunião de elementos de B. Seja τ B a família formada pelas reuniões de elementos de B. Os subconjuntos H e X pertencem a τ B, o conjunto vazio porque é a reunião da família vazia de elementos de B, e X porque B é uma cobertura de X, a condição i). Sejam V α Ť βpi α B β, com B β P B e α P J, uns elementos arbitrários de τ B. Então a reunião ď αpj V α ď αpj ď βpi α B β ď αpj ď βpi α B β também pertence a τ B, porque é reunião de elementos de B. Por outro lado, uma interseção de dois elementos č ď č V α Vα 1 ď ď č B β 1 B β Bβ 1 βpi α B β também pertence a τ B pela condição ii). β 1 PI α 1 βpi α,βpi α 1 eg A família tb r pxq sx r, x ` rr com x P Q e r P Q`u das bolas abertas de centro e raio racionais é uma base, enumerável, da topologia euclidiana de R. eg tra, bs com a, b P R e a ă bu não é base de nenhuma topologia na recta real. eg Base enumerável da topologia euclidiana. A família B tb r pxq com x P Q n e r P Q`u é uma base, enumerável, da topologia euclidiana de R n. Portanto, o espaço euclidiano R n admite uma base enumerável (satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade). Um espaço topológico discreto não enumerável não admite uma base enumerável. A família τ e ts 8, xr com x P Ru Y th, Ru é uma topologia em R, menos fina do que a topologia euclidiana. A subfamília B ts 8, rr com r P Qu é uma base desta topologia. Produtos finitos de espaços topológicos. Sejam px, τ X q e py, τ Y q dois espaços topológicos. A família B ta ˆ B com A P τ X e B P τ Y u é uma base de uma topologia no produto cartesiano X ˆY (porque é uma cobertura, e a interseção de dois elementos de B é ainda um elemento de B), dita topologia produto. O espaço X ˆY, munido desta topologia, é dito produto topológico dos espaços X e Y. Se px, d X q e py, d Y q são espaços métricos munidos da topologia induzida, então a topologia producto em X ˆ Y é a topologia induzida pela métrica produto, por emplo max td X, d Y u, em X ˆ Y. De maneira análoga é possivel definir produtos topológicos de uma família finita de espaços topológicos. Topologia produto. Sejam px α, τ α q espaços topológicos, com α P A (um conjunto não necessariamente finito nem enumerável), e # + X ź αpa X α : x : A Ñ ď αpa X α t.q. x α P X α para todos α P A

11 2 ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 11 o produto cartesiano dos X α (onde utilizamos a notação xpαq x α para a coordenada α-ésima do ponto x). Um cilindro aberto de X é um conjunto C formado da seguinte maneira: istem um conjunto finito de índices α 1, α 2,..., α n P A e uns abertos C αi Ă X αi para i 1, 2,..., n tais que C tx px α q αpa P X tais que x αi P C αi para todo i 1, 2,..., nu A família C formada pelos cilindros abertos de X satisfaz as condições do teorema 2.1, portanto é base de uma topologia em X, dita topologia produto. A topologia produto em R n, onde cada cópia de R é munida da topologia euclidiana, é a topologia euclidiana (observe que, tratando-se de um produto finito, e sendo os cilindros abertos produtos de abertos dos factores, a família dos cilindros abertos contém as bolas abertas do espaço R n munido da métrica d 8 ). Vizinhanças. Sejam px, τq um espaço topológico e x P X. Uma vizinhança de x é um subconjunto N Ă X tal que iste um aberto A que contém o ponto x e que está contido em N, i.e. x P A Ă N. Evidentemente, todo aberto que contém x é uma vizinhança de x. Seja x um ponto de um espaço topológico X. Se A e B são vizinhanças de x, então A X B é uma vizinhança de x. Se A é uma vizinhança de x e A Ă B, então B é uma vizinhança de x. Teorema 2.2 (abertos e vizinhanças). Um subconjunto A de um espaço topológico é aberto sse é uma vizinhança de todos os seus pontos. Demonstração. ñ Trivial. ð Para todo x P A, sendo A uma vizinhança de x, iste um aberto A x tal que x P A x Ă A. Isto implica que A Y xpa A x, e portanto é aberto. Base local. Sejam px, τ q um espaço topológico e x P X. Uma base local, ou sistema fundamental de vizinhanças, em x é uma família B x de vizinhanças de x tal que todo aberto A que contém x também contém um elemento de B x. eg Espaços metrizáveis admitem bases locais enumeráveis. Sejam X um espaço métrico e x P X. A família tb r pxq com r ą 0u é uma base local em x do espaço métrico X. As famílias tb r pxq com r P Q`u e B 1{n pxq com n P N ( são bases locais, enumeráveis, em x do espaço métrico X. Portanto, todo espaço metrizável admite uma base local enumerável em todos os seus pontos (satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade). Sucessões. Seja px, τq um espaço topológico. Uma sucessão em X é uma aplicação f : N ÑX. É costume designar por x n o valor da sucessão no ponto n P N, e por px n q a sucessão. O conjunto tx n u npn Ă X é a imagem da sucessão. A sucessão px n q é convergente para o ponto x P X se para toda vizinhança V de x iste um natural n tal que x n P V se n ą n. Se isto acontecer, diz-se que x é um limite da sucessão, e escreve-se lim x n x ou x n Ñ x nñ8 Uma subsucessão de f : N ÑX é uma aplicação da forma f k, onde k : N Ñ N é uma função estritamente crescente. Se px n q denota a sucessão f e k n o valor de k em n, então px kn q denota a subsucessão f k. Em particular, a imagem tx kn u npn da subsucessão é um subconjunto de tx n u npn. eg Se X é um espaço topológico trivial (e portanto a única vizinhança de um ponto x é X) então toda sucessão converge para todo ponto x de X. Isto mostra que, num espaço topológico arbitrário, o limite de uma sucessão pode não ser único.

12 3 NOÇÕES TOPOLÓGICAS 12 Limites em espaços métricos e metrizáveis. Sejam px, dq um espaço métrico e px n q uma sucessão em X. A sucessão é covergente para x P X sse para todo ε ą 0 iste um natural n tal que dpx n, xq ă ε se n ą n. A sucessão é covergente para x P X sse para todo k P N iste um natural n tal que dpx n, xq ă 1{k se n ą n. Se X é um espaço topológico metrizável e px n q é uma sucessão convergente, então o limite é único (porque pontos distintos de um espaço métrico admitem vizinhanças disjuntas). 3 Noções topológicas Interior, terior e fronteira. Sejam X um espaço topológico e S um subconjunto de X. Um ponto x P X é interior a S se iste uma vizinhança N de x tal que N Ă S. O interior de S é o conjunto rmintpsq dos pontos interiores a S. Um ponto x P X é terior a S se iste uma vizinhança N de x tal que N Ă XzS, ou seja se é interior ao complementar de S. O terior de S é o conjunto tpsq dos pontos teriores a S. A fronteira de S é o conjuntos frpsq (ou BS) dos pontos que não são nem interiores nem teriores a S, ou seja o conjunto dos pontos x P X tais que toda vizinhança N de x intersecta quer S quer XzS. Sendo estas três condições mutuamente clusivas, temos que X é a reunião disjunta Das definições segue que X intpsq Y tpsq Y frpsq intpsq Ă S tpsq intpxzsq tpsq X S H frpsq frpxzsq Teorema 3.1 (o interior de S é o maior aberto contido em S). Seja S um subconjunto do espaço topológico X. Então intpsq é a reunião dos abertos contidos em S. Demonstração. Seja A um aberto contido em S. Se x P A então x P intpsq, porque A é uma vizinhança de x. Isto prova que todo aberto contido em S está contido em intpsq. Para todo x P intpsq iste uma vizinhança N x de x tal que x P N x Ă S, e portanto iste um aberto A x tal que x P A x Ă S. Pela observação acima A x Ă intpsq, e portanto intpsq Ť xpintpsq A x é um aberto, por ser uma reunião de abertos. Teorema 3.2 (caracterização dos abertos). seguintes propriedades são equivalentes: a) S é aberto b) S intpsq c) S X frpsq H Seja S um subconjunto do espaço topológico X. As Demonstração. añb Se A é aberto, contém todos os abertos contidos em A, e portanto A intpsq. bñc Se S intpsq então S X frpsq H, porque a fronteira de S é disjunta do interior de S. cña Se S X frpsq H então todo ponto x P S tem uma vizinhança N tal que N Ă S, e portanto S é aberto. Subconjuntos fechados. Um subconjunto S do espaço topológico X é fechado se o seu complementar XzS é aberto. A família dos subconjuntos fechados de um espaço topológico satisfaz propriedades duais aos axiomas de uma topologia, ou seja i) H e X são fechados, ii) toda interseção de fechados é um fechado, iii) a reunião de dois fechados é um fechado. Definir uma topologia, ou seja a família dos subconjuntos abertos, em X é equivalente a definir a família dos subconjuntos fechados, i.e. uma família de subconjuntos de X que satisfaz as três propriedades acima.

13 3 NOÇÕES TOPOLÓGICAS 13 Teorema 3.3 (caracterização dos fechados). seguintes propriedades são equivalentes: a) S é fechado b) S intpsq Y frpsq c) frpsq Ă S. Seja S um subconjunto do espaço topológico X. As Demonstração. É a proposição 3.2 para o conjunto XzS. Aderência. Seja S subconjunto do espaço topológico X. O fecho S, ou aderência, de S é a interseção dos subconjuntos fechados de X que contêm S, i.e. o menor conjunto fechado que contém S. Em particular, S Ă S. Sendo tpsq a reunião dos abertos contidos em XzS, é imediato ver que S XztpSq intpsq Y frpsq e portanto S é fechado sse S S. Os pontos de S são ditos pontos de aderência de S. Do facto de ser S XztpSq segue que x P X é um ponto de aderência de S sse N X S H para toda vizinhança N de x. Teorema 3.4 (pontos de aderência em espaços metrizáveis). Seja S um subconjunto do espaço metrizável X. Então x P S sse iste uma sucessão px n q de elementos de S que converge para x. Demonstração. ð Seja px n q uma sucessão de elementos de S que converge para x. Para toda vizinhança N de x iste um elemento x n da sucessão tal que x n P N, e portanto N X S H (esta parte da prova não depende do facto de X ser metrizável). ñ Sejam d uma métrica que induz a topologia em X, e x P S. As bolas abertas centradas em x são vizinhanças de x, portanto para todo n P N iste um ponto x n P S tal que x n P B 1{n pxq. Isto implica que a sucessão px n q converge para x, porque a família das bolas abertas de centro x e raios 1{n com n natural é uma base local da topologia em x. Sejam S e T subconjuntos do espaço topológico X. Então intpsq X intpt q intps X T q intpsq Y intpt q Ă intps Y T q frps Y T q Ă frpsq Y frpt q S Y T S Y T S X T Ă S X T Dê emplos tais que as inclusões acima são estrictas. Sejam S e T subconjuntos do espaço topológico X tais que S Ă T. Então S Ă T. Dê um emplo tal que frpsq não esteja contido em frpt q. A fronteira de um subconjunto arbitrário de um espaço topológico é um conjunto fechado. A fronteira de um subconjunto aberto ou fechado de um espaço topológico tem interior vazio. Se px, dq é um espaço métrico e S Ă X, então S tx P X t.q. dpx, Sq 0u. Seja X um espaço topológico discreto. Todo subconjunto S Ă X tem fronteira vazia. Se px, dq é um espaço métrico, x P X e r ą 0, a bola fechada B r rxs tx 1 P X t.q. dpx, x 1 q ď ru é um conjunto fechado. Dê um emplo de um espaço métrico px, dq tal que o fecho da bola aberta B r pxq não é a bola fechada B r rxs tx 1 P X t.q. dpx, x 1 q ď ru.

14 3 NOÇÕES TOPOLÓGICAS 14 Dê um emplo de uma família de subconjuntos fechados de um espaço topológico tal que a reunião deles não é um conjunto fechado. Seja R munido da topologia cofinita. Prove que os subconjuntos fechados são os conjuntos finitos e R. Prove que, se S sa, br com a, b P R e a ă b, então intpsq H, S R e frpsq R. Pontos limites e pontos isolados. Seja S um subconjunto do espaço topológico X. Um ponto x P X é ponto de acumulação, ou ponto limite, de S se toda vizinhança N de x contém pelo menos um ponto de S diferente de x, i.e. se pnz txuq X S H para toda vizinhança N de x O conjunto derivado de S é o conjunto S 1 dos pontos de acumulação de S. Um conjunto S é dito perfeito se S S 1, i.e. se todo seu ponto é um ponto de acumulação. Teorema 3.5. Seja S um subconjunto do espaço topológico X. Então S S Y S 1. Demonstração. Da definição conclui-se que S 1 X tpsq H, logo S Y S 1 Ă S. Por outro lado, se x P S e x R S, então x P frpsq, e portanto toda vizinhança N de x tem interseção não vazia com Sz txu. Logo S Ă S Y S 1. Seja S um subconjunto do espaço topológico X. Um ponto x P S é dito ponto isolado de S se x R S 1, i.e. se iste uma vizinhança N de x tal que N X S txu. O conjunto S é dito discreto se todo seu ponto é um ponto isolado. Da proposição 3.5 segue que o fecho de um subconjunto S do espaço topológico X é a reunião disjunta do conjunto dos pontos isolados de S e do conjunto dos pontos de acumulação de S. Discreto em R n ñ enumerável. Seja S um subconjuntos discreto do espaço R n euclidiano. Então S é enumerável (lembre-se que a topologia euclidiana de R n admite uma base enumerável). Finito em espaço metrizável ñ discreto. é discreto. Um subconjunto finito de um espaço metrizável Determine Q 1 em R. Teorema 3.6 (pontos limites em espaços metrizáveis). Seja S um subconjunto do espaço metrizável X. Então x P S 1 sse iste uma sucessão px n q de elementos de Sz txu que converge para x. Em particular, se x P S 1 então toda vizinhança de x contém infinitos pontos de S. Demonstração. Seja d uma métrica que induz a topologia em X. Sejam x P S 1 e B 1 B 1 pxq. Sendo B 1 uma vizinhança de x, iste um ponto x 1 P pb 1 z txuqxs. Dados B n e x n P pb n z txuqxs, sejam B n`1 B dpx,xnq{2pxq e x n`1 um ponto da interseção pb n`1 z txuq X S. É imediato verificar que os pontos x n são distintos, a sucessão px n q é convergente e lim nñ8 x n x. Seja px n q uma sucessão de pontos de X, e S tx n u npn a sua imagem. Se x P S 1 então px n q admite uma subsucessão convergente para x.

15 3 NOÇÕES TOPOLÓGICAS 15 eg Conjunto de Cantor. Seja ϕ : t0, 1, 2u N Ñ r0, 1s a aplicação sobrejetiva definida por px n q ÞÑ (a representação em base 3 dos reais entre 0 e 1). O conjunto de Cantor standard (o middle-third Cantor set ) é K : ϕ t0, N # + ÿ 8 x n 2u 3 n com x n P t0, 2u n 1 i.e. o conjuntos dos reais entre 0 e 1 cujas representações em base 3 não contêm a letra 1. É ˇ imediato verificar que ϕ N ˇt0,2u é uma bijecção de t0, 2u N sobre K. Outra definição é K r0, 1s zy 8 k 1 I k, onde os intervalos abertos I k são definidos iterativamente da seguinte maneira: I 1 é o terço central s1{3, 2{3r de r0, 1s, I 2 e I 3 são os terços centrais dos intervalos de r0, 1s zi 1, a saber s1{9, 2{9r e s7{9, 8{9r,... etc. Mais uma definição do conjunto de Cantor é K Ş 8 n 1 K n, onde a família decrescente dos fechados Ă K n`1 Ă K n Ă... é definida por 8ÿ n 1 x n 3 n n 1 1`2`2 2`...`2 ď K n r0, 1s z I k. Os fechados K n são formados por 2 n intervalos fechados e disjuntos, cada um de diâmetro 3 n. Em particular, o comprimento de K n é K n p2{3q n, e converge para zero no limite quando n Ñ 8. Ou seja, K é um conjunto de medida (de Lebesgue) nula!. O conjunto de Cantor é fechado em r0, 1s, sendo uma interseção de conjuntos fechados. O conjunto de Cantor tem interior vazio, porque nenhum intervalo aberto de diâmetro ε ą 0 está contido em K n se 3 n ă ε. O conjunto de Cantor é perfeito. De facto, se x ř 8 x n n 1 3 n P K, então a sucessão `x pkq de pontos de K definida por x pkq k 1 ÿ n 1 converge para x, sendo ˇˇx x pkqˇˇ 2{3 k. A aplicação ψ : t0, 1u N Ñ r0, 1s, definida por k 1 x n 3 n ` xk ` 2 pmod 4q 3 k ` py n q ÞÑ 8ÿ n 1 y n 2 n 8ÿ n k`1 é sobrejetiva (é a representação binária dos números reais entre 0 e 1). Por outro lado, a aplicação φ : t0, 2u N Ñ t0, 1u N, definida por px n q ÞÑ px n {2q, é bijetiva, e portanto ψ φ ϕ 1 : K Ñ r0, 1s é sobrejetiva. Isto mostra que o conjunto de Cantor tem a cardinalidade da recta real, em particular não é enumerável. x n 3 n Subconjuntos densos. em X se S X. Seja S um subconjunto do espaço topológico X. O conjunto S é denso Teorema 3.7 (caracterização dos subconjuntos densos). Seja S um subconjunto do espaço topológico X. As seguintes propriedades são equivalentes: a) S é denso em X b) intpxzsq H c) todo aberto não vazio de X tem interseção não vazia com S d) iste uma base B da topologia de X tal que todo elemento não vazio de B tem interseção não vazia com S.

16 4 APLICAÇÕES CONTÍNUAS 16 Demonstração. añb Se X S intpsqy frpsq então intpxzsq tpsq H. bñc Seja A um aberto não vazio de X tal que A X S H. Então A Ă XzS, e portanto intpxzsq não é vazio, porque contém A. cñd A topologia τ é uma base da topologia τ. dña Seja x P XzS. Para toda vizinhança N de x iste um elemento B da base B tal que x P B Ă N. A condição B X S H e o facto de ser x P XzS implicam que pnz txuq X S H, ou seja que x P S 1. Isto mostra que X S Y S 1 S. eg O conjunto Q é denso em R. O conjunto Q n é denso em R n. Portanto, os espaços euclidianos R n admitem subconjuntos densos enumeráveis (são ditos espaços separáveis). Seja S um subconjunto denso no espaço topológico X, e A um aberto de X. Então A Ă S X A Caracterização dos abertos da recta real. Todo aberto da recta real é uma reunião enumerável de intervalos abertos. (Seja A um aberto de R. Para x P A, seja A x a reunião de todos os intervalos abertos B tais que x P B Ă A. Prove que A x é um intervalo aberto. Prove que se x, x 1 P A então ou A x A x 1 ou A x X A x 1 H. Prove que a função f : Q Ñ ta x com x P Au, definida por fprq A x se r P A x, é sobrejectiva, e deduza que A é uma reunião enumerável de intervalos abertos). Determine interior, terior, aderência, fronteira e derivado dos seguintes subconjuntos da recta real: " * n r 1, 0r Y s0, 1r r0, 1r Q Z RzQ n ` 1 com n P N Dê emplos, se istirem, de subconjuntos S Ă R tais que frpsq H intpsq H RzS R S 1 H S 1 é aberto S frpsq S S 1 S 1 X S H S intpsq frpsq frpfrpsqq 4 Aplicações contínuas Aplicações contínuas. Sejam X e Y dois espaços topológicos. A aplicação f : X Ñ Y é contínua em x P X se para toda vizinhança N de fpxq P Y iste uma vizinhança M de x P X tal que fpmq Ă N. A aplicação f : X Ñ Y é contínua se é contínua em todos os pontos de X. Seja S um subconjunto do espaço topológico X, e 1 S : X Ñ R a função característica de S, definida por 1 S pxq 1 se x P S e 1 S pxq 0 se x R S. Prove que 1 S é contínua em x P X sse x R frpsq. Seja f : X Ñ Y uma aplicação contínua entre os espaços métricos X e Y. Se px n q é uma sucessão convergente em X, então pfpx n qq é uma sucessão convergente em Y e lim fpx nq f lim x n nñ8 nñ8 Teorema 4.1 (f contínua ô f 1 (aberto) = aberto). Sejam X e Y dois espaços topológicos, e f : X Ñ Y uma aplicação. As propriedades seguintes são equivalentes: a) f é contínua, b) f 1 paq é aberto em X para todo A aberto em Y, c) f 1 pf q é fechado em X para todo F fechado em Y.

17 4 APLICAÇÕES CONTÍNUAS 17 Demonstração. añb Sejam A um subconjunto aberto e não vazio de Y, e x P f 1 paq. Sendo aberto, A é uma vizinhança de fpxq. Pela continuidade de f em x, iste uma vizinhança M de x tal que f pmq Ă A. Portanto, M está contido em f 1 paq. Isto prova que f 1 paq é aberto em X. bña Sejam x P X e N uma vizinhança de fpxq. N contém um aberto A tal que x P A Ă N. Se a imagem inversa f 1 paq é aberta em X, então f 1 paq é uma vizinhança de x tal que f `f 1 paq Ă A Ă N. Isto prova que f é contínua em x. A equivalência entre b) e c) é evidente. Sejam τ e τ 1 topologias em X, com τ Ă τ 1. Então a função identidade id : X Ñ X é uma aplicação contínua de px, τ 1 q sobre px, τq, mas a inversa pode não ser contínua. Teorema 4.2 (contínua contínua = contínua). Sejam X, Y e Z espaços topológicos, f : X Ñ Y e g : Y Ñ Z duas aplicações. Se f é contínua em x P X e g é contínua em fpxq P Y, então g f é contínua em x P X. Se f e g são contínuas, então g f é contínua. Demonstração. Exercício. Topologia induzida por uma aplicação. Sejam px, τ q um espaço topológico, Y um conjunto não vazio e f : Y Ñ X uma aplicação. A família f 1 pτq f 1 paq com A P τ ( é uma topologia em Y, dita topologia induzida pela aplicação f. É a menos fina das topologias em X tais que f : Y Ñ X é contínua. Topologia quociente. Sejam px, τ q um espaço topológico e uma relação de equivalência definida em X. Existe uma projeção natural π : X Ñ X r do conjunto X sobre o conjunto das classes de equivalência X r X{, definida por x ÞÑ rxs a classe de x. A família! πpτq A Ă X r ) tais que π 1 paq P τ é uma topologia em r X, dita topologia quociente. É a mais fina das topologias em r X tais que a projeção π : X Ñ r X é contínua. eg Espaços projetivos reais. O espaço projetivo real RP n P `R n`1 é o espaço dos subespaços vectoriais de dimensão um (as rectas que passam pela origem) de R n`1. Toda recta de R n`1 que passa pela origem intersecta a esfera unitária S n x P R n`1 t.q. x 1 ( em dois pontos antipodais. Portanto, RP n é o quociente da esfera S n pela relação de equivalência x x. A topologia natural no espaço projetivo RP n é a topologia quociente, induzida pela projeção π : S n Ñ RP n, definida por x ÞÑ a recta de R n`1 passante por x e 0. Topologia relativa e continuidade. Sejam X e Y dois espaços topológicos e f : X Ñ Y uma aplicação contínua. Se Z Ă X é munido da topologia relativa, então a aplicação f Z : Z Ñ Y é uma aplicação contínua. Se fpxq Ă Y é munido da topologia relativa, então a aplicação f r : X Ñ fpxq, definida por fpxq r fpxq, é também uma aplicação contínua. eg Projeções em R n. As projeções π i : R n Ñ R, definidas por π i ppx 1, x 2,..., x n qq x i, são aplicações contínuas, pois são lineares. Uma aplicação f : R n Ñ R m é contínua sse as componentes π i f são contínuas para todos i 1, 2,..., m. Prove que a aplicação ϕ : R Ñ R 2, definida por t ÞÑ pt 2, t 3 q, é contínua e que a sua imagem ϕprq é fechada em R 2.

18 4 APLICAÇÕES CONTÍNUAS 18 Sejam f, g : X Ñ R funções contínuas definidas no espaço topológico X. Prove que são contínuas as seguintes funções f : X Ñ R, definida por x ÞÑ fpxq λf : X Ñ R, definida por x ÞÑ λ fpxq com λ P R f ` g : X Ñ R, definida por x ÞÑ fpxq ` gpxq fg : X Ñ R, definida por x ÞÑ fpxq gpxq 1{f : Xzf 1 t0u Ñ R, definida por x ÞÑ 1{fpxq Sejam f, g : X Ñ R n funções contínuas definidas no espaço topológico X. Prove que são contínuas as seguintes funções f : X Ñ R, definida por x ÞÑ fpxq λf : X Ñ R n, definida por x ÞÑ λ fpxq com λ P R f ` g : X Ñ R n, definida por x ÞÑ fpxq ` gpxq R n2 Seja M n prq o conjunto das matrizes nˆn com entradas reais, identificado ao espaço euclidiano por meio da bijeção M n prq Q A pa ij q ÞÑ pa 11, a 12,..., a 1n, a 21,..., a 2n,..., a nn q P R n2 Prove que a aplicação det : M n prq Ñ R, definida por A ÞÑ detpaq, é contínua. Deduza que o conjunto GL n prq das matrizes n ˆ n invertíveis é um aberto em M n prq. eg Conjuntos de nível. Sejam f : X Ñ R uma aplicação contínua e a P R. Então tx P X t.q. fpxq ă au é aberto em X, pois é a imagem inversa do aberto sa, 8r da recta real, e tx P X t.q. fpxq ď au é fechado em X, pois é a imagem inversa do fechado ra, 8r da recta real. O conjunto de nível f 1 tau tx P X t.q. fpxq au é fechado em X, pois é a imagem inversa do fechado tau da recta real. Em geral, se f : X Ñ Y é contínua, e se os pontos de Y são fechados em Y, os conjuntos de nível f 1 tyu são fechados em X para todo y P Y. eg Subespaços afins. Seja L : R n Ñ R uma aplicação linear diferente da aplicação nula. Os conjuntos de nível L 1 tau, com a P R, são hiperplanos afins de R n. Dois hiperplanos L 1 tau e L 1 tbu definidos pela mesma aplicação linear são paralelos. Em geral, se L : R n Ñ R m é uma aplicação linear e a P R m, o conjunto de nível L 1 tau é um subespaço afim se R n, o conjunto das soluções da equação linear Lpxq a. O conjunto de nível L 1 t0u kerplq é um subespaço vectorial de R n, o conjunto das soluções da equação linear homogénea Lpxq 0. Portanto, L 1 tau L 1 t0u ` a x ` a com x P L 1 t0u ( Os subespaços afins de R n são subconjuntos fechados de R n. eg Gráficos. Seja f : X Ñ Y uma aplicação contínua entre os espaços métricos X e Y, e seja X ˆ Y munido da métrica produto max td X, d Y u. O gráfico de f, definido por graphpfq tpx, fpxqq P X ˆ Y com x P Xu é fechado em X ˆ Y, pois é igual ao conjunto ϕ 1 t0u, onde ϕ : X ˆ Y Ñ R é a função contínua definida por px, yq ÞÑ d Y pfpxq, yq. Aplicações abertas. Sejam X e Y dois espaços topológicos. Uma aplicação f : X Ñ Y é dita aberta se fpaq é aberto em Y para todo A aberto em X. As projeções π i : R n Ñ R são abertas. A função x ÞÑ x 2 definida na recta real não é aberta, mesmo sendo contínua, pois fprq r0, 8r.

19 4 APLICAÇÕES CONTÍNUAS 19 Aplicações fechadas. Sejam X e Y dois espaços topológicos. Uma aplicação f : X Ñ Y é dita fechada se fpf q é fechado em Y para todo F fechado em X. As inclusões i : R n Ñ R m, definidas por ippx 1, x 2,..., x n qq px 1, x 2,..., x n, 0, 0,..., 0q para n ď m, são aplicações fechadas. As projeções π i : R n Ñ R não são fechadas, desde que n ą 1. Por emplo, o conjunto G graph parctan xq, onde arctan : R Ñ R, é fechado em R 2, mas π 2 pgq s π{2, π{2r não é fechado na recta real. A composição de duas funções abertas é aberta. A composição de duas funções fechadas é fechada. Continuidade uniforme. Sejam px, d X q e py, d Y q dois espaços métricos. A aplicação f : X Ñ Y é uniformemente contínua se para todo ε ą 0 iste δ ą 0 tal que d Y pfpxq, fpx 1 qq ă ε se d X px, x 1 q ă δ. Uma aplicação uniformemente contínua é contínua. Lipschitz ñ uniformemente contínua. contínua. Uma aplicação lipschitziana é uniformemente A função x ÞÑ? x, definida em R`, é uniformemente contínua mas não é lipschitziana. A função x ÞÑ x 2 é uniformemente contínua em todos os intervalos limitados ra, bs da recta real, mas não é uniformemente contínua na recta R. A função x ÞÑ 1{x, definida em Rzt0u, é contínua mas não é uniformemente contínua. Homeomorfismos. Sejam X e Y dois espaços topológicos. A aplicação f : X Ñ Y é um homeomorfismo, ou uma equivalência topológica, se é contínua, bijetiva, e se a inversa f 1 : Y Ñ X é contínua. Os espaços topológicos X e Y são ditos homeomorfos, ou topologicamente equivalentes, se iste um homeomorfismo f : X Ñ Y. É imediato ver que: a identidade id : X Ñ X é um homeomorfismo, se f : X Ñ Y é um homeomorfismo então f 1 : Y Ñ X também é um homeomorfismo, se f : X Ñ Y e g : Y Ñ Z são homeomorfismos, então g f : X Ñ Z é um homeomorfismo. Portanto, a equivalência topológica é uma relação de equivalência entre espaços topológicos. Uma notação para indicar que os espaços X e Y são homeomorfos é X «Y. As propriedades comuns às classes de espaços homeomorfos são ditas propriedades topológicas. Por emplo, ser um espaço discreto, ser um espaço trivial, ter um subconjunto denso enumerável, admitir uma base enumerável, são propriedades topológicas. eg Projeções. Seja X ˆ Y o produto topológico dos espaços topológicos X e Y. A projeção π X : X ˆ Y Ñ X definida por px, yq ÞÑ x, é uma aplicação contínua, aberta e sobrejetiva. Em particular, se y P Y, a aplicação π X ˇˇXˆtyu : X ˆ tyu Ñ X é um homeomorfismo. eg Gráficos. Seja f : X Ñ Y uma aplicação contínua entre os espaços topológicos X e Y. A aplicação x ÞÑ px, fpxqq é um homeomorfismo de X sobre graphpfq, cuja inversa é a restrição π X ˇˇgraphpfq da projeção π X : X ˆ Y Ñ X. Portanto, o gráfico de uma aplicação contínua é homeomorfo ao domínio.

20 4 APLICAÇÕES CONTÍNUAS 20 eg Grupos de homeomorfismos. Seja X um espaço topológico. O conjunto HompXq dos homeomorfismos g : X Ñ X é um grupo, dito grupo dos homeomorfismos de X, com respeito à lei de composição. eg Homeomorfismos de R n. Os grupos AffpR n q e IsompR n q são subgrupos de HompR n q. Em particular, o espaço euclidiano R n é um espaço topológico homogéneo: dados dois pontos arbitrários x e x 1 iste um homeomorfísmo g P HompR n q tal que gpxq x 1. eg Projeção estereográfica. Sejam S n x P R n`1 t.q. x 1 ( a esfera unitária de R n`1 e p p0,.., 0, 1q P S n o seu pólo norte. Dado x P S n z tpu, a recta que passa por x e p intersecta o hiperplano tx n`1 0u «R n num único ponto π p pxq : px ` Rpp xqq X tx n`1 0u. A projeção estereográfica π p : S n z tpu Ñ R n, definida por x ÞÑ π p pxq, é um homeomorfismo. Em geral, se x P S n, o espaço S n z txu é homeomorfo a R n. Uma aplicação f : X Ñ Y contínua e bijetiva é um homeomorfismo sse é aberta ou fechada. Determine um homeomorfismo entre as bolas B r pxq e B r 1px 1 q do espaço euclidiano R n (por emplo uma transformação afim). Determine um homeomorfismo entre a recta real e o intervalo s0, 1r. Prove que a aplicação x ÞÑ x{ x 2 é um homeomorfismo de R n z t0u. Prove que a aplicação x x ÞÑ b 1 ` x 2 define um homeomorfismo de R n sobre D n tx P R n t.q. x ă 1u. Determine uns homeomorfismos entre as esferas S n 1 2 : tx P R n t.q. x 2 1u, S n 1 1 : tx P R n t.q. x 1 1u e S n 1 8 : tx P R n t.q. x 8 1u Determine um homeomorfismo entre R 2 z t0u e o cilindro C x P R 3 t.q. x 2 1 ` x (. Deduza que, se x e x 1 são dois pontos distintos da esfera S 2, então S 2 z tx, x 1 u é homeomorfo ao cilindro C. Diga se os seguintes subconjuntos de R n são fechados, abertos, e determine as suas fronteiras: S n 1 tx P R n t.q. x 2 1u D n tx P R n t.q. x 2 ă 1u H n tx px 1, x 2,..., x n q P R n t.q. x n ą 0u px, yq P R 2 t.q. x y 2 ą 0 ( px, yq P R 2 t.q. x 2 y 2 1 ( px, yq P R 2 t.q. xy ă 0 ( px, y, zq P R 3 t.q. z x 2 y 2 0 (