ERRO QUADRÁTICO MÉDIO MULTIVARIADO PONDERADO NA OTIMIZAÇÃO DE MÚLTIPLAS RESPOSTAS

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1 ERRO QUADRÁTICO MÉDIO MULTIVARIADO PONDERADO NA OTIMIZAÇÃO DE MÚLTIPLAS RESPOSTAS Emerson Jose de Paiva (UNIFEI) Joao Roberto Ferreira (UNIFEI) Pedro Paulo Balestrassi (UNIFEI) Anderson Paulo de Paiva (UNIFEI) A otimização de arâmetros de manufatura tem sido alvo de diversas esquisas devido à sua resente aliação na indústria moderna. O grande número de variáveis, a ossível estrutura de variâniaovariânia existente entre elas e a influênnia que uma ode exerer sobre as demais, ontribuem ara aumentar sua omlexidade. Neste trabalho, aresenta-se uma abordagem ara otimização multivariada, baseada no oneito do Erro Quadrátio Médio Multivariado, desenvolvido a artir de uma ombinação entre a Análise de Comonentes Priniais e a Metodologia de Suerfíie de Resostas. Sobre a abordagem original, se roõe uma forma de onderação das resostas vida da ferramenta e taxa de remoção de material, ara o torneamento do aço ABNT 5100 endureido. A roosta é aliada sobre resultados exerimentais ré-existentes, ujas variáveis de entrada foram veloidade de orte, avanço e rofundidade de orte. Os resultados teórios aontam ara a boa adequação da roosta. Palavras-haves: Otimização multivariada; múltilas resostas onderadas; Erro Quadrátio Médio Multivariado.

2 1. Introdução A usinagem de aços endureidos designação atribuída ao roesso de usinagem ara materiais om dureza suerior aos 45 HRC vem sendo bastante utilizado ao longo dos últimos anos, devido ao resente aumento da demanda de omonentes meânios de elevada resistênia ao desgaste, à neessidade de redução dos ustos de fabriação e à redução dos imatos ambientais. Devido à onstante evolução dos materiais ara ferramentas, aliados ao surgimento de máquinas ferramentas mais rígidas e reisas é ossível obter a artir de roessos de torneamento, eças om om rugosidades da ordem de 0, a 0,3 m (SALES, 004), utilizando-se ara isto, tornos CNC de alta reisão, arâmetros otimizados de orte e geometrias eseiais de ferramentas. A substituição do roesso de retifiação elo torneamento ossibilita o trabalho sem utilização de fluidos lubri-refrigerantes, a eliminação de etaas de fabriação, maior rodutividade, baixo onsumo de energia, máquinas-ferramenta de menor usto, a fabriação de eças de geometrias omlexas e a realização de várias oerações numa mesma fixação, o que garante as araterístias geométrias da eça e reduz o temo de usinagem (HASHIMOTO et al, 009; KLOCKE et al, 005). Porém, sem o orreto setu dos arâmetros definidos através de métodos de otimização, difiilmente os benefíios roorionados elas novas tenologias de fabriação, ferramentas e materiais oderiam ser usufruídos (PAIVA et al., 01). Considerando que todo roesso ode ser entendido omo uma relação entre variáveis de entrada (x) e as variáveis de saída (Y), é razoável se admitir que a melhoria da qualidade só ossa ser atingida om a definição do melhor onjunto de arâmetros de roesso (x) aaz de tornar as saídas omatíveis om as eseifiações imostas. Muitas vezes, estas funções são onflitantes e a otimização individual de ada uma delas raramente onduz a uma solução global adequada ara todas. Verifia-se, ortanto, que uma solução adequada só ode ser obtida a artir de uma estratégia de otimização multiobjetivo (CH NG et al., 005). No otimização multiobjetivo, é omum reresentar as múltilas resostas em termos do mesmo onjunto de variáveis de entrada, odendo originar uma estrutura de orrelação entre elas aaz de alterar o valor e a reisão dos oefiientes dos seus termos indeendentes (CHIAO e HAMADA, 001; KHURI, 003). Assim, a orrelação entre resostas omromete a qualidade das soluções obtidas. Se é fato que a orrelação altera os regressores dos modelos (PAIVA, 006; BOX et al., 1978), então, modelos que onsideram a orrelação da estimação dos oefiientes e aqueles que a negligeniam odem onduzir a ontos de ótimo (x*) diferentes. Além disto, a resença de orrelação ode ausar instabilidade nos modelos, sua falta de ajuste e o aumento dos erros de revisão (BOX et al., 1978). Khuri e Conlon (1981) e Brathell (1989) alertam que a negligênia da estrutura de orrelação ou a utilização de métodos de otimização que não a onsiderem, odem onduzir o roesso a ótimos inaroriados. Além disso, é ertinente imaginar que, ao menos uma das resostas, ossa exerer maior influênia sobre as funções de transferênia dos que as outras. Assim, é também ertinente,

3 utilizar-se de uma estratégia de onderação ara que a ontribuição dessa resosta não seja equalizada às demais. Pozo et al. (01) afirmaram que uma das riniais limitações dos métodos existentes ara a solução de roblemas multivariados, é que sua arga omutaional tende a reser raidamente em tamanho, om um elevado número de objetivos simultâneos. Eles utilizaram, então, a Análise de Comonentes Priniais (ACP) ara identifiar elementos redundantes que oderiam ser omitidos sem rejuízo das araterístias riniais do roblema, reduzindo assim a omlexidade assoiada. Além disso, inadequações da ACP odem ser efiazmente ontornadas se todos os roblemas de otimização forem onvertidos em roblemas de alvo (NTB - Nominal the Best), indeendentemente da orrelação observada entre os esores de omonentes e as resostas originais. Assim, na tentativa de se estabeleer um método de otimização multivariada que onsidere adequadamente a estrutura de orrelação, os alvos estabeleidos ara ada função objetivo e a devida onderação das resostas de interesse, aresenta-se uma estratégia de onderação ara o método denominado Erro Quadrátio Médio Multivariado (EQMM), que busa uma solução or meio do uso ombinado da Metodologia de Suerfíie de Resostas (MSR) e da ACP. Para demonstrar sua aliação, os resultados de um roedimento exerimental de torneamento foram submetidos à metodologia roosta.. Desenvolvimento teório Na análise de roessos om múltilas resostas, dá-se eseial atenção ao estudo das fontes de variabilidade que ossam influeniá-lo. Segundo Montgomery (001), ténias estatístias odem ser úteis em todo o ilo rodutivo, rinialmente ara análise, tratamento, redução ou eliminação da variabilidade. Para ele, uma metodologia adequada ara o estudo dessa variabilidade é o Planejamento e Análise de Exerimentos (DOE Design of Exeriments), or meio da modifiação sistemátia, simultânea e lanejada das variáveis de entrada ontroladas e analisando-se os efeitos destas sobre as variáveis de saída. Uma onsiderável vantagem da utilização do DOE, é que este método ode ser útil na desoberta do onjunto de variáveis signifiativas no roesso, em que níveis essas variáveis odem otimizá-lo, além de ermitir o isolamento e estimativa de suas fontes de variabilidade. Arranjos fatoriais omletos orresondem a uma ténia do DOE na qual todas as ossíveis ombinações de níveis dos fatores exerimentais são utilizadas, obrindo todo o esaço exerimental. Na metodologia DOE, o teste emregado ara avaliar a signifiânia dos efeitos das mudanças nos níveis dos fatores é o teste de hiótese ara médias. Na ténia do fatorial omleto, o teste utilizado é a análise de variânia (MONTGOMERY, 001). Embora os arranjos fatoriais sejam muito efiazes, o número de ombinações exerimentais diferentes que estes arranjos ossuem não é omatível om o número de oefiientes resentes nos modelos quadrátios omletos, sendo aazes, orém, de aenas estimar os oefiientes de termos lineares e interações. Para modelos quadrátios, ortanto, existem os hamados arranjos de suerfíie de resosta, dentre os quais se destaa o Arranjo Comosto Central, ou CCD. A MSR é um onjunto de ténias estatístias e matemátias que são utilizadas ara modelar e analisar roblemas ara os quais não existam modelos determinístios onheidos (MONTGOMERY, 001). Aesar de efiaz, a maioria dos trabalhos em MSR têm utilizado a 3

4 metodologia ara a modelagem e a otimização de uma únia araterístia (KOKSOY, 008), solução geralmente insufiiente ara atender a várias resostas simultaneamente. Singh e Rao (007), afirmam que a MSR é uma metodologia rátia, eonômia e relativamente fáil de imlementar. Para Alaeddini e Yang (009), a MSR ode ser emregada ara enontrar um onjunto de fatores que roduzam as melhores resostas; enontrar um onjunto de fatores que satisfaçam as eseifiações de roesso; identifiar novas ondições de oeração que roduzam melhorias sobre as orrentes; e modelar o relaionamento entre os fatores e as resostas. Na maioria dos roblemas de MSR, existe uma relação funional entre as resostas e as variáveis indeendentes. A função olinomial de rimeira ordem desenvolvida ara uma DOE que relaiona uma dada resosta y om k variáveis de entrada e desrita ela Equação1. y x x x k k (1) Onde: y é a resosta de interesse, x i são os arâmetros de entrada, 0, i, ii, ij são oefiientes a serem estimados k= reresenta o número de arâmetros de entrada onsiderados e é o erro. Entretanto, se existir urvatura no sistema, a função de aroximação mais usada é um olinômio de segunda ordem, reresentado ela Equação. y 0 k i1 x i i k i1 x ii i i j x x A existênia de orrelações entre as várias resostas de um onjunto ode exerer forte influênia sobre as funções de tranferênia utilizadas. Para investigar e tratar essas orrelações, muitos esquisadores têm utilizado a abordagem baseada na ACP (LIAO, 005; PAIVA et al., 009). A ACP é uma ténia estatístia multivariada riada or Hotelling (1933) e que se dedia à exliação da estrutura de variânia-ovariânia existente em um onjunto de dados, utilizando-se ombinações lineares das variáveis originais. Segundo Johnson e Wihern (00), Renher (00) e Datta et al. (009), seus objetivos riniais são a redução de dimensionalidade e a interretação de dados, sendo esta ténia utilizada sistematiamente na onversão de múltilos objetivos numa função objetivo singular. Num roesso normal, embora omonentes sejam neessários ara se reroduzir a variabilidade total de um sistema, geralmente, a maior arte desta variabilidade ode ser reresentada or um equeno número k de omonentes riniais. Isto signifia que existe quase tanta informação em k omonentes riniais do que nas variáveis originais. A ideia geral da ACP é, ortanto, que k omonentes riniais odem substituir, sem erda onsiderável de informação, as variáveis originais. O onjunto original de dados, onsistindo de n medições das variáveis, é reduzido ara um onjunto osterior formado or n medições de k omonentes riniais. Neste trabalho, o DOE foi utilizado ara a modelagem matemátia da vida da ferramenta (T) e da taxa de remoção de material (TRM) e as resostas devidamente onderadas, analisadas ela ACP. ij i j ().1. Ponderação de resostas 4

5 O método denominado Erro Quadrátio Médio Multivariado (EQMM), roosto or Paiva (008), aresenta omo rinial vantagem a aaidade de tratar as estruturas de orrelação existentes entre as resostas. Entretanto, em roblemas de otimização, não há evidênias de que os graus de imortânia entre as resostas devam ser iguais, dado que uma determinada araterístia ode ser mais imortante ara o deisor do que as demais. Dessa forma, quando se deseja a otimização de múltilas resostas orrelaionadas om graus de imortânia diferentes, a otimização da resosta mais imortante ode ser rejudiada em favor da otimização da resosta menos imortante. Sendo assim, uma estratégia de onderação das resostas deve ser onsiderada antes da imlementação do EQMM. Portanto, ara o EQMM, roõe-se que a atribuição dos esos às resostas seja realizada antes da ACP e que esta última seja desenvolvida levando em onsideração a matriz de variânia-ovariânia. Além disso, é neessário que as resostas sejam adronizadas antes da onderação. Dessa forma, é realizada iniialmente a adronização das resostas, segundo a Equação (3). y y Z( y ) (3) Onde: Z(y) é o valor adronizado; y é o valor exerimental obtido; y é a média exerimental; y é o desvio-adrão exerimental. y Em seguida, as resostas adronizadas são multiliadas elas resetivas onderações. Várias formas de onderação odem ser utilizadas. Entre elas, Ch ng et al. (005) sugerem que os esos sejam atribuídos de forma que a soma entre eles seja igual a um, ou seja: k i1 i 1 (4) Onde: ω i orresondem aos esos atribuídos ara as resostas; k é o número de resostas onsideradas. Aós a adronização e onderação das resostas, roede-se a ACP, de forma que os omonentes sejam extraídos levando em onsideração a matriz de variânia-ovariânia. Os assos seguintes onsistem no desenvolvimento de modelos quadrátios ara os omonentes riniais e álulo dos alvos em termos desses omonentes. Tais roedimentos são idêntios aos realizados elo EQMM sem onderação. Finalmente, hega-se à formulação ara o EQMM onderado, roondo-se que a otimização de múltilas resostas orrelaionadas, onsiderando níveis de imortânia diferentes entre as resostas, seja realizada a artir do seguinte equaionamento: Minimizar EQMM Sujeito a : x T x k i1 CPi ( ) ( ) Onde: EQMM P Erro Quadrátio Médio Multivariado Ponderado; k Número de omonentes riniais utilizados; P * * CP i * CP( ) i (5) 5

6 CP i * ( ) Modelos de suerfíie de resosta desenvolvidos ara os esores dos omonentes riniais; * ( ) Alvos em termos dos omonentes riniais; CP i * CP i ( ) Autovalores dos omonentes riniais; x T x Restrição do esaço exerimental ara arranjos CCD. 3. Exemlo rátio Para demonstrar a aliação do método da onderação de EQMM, um ensaio exerimental foi lanejado e exeutado, utilizando-se o aço ABNT 5100 endureido, uja omosição químia está desrita na Tabela 1. Tabela 1 Comosição químia do aço ABNT 5100 O torneamento foi realizado utilizando-se de um Torno CNC Nardini Logi 175, om otênia máxima no eixo de 7,5 CV, rotação máxima de 4000 rm, torre om oito osições e torque máximo de 00 kgf.m. Os oros de rova foram usinados a artir dos arâmetros sugeridos elo fabriante. Foi gerado um arranjo exerimental CCD, uja sequênia dos exerimentos seguiu sua ordem adrão e os arâmetros de entrada adotados foram veloidade de orte (V ) veloidade tangenial instantânea resultante da rotação da eça em relação à ferramenta ara a oeração de torneamento, ujos movimentos de avanço e orte oorrem simultaneamente; avanço (f) roduto da taxa de avanço ela rotação da eça; e rofundidade de usinagem (a ) rofundidade ou largura de enetração da ferramenta em relação à eça, medida erendiularmente ao lano de trabalho (DINIZ et al, 008, aud FERRARESI, 1977). A Tabela aresenta os arâmetros e seus resetivos níveis. Os oros de rova utilizados aresentavam dimensões de Φ 49 x 50 mm, reviamente temerados e revenidos, aresentando, aós o tratamento térmio, valores de durezas entre 53 e 55 HC, até uma rofundidade de 3 mm abaixo da suerfíie. As resostas medidas no fim de vida da ferramenta foram: vida da ferramenta (T), temos de orte (T ), temo total do roesso (T t ), usto (K ), taxa de remoção de material (TRM) e rugosidade média (R a ). Para esse trabalho aenas as reostas vida da ferramenta (T) e Taxa de Remoção de Materiais (TRM) foram onsideradas. 6

7 Tabela Parâmetros de usinagem do aço ABNT 5100 Utilizaram-se insertos de erâmia mista (AlO3 + TiC), lasse Sandvik-Coromant GC6050, reoberta or uma fina amada de Nitreto de Titânio (TiN) e geometria ISO CNGA S0155. Utilizou-se um suorte om geometria negativa ISO, ódigo DCLNL 1616H1 e o ângulo de osição r 95. Nesse onjunto de seis resostas, três araterístias foram medidas vida da ferramenta (T), rugosidade média (R a ) e temo de orte (T ) a taxa de remoção de material (TRM) foi obtida diretamente elo roduto V f a ; temo total (T t ) e usto de usinagem (K ) foram alulados segundo as equações desritas em Diniz et al, (008, aud FERRARESI, 1977), utilizando-se os dados omlementares da Tabela 3. Tabela 3 Condições exerimentais no torneamento do aço ABNT

8 Ensaios exerimentais foram estabeleidos utilizando um CCD om bloagem, onstruído de aordo om o arranjo de suerfíie de resosta aresentado na Tabela 4. Tabela 4 Arranjo de Suerfíie de Resosta O modelo de suerfíie de resosta foi aliado, or meio de um CCD, om quatro enter oints, dois bloos e uma distânia axial de rojeto, 1,633, oletando-se, assim, os dados das seis araterístias investigadas. Utilizando-se o software Minitab, om nível de signifiânia de 5%, verifiou-se que os dados suortariam uma fatorização multivariada, segundo a Tabela 5. Na Tabela 5, os dados sueriores (a) reresentam o Coefiiente de Pearson e os inferiores (b), P-Value. 8

9 Tabela 5 Análise de orrelação entre as resostas Como já demonstrado, as seis resostas aresentam-se bem orrelaionadas, suortando, assim, uma otimização multivariada elo método EQMM. Observando-se a orrelação entre as duas variáveis de estudo, vida da ferramenta (T) e taxa de remoção de material (TRM), erebe-se que há uma forte e negativa orrelação. Correlações negativas indiam sentidos ontrários de otimização, ou seja, a maximização da resosta T imliaria na minimização da resosta TRM, e vie-versa. Assim, não se ode ensar em aumentar a rodutividade, elo aumento da remoção de material, sem estar iente da rovável diminuição da vida da ferramenta e onsequente aumento de ustos. Para a realização da otimização onderada das resostas elo método EQMM, as seguintes adatações devem ser realizadas: (a) a adronização das resostas (Equação 3); (b) a esolha do ritério de onderação e os resetivos esos; () a multiliação de ada resosta elo eso resetivo; (d) a extração dos omonentes ela matriz de ovariânia. Este roedimento simles garante que os esos das resostas originais sejam transmitidos ara os esores dos omonentes. Com base nos dados originais (Tabela 4), roedeu-se, iniialmente, à sua adronização, resultando nos dados aresentados ela Tabela 6. 9

10 Tabela 6 Dados adronizados Conforme o ritério de onderação de Ch ng et al. (005), os valores ara os esos foram variados de 0,050 a 0,975. A Tabela 7 aresenta, o resultado da onderação dos dados adronizados, no valor de 0,975 (w) e 0,05 (1-w) ara T e TRM, resetivamente. 10

11 Tabela 7 Ponderação dos dados adronizados Deois de devidamente onderados, os dados foram submetidos à ACP, utilizando-se a matriz de variânia-ovariânia, e não mais a matriz de orrelação, omo no método original. A Tabela 8 aresenta os resultados da ACP. 11

12 Tabela 8 ACP sobre as resostas adronizadas onderadas Em seguida, foram obtidos os modelos quadrátios ara os omonentes riniais e os alvos também foram transformados. CP 01138, 0, 0986V 0, 3111f 0, 499a 1 0, 001V 0, 041V f 0,0005V a 0, 090 f 0, 0614a 0, 0577 fa (6) CP 01159, 0, 0185V 0, 070 f 0, 041a 0, 087V 0, 0004V f 0,0511V a 01136, f 0, 0143a 0, 0115 fa (7) Tabela 9 Dados ara álulos dos alvos Os alvos estabeleidos foram -0,439 ara CP 1 e -0,08 ara CP. 1

13 T XXXII ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Com base em todas as informações levantadas a artir do ensaio exerimental realizado, o modelo de otimização elo EQMM onderado ôde ser gerado. Minimizar EQMM Sujeito a : x x T * * CP,, CP 0, , 017 A otimização realizado elo EQMM onderado hegou aos seguintes arâmetros de entrada: V =0,30, f=0,887 e a =0,674, em valores odifiados. Por fim, a otimização elo EQMM onderado foi reetida ara ada ar de esos fixados a riori. Esse roedimento foi realizado reiteradamente até o limite w=0,975. Segundo Martínez et al. (009), a solução de um roblema de otimização multiobjetivo é usualmente assoiado à onstrução da fronteira de Pareto. Uma fronteira de Pareto é um onjunto de soluções em que uma melhora em um objetivo só ode existir se, em elo menos um dos demais objetivos houver uma iora. Portanto, ada onto desta fronteira reresenta uma solução da função objetivo. Para qualquer ar de soluções dado omo vetores de valores da função objetivo, uma melhoria em um de seus omonentes envolverá iora nos demais. Segundo Ardakani e Noorossana (008), a fronteira de Pareto ode ser utilizada ara se visualizar o omortamento de diversas funções objetivo, otimizadas simultaneamente. A Figura aresenta a Fronteira de Pareto gerada a artir da matriz de onderação, ara as variáveis T e TRM. (8) 7,5 7,00 6,75 Variable T(simul) x MRR (simul) T x MRR (Fronteira) Fronteira de Pareto - T x TRM 6,50 6,5 6,00 5,75 5,50 5,0 5,5 6,0 TRM 6,5 7,0 7,5 Figura Resultados da otimização onderada de EQMM Observa-se, ela Figura, uma Fronteira de tendênia ontínua om o emrego do EQMM Ponderado, uja nuvem de ontos se mantém ao longo da mesma. Essa nuvem de ontos foi simulada a artir de uma distribuição multivariada normal, utilizando-se o vetor de médias e a matriz de variânia-ovariânia dos ontos de ótimo obtidos ara a fronteira. Adiionalmente, foram geradas as Fronteiras de Pareto ara CP 1 e CP (Figura 3). O objetivo aqui era avaliar e ertifiar se os omonentes reresentariam as variáveis originais. 13

14 PC1 XXXII ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Fronteira de Pareto - PC1 x PC (Caso T x K) -1,45-1,50 Variable PC1 x PC PC1 - Sim x PC - Sim -1,55-1,60-1,65-1,70-0,3-0, -0,1 0,0 0,1 PC 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 Figura 3 Fronteira de Pareto ara CP 1 e CP Observa-se ela Figura 3, uma fronteira ontínua, uja nuvem de ontos gerada se mantém ao longo da mesma, jamais extraolando seus limites. Observa-se, também, que a Fronteira de Pareto gerada ara CP 1 x CP é uma função onvexa. 4. Conlusões Pelo exemlo aresentado, erebe-se que a roosta de onderação ao método EQMM é adequada, ois ermite que a otimização alane valores omatíveis ara os arâmetros de entrada, veloidade de orte, avanço e rofundidade de usinagem, onsiderando o grau de imortânia de ada uma das resostas do onjunto. As adatações sugeridas ao método original não imataram no aumento da omlexidade de resolução e resultaram em modelos om exelentes ajustes, assegurando uma onsiderável reresentatividade dos dados originais. Conlui-se, ois, que o método EQMM Ponderado é uma alternativa viável ara a otimização de múltilas resostas, reseitando-se a estrutura de orrelação existente entre elas e o seu resetivo grau de imortânia. 5. Referênias ALLAEDDINI, A., YANG, K. Adative sequential exeriment methodology for resonse surfae otimisation. Int. J. Quality Engineering and Tehnology, v. 1, n. 1, , 009. ARDAKANI, M. K., NOOROSSANA, R. A new otimization riterion for robust arameter design the ase of target is best. International Journal of Advaned Manufaturing Tehnology, v. 38, , 008. BOX, G. E. P., HUNTER, W. G., HUNTER, J. S. Statistis for Exerimenters. John Wiley e Sons, 1 ed.,. 690,

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