Universidade Federal Fluminense INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA

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1 Universidade Federal Fluminense INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Estatística Básica para Engenharia Prof. Mariana Albi 7 a Lista de Exercícios Assuntos: Estatística Descritiva. 1. (Farias e Laurencel (2008) - ex.2.7) Na Tabela abaixo tem-se as médias dos alunos de 2 turmas de Introdução à Estatística Econômica da Faculdade de Economia da UFF no primeiro semestre de Segundo o critério de aprovação da UFF, o aluno que obtiver média inferior a 4 estará reprovado. O aluno que obtiver média maior ou igual a 4 mas menor que 6 terá direito à Verificação Suplementar (VS) e os alunos com média maior ou igual a 6 estarão aprovados. A partir desses dados, construa uma tabela de frequências que ilustre o número de alunos reprovados, com direito à VS e aprovados. 4,4 6,0 6,1 8,0 2,7 0,5 0,5 4,8 2,3 0,9 8,8 4,9 5,0 4,0 4,3 2,1 7,6 4,4 6,3 7,1 7,6 9,0 2,5 4,9 5,3 5,9 4,0 5,2 6,0 4,0 6,0 5,1 3,5 7,9 5,1 3,1 6,0 6,8 6,0 6,2 7,0 4,0 4,7 5,4 5,2 6,1 8,4 6,5 6,9 9,8 4,0 4,0 4,8 4,7 Tabela 1: Média dos alunos de Int.Est.Econômica (2000/1). 2. (Farias e Laurencel (2008) - ex.2.8) Construa o gráfico apropriado para representar a tabela construída no exercício anterior. 3. (Farias e Laurencel (2008) - ex.2) Na tabela abaixo temos dados sobre hábitos de fumo de uma amostra de moradores de uma pequena cidade (dados fictícios). (a) Defina claramente as variáveis envolvidas, estabelecendo o tipo de cada uma. (b) Complete a tabela, acrescentando os totais. (c) Construa as três tabelas possíveis de frequências relativas. Hábitos de Idade de fumo < 20 [20, 30) 30 Fumante Ex-fumante Nunca fumou Tabela 2: Hábitos de fumo.

2 4. (Farias e Laurencel (2008) - ex.2.12) Num estudo sobre a jornada de trabalho das empresas de Produtos Alimentares foram levantados os dados da Tabela abaixo relativos ao total de horas trabalhadas pelos funcionários no mês de agosto (dados hipotéticos). Construa uma tabela de frequências usando 5 classes de mesmo tamanho e construa também o histograma. Para facilitar a solução, os valores mínimo e máximo são: e ,960 5,016 13,015 8,008 6,930 5,544 4,224 6, ,800 57,904 72, ,100 55,935 7,223 3,775 4,224 3,216 7,392 2,530 6,930 1,815 4,338 8,065 10,910 8,408 8,624 6,864 5,742 5,749 8,514 2,631 5,236 8,527 3,010 5,914 11,748 8,501 6,512 11,458 10,094 6,721 2,631 7,082 10,318 8,008 3,590 7,128 7,929 10,450 6,780 5,060 5,544 6,178 13,763 9,623 14,883 17,864 34,848 25,300 52,800 17,732 63,923 30,360 18,876 30,800 19,562 49,240 49,434 26,950 22,308 21,146 14,212 25,520 49,251 30,976 23,338 43,648 26,796 44,880 30,008 30,769 16,907 33,911 27,034 16,500 14,445 28,160 42,442 16,507 36,960 67,760 84,084 89,888 65,340 82,280 86,152 91,080 99,792 77,836 76,032 Tabela 3: Jornada de trabalho de empresas alimentares. 5. (Farias e Laurencel (2008) - ex.2.21) Na Tabela abaixo temos as frequências acumuladas do número de sinistros por apólice de seguro do ramo Automóveis. Complete a tabela, calculando as frequências simples absolutas e relativas e também as frequências acumuladas relativas. Número de Número de sinistros apólices Tabela 4: Número de sinistros por apólice. 6. (Farias e Laurencel (2008) - ex.3.1) O peso médio dos jogadores de um time de futebol (com 11 jogadores) é de 81 kg. Se nenhum pesa menos do que 72 kg, quantos podem pesar 95 kg?

3 Densidade de freqüência 7. (Bussab e Morettin (2002) - ex.6 pág.22) As taxas médias geométricas de incremento anual (por 100 habitantes) dos 30 maiores municípios do Brasil estão dadas abaixo: 3,67 1,82 3,73 4,10 4,30 1,28 8,14 2,43 4,17 5,36 3,96 6,54 5,84 7,35 3,63 2,93 2,82 8,45 5,28 5,41 7,77 4,65 1,88 2,12 4,26 2,78 5,54 0,90 5,09 4,07 Construa um gráfico adequado para representar esses dados e comente sobre as características observadas no gráfico. É possível apontar alguma tendência nos dados? Se sim, em qual direção? Em que intervalo estão mais concentrados? 0,2 40,00% 30,00% 0,1 13,33% 10,00% 6,67% 0, Taxa média geométrica de incremento anual (por 100 habitantes) 7 9 Através do histograma podemos perceber que os dados estão mais concentrados à direita, ou seja, temos mais observações abaixo do valor 5, valor em torno do qual os dados estão mais concentrados. 8. (Vieira (2011) - ex.2 pág.32) Um restaurante tem pronto um questionário que apresenta a todo cliente adulto pedindo informações sobre a qualidade de atendimento dos garçons, das refeições, das bebidas, do ambiente. A escala de avaliação é ótimo (O), bom (B), regular (R), fraco (F). As avaliações no item qualidade dos garçons são apresentadas a seguir: B R O R B B B O B O F R O O O O R O R B R O Que tipo de gráfico você faria para exibir os dados? Construa-o e comente. Como os dados são qualitativos, poderíamos, por exemplo, construir um gráfico de barras para comparar as frequências das diferentes opiniões dos clientes sobre o atendiento dos garçons. Através do gráfico de barras, podemos notar que a maior parte dos garçons acha a qualidade do atendimento dos clientes boa, enquanto apenas uma pequena parte acha o atendimento fraco.

4 9. (Vieira (2011) - ex.6 pág.32) São realizadas propagandas de diferentes produtos na televisão. As pessoas gostam da propaganda? Elas são eficientes? Uma empresa quer saber quanto os consumidores jovens gostam da propaganda e até que ponto considera que jovens são influenciados por ela. Então realiza uma pesquisa de opinião em oito capitais. Das 1084 pessoas entrevistadas, foram obtidas as seguintes respostas: (a) para a questão Gostou da propaganda?, 258 Adorei ; 429 Gostei ; 352 Não me interessei ; 45 Odiei ; (b) para a questão Acha que a propaganda faz os jovens usar o produto, 322 Com certeza ; 430 Pode ser ; 302 Não sei ; 30 Não. Faça tabelas e crie gráficos usando os dados. chegar com o resultado da pesquisa? A que conclusões a empresa deve

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6 10. (Farias e Laurencel (2008) - ex.3.2) Os dados a seguir representam o número de apólices de seguro que um corretor conseguiu vender em cada um de seus 20 primeiros dias em um emprego novo: 2, 4, 6, 3, 2, 1, 4, 3, 5, 2, 1, 1, 4, 0, 2, 2, 5, 2, 2, 1. Calcule a média, a mediana e a moda desses dados, interpretando os resultados obtidos. 11. (Farias e Laurencel (2008) - ex.3.7) Calcule as medidas de dispersão que você conhece para os dados do exercício 5, referentes ao número de apólices vendidas por um corretor de seguros. 12. (Farias e Laurencel (2008) - ex.9 pág.87) Para se estudar o desempenho de 2 companhias corretoras de ações, selecionou-se de cada uma delas amostras das ações negociadas. Para cada ação selecionada, computou-se a porcentagem de lucro apresentada durante um período fixado de tempo, obtendo-se os dados abaixo. Com base nos coeficientes de variação, qual companhia teve melhor desempenho? Corretora A Corretora B média desvio padrão coeficiente de variação Corretora A 55,72 7,46 13,39% Corretora B 55,42 3,09 5,58% As duas corretoras possuem rendimentos médios semelhantes, mas a dispersão da corretora A é muito maior. A corretora B parece ter um comportamento mais estável. 13. (Farias e Laurencel (2008) - ex.3.11) A idade média dos candidatos a um determinado curso de aperfeiçoamento oferecido por uma empresa foi sempre baixa, da ordem de 22 anos. Como esse curso foi preparado para todas as idades, decidiu-se fazer uma campanha de divulgação. Para verificar se a campanha foi ou não eficiente, fez-se um levantamento da idade dos candidatos a última promoção, obtendo-se os resultados da Tabela a seguir. Freq. Freq. Idade abs. rel. (%) Total 50 Tabela 5: Idade dos candidatos de um curso de aperfeiçoamento.

7 (a) Baseando-se nesses resultados, você diria que a campanha surtiu o efeito desejado? (b) Um outro pesquisador decidiu usar o seguinte critério: se a diferença X 22 fosse maior que o valor α = 2σ n, então a campanha teria sido efetiva. Qual a conclusão dele? 14. (Farias e Laurencel (2008) - ex.3.16) Em uma granja foi observada a distribuição dos frangos com relação ao peso apresentada na Tabela a seguir. Peso (g) Freq. Abs. (n i ) Tabela 6: Peso dos frangos. (a) Qual é a média da distribuição? (b) Qual é a variância da distribuição? (c) Construa o histograma. (d) Queremos dividir os frangos em 4 categorias, com relação ao peso, de modo que os 20% mais leves sejam da categoria D; os 30% seguintes sejam da categoria C; os 30% seguintes sejam da categoria B; os 20% restantes sejam da categoria A. Quais os limites de peso entre as categorias A, B, C, D? (e) O granjeiro decide separar deste lote os animais com peso inferior a dois desvios padrões abaixo da média para receberem ração reforçada e também separar os animais com peso superior a um e meio desvio padrão acima da média para usá-los como reprodutores. Qual a porcentagem de animais que serão separados em cada caso? 15. (Farias e Laurencel (2008) - ex.3.19) Os dados da Tabela a seguir representam as notas finais de 54 alunos da turma C1 de Estatística II no segundo semestre de Calcule a nota média, a nota mediana, a nota modal e o 1 o quartil. 3,1 0,8 1,6 6,0 2,8 0,0 0,0 1,0 3,5 0,6 5,0 8,2 0,4 0,0 5,0 0,0 1,8 1,2 0,0 3,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 8,1 6,0 7,6 8,5 0,0 2,5 6,2 2,2 0,0 0,0 0,0 2,0 2,8 0,0 0,0 0,0 7,2 8,0 0,0 0,0 8,4 0,0 4,5 0,2 6,0 3,0 3,0 0,0 0,0 Tabela 7: Nota de 54 alunos da turma C1 de Estatística II no segundo semestre de 1992.

8 16. (Farias e Laurencel (2008) - ex.3.23) Em 1993, o New York Mets teve o seu pior desempenho na Liga Principal de Beisebol (Estados Unidos). Eles foram bem pagos mas jogaram mal. Na Tabela a seguir temos os salários anuais dos jogadores do Mets, em milhares de dólares Tabela 8: Salários dos Mets. (a) Calcule a média, o desvio médio quadrático, a variância e o desvio padrão dos salários. (Obs.: i=1 27x i = e i=1 27x2 i = ) (b) Calcule a mediana e o intervalo interquartil IQ. (c) Usando o critério 1, 5 IQ, liste os possíveis outliers. 17. (Farias e Laurencel (2008) - ex.3.24) No controle de qualidade da produção de cigarros, o peso é uma característica importante. Na Tabela 3.29 temos a distribuição de frequências acumuladas para o peso (em miligramas) dos cigarros de um lote inspecionado. Casses de Freq. Absoluta peso (mg) Acumulada (N i ) Tabela 9: Pesos de cigarros. (a) Construa a tabela de frequências completa, com colunas auxiliares para o cálculo da média e do desvio padrão. (b) Calcule o peso médio e o desvio padrão do peso, não esquecendo de indicar a unidade de medida dessas estatísticas. (c) Calcule a moda bruta dos pesos, indicando a unidade de medida. (d) Calcule o peso mediano; indique a unidade de medida. (e) Calcule o intervalo interquartil IQ.

9 18. (Vieira (2011) - ex.1 (modificado) pág.45) São dados os tempos, em minutos, para o preparo de 1m 3 de uma mistura para construção em solo de cimento por um único operário. Encontre as medidas de posição e as medidas de dispersão que você conhece para os dados abaixo Tabela 10: Tempo, em minutos, de preparo de 1m 3 de uma mistura para construção em solo de cimento por um único operário Medidas de posição: média: 75,5 moda: 76 q 1 = 72 q 2 = 76 q 3 = 78, 5 Medidas de dispersão: amplitude: 17 IQ: 6,5 variância: 24,93 desvio padrão: 4,99 desvio absoluto médio: 5, (Vieira (2011) - ex.3 pág.45) Calcule a média, a mediana e a moda das notas de um aluno, em seis provas de Estatística. Se você fosse o aluno em questão, que medida de tendência central escolheria para representar sua competência? média: 72,5 moda: 9,0 mediana: 8,0 9,0 7,0 6,5 9,0 9,0 3,0 Tabela 11: Notas das provas de Estatística Logo, a decisão mais esperta seria escolher a moda para representar sua competência.

10 20. (Bussab e Morettin (2002) - ex.20 pág.60) O Departamento Pessoal de uma certa firma fez um levantamento dos salários dos 120 funcionários do setor administrativo, obtendo os seguintes resultados (em salários mínimos) da tabela abaixo. faixa salarial freq. relativa 0 2 0, , , ,15 Tabela 12: Salários dos funcionários do setor administrativo de uma certa firma. (a) Esboce o histograma correspondente. (b) Calcule média e os quartis. (c) Se for concedido um aumento de 100% para todos os 120 funcionários, haverá alteração na média? E na mediana? Justifique sua resposta. (d) Se for concedido um abono de dois salários mínimos para todos os 120 funcionários, haverá alteração na média? E na mediana? Justifique sua resposta.

11 (a) 0.2 Densidade Salario (em SM) 10 Histograma para os Salários mensais dos funcionários do setor administrativo (b) Média: x = 1 0, , , ,15 = 3, 65 1º quartil: q 1 = q2 2 Mediana: = q2 = 3, 25 0,40 0,25 (c) (d) Se todos os salários aumentarem em 100%, ou seja, dobrados, a média e a mediana dos salários. Trata-se de um resultado geral que pode ser demonstrado da seguinte maneira: Suponha que haja uma coleção de n valores, denotados por x 1,x 2,...,x n com média x. Seja k uma constante real. Se todos os n valores da coleção acima forem multiplicados por k, teremos: Para a média: x kx = kx n 1 n k = kx Dar um abono de 2 SM para todos os funcionários significa aumentar a média e a mediana em duas unidades. Novamente, esse resultado pode ser generalizado para a soma de qualquer constante real k. Vejamos: Para a média: x 2 = ( k + x ) + + ( k + x ) 1... n kn + x x = n n Um raciocínio semelhante serve para a mediana. n = x + k

12 21. (Bussab e Morettin (2002) - ex.6a pág.41) Numa pesquisa realizada com 100 famílias, levantaram-se as seguintes informações: número de filhos mais que 5 número de famílias Qual a mediana do número de filhos? E a moda? A mediana do número de filhos é a média aritmética das observações de ordem 50 e 51, que é 2. A moda do número de filhos é (Vieira (2011) - ex.3 (modificado) pág.63) Um problema nas universidades brasileiras é que os alunos chegam atrasados e saem antes do término das aulas - mesmo em cursos de bom nível. Um professor que tem 25 alunos conta o número de alunos que já estão em sala de aula no horário estabelecido e conta os que estão na sala quando o horário termina, nas manhãs das quartas-feiras durante 6 semanas. início término Tabela 13: Número de alunos em sala de aula de acordo com o momento. (a) Encontre a média, a mediana e o desvio padrão dos dois conjuntos de dados média mediana desvio padrão (número de alunos por turno). início 8 5,5 6,96 término ,67 (b) Faça um boxplot para cada um dos conjuntos de dados. (c) Compare os resultados obtidos com os dois diferentes conjuntos de dados. Quais as diferenças percebidas através dos gráficos do item anterior?

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14 Referências Bussab, W. e Morettin, P. (2002) Estatística Básica. Editora Saraiva, 5 edn. Farias, A. e Laurencel, L. (2008) Estatística descritiva. Vieira, S. (2011) Estatística Básica. Cengage Learning, 1 edn.