Gravitação Universal Histórico

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1 Gravitação Universal Histórico Desde os primórdios da historia da humanidade, existem registros de observações de corpos celestes. O brilho e o movimento dos astros sempre despertaram a curiosidade dos homens. A Astronomia, a mais antiga das ciências, sempre foi objeto de estudo e curiosidade para o homem, devido à influência que os fenômenos celestes exerciam sobre a vida dos povos mais antigos, utilizando-os para escolher épocas de plantio e colheita, orientando-se nas navegações pelo movimento da Lua e das estrelas e até colocando seus deuses no céu procurando explicar tais fenômenos como manifestações divinas. O estudo dos astros e a conseqüente tentativa de explicar o movimento dos corpos celestes iniciaram-se com os filósofos da Grécia antiga. Aristóteles acreditava que o movimento dos corpos celestes era regido por leis especiais diferentes daquelas verificadas para os movimentos na superfície da Terra, descrevendo o cosmo como um enorme (porém finito) círculo onde existiam nove esferas concêntricas girando em torno da Terra, que se mantinha imóvel no centro delas. Ele considera que os corpos caem para chegar ao seu lugar natural. Na antiguidade, consideram-se elementos primários a terra, a água, ar e fogo. Quanto mais pesado um corpo (mais terra) mais rápido cai no chão. A água se espalha pelo chão porque seu lugar natural é a superfície da Terra. O lugar natural do ar é uma espécie de capa em torno da Terra. O fogo fica em uma esfera acima de nossas cabeças e por isso as chamas queimam para cima. Pensando de modo diferente, o astrônomo grego Aristarco de Samos ( a.c.) foi o primeiro a afirmar que todos os planetas giravam em torno do Sol, deste modo surgiu o Heliocentrismo (Helio=Sol). Mas Aristarco não teve crédito, pois a sabedoria grega baseava-se na idéia de que o homem ocupava o lugar central no universo, favorecida pelo geocentrismo sistematizado pelo astrônomo grego Hiparco (sec. II a.c.). Resumindo, para os gregos a Terra era concebida como sendo o centro geométrico do Universo. Em torno da Terra giravam os astros então conhecidos, na seguinte ordem: Lua, Mercúrio, Vênus, Sol, Júpiter, Saturno a as chamadas estrelas fixas. Cada um desses astros deveria estar fixo numa esfera concêntrica com a Terra, estando as estrelas fixas na esfera mais externa. As esferas giravam ao redor da Terra com um período de revolução característico de cada astro, sendo o período da esfera que continha as estrelas fixas igual a 24 horas, exatamente o período que hoje sabemos é o período de revolução da Terra. Essas hipóteses foram se tornando progressivamente insustentáveis face às observações astronômicas, sofrendo numerosas modificações e correções, e acabaram constituindo as bases da teoria dos Epiciclo proposta por Ptolomeu, o astrônomo de Alexandria. Ptolomeu explicava o movimento planetário considerando que: 1) cada planeta descrevia um movimento circular uniforme percorrendo trajetória de pequeno raio, denominada Epiciclo; 2) por sua vez o centro desse círculo percorria outra circunferência de raio maior, concêntrica com a Terra

2 Como resultado final, a órbita descrita por cada planeta era uma curva contínua denominada Epiciclóide. Com estas considerações, Ptolomeu conseguiu explicar não só qualitativamente, mas também quantitativamente os movimentos dos planetas. A teoria proposta por Ptolomeu prevaleceu por cerca de 15 séculos até ser contestada pelo monge polonês Nicolau Copérnico (1473 / 1543), no século XVI, graças aos seus estudos,a teoria Heliocêntrica se afirmou.copérnico registrou em sua obra "Sobre a revolução dos corpos celestes"("de orbium coelestium revolutionibus"), publicada em 1542, prudentemente no ano de sua morte, que causou grandes polêmicas e acabou sendo colocada na lista dos livros proibidos pela Igreja, um sistema em que o Sol era considerado imóvel e a Terra passava a ser um planeta em movimento com órbitas circulares, como qualquer um dos outros 6, até então, conhecidos : Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno, nessa ordem. Galileu Galilei ( ) foi um ardente defensor das idéias copernicanas. Foi o primeiro a utilizar instrumentos ópticos para observar os movimentos celestes, o que lhe permitiu obter fortes evidências a favor do sistema planetário heliocêntrico de Copérnico, além de verificar que a Lua era redonda e possuía crateras Tycho Brahe ( ) astrônomo dinamarquês registrou vários fenômenos celestes durante 20 anos e catalogou milhares de estrelas concluindo que os planetas giravam em torno do Sol e Lua em torno da Terra. O alemão Johannes Kepler (1571 / 1630), contemporâneo de Galileu e aluno de Tycho Brahe, herdou os registros das pacientes e precisas observações de seu mestre, que lhe permitiram enunciar as três leis que explicam definitivamente como os planetas se movem em volta do Sol. Hoje sabemos que o Sistema Solar é constituído de 9 planetas : Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno e Plutão que, nessa ordem, descrevem órbitas elípticas ao redor do Sol. As conclusões de Kepler e Galileu foram coroadas pelos estudos de Isaac Newton (1643 / 1727), autor da lei da gravitação universal, que explica a mecânica celeste.

3 Leis de Kepler Jonas Kepler 1) Lei das órbitas: "Os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, que ocupa um dos focos". A região mais próxima do Sol é chamada periélio, e a mais afastada afélio Afélio Periélio 2)Lei das áreas: "0 raio vetor de qualquer planeta (segmento que une o centro do Sol ao centro do planeta) varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais". Conclusões: 1-Surge com essa lei um novo conceito de velocidade, a velocidade areolar 2-Se o planeta gasta para ir da posição C até a posição D o mesmo tempo para ir de A até B, já que a distancia AB é maior que a distancia CD, a velocidade linear no trecho AB é maior que a no trecho CD. Concluímos então que no periélio movimento do planeta é mais rápido do que quando o planeta está no afélio. Ou seja, os planetas giram mais depressa quando estão mais perto do Sol e mais lentamente quando estão mais longe. Isto foi explicado mais tarde por Newton e acontece porque, quando um planeta se encontra mais perto do Sol sofre uma força de atração maior do que quando se encontra mais longe. 3-Em trajetórias circulares, a velocidade linear é constante. 4-A energia cinética de translação aumenta do afélio para o periélio, e diminui em sentido oposto. A energia potencial gravitacional varia de maneira oposta.

4 3)Lei dos períodos: "Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores das respectivas órbitas". Esta lei diz-nos que quanto mais afastado do Sol estiver o planeta mais tempo demora a dar uma volta completa ao mesmo. Por exemplo, a terra que está a 1UA do Sol (1unidade astronômica = distância media entre o Sol e a Terra = 150 x10 6 Km) demora um ano a dar uma volta completa ao Sol enquanto o planeta mais afastado do Sol (Plutão) demora 248 Anos terrestres a dar uma volta completa ao Sol e o raio da sua órbita é de 39,4 UA. T 2 / R 3 = K (constante) Onde: T: período de revolução do planeta R: raio da órbita do planeta Considere por exemplo, dois planetas como a Terra e Vênus. Esses dois planetas descrevem trajetórias quase circulares em torno do Sol e completam uma volta em um intervalo de tempo chamado ano do planeta, ou período de translação. Para o caso particular da Terra e de Vênus, se aplicarmos a lei dos períodos, teremos a seguinte relação matemática: Obs. As três leis de Kepler são válidas para quaisquer sistemas em que corpos gravitam em torno de um corpo central. Exemplos: planetas em torno de uma estrela, Lua em torno da Terra, satélites artificiais em torno da Terra. Exercício resolvido Marte tem dois satélites: Fobos, que se move em órbita circular de raio km e período s, e Deimos, que tem órbita circular de raio km. Determine o período de Deimos 2 Sabemos da Terceira Lei de Kepler que: T k onde T é o período de translação do planeta 3 e r é a distância média do planeta ao Sol. r Mas podemos generalizá-la para satélites que orbitam um planeta, desta forma podemos 2 T escrever: F K, onde TF é o período orbital de Fobos em torno de Marte e rf é a 3 r F distância média entre Marte e Fobos. 2 T D Também podemos escrever:, K onde T D 3 é o período orbital de Deimos em torno de rd Marte e r D é a distância média entre Marte e Deimos. Igualando as duas equações podemos escrever : , T r 2 F 3 F T r 4 5 T D 11,4.10 s 1,14.10 s 3 2 D 3 D, portanto temos:, então: T TF. rd D 3 rf

5 LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL (Isaac Newton) Newton, apoiado nas idéias de Kepler, observou que os planetas deviam estar sujeitos a uma força centrípeta, (força de atração para dentro ao contrário de força centrifuga que se exerce para fora) pois não sendo assim, suas trajetórias não seriam curvas. Logo Newton concluiu que essa força era devida à atração do Sol sobre os planetas, deduzindo as Leis de Kepler, que antes disso eram baseadas apenas em observações. A Lei da Gravitação Universal é uma expressão matemática baseada na força de atração do Sol nos planetas cujo enunciado é: Dois corpos quaisquer se atraem com uma força proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa." É expressa matematicamente por: F = (Gm 1 m 2 ) / d 2 Esta equação foi publicada pela primeira vez em 1687 no seu tratado " Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" Onde: F: força de atração G: constante de gravitação universal m 1 e m 2 : massas dos corpos estudados d: distância entre os corpos Esta lei estabelece duas relações importantes: 1-Quanto maior a distância entre dois corpos, menor a força de atração, e vice-versa. 2-Quanto maior as massas dos corpos, maior a força de atração, e vice-versa. A força F 1 de atração que o Sol exerce sobre o planeta é maior que F 2 porque a distância que o planeta está do Sol na posição 1 é menor que a distância na posição 2.

6 Observações Importantes: 1ª) A força gravitacional é sempre de atração 2ª) A força gravitacional não depende do meio onde os corpos se encontram imersos. 3ª) A constante da gravitação universal G teve seu valor comprovado experimentalmente por Henry Cavendish por meio de um instrumento denominado balança de torção. Cavendish equilibrou duas esferas de massa m1 e m2 fixadas nas extremidades de uma barra horizontal a qual foi suspensa por um fio. Ao aproximar das esferas dois outros corpos de massa M1 e M2, também conhecidas, a barra horizontal girou devido à interação entre as massas, torcendo o fio de sustentação. Com os dados obtidos, Cavendish confirmou o valor da constante da gravitação universal. Questões resolvidas 1- O planeta Marte está a uma distância média igual a 2, km do Sol. Sendo 6, kg a massa de Marte e 2, kg a massa do Sol, determine a intensidade da força com que o Sol atrai Marte. Dados: G = 6, Nm²/kg². Dados: d = 2, km, m 1 = 6, kg m 2 = 2, kg Substituindo os dados na equação temos: F = F = F 16, N F= 1, N

7 2- Dois corpos de massas iguais a m 1 e m 2, situados à distância D um do outro, atraem-se mutuamente com força de intensidade F. Qual será a intensidade F' da nova força de interação nas seguintes situações: a) a massa m 1 se torna 2 vezes maior b) a massa m 2 se torna 3 vezes menor c) a distância entre os corpos quadriplica. Primeiro, vamos representar a força F de atração m F F 1 m 2 D Depois vamos expressar a força F substituindo as massas m 1, m 2 e D na fórmula. Então resolveremos as alternativas. a) 2m F ' F ' 1 m 2 D F' = F' =2 F' = 2F b) m 1 F ' D F ' m 2 3 F' = F' = 1/3 F' = F/3

8 c) F' = F 1,2 = F' = 1/16 F' = F/16 F 2, 1 m 1 m 2 4D F 1, 2 3- Uma nave interplanetária parte da Terra e dirige-se à Lua numa trajetória retilínea determinada por um segmento que une o centro da Terra ao Centro da Lua. Sabendo-se que a massa da Terra M T é aproximadamente igual a 81 vezes a massa da Lua M L, determine o ponto no qual é nula a intensidade da força gravitacional resultante que age na nave devido às ações exclusivas da Lua e da Terra Representaremos as forças sobre a nave M T F T F T nave M F L F L M L x d - x d Vamos expressar as forças utilizando a equação de Newton Como a nave está em equilíbrio temos F T = F L X² = 81(d - x)² 9(d-x) = x 9d - 9x = x 10x = 9d x = 9d/10

9 4-Considere três asteróides situados no espaços, conforme as figuras a, b. Determine a força resultante sobre o asteróide 2. Dados: G = 7, N.m²/kg²; m 1 = 2, kg;m 2 = 2, kg; m 3 = 2, ; d = 7, km = 7, m. a) m 1 m 2 m 3 d d b) m 3 d m 1 d m 2 PROCEDIMENTO 1. Representar as forças 2 e 2, sobre o asteróide Calcular a intensidade das forças 2 e 2. 3 Calcular a fora resultante sobre o asteróide 2, utilizando a soma vetorial a) m F 2,1 F 1,2 F 2,3 1 m 3 m 2 F 3,2 d d F 1,2 = = F 1,2 = = 0, = 8, N m 2 F 2,3 = = F 2,3 = = 0, = 6, N F R = 2, N F R m 2

10 b) m 3 F 2,3 F R F 3,2 m 2 F 3,2 F 1,2 F 2,1 m 1 F 1,2 m 2 F 1,2 = 8, N F 3,2 = 6, N F R ² = F 1,2 ² + F 2,3 F R ² = (8, )² + (6, )² F R ² = FR² = = F R ² = F R = 1, N Campo gravitacional Imagine uma cama elástica plana. Se colocarmos nesta cama uma bolinha de gude, iremos notar uma deformação quase imperceptível na mesma. Se pusermos agora a certa distancia da primeira bolinha outra bolinha idêntica, não notaremos nenhuma interação entre elas. Porém, se colocarmos entre elas uma bola de basquete, notaremos uma deformação maior na cama, e se a distancia for conveniente poderemos perceber que as bolinhas de gude irão ser sugadas pela deformação causada pela bola de basquete, sendo atraídas pela mesma. Bem, é mais ou menos assim que atua o campo gravitacional. Imagine por exemplo a Terra como sendo a bola de basquete e duas pessoas como sendo as bolinhas de gude. Da mesma forma que a bola de basquete deforma a cama, a massa da Terra deforma o universo criando o que nós chamamos de campo gravitacional terrestre de forma que nós somos atraídos por essa deformação Ou seja, a Terra assim como todos os corpos celestes, exerce uma força de atração gravitacional sobre os corpos localizados em sua proximidade. Desprezando os efeitos rotacionais do nosso planeta, podemos assimilar o campo gravitacional do modo ao lado.perceba que o vetor campo gravitacional é sempre convergente.

11 A intensidade do campo gravitacional pode ser medida pela aceleração gravitacional adquirida por um corpo de prova no interior do campo. Sua medida é feita utilizando-se da Lei de Newton, em que a força gravitacional exercida pelo planeta é o próprio peso do corpo na posição em que se encontra dentro do campo gravitacional. Seja um corpo de massa m, dentro do campo gravitacional da Terra, cuja massa chamaremos M e seu raio, R. Como o peso do corpo é a força gravitacional com que ele é atraído pela Terra de massa temos: P = Fg m.g = G m M / d 2 onde : g = G. M d 2 que é a equação genérica para o cálculo do campo gravitacional Campo gravitacional na superfície da Terra Em se tratando da determinação do campo gravitacional da superfície da Terra (g 0 ), basta fazemos d = R.Sendo assim a expressão obtida fica: g 0 = G. M R 2 Campo gravitacional em função da altura A expressão obtida permite a determinação da intensidade do campo gravitacional adquirida pelo corpo numa certa altura h da superfície da Terra. g = G M (R + h) 2

12 Campo de gravidade para pontos internos a Terra Imaginando a Terra homogênea e esférica, por causa das razões de simetria, veremos que o campo gravitacional para pontos internos, a uma distância r do centro C da Terra, depende da densidade do corpo e é diretamente proporcional a esta distancia r do centro. Aplicando a equação para o cálculo da gravidade temos: Uma conclusão importante, é que no centro de massa (aproximadamente centro da Terra), a intensidade do campo gravitacional é nula. Sendo assim, podemos construir um gráfico da gravidade em função da distancia em relação ao centro. g g sterra = 9,8 m/s 2 g s = G. M R 2 O R d Pontos internos Pontos externos Observe que para os pontos internos, a gravidade é diretamente proporcional a distancia em relação ao centro, de forma que o gráfico é uma reta crescente a partir da origem. Já para pontos externos, a sua intensidade é inversamente proporcional ao quadrado desta distancia, e para um ponto no infinito note que a curva tende a zero

13 Influencia do movimento de rotação da Terra na intensidade do campo gravitacional Vamos determinar a aceleração da gravidade considerando o movimento de rotação da Terra em torno do seu eixo. A figura abaixo mostra um corpo de massa m suspenso a um dinamômetro fixo sobre a linha do equador e visto a partir do Pólo Norte. As forças que atuam sobre este corpo são:a força gravitacional F e a força elástica F el, cujo módulo coincide com o Peso do corpo. Pelo fato de descrever um movimento circular uniforme, o corpo está sujeito a ação de uma aceleração centrípeta, o que nos leva a conclusão de que as forças gravitacional e elástica não se anulam. Sendo assim temos a partir da mecânica : F c = m.v 2 = m 2.R R Sendo F F el = F c temos : F - F el = m 2.R G. M.m - m.g equador = m 2.R R 2 ou seja, g equador = G. M - 2.R R 2 Força elástica Força gravitacional No Pólo Norte, a rotação da Terra não tem influencia sobre a aceleração da gravidade pois, a aceleração centrípeta é nula ( 2.R=0).Então a gravidade fica : g pólo Norte = G. M R 2 Chegamos então a: g equador = g pólo Norte - 2.R

14 ANEXO: Massa, raio, e campo gravitacional na superfície do Sol, dos planetas do Sistema Solar e da Lua Astro Massa ( kg ) Raio ( m ) g ( m/s 2 ) Sol 2,0 x ,0 x Mercúrio 3,3 x ,6 x ,92 Vênus 4,8 x ,3 x ,82 Terra 6,0 x ,4 x ,80 Marte 6,4 x ,4 x ,92 Júpiter 1,9 x ,2 x ,5 Saturno 5,6 x ,0 x ,8 Urano 8,6 x ,7 x ,80 Netuno 1,0 x ,5 x ,80 Lua 7,3 x ,7 x ,67 FONTE: Handbook of Chemistry and Physics, da Chemical R. Publishing. Exercícios resolvidos 1.Um planeta tem o dobro do raio e o dobro da massa da Terra. Se a aceleração da gravidade na superfície da Terra é g, na superfície do planeta considerado será: a)g/2 b) 2 g c) g2 d) g e) n.d.a. Sendo (g)t a intensidade do campo gravitacional na superfície da Terra, (g)x a intensidade do campo gravitacional na superfície do planeta X. Temos: g T = G. M R 2 g x = G. 2 M (2R 2 ) então, g x = G. 2 M 4R 2 g x = G. M g x = g T (2R 2 ) 2 Alternativa A

15 2. O campo gravitacional na superfície da Terra tem intensidade 10m/s 2. Qual a intensidade do campo gravitacional a uma altura 0,1R, sendo R o raio da Terra? Sendo: (g)sup = G. M a intensidade do campo gravitacional na superfície da terra R 2 g h = G M a intensidade do campo gravitacional a uma altura h da superfície (R + h) 2 g h = G M g h = G M (R + h) 2 (1,1R) 2 g h = G. M g h = 0,83 g s g h = 8,3 m/s 2 1,21R 2 1.Velocidade de translação do corpo Corpos em órbitas circulares Para que um satélite de massa m fique em órbita circular de raio d ao redor de um planeta de massa M é necessário que o satélite seja levado a uma região que prevaleça apenas o vácuo, possibilitando que atue unicamente a força peso do satélite nessa região (resultado da interação com o planeta). Sendo assim a força peso é a força resultante no satélite, o qual, por ser sempre perpendicular à velocidade, age como resultante centrípeta. F c = P

16 2. Energia mecânica Energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial. Vamos agora determinar a energia mecânica de um corpo em órbita circular. Primeiro vamos determinar a energia potencial, e a seguir a cinética A partir da figura vamos determinar a energia mecânica de um corpo de massa m em órbita circular de raio r em torno de outro corpo de massa M calculando separadamente suas energia potencial e cinética m M r Energia Potencial Define-se como energia potencial gravitacional, a forma de energia que é associada a uma posição relacionada com um referencial. Vale lembrar, que a medida que o corpo se afasta a energia potencial aumenta e a cinética diminui.sendo assim, para um ponto no infinito, a cinética é mínima(considerada nula) e a potencial é máxima. Através da mecânica temos que a equação que permite determinar a intensidade da energia potencial é dada por E pot = mgh Sendo a gravidade no ponto determinada por G. M e considerando h = r temos: E pot = m. G. M.r de onde concluímos que E pot = G. M.m r 2 r Porém, podemos perceber pela equação que quanto maior a distancia, a energia potencial tende a zero. Mas,se no infinito a potencial é máxima, como ficamos? A conclusão é que já que no infinito a potencial é máxima e tende a zero, o zero é o valor máximo da energia potencial o que faz com que os outros valores sejam negativos em relação ao infinito. Desta forma, a equação fica como: E pot = - G. M.m r A energia potencial negativa significa que em qualquer ponto do campo, a energia potencial é menor do que no infinito. Podemos dizer também que para mover os corpos que se atraem onde a energia do campo é zero, ou seja, para o infinito, é necessário que corpo externo do campo, proporcione energia aos corpos. Portanto se considerarmos a energia potencial do campo como -20J, consequentemente um corpo externo irá proporcionar 20J da energia para levá-los para o infinito. r 2

17 Energia cinética Energia cinética é a energia associada a um corpo em movimento em relação a um referencial. È determinada matematicamente por Ec = m.v 2 2 Sendo assim, a energia mecânica associada a este corpo em órbita circular é dada por: E M = m.v 2 - G. M.m 2 r Velocidade de escape Ônibus espacial É comum vermos nos noticiários, que a NASA colocou um satélite em órbita da Terra ou lançou uma sonda para estudar os planetas do sistema solar. Para fazer com que objetos sejam lançados no espaço, a NASA e outras agências espaciais trabalham com o consumo mínimo de energia necessário para que tenham um menor custo no lançamento desses objetos. Para isso é necessário saber qual a velocidade mínima para que um objeto, lançado a partir da superfície da Terra, se livre da atração gravitacional. A condição imposta para que a velocidade seja mínima é que o corpo atinja o infinito com velocidade igual a zero (v = 0) Desprezando as forças dissipativas, podemos aplicar a conservação da energia mecânica: a energia mecânica de um sistema permanece constante quando este se movimenta sob a ação de forças conservativas e eventualmente de outras formas que realizam trabalho nulo Ou seja: E M = Ec + Ep Para um corpo na superfície da Terra temos: Ec = m.v 2 e E pot = - G. M.m 2 r Onde: m = massa do corpo M = massa da Terra M = 6,0x10 24 kg R = Raio da Terra R = 6,4x10 6 m G = constante universal da gravitação G = 6,67x10-11 N.m 2 /kg Ec = energia cinética Ep = Energia potencial Gravitacional

18 Para um corpo no infinito temos: E c = 0 e E Pot = 0 Como a energia mecânica é conservada, ficamos com: m.v 2 - G. M.m = 0 m.v 2 = G. M.m 2 r 2 r Isolando a velocidade ao quadrado e simplificando as massas (m), temos: Extraindo a raiz quadrada nos dois termos da equação, temos que esc Sabendo que a constante gravitacional G é igual a 6,67x10-11 N.m 2 /kg, que a massa (M) da Terra é igual a 6,0x10 24 kg e que o raio (R) da Terra é 6,4x10 6 m, chegamos ao resultado: Dividindo por 10 3, temos que a velocidade de escape é de: v = 11,3 km/s Essa é a velocidade necessária para que um corpo se livre do campo gravitacional da Terra. Como vemos, a velocidade de escape de um corpo, lançado a partir da superfície da Terra, não depende da massa (m) desse corpo. Exercícios resolvidos 1.(FFP) Supondo a Terra perfeitamente esférica e desprovida de atmosfera, qual deverá ser a velocidade de um corpo para que, lançado, horizontalmente, entre em órbita circular rasante?(dados: raio da Terra = R = 6400km. g próximo à superfície: 10m/s2) 6, V= m/s v = 8 km/s

19 2. Um projétil é lançado, radialmente, a partir da superfície da Terra com velocidade inicial igual à metade da velocidade de escape. Sabendo que o raio da Terra é R e desprezando-se sua rotação, determine a altura radial, em relação à superfície da Terra, atingida pelo projétil. a) 4/3 de R b) 7/8 de R c) R/3 d) 5/8 de R e)2/3 de R Vamos, primeiramente, calcular a velocidade de escape. Por definição, essa velocidade é aquela mínima necessária para um objeto fugir do campo gravitacional de outro corpo. No caso do planeta terra, segundo o teorema da energia cinética, temos: -GmM/R = ΔEc -GmM/R = m(0²-v²)/2 GM/R = v²/2 v = (2GM/R) Sabendo que a velocidade de lançamento é igual à metade de v e que a velocidade do projétil é nula no auge de sua trajetória, consoante o teorema da conservação da energia mecânica, temos: -GmM/R+m(v/2)²/2 = -GmM/(R+h) -GmM/R+m(2GM/4R)/2 = -GmM/(R+h) -GmM/R+GmM/4R = -GmM/(R+h) -3GmM/4R = -GmM/(R+h) R+h = 4R/3 h = 4R/3-R = R/3 Alternativa C

20 Variação da aceleração gravitacional na Terra Leitura Complementar I Cientistas geofísicos também podem usar os dados da sonda para investigar o que ocorre nas entranhas profundas da Terra, especialmente naqueles pontos susceptíveis a terremotos e erupções vulcânicas.[imagem: ESA/GOCE] Cientistas fazem mapa da gravidade da Terra Jonathan Amos/BBC - 29/06/2010 Variações na gravidade Cientistas criaram um mapa da força da gravidade na superfície terrestre, mostrando as diferentes influências desta força física ao redor do planeta. O modelo, conhecido como geóide, define onde estão os níveis da gravidade na superfície terrestre em relação a uma média, indicando onde ela é mais forte ou mais fraca. Os cientistas afirmam que os dados podem ser usados em inúmeras aplicações, entre elas nos estudos de mudança climática, para ajudar a entender como a grande massa de oceanos movimenta o calor ao redor da Terra. Embora comumente estabelecida em 9,8 metros por segundo ao quadrado (m/s 2 ) a gravidade terrestre na verdade varia entre 9,78 m/s 2 no equador, até 9,83 m/s nos pólos. Mapa da gravidade terrestre O mapa da gravidade foi desenhado a partir de medições precisas realizadas pela sonda espacial Goce, sigla formada a partir das iniciais da sonda exploradora de campo gravitacional e equilíbrio estacionário. A sonda Goce circula na órbita terrestre a uma altitude de pouco mais de 250 km da superfície - a órbita mais baixa de um satélite de pesquisa em operação. Com um desenho futurístico, ela é também uma das mais belas sondas espaciais já lançadas.. A Goce carrega três pares de blocos de platina dentro de seu gradiômetro - o aparelho que mede o campo magnético da Terra - capazes de perceber acelerações leves da gravidade sentida na superfície - 1 parte em Em dois meses de observação, o satélite mapeou diferenças quase imperceptíveis na força exercida pela massa planetária em diferentes pontos do globo. O mapa define, em um determinado ponto, a superfície horizontal na qual a força da gravidade ocorre de maneira perpendicular a ele. Estas inclinações podem ser vistas em cores que marcam como os níveis divergem da forma elíptica da Terra.

21 No Atlântico Norte, perto da Islândia, o nível se situa a cerca de 80 metros sobre a superfície do elipsóide. No Oceano Índico, esse nível está 100 metros abaixo. Os cientistas dizem que o mapa permitirá aos oceanógrafos definir como seria a forma dos oceanos se não houvesses marés, ventos e correntes marítimas. Subtraindo a forma do modelo, ficam evidentes estas outras influências. Esta informação é crucial para criar modelos climáticos que levem em conta como os oceanos transferem energia ao redor do planeta veja A sonda Goce circula na órbita terrestre a uma altitude de pouco mais de 250 km da superfície - a órbita mais baixa de um satélite de pesquisa em operação. Com um desenho futurístico, ela é também uma das mais belas sondas espaciais já lançadas. [Imagem: ESA] Geóide Há outros usos para o geóide. O modelo fornece um sistema universal para comparar altitudes em diferentes partes da Terra, à semelhança dos aparelhos de nivelamento que, na construção, revelam aos engenheiros para onde um determinado fluido corre naturalmente dentro de um tubo ou cano. Cientistas geofísicos também podem usar os dados da sonda para investigar o que ocorre nas entranhas profundas da Terra, especialmente naqueles pontos susceptíveis a terremotos e erupções vulcânicas. "Os dados da Goce estão mostrando novas informações no Himalaia, na África Central, nos Andes e na Antártida", explica o coordenador da missão da ESA, Rune Floberghagen. "São lugares bem inacessíveis. Não é fácil medir variações de alta frequência no campo gravitacional da Antártida com um avião, porque há poucos campos aéreos a partir dos quais operar." Combustível A altitude extremamente baixa da Goce deveria limitar a utilização da sonda por no máximo mais dois anos. Entretanto, níveis relativamente baixos de atividade solar produziram condições atmosféricas calmas, fazendo o satélite consumir menos combustível que o estimado. A equipe acredita que a sonda poderia ser utilizada até 2014, quando a falta de combustível desaceleraria a missão, obrigando-a a sair de órbita, queimando-se na atmosfera. O novo mapa foi apresentado em um simpósio sobre observação terrestre em Bergen, na Noruega, onde também estão sendo apresentados dados recolhidos por outras missões da Agência Espacial Europeia (ESA, na sigla em inglês). Antes do fim da década, cerca de 20 missões da ESA, totalizando cerca de 8 bilhões de euros, serão lançadas para observar o espaço através de sondas espaciais. Fonte:

22 Leitura Complementar II Por que a água tem sentido de rotação horário no Hemisfério Sul e anti-horário no Hemisfério Norte ao penetrar no ralo de uma pia? Uma molécula de água A sofre os efeitos das forças F g1 e F c1, deslocando-se conforme a direção dessas forças. Esses mesmos efeitos aparecem nas moléculas de ar nos movimentos dos tufões. Influências Sobre as Correntes Marítimas nos Oceanos Nos oceanos, as moléculas de água sofrem influência das forças: - Força de Gravidade Fg 1 no sentindo Oeste-Leste, sendo máximo no Equador; - Força Centrífuga Fc 2 sempre na direção do Equador; - efeito de temperatura; - efeito dos ventos nas moléculas da superfície; e - maré. As duas primeiras fazem com que as correntes tenham sempre um movimento horário no Hemisfério Sul e anti-horário no Hemisfério Norte. As forças Fg 1 e Fc 1 deverão ajudar bastante no estudo das correntes marítimas, principalmente a primeira, por ser ainda desconhecida pela ciência atual. Para a ciência, são forças fictícias e denominada Força de Coriolis

23 Leitura Complementar III Imponderabilidade É comum vermos astronautas e objetos nesse estado de "levitação" ou de "ausência de peso" quando no espaço. Isso ocorre porque o conjunto nave e astronautas se encontra em órbita ao redor da Terra, em constante queda livre Na verdade, o termo "ausência de peso" é impreciso. A Lei da Gravitação Universal de Newton declara que a força de atração gravitacional F entre a Terra e o conjunto (nave, astronautas e equipamentos) continua a atuar e que a sua intensidade varia com o inverso do quadrado da distância d entre a Terra e a nave, ou seja, F = k/d 2. Isso significa que, com o aumento da distância, o valor da força gravitacional (peso) sobre o astronauta diminui, mas não é nulo! Um astronauta que pese 800 Newtons na superfície terrestre tem seu peso reduzido para, aproximadamente, 720 Newtons quando em órbita na ISS(estação espacial internacional). Descontados os efeitos da rotação terrestre, seu peso é diminuído somente em 10%. Portanto, a sensação de "levitar" ocorre não por "ausência de peso", mas, sim, porque a nave e tudo o que se encontra no seu interior caem com a mesma velocidade vetorial e estão submetidos à mesma aceleração durante a queda. Essa sensação pode ser experimentada, aqui na Terra, quando uma pessoa sentada no carrinho de uma montanha-russa "despenca" de uma determinada altura. Durante aqueles poucos segundos de queda, a pessoa continua sentindo o puxão gravitacional.porém ela e o assento estão submetidos à mesma aceleração gravitacional (g). Dessa forma, a pessoa não exerce compressão sobre o assento e tem a sensação de estar "flutuando". Vale a pena conferir o site em que o astronauta brasileiro descreveu as experiências que foram realizadas na estação espacial internacional e responde a algumas curiosidades, entre elas, como utilizar o banheiro e garantir que "nada" fique flutuando indevidamente pela cabine devido à imponderabilidade no espaço! Fonte : UOL educação

24 Exercícios 01. O cometa de Halley atingiu, em 1986, sua posição mais próxima do Sol (periélio) e, no ano de 2023, atingirá sua posição mais afastada do Sol (afélio). Assinale a opção correta: a) Entre 1986 e 2023 o cometa terá movimento uniforme. b) Entre 1986 e 2023 a força gravitacional que o Sol aplica no cometa será centrípeta. c) Ao atingir o afélio, no ano de 2023, a energia potencial gravitacional do sistema Sol-cometa será máxima. d) A energia potencial gravitacional do sistema Sol-cometa foi máxima no ano de e) No ano de 2041 a energia potencial do sistema Sol-cometa será máxima. 02. (FUND. CARLOS CHAGAS) um satélite da Terra move-se numa órbita circular, cujo raio é 4 vezes maior que o raio da órbita circular de outro satélite. Qual a relação T 1 /T 2, entre os períodos do primeiro e do segundo satélite? a) 1/4 b) 4 c) 8 d) 64 e) não podemos calcular a razão T 1 /T 2, por insuficiência de dados. 03. Os cientistas que se seguem deram importantes contribuições para nosso conhecimento atual do movimento dos planetas: 1. Copérnico 2. Ptolomeu 3. Keple Se os nomes desses homens forem arranjados em ordem do começo de suas contribuições, com a primeira contribuição colocada antes, a ordem correta será: a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 1 c) 3, 1, 2 d) 1, 3, 2 e) 2, 1, 3

25 04. Considere uma estrela em torno da qual gravita um conjunto de planetas. De acordo com a 1ª lei de Kepler: a) Todos os planetas gravitam em órbitas circulares. b) Todos os planetas gravitam em órbitas elípticas em cujo centro está a estrela. c) As órbitas são elípticas, ocupando a estrela um dos focos da elipse; eventualmente, a órbita pode ser circular, ocupando a estrela o centro da circunferência. d) A órbita dos planetas não pode ser circular. e) A órbita dos planetas pode ter a forma de qualquer curva fechada. 05. (PUC - RJ) Um certo cometa se desloca ao redor do Sol. Levando-se em conta as Leis de Kepler, pode-se com certeza afirmar que: a) a trajetória do cometa é uma circunferência, cujo centro o Sol ocupa; b) num mesmo intervalo de tempo Dt, o cometa descreve a maior área, entre duas posições e o Sol, quando está mais próximo do Sol; c) a razão entre o cubo do seu período e o cubo do raio médio da sua trajetória é uma constante; d) o cometa, por ter uma massa bem menor do que a do Sol, não á atraído pelo mesmo; e) o raio vetor que liga o cometa ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. 06. (CESGRANRIO) A força da atração gravitacional entre dois corpos celestes é proporcional ao inverso do quadrado da distância entre os dois corpos. Assim é que, quando a distância entre um cometa e o Sol diminui da metade, a força de atração exercida pelo Sol sobre o cometa: a) diminui da metade; b) é multiplicada por 2; c) é dividida por 4; d) é multiplicada por 4; e) permanece constante. 07. Considere um corpo A de massa 20kg. Para que este corpo atraia o planeta Terra com uma força de 50N, sua distância à superfície terrestre deve ser aproximadamente igual: a) ao raio da Terra; b) ao dobro do raio da Terra; c) ao quádruplo do raio da Terra; d) à metade do raio da Terra; e) a um quarto do raio da Terra. 08. Explorer 7 é um satélite artificial norte-americano em órbita elíptica, cuja distância ao centro da Terra varia entre 4150 e 5500 milhas. Comparada com a velocidade à distância de 5500 milhas, sua velocidade à distância de 4150 milhas é: a) maior, na razão 4150 para 1; b) maior, na razão 5500 para 4150; c) a mesma; d) menor, na razão 4150 para 5500; e) menor, na razão 1 para 5500.

26 09. (FEEPA) Se considerarmos que a órbita da Terra em torno do Sol seja uma circunferência de raio R e que V e G sejam, respectivamente, o módulo da velocidade orbital da Terra e a constante de gravitação universal, então a massa do Sol será dada por: a) R V 2 / G b) G V 2 / R c) V 2 / R G d) R G / V 2 e) V 2 R G 10. Um satélite espacial encontra-se em órbita em torno da Terra e, no seu interior, existe uma caneta flutuando. Essa flutuação ocorre porque: a) ambos, o satélite espacial e a caneta encontram-se em queda livre; b) a aceleração da gravidade local é nula; c) a aceleração da gravidade, mesmo não sendo nula, é desprezível; d) há vácuo dentro do satélite; e) a massa da caneta é desprezível, em comparação com a do satélite. 11. Um satélite (S) gira em torno de um planeta (P) numa órbita circular. Assinale, dentre as opções abaixo, aquela que melhor representa a resultante das forças que atuam sobre o satélite. 12. Baseando-se nas leis de Kepler pode-se dizer que a velocidade de um planeta: a) independe de sua posição relativamente ao sol; b) aumenta quando está mais distante do sol; c) diminui quando está mais próximo do sol; d) aumenta quando está mais próximo do sol; e) diminui no periélio. Gabarito 01 - C 02 - C 03 - E 04 - C 05 - E 06 - D 07 - A 08 - B 09 - A 10 - A 11- B 12 - D