Material Teórico - Módulo de Geometria Espacial 1 - Fundamentos. Pontos, Retas e Planos - Parte 3. Terceiro Ano - Médio

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1 aterial Teórico - ódulo de Geometria Espacial 1 - Fundamentos Pontos, Retas e Planos - Parte 3 Terceiro no - édio uto: Prof. ngelo Papa eto Revisor: Prof. ntonio aminha. eto Portal da OEP

2 1 Separação do espaço por um plano esta seção iremos demonstrar o seguinte fato, intuitivamente claro: um plano divide o espaço em dois subconjuntos disjuntos, chamados semiespaços. Este fato está em analogia com o que acontece na geometria plana, onde uma reta divide o plano em dois subconjuntos disjuntos chamados semiplanos. pesar de serem intuitivamente claros, esses fatos requerem um tratamento rigoroso, baseado apenas nos axiomas, e isso está longe de ser trivial. Para demonstrarmos as afirmações acima, precisamos de axiomas que capturem a ideia de estar entre. Vamos usar alguns dos axiomas selecionados pelo matemático alemão avid Hilbert ( ) em seu famoso livro Fundamentos de Geometria, publicado em 1899 (veja o item [7] das Sugestões de Leitura omplementar). ideia de estar entre é apresentada por Hilbert como uma noção primitiva, mais especificamente, como uma relação ternária não definida. ados três pontos colineares (isto é, sobre uma mesma reta), e, usamos o símbolo paraindicarque estáentree. Essa relação satisfaz os seguintes axiomas, chamados axiomas de ordem, os quais capturam a ideia intuitiva que temos sobre a noção de estar entre: (O-1) Se, então. (O-2) Se e são pontos distintos sobre uma reta l, então existem, em l, dois pontos e tais que e. (O-3) Se, e são três pontos distintos sobre uma reta l, então exatamente um dos três está entre os outros dois. Em símbolos, exatamente uma das três possibilidades a seguir ocorre:, ou. (O-4) (xioma de Pasch) ados três pontos não colineares (isto é, não todos sobre uma mesma reta), e, e uma reta l tal que l, l e l, se l contém um ponto entre e, então l contémum ponto entre e ou contém um ponto entre e, mas essas duas possibilidades não ocorrem simultaneamente. O axioma (O-1) garante que a relação estar entre é simétrica, ou seja, para decidir se um ponto está entre outros dois, é irrelevante qual desses dois pontos está à direita ou à esquerda. O axioma (O-2) garante a densidade dos pontos em uma reta, ou seja, garante que entre dois pontos de uma reta sempre há um terceiro ponto, logo, uma infinidade de pontos. Intuitivamente, ele também garante que é possível estender uma reta indefinidamente, nos dois sentidos. O axioma (O-3) estabelece que uma reta não pode ser uma curva fechada, como um círculo por exemplo. O axioma (O-4), surgiu em 1882, no trabalho do matemático alemão oritz Pasch ( ). Pasch foi pioneiro na abordagem moderna da geometria, que se ocupa em desenvolvê-la a partir de axiomas, sem a tentativa de interpretar fisicamente as noções primitivas. O axioma de Pasch afirma que, se uma reta não passa pelos vértices de um triângulo e cruza um de seus lados, então ela também cruza exatamente um de seus outros dois lados (veja a figura 1). l Portal da OEP Figura 1: axioma de Pasch. om os axiomas de ordem podemos definir o segmento, para, como sendo o conjunto dos pontos, situados sobre a reta determinada por e e tais que =, = ou (i.e., está entre e ). seguir, utilizamos os axiomas de ordem para estabelecer a noção de semiespaço, que é o objetivo desta seção. Teorema 1. Todo plano divide o espaço em dois subconjuntos, chamados semiespaços, os quais têm as seguintes propriedades: (a) Se dois pontos P e Q estão em um mesmo semiespaço, então PQ =. (b) Se P e Q estão em semiespaços distintos, então PQ. Prova. Seja um ponto do espaço que não pertence ao plano. Sua existência é garantida pelo axioma (E-4) (veja a parte 1). onsideremos os dois conjuntos abaixo: S 1 = {X X e o segmento X intersecta }, S 2 = {X X e o segmento X não intersecta } {}. laramente,auniãos 1 S 2 esgotatodosospontosdo espaço. lém disso, dado um ponto O, consideremosa reta O que passa por e por O. O axioma (O-2) garante que existem pontos e tais que O e O. 1 matematica@obmep.org.br

3 ssim, S 1 e S 2, o que implica que S 1 e S 2. evemos observar também que, de acordo com a definição de S 2, o ponto pertence a S 2. lém disso, é claro que S 1 S 2 =. O Figura 2: plano dividindo o espaço em dois semiespaços. gora, dados P e Q em S 2, vamos mostrar que PQ =. Observe que, pela definição de S 2, o fato de P S 2 implica P = ; da mesma forma, Q S 2 implica Q =. nalisemos dois casos separadamente: (i) Se,P e Q são colineares, há os três subcasos a seguir: Se P Q, então PQ = P Q. Se P Q, então PQ P. Se P Q, então PQ Q (veja o axioma (O-3)). o primeiro subcaso, as igualdades P = e Q = implicam PQ = (P Q) =. o segundo subcaso, P = e PQ P implicam PQ =. Finalmente, no terceiro subcaso, Q = e PQ Q implicam PQ =. (ii) Suponha, agora, que,p e Q não são colineares. Seja β o plano determinado por,p e Q, e consideremos separadamente os subcasos β e β. Se β, então PQ β implica PQ =, conforme desejado. Se β, então sabemos que β = t, uma reta. Suponhamos, por absurdo, que PQ = {X}. Então, Portal da OEP X PQ β = t, de sorte que X PQ t e, por conseguinte, PQ t. omo,p,q, a reta t (que está contida em ) não passa por vértice algum do triângulo P Q. Isso, juntamente com o fato de PQ t, garante que o xioma de Pasch se aplica para garantir que P t ou Q t. Por sua vez, as relações acima significam respectivamente que P ou Q, o que é o mesmo que P S 1 ou Q S 1. as, como S 1 S 2 =, segue daí que P S 2 ou Q S 2, o que contraria as hipóteses. Tal contradição mostra que deve ser PQ =. É, ainda, necessário mostrar que: Se P S 1 e Q S 1, então PQ =. Se P S 1 e Q S 2, então PQ. s demonstrações desses fatos seguem raciocínios análogos aos que utilizamos acima, de forma que as deixaremos a cargo do leitor. 2 onstrução de pirâmides e prismas esta seção, utilizaremos os resultados já estabelecidos nas partes 1 e 2 para construir duas classes importantes de sólidos: aspirâmides eosprismas. Umavezqueadefinição de tais sólidos utilizará o conceito de polígono convexo, começamos recordando o que vem a ser um tal objeto. onsidere um polígono plano n, onde n 3 é um número natural (veja a figura 3). i+3 i+2 i+1 i 3 i i 2 i 1 Figura 3: um polígono convexo. 2 matematica@obmep.org.br

4 Os pontos i, para 1 i n, são os vértices do polígono. Seja o plano que contém o polígono. Para cada inteiro 1 i n, a reta que passa pelos vértices i e i+1 (aqui, convencionamos que, se i = n, então n+1 = 1 ) determina, em, dois semiplanos S i e S + i, tais que = S i S + i. Se, para cada inteiro 1 i n, os vértices do polígono diferentes de i e i+1 pertencerem todos a S + i ou todos a S i, diremos que o polígono n é convexo. Sejam um plano e n (n 3) um polígono convexo contido em. omo antes, sempre que for necessárioreferirmo-nosao lado i i+1 do polígono,convencionamos n+1 = 1, de maneira que n n+1 = n 1. Peloaxioma(E-4),existeumpontoV. seguir, iremos construir a pirâmide de base n e vértice V (veja a Figura 4). ados dois vértices consecutivos i i+1, com 1 i n, o triângulo i i+1 V está contido em um plano β i. Temos β i, uma vez que V. lém disso, se i j, afirmamos que β i β j. e fato, se j < i (o caso i < j pode ser tratado de modo análogo), então j, i e i+1 seriam três pontos distintos e não colineares 1 em, e também em β i = β j. Pelo axioma (E-3), teríamosβ i =, de sorteque V β i =, o que nãoocorre pela escolha de V. Tal contradição garante que, realmente, não podemos ter β i = β j. V i i+1 β i Figura 4: construindo uma pirâmide. Portal da OEP Seja (pelo Teorema 1) E 0 o semiespaço determinado por e contendo o ponto V. Para cada inteiro 1 i n, seja E i o semiespaço determinado pelo plano β i e que contém pelo menos um vértice j, com j {i,i + 1}. ão é difícil mostrar (faça isso!) que, de fato, β i contém todos o polígono n. pirâmide P de base n e vérticev é a regiãodo espaçoobtida como interseçãodos 1 não colinearidade desses três pontos decorre da convexidade do polígono n. Verifique isso! semiespaços E 0,E 1,...,E n : P = n E i. i=0 O polígono n é a base de P. Para 1 i n, os segmentos i i+1 e V i são as arestas de P. Também para 1 i n, os triângulos i i+1 V, são as faces laterais da pirâmide P, razão pela qual os segmentos V i são frequentemente denominados de arestas laterais da pirâmide. Por vezes usamos, por abuso de linguagem, a palavra pirâmide para indicar a superfície que delimita a região P do espaço. s pirâmides são exemplos de sólidos mais gerais, chamados poliedros, os quais serão estudados mais adiante. lassificamos as pirâmides conforme o número de lados de sua base. ssim, se a base da pirâmide for um triângulo, ou um quadrilátero, ou um pentágono, etc., diremos que a pirâmide é triangular, ou quadrangular, ou pentagonal, etc., respectivamente. Uma pirâmide triangular também é chamada de tetraedro. Em geral, se a base de uma pirâmide for um polígono n, diremos que se trata de uma pirâmide n gonal. onsideremos, agora, um polígono convexo n contido em um plano, e um ponto 1. PeloTeorema 14 da parte 1, existe um único plano β, paralelo ao plano e passando pelo ponto 1. Fixemos a reta l 1 = 1 1 (veja a Figura 5). Por cada ponto i, com 1 < i n, considere a única reta l i, passando por i e paralela a l 1. β 1 l Figura 5: construindo um prisma. Para cada inteiro 1 < i n, a reta l i intersecta o plano β. e fato, se l i fosse paralela ao plano β, então (cf. Teorema 10 da parte 1) l i seria paralela a uma reta t contida em β. Então, pelo Teorema 7 da parte 1, l 1 l i e l i t implicariam l 1 t e, portanto (novamente o Teorema 10 da parte 1), l 1 β. as l 1 não é paralela ao plano β, de forma que l i não pode ser paralela ao plano β. Para cada inteiro 1 < i n, seja i o ponto de interseçãoentre l i e o plano β. omo antes, convencionemos l matematica@obmep.org.br

5 que n+1 = 1 e n+1 = 1. Para 1 i n, afirmamos que o quadrilátero i i+1 i+1 i é um paralelogramo. e fato (veja novamente a Figura 5), a reta determinada por i i é l i e a reta determinada por i+1 e i+1 é l i+1. omo l i l 1 e l i+1 l 1 por construção, temos (uma vez mais pelo Teorema 7 da parte 1) que l i l i+1. Por outro lado, sejam r i a reta determinada por i e i+1, e s i a reta determinada por i e i+1. Essas retas são coplanares, pois estão contidas no plano determinado por l i e l i+1. Se elas tivessem um ponto em comum, tal ponto pertenceriaàinterseçãodosplanoseβ, osquaissãoparalelos. ssim, as retas r i e s i são paralelas, e o quadrilátero i i+1 i+1 i (por ter pares de lados opostos paralelos) é um paralelogramo, para cada 1 i n. onsideremos, agora, alguns semiespaços determinados pela construção acima. Primeiramente, sejam E + o semiespaço determinado pelo plano e que contém 1, e E o semiespaço determinado por β e que contém 1 ; em seguida, para cada inteiro 1 i n, seja E i o semiespaço determinado pelo plano do paralelogramo i i+1 i+1 i e que contém algum ponto j, com j i,i+1. omo antes, não é difícil mostrar que os semiespaços E +, E e todos os semiespaços E i contém todos os segmentos i i. Isto posto, a interseção R = E E + n E i, i=1 de todos esses semiespaços é uma região do espaço chamada prisma. Os polígonos n e n são chamados bases do prisma. Os paralelogramos i i+1 i+1 i, para 1 i n, são chamados faces laterais do prisma. ssim como as pirâmides, os prismas são caracterizados de acordo com os números de lados de suas bases: se o polígono n for um triângulo, ou um quadrilátero, ou um pentágono, etc., então o prisma correspondente é chamado prisma triangular, ou quadrangular, ou pentagonal, etc., respectivamente. ais geralmente, se as bases de um prisma são polígonos de n lados, dizemos que tal prisma é n gonal. 3 lguns problemas adicionais seguir, apresentamos alguns exemplos que ilustram o que foi visto nas seções anteriores desta parte, bem como nas partes 1 e 2. omecemos observando que, em todo tetraedro, as arestas que não têm pontos em comum são chamadas arestas opostas, e que todo tetraedro tem exatamente três pares de arestas opostas. a Figura 6, tais pares de arestas opostas estão destacados em azul, verde e vermelho. Figura 6: os pares de arestas opostas em um tetraedro. Exemplo 2. Em todo tetraedro, mostre que os segmentos que unem os pontos médios das arestas opostas são concorrentes. Solução. Sejam um tetraedro qualquer e L,,, P, Q e R os pontos médios de suas arestas, conforme mostrado à Figura 7, à esquerda. a mesma figura, à direita, destacamos o quadrilátero reverso. L Portal da OEP R Q P Figura 7: LPQ é um paralelogramo. e acordo com o Exemplo 11 da parte 1, os pontos médios das arestas desse quadrilátero reverso formam um paralelogramo L P Q, que aparece com lados tracejados à direita, na Figura 7. Geometria Euclidiana Plana ensina que as diagonais de um paralelogramo intersectam-se em seus respectivos pontos médios. essa forma, os segmentos LP e Q intersectam-se nos pontos médios de ambos. e modo análogo, os pontos médios dos lados dos quadriláteros reversos e (veja a Figura 8) são vértices de paralelogramos. ssim, as diagonais LP e R intersectam-se em seus respectivos pontos médios, o mesmo ocorrendo com as diagonais Q e R. om isso, podemos concluir que os segmentos LP, Q e R encontram-se em um mesmo ponto, que é o ponto médio de cada segmento. L Q P 4 matematica@obmep.org.br

6 L R P Figura 8: os quadriláteros reversos e. Exemplo 3. adas no espaço duas retas reversas, mostre que existe um único par de planos paralelos, cada um contendo uma das retas. Prova. Sejam r e s retas reversas dadas, um ponto qualquer de s e um ponto qualquer de r (cf. Figura 9). β s Figura 9: retas reversas em planos paralelos. o plano determinado por r e, existe uma única reta r, passando por e paralela a r. a mesma forma, no plano determinado por s e, existe uma única reta s, passando por e paralela a s. sretasres,concorrentesem, determinamumplano quecontémr, assimcomoasretasr es, concorrentesem, determinam um plano β que contém s. Pelo Teorema 13 da parte 1, os planos e β são paralelos. eixamos a parte de unicidade como exercício para o leitor. R s r r Q Portal da OEP Observação 4. Graças ao exemplo anterior, podemos definir a distância entre duas retas reversas como sendo igual à distância entre os planos paralelos que as contêm. as notações da demonstração do exemplo anterior, com um pouco mais de trabalho (veja a referência [1], por exemplo) pode ser mostrado que existem únicos pontos X r e Y s tais que XY,β. Em particular, XY é exatamente a distância entre r e s. Exemplo 5. alcule a distância entre duas arestas opostas de um tetraedro regular, em termos do comprimento de suas arestas. Solução. Sejam um tetraedro regular de arestas iguais a l, e e duas arestas opostas do mesmo (cf. Figura 10). Figura 10: distância entre arestas opostas de um tetraedro regular. Sejam e os pontos médios de e, respectivamente. omo as faces de são triângulos equiláteros, temos = = l 3 2. Então, o triângulo é isósceles de base de forma que sua mediana tambéméalturarelativaàbase. Portanto,. Um raciocínio análogo ao do parágrafo anterior permite concluir que, de sorte que, pela observação anterior, a distância desejada é igual a d =. fim de calcular d, apliquemos o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo. omo = l 3 2 e = l 2, temos ( d 2 = 2 l 3 ) 2 ( l ) 2 l 2 = = 2 2 2, de maneira que d = l matematica@obmep.org.br

7 icas para o Professor ssim como nas partes 1 e 2, o texto pode ser abordado de dois modos distintos. Primeiramente, caso você o siga à risca, fazendo todas as construções e demonstrações, deve precisar de aproximadamente 4 aulas de 50 minutos cada para cobri-lo. Outra opção é exibir os resultados das seções 1 e 2 sem entrar em detalhes sobre as demonstrações, e concentrar seus esforços na seção 3; nesse caso, no máximo 3 aulas serão suficientes. O material da seção Seção 1 já poderia ter sido visto na parte 1, logo após a primeira seção daquela parte. Todavia, como ele trata de questões mais delicadas e recorre aos axiomas de ordem, preferi colocá-lo nesta parte final, quando o aluno já deve ter tido um contato maior com o método axiomático. aso a opção do professor tenha sido por não seguir o texto à risca, omitindo as demonstrações, a seção 1 desta parte pode ser resumida apenas à apresentação do Teorema 1 e a uma discussão breve sobre os axiomas de ordem. esmo que as construções da seção 2 não sejam vistas com todos os detalhes, é interessante que os alunos saibam que objetos como pirâmides ou prismas podem ser construídos rigorosamente. Os axiomas de Hilbert podem ser encontrados nas referências [3], [5] ou [8], bem como no trabalho original de Hilbert, [7]. Para versões diferentes dos axiomas, consulte [4] ou [6]. a seção 4.1 de [5] os axiomas de ordem são apresentados de modo um pouco diferente. Lá, por exemplo, o axioma de Pasch é um teorema. referência [8] apresenta a visão ampla e fascinante de um matemático notável sobre o assunto. nossa notação para a relação está entre foi retirada de lá. Opresente texto, dividido em trêspartes, nãotem a pretensão de ser um compêndio sobre o tratamento axiomático da geometria. Tudo que foi exposto aqui pode ser visto de modo mais amplo e aprofundado nas sugestões de leitura complementar. Sugestões de Leitura omplementar 1.. aminha. Geometria. Rio de Janeiro, Editora S, H.. Griffiths e P. J. Hilton. atemática lássica, uma Interpretação ontemporânea, vol. 2. São Paulo, Editora Edgard lücher, USP, Portal da OEP 3.. astrucci. Fundamentos da Geometria, Estudo axiomático do plano euclidiano. Rio de Janeiro, LT, J. L.. arbosa. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro, Editora S, E. oise. Elementary Geometry from an dvanced Standpoint. Reading, ddison-wesley, Pogorelov. Geometry. oscou, Editora ir, Hilbert. Fundamentos da Geometria, tradução da sétima edição do original alemão. Lisboa, Editora Gradiva, R. Hartshorne. Geometry: Euclid and eyond. ova Iorque, Editora Springer-Verlag, matematica@obmep.org.br