Um problema de extensão relacionado a raiz quadrada do Laplaciano com condição de fronteira de Neumann. Michele de Oliveira Alves

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1 Um problema de extensão relacionado a raiz quadrada do Laplaciano com condição de fronteira de Neumann Michele de Oliveira Alves Tese apresentada ao Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Doutor em Matemática Aplicada Programa: Matemática Aplicada Orientador: Prof. Dr. Sérgio Muniz Oliva Filho Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro da CAPES São Paulo, janeiro de 1

2 Um problema de extensão relacionado a raiz quadrada do Laplaciano com condição de fronteira de Neumann Esta versão definitiva da tese contém as correções e alterações sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa realizada por Michele de Oliveira Alves em 15/1/1. Comissão Julgadora: Prof. Dr. Sérgio Muniz Oliva Filho (orientador - IME-USP Prof. Dr. Orlando Francisco Lopes - IME-USP Prof. Dr. Plácido Zoega Táboas - ICMC-USP Prof. Dr. Sérgio Henrique Monari Soares - ICMC-USP Profa. Dra. Joana Isabel Afonso Mourão Terra - UFBA

3 Dedico à minha família.

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5 Agradecimentos Ao final deste trabalho quero primeiramente agradecer à Deus por acreditar em mim e por me dar a graça de concluir mais uma etapa de minha vida. Pelo apoio e sustento sempre concedido nos momentos mais difíceis. À minha família por ser minha base, dando-me apoio, alegria, amor e por compreender minha ausência em muitos momentos. Ela com certeza é parte fundamental desta conquista. Ao meu noivo Emerson pela paciência, amor e carinho, pelas inúmeras vezes que me incentivou a continuar e a acreditar mais em mim. Obrigada pela sua presença, ela foi meu combustível para prosseguir sempre. Ao professor Sérgio por todos os ensinamentos, paciência, amizade, disponibilidade para me atender, esclarecer dúvidas, etc... com ele obtive um grande crescimento matemático. Aos meus amigos de pós-graduação pela amizade. Em particular, Fernanda e Anderson (Super! pela maravilhosa convivência não só no IME mas também em casa. Vocês com certeza acompanharam de perto toda esta minha trajetória. Obrigada pelas conversas e inúmeras risadas que tivemos ao longo deste período. À minha amiga Gleiciane pelo convívio iniciado na graduação, pelos estudos durante o período de disciplinas, seminários e por várias vezes sanar minhas dúvidas. Agradeço também aos amigos da Paróquia Nossa Senhora dos Pobres que me acolheram com tanto amor e carinho. Aos professores do departamento e funcionários do IME. Também aos professores Orlando Francisco Lopes, Plácido Zoega Táboas, Sérgio Henrique Monari Soares e Joana Isabel Afonso Mourão Terra pelas correções e importantes sugestões. À CAPES pelo auxílio financeiro.

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7 Resumo Neste trabalho definimos o operador não local, raiz quadrada do Laplaciano com condição de fronteira de Neumann, através do método de extensão harmônica. O estudo foi feito com o auxílio das séries de Fourier em domínios limitados, como sendo o intervalo, o quadrado e a bola. Posteriormente, aplicamos nosso estudo, à problemas elípticos não lineares envolvendo o operador não local raiz quadrada do Laplaciano com condição de fronteira de Neumann. Palavras-chave: raiz quadrada do Laplaciano, condições de fronteira de Neumann, operador não local, problemas não lineares, extensão harmônica, série de Fourier.

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9 Abstract In this work we define the non-local operator, square root of the Laplacian with Neumann boundary condition, using the method of harmonic extension. The study was done with the aid of Fourier series in bounded domains, as the interval, the square and the ball. Subsequently, we apply our study, the nonlinear elliptic problems involving non-local operator square root of the Laplacian with Neumann boundary condition. Keywords: square root of the Laplacian, Neumann boundary conditions, non-local operator, nonlinear problems, harmonic extension, Fourier series.

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11 Sumário Lista de Símbolos xi 1 Introdução 1 Preliminares 9.1 Espaços de Sobolev, Slobodeckij e Hölder Imersões Contínuas e Compactas Teorema do Traço e Desigualdade de Poincaré Espaços de Sobolev das funções periódicas Teorema do Traço para as funções periódicas Cálculo Funcional Estudo do Operador N Raiz Quadrada do operador N O Operador Caso Ω i = (, Caso = (, (, Caso Ω b = B(, Aplicação Solução fraca no intervalo Solução fraca no quadrado Existência de Solução Fraca A Apêndice 99 A.1 Funções Especiais A. Operadores A.3 Teorema do Multiplicador de Lagrange Referências Bibliográficas 15 Índice Remissivo 19 ix

12 x SUMÁRIO

13 Lista de Símbolos N C t (R n C t (U Cper(R n Operador Laplaciano com condição de fronteira de Neumann Espaço de Hölder sobre R n Espaço de Hölder sobre U Conjunto das funções infinitamente diferenciáveis que são periódicas C per(r n+1 + Conjunto das funções infinitamente diferenciáveis que são periódicas em x R n L (U L (U; r H s (U Hper(R s n Espaço de Lebesgue em U Espaço de Lebesgue L (U com peso r Espaço de Sobolev se s Z + e Espaço de Slobodeckij se s > não inteiro Espaço de Sobolev periódico na variável x R n H s per(r n+1 Espaço de Sobolev periódico na variável x R n, para todo (x, z R n+1 + J p Y p c Função de Bessel de primeiro tipo de ordem p R Função de Bessel de segundo tipo de ordem p R fracionário Imersão Contínua Imersão Compacta R n+1 + = {(x, z R n+1 x R n e z > } Ω i = (, Ω b = B(, = (, (, I I = N em Ω i = (N N\{(, } em I = (N N\{(1, } em Ω b { } X = u L (Ω u(xdx = Ω

14 xii LISTA DE SÍMBOLOS Q n = {x R n x j, j = 1,, n} u Ω = u(xdx < u, v > = Ω Ω Ω u(xv(xdx (ṽ(,, z Ω = ṽ(x, y, zdxdy

15 Capítulo 1 Introdução As potências fracionárias do Laplaciano são geradores infinitesimais do processo de difusão estável chamado de processo de Lévy e aparecem nas dinâmicas populacionais, reações químicas em líquidos, entre outros assuntos do cotidiano. Neste trabalho, estudamos a raiz quadrada do operador Laplaciano com condição de fronteira de Neumann, ( N 1, em três tipos de domínios, utilizando técnicas de extensão harmônica. Posteriormente, aplicamos à problemas elípticos não lineares. temos As potências fracionárias do operador Laplaciano, podem ser interpretadas de algumas formas. Considere uma função u : R n R suficientemente regular. Utilizando a Transformada de Fourier, ( s u(ξ = ξ s û(ξ, e ainda, através da Fórmula da Derivada Fracionária de Riesz, ( s u(x = C n,s onde C n,s é alguma constante de normalização e s (, 1. As potências negativas são dadas por u(x u(y dy, R n x y n+s ( α = 1 ( λ α (λi 1 dλ, i γ onde γ é qualquer curva simples suave por partes satisfazendo algumas propriedades e Re(α <. Para s = 1, podemos ainda considerar ( 1 como sendo um operador positivo tal que ( 1 ( 1 u = u, para qualquer u D( u. O método de definir o operador ( 1 considerar o operador T dado por por meio de técnicas extensão harmônica, consiste em u T (u(x = v z (x,,

16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO onde u : R n R é uma função suave limitada e v : R n+1 + Observe que { R é a única solução do problema v(x, z = em R n+1 + = Rn (, v(x, = u(x em R n. ( Se colocarmos v z (x, como condição de Dirichlet no problema (1.1, verificamos que v z (x, z é solução deste novo problema, logo pela definição do operador T, temos que T (T (u(x = T ( v z (x, = v zz (x, = x v(x,, Então, (T T (u(x = x u(x.. Usando o Método de Integração por Partes, vemos que u(xt (u(xdx = v(x, v z (x, dx R n R n = v(x, z v(x, zdxdz + logo, o operador T é positivo. = R n+1 + R n+1 + v(x, z dxdz, R n+1 + v(x, z dxdz Portanto, o operador T que mapeia a condição de Dirichlet u na condição de Neumann v z (, é de fato o operador ( 1. O artigo [8] generalizou este método com o objetivo de definir um problema de extensão semelhante para cada potência fracionária do Laplaciano. Para uma função u : R n R suave limitada, considerou-se o seguinte problema { x v(x, z + a z v z(x, z + v zz (x, z = em R n+1 + v(x, = u(x em R n, tal que a = 1 s. Com isso, mostrou-se que ( s u(x = v z (x,, onde s (, 1 e a potência fracionária do operador Laplaciano foi expressada pela Fórmula da Derivada Fracionária de Riesz. Outro trabalho baseado nesta idéia de extensão harmônica é o artigo de [7], onde estudou-se a raiz quadrada do operador Laplaciano com condição de fronteira de Dirichlet ( D 1, em um domínio Ω R n limitado, suave. Tal operador foi definido via método de extensão harmônica no cilindro C= Ω (,.

17 3 Por meio de algumas pesquisas, observamos que não se têm na literatura, um estudo das potências fracionárias do operador Laplaciano com condição de fronteira de Neumann, via método de extensão harmônica e ainda usando séries de Fourier. Nosso trabalho foi definir a raiz quadrada do operador Laplaciano com condição de fronteira de Neumann ( N 1, usando o método de extensão harmônica e o auxílio das séries de Fourier em três tipos de domínios, o intervalo Ω i = (,, o quadrado = (, (, e bola Ω b = B(,. Para definir o operador ( N 1, consideramos os seguintes problemas de extensão quando o domínio for ou Ω b, onde ṽ(x, y, z = em R 3 + ṽ(x, y, = ũ(x, y em R lim L z (Ω = lim z(,, z L z (Ω = (ṽ(,, z Ω = z (ṽ(,, z Ω = Ω ṽ(x, y, zdxdy,, para qualquer z e ṽ(x, z = em R + ṽ(x, = ũ(x em R lim L z (Ω i = lim z(, z L z (Ω i = (ṽ(, z Ωi = z, quando o domínio for Ω i, onde (ṽ(, z Ωi = ṽ(x, zdx, Ω i para qualquer z. O estudo foi feito com o auxílio das séries de Fourier, onde definimos o operador ( N 1 sendo uma série das autofunções e autovalores de N, ou seja, como ( N 1 u = λ 1 i < u, ϕ i > ϕ i, i I onde ϕ i e λ i são as autofunções e os autovalores de N, respectivamente. Verificamos que o operador ( N 1 é de fato a raiz quadrada do Laplaciano com condição de fronteira de Neumann, pois, ( N 1 ( N 1 u = λ i < u, ϕ i > ϕ i = N u, i I para qualquer u D( N. O uso das séries de Fourier em nosso estudo foi muito importante pois tivemos a oportunidade de

18 4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO fazer todas as contas e verificar quais eram de fato as soluções dos problemas de extensão, bem como para definir o operador ( N 1. Como uma aplicação, estudamos a existência de soluções fracas não nulas de problemas elípticos não lineares envolvendo o operador não local ( N 1 seguinte problema elíptico não linear nos domínios Ω i e. Ou seja, estudamos o ( N 1 u = u p, (1. onde p = + 1 s, com s > 1 ímpar, quando o domínio for, e p = p + 1, com p par e s 1 ímpar, s quando o domínio for Ω i. Como sabemos, o operador ( N 1 é não local. Assim uma das vantagens de definirmos este operador por meio de técnicas de extensão harmônica é que resolver o problema elíptico não local (1., se resume em resolver o seguinte problema elíptico local ṽ(x, y, z = em R 3 + ṽ z (x, y, = ũ p (x, y em R lim L z ( = lim z(,, z L z ( = (ṽ(,, z Ωq = z tal que ṽ é par, periódica nas variáveis x e y, ũ é a extensão par, periódica de u à R. Quando o domínio for Ω i, o problema elíptico local correspondente é ṽ(x, z = em R + ṽ z (x, = ũ p (x em R lim L z (Ω i = lim z(, z L z (Ω i = (ṽ(, z Ωi = z onde ṽ é par, periódica na variável x, ũ é uma extensão par, -periódica de u à R. O trabalho está organizado da seguinte maneira. No Capítulo 3, fizemos um estudo do operador local Laplaciano com condição de fronteira de Neumann, onde D( N = N : D( N X X { u H (Ω u (u, u } = e (u Ω =, n Ω para verificarmos que faz sentido considerar a potência fracionária deste operador. Com isso, usamos a teoria de Cálculo Funcional de [15] e [7], para escrevermos o operador ( N 1 : D(( N 1 X X,,,

19 5 como sendo uma série envolvendo as autofunções e os autovalores, do operador N, ou seja, ( N 1 u = λ 1 i < u, ϕ i > ϕ i, i I onde ϕ i são as autofunções de N, nos domínios citados anteriormente, λ i são os correspondentes autovalores e D(( N 1 = {u L (Ω No Capítulo 4, definimos o operador A 1 (u Ω = e i I : D(A 1 X X tal que A 1 u = (ṽ z (, Ω, } λ i < u, ϕ i > <. onde { D(A 1 = u H s (Ω u n } = e (u Ω =, Ω com s > para e Ω b, s > 3 para Ω i, e ṽ é a única solução clássica de ṽ(x, y, z = em R 3 + ṽ(x, y, = ũ(x, y em R lim L z (Ω = lim z(,, z L z (Ω = (ṽ(,, z Ω = z, quando o domínio for ou Ω b, ou solução clássica de ṽ(x, z = em R + ṽ(x, = ũ(x em R lim L z (Ω i = lim z(, z L z (Ω i = (ṽ(, z Ωi = z, quando o domínio for Ω i. A partir desta definição, consideramos uma extensão de A 1 B 1 : Y X X u λ 1, i < u, ϕ i > ϕ i i I definida da seguinte maneira onde Y = { u L (Ω (u Ω = e i I } λ i < u, ϕ i > <.

20 6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Com isso, provamos o seguinte teorema. Teorema 1. O operador B 1 coincide com o operador ( N 1, ou seja, < u, B 1 u >, para qualquer u D(B 1 e para qualquer u D( N. B 1 B 1 u = N u, No Capítulo 5, verificamos a existência de solução fraca não nula do problema não linear (1., com o auxílio do Teorema do Multiplicador de Lagrange em espaços lineares topológicos para os domínios Ω i e. Para isto, consideramos as seguintes condições 1. Se o domínio for Ω i (a ṽ( x, z = ṽ(x, z, quase sempre em x R, para qualquer z, (b ṽ(x +, = ṽ(x,, quase sempre em x R, (c (ṽ(, z Ωi =, para qualquer z. onde. Se o domínio for (a ṽ( x, y, z = ṽ(x, y, z = ṽ(x, y, z, quase sempre em (x, y R, para qualquer z, (b ṽ(x +, y, = ṽ(x, y,, quase sempre em (x, y R, (c (ṽ(,, z Ωq =, para qualquer z. Sejam as aplicações H i = { ṽ H 1 per(r + I i : H i R ṽ 1 ṽ satisfaz 1. e Ω i ṽ(x, z dxdz, } lim ṽ(, T L T (Ω i = lim ṽ z(, T L T (Ω i =, e onde H q = { ṽ H 1 per(r 3 + I q : H q R ṽ 1 ṽ satisfaz. e ṽ(x, y, z dxdydz, } lim ṽ(,, T L T ( = lim ṽ z(,, T L T ( =.

21 7 Para algum a > fixo, verificamos a existência de mínimo dos funcionais I i e I q, respectivamente, sobre os conjuntos } H i,a = {ṽ H i (ṽ(x, p+1 dx = a, Ω i } H q,a = {ṽ H q (ṽ(x, y, p+1 dxdy = a. Através deste mínimo, mostramos a existência de solução fraca não nula do problema não linear (1. nos domínios Ω i e, utilizando o Teorema do Multiplicador de Lagrange em espaços lineares topológicos.

22 8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

23 Capítulo Preliminares Vejamos as notações e alguns resultados importantes sobre espaços de funções que utilizaremos durante nosso trabalho. O estudo sobre os espaços de funções foi baseado em [33] e para o caso de espaços de funções periódicas nos baseamos em []. Para n Z +, consideremos Seja U subconjunto aberto de R n. f : U R, Lebesgue mensuráveis, satisfazendo R n+1 + = {(x, z Rn+1 x R n e z > } Denotaremos por L (U o espaço de Banach das funções ( f L (U = Consideremos também, o espaço de Hilbert X = { u L (Ω U 1 f dx <. Ω } u(xdx =, onde o domínio Ω será o intervalo, o quadrado ou a bola, com as seguintes notações Ω i = (, = (, (, Ω b = B(,. O produto interno e a norma do espaço de funções X são dados, respctivamente, por < u, v >= u(xv(xdx e u = < u, u >, para qualquer u, v X. Denotaremos por K h, o cone de alura h, definido como Ω K h = {(x, x n R n < x n < h, x < ax n }, com a >, h >.

24 1 CAPÍTULO. PRELIMINARES Definição 1. ( [33] Um domínio U R n limitado é um domínio do tipo cone se existem domínios U 1,, U M e cones C 1,, C M, que podem ser obtidos por rotações sobre o cone K h, tais que para qualquer j = 1,, M. M U j U e (U j U + C j U Exemplo 1. = (, (, é um domínio do tipo cone..1 Espaços de Sobolev, Slobodeckij e Hölder Seja U R n aberto. Durante nosso estudo usaremos frequentemente os espaços H s (U = H s (U, com s Z + ou s > não inteiro. Por isso, nesta seção, definiremos estes espaços de funções e veremos algumas de suas propriedades. Consideremos S = S(R n o conjunto das funções f : R n C tais que f C (R n e satisfazem sup x α β f(x <, x R n para quaisquer multi-índices α, β N n. O conjunto S é chamado Espaço de Schwartz. Denotaremos o dual de S por S = S (R n que é o espaço das distribuições temperadas. Definição. 1. Se s Z +, os espaços H s (R n são os Espaços de Sobolev definidos como H s (R n = {f S (R n f H s (R n < }, onde ( f H s (R n = D α f L (R n α s 1, para qualquer f H s (R n.. Se s > não inteiro, os espaços H s (R n são os Espaços de Slobodeckij dados por H s (R n = {f S (R n f H s (R n < }, onde f H s (R n = (1 + x s F f L (R n, para qualquer f H s (R n, onde F é a Transformada de Fourier em R n. Tendo definido os espaços H s (R n para s >, podemos, então definir os espaços H s (U como sendo a restrição dos espaços H s (R n. Definição 3. Seja U R n aberto arbitrário.

25 .1. ESPAÇOS DE SOBOLEV, SLOBODECKIJ E HÖLDER Se s Z +, os Espaços de Sobolev H s (U são definidos como H s (U = {f L (U g H s (R n com g(x = f(x, x U}, com a norma f H s (U = inf g H s (R n, g U =f g H s (R n para qualquer f H s (U.. Se s > não inteiro, os Espaços de Slobodeckij H s (U são definidos como H s (U = {f L (U g H s (R n com g(x = f(x, x U}, com a norma f H s (U = inf g H s (R n, g U =f g H s (R n para qualquer f H s (U. Quando o domínio U tem certas propriedades, os espaços H s (U podem ser caracterizados com normas definidas em U. Para isso, consideraremos D(U = C (U = {f : U R f C (U com suporte compacto}, e D (U o dual de D(U. Lema 1. Seja U R n um domínio não limitado do tipo cone, limitado do tipo cone ou C -limitado. 1. Se s Z +, então onde H s (U = {f D (U f H s (U < }, f H s (U = ( f L (U + α =s D α f L (U 1, para qualquer f H s (U.. Se s > não inteiro, então H s (U = {f D (U f H s (U < }, onde f H s (U = ( f L (U + α =[s] U U D α f(x D α f(y 1 x y n+{s} dxdy, para qualquer f H s (U, onde s = [s] + {s} com [s] inteiro e {s} [, 1. Vejamos agora a definição dos Espaços de Hölder.

26 1 CAPÍTULO. PRELIMINARES Definição 4. Seja t, os Espaços de Hölder, denotados por C t (R n, são definidos da seguinte maneira 1. Se t Z +, então C t (R n denota o completamento de S(R n na norma f C t (R n = sup D α f(x. x R n α t. Se < t = [t] + {t}, então C t (R n = {f C [t] (R n f C t (R n < }, onde f C t (R n = f C [t] (R n + sup x y α =[t] D α f(x D α f(y x y {t}. Analogamente aos espaços de Sobolev e Slobodeckij, podemos definir os espaços de Hölder sobre U através da restrição dos espaços C t (R n. Definição 5. Seja U R n um domínio C -limitado. Então, o Espaço de Hölder sobre U, denotado por C t (U, é dado por C t (U = {f g C t (R n com g(x = f(x, x U}, com a norma f C t (U = inf g C t (R n. g U =f g C t (R n.1.1 Imersões Contínuas e Compactas Durante nosso trabalho as imersões contínuas e compactas são de muita utilidade. enunciaremos tais imersões para os espaços de Sobolev, Slobodeckij e Hölder. Por isso, As notações utilizadas para imersão contínua e compacta, são dadas, respectivamente, por e c. Proposição 1. (Imersões Contínuas Seja U R n um domínio arbitrário. 1. Se < t s <, então H s (U H t (U.. Se t, s > t + n, então H s (U C t (U. 3. Se q <, s > e então ( 1 s n 1, q H s (U L q (U.

27 .1. ESPAÇOS DE SOBOLEV, SLOBODECKIJ E HÖLDER 13 Proposição. (Imersões Compactas em domínios do tipo cone Seja U R n um domínio limitado do tipo cone. 1. Se < s < 1 e s < t < e, então H t (U c H s (U. No caso em que s =, temos 3. Se q <, s > e então H t (U c L (U. ( 1 s > n 1, q H s (U c L q (U. Proposição 3. (Imersões Compactas em domínios limitados suaves Seja U R n um domínio C - limitado. Se < s < t <, então H t (U c H s (U. então Também, se s > e ( 1 s > n 1, q H s (U c L q (U..1. Teorema do Traço e Desigualdade de Poincaré Enunciaremos nesta subseção, o teorema do traço em R n e em U R n domínio C -limitado. Estes teoremas podem ser encontrados em [33]. Nosso objetivo, é provar que faz sentido considerarmos o traço de uma função de H s (Ω (,, onde Ω R n é um aberto arbitrário e s = 1,.. Também enunciaremos a Desigualdade de Poincaré para um domínio U limitado em uma direção. Teorema. (Teorema do Traço em R n Sejam s = 1,, e x = (x 1,, x n 1 R n 1. Então, existe uma aplicação linear, contínua, γ : H s (R n s 1 H s j 1 (R n 1 j= f γ(f = { f(x,, f x n (x,,, s 1 f x s 1 n } (x,. Observação 1. O teorema anterior é válido para s > não necessariamente inteiro, desde que s j 1 não seja inteiro.

28 14 CAPÍTULO. PRELIMINARES Teorema 3. (Teorema do Traço em U Sejam U R n um domínio C -limitado e 1 < s <. Então, existe uma aplicação linear, contínua, γ : H s (U [s 1 ] j= H s j 1 ( U { f γ(f = f, f,, [s 1 ] f }, U ν U U ν [s 1 ] onde ν é o vetor normal exterior em relação ao U e [s 1 ] é inteiro. Com isso, temos o próximo lema sobre o traço das funções em H s (Ω (,, para s = 1,.. Lema. Seja u H s (Ω (,, onde Ω R n aberto e s = 1,.. Então, γ(u = u(x, H s 1 (Ω {} e existe C > tal que γ(u H s 1 (Ω {} C u H s (Ω (,. Demonstração. Seja u H s (Ω (,, então u L (Ω (, e existe g H s (R n+1 tal que g(x, z = u(x, z, para qualquer (x, z Ω (,. Pelo Teorema., γ(g := g(x, H s 1 (R n e existe C > tal que γ(g H s 1 C g (R n H s (R n+1. Temos, ainda que H s 1 (R n L (R n, logo, γ(g L (R n, em particular γ(g Ω {} L (Ω {}. Como Ω {} R n, temos que γ(g = g(x, = u(x, := γ(u, para qualquer (x, Ω {}. Então, γ(u := γ(g Ω {} H s 1 (Ω {}. Ainda, γ(u H s 1 (Ω {} = inf F H s 1 (R n F Ω {} =γ(u F H s 1 (R n (.1 γ(g H s 1 (R n C g H s (R n+1.

29 .. ESPAÇOS DE SOBOLEV DAS FUNÇÕES PERIÓDICAS 15 Observe que todas as contas que fizemos anteriormente para a função g, continuam valendo para uma função h que tenha as mesmas propriedades da função g, ou seja, h H s (R n+1 tal que h(x, z = u(x, z, para qualquer (x, z Ω (,. Logo, em (.1, segue que γ(u H s 1 (Ω {} C inf h H s (R n+1 h H s (R n+1 h Ω (, =u = C u H s (Ω (,. Portanto, existe C > tal que para qualquer u H s (Ω (,. γ(u H s 1 (Ω {} C u H s (Ω (,, A próxima proposição nos fornece a Desigualdade de Poincaré, a qual será muito útil na verificação de existência do mínimo de um funcional, que é uma das hipóteses do Teorema do Multiplicador de Lagrange. Proposição 4. (Desigualdade de Poincaré Seja U R n limitado em uma direção. Então, existe C > tal que para qualquer ṽ H 1 (U. U ( ṽ(x dx C ṽ(xdx + C ṽ(x dx, U U. Espaços de Sobolev das funções periódicas Denotaremos por C per(r n, o conjunto de todas as funções infinitamente diferenciáveis que são periódicas, isto é, para qualquer x R n e t = (t 1,, t n Z n. ṽ(x + t = ṽ(x, As funções do conjunto C per(r n, ficam unicamente determinadas no cubo Q n = {x R n x j, j = 1,, n}. Definição 6. Seja s R. Definimos H s per(r n como sendo o fecho de C per(r n, com respeito a norma ( 1 u H s per (R n = (1 + k s û(k, k Z n

30 16 CAPÍTULO. PRELIMINARES onde û(k são os coeficientes de Fourier de u dados por û(k = ( n e ik x u(xdx, Q n e k x = k i x k n x n. Em particular, L per(r n = Hper(R n é um espaço de Hilbert com o produto escalar < u, v > Q n= u(xv(xdx = û(k v(k. Q n k Z n Estes espaços de Sobolev das funções periódicas, tem uma relação com os espaços de Sobolev e Slobodeckij em Q n. Para a demonstração do próximo lema, usaremos um resultado de [17], que nos diz que dados a, b [, e s, existem constantes positivas m s e M s dependendo somente de s, tais que m s (a s + b s (a + b s M s (a s + b s. (. Lema 3. Seja Q n R n. Temos 1. Se s Z +, então Hper(R s n H s (Q n e suas normas são equivalentes.. Se < s < 1, então Hper(R s n H s (Q n e suas normas são equivalentes. Demonstração. 1. Seja u H s per(r n, temos que u C per(r n. Por outro lado, temos que C (Q n H s (Q n, então C (Q n H s (Q n, com a norma de H s (Q n. Como Cper(R n C (Q n, segue que u H s (Q n. Temos ainda, usando (., que (1 + k s û(k = (1 + i k s û(k k Z n k Z n M s û(k + M s (i k s û(k k Z n k Z n = M s û(k + M s D s (k k Z n k Z [ n ] = M s u(x Q dx + D s u(x dx. n Q n Como s Z +, sabemos que D s u(x = D α u(x. α =s

31 .. ESPAÇOS DE SOBOLEV DAS FUNÇÕES PERIÓDICAS 17 Logo, ou seja, k Z n (1 + k s û(k M s ( u L (Q n + = M s u H s (Q n, α =s u H s per (R n M s u H s (Q n. D α u L (Q n Por outro lado, usando (., também temos que (1 + k s û(k = (1 + i k s û(k k Z n k Z n m s û(k + m s (i k s û(k k Z n k Z ( n = m s u L (Q n + D α u L (Q n, α =s ou seja, u H s per (R n m s u H s (Q n. Portanto, H s per(r n H s (Q n e suas normas são equivalentes.. O fato de H s per(r n H s (Q n, para < s < 1, segue pelo mesmo raciocínio usado no item 1. Seja u H s per(r n, usando propriedades de convolução e módulo, temos que Q n Qn u(x u(y x y n+s dxdy = = Qn u(y x u(y Q n x n+s dxdy (.3 [ ] 1 Q n x n+s u(y x u(y dy dx. Q n Considere, para cada x Q n, a função g x (y = u(y x u(y, e observe que ĝ x (k = ( n e ik z g x (zdz (.4 Q n = ( n e ik z u(z xdz ( n e ik z u(zdz Q n Q n = ( n e ik (z x u(zdz û(k Q n = (e ik x 1û(k.

32 18 CAPÍTULO. PRELIMINARES Assim, por (.4 e pela Identidade de Parseval, segue em (.3 que Q n Qn u(x u(y [ ] 1 x y n+s dxdy = Q n x n+s g x (yg x (ydy dx Q [ n 1 ] = Q n x n+s ĝ x (k dx k Z n = [ Qn û(k e ik x 1 ] x n+s dx. k Z n Observe que se k =, então Q n Qn u(x u(y x y n+s dxdy =, e assim u H s (Q n = u L (Q n = u H s per (R n. Caso contrário, fazemos a mudança de variável x = Qn e ik x 1 x n+s t k, logo ik dx = k s e t k 1 Q n t n+s dt = A s k s. Sendo assim, Q n Qn u(x u(y x y n+s dxdy = A s k Z n k s û(k. Então, usando (., segue que u Hper s (Rn m s u L per (Rn + m s k s û(k k Z n = m s u L (Q n + m Qn s u(x u(y A s x y n+s dxdy c s u H s (Q n. Q n Analogamente, existe C s >, tal que u H s per (Rn C s u H s (Q n. Portanto, H s per(r n H s (Q n e suas normas são equivalentes. O lema anterior é importante, pois as imersões válidas para os espaços H s (Q n, também são válidas para os espaços de Sobolev das funções periódicas H s per(r n, para qualquer s Z + ou < s < 1.

33 .. ESPAÇOS DE SOBOLEV DAS FUNÇÕES PERIÓDICAS 19 Consideremos também, o conjunto de todas as funções infinitamente diferenciáveis que são periódicas com respeito a variável x, isto é, ṽ(x + t, z = ṽ(x, z, para qualquer (x, z R n+1 + e t = (t 1,, t n Z n. Este conjunto será denotado por C per(r n+1 + Definição 7. Definimos Hper(R s n+1 + como sendo o fecho de C per(r n+1 + com respeito a norma para qualquer ũ H s per(r n+1 +. ũ H s per (R n+1 + = ( s j= 1 Dzũ(, j z dz Hper s j (R n Em particular, L per(r n+1 + = H per(r n+1 + é um espaço de Hilbert, com o produto interno dado por < ṽ, w > Q n (, = Q n ũ(x, z w(x, zdxdz, para todo ũ, w L per(r n+1 +. Analogamente, aos espaços H s per(r n, temos que H s per(r n+1 + Hs (Q n (,, para qualquer s. Em particular, para s = 1, temos que u Hper 1 (Rn+1 + = 1 j= D j zu(, z H 1 j per (R n dz = u(x, z dxdz + Q n = u(x, z dxdz + Q n = u H 1 (Q n (,. Q n n u (x, z dxdz + x j Q n u(x, z dxdz Q n u z (x, z dxdz..1 Teorema do Traço para as funções periódicas Analogamente aos espaços de Sobolev e Slobodeckij, temos para os espaços de Sobolev das funções periódicas, o traço bem definido, como enunciaremos a seguir. Lema 4. ( []Considere o operador traço γ µ sobre Cper(R n+1 + dado por ũ ( ũ(x,, (D z ũ(x,,, (D z µ 1 ũ(x,, Então, se s µ, o operador γ µ pode ser estendido continuamente a uma função limitada tal que µ γ µ : Hper(R s n+1 + H s j+ 1 per (R n.

34 CAPÍTULO. PRELIMINARES

35 Capítulo 3 Cálculo Funcional Neste capítulo, estudaremos o operador Laplaciano com condição de fronteira de Neumann, denotado por N, nos domínios Ω i, e Ω b. Para facilitar a notação, quando o estudo independer do domínio, denotaremos o domínio somente por Ω, quando necessário faremos a distinção. Veremos algumas propriedades deste operador, com o objetivo de concluir que N é um operador positivo e por isso faz sentido calcularmos sua raiz quadrada. ( N 1 é dado como uma Série de Fourier, isto é, Também veremos que o operador ( N 1 : D(( N 1 X X (3.1 u ( N 1 u = λ 1 i < u, ϕ i > ϕ i, onde I = N em Ω i, I = (N N\{(, } em e I = (N N\{(1, } em Ω b, {ϕ i } i I forma um sistema ortogonal completo de autofunções do operador N em cada domínio Ω, {λ i } i I são os correspondentes autovalores e D(( N 1 = {u X i I i I } λ i < u, ϕ i > <. Este capítulo será dividido em duas seções. Na primeira seção, estudaremos algumas propriedades do operador N e concluiremos que este operador é um operador positivo. Na segunda seção, definiremos o operador ( N 1 como uma Série de Fourier, envolvendo as autofunções e os autovalores do operador N nos domínios Ω e também daremos uma caracterização do D(( N Estudo do Operador N Considere o operador N : D( N X X u u, onde, para n sendo o vetor normal, unitário, exterior ao Ω, temos que D( N = { u H (Ω u = e n Ω Ω } u(xdx =.

36 CAPÍTULO 3. CÁLCULO FUNCIONAL Durante o texto, usaremos frequentemente a notação u Ω, tal que para qualquer domínio Ω. u Ω = Ω u(xdx, Lema 5. O operador N é monótono, simétrico e satisfaz R(I N = X. Demonstração. Primeiramente, observemos que o operador N é densamente definido. Seja u X L (Ω, logo como C (Ω = L (Ω, segue que existe {u n } C u n u L (Ω n, (Ω tal que onde C (Ω é o conjunto das funções infinitamente diferenciáveis com suporte compacto em Ω. Considere a função e observe que 1. v n C (Ω H (Ω, para qualquer n N.. (v n Ω =, para qualquer n N. v n (x = u n (x (u n Ω m(ω, 3. v n n = u n =, Ω n Ω pois u n tem suporte compacto em Ω, para qualquer n N. Então, de 1.,. e 3. segue que {v n } D( N e ainda logo, temos que X = D( N. u v n u u n L (Ω + u Ω m(ω (u n Ω m(ω n u u n L (Ω, L (Ω Por outro lado, sejam u, v D( N. Temos usando Integração por Partes para Ω i e, e as Fórmulas de Green para Ω b, que < N u, u > = Ω u(x dx, < N u, v > = Ω u(x v(xdx = < u, N v >, logo, o operador N é um operador monótono e simétrico, respectivamente.

37 3.1. ESTUDO DO OPERADOR N 3 Seja g X, queremos encontrar u D( N tal que (I N u = g, isto é, queremos encontrar u H (Ω tal que Considere a : Ξ Ξ R tal que a(u, v = u + u = g em Ω u = n Ω u Ω = Ω u(x v(xdx + u(xv(xdx, Ω onde Ξ = {u H 1 (Ω u Ω = } é um Espaço de Hilbert. A função a é bilinear e usando a Desigualdade de Hölder, para qualquer u, v Ξ vale que. 1. a(u, v u(x v(x dx + u(xv(x dx Ω Ω u H 1 (Ω v H 1 (Ω.. a(u, u = u(x dx + u(x dx Ω Ω = u H 1 (Ω. Então, tomando F : Ξ R tal que para qualquer v Ξ, temos que F Ξ única u Ξ tal que Ω F (v = Ω g(xv(xdx e pelo Teorema de Lax-Milgran, segue que existe uma u(x v(xdx + u(xv(xdx = g(xv(xdx, (3. Ω Ω para qualquer v Ξ e em particular para qualquer v H 1 (Ω. Então, por [6], temos que u H (Ω e ainda usando o Método de Integração por Partes para Ω i e, e as Fórmulas de Green para Ω b, em (3. segue que para qualquer v H 1 (Ω. Ω [ u(x u(x + g(x]v(xdx = Ω u (xv(xdσ, (3.3 n

38 4 CAPÍTULO 3. CÁLCULO FUNCIONAL Em particular, para v C (Ω H1 (Ω, segue em (3.3 que Voltando à (3.3, temos que Ω [ u(x u(x + g(x]v(xdx = = u + u = g quase sempre. para qualquer v H 1 (Ω. Em particular, para Ω u n (xv(xdx = v = u n H1 (Ω, segue que Ω u n (x u dx = = = quase sempre. n Ω Portanto, u satisfaz ou seja, R(I N = X. u + u = g em Ω u = n Ω u Ω =, Pelo lema anterior, temos a seguinte proposição. Proposição 5. O operador N é um operador auto-adjunto. Demonstração. A demonstração segue do Lema 5. e de [6], página. Proposição 6. O operador N é limitado inferiormente, isto é, existe m R tal que para qualquer u D( N, vale < N u, u > m u. Demonstração. Seja u D( N, usando o Método de Integração por Partes para Ω i e, e as Fórmulas de Green para Ω b, temos que < N u, u > = u(xu(xdx Ω = u(x dx. (3.4 Para concluirmos a demonstração, usaremos a Desigualdade de Poincaré Generalizada em cada caso de Ω. 1. Se Ω = Ω i, considerando ũ como sendo a extensão par, -periódica de u, temos que ũ (, = e ũ H 1 (,, então pela Desigualdade de Wirtinger, segue que Ω ũ(x dx ũ x (x dx,

39 3.1. ESTUDO DO OPERADOR N 5 para qualquer ũ H 1 (,, logo, tomando m = 1 e usando a periodicidade de ũ, temos que m u(x Ω i u(x dx. Ω i. Se Ω = Ω b, temos por [11], que existe M >, tal que u 1 m(ω b u Ω b L (Ω b M u L (Ω b = u L (Ω b 1 m(ω b u Ω b L (Ω b + M u L (Ω b { 1 } Como u Ωb =, tomando m = min 1, M, segue que m u(x, y dxdy Ω b 3. Se Ω =, temos por [], que existe N >, tal que Ω b u(x, y dxdy. u H 1 (Ω N ( q u L (Ω + q u(x, ydxdy Ω = u H 1 (Ω N q u L (Ω. q q Como, u L (Ω q u H 1 (Ω, segue para m = min 1 } q {1, N, que m u(x, y dxdy u(x, y dxdy. Portanto, em cada caso de Ω, existe m > tal que em (3.4 vale < N u, u > m u L (Ω. Com isso, temos o seguinte teorema. Teorema 4. O operador N é um operador positivo. Demonstração. Pelas Proposições 5., 6., e o Teorema 14., temos que N é um operador setorial tal que Re(σ( N m. [ Temos também, por [9], que σ( N m, +, logo, σ( N (, m] = [, + ρ( N. Por definição de Operador Setorial, temos que o operador N é fechado, densamente definido e para algum < φ <, M 1, vale que S m,φ = {λ C φ arg(λ m, λ m} ρ( N

40 6 CAPÍTULO 3. CÁLCULO FUNCIONAL e para qualquer λ S m,φ. (λi + N 1 M λ m, Assim, dado s R + temos, pelo fato de m >, que λ = s R S m,φ, logo, (si N 1 M s + m. Então, [ ] (1 + s (si N 1 1 M s + m + s s + m [ ] 1 M m + 1, para qualquer s R +, ou seja, existe M 1, onde M = (1 + m m M tal que (1 + s (si N 1 M, para qualquer s R +. Portanto, N é um operador positivo. 3. Raiz Quadrada do operador N Como vimos na seção anterior, o operador N é um operador positivo, logo, concluímos que faz sentido considerarmos a raiz quadrada de N, ou seja, o operador está bem definido. Para escrevermos ( N 1 a teoria de Cálculo Funcional de [15] e [7]. ( N 1 : D(( N 1 X X, como uma Série de Fourier e caracterizarmos o D(( N 1, usaremos Sabemos que o operador N é setorial e Re(σ( N >, então por [15] temos que é um operador linear, limitado tal que ( N 1 = 1 ( N 1 : X X, λ 1 (λi N 1 dλ. Como nosso objetivo é usar a teoria espectral, vamos inicialmente, exibir um sistema ortogonal completo para X, formado pelas autofunções do operador N e os respectivos autovalores, em cada caso do domínio Ω.

41 3.. RAIZ QUADRADA DO OPERADOR N 7 Proposição 7. Considere o operador N em Ω. 1. Se Ω = Ω i, então suas autofunções ortonormais ϕ j e seus respectivos autovalores λ j são dados por para qualquer j 1. ϕ j (x = cos(jx e λ j = j,. Se Ω =, então suas autofunções ortonormais ϕ jk e seus respectivos autovalores λ jk são dados por ϕ jk (x, y = β jk cos(jx cos(ky e λ jk = j + k, onde β jk = para qualquer (j, k (N N\{(, }. se k = ou j = se k, j 1, 3. Se Ω = Ω b, então suas autofunções ortonormais ϕ jk são dadas por onde para qualquer j, ( µj r ϕ j (x, y = w j (r, θ = A j J, A j = 1 3 J (µ j, para qualquer j, k 1, onde ϕ jk (x, y = w jk (r, θ = ( µjk r A jk J k cos(kθ ( µjk r B jk J k sin(kθ, A jk = B jk = µjk 3 (µ jk k 1 J k (µ jk e seus respectivos autovalores λ jk são dados por λ jk = para qualquer (j, k (N N\{(1, }, onde µ jk são os zeros estritamente positivos de J k. E ainda, estas autofunções formam um sistema ortogonal completo para X. ( µjk,

42 8 CAPÍTULO 3. CÁLCULO FUNCIONAL Demonstração. O caso em que o domínio é Ω i é facilmente verificado, pois sabemos que as funções senos, cossenos e constantes formam um sistema ortogonal completo para L (,. Sendo assim, como qualquer função de X pode ser estendida par em (,, e usando o fato desta função ter média nula, verificamos que os coeficientes de Fourier desta função, que envolvem as funções senos e constantes se anulam, logo {ϕ j } j 1 forma um sistema ortogonal completo para X no caso Ω i. Por outro lado, temos em [14] que as autofunções e os respectivos autovalores do operador N são dados desta forma em e Ω b, considerando que estamos estudando as autofunções com média nula. Vamos, então verificar que estas autofunções formam um sistema ortogonal completo para X, ou seja, mostrar que elas formam um conjunto completo em X, já que a ortonormalidade é fácil de se verificar. A demonstração será feita para cada caso de Ω. 1. Ω =. Temos por [3], que vale a Identidade de Parseval em L (Q, isto é, para qualquer f L (Q, onde 1 f L (Q = j,k δ jk (a jk + b jk + c jk + d jk, a jk = 1 Q f(x, y cos(jx cos(kydxdy, b jk = 1 Q f(x, y sin(jx cos(kydxdy, c jk = 1 Q f(x, y cos(jx sin(kydxdy, d jk = 1 Q f(x, y sin(jx sin(kydxdy, para todo j, k e δ jk = se j = k = se j >, k = ou j =, k >. 1 se j >, k > Seja g X, tome sua extensão par nas variáveis x e y, isto é, g(x, y se (x, y [, ] [, ] g( x, y se (x, y [, ] [, ] f(x, y = g(x, y se (x, y [, ] [, ] g( x, y se (x, y [, ] [, ].

43 3.. RAIZ QUADRADA DO OPERADOR N 9 Como f é par em x e y, temos que b jk = c jk = d jk =, para todo j, k, e pelo fato de g ter média nula, temos também que a =. Então, 4 g L ( = (j,k I δ jk a jk, onde a jk = 4 g(x, y cos(jx cos(kydxdy. Portanto, g L ( = (j,k I < g, ϕ jk >, isto é, vale a Identidade de Parseval em X, logo, {ϕ jk } (j,k I completo para X em. forma um sistema ortogonal. Ω = Ω b. Seja u X tal que < u, ϕ jk >=, para qualquer (j, k I. Logo, para qualquer (j, k I. ru(r, θw jk (r, θdrdθ =, Sabemos, para p R, que { ( µjp } J p, forma um sistema ortogonal completo para L ((, ; r, onde L ((, ; r é o espaço L ((, com peso r. Assim, (a se k = e j, então para qualquer j, onde rh(rj ( µj r dr =, h(r = Como µ 1 =, temos que J ( µ1 r = 1 e pois u Ωb =. U(r, θdθ. ( µ1 rh(rj r dr = ru(r, θdrdθ =, Então, h, J ( µj L ((,;r =,

44 3 CAPÍTULO 3. CÁLCULO FUNCIONAL para qualquer j 1, logo para qualquer r (,. U(r, θdθ =, (b se (c se w jk = J k ( µjk r cos(kθ, então usando a mesma idéia do caso anterior, segue que para qualquer r (,, k 1. temos que para qualquer r (,, k 1. U(r, θ cos(kθdθ =, w jk = J k ( µjk r sin(kθ, U(r, θ sin(kθdθ =, Usando o fato de que { 1, cos θ, sin θ, cos(θ, sin(θ },, forma um sistema ortogonal completo para L ([, ], temos que U(r, θ = para qualquer (r, θ (, (,. Portanto, as autofunções do operador N formam um sistema ortogonal completo para X em Ω b. A próxima proposição descreverá o operador ( N 1, como uma Série de Fourier formada pelas autofunções e respectivos autovalores do operador N. Proposição 8. Para qualquer u X, temos que ( N 1 u = i I λ 1 i < u, ϕ i > ϕ i, onde {ϕ i } i I é um sistema ortogonal completo de X, formado por autofunções do operador N e {λ i } i I são os respectivos autovalores. Demonstração. Seja ϕ i autofunção do operador N, para qualquer i I. Como ϕ i X, temos que ( N 1 ϕi = 1 λ 1 (λi N 1 ϕ i dλ. Mas, N ϕ i = λ i ϕ i,

45 3.. RAIZ QUADRADA DO OPERADOR N 31 para qualquer i I e como λ [, ρ( N, temos que para qualquer i I. Então, para qualquer i I. Seja u X, logo (λi N 1 ϕ i = 1 λ + λ i ϕ i, ( N 1 ϕi = ϕ i Assim, considerando a soma parcial u = λ 1 1 dλ = λ i ϕ i, λ + λ i < u, ϕ i > ϕ i. i I s m = m < u, ϕ i > ϕ i, i I temos que m ( N 1 u Portanto, i I λ 1 i < u, ϕ i > ϕ i = ( N 1 u ( N 1 sm K u sm m. ( N 1 u = i I λ 1 i < u, ϕ i > ϕ i. Observação. Para qualquer u D(( N 1, temos que ( N 1 u D(( N 1. De fato, por definição temos que D(( N 1 = {u X ( N 1 u X}. Obviamente, ( N 1 u X, para qualquer u X, e por definição ( N 1 = (( N 1 1, no D(( N 1, logo ( N 1 (( N 1 u = u X, para qualquer u D(( N 1. Portanto, ( N 1 u D(( N 1, para qualquer u D(( N 1. Sendo assim, como λ i, para qualquer i I, temos por [7], que ( N 1 u = λ 1 i < u, ϕ i > ϕ i, i I

46 3 CAPÍTULO 3. CÁLCULO FUNCIONAL para qualquer u D(( N 1. Tendo definido o operador ( N 1, vamos agora descrever seu domínio. Proposição 9. Considere o conjunto Y = Então, temos que D(( N 1 = Y. { u X i I } λ i < u, ϕ i > <. Demonstração. Seja u D(( N 1, logo u X e ( N 1 u X, ou seja, a série i I λ 1 i < u, ϕ i > ϕ i converge em L (Ω. Então, a série numérica λ i < u, ϕ i >, converge. Portanto, D(( N 1 Y. Considere v Y X, então a série numérica λ i < v, ϕ i >, é convergente, ou seja, a série converge em L (Ω. i I i I λ 1 i i I < v, ϕ i > ϕ i Sabemos que (ϕ i Ω =, para qualquer i I, logo, tomando s m = m λ 1 i < v, ϕ i > ϕ i, i I temos que Então, Ω ( N 1 v(xdx = ( N 1 v(x sm (xdx Ω ( N 1 v(x sm (x dx Ω [med(ω] 1 ( N 1 m v sm L. (Ω Ω ( N 1 v(xdx =,

47 3.. RAIZ QUADRADA DO OPERADOR N 33 e assim v D(( N 1. Portanto, Y = D(( N 1. Sendo assim, concluímos o seguinte teorema. Teorema 5. Sejam {ϕ i } i I a base ortonormal de X formada pelas autofunções do operador N e {λ i } i I os respectivos autovalores, em Ω i, ou Ω b. Então, 1. D(( N 1 = {u X i I } λ i < u, ϕ i > <.. O operador ( N 1 : D(( N 1 X X é dado por ( N 1 u = λ 1 i < u, ϕ i > ϕ i. i I

48 34 CAPÍTULO 3. CÁLCULO FUNCIONAL

49 Capítulo 4 O Operador Neste capítulo, temos por objetivo definir o operador B 1 e verificar que este operador coincide com a raiz quadrada do operador Laplaciano com condição de fronteira de Neumann ( N 1. Este operador B 1, será definido como uma extensão do operador A 1. A definição do operador A 1 clássica do seguinte problema de extensão harmônica esta intimamente ligada com a existência e unicidade de solução ṽ(x, y, z = em R 3 + ṽ(x, y, = ũ(x, y em R lim L z (Ω = lim z(,, z L z (Ω = (ṽ(,, z Ω = z onde ũ é uma extensão que definiremos da função u D(A 1 em R, (ṽ(,, z Ω = ṽ(x, y, zdxdy, para qualquer z e o domínio Ω é ou Ω b. Quando o domínio for Ω i, o problema de extensão harmônica associado é Ω ṽ(x, z = em R + ṽ(x, = ũ(x em R lim L z (Ω i = lim z(, z L z (Ω i = (ṽ(, z Ωi = z onde ũ é uma extensão que definiremos da função u D(A 1 em R, (ṽ(, z Ωi = ṽ(x, zdx, Ω i para qualquer z., (4.1, (4. O capítulo será dividido em três seções, onde em cada seção o estudo será feito para cada caso do domínio Ω.

50 36 CAPÍTULO 4. O OPERADOR 4.1 Caso Ω i = (, Seja s > 3 e considere { D(A 1 = u H s (Ω i u x ( = u x ( = e } u(xdx =. Ω i Observe que u H s (Ω i u x H s 1 (Ω i C(Ω i, pois s 1 > 1. Logo, a derivada de u tem traço bem definido e com isso temos que D(A 1 está bem definido. Seja u D(A 1 e considere a extensão par, -periódica de u em R, isto é, ũ(x = { u(x k se k x (k + 1 u( x + k se (k 1 < x < k com k Z. Pela Proposição 14., temos que ũ C(R. Tendo estendido a função u D(A 1 à R, vejamos a definição de solução clássica de (4. Definição 8. Dizemos que uma função ṽ : R + R é solução clássica de (4. se satisfaz onde 1. ṽ C per(r +, isto é, ṽ C (R + e ṽ é periódica na variável x R.. ṽ é par na variável x. 3. ṽ satisfaz (4.. Usando o Método de Separação de Variáveis, temos que a função ṽ(x, z = a j = a j e jz cos(jx, (4.3 u(x cos(jxdx, (4.4 para qualquer j 1, é candidata à solução de (4.. O próximo teorema, verifica que de fato esta função é a única solução de (4.. Teorema 6. Seja u D(A 1 e ũ sua extensão par, periódica em R. Então, a função ṽ : R + R dada por (4.3 e (4.4 é a única solução clássica de (4.. Demonstração. Primeiramente, temos que ṽ é uma função par, -periódica na variável x, devido a paridade e periodicidade da função cosseno. 1. ṽ C per (R +., De fato, observe que a j e jz cos(jx < u, ϕ j > + 1 e jz,

51 4.1. CASO Ω I = (, 37 onde ϕ j (x = cos(jx. Sabemos que a desigualdade j n e jz C j, é válida para qualquer n Z + e para cada z >, onde C é uma constante que depende de z. Logo, a j e jz cos(jx < u, ϕ j > + C j, para cada (x, z R + e para qualquer j 1. Então, usando a Identidade de Parseval, temos que as séries numéricas < u, ϕ j > e C j, convergem, com isso pelo Critério de Weierstrass temos que ṽ é contínua em [, ] (,. Portanto, pela periodicidade e paridade de ṽ na variável x, segue que ṽ C per (R +.. ṽ C per(r +. De fato, segue pelos mesmos argumentos do item anterior, usando o fato que para qualquer z >. 3. ṽ satisfaz (4.. ṽ x (, z = ṽ x (, z =, De fato, pela convergência pontual da série que define ṽ e a convergência em compactos da série das derivadas, fazendo alguns cálculos, vemos que para qualquer (x, z R +. Seja u D(A 1 X, temos que u = ṽ(x, z =, < u, ϕ j > ϕ j, em L (Ω i, onde ϕ j são as autofunções de N em Ω i. Logo, em L per(r. ũ = j 1 < u, ϕ j > ϕ j, j 1

52 38 CAPÍTULO 4. O OPERADOR Considerando a sequência {ψ m } Cper(R + tal que ψ m (x, z = m a j e jz cos(jx, j 1 temos que lim ṽ ψ m m H 1 per (R + =. Então, concluímos que ṽ Hper(R 1 +. Pelo Teorema do Traço, segue que ṽ(, = < u, ϕ j > ϕ j, j 1 em L per(r. Portanto, ṽ(, = ũ( quase sempre em R. Por outro lado, analogamente, temos que ṽ(, z L (Ω i ṽ z (, z L (Ω i a j e jz z, z. Usando também as propriedades de convergência uniforme de série de funções, segue que ṽ(x, zdx = ( a j e jz cos(jxdx =, para qualquer z >. O mesmo é válido para z =, já que ũ tem média zero e coincide quase sempre com ṽ(, em R. Portanto, ṽ é solução clássica de (4.. Para provarmos a unicidade de solução clássica suponha que ṽ 1, ṽ sejam soluções clássicas (4., então w = ṽ 1 ṽ é solução clássica de w(x, z = em R + w(x, = em R lim w(, z L z (Ω i = lim w z(, z L z (Ω i = ( w(, z Ωi = z Sabemos também que w é par na variável x e w H 1 per(r +, já que ṽ 1, ṽ H 1 per(r +. Considere o espaço de Hilbert H como sendo o conjunto das funções u H 1 per(r + satisfazendo 1. u é par quase sempre na variável x.. (u(, z Ωi =, para qualquer z. 3. u(, = quase sempre em R..

53 4.1. CASO Ω I = (, lim z u(, z L (Ω i = lim z u z(, z L (Ω i =. com norma dada por ( u H = 1 u(x, z dxdz. Usando o Método de Integração por Partes, temos que w satisfaz para qualquer ϕ H. w(x, z ϕ(x, zdxdz =, Por outro lado, considere o funcional h : H H R tal que para qualquer ψ, ϕ H. h( ψ, ϕ = ψ(x, z ϕ(x, zdxdz, Verificamos facilmente, que este funcional h satisfaz as hipóteses do Teorema de Lax-Milgran, então existe uma única função ψ H, tal que para qualquer ϕ H. h( ψ, ϕ =, (4.5 Como as funções nula e w satisfazem (4.5, segue que w = e portanto ṽ 1 = ṽ. Através da existência e unicidade de solução clássica do problema de extensão harmônica (4., temos a seguinte definição. Definição 9. Seja { D(A 1 = u H s (Ω i s > 3, Definimos o seguinte operador u x( = u x ( = e } u(xdx =. Ω i A 1 : D(A 1 X X, u (ṽ z (, Ωi onde ṽ é a única solução clássica (4.. Observação 3. Vejamos que o operador A 1 está bem definido. Isto ocorre, devido a unicidade de solução do problema (4. e também pelo fato de que A 1 X, pois em L (Ω i. ṽ z (, = λ 1 j < u, ϕ j > ϕ j,

54 4 CAPÍTULO 4. O OPERADOR Pela observação anterior temos que o operador A 1 pode ser visto como uma série envolvendo as autofunções e os respectivos autovalores do operador N em Ω i. Isso decorre do fato dos autovalores do operador N em Ω i serem dados por λ j = j, para qualquer j 1, e onde ϕ j (x = Logo, em L (Ω i. a j = Ω i u(x cos(jxdx = cos(jx, para qualquer j 1. A 1 u = u(xϕ j (xdx, Ω i λ 1 j < u, ϕ j > ϕ j, Nosso objetivo agora, após ter definido o operador A 1, é definir o operador B 1. Definição 1. Seja Definimos o operador onde λ j = j e ϕ j (x = O operador B 1 Lema 6. O operador B 1 Y = B 1 { u X } λ j < u, ϕ j > <. : Y X X u λ 1, j < u, ϕ j > ϕ j cos(jx, para qualquer j 1. é definido por meio da convergência na norma de X, isto é, lim m Demonstração. Seja u Y, logo a série B 1 u m λ 1 j < u, ϕ j > ϕ j =. está bem definido e é uma extensão do operador A 1 λ 1 j < u, ϕ j > ϕ j, converge em L (Ω i, ou seja, B 1 u L (Ω i. Sabemos que para qualquer j 1. Ω i ϕ j (xdx =, a Y.

55 4.1. CASO Ω I = (, 41 Logo, considerando as somas parciais, dadas por m s m = λ 1 j < u, ϕ j > ϕ j, temos que Ω i B 1 u(xdx B 1 u(x s m (x dx Ω i 1 B 1 u s m m, ou seja, Ω i B 1 u(xdx =, e assim B 1 u X. Então, devido a unicidade da Série de Fourier, o operador está bem definido. Seja u D(A 1, logo A 1 u X e assim temos que < A 1 u, ϕ j > = Então, segue que D(A 1 Y e ainda A 1 u B 1 u L 1 (Ω i + Ω i Ω i A λ j < u, ϕ j > <. m A 1 B 1 Sabemos, por definição do operador B 1, que u(x m λ 1 j < u, ϕ j > ϕ j (x dx λ 1 j < u, ϕ j > ϕ j (x B 1 u(x dx u u m m λ 1 j λ 1 j < u, ϕ j > ϕ j < u, ϕ j > ϕ j. B 1 u m λ 1 j < u, ϕ j > ϕ j. m. que Por outro lado, considerando a ortonormalidade das autofunções e a Identidade de Parseval, temos m λ 1 j < u, ϕ j > ϕ j = A 1 u = m < A 1 u, ϕ j > ϕ j, < A 1 u, ϕ j >.

56 4 CAPÍTULO 4. O OPERADOR Então, pela Identidade de Pitágoras segue que A 1 u m λ 1 j < u, ϕ j > ϕ j = A 1 u m < A 1 u, ϕ j >, para qualquer m N, logo A 1 u m λ 1 j < u, ϕ j > ϕ j m. Portanto, A 1 u = B 1 u, quase sempre em Ω i, para qualquer u D(A 1, e assim B 1 é uma extensão de A 1 Finalmente, concluiremos esta seção, provando que o operador B 1 é de fato o operador ( N 1. Para isso, consideraremos o operador Laplaciano com condição de fronteira de Neumann, como uma série formada pelas suas autofunções e autovalores, ou seja, N u = λ j < u, ϕ j > ϕ j, para qualquer u D( N. Observe que, para u D( N, a série numérica é convergente. λ j < u, ϕ j > j= Com isso provaremos o seguinte teorema. a Y. Teorema 7. O operador B 1 coincide com o operador ( N 1 em Ω i, ou seja, < u, B 1 u >, para qualquer u D(B 1 e para qualquer u D( N. B 1 B 1 u = N u, Demonstração. Seja u D( N X. Como λ j = j 1, para qualquer j 1, segue que λ j < u, ϕ j > λ j < u, ϕ j > <.

57 4.. CASO Ω Q = (, (, 43 Logo, D( N D(B 1 = Y e assim Também temos que B 1 u D(B 1 B 1 u = λ 1 j < u, ϕ j > ϕ j., pois B 1 u X e λ j < B 1 u, ϕ j > = λ j < u, ϕ j > <. Então, pela ortonormalidade das autofunções, segue que Portanto, B 1 para qualquer u D( N. B 1 u = = = = Temos ainda para u D(B 1 que λ 1 j < B 1 u, ϕ j > ϕ j λ 1 j λ 1 k < u, ϕ k > ϕ k, ϕ j ϕ j k=1 k=1 λ 1 j λ 1 k < u, ϕ k >< ϕ k, ϕ j > ϕ j λ j < u, ϕ k > ϕ j. B 1 B 1 u = N u, < u, B 1 u >= λ 1 j < u, ϕ j >, portanto B 1 u coincide com o operador ( N Caso = (, (, Seja s > e considere { D(A 1 = u H s ( u n = e Ωq } u(x, ydxdy =. Observe que u H s ( u n Hs 1 ( C(, pela Proposição 1., pois s 1 > 1. Logo, a derivada de u tem traço bem definido e com isso temos que D(A 1 está bem definido.

58 44 CAPÍTULO 4. O OPERADOR Seja u D(A 1 e considere a extensão par, -periódica nas variáveis x e y de u em R, isto é, a função ũ : R R tal que u(x t, y k se (x, y [t, (t + 1] [k, (k + 1] u( x + t, y + k se (x, y [(t 1, t] [(k 1, k] ũ(x, y = u( x + t, y k se (x, y [(t 1, t] [k, (k + 1] u(x t, y + k se (x, y [t, (t + 1] [(k 1, k] com t, k Z. Lema 7. A função ũ definida em (4.6, satisfaz as seguintes propriedades 1. ũ é periódica nas variáveis x e y, isto é,, (4.6 ũ(x + m, y + n = ũ(x, y, para qualquer (x, y R e m, n Z.. ũ é par nas variáveis x e y, isto é, ũ( x, y = ũ(x, y = ũ(x, y para qualquer (x, y R. 3. ũ C per (R. Demonstração. Seja y R e considere a função ũ y : R R tal que ũ y (x = ũ(x, y. Logo, pela Proposição 14., temos que ũ y é uma extensão par, periódica da função u(, y e ũ y C per (R, para cada y R fixado. Analogamente, fixando x R temos que a função ũ x : R R tal que ũ x (y = ũ(x, y. é uma extensão par, periódica de u(x, e ũ x C per (R, para cada x R fixado. Com isso, temos que a função ũ é periódica nas variáveis x e y, e satisfaz ũ( x, y = ũ(x, y = ũ(x, y, para qualquer x, y R. Agora mostremos que ũ C per (R. Como u C(, pela periodicidade e paridadde da função ũ, temos que ũ é contínua em R, exceto possivelmente, nos pontos {k} [, ] e [, ] {k}, para qualquer k Z. Para verificarmos a continuidade de ũ nestes pontos, basta verificarmos a continuidade de ũ nos pontos {} [, ], {} [, ], [, ] {} e [, ] {}, isso pela periodicidade e paridade de ũ.