MODELOS COMPUTACIONAIS PARA OPTIMIZAÇÃO DA TOPOLOGIA E DO MATERIAL DE ESTRUTURAS

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Elisa Domingos Dinis
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1 MODELOS COMPUTACIONAIS PARA OPTIMIZAÇÃO DA TOPOLOGIA E DO MATERIAL DE ESTRUTURAS Helder C. Rodrigues Departamento de Engenharia Mecânica IST - UTL

2 SUMÁRIO - Optimização da Topologia de Estruturas - Modelo Material - Homogeneização - Exemplos - Projecto Óptimo de Materiais Celulares -Modelos Hierárquicos

3 INTRODUÇÃO A optimização da topologia de estruturas é um processo de identificação das regiões com e sem material (estrutural) num domínio admissível de forma a identificar a estrutura óptima, para um dado objectivo e satisfazendo constrangimentos que garantam a sua funcionalidade.

4 MODELO DISCRETO

5 MODELO CONTÍNUO

6 MODELO MATERIAL PARA OPTIMIZAÇÃO DA TOPOLOGIA a A 3 2 u = 0 x 3 Γ u b Ω x A B Γ t t a A 1 θ A 2 a A 2 2 a B 3 2 1/8 da célula a B 1 2 x 1 x 2 θ B a B 2 2 DENSIDADE RELATIVA: ORIENTAÇÃO : θ μ = 1 a a a 1 2 3

7 HOMOGENEIZAÇÃO y 3 Y a 2 a 3 a1 1/8 da célula unitária b 2 y 1 y 2 kl χ c a2 2 As propriedades equivalentes do material kl χp E =μe E dy y H ijkl ijkl ijpm Solução da equação de equilíbrio m χ E dy = E dy Y kl p vi vi ijpm ijkl y m yj y j v Periódico

8 Problema Local 2D - χ kl 11 χ 22 χ 12 χ Nota: Material de base ortotrópico e homogéneo

9 H E - Homogeneização -As propriedades elásticas equivalentes são obtidas por interpolação polinomial E1111=E2222=E μ E1122=E1133=E2233 E1212=E1313=E2323 3D - Célula com furo cúbico E, ν=0.3

10 Problema de Optimização Estrutural MAXIMIZAR RIGIDEZ ESTRUTURAL Constrangimento no PESO

11 Formulação do Problema de Cargas Múltiplas NC P P P P P min α biuidω+ tiuidγ [ ] θ = Ω Γt ai 0,1 P 1 Ω 1 a a a dω V ( ) E, e e dω bvdω tvdγ= 0 ( a θ) ( u ) ( v ) H P P P P P P ijkl ij kl i i i i Ω Ω Γ 0 em e em P P v = Γ u u = 0 Γu t

12 Exemplo - Viga apoiada sem penalização penalização

13 Exemplo - Cubo (cargas múltiplas) p 1 p 2

14 Example cylindrical support cylinder fixed in the interior only the block is design domain 15% of block volume available no friction

15 Final solution - multiload

16 Example flexible pin joint only the blocks are design domain 30% of blocks volume available no friction penalized solution, single load penalized solution, multiload (2 loads)

17 Optimal Design of Microstrutures for D Stiffness d D 0 d Y y2 x2 y1 x1 Celular Material Material Unit Cell

18 Equivalent Properties Y μ Relative density 1 μ= ρdy Y Y H Eijkl Equivalent stiffness coeficients km H 1 1 χr Eijkm = EijkmdY Eijrs dy Y Y Y Y y s average Correction

19 r σ11 r σ 12 r σ 12 Problem Formulation σ r 22 r σ 22 r σ 12 σ r 12 r σ11 Cellular Material Multiple load cases ρ = 1 ρ = 0 Relative density for base material ρ [ 0,1]

20 Optimization Problem Stress Formulation { H M M } ijkl λσσ + +λ σ σ 1 ij kl M ij kl min E... ρ ( ) [ 0,1] ρ dy = μ Cellular material relative density Y + Material symmetry, manufacturing constraints

21 Example λ 2 λ (1 λ) (1 λ) loadcases Plane stress Relative density μ=0.5

22 Results λ=0.2 λ=0.5 λ=0.8 μ=0.5

23 Comparison with Analitycal Solution 7,0 6,0 5,0 Energy 4,0 3,0 2,0 1,0 Bound Single Scale 0,0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 λ

E H Unit Cell Aspect Ratio 1/ 3 0.2707E+00 0.8966E-01-0.

24 E H Unit Cell Aspect Ratio 1/ E E E-16 = E E-15 * Symmetric E-01 E 0

25 Example θ 19 shear load cases with varying orientation θ Plane stress Relative density μ=0.5 Note: Due to the number of loads (19) the optimal material should be almost isotropic E H = % error from isotropy E

26 Outros Exemplos Com permissão de Ole Sigmund, DTU, DK. Coeficiente de Poisson negativo Expansão térmica negativa Azul - α Vermelho 10 α H α = 4.17α

27 3D EXAMPLES (Eng. Pedro Coelho)

$Volume fraction$ 0.5

28 Tridimensional application Volume fraction constraint: μ* = 0.5 Honeycomb-like structure Uni-axial load pattern Bi-axial load plate-like structure ε * = pattern

29 Part IV Tridimensional application Base cell Periodic pattern Strain field ICCB September 2005 = ε * = ε *

30 Manufactured at the Material Science Dep. IST by DMLS process Direct Metal Laser Sintering from computational result

31 3D Image from.stl rapid prototyping file Base cell Computational Result Periodic Pattern

32 Hierarchical Optimization Material and Structure

$fraction Mat1 (ω) Micro Scale: Identifies$

33 Hierarchical Model: Mat1 High, Mat2 Low Hierarchical Model: Assumes two scales in the problem 1 [ ] ( ( ) tg Jθγ, : = θ x, T θ ( x) ) 2 dω 2 Ω Macro Scale: Relative volume fraction Mat1 (ω) Micro Scale: Identifies geometry of material cell ω 1 = Y ( x) γ (, ) x Y x xydy x

35 2 nd NUMERICAL EXAMPLE V=83.3% ( x) θ0 = 100 q= -10 q=-10

36 2º EXAMPLE Target Density Distribution Target Temperature Distribution? θ tg = 75 ºC in all the domain

37 INITIAL RESULTS Initial Density Distribution Initial Temperature Distribution Initial ρ(x) =0.83

38 FINAL RESULTS Final Density Distribution Final Temperature Distribution

40 HIERARCHICAL OPTIMIZATION OF MATERIAL AND STRUCTURE (3-D applications)

41 MACRO DENSITY FIELD AND MICROSTRUCTURES 3D Cubic base cell Mesh: F.E. Beam loaded at midspan w/ fixed supports at the ends Mesh: F.E. Global vol. fraction: 50% Macro-Density Scale 9 1 cells ½ ½

$fraction: 50% Macro-Density Scale Macro-Density$

42 MACRO DENSITY FIELD AND MICROSTRUCTURES Cantilever beam loaded at the end: Mesh: F.E. ; Global vol. fraction: 50% Macro-Density Scale Macro-Density Scale Cubic base cells Mesh: F.E.

43 Comentários Finais A optimização de topologia é uma ferramenta de projecto que atingiu um elevado grau de desenvolvimento demonstrado na sua grande aplicação industrial. Novos Desenvolvimentos: Problemas Multidisciplinares Projecto de materiais celulares/compósitos: Materiais compósitos piezo-elétricos. Materiais para absorção de energia de impacto. Controlo de Vibrações

44 AGRADECIMENTOS Prof. Jose Miranda Guedes (IST) Prof. Joao Folgado (IST) Prof. Paulo Fernandes (IST) Eng. Pedro Coelho (UNL) Prof. Martin Bendsoe (DTU)

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