Paulo J. S. Gil. Cadeira de Satélites, Lic. Eng. Aeroespacial
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1 Órbita no Espaço Paulo J. S. Gil Departamento de Engenharia Mecânica, Secção de Mecânica Aeroespacial Instituto Superior Técnico Cadeira de Satélites, Lic. Eng. Aeroespacial Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 1 / 18 Sumário Referencial de inércia Versus r 0, v 0 Determinação dos de r 0, v 0 r 0, v 0 e Referencial de Inércia Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 2 / 18
2 Sumário Referencial de inércia Versus r 0, v 0 Determinação dos de r 0, v 0 r 0, v 0 e Referencial de Inércia Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 3 / 18 Introdução Para especificar uma órbita no espaço é necessário saber a posição r 0 e a velocidade v 0 da partícula num certo instante de tempo { r 0, v 0 } 6 parâmetros para especificar a órbita Para especificar os vectores é necessário um referencial e o mais conveniente é ser um referencial de inércia centrado no corpo central Relativamente a um observador por exemplo na Terra, não é muito conveniente especificar { r 0, v 0 } pois não torna óbvia a órbita do satélite Os servem para isso mesmo e são equivalentes a ter as posição e velocidade iniciais Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 4 / 18
3 Referencial de inércia O Referencial de inércia Referencial adequado para a Terra mas aproximadamente de inércia Fonte: Bate Figura: Referencial de inércia Eixo z na direcção do eixo de rotação própria da Tera, sentido S-N Eixo x apontado para o equinócio Vernal ou da Primavera (hemisfério Norte) Eixo y escolhido de modo a ser um referencial direito O eixo x apontaria para a constelação de Aries no tempo da Babilónia e é também designado o primeiro ponto de Aries Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 5 / 18 Conjunto de 6 parâmetros que especificam o movimento dos corpos através da determinação da órbita e sua orientação no espaço Fonte: Bate Orientação da órbita no espaço: i, Ω, ϖ A inclinação da órbita i relativamente ao eixo polar A Longitude do nodo ascendente Ω O Argumento do perigeu ϖ Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 6 / 18
4 Elementos Clássicos de Órbita II Fonte: Schaub Órbita no plano: a, e, T 0 A elipse (ou outra cónica) é completamente determinada pelo semi-eixo maior a e pela excentricidade e A posição do satélite na órbita é calculada pelo Tempo de passagem no perigeu T 0 T 0 permite calcular a posição na órbita usando as equações de Kepler e da órbita (e sabendo a, e) Os elementos clássicos de órbita {i, Ω, ϖ, a, e, T 0 } são de interpretação muito mais fácil e natural do que especificar { r 0, v 0 } Outros conjuntos similares também são utilizados Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 7 / 18 Precessão dos equinócios revisitada Precessão dos Equinócios É devido ao efeito da Lua (mais importante) e do Sol na Terra por esta não ser uma esfera perfeita Período de cerca de anos (que faz rodar o eixo x no plano do equador a uma taxa de 0.8 /ano) Esta precessão não é a que um corpo livre não esférico apresenta Em suma, o referencial definido é apenas aproximadamente de inércia pois roda lentamente (e é acelerado pois acompanha a Terra à volta do Sol) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 8 / 18
5 O Como o referencial roda é necessário saber exactamente que referencial se utilizou em cada medida Data época ou epoch em que as medições são feitas, definidas pela intersecção das linhas do equador e ecĺıtica Alternativa: Usar um referencial definido numa certa altura e mudar de vez em quando para não acumular erros (se a precisão requerida o permitir) O J2000 é o utilizado; antes foi o J1950 e no futuro será o J2050 (que começará a ser utilizado em 2025) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 9 / 18 Sumário Versus r 0, v 0 Referencial de inércia Versus r 0, v 0 Determinação dos de r 0, v 0 r 0, v 0 e Referencial de Inércia Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 10 / 18
6 Versus r 0, v 0 Determinação dos de r 0, v 0 a partir de r 0, v 0 Os elementos clássicos de órbita são equivalentes a saber posição e velocidade num certo instante e podem sempre ser obtidos destas condições iniciais r 0, v 0 determinam o tipo de órbita Da equação da energia calculada no ponto inicial obtém-se a imediatamente o semi-eixo maior a E = µ 2a = v µ r 0 a = µ v 2 0 µ r 0 (1) O vector de Laplace-Runge-Lenz (cf. Cap. anterior) determina directamente a direcção do perápsis e a excentricidade e e = 1 [ v 0 ( r 0 v 0 ) µ r ] 0 µ r 0 (2) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 11 / 18 Versus r 0, v 0 Determinação dos de r 0, v 0 Tempo de Passagem no Perigeu T 0 Tempo de passagem no perigeu e r 0, v 0 Sabendo o instante t 0 inicial o tempo de passagem no perigeu T 0 pode imediatamente ser calculado: A equação de Kepler determina t 0 T 0 em função da anomalia excêntrica E 0 : T 0 = t 0 a 3 /µ(e 0 e sin E 0 ) A anomalia excêntrica obtém-se da anomalia verdadeira θ 0 correspondente à posição considerada tan E 0 1 e 2 = 1+e tan θ 0 2 A anomalia verdadeira inicial θ 0 é obtida a partir das condições iniciais r 0, v 0, γ 0 (cf. órbita estabelecida a partir de condições iniciais) tan θ 0 = C sin γ 0 cos γ 0 C cos 2 γ 0 1 com C = r 0v0 2 µ através do vector excentricidade ou directamente cos θ 0 = e r 0 er 0 (3) com o Quadrante de θ 0 a ser determinado pelos sinais de r 0, v 0 Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 12 / 18
7 Versus r 0, v 0 Determinação dos de r 0, v 0 Orientação da Fonte: Wiesel Órbita no Espaço Referenciais O referencial inercial está centrado no foco da órbita e X, e Y, e Z e tem a direcção e sentido do perigeu O momento angular h obtém-se de r 0, v 0 : h = r 0 v 0 O vector unitário n define a linha dos nodos e pode ser obtido de h n = e Z h e Z (4) h Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 13 / 18 Versus r 0, v 0 Determinação dos de r 0, v 0 O vector n pertence ao plano do equador logo n = cos Ω e X + sin Ω e Y (5) e Ω é obtido das componentes de n sem ambiguidade de sinal A inclinação da órbita i é facilmente obtida a partir do momento angular cos i = e Z h e definindo que i [0, π], este fica definido sem ambiguidade h O argumento do perigeu é obtido de (6) cos ϖ = n e e (7) Esta equação só está correcta se o perigeu estiver acima do plano do equador; se não é necessário corrigir o Quadrante Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 14 / 18
8 Versus r 0, v 0 r 0, v 0 e Referencial de Inércia Referencial Orbital 3D v 0 r 0 e w e q O e p Referencial { p, q, w} orientado pela órbita e p orientado na direcção e sentido do periápsis e q na direcção θ = π/2 no plano orbital e w orientado na direcção normal ao plano no sentido directo da órbita Este referencial será inercial (apenas rodado relativamente ao outro) se a órbita for Kepleriana O referencial pode ser imediatamente determinado pelos parâmetros da órbita e p = e e, e w = h h, e q = e w e p (8) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 15 / 18 Versus r 0, v 0 r 0, v 0 e Referencial de Inércia r 0, v 0 no Referencial Orbital Tem-se imediatamente r 0 = r 0 cos θ 0 e p + r 0 sin θ 0 e q (9) A velocidade é por definição v 0 = r 0 e r0 + r θ 0 e θ0 = r 0 ( cos θ 0 e p + sin θ 0 e q ) + r θ 0 ( sin θ 0 e p + cos θ 0 e q ) (10) Utilizando θ 0 = h/r 2 0, ṙ 0 = µe h sin θ 0 e a equação da órbita 1/r 0 = (1 + e cos θ 0 )/(h 2 /µ) obtém-se (TPC) v 0 = µ h [ sin θ 0 e p + (e + cos θ 0 ) e q ] (11) r 0, v 0 estão então escritos no referencial { e p, e q, e w } Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 16 / 18
9 Versus r 0, v 0 r 0, v 0 e Referencial de Inércia Rotação de Eixos Seja R k (α) a rotação em torno do eixo k para passar do referencial { e x, e y, e z } para { e x, e y, e z } Tem-se, por exemplo no caso de rotação em torno de z (no caso em torno de y os sinais dos sin são ao contrário) cos α sin α 0 R z (α) = sin α cos α 0, Rz 1 (α) = R z ( α), cos α sin α 0 Rz 1 (α) = sin α cos α 0, (12) [ ] [ ] ex e y e z = ex e y e z Rz (α) (13) Então A x A y = Rz 1 (α) A z A x A y A z, A x A x A y = R z (α) A y (14) A z A z Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 17 / 18 Versus r 0, v 0 r 0, v 0 e Referencial de Inércia Transformação Entre Referenciais (Resumido) No caso dos referenciais { e p, e q, e w } e { e X, e Y, e Z } (cf. figura) [ ep e q e w ] = [ ex e Y e Z ] R3 (Ω)R 1 (i)r 3 (ϖ) (15) Fonte: Wiesel A p A q = R3 1 (ϖ)r 1 1 (i)r 1 3 (Ω) A Y A w A Z (16a) A X A Y = R 3 (Ω)R 1 (i)r 3 (ϖ) A Z A p A q A w Qualquer vector A pode ser escrito nos dois referenciais, incluindo { r 0, v 0 } A X (16b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Órbita no Espaço IST, LEAero, Satélites 18 / 18
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