Quando as Variáveis são Muitas

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1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica - PPGEM Quando as Variáveis são Muitas Prof a Daniele Toniolo Dias F. Rosa danieletdias@utfpr.edu.br

2 Sumário Frações meias de planejamentos fatoriais (a) Como construir uma fração meia (b) Relação geradoras de fatoriais fracionários O conceito de resolução. (a) Fatoriais fracionário de resolução quatro 2 IV 4-1 (b) Fatoriais fracionários de resolução cinco (c) Variáveis inertes e fatoriais embutidos em frações (d) Fração meias com resolução máxima

3 Triagem de variáveis. (a) Fatoriais fracionários de resolução três (b) Planejamentos saturados (c) Como construir uma fração de resolução três (d) Como construir uma fração 2 IV 8-4 a partir de uma fração 2 III 7-4 Opcionais: (e) Planejamentos saturados de Plackett e Burman (f) Técnicas de Taguchi para engenharia de qualidade

4 A medida que o número de fatores em um experimento fatorial 2 k aumenta, o número de corridas também aumenta e consequentemente o número de interações de ordem alta. Se o condutor do experimento assumir que estas interações não são úteis para o experimento, pois são difíceis de interpretar, então, os efeitos principais e das interações de baixa ordem serão fundamentais, desta forma, eles deverão ser obtidos mesmo que seja realizada apenas uma fração deste experimento. Isto é possível por dois motivos: Primeiro, o número de interações de ordem alta aumenta dramaticamente com o número de fatores. Na maioria dos casos, essas interações têm valores pequenos e são destituídas de qualquer importância prática.

5 Tabela 4.1 Número de efeitos principais e de interações, dado em função do número de fatores, k. A ordem de uma interação é o número de fatores envolvidos na sua definição. Ordem k 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a Em segundo lugar, quando o número de fatores aumenta, crescem as chances de que um ou mais deles não afetem significativamente a resposta, seja por meio de efeitos principais, seja por meio de efeitos de interação.

6 Por outro lado, em muitas situações não conhecemos, a relação completa de todas as variáveis que afetam significativamente a resposta. Para não excluir fatores que podem vir a ser importantes, devemos estudar, o maior número possível de variáveis. Podemos fazer isso sem aumentar o n o de ensaios, usando planejamentos fracionários. Na prática das indústrias, este tipo de experimento é muito utilizado, pois permite reduzir o número de corridas e consequentemente o custo de realização do experimento. A maior aplicação prática deste tipo de experimento fatorial é na seleção de variáveis. O experimento fatorial é fracionado a fim de identificar quais variáveis ou fatores influenciam no processo e, posteriormente, realizar um experimento mais detalhado, somente com estes fatores.

7 Frações meias de planejamentos fatoriais Exemplo: Otimizar um procedimento analítico para determinar traços de molibdênio em plantas (Eiras, 1991). Método baseado na ação catalítica da espécie Mo(VI) sobre a oxidação do íon I - pelo H 2 O 2, feita num sistema de fluxo contínuo. 4 fatores escolhidos: as concentrações de H 2 O 2, H 2 SO 4, e KI e o tempo de reação dessas espécies com o Mo(VI). A influência desses fatores sobre a intensidade do sinal analítico foi analisada por meio de um planejamento 2 4 completo.

8 Intensidades Relembrando: Cálculo dos efeitos X t 8 y

9 tempo KI H 2 O 2 Fig. Gráfico normal dos valores dos efeitos calculados para o fatorial completo 2 4 no estudo da ação catalítica do Mo(VI)

10 Exercício 4.1 Use os dados da Tabela 4.2 e confirme que os valores dos efeitos significativos nesse planejamento são mesmo os que aparecem na Tabela 4.3.

11 Para fazer o planejamento fatorial completo, precisamos fazer dezesseis ensaios. Digamos que por economia, os pesquisadores tivessem decidido realizar apenas 8 ensaios. E escolhessem precisamente os que estão assinalados na matriz de planejamento da Tabela 4.2 (ensaios 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16).

12 Nesse caso, os pesquisadores só teriam obtido 8 respostas (reproduzidas na última coluna da Tabela 4.4). Multiplicando duas a duas as colunas apropriadas na matriz planejamento, obtemos os sinais necessários para o cálculo dos valores das seis interações de dois fatores.

13 Aplicando os sinais às respostas, chegamos aos valores para os 4 efeitos principais, 6 de interação e a média global. iguais efeitos X t y 4

14 Comparando os valores dos efeitos obtido com o planejamento completo e os contrastes calculados somente com a meia fração: As estimativas da média e dos efeitos principais são muito parecidos. Os valores das interações significativas do fatorial completo também estão em boa concordância com os valores dos contrastes l 23 e l 24. Entretanto, as interações envolvendo o fator 1 são muito superestimadas pelos valores de l 12, l 13 e l 14. Com oito ensaios da meia fração só podemos estimar oito grandezas independentes. Com o cálculo da média e dos 4 efeitos principais restam apenas 3 graus de liberdade.

15 Pode-se constatar que na verdade l 12 =l 34, l 13 =l 24 e l 14 =l 23. Isto ocorre porque na Tabela 4.4 as colunas de sinais para as interações 12, 13 e 14 são idênticas às colunas correspondentes a 34, 24 e 23. Se admitirmos que as interações envolvendo o fator 1 não são importantes (porque seu efeito principal é desprezível), então concluiremos que l 12 l 13 l Esse novos valores, juntamente com l 23 =26,75, l 24 =24,75 e l 34 =8,75, são estimativas muito boas das interações de dois fatores calculadas com as respostas de todos os 16 ensaios.

16 O planejamento com 8 ensaios mostrado na Tabela 4.4 é uma fração meia do fatorial completo da Tabela 4.2. Costuma-se representá-lo com a notação 2 4-1, que é a metade de Esta notação indica que temos 4 fatores, cada um com dois níveis, mas realizamos apenas 8 ensaios. A presença do valor -1 no expoente significa que o fatorial completo foi dividido em dois. Se ele tivesse sido dividido em 4 partes, o expoente seria 4-2, e assim por diante.

17 Exercício 4.2 Use os sinais da Tabela 4.4 para calcular os contrastes correspondentes às interações 134 e Já sabemos que não há mais graus de liberdade para isso, e que portanto esses valores não devem ser independentes dos valores já calculados. Com que outros contrastes eles se confundem? Você acha que faz sentido interpretar esse valores como sendo realmente estimativas dos efeitos 134 e 1234?

18 (a) Como construir uma fração meia O planejamento fracionário da Tabela 4.4 foi construído da seguinte maneira: 1. Construímos um planejamento 2 3 completo para os fatores 1, 2 e 3; 2. Atribuímos ao fator 4 os sinais do produto das colunas 1, 2 e 3. A primeira consequência desse procedimento é que os contrastes l 123 e l 4 se tornam idênticos. Este é um resultado semelhante ao obtido com a blocagem. Deve haver outras identidades entre contrastes. Representaremos as colunas de sinais por números (ou produto de números) em negrito.

19 Assim a notação 123 indicará a coluna de sinais obtida com a multiplicação das colunas correspondentes aos três primeiros fatores. Essa coluna como acabamos de ver, é idêntica à do fator 4. Podemos escrever portanto (4.1) Para obter as relações entre os diversos contrastes, vamos empregar duas propriedades da multiplicação das colunas de sinais. A primeira é que a multiplicação de uma coluna por ela mesma, produz uma coluna contendo apenas sinais positivos. Essa nova coluna quando aplicada sobre outra, deixa-a inalterada (elemento identidade I): I. A segunda propriedade reconhece que a multiplicação das colunas é comutativa e associativa. Por ex.: 123 ( 1)( 23) ( 23)( 1) ( 12)( 3)

20 Para obter as relações entre os vários contrastes, multiplicamos a expressão definidora do fracionamento (Eq. 4.1), por algum produto de colunas e aplicamos as propriedades enunciadas. Quando quisermos saber a que equivale determinado contraste, precisamos isolá-lo num dos lados da Eq. (4.1). Por ex.: qual é o contraste que tem os mesmos sinais que l 2. É possível isolar o fator 2 no lado direito da Eq. 4.1 multiplicando 123 pelo produto 13 (o que transformará em identidade o 1 e o 3 ) I I 2 2. Então concluímos que l 134 =l 2. Dizemos que o emprego da fração meia confunde o efeito principal 2 com a interação 134.

21 O valor do contraste calculado, l 2 (ou l 134 ), é na verdade uma estimativa da soma dos dois efeitos. Você pode confirmar que isso é verdade, adicionando os valores dos efeitos 2 e 134 na Tabela 4.3 (completo) e comparando o resultado com o valor de l 2 na Tabela 4.4. Para mostrar que o contraste calculado confunde os dois efeitos e estima a sua soma costuma-se empregar a notação l Todas as relações entre os contrastes calculados na fração meia e os efeitos obtidos com o planejamento 2 4 (os chamados padrões de confundimento) são mostrados na segunda coluna da Tabela 4.5.

22 Os efeitos principais não se misturam com as interações de 2 fatores, mas estas misturam-se entre si.

23 Exercício 4.3, 4.4 e 4.5 Quantos ensaios tem um planejamento 2 8-4? Escreva por extenso as expressões algébricas para o cálculo dos efeitos 2 e 134 no fatorial 2 4 completo e mostre que o contraste l 2 calculado na meia fração realmente corresponde à soma desses dois efeitos. Todos os contrastes da Tabela 4.5 representam a soma de dois efeitos, exceto l 1, que estima a média mais a metade da interação Por quê?

24 (b) Relações geradoras de fatoriais fracionários A fração meia foi obtida a partir da igualdade 4=123 (Eq. 4.1). A literatura costuma apresentar essa relação na forma I 1234 (4.2) Nessa forma (elemento identidade isolado) a expressão é conhecida como geratriz (ou relação geradora) do fatorial fracionário. Ela é suficiente para definir toda a fração meia. Cada possível fração de um planejamento completo sempre é definida por um certo número de relações geradoras.

25 Considerando agora os ensaios restantes da Tabela 4.2, aqueles que não foram usados nos cálculos do fatorial fracionário. Esses 8 ensaios também constituem uma fração meia. Os sinais do fator 4 nesses ensaios são o contrários dos sinais do produto 123. Podemos dizer que essa outra fração é gerada pela relação 4 123, ou, que sua geratriz é I 1234 (4.3) (4.4) Os contrastes agora são estimativas da diferença entre dois efeitos do planejamento completo. Por ex. * l

26 As relações entre os novos contrastes (identificados pelo asterisco) e os efeitos do planejamento completo são as mesmas da segunda coluna da Tabela 4.5 com os sinais negativos. Também podemos usar a segunda fração meia, que é chamada de fração complementar, para estimar os efeitos do fatorial. Com os valores e sinais apropriados, teríamos, por ex., * l 2 104,00 em boa concordância com o valor do efeito principal 2 obtido para o fatorial completo (109,38).

27 Exercício 4.6 Use os ensaios da fração meia complementar na Tabela 4.2 para calcular os valores dos contrastes l 1*, l 3*, e l 4*. Compare os resultados com os valores dados na Tabela 4.4 e também com os efeitos principais calculados no planejamento completo.

28 Se juntarmos as duas frações meias, teremos de novo o fatorial de partida. Fazendo a combinação dos contrastes apropriados, podemos recuperar os valores dos efeitos sem nenhum confundimento. Por ex., l 2 e l 2* envolvem o mesmo par de efeitos, 2 e 134. Somando-os, teremos l * 2 l2 2 O valor do efeito principal será portanto a metade da soma dos dois contrastes: 2 l * 2 l ,75 104, ,38 A interação 134 será dada pela metade da diferença entre l 2 e l 2* ; l 134 * 2 l ,75 104,00 2 5,38.

29 Exercício 4.7 Como você combinaria os valores dos contrastes para obter o efeito da interação 1234? Faça as contas e compare o resultado com o valor dado na Tabela 4.3.

30 O Conceito de resolução (a) Fatoriais fracionários de resolução quatro 2 IV 4-1 Se as interações de três fatores forem mesmo desprezíveis, os contrastes devem fornecer ótimas aproximações dos efeitos principais do fatorial completo. Devemos ter por ex., l 2 l 2* 2 (l i l i* i). Entretanto a interpretação dos contrastes de combinações de pares de interação fica mais difícil. Por ex. o valor de l 14 (da Tabela 4.4) é 26,75. Pelos padrões de confundimento (Tabela 4.5), esse valor corresponde à soma das interações 14 e 23. Ele deve ser atribuído principalmente a 14, 23 ou igualmente às duas? Só com os resultados da Tabela 4.4 não temos como saber.

31 No entanto estes resultados indicam que o fator 1 (concentração de H 2 SO 4 ) não tem efeito principal significativo, ao contrário dos fatores 2 (KI) e (H 2 O 2 ), o que sugere que a interação 23 deve ser, em princípio, mais importante que a interação 14. Portanto o valor do contraste l 23 (ou l 14 ) deve ser uma boa aproximação da interação entre os fatores [KI] e [H 2 O 2 ]. Infelizmente, nem sempre isso funciona. O planejamento é um exemplo de fatorial fracionário de resolução quatro (índice em algarismo romano). A resolução é determinada pelo número de fatores que compõe o termo mais curto presente nas suas relações geradoras. No nosso exemplo a relação (I= 1234) contém 4 fatores, e por isso a resolução do fatorial é IV.

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33 (b) Fatoriais fracionários de resolução cinco No estudo do sinal analítico do Mo(VI), na verdade foi investigado mais um fator além dos quatro já mencionados: o fluxo através do sistema contínuo. Os 16 ensaios cujos resultados estão na Tabela 4.2 não correspondem realmente a um planejamento 2 4, e sim a uma fração meia de um planejamento 2 5, que está apresentado na Tabela 4.6. Essa fração foi construída a partir da relação 5=1234, ou, a partir de I (4.5) Trata-se portanto de uma fração meia de resolução cinco, para a qual podemos usar a notação 2 V 5-1

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35 KI H 2 O 2 tempo Os efeitos principais estão misturados com as interações de 4 fatores, enquanto as interações de 2 fatores se misturam com as de 3.

36 Exercício 4.9 e 4.10 Numa fração meia de resolução seis, os efeitos principais estão confundidos com quem? E as interações de dois fatores? Explique porque os resultados dos ensaios 1(+++++) e 9 (-+++-) na Tabela 4.6 são quase iguais.

37 (c) Variáveis inertes e fatoriais embutidos em frações Vemos na Tabela 4.7 que os contrastes envolvendo os fatores 1 e 5 (concentração de ácido sulfúrico e o fluxo) são aparentemente desprezíveis. São variáveis inertes que não precisamos mais levar em consideração neste estudo. Isso permite retirar da Tabela 4.6 as colunas correspondentes, o que nos deixará com um fatorial 2 3, completo com duplicata, nas três variáveis restantes.

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39 Planejamento fatorial 2 3 em duplicata obtido a partir da fração quando as variáveis [H 2 SO 4 ] e Fluxo são eliminadas. Valores mais altos combinação de sinais (2 3 4) = (+ + +) Como o objetivo é aumentar a sensibilidade do método analítico, seria aconselhável realizar mais ensaios em torno da região (2 3 4)

40 O aparecimento de fatoriais embutidos em decorrência da inércia de determinadas variáveis é uma situação que pode ocorrer com qualquer planejamento fatorial. A próxima figura mostra a razão disto ocorrer, para o fatorial 2 III 3-1 com sinais definidos pela relação 3=12. Se eliminarmos o fator 3 desse planejamento, teremos um fatorial 2 2 nas variáveis 1 e 2. Geometricamente, ao eliminar a variável 3 retiramos o seu eixo da figura. O cubo fica reduzido a um simples quadrado, situado no plano definido pelos fatores 1 e 2 (projeção do fatorial fracionário no plano 12). Qualquer que seja a variável eliminada, teremos um planejamento completo 2 2 nas variáveis restantes.

41 Representação geométrica dos três fatoriais completos 2 2 embutidos numa fração Quadrado definido pelos fatores 1e2. Eliminar a Eliminar a variável 1 retira o eixo x1 variável 3 retira o eixo x3 Eliminar a variável 2 retira o eixo x2

42 Na Tabela 4.8 temos as duas meias frações dos fatoriais 2 4 e 2 5. Se eliminarmos qualquer variável de uma fração 2 IV 4-1, ficaremos com um planejamento 2 3 completo nas outras variáveis. Se eliminarmos duas variáveis, passaremos a ter dois fatoriais 2 2 completos nas outras duas.

43 (d) Fração meias com resolução máxima No 1º ex., partimos de um fatorial 2 3 e usamos a interação 123 para definir os níveis da 4ª variável (I=1234) o que nos levou a uma fração de resolução IV. No 2º ex., começamos com um planejamento 2 4 e com a relação I=12345, chegamos a uma fração de resolução V. O procedimento: usar sempre a interação de ordem mais alta no fatorial de partida é o mais indicado. Por exemplo: Se definíssemos os sinais da variável 5 na fração pela relação 5=123, a relação geradora seria I=1235 e a resolução cairia para IV.

44 Meias frações baseadas na interação mais alta possível são as que tem a resolução máxima e por isso, elas normalmente são as melhores. Em geral, para construir uma fração 2 k-1 de resolução máxima, devemos fazer o seguinte: 1. Escrever o planejamento completo para k-1 variáveis; 2. Atribuir à variável restante os sinais da interação (k- 1), ou então os sinais exatamente contrários.

45 Exercício 4.11 Construa um planejamento fracionário usando a relação 5=124. Determine, nessa fração, as relações existentes entre os contrastes correspondentes a um e a dois fatores e os efeitos calculados num fatorial completo. Você pode imaginar uma situação em que esse planejamento fosse preferível, ao invés do fatorial de resolução máxima?

46 Triagem de variáveis (a) Fatoriais fracionários de resolução três Quando estamos investigando o efeito de muitas variáveis, fazer um planejamento completo logo de saída nunca é uma boa política. É melhor começar com um planejamento fracionário e fazer uma triagem, ou seja, separar os fatores realmente significativos. O planejamento sempre poderá ser completado mais tarde, se os resultados iniciais apontarem nessa direção.

47 Dependendo do número de fatores a fração meia ainda pode ser grande demais. Neste caso pode-se considerar planejamentos fracionários contendo apenas um quarto do total de ensaios. Com cinco variáveis, como no ex. do Mo(VI), o planejamento teria apenas oito ensaios e corresponderia a uma fração Para construir sua matriz, começaríamos com um fatorial 2 3 baseado em 3 das 5 variáveis e precisaríamos de 2 relações geradoras, para definir os níveis das duas variáveis restantes. Por ex., para chegar ao planejamento mostrado na próxima tabela, partimos das relações 4=123 e 5=12, o que equivale a fazer I=1234 e I=125.

48 Mais econômico, mas produz contrastes que misturam efeitos principais com interações de dois fatores. Analisando os resultados da fração quarta os pesquisadores podem decidir se vão fazer mais ensaios e chegar até uma fração meia ou mesmo até o fatorial completo 2 5, se vão introduzir novas variáveis no lugar de 1 e 5, ou ainda se preferem mudar os níveis das variáveis.

49 Exercício 4.12 Os efeitos confundidos num determinado contraste são determinados pelas relações geradoras do fatorial e por todos os seus possíveis produtos. Nos planejamentos e só havia uma relação geradora, e por isso os efeitos eram confundidos dois a dois. No planejamento 2 5-2, como existem duas relações geradoras, precisamos considerar 3 equações: as próprias relações, I=1234 e I=125, e o seu produto, (I)(I)=I=(1234)(125)=345. Cada efeito estará portanto confundido com outros três. (a) Use estas relações para mostrar que o efeito principal 1 se confunde com as interações 25, 234 e 1345; (b) Que interações estão confundidas com o efeito principal 5?

50 (b) Planejamentos saturados Os planejamento fracionários, que permitem uma triagem eficaz são particularmente importantes para laboratórios industriais. Nos exemplos anteriores, à custa de fragmentar- e portanto confundir- um planejamento completo, vínhamos conseguindo estudar cada vez mais fatores com cada vez menos ensaios. Limite? Dado um certo número de ensaios, deve existir um número máximo de fatores que podemos estudar com esses ensaios. Quando esse limite é alcançado, dizemos que o planejamento está saturado.

51 Com 8 ensaios podemos estudar no máximo 7 fatores, pois 1 dos graus de liberdade é gasto obrigatoriamente com o cálculo da média. Como este é exatamente o número de variáveis selecionadas, temos um planejamento saturado.

52 O planejamento foi construído a partir de um fatorial completo para as três primeiras variáveis, usando-se as relações geradoras I=124, I=135, I=236 e I=1237 para definir os níveis das quatro variáveis restantes. Esse planejamento é chamado de saturado porque todas as possíveis interações entre os fatores do planejamento base, 12, 13, 23 e 123, foram usadas para determinar os níveis das outras variáveis. Isso torna impossível definir novas variáveis cujos níveis não sejam inteiramente coincidentes com os níveis de uma das que já fazem parte do planejamento. Como o termo mais curto no conjunto das relações geradoras contém 3 fatores, o planejamento é 2 III 7-4.

53 O fatorial completo tem 2 7 =128 parâmetros, usando 8 observações estaremos confundindo em cada contraste um total de 128/8=16 efeitos. E precisamente o fatorial 2 III 7-4 corresponde a 1/16 do fatorial completo. A Tabela 4.11 mostra apenas as interações de 2 fatores. Com os sinais e respostas da Tabela 4.10: l1 1/

54 Exercício 4.13 e 4.14 Calcule o valor do contraste correspondente ao efeito principal do lado da quadra, usando os dados da Tabela No fatorial cada efeito principal é confundido com quinze interações. Para descobrir o que se confunde com o quê, é necessário usar, além das 4 relações geradoras, seus seis produtos binários, seus 4 produtos ternários e finalmente o produto de todas elas. Determine que interações estão confundidas com o efeito principal que representa o lado da quadra.

55 Considerando todas as interações de dois fatores também desprezíveis. Cada contraste passará a representar um efeito principal, ficando evidente que a técnica e a frequência são os fatores mais importante dos sete. A mudança do saque chapado para cortado resulta num aproveitamento 12,25% maior, enquanto o aumento da frequência dos saques piora a precisão em 9,25%. São resultados esperados para um tenista amador (nível médio). Para lado esquerdo de onde o saque é feito o aproveitamento subiu cerca de 7% (esperado, uma vez que o autor é canhoto) O emprego de uma raquete maior ajuda a melhorar os acertos em aproximadamente 4%. Os demais fatores (hora, camisa e revestimento da quadra) não parecem ter grande importância.

56 E se os efeitos de interação que desprezamos são os verdadeiros responsáveis pelos altos valores dos contrastes? Por ex., os fatores 1 e 2. A interação 12 está embutida no contraste l 4, cujo valor é praticamente nulo. Se 12 fosse significativa esperaríamos um valor maior para l 4. Um argumento similar pode ser aplicado às interações 15 e 17, que contribuem para os contrastes l 3 e l 6, respectivamente. Restam as interações 25, 27 e 57, que participam de contrastes importantes. A interação 27, entra em l 5 (lado da quadra). Se o valor de 27 for significativo, a interpretação de l 5 será diferente. Talvez o lado da quadra não seja importante e o valor 6,75 na verdade indica que o uso de uma raquete maior permite sacar com maior frequência sem piorar o índice de acertos.

57 Planejamento usado para separar (desconfundir) o valor do efeito principal 5 da soma Semelhante ao da Tab exceto que para o fator 5 usou-se a relação 5=-13 ao invés de 5=13. Os níveis do fator 5 terão assim sinais exatamente opostos nas 2 tabelas.

58 Exercício 4.15 Cada ensaio das Tabelas 4.10 e 4.12 corresponde à realização de saques sob certas condições, especificadas pelos sinais das respectivas matrizes de planejamento. Descreva a realização do ensaio número 4 na Tabela Qual a diferença, em termos práticos, entre esse ensaio e o ensaio número 4 da Tabela 4.12?

59 Note que: (a) todas as interações binárias do fator 5 estão com o sinal negativo, e (b) todas as interações binárias do contraste l 5 também estão com o sinal negativo. O único contraste com valor claramente significativo é o correspondente à técnica de saque. Surpreendentemente, o contraste para o uso da camisa é um pouco maior que o contraste referente ao lado da quadra (talvez possa ser atribuído à interação 17).

60 Para isolar o efeito principal 5, combinamos os dois contrastes em que ele aparece: 5 l * 5 l5 6,75 2, ,75. Da mesma forma: l * 5 l5 2 2,00. Podemos concluir então, que o efeito principal do lado da quadra no aproveitamento do saque é quase 5%, ao passo que o efeito combinado das interações 13, 46 e 27 é de 2%.

61 Os valores absolutos das interações binárias envolvendo o fator 5 são todos inferiores a 2,25. Se admitirmos que o valor verdadeiro de todas elas é zero, podemos usar estes 7 valores para estimar o erro de um contraste: ,50 2,25 1,50 0,50 2,00 1,50 0,25 2 s c 7 s c 2 2,02 o que dá um erro padrão de 1,42. Com essa estimativa do erro podemos concluir que só os contrastes envolvendo os efeitos principais da técnica (1), da frequência (2), do lado da quadra (5) e do tamanho da raquete (7) têm valores significativos, no nível de 95% de confiança. 2

62 (c) Como construir uma fração de resolução três Saturando um planejamento completo 2 m, podemos obter planejamentos fracionários de resolução três para um total de 2 m -1 variáveis. Para isso, temos que utilizar relações geradoras obtidas a partir de todas as possíveis interações dos m fatores de partida. Por ex., com um fatorial 2 4, devemos empregar as onze relações: 5=12, 6=13,7=14, 8=23,9=24, 10=34, 11=123, 12=124, 13=134, 14=234 e 15=1234. A fração resultante terá 16 ensaios e com ela será possível estudar o efeito de quinze (2 4-1) variáveis. Sua notação será 2 III

63 (d) Como construir uma fração 2 IV 8-4 a partir de uma fração 2 III 7-4 Planejamento de resolução IV podem ser construídos de planejamentos saturados de resolução III. Por ex., partindo da nossa primeira fração 2 III 7-4, podemos construir o planejamento 2 IV 8-4 mostrado na Tabela Para isso acrescentamos ao planejamento de partida uma coluna para o fator 8, toda de sinais positivos. Como um planejamento deve ter 16 ensaios, precisamos de mais 8 linhas. Invertemos os sinais dos 8 primeiros ensaios, linha por linha.

64 O 9º ensaio será o 1º com os sinais trocados, o 10º será a inversão do 2º, e assim até o 16º, que só tem sinais negativos e portanto é obtido a partir do 8º. Com isto teremos o dobro de ensaios, mas o trabalho adicional é compensado com uma melhora na resolução.

65 Exercícios 4.16 e 4.17

66 Com resolução IV, podemos separar completamente todos os efeitos principais das interações de dois fatores, como mostra a Tabela abaixo. Os contrastes correspondentes às próprias colunas do planejamento estimam os efeitos principais das 8 variáveis. Os contrastes definidos pelo produto de duas colunas estimam combinações de interações de dois fatores.

67 (e) Planejamentos saturados de Plackett e Burman Vimos que realizando 8, 16, 32,..., 2 m ensaios, podemos empregar planejamentos e com eles estudar a influência de até 7, 15, 31,..., 2 m -1 fatores. Uma outra classe de planejamentos fracionários emprega um total de 12, 20, 24, 28,... ensaios para investigar simultaneamente até 11, 19, 23, 27,... fatores. Esses planejamentos propostos por R. L. Plackett e J. P. Burman, permitem estimar todos os k=n-1 efeitos principais (n=número de ensaios) com variância mínima. A Tabela 4.17 mostra o planejamento Plackett-Burman (n=12) Os n/2 sinais positivos de qualquer coluna correspondem, nas demais colunas, a n/4 sinais positivos e n/4 sinais negativos.

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69 Em outras palavras, as colunas são todas ortogonais, o que permite que os efeitos principais de cada fator sejam determinados individualmente, admitindo-se que os efeitos de interação sejam desprezíveis. Embora num planejamento saturado seja possível estudar até n-1 fatores, é aconselhável um número menor, para que as colunas não utilizadas façam o papel de variáveis inertes e possam ser empregadas para estimar o erro associado aos contrastes. No caso dos planejamentos Plackett-Burman, recomenda-se que o número de fatores reais não ultrapasse n-4. Na Tabela 4.17 devemos estudar no máximo 8 fatores. Uma desvantagem é que as relações entre os contrastes calculados e os efeitos de um fatorial completo são bastante complexas. Isto torna difícil escolher os ensaios adicionais necessários para desconfundir os efeitos.

70 (f) Técnicas de Taguchi para engenharia de qualidade No Japão pós-guerra Genichi Taguchi desenvolveu planejamentos experimentais com o objetivo de projetar produtos ou processo que: Fossem pouco sensíveis a variações ambientais; Fossem pouco sensíveis a variações nos componentes; Tivessem variação mínima em torno do valor alvo;

71 Em relação ao pensamento tradicional houveram duas novidades: Qualquer desvio em relação ao valor alvo passou a ser considerado indesejável, mesmo que o produto estivesse dentro dos limites especificados. Durante o planejamento do produto era recomendável levar em conta os fatores que podemos controlar durante o processo de fabricação, e também fatores que são difíceis ou impossíveis de controlar, mas podem afetar a resposta, como pequenas flutuações nos componentes, degradação dos equipamentos ou mudanças no modo de o consumidor utilizar o produto.

72 Considere uma mistura para bolo, fabricada com 4 ingredientes: farinha de trigo, açúcar, ovos e gordura vegetal. Quando o cozinheiro prepara o bolo, tem de adicionar leite, ajustar a temperatura do forno e controlar o tempo que a massa ficará assando. Esses fatores também afetam o resultado final, mas estão fora do alcance do fabricante, por mais explícitas que sejam as instruções na embalagem. Aos 1º fatores, que podem ser controlados na fabricação da mistura, Taguchi chama de parâmetros. Os outros são fontes de ruído. Na abordagem de Taguchi, estes últimos também devem ser incluídos durante o planejamento e o desenvolvimento do produto (recomenda o uso de planejamentos fatoriais ortogonais).

73 Dois tipos de planejamento devem ser construídos: um arranjo interno, envolvendo apenas os parâmetros, e um arranjo externo baseado nas fontes de ruído. Esses dois arranjos são então cruzados, isto é, realizam-se ensaios em todas as suas possíveis combinações. Na mistura para bolo, por ex., se considerarmos apenas dois níveis para todos os sete fatores mencionados, uma abordagem tauguchiana poderia resultar no esquema mostrado na Tabela Para Taguchi, a resposta deve estar tão próxima do alvo quanto possível, mas também deve ser robusta (pouco sensível) à influência do ruído. Isto significa que devemos levar em conta não só as respostas dos ensaios no arranjo interno como também a sua variação com o ruído

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75 Na análise de Taguchi, na verdade, deveríamos escolher o melhor ensaio analisando uma relação sinal-ruído, escolhida de acordo com o objetivo do experimento. Para este ex., em que o objetivo é chegar a um determinado valor nominal, Taguchi recomenda maximizar a relação SN T 10 log Cujos valores aparecem na última coluna da Tabela Por este critério, o 2º ensaio também seria o escolhido. Já o 8º ensaio, que dos outros sete é o único centrado no valor alvo, ficaria em antepenúltimo lugar, ganhando apenas do 4º e do 6º ensaios. Isto é uma consequência da ênfase taguchiana na robustez da resposta em relação ao ruído. É também uma das razões para as críticas que os métodos de Taguchi têm sofrido ultimamente. y s 2 2,

76 A estratégia de Taguchi para melhoria da qualidade é intrinsecamente multivariada, não trazendo grandes novidades do ponto de vista formal. Seus planejamentos envolvendo dois níveis, por ex., têm a mesma estrutura dos planejamentos fatoriais discutidos anteriormente. Na metodologia taguchiana, como vimos, esses planejamentos devem ser realizados para descobrir uma combinação de níveis dos fatores que produz respostas com a menor variação entre repetições e mais próximas do objetivo desejado.

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