A FORMA E O CAMPO DE GRAVIDADE DA TERRA. Manoel S. D Agrella Filho

Transcrição

1 A FORMA E O CAMPO DE GRAVIDADE DA TERRA Manoel S. D Agrella Filho

2 A FORMA DA TERRA Os filósofos e sábios antigos só conseguiam especular sobre a natureza e forma da Terra em que viviam. Viagens limitadas Instrumentos simples

3 A FORMA DA TERRA As observações mostravam que a superfície era convexa: Os raios solares continuam a iluminar o céu e as montanhas, mesmo após o desaparecimento do Sol Os navios pareciam afundar devagar no horizonte Durante um eclipse parcial da Lua, a sombra da Terra aparecia curvada

4 A FORMA DA TERRA Mitologia Grega - a Terra era uma região em forma de disco. No século 6 A.C. o filósofo grego Anaximander visualizava o céu como uma esfera celestial que circundava uma Terra plana no seu centro.

5 A FORMA DA TERRA Pitágoras ( A.C.) e seus seguidores foram os primeiros a especularem que a Terra era uma esfera. Esta idéia foi também proposta pelo influente filósofo Aristóteles ( A.C.).

6 A FORMA DA TERRA Eratóstenes ( A.C.) Primeira estimativa do tamanho da Terra Uma estadia Grega representava o percurso (~185 m) de corrida em forma de U, onde corridas e outros eventos de atletismo ocorriam. A estimativa de Eratóstenes km Estimativa atual km

7 A FORMA DA TERRA Estimativas de um grau de meridiano Século 8 durante a dinastia Tang na China. Astrônomos árabes no século 9, na Mesopotâmia. Pouco progresso foi feito na Europa até o início do século 17.

8 A FORMA DA TERRA Invenção do telescópio neste século possibilitou pesquisas geodéticas mais precisas: Em 1671 Jean Picard ( ), astrônomo Francês levantamento geodético - um grau de arco do meridiano. Raio da Terra como sendo de km, impressionantemente próximo do valor atualmente conhecido de km.

9 Em 1672 A FORMA DA TERRA Jean Richer, outro astrônomo Francês Enviado por Louis XIV para realizar algumas observações astronômicas na Ilha Equatorial de Cayene. Ele observou que um relógio de pêndulo ajustado para bater em Paris a cada segundo, atrasava cerca de dois minutos e meio por dia. Isto é, seu período era mais longo.

10 A FORMA DA TERRA Esta observação gerou muito interesse e especulação, mas foi somente explicada cerca de 15 anos mais tarde, por Newton, através das leis de gravitação universal e de movimento. Newton sugeriu que a forma de uma Terra em rotação deveria ser a de um elipsóide oblato: ela deveria ser achatada nos pólos, formando um bojo no equador.

11 A FORMA DA TERRA Argumento de Newton para a Terra em rotação. Terra - esfera hidrostática Newton assumiu uma densidade constante ao longo da Terra e chegou a conclusão que o achatamento seria de 1:230 (f=(a-c)/a, a é o eixo maior do elipsóide). Este valor é maior do que o que se conhece hoje, que é de 1/298 (~0,3%).

12 A FORMA DA TERRA O aumento no período do pêndulo de Richer pode ser agora explicado: Cayenne fica próximo do equador, onde: 1- o raio é maior e a atração gravitacional é menor. 2- A força centrífuga oposta é maior (próximo do equador). Estes dois efeitos juntos resultam em um valor menor da gravidade em Cayenne do que em Paris. O período de um pêndulo (T) é dado por: T = 2 (L / g) 1/2 L comprimento do pêndulo; g - gravidade

13 A FORMA DA TERRA Duas expedições (entre 1735 e 1743) organizadas pela Académie Royale des Sciences, uma para Lapônia, próximo do Círculo Ártico e outra para o Peru, próximo ao equador, com o intuito de se medir o comprimento de um grau de arco de meridiano, confirmaram a predição de Newton de que a forma da Terra é a mesma de um elipsóide oblato.

14 GRAVITAÇÃO Um corpo de massa m em movimento (velocidade v) possui uma inércia. Para mudarmos este movimento é necessário aplicar uma força F a este corpo. A segunda lei de movimento de Newton estabelece que a razão de mudança no tempo do momento (quantidade de movimento - p) de uma massa m é igual à força resultante que atua sobre ela e acontece na direção da força. p = m v F res = dp/dt F res = d(mv)/dt = m dv/dt = ma

15 GRAVITAÇÃO Se aplicarmos uma força F a uma massa m, ela adquire uma aceleração a, dada por: F = ma A unidade de força no sistema SI é o Newton (N). Ela é definida como sendo a força que dá a uma massa de um quilograma, uma aceleração de 1 m/s 2.

16 A lei da gravitação universal Nós conhecemos a célebre observação de Newton da maçã em queda, a qual ele relacionou com a atração gravitacional que a Terra exercia sobre a maçã. Entretanto, a genialidade de Newton foi reconhecer que o campo gravitacional que faz com que a maçã caia é o mesmo que mantém a Lua em órbita em torno da Terra e que mantém os planetas girando em redor do Sol.

17 A lei da gravitação universal Newton deduziu que a força de atração gravitacional (F) exercida por uma massa M sobre outra massa m, separadas pela distância r, é proporcional ao produto destas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas: F = - G mm/r 2 r, Onde r é o vetor unitário na direção da coordenada r, direcionada para fora do centro de referência da massa M. O sinal negativo indica que a força F age na direção oposta, em direção da massa M. A constante G é denominada de Constante da Gravitação Universal.

18 A lei da gravitação universal Na época de Newton não havia como determinar a constante G. O método a ser seguido, seria determinar a força exercida entre duas massas no laboratório. A determinação experimental de G, extremamente difícil, foi conseguida somente depois de mais de um século após a formulação de Newton, por Lord Charles Cavendish, em Depois de uma série de medidas apuradas da força de atração entre duas esferas de chumbo, Cavendish determinou o valor de G = 6,754 x m 3 kg -1 s -2. Um valor atual é 6, x m 3 kg -1 s -2.

19 ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL Na física, o campo de uma força é mais importante do que a magnitude da força. O campo é definido como sendo a força exercida em uma unidade de material. O campo gravitacional na vizinhança de uma massa é a força que ela exerce em uma massa unitária. Como: F = ma, Podemos dizer que o campo gravitacional é equivalente ao vetor aceleração (a g ).

20 ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL Tendo em vista que: e F = -GMm/r 2 r, F = ma Decorre que: a g = -GM / r 2 r. No sistema SI, aceleração é dado em m/s 2. No sistema c.g.s., a aceleração é em cm/s 2, o qual é chamado de gal em reconhecimento às contribuições de Galileo.

21 Teorema da casca Uma casca esférica uniforme de matéria atrai uma partícula que está fora da casca como se toda a massa da esfera estivesse concentrada em seu centro.

22 Teorema da casca A terra pode ser considerada como um conjunto de cascas esféricas, uma dentro da outra e cada casca atraindo uma partícula fora da superfície terrestre como se a massa de cada casca estivesse no centro da casca. Portanto, a Terra pode ser considerada como uma partícula localizada no centro da Terra com massa igual a da Terra.

23 Teorema da casca Suponhamos o caso da maçã e da Terra. A Terra atrai a maçã com uma força de 0,8 N. A maçã deve atrair a Terra com a mesma intensidade de 0,8 N. Aceleração produzida na maçã pela atração gravitacional da Terra é de 9,8 m/s 2, Aceleração produzida na Terra pela atração gravitacional da maçã é de 1x10-25 m/s 2.

24 Exercício 1. Uma partícula deve ser colocada, de cada vez, do lado de fora de quatro objetos, cada um com massa m: (1) uma grande esfera sólida uniforme, (2) uma grande casca esférica uniforme, (3) uma pequena esfera sólida uniforme e (4) uma pequena casca esférica uniforme. Em cada situação, a distância entre a partícula e o centro do objeto é d. Classifique os objetos de acordo com a intensidade da força gravitacional que eles exercem sobre a partícula, da maior para a menor.

25 Princípio da superposição Dado um grupo de partículas, a força gravitacional resultante sobre qualquer uma delas, exercida pelas demais, é a soma dos efeitos individuais. F 1,res = F 1,2 + F 1,3 +F 1, F 1,n Onde, F 1,res é a força resultante sobre a partícula 1 e, por exemplo, F 1,3 é a força que a partícula 3 exerce sobre a partícula 1.

26 Exercício 2. A figura abaixo mostra quatro arranjos de três partículas de massas iguais. (a) Classifique em ordem decrescente os arranjos de acordo com a intensidade da força gravitacional resultante sobre a partícula identificada por m. (b) No arranjo 2, a direção da força resultante está mais próxima da linha de comprimento d ou da linha de comprimento D?

27 Exercício 3. Na figura abaixo, qual a direção da força gravitacional resultante sobre a partícula de massa m 1 devida às outras partículas, cada uma com massa m, que se encontram dispostas simetricamente em relação ao eixo y?

28 Gravitação Próxima à superfície da Terra A força gravitacional da Terra sobre uma partícula de massa m, localizada fora da Terra, a uma distância r do centro da Terra, é dada por: onde M é a massa da Terra. F = -G M m / r 2,

29 Gravitação Próxima à superfície da Terra Se uma partícula for solta, ela cairá em direção ao centro da Terra, em conseqüência da força de atração gravitacional, com uma aceleração (chamada aceleração gravitacional) a g. Da segunda lei de Newton: e F = m a g, F = -G M m / r 2, a g = -G M / r 2

30 Exercício 4. Supondo que a aceleração gravitacional da Terra é de aproximadamente 9,8 m/s 2, o raio da Terra (R) é de 6371 km, a constante gravitacional vale 6,673x10-11 m 3 kg -1 s -2 e o volume (V) da Terra é dado por (4/3) R 3, calcule a densidade média ( = M/V) aproximada da Terra. Comparando com os valores de densidade das rochas encontradas na superfície da Terra (2.800 a kg/m -3 ), o que você poderia deduzir sobre a distribuição de densidade no interior da Terra?

31 Gravitação Próxima à superfície da Terra Em vários exercícios, é comum considerarmos a aceleração que um corpo em queda livre apresenta (denominado g), como sendo a aceleração gravitacional que agora chamamos de a g. Normalmente, também consideramos que g possui um valorconstante sobre a superfície da Terra.

32 Gravitação Próxima à superfície da Terra Entretanto, o valor de g que mediríamos, difere de a g que calcularíamos pela equação acima. Por exemplo, medidas recentes de g no pólo (g p ) e no equador (g e ) forneceram valores de: g p = 9, m/s 2 e g e = 9, m/s 2, o que nos fornece uma diferença de: 5,186x10-2 m/s 2 = 5,186 cm/s 2 = 5,186 gal = mgal.

33 Gravitação Próxima à superfície da Terra Existem três razões para que isto ocorra: 1 - A Terra não é uniforme; 2 - Ela não é uma esfera perfeita (elipsóide com raio equatorial ~21 km maior que o raio polar). A distância ao centro de massa da Terra é menor nos pólos do que no equador, o que produz um aumento da gravidade em direção aos pólos. Cálculos mostram que este efeito seria responsável por uma diferença de mgal, entre a gravidade no pólo e a gravidade no equador; 3 - Ela está em rotação. A aceleração centrífuga se opõe à aceleração da gravidade que é zero nos pólos e tem seu valor máximo no equador. Portanto, este efeito produz um aumento de g em direção ao pólo. Cálculos mostram que este aumento é de mgal.

34 Gravitação Próxima à superfície da Terra A aceleração da gravidade (g) varia de ponto para ponto na superfície da Terra. A aceleração da gravidade em um determinado local resulta da soma vetorial das acelerações gravitacional (ag) e da centrífuga (ac). A Aceleração da gravidade g não é radial e sua intensidade atinge valores máximos nos pólos e mínimos na região equatorial.

35 Gravitação Próxima à superfície da Terra Para um corpo em rotação, a aceleração centrífuga é igual a: a c = 2 R, onde é a velocidade angular da Terra e R é a distância ao eixo de rotação. = 2 / T (T é o período de rotação, 24 horas). A soma vetorial da aceleração gravitacional e da aceleração centrífuga é denominada aceleração da gravidade, ou simplesmente gravidade. g = a g + a c

36 Gravitação Próxima à superfície da Terra Os efeitos dois e três descritos acima se somam, produzindo uma diferença entre os valores de g no pólo e no equador de: mgal mgal = mgal Entretanto, como mostrado acima, medidas de g nos pólos e no equador indicam uma diferença menor, de mgal. Porque isto ocorre?

37 Gravitação Próxima à superfície da Terra Isto decorre do fato que a Terra, tendo um raio equatorial maior do que o raio polar contém também uma massa maior no equador, o que faz aumentar a atração gravitacional nesta região. Entretanto, este efeito não supera os efeitos produzidos pelo achatamento da Terra e pela aceleração centrífuga.

38 Gravitação Próxima à superfície da Terra Observação 1. Até recentemente, os instrumentos de campo apresentavam uma precisão de dezenas de miligal. Instrumentos mais modernos são capazes de medir diferenças de gravidade de até um milionésimo de gal (1 gal, o qual tem se tornado uma unidade prática nas investigações gravimétricas). Para se ter uma idéia, o valor da gravidade na superfície da Terra é de cerca de 9.8 m/s 2, e a sensibilidade dos aparelhos atuais chega a ser de 1 parte em Observação 2. Vale a pena salientar que as diferenças de g sobre a superfície da Terra são muito pequenas e são usadas, como veremos mais adiante, para investigar estruturas de sub-superfície. Entretanto, para uma primeira aproximação, podemos usar um valor constante de g (9,8 m/s 2 ) nos exercícios de física.

39 Gravitação no interior da Terra Newton também mostrou que: Uma casca uniforme de matéria não exerce nenhuma força gravitacional sobre uma partícula localizada dentro dela. Portanto, temos dois fatores que influenciam a aceleração da gravidade no interior da Terra: (1) a diminuição da distância ao centro da Terra (r), o que tenderia a aumentar o valor de g em direção ao centro e; (2) as camadas mais externas, de acordo com a afirmação acima, teriam influência nula, o que acarretaria em uma diminuição no valor de g.

40 Gravitação no interior da Terra Como a densidade do núcleo é muito mais alta que a do Manto, a gravidade se mantém aproximadamente constante (em torno de 10 m/s 2 ) até a profundidade de km (interface Manto-Núcleo), decaindo, então, progressivamente até zero, no centro da Terra.

41 Exercício 5. A figura acima mostra um arranjo de cinco partículas, com massas m 1 = 8,0 kg, m 2 = m 3 = m 4 = m 5 = 2,0 kg e com a = 2,0 cm e = 30. Qual a força gravitacional resultante F1,res sobre a partícula 1 devida às outras partículas?

42 FIM