Matemática. Professor Edgar Abreu.

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1 Matemática Professor Edgar Abreu

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3 Matemática Financeira PORCENTAGEM TAXA UNITÁRIA DEFINIÇÃO: Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa unitária. A taxa unitária é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em matemática financeira. Pense na expressão 20% (vinte por cento), ou seja, esta taxa pode ser representada por uma fração, cujo o numerador é igual a 20 e o denominador é igual a 100. COMO FAZER AGORA É A SUA VEZ: 10% = = 0,10 20% = = 0,20 5% = = 0,05 38% = = 0,38 1,5% = 1,5 100 = 0, % = = 2,3 15% 20% 4,5% 254% 0% 22,3% 60% 6% FATOR DE CAPITALIZAÇÃO Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual o novo valor deste produto? Claro que se não soubermos o valor inicial deste produto fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação a seguir: O produto valia 100% sofreu um aumento de 20%, logo está valendo 120% do seu valor inicial. Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para determinarmos o novo preço deste produto, após o acréscimo. 3

4 Fator de Capitalização = = 1,2 O Fator de capitalização trata-se de um número no qual devo multiplicar o meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar. Assim se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo fator de capitalização 1,2 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 60,00. CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAÇÃO: Basta somar 1 com a taxa unitária, lembre-se que 1 = 100/100 = 100% COMO CALCULAR: o Acréscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/ 100 = 1,45 o Acréscimo de 20% = 100% + 20% = 120% = 120/ 100 = 1,2 ENTENDENDO O RESULTADO: Para aumentar o preço do meu produto em 20% devo multiplicar por 1,2. Exemplo: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acréscimo de 20% passará a custar x 1,2 (fator de capitalização para 20%) = R$ 1.800,00. COMO FAZER: Acréscimo de 30% = 100% + 30% = 130% = = 1,3 Acréscimo de 15% = 100% + 15% = 115% = = 1,15 Acréscimo de 3% = 100% + 3% = 103% = = 1,03 Acréscimo de 200% = 100% + 200% = 300% = = 3 4

5 Matemática Financeira Porcentagem Prof. Edgar Abreu 1. AGORA É A SUA VEZ: Acréscimo Cálculo Fator 15% 20% 4,5% 254% 0% 22,3% 60% 6% FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO Vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual o novo valor deste produto? Claro que se não soubermos o valor inicial deste produto fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação a seguir: O produto valia 100% sofreu um desconto de 20%, logo está valendo 80% do seu valor inicial. Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que conseguimos utilizar para aferir o novo preço deste produto, após o acréscimo. Fator de Descapitalização = = 0,8 O Fator de descapitalização trata-se de um número no qual devo multiplicar o meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, considerando o percentual de desconto que desejo utilizar. Assim se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo fator de descapitalização 0,8 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 40,00. CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO: Basta subtrair o valor do desconto expresso em taxa unitária de 1, lembre-se que 1 = 100/100 = 100% COMO CALCULAR: o Desconto de 45% = 100% 45% = 65% = 55/ 100 = 0,55 o Desconto de 20% = 100% 20% = 80% = 80/ 100 = 0,8 5

6 ENTENDENDO O RESULTADO: Para calcularmos um desconto no preço do produto de 20% devemos multiplicar o valor deste produto por 0,80. Exemplo: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% passará a custar x 0,80 (fator de descapitalização para 20%) = R$ 1.200,00. COMO FAZER: Desconto de 30% = 100% 30% = 70% = = 0,7 Desconto de 15% = 100% 15% = 85% = = 0,85 Desconto de 3% = 100% 3% = 97% = = 0,97 Desconto de 50% = 100% 50% = 50% = = 0,5 2. AGORA É A SUA VEZ: Desconto Cálculo Fator 15% 20% 4,5% 254% 0% 22,3% 60% 6% 6

7 Matemática Financeira TAXA PROPORCIONAL Calculada em regime de capitalização SIMPLES: Resolve-se apenas multiplicando ou dividindo a taxa de juros: Exemplo 2.1: Qual a taxa de juros anual proporcional a taxa de 2% ao mês? Resposta: Se temos uma taxa ao mês e procuramos uma taxa ao ano, basta multiplicarmos essa taxa por 12, já que um ano possui 12 meses. Logo a taxa proporcional é de 2% x 12 = 24% ao ano. Exemplo 2.2: Qual a taxa de juros bimestral proporcional a 15% ao semestre? Resposta: Neste caso temos uma taxa ao semestre e queremos transformá-la em taxa bimestral. Note que agora essa taxa vai diminuir e não aumentar, o que faz com que tenhamos que dividir essa taxa ao invés de multiplicá-la, dividir por 3, já que um semestre possui 3 bimestres. Assim a taxa procurada é de 15% = 5% ao bimestre. 3 COMO FAZER TAXA TAXA PROPORCIONAL 25% a.m (ao mês) 300% a.a (ao ano) 15% a.tri (ao trimestre) 5% a.m 60% a. sem (ao semestre) 40% ao. Quad. (quadrimestre) 25% a.bim (ao bimestre) 150% (ao ano) AGORA É A SUA VEZ QUESTÕES TAXA TAXA PROPORCIONAL % a.bim. a.ano % a.mês a.quad % a.ano a.trim % a. quadri. a.trim. Gabarito: % % % % 7

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9 Matemática Financeira TAXA EQUIVALENTE Calculada em regime de capitalização COMPOSTA. Para efetuar o cálculo de taxas equivalentes é necessário utilizar uma fórmula. Para facilitar o nosso estudo iremos utilizar a ideia de capitalização de taxas de juros de uma forma simplificada e mais direta. Exemplo: Qual a taxa de juros ao bimestre equivalente a taxa de 10% ao mês? 1º passo: Transformar a taxa de juros em unitária e somar 1 (100%). Assim: 1 + 0,10 = 1,10 2º passo: elevar esta taxa ao período de capitalização. Neste caso 2, pois um bimestre possui dois meses. (1,10) 2 = 1,21 3º passo: Identificar a taxa correspondente. 1,21 = 21% Exemplo: Qual a taxa de juros ao semestre equivalente a taxa de 20% ao bimestre? 1º passo: Transformar a taxa de juros em unitária e somar 1 (100%). Assim: 1 + 0,20 = 1,20 2º passo: elevar esta taxa ao período de capitalização. Neste caso 3, pois um semestre possui três bimestres. (1,20) 3 = 1,728 3º passo: Identificar a taxa correspondente. 1,728 = 72,8% COMO FAZER 10% a.m equivale a: Ao Bimestre (1,1) 2 = 1,21 = 21% Ao Trimestre (1,1) 3 = 1,331 = 33,10% 9

10 20% a.bim equivale a: Ao Quadrimestre (1,2) 2 = 1,44 = 44% Ao Semestre (1,2) 3 = 1,728 = 72,8% AGORA É A SUA VEZ QUESTÃO 1 21% a.sem. equivale a: Ao Ano Ao Trimestre QUESTÃO 2 30% a.mês. equivale a: Ao Bimestre Ao Trimestre Gabarito: 1. 46,41% ao ano e 10% ao trimestre 2. 69% ao bimestre e 119,7% ao trimestre. 10

11 Matemática Financeira CAPITALIZAÇÃO SIMPLES X CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA A definição de capitalização é uma operação de adição dos juros ao capital. Bom, vamos adicionar estes juros ao capital de duas maneiras, uma maneira simples e outra composta e depois comparamos. Vamos analisar o exemplo abaixo: Exemplo: José realizou um empréstimo de antecipação de seu 13º salário no Banco do Brasil no valor de R$ 100,00 reais, a uma taxa de juros de 10% ao mês. Qual o valor pago por José se ele quitou o empréstimo após 5 meses, quando recebeu seu 13º? Valor dos juros que este empréstimo de José gerou em cada mês. Em juros simples, os juros são cobrados sobre o valor do empréstimo (capital) CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA MÊS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR 1º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00 2º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 110,00 + R$ 10,00 = R$ 120,00 3º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 120,00 + R$ 10,00 = R$ 130,00 4º 10% de R$ 100,10 = R$ 10,00 R$ 130,00 + R$ 10,00 = R$ 140,00 5º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 140,00 + R$ 10,00 = R$ 150,00 Em juros composto, os juros são cobrados sobre o saldo devedor (capital + juros do período anterior) CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA MÊS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR 1º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00 2º 10% de R$ 110,00 = R$ 11,00 R$ 110,00 + R$ 11,00 = R$ 121,00 3º 10% de R$ 121,00 = R$ 12,10 R$ 121,00 + R$ 12,10 = R$ 133,10 4º 10% de R$ 133,10 = R$ 13,31 R$ 133,10 + R$ 13,31 = R$ 146,41 5º 10% de R$ 146,41 = R$ 14,64 R$ 146,41 + R$ 14,64 = R$ 161,

12 Assim notamos que o Sr. josé terá que pagar após 5 meses R$ 150,00 se o banco cobrar juros simples ou R$ 161,05 se o banco cobrar juros compostos. GRÁFICO DO EXEMPLO Note que o crescimento dos juros compostos é mais rápido que os juros simples. JUROS SIMPLES FÓRMULAS: CÁLCULO DOS JUROS CÁLCULO DO MONTANTE J = C x i x t M = C x (1 + i x t) OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Montante é igual ao Capital + Juros Onde: J = Juros M = Montante C = Capital (Valor Presente) i = Taxa de juros; t = Prazo. A maioria das questões relacionadas a juros simples podem ser resolvidas sem a necessidade de utilizar fórmula matemática. 12

13 Matemática Financeira Juros Simples Prof. Edgar Abreu APLICANDO A FÓRMULA Vamos ver um exemplo bem simples aplicando a fórmula para encontrarmos a solução. Exemplo: Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3 meses e taxa de 2% ao mês. Qual o valor dos juros? Dados do problema: C = ,00 t = 3 meses i = 2% ao mês OBS: Cuide para ver se a taxa e o mês estão em menção período. Neste exemplo não tem problema para resolver, já que tanto a taxa quanto o prazo foram expressos em meses. J = C x i x t J = x 0,02 (taxa unitária) x 3 J = 6.000,00 Resposta: Os juros cobrado será de R$ 6.000,00 RESOLVENDO SEM A UTILIZAÇÃO DE FÓRMULAS: Vamos resolver o mesmo exemplo 3.2.1, mas agora sem utilizar fórmula, apenas o conceito de taxa de juros proporcional. Resolução: Sabemos que 6% ao trimestre é proporcional a 2% ao mês. Logo os juros pagos será de 6% de ,00 = 6.000,00 PROBLEMAS COM A RELAÇÃO PRAZO X TAXA Agora veremos um exemplo onde a taxa e o prazo não são dados em uma mesma unidade, necessitando assim transformar um deles para dar continuidade a resolução da questão. Sempre que houver uma divergência de unidade entre taxa e prazo é melhor alterar o prazo do que mudar a taxa de juros. Para uma questão de juros simples, esta escolha é indiferente, porém caso o candidato se acostume a alterar a taxa de juros, irá encontrar dificuldades para responder as questões de juros compostos, pois estas as alterações de taxa de juros não são simples, proporcional, e sim equivalentes. Exemplo Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3 meses e taxa de 12% ao ano. Qual o valor dos juros? 13

14 Dados: C = ,00 t = 3 meses i = 12% ao ano Vamos adaptar o prazo em relação a taxa. Como a taxa está expressa ao ano, vamos transformar o prazo em ano. Assim teremos: C = ,00 t = 3 meses = i = 12% ao ano Agora sim podemos aplicar a fórmula J = C x i x t J = x 0,12 x J = 3.000,00 ENCONTRANDO A TAXA DE JUROS Vamos ver como encontrar a taxa de juros de uma maneira mais prática. Primeiramente vamos resolver pelo método tradicional, depois faremos direto. Exemplo Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, sabendo que o valor do montante acumulado em após 1 semestre foi de ,00. Qual a taxa de juros mensal cobrada pelo banco. Como o exemplo pede a taxa de juros ao mês, é necessário transformar o prazo em mês. Neste caso 1 semestre corresponde a 6 meses, assim: Dados: C = ,00 t = 6 meses M = ,00 J = ,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital) Aplicando a fórmula teremos: = x 6 x i i = x6 = = 0,3 i = 3% ao mês 14

15 Matemática Financeira Juros Simples Prof. Edgar Abreu Agora vamos resolver esta questão sem a utilização de fórmula, de uma maneira bem simples. Para saber o valor dos juros acumulados no período, basta dividirmos o montante pelo capital: Juros acumulado = = 1,18 Agora subtraimos o valor do capital da taxa de juros (1 = 100%) e encontramos: 1,18 1 = 0,18 = 18% 18% são os juros do período de um semestre, para encontrar o juros mensal, basta calcular a taxa proporcional e assim encontrar 3 % ao mês. ESTÃO FALTANDO DADOS? Alguns exercícios parecem não informar dados suficientes para resolução do problema. Coisas do tipo: O capital dobrou, triplicou, o dobro do tempo a metade do tempo, o triplo da taxa e etc. Vamos ver como resolver este tipo de problema, mas em geral é bem simples, basta atribuirmos um valor para o dado que está faltando. Exemplo: Um cliente aplicou uma certa quantia em um fundo de investimento em ações. Após 8 meses resgatou todo o valor investido e percebeu que a sua aplicação inicial dobrou. Qual a rentabilidade média ao mês que este fundo rendeu? Para quem vai resolver com fórmula, a sugestão é dar um valor para o capital e assim teremos um montante que será o dobro deste valor. Para facilitar o cálculo vamos utilizar um capital igual a R$ 100,00, mas poderia utilizar qualquer outro valor. Dados: C = 100,00 t = 8 meses M = 200,00 (o dobro) J = 100,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital) Substituindo na fórmula teremos: 100 = 100 x 8 x i i = x8 = = 0,125 i = 12,5% ao mês 15

16 COMO RESOLVER Exemplo: A que taxa de juros simples, em porcento ao ano, deve-se emprestar R$ 2 mil, para que no fim de cinco anos este duplique de valor? Dados: C = 2.000,00 t = 5 anos M = 4.000,00 (o dobro) J = 2.000,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital) i =?? a.a Substituindo na fórmula teremos = x 5 i i = 2.000x5 = = 0,2 i = 20% ao ano Exemplo: Considere o empréstimo de R$ 5 mil, no regime de juros simples, taxa de 2% ao mês e prazo de 1 ano e meio. Qual o total de juros pagos nesta operação? Dados: C = 5.000,00 i = 2 % ao mês t = 1,5 anos = 18 meses J =??? Substituindo na fórmula teremos J = x 18 x 0,02 J = 1.800,

17 Matemática Financeira JUROS COMPOSTOS FÓRMULAS: CÁLCULO DOS JUROS J = M C CÁLCULO DO MONTANTE M = C x (1 + i) t OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Montante é igual ao Capital + Juros. Onde: J = Juros M = Montante C = Capital (Valor Presente) i = Taxa de juros t = Prazo RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DE JUROS COMPOSTOS Como notamos na fórmula de juros compostos, a grande diferença para juros simples é que o prazo (variável t ) é uma potência da taxa de juros e não um fator multiplicativo. Assim poderemos encontrar algumas dificuldades para resolvermos questões de juros compostos em provas de concurso público, onde não é permitido o uso de equipamentos eletrônicos que poderiam facilitar estes cálculos. Por este motivo, juros compostos podem ser cobrados de 3 maneiras nas provas de concurso público. 1. Questões que necessitam da utilização de tabela. 2. Questões que são resolvidas com substituição de dados fornecidas na própria questão. 3. Questões que possibilitam a resolução sem a necessidade de substituição de valores. Vamos ver um exemplo de cada uma dos modelos. 17

18 JUROS COMPOSTOS COM A UTILIZAÇÃO DE TABELA Este método de cobrança de questões de matemática financeira já foi muito utilizado em concurso público, porém hoje são raras as provas que fornecem tabela para cálculo de juros compostos. Vamos ver um exemplo. Exemplo: Considere um empréstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8 meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante? Dados do problema: C = ,00 t = 8 meses i = 10% ao mês M = C x (1 + i) t M = x (1 + 0,10) 8 M = x (1,10) 8 O problema está em calcular 1,10 elevado a 8. Sem a utilização de calculadora fica complicado. A solução é olhar em uma tabela fornecida na prova em anexo, algo semelhante a tabela abaixo. Vamos localizar o fator de capitalização para uma taxa de 10% e um prazo igual a 8. PRAZO (1+i) t TAXA 5% 10% 15% 20% 1 1,050 1,100 1,150 1, ,103 1,210 1,323 1, ,158 1,331 1,521 1, ,216 1,464 1,749 2, ,276 1,611 2,011 2, ,340 1,772 2,313 2, ,407 1,949 2,660 3, ,477 2,144 3,059 4, ,551 2,358 3,518 5, ,629 2,594 4,046 6,192 Consultando a tabela encontramos que (1,10) 8 = 2,144 Substituindo na nossa fórmula temos: M = x (1,10) 8 M = x 2,144 M= ,00 O valor do montante neste caso será de R$ ,

19 Matemática Financeira Juros Compostos Prof. Edgar Abreu JUROS COMPOSTOS COM A SUBSTITUIÇÃO DE VALORES Mais simples que substituir tabela, algumas questões disponibilizam o resultado da potência no próprio texto da questão, conforme a seguir. Exemplo: Considere um empréstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8 meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante? Considere (1,10) 8 = 2,144 Assim fica até mais fácil, pois basta substituir na fórmula e encontrar o resultado, conforme o exemplo anterior. JUROS COMPOSTOS SEM SUBSTITUIÇÃO A maioria das provas de matemática financeira para concurso público, buscam avaliar a habilidade do candidato em entender matemática financeira e não se ele sabe fazer contas de multiplicação. Assim as questões de matemática financeira poderão ser resolvidas sem a necessidade de efetuar contas muito complexas, conforme abaixo. Exemplo: Considere um empréstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 2 meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante? Dados do problema: C = ,00 t = 2 meses i = 10% ao mês M = C x (1 + i) t M = x (1 + 0,10) 2 M = x (1,10) 2 M = x 1,21 M= ,00 Resposta: O valor do montante será de R$ ,

20 COMO RESOLVER Exemplo: Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 2.000,00 feita por 2 anos a uma taxa de juros compostos de 20% ao ano? Dados do problema: C = 2.000,00 t = 2 anos i = 10% ao ano M =??? M = C x (1 + i) t M = x (1 + 0,20) 2 M = x (1,20) 2 M = x 1,44 M= 2.880,00 Exemplo: Quais os juros obtidos de uma aplicação de R$ 5.000,00 feita por 1 ano a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre? Dados: C = 5.000,00 t = 1 ano ou 2 semestres i = 10% ao ano M = C x (1 + i) t M = x (1 + 0,10) 2 M = x (1,10) 2 M = x 1,21 M= 6.050,00 Como a questão quer saber quais os juros, temos: J = M C J = J = 1.050,00 Assim os juros serão de R$ 1.050,

21 Matemática Financeira Juros Compostos Prof. Edgar Abreu Exemplo: Uma aplicação de R$ ,00 em um Fundo de ações, foi resgatada após 2 meses em R$ ,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos), qual foi a taxa de juros mensal que este fundo remunerou o investidor? Dados: C = ,00 t = 2 meses M = ,00 i =??? ao mês M = C (1+ i) t = (1+ i) 2 (1+ i) 2 = (1+i) 2 = (1+i) = i = 1,05 1 = 0,05 i = 5% ao mês 21

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23 Raciocínio Lógico CÓDIGOS E ANAGRAMAS 1. (Prova: FCC TJ-AP Analista Judiciário) Bruno criou um código secreto para se comunicar por escrito com seus amigos. A tabela mostra algumas palavras traduzidas para esse código. A palavra MEL, no código de Bruno, seria traduzida como: a) LDK. b) NFM. c) LFK. d) NDM. e) OGN. 2. (Prova: FCC 2012 PREF. São Paulo-SP Auditor Fiscal) Considere a multiplicação abaixo, em que letras iguais representam o mesmo dígito e o resultado é um número de 5 algarismos. A soma (S + O + M + A + R) é igual a: a) 33. b) 31. c) 29. d) 27. e) 25. Gabarito: 1. D 2. D 23

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25 Raciocínio Lógico QUESTÕES DE RESTO DE UMA DIVISÃO São comuns as questões de raciocínio lógico que envolva resto de uma divisão. Normalmente essas questões abordam assuntos relacionados a calendário, múltiplo ou divisores ou qualquer outra sequência que seja cíclica. Estas questões são resolvidas todas de forma semelhante, vejamos os exemplos abaixo: QUESTÃO COMENTADA 1 CESGRANRIO: CAPES 2008 Em um certo ano, o mês de abril termina em um domingo. É possível determinar o próximo mês a terminar em um domingo? a) Sim, será o mês de setembro do mesmo ano. b) Sim, será o mês de outubro do mesmo ano. c) Sim, será o mês de dezembro do mesmo ano. d) Sim, será o mês de janeiro do ano seguinte. e) Não se pode determinar porque não se sabe se o ano seguinte é bissexto ou não. Solução: Sabendo que o mês de Abril possui 30 dias, logo sabemos que dia 30 de abril foi um domingo. Vamos identificar quantos dias teremos até o último dia de cada mês, assim verificamos se esta distância é múltipla de 7, já que a semana tem 7 dias e os domingos acontecerão sempre um número múltiplo de 7 após o dia 30 de Abril: MÊS QUANT. DIAS DO MÊS DIAS ATÉ 30/04 MÚLTIPLO DE 7 MAIO NÃO JUNHO NÃO JULHO NÃO AGOSTO NÃO SETEMBRO NÃO OUTUBRO NÃO NOVEMBRO NÃO DEZEMBRO SIM (245/7 = 35) Solução será dia 31 de Dezembro do mesmo ano, alternativa C. 25

26 QUESTÃO COMENTADA 2 FCC: TST 2012 Pedro é um atleta que se exercita diariamente. Seu treinador orientou-o a fazer flexões de braço com a frequência indicada na tabela abaixo: Dia da semana Número de flexões 2ª e 5ª feiras 40 3ª e 6ª feiras 10 4ª feiras 20 Sábados 30 Domingos nenhuma No dia de seu aniversário, Pedro fez 20 flexões de braço. No dia do aniversário de sua namorada, 260 dias depois do seu, Pedro: a) não fez flexão. b) fez 10 flexões. c) fez 20 flexões. d) fez 30 flexões. e) fez 40 flexões. Solução: Com Pedro fez 20 flexões em seu aniversário, logo concluímos que caiu em uma quarta-feira. Devemos descobrir qual o dia da semana será após 260 dias. Primeiramente vamos descobrir quantas semanas se passaram até este dia, dividindo 260 por 7, já que uma semana tem 7 dias. 260 = 37 (resto 1) 7 Assim sabemos que se passaram 37 semanas e mais um dia. Como ele fez aniversário na quarta, se somarmos 1 dia temos quinta-feira e o total de flexões para este dia será de 40, segundo a tabela. Alternativa E 26

27 Raciocínio Lógico Problemas Cíclicos/Calendário e Datas Prof. Edgar Abreu Prova: FCC AL-PE - Agente Legislativo O dia 04 de março de 2014 foi uma terça-feira. Sendo assim, é correto afirmar que o dia 04 de março de 2015 será: a) segunda-feira. b) quarta-feira. c) quinta-feira. d) domingo. e) terça-feira. Prova: FCC TRT - 5ª Região (BA) - Analista Judiciário Um ano bissexto possui 366 dias, o que significa que ele é composto por 52 semanas completas mais 2 dias. Se em um determinado ano bissexto o dia 1º de janeiro caiu em um sábado, então o dia 31 de dezembro cairá em: a) um sábado. b) um domingo. c) uma 2ª feira. d) uma 3ª feira. e) uma 4ª feira. 27

28 Prova(s): FCC DPE-RS - Técnico de Apoio Especializado Em uma montadora, são pintados, a partir do início de um turno de produção, 68 carros a cada hora, de acordo com a seguinte sequência de cores: os 33 primeiros são pintados de prata, os 20 seguintes de preto, os próximos 8 de branco, os 5 seguintes de azul e os 2 últimos de vermelho. A cada hora de funcionamento, essa sequência se repete. Dessa forma, o 530º carro pintado em um turno de produção terá a cor: a) prata. b) preta. c) branca. d) azul. e) vermelha. Gabarito: 1. B 2. B 3. C 28

29 Raciocínio Lógico PROBLEMAS DE MÍNIMO E MÁXIMO 1. Prova: FCC TJ-RJ - Analista Judiciário A câmara municipal de uma cidade é composta por 21 vereadores, sendo 10 do partido A, 6 do partido B e 5 do partido C. A cada semestre, são sorteados n vereadores, que têm os gastos de seus gabinetes auditados por uma comissão independente. Para que se garanta que, em todo semestre, pelo menos um vereador de cada partido seja necessariamente sorteado, o valor de n deve ser, no mínimo, a) 11. b) 10. c) 17. d) 16. e) Prova: FCC SEFAZ-SP - Agente Fiscal de Rendas - Prova 1 Numa cidade existem 10 milhões de pessoas. Nenhuma delas possui mais do que 200 mil fios de cabelo. Com esses dados, é correto afirmar que, necessariamente, a) existem nessa cidade duas pessoas com o mesmo número de fios de cabelo. b) existem nessa cidade pessoas sem nenhum fio de cabelo. c) existem nessa cidade duas pessoas com quantidades diferentes de fios de cabelo. d) o número médio de fios de cabelo por habitante dessa cidade é maior do que 100 mil. e) somando-se os números de fios de cabelo de todas as pessoas dessa cidade obtém-se

30 3. Prova: FCC TRT - 16ª REGIÃO (MA) - Analista Judiciário Em uma floresta com 1002 árvores, cada árvore tem de 900 a 1900 folhas. De acordo apenas com essa informação, é correto afirmar que, necessariamente, a) ao menos duas árvores dessa floresta têm o mesmo número de folhas. b) apenas duas árvores dessa floresta têm o mesmo número de folhas. c) a diferença de folhas entre duas árvores dessa floresta não pode ser maior do que 900. d) não há árvores com o mesmo número de folhas nessa floresta. e) a média de folhas por árvore nessa floresta é de Gabarito: 1. C 2. A 3. A 30

31 Raciocínio Lógico PROBLEMAS ENVOLVENDO FUTEBOL 1. (Prova: FCC TRT 2ª Região (SP) Técnico Judiciário) Um jogo de vôlei entre duas equipes é ganho por aquela que primeiro vencer três sets, podendo o placar terminar em 3 a 0, 3 a 1 ou 3 a 2. Cada set é ganho pela equipe que atingir 25 pontos, com uma diferença mínima de dois pontos a seu favor. Em caso de igualdade 24 a 24, o jogo continua até haver uma diferença de dois pontos (26 a 24, 27 a 25, e assim por diante). Em caso de igualdade de sets 2 a 2, o quinto e decisivo set é jogado até os 15 pontos, também devendo haver uma diferença mínima de dois pontos. Dessa forma, uma equipe pode perder um jogo de vôlei mesmo fazendo mais pontos do que a equipe adversária, considerando-se a soma dos pontos de todos os sets da partida. O número total de pontos da equipe derrotada pode superar o da equipe vencedora, em até: a) 47 pontos. b) 44 pontos. c) 50 pontos. d) 19 pontos. e) 25 pontos. 2. (Prova: SHDIAS 2014 CEASA-Campinas Assistente Administrativo) No basquete, uma cesta pode valer 1, 2, ou 3 pontos, Na partida final do campeonato, Leonardo fez 5 cestas, em um total de 11 pontos. Nesse caso, não é possível que Leonardo tenha feito exatamente: a) Uma cesta de 1 ponto. b) Quatro cestas de 2 pontos. c) Três cestas de 3 pontos. d) Três cestas de 2 pontos. 3. (Prova: CESPE 2014 SUFRAMA Nível Superior) Em um campeonato de futebol, a pontuação acumulada de um time é a soma dos pontos obtidos em cada jogo disputado. Por jogo, cada time ganha três pontos por vitória, um ponto por empate e nenhum ponto em caso de derrota. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. Nesse campeonato, os critérios de desempate maior número de vitórias e menor número de derrotas são equivalentes. ( ) CERTO ( ) ERRADO Gabarito: 1. B 2. D 3. Errado 31

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33 Raciocínio Lógico PROBLEMAS COM DIREÇÃO E SENTIDO 1. (Prova: FCC 2014 METRÔ-SP Técnico de Sistemas Metroviários) M, N, O e P são quatro cidades próximas umas das outras. A cidade M está ao sul da cidade N. A cidade O está à leste da cidade M. Se a cidade P está à sudoeste da cidade O, então N está a: a) noroeste de P. b) nordeste de P. c) norte de P. d) sudeste de P. e) sudoeste de P. 2. (Prova: FCC 2014 SABESP Tecnólogo) Partindo de um ponto inicial A, Laura caminhou 4 km para leste, 2 km para sul, 3 km para leste, 6 km para norte, 6 km para oeste e, finalmente, 1 km para sul, chegando no ponto B. Artur partiu do mesmo ponto A de Laura percorrendo X km para norte e 1 km para a direção Y, chegando no mesmo ponto B em que Laura chegou. Sendo Y uma das quatro direções da rosa dos ventos (norte, sul, leste ou oeste), X e Y são, respectivamente, a) 6 e sul. b) 2 e norte. c) 4 e oeste. d) 3 e leste. e) 4 e leste. 3. (Prova: FCC 2014 TRF 3ª Região Técnico Judiciário) Partindo do ponto A, um automóvel percorreu 4,5 km no sentido Leste; percorreu 2,7 km no sentido Sul; percorreu 7,1 km no sentido Leste; percorreu 3,4 km no sentido Norte; percorreu 8,7 km no sentido Oeste; percorreu 4,8 km no sentido Norte; percorreu 5,4 km no sentido Oeste; per- correu 7,2 km no sentido Sul, percorreu 0,7 km no sentido Leste; percorreu 5,9 km no sentido Sul; percorreu 1,8 km no sentido Leste e parou. A distância entre o ponto em que o automóvel parou e o ponto A, inicial, é igual a : a) 7,6 km. b) 14,1 km. c) 13,4 km. d) 5,4 km. e) 0,4 km. Gabarito: 1. C 2. D 3. A 33

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35 Raciocínio Lógico QUESTÕES ENVOLVENDO SEQUÊNCIA DE NÚMEROS É comum aparecer em provas de concurso questões envolvendo sequências de números, onde o candidato terá que descobrir a lógica da sequência para solucionar o problema. A verdade é que não existe uma regra de resolução destas questões, cada sequência é diferente das demais, depende da lógica que o autor está cobrando. O que vamos aprender neste capítulo é a resolver algumas das sequências que já foram cobradas em concursos anteriores, este tipo de questão, só existe uma única maneira de aprender a resolver, fazendo! QUESTÃO COMENTADA FCC: BACEN 2006 No quadriculado seguinte os números foram colocados nas células obedecendo a um determinado padrão X Seguindo esse padrão, o número X deve ser tal que: a) X > 100 b) 90 < X < 100 c) 80 < X < 90 d) 70 < X < 80 e) X < 70 Solução: Quando a sequencia se apresenta em tabelas, similares a esta, procure sempre encontrar uma lógica nas linhas ou nas colunas. A lógica da sequencia desta questão está na relação da linha três com as linhas 1 e 2. A linha 3 é a soma das linhas 1 e 2 quando a coluna for impar e a subtração das linhas 1 e 2 quando a coluna for par, note: 35

36 Coluna 1: = 29 Coluna 2: = 15 Coluna 3: = 55 Logo a coluna 4, que é par, teremos uma subtração: x 42 = 66 => x = = 108 Alternativa A QUESTÃO COMENTADA 2 FCC : TRT 2011 Na sequência de operações seguinte, os produtos obtidos obedecem a determinado padrão. 1 x 1 = 1 11 x 11 = x 111 = x 1111 = x = Assim sendo, é correto afirmar que, ao se efetuar , obtém-se um número cuja soma dos algarismos está compreendida entre: a) 85 e 100. b) 70 e 85. c) 55 e 70. d) 40 e 55. e) 25 e 40. Solução: Note que o termo centra do resultado da multiplicação é sempre a quantidade de número 1 que estamos multiplicando, conforme destacado na tabela abaixo: 1 x x x x x Perceba também que o resultado da multiplicação é formado por um número que começa com 1 e vai até a quantidade de números 1 que tem a multiplicação e depois começa a reduzir até o número 1 de volta. 36

37 Raciocínio Lógico Números Prof. Edgar Abreu Logo a multiplicação de temos 9 números 1, assim o resultado certamente será composto pelo número Agora basta apenas somar os algarismos e encontra como resposta o número 81, alternativa B. QUESTÃO COMENTADA 3 CESGRANRIO: TCE/RO 2007 O sistema binário de numeração, só se utilizam os algarismos 0 e 1. Os números naturais, normalmente representados na base decimal, podem ser também escritos na base binária como mostrado: DECIMAL BINÁRIO De acordo com esse padrão lógico, o número 15 na base decimal, ao ser representado na base binária, corresponderá a: a) 1000 b) 1010 c) 1100 d) 1111 e) Solução: No sistema decimal que conhecemos, cada vez que conhecemos, a cada 10 de uma casa decimal forma-se outra casa decimal. Exemplo: 10 unidades é igual uma dezena, 10 dezenas é igual a uma centena e assim sucessivamente. Já no sistema binário, a lógica é a mesma, porém a cada 2 unidades iremos formar uma nova casa decimal. Assim para transformar um número decimal em binário, basta dividirmos este número sucessivamente por dois e analisar sempre o resto, conforme exemplo abaixo. Transformando 6 em binário: 6 / 2 = 3 (resto zero, logo zero irá ocupar primeira casa binária). 37

38 3 / 2 = 1 (resto 1, logo o 1 do resto irá ocupar a segunda casa binária enquanto o 1 quociente da divisão irá ocupar a terceira casa binária). Resultado: 110 Para saber se está certo, basta resolver a seguinte multiplicação: 110 = 1 x 2² + 1 x 2¹ + 0 x 20 = = 6 Utilizando esta linha de raciocínio temos que: 15 / 2 = 7 (resto 1) 7 / 2 = 3 (resto 1) 3 / 2 = 1 (resto 1) Logo o número será 1111, Alternativa D 1. Prova: IDECAN AGU - Agente Administrativo Observe a sequência: 49, 64, 81, 100,... Qual será o sétimo termo? a) 144. b) 169. c) 196. d) 225. e)

39 Raciocínio Lógico Números Prof. Edgar Abreu 2. Prova: Instituto AOCP UFGD - Analista Administrativo A sequência a seguir apresenta um padrão: 1; 8; 15; 22;... Qual é o quinto termo desta sequência? a) 27. b) 28. c) 29. d) 30. e) Prova: FCC TCE-SP - Auxiliar da Fiscalização Financeira Considere que os números inteiros e positivos que aparecem no quadro abaixo foram dispostos segundo determinado critério. 39

40 3. Completando corretamente esse quadro de acordo com tal critério, a soma dos números que estão faltando é: a) maior que 19. b) 19. c) 16. d) 14. e) menor que Prova: FCC TRF - 4ª REGIÃO Analista Judiciário Informática A sequência numérica 1, 7, 8, 3, 4, 1, 7, 8, 3, 4, 1, 7, 8, 3, 4, 1,..., cujos dezesseis primeiros termos estão explicitados, segue o mesmo padrão de formação infinitamente. A soma dos primeiros 999 termos dessa sequência é igual a: a) b) c) d) e) Gabarito: 1. B 2. C 3. A 4. A 40

41 Raciocínio Lógico IMAGENS E FIGURAS 1. Prova: FCC 2014 TRT 16ª REGIÃO (AM) Téc. Judiciário Considere as figuras abaixo: Seguindo o mesmo padrão de formação das dez primeiras figuras dessa sequência, a décima primeira figura é: a) b) c) d) e) 41

42 2. Prova: FCC 2012 TST Téc. Judiciário Marina possui um jogo de montar composto por várias peças quadradas, todas de mesmo tamanho. A única forma de juntar duas peças é unindo-as de modo que elas fiquem com um único lado em comum. Juntando-se três dessas peças, é possível formar apenas dois tipos diferentes de figuras, mostradas abaixo. Note que as duas figuras podem aparecer em diferentes posições, o que não caracteriza novos tipos de figuras. O número de tipos diferentes de figuras que podem ser formados juntando-se quatro dessas peças é igual a a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e)

43 Raciocínio Lógico Imagens e Figuras Prof. Edgar Abreu 3. Prova: FCC 2012 TRT Analista Judiciário Partindo de um quadriculado n n formado por palitos de fósforo, em que n é um número ímpar maior ou igual a 3, é possível, retirando alguns palitos, obter um X composto por 2n-1 quadrados. As figuras a seguir mostram como obter esse X para quadriculados 3 3 e 5 5. Seguindo o mesmo padrão dos exemplos acima, partindo de um quadriculado 9 9, o total de palitos que deverão ser retirados para obter o X é igual a a) 64. b) 96. c) 112. d) 144. e)

44 Gabarito 1. B 2. B 3. C 44

45 Raciocínio Lógico LETRAS 1. (Prova: CEPERJ 2014 RIOPREVIDÊNCIA Assistente Previdenciário) Observe atentamente a sequência a seguir: ABCDEEDCBAABCDE... A centésima primeira letra nessa sequência será: a) A b) B c) C d) D e) E 2. (Prova: FCC 2014 TJ-AP Técnico Judiciário) Cada termo da sequência a seguir é formado por seis vogais: (AAAEEI; EEEIIO; IIIOOU; OOOUUA; UUUAAE; AAAEEI; EEEIIO;... ) Mantido o mesmo padrão de formação da sequência, se forem escritos os 12º, 24º, 36º e 45º termos, o número de vezes que a vogal U será escrita nesses termos é igual a a) 1 b) 6 c) 5 d) 2 e) 3 3. Prova: FCC 2014 TRT 19ª Região (AL) Técnico Judiciário Gabriel descobriu pastas antigas arquivadas cronologicamente, organizadas e etiquetadas na seguinte sequência: 07_55A; 07_55B; 08_55A; 09_55A; 09_55B; 09_55C; 09_55D; 09_55E; 10_55A; 10_55B; 11_55A; 12_55A; 12_55B; 12_55C; 01_56A; 01_56B; 02_56A; 02_56B; 03_56A; xx_xxx; yy_yyy; zz_zzz; 04_56B. Sabendo-se que as etiquetas xx_xxx; yy_yyy; zz_zzz representam que o código foi encoberto, a etiqueta com as letras yy_yyy deveria, para manter o mesmo padrão das demais, conter o código 45

46 a) 03_56C. b) 04_57C c) 04_56C. d) 03_56B. e) 04_56ª. Gabarito: 1. A 2. C 3. A 46