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1 Matrizes Definição: Uma matriz é um conjunto de elementos agrupados em uma tabela de m linhas por n colunas tal que m e n pertençam aos N*. Igualdade: Uma matriz é igual a outra se são de mesma ordem, ou seja, possuem o mesmo número linhas e colunas, além disso os respectivos elementos devem ser iguais. Tipos de matrizes: Matriz linha: A matriz só possui uma linha. Matriz coluna: A matriz só possui uma coluna. Matriz nula: Matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero. Matriz quadrada: Matriz em que o nº de linhas é igual ao nº de colunas. Quando uma matriz não é quadrada ela é chamada de matriz retangular, é fácil, basta ver seu formato. Matriz oposta: A matriz é oposta a alguma outra quando o sinal de todos seus elementos é trocado. Matriz transposta: Matriz em que as linhas e as colunas foram trocadas entre si. É tida como A t. Matriz simétrica: Uma matriz é dita simétrica se for igual a sua transposta. Matriz anti-simétrica: A matriz é anti-simétrica se sua oposta for igual a sua transposta. Por fim temos a matriz identidade e matriz diagonal, mas para falarmos sobre elas é necessário descrever as diagonais de uma matriz. Uma matriz, quadrada possui diagonais, sendo duas, a diagonal principal e a diagonal secundária. É como se fizéssemos a diagonal de um quadrado. A diagonal principal é composta pelo primeiro elemento da primeira linha e coluna, o segundo da segunda linha e coluna e assim sucessivamente, já a diagonal secundaria possui o ultimo elemento da primeira linha e primeiro elemento da ultima coluna, o penúltimo elemento da segunda linha e o segundo elemento penúltima coluna e assim sucessivamente. Matriz diagonal: É composta por elementos na diagonal principal, não importando quais sejam, mas os demais elementos da matriz devem ser iguais a zero. Matriz identidade: Para que uma matriz seja identidade ela precisa que os componentes da diagonal principal sejam iguais a um e que os demais elementos da matriz sejam iguais a zero. Observação: Matrizes retangulares não possuem nenhuma diagonal, portanto não podem ser matrizes diagonais ou identidades. É importante lembrarmos que existem outros tipos de matrizes, mas não são tão comuns. Operações: Soma e subtração: Para somar ou subtrair matrizes, as mesmas devem ser de mesma ordem. A soma ou subtração é feita elemento a elemento correspondente. A soma e subtração possuem propriedades que podem e devem ser usadas. Suponhamos A, B e C matrizes de mesma ordem. A + B = B + A (comutativa) (A + B) + C = A + (B + C) (associativa) A + = + A = A (elemento neutro) A + (-A) = -A + A = (elemento oposto) (A+B) t = A t + B t Multiplicação: Pode ser feita entre matrizes e entre matriz e números reais. A multiplicação feita com um número real resulta em uma matriz em que todos os elementos ficam multiplicados por tal número, já a multiplicação entre matrizes é mais complicada, vamos ver: Para multiplicar duas matrizes, uma com a outra, é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. O resultado é uma matriz com o nº de linhas da primeira e o nº de colunas da segunda. Veja o exemplo: A multiplicação também possui propriedades importantes, suponhamos A, B e C matrizes convenientes para a multiplicação: (A.B).C = A.(B.C) (associativa) C.(A+B) = C.A + C.B (distributiva) A. I = I. A = A (A.B) t = A t. B t Observação: A.B não é sempre igual a B.A. 1

2 Determinantes: É necessário compreender o método de calculo de determinantes de matrizes de ordem igual ou inferior a 3. Determinantes de matrizes de ordem 1: É a própria matriz. Determinantes de matrizes de ordem : É simples, basta fazer o seguinte: Multiplique os elementos da diagonal principal, agora multiplique os elementos da diagonal secundária, subtraia o primeiro resultado do segundo, o resultado será a determinante. Determinantes de matrizes de ordem 3: Para calcular o determinante neste caso também é simples, veja o exemplo: 3 Se uma matriz quadrada for multiplicada por um número real, o determinante da matriz que resultará é igual ao determinante da matriz original multiplicado pelo mesmo número real elevado a ordem da matriz. 4 Se uma fila de uma matriz quadrada for multiplicada por um numero real, o seu determinante é multiplicado pelo mesmo número real. 5 Se duas filas paralelas forem trocadas de lugar entre si, o determinante troca de sinal. 6 Sendo A uma matriz, podemos escrever sua determinante da seguinte forma: det(a). 7 det(a.b) = det(a).det(b) 8 det(a n ) = (deta) n 9 det(i) = 1 Matriz inversa: 1 det(a -1 ) = 1/det(A) Suponha A uma matriz, B será sua matriz inversa se e somente se A.B = B.A = Identidade conveniente. Sendo a matriz B dita como matriz inversa de A e representada por A -1. Nem toda matriz é inversível, quando a matriz em questão é inversível a chamamos de matriz nãosingular, já quando ela não é inversível e tida como matriz singular. As matrizes inversas possuem algumas propriedades, então considere A e B matrizes convenientes, daí temos: Outra forma de calcular o determinante é a seguinte: escolhe-se uma linha ou coluna, de preferência a que contenha maior número de zeros, para facilitar as contas. Distingui-se o primeiro número da linha ou coluna escolhida, depois, forme outra matriz com os números que não estejam na mesma linha e coluna do número escolhido. O número escolhido então deve multiplicar (-1) elevado a soma das linhas e colunas em que o mesmo esta e tudo isso deve multiplicar o determinante da pequena matriz restante, faça isso para os outros números. Esse método é extremamente válido quando a matriz original possui zeros, pois agiliza as contas. Veja um exemplo de uma matriz onde convém esta forma: A -1. A = I (A -1 ) -1 = A (A -1 ) t = (A t ) -1 (A.B) -1 = B -1. A -1 Se a matriz inversa existir ela é única. Observação: O determinante de uma matriz inversível é sempre diferente de zero. Sistemas Lineares Uma equação linear é dada na seguinte forma: a 1 x 1 + a x + a 3 x a n x n = b Onde a 1, a,..., a n e b são números reais e os demais são incógnitas (variáveis). O número representado por b é chamado de termo independente. Exemplo: x+4y = Observações: 1 O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta. Uma matriz que possui duas linhas ou colunas iguais possui determinante igual a zero. As soluções são dadas pelo conjunto de números que satisfaz as equações, no exemplo anterior podemos citar (,1/). Observação: uma equação linear é dita homogênea quando seu termo independente for nulo.

3 Pode ser que encontremos um problema que envolva duas restrições, ou até mais, bom, sendo estas restrições entendidas como equações lineares, como resolver? Bata fazer um sistema de equações, mas como resolver? Bom, existem alguns métodos. Substituição: basta isolar uma variável de uma das equações e substituir em outra, por exemplo: x+y= x+y = 3 => x = 3 y Voltando a equação x+y= e substituindo o x temos: 3-y+y = => y = 1 => x = 1 Soma ou subtração: Em alguns casos convém somar ou subtrair as equações, veja como seria isso com o exemplo anterior x+y= Se subtrairmos a x+y = 3 ª da 1ª x+y (x+y) = 3- => x+y-x-y = 1 Perceba que o x e o -x vão se anular, e diretamente já teremos o valor de y => y = 1 => x = 1 Tente você, verá que na maioria das vezes, quando temos esta possibilidade, as contas ficam reduzidas, diminuindo o tempo gasto para a resolução. As vezes você poderá encontrar sistemas que não poderão ser resolvidos,eles são chamados sistemas impossíveis ou incompatíveis, por exemplo: x+y=1 x+y= Observação: Um sistema é dito possível determinado se possuir uma única solução e possível indeterminado se possuir infinitas soluções. Exercícios: 1 Calcule o resultado das seguintes operações com matrizes: 3 4 A) B) Muitas das vezes antes de começar a resolver um exercício pode ser interessante perder algum tempo pensando como fazê-lo. Veja a operação abaixo, que neste caso é simples e defina dois métodos de resolução (lembrando que um deles é o mesmo do exercício anterior, ou seja, somar termo a termo) Tire suas conclusões dos seguintes casos: A) B) De o resultado das operações abaixo, quando for possível. Matriz associada a um sistema linear Podemos associar um sistema linear a uma matriz, veja como ficaria: A) x 1 B) x C) ,5 19 x 7 43,

4 5 - Calcule o determinante de A. Veja que alguns números pertencem aos complexos. 3+ i A= 5 3 i y = quantidade ingerida do alimento, em gramas. A matriz M é? Tal que 6 (UFU 5) Considere a matriz 11 Quando possível, calcule o determinante das matrizes abaixo: Então A 4 + A³ + 4A² + 8A é igual a A) A 6 B) A 8 C) A 1 D) A 5 7 (UFU 6) Considere a matriz 1 A) 3 4 C) B) D) Determine quantas soluções tem o sistema linear. 9 (UFU 7) Sejam A e P matrizes quadradas de ordem 3, com P inversível, e B = P A P -1. Assinale a única alternativa incorreta. 1+ a 1 1 Para que o determinante da matriz 3 1 a seja nulo, o valor da variável a deve ser: A) 4 ou 5 B) 1 C) ou - D) 3 ou -3 A) B 1 = P A 1 P -1 B) Se det A =, então, det (-3B) = -6 C) Se A não é inversível, então det B = D) A = P -1 B P 1 (UFU 6 / adaptada) Por recomendação médica, João está cumprindo uma dieta rigorosa com duas refeições diárias. Estas refeições são compostas por dois tipos de alimentos, os quais contêm vitaminas dos tipos A e B nas quantidades fornecidas na seguinte tabela: Vitamina A Vitamina B Alimento 1 uni./ grama 3 uni./ grama Alimento 5 uni./ grama 45 uni./ grama 13 (UESP) Se o determinante da matriz -18, então o determinante da matriz igual a: A) -9 B) -6 C) 3 D) 6 E) 9 p p 4 p 4 p 1 p p é é De acordo com sua dieta, João deve ingerir em cada refeição 13. unidades de vitamina A e 13.5 unidades de vitamina B. Considere nesta dieta: Gabarito: 6. A 9. B 1. C x = quantidade ingerida do alimento 1, em gramas. 4

5 Trigonometria Na trigonometria, estudamos os triângulos, seus componentes e algumas aplicações, muitas das vezes praticas, mas para isso, vamos ver antes alguns conceitos. Arco: Tendo uma circunferência escolhemos dois pontos sobre a mesma, o pedaço da circunferência contido entre estes dois pontos é dito um arco da circunferência e recebe o nome dos pontos escolhidos, ex.: AB. Ângulos: Dados dois segmentos ou mesmo duas retas com um ponto em comum é possível medir a inclinação entre os dois segmentos ou retas partindo do ponto em questão. Esse seria o ângulo. Existem alguns tipos de ângulo, citados a seguir: - Ângulo reto: ângulo cuja medida é exatamente 9. - Ângulo agudo: ângulo cuja medida está entre (maior que ) e 9 (menor que 9 ). - Ângulo obtuso: ângulo cuja medida está entre 9 (maior que 9 ) e 18 (menor que 18 ). - Ângulo raso: ângulo cuja medida é exatamente 18. Observação: grau é uma unidade de ângulo, que pode ser medido também em radianos (aquela representação usada com um pi ). Veremos isso ainda. Relação e conversão de ângulos Imagine 36 arcos iguais em uma circunferência e segmentos ligando suas extremidades a origem da circunferência. Um grau corresponde a inclinação entre dois segmentos que ligam as extremidades de um único arco destes. Bom, alem dos graus temos os radianos, basta saber que qualquer circunferência possui comprimento de π. Vale a igualdade: π = 18. Então para transformarmos graus em radianos ou o contrario, basta fazer regra de três. Tangente: Cateto oposto sobre hipotenusa ou seno sobre cosseno. Observação: Cateto oposto e cateto adjacente são vistos com relação ao ângulo que se quer a informação, o cateto oposto ao ângulo é aquele que se encontra a frente dele, ou seja, dos três lados do triângulo, é aquele que não tem contato com o ângulo. Por eliminação o cateto adjacente é o lado que sobra, ou seja, para saber qual é ele, basta excluir a hipotenusa e o cateto oposto. É possível com estas relações encontrar alguns valores dos componentes do triângulo, como por exemplo, a medida de um dos lados, mas antes de vermos um exemplo disso, é necessário saber os valores destas relações para os ângulos ditos notáveis. O que são ângulos notáveis? São aqueles primordiais para a resolução de vários exercícios. Quais são? 3, 45, 6. Os ângulos de e 9 também são importantes, mas vamos falar sobre eles em um tópico posterior. Existe uma tabela muito comum para os valores dos ângulos notáveis, veja abaixo: seno 1/ / 3 / cosseno 3 / / 1/ tangente 3 /3 1 3 Agora podemos partir para um exemplo. Encontre o valor de x e y. Relações trigonométricas no triângulo retângulo Um triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto. Ele é formado por dois catetos e uma hipotenusa, que são os lados do mesmo. Como saber quais são os catetos e qual é a hipotenusa? É fácil, a hipotenusa está sempre oposta ao ângulo de 9 graus (ângulo reto), os outros lados são os catetos. É possível relacionarmos os lados de um triângulo desses citados acima. E quais relações são essas? Bom, vamos vê-las agora. Seno: Cateto oposto sobre hipotenusa Cosseno: Cateto adjacente sobre hipotenusa Veja que não é complicado encontrar o valor de X e Y, pois temos um ângulo notável acompanhado da medida do seu cateto adjacente. Nas relações ditas anteriormente, quais as que nos interessa, ou seja, quais envolvem a hipotenusa e o cateto oposto juntamente ao ângulo de 3? Note que: 5

6 cos 3 = 3 / a: Mas o cosseno de algum ângulo também é igual cateto adjacente hipotenusa Nesse caso o cateto oposto é Y e a hipotenusa é x, então temos cos 3 = 3 / = cateto adjacente = hipotenusa X Logo temos: 3 = X Observação : Essa é muito importante, pois as vezes esquecemos dos valores das tangentes para os ângulos notáveis. Quando isso acontecer, recorram a formula da tangente, seno sobre cosseno. Pegue os valores dos senos e cossenos correspondentes ao ângulo e substitua na formula para obter a tangente desejada. Portanto não existe a necessidade de memorizar os valores das tangentes dos ângulos notáveis, a não ser para agilizar a resolução de problemas. Redução ao primeiro quadrante Sabemos que existem quatro quadrantes angulares, o que são estes quadrantes? Veja abaixo a figura e entenderão perfeitamente. Detalhe: já estão numerados em ordem. daí: Para descobrir o valor de X temos que isolá-lo, X =. 3 É comum racionalizar, mas não é errado deixar desta forma. Agora vamos encontrar o valor de Y, tendo em mãos os valores da hipotenusa e do cateto adjacente. É possível encontrar Y de duas formas, a primeira usando seno e a segunda usando tangente, vamos ver. Sen 3 = ½ = cateto oposto = Y = Y hipotenusa X 4/ 3 Reduzir para o primeiro quadrante as vezes favorece o calculo de senos, cossenos ou tangentes de ângulos que estão nos demais, veja que na tabela não possuímos os valores para ângulos nos quadrantes que não sejam o primeiro. Veja abaixo a figura mostrando as formulas de reduções. Daí, 1 = Y 4/ 3 Basta isolar o Y, como fizemos a pouco com o X. Agora usando a tangente. Tg 3 = 3 = cateto oposto = Y 3 cateto adjacente Logo temos: Y = 3 3 Novamente basta isolar o Y, veja que usando o seno e a tangente o resultado é o mesmo. Observação 1: Para memorizar a tabela de senos e cossenos para ângulos notáveis, existe uma pequena frase. Após posicionar a primeira linha e coluna (seno/cosseno e ângulos) é só lembrar: um dois três, três dois um, todos sobre dois, só não tem raiz onde tem um. Observe a formação da tabela. É necessário ficar atento ao que estamos querendo, pois dependendo do quadrante em que o ângulo original está o sinal seno, cosseno ou tangente, muda, quando calculamos reduzindo ao primeiro quadrante. Olhe abaixo os sinais e os quadrantes: Sen Cos Tg Então se formos calcular o seno de 1, reduzindo ao primeiro quadrante temos: 6

7 1 = 18 + X Onde X é o ângulo correspondente a 1 no primeiro quadrante. Estamos seguindo as formulas anteriores. Isolando o X, X = 1 18 X = 3 O seno de X é então o seno de 3 que na verdade é ½, mas como nosso ângulo original (1 ) está no terceiro quadrante temos que a resposta não é ½ e sim -½. Observação: cada quadrante é composto de 9. Certo, mas e se o ângulo for, 9, 18, 7 ou 36. Aí entra o circulo trigonométrico, que na verdade já está implícito nos outros valores dos ângulos. O circulo trigonométrico é um circulo no plano cartesiano, com origem no ponto (,) e raio igual a 1 sempre. O seno é medido no eixo Y e o cosseno no eixo X. Como o raio do circulo trigonométrico é 1, o valor máximo do seno e do cosseno é o próprio 1. Com o teorema de Pitágoras e o circulo trigonométrico podemos chegar a seguinte relação, muito importante por sinal: sen²(x) + cos²(x) = 1 Identidades trigonométricas sen x + cos x = 1 sen (-x) = -sen x cos (-x) = cos x sec (x) = 1 / cos (x) cossec (x) = 1 / sen (x) cotg (x) = 1/ tg (x) tg (a-b) = tg (a+b) = tg (a) tg (b) 1 + tg (a). tg (b) tg (a) + tg (b) 1 - tg (a). tg (b) cos (a + b) = cos(a).cos(b) sen(a).sen(b) cos (a - b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b) sen (a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a) sen (a - b) = sen(a).cos(b) sen(b).cos(a) cos² (x) = 1+ cos(x) Temos que o 36 coincide com o logo os valores de seno e cosseno serão iguais. Logo, sen 1-1 cos 1-1 A tangente é medida por fora, como mostra a figura anterior. Observação: os gráficos serão feitos na sala de aula. Teorema de Pitágoras H² = A² + B² sen² (x) = 1 cos(x) sen(a/) =± (1-cos(a))/ cos(a/) = ± (1+cos(a))/ Lei dos senos sen(a) = sen(b) = sen(c) a b c a = b = c = r sen(a) sen(b) sen(c) onde r é o raio da circunferência em que o triângulo está inscrito. Veja na figura: ou A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (para os que gostam, ta numa música dos Mamonas Assassinas). 7

8 Exercícios: 1 - (Fuvest-SP) Qual das afirmações a seguir é verdadeira? A) sen 1 < cos 1 < tg 1 B) cos 1 < sem 1 < tg 1 C) tg 1 < sen 1 < cos 1 D) tg 1 < cos 1 < sem 1 E) sen 1 < tg 1 < cos 1 Lei dos cossenos Considerando ainda os lados e ângulos do triângulo anterior, a lei dos cossenos fica da seguinte forma: a² = b² + c².b.c.cos(a) (UEA-AM) Sabendo que sen x = /3 e que x está no 1 quadrante, o valor de cotg x é: A) 5/ B) 1/3 C) 5 / 3 D) 5 / 3 E) 5 / 3 (UFPA) Qual das expressões a seguir é idêntica a 1 sen ( x) cotg( x). sen( x) A) sen(x) B) cos (x) C) tg (x) D) cossec (x) E) cotg (x)? 4 (PUC-BA) Qualquer que seja o número real x, a 4 4 expressão cos ( x) sen ( x) é equivalente a: A) sen² (x) - 1 B) (senx).(cosx) C) cos²(x) 1 D) cos²(x) E) (sen x + cos x). cos x 5 Se f é uma função real definida por f(x) = (tgx)/(1+tg²x) então f(x) é igual a: A) cossec x B) sec x C) tg x D) cos x E) sen x 6 (Fuvest SP) Se cos(x/) = /4 então cos(x) vale: A) -3/8 B) 3/8 C) 14 / 4 D) 1/8 E) 3 / 4 7 (PUC-RJ) Se tg 3x = 4, então tg 6x é igual a: 8

9 A) 8 B) -8/15 C) 3/4 D) -3/4 E) 5/8 8 (Unifor-CE) A expressão equivalente a: A) 1 B) C) cos²(x/) D) 1 + sen x x x sen + cos é 9 (UFJF) O conjunto solução da equação cosx = é: A) {x є R; x = kπ, k є Z} B) {x є R; x = kπ ± π/, k є Z} C) {x є R; x = kπ ± π/4, k є Z} D) {x є R; x = kπ, k є Z} 1 Quando Resolvida no intervalo [; π], o número de quadrantes nos quais a desigualdade cos x < 3 apresenta soluções é: A) B) 1 C) D) 3 E) 4 11 Sabendo que o triângulo ABO é retângulo em B, que o lado oposto ao ângulo OÂB mede 5 unidades e que o ângulo AÔB mede 1 unidades. Determine o valor do seno, cosseno e tangente dos dois últimos ângulos citados. 18 (UFU) Num triângulo ABC, o ângulo  é reto. A altura h a divide a hipotenusa a e, dois segmentos, m e n (com m > n). Sabendo que o cateto b é o dobro do cateto c, podemos afirmar que m/n vale: A) 4 B) 3 C) D) 7/ E) 5 19 (UFU 7) O valor de tg 1 (sec 5 +cossec 5 ) (cos 5 - sen 5 ) é igual a: A) B) ½ C) 1 D) Gabarito: 1. B. E 3. B 4. C 5. E 6. D 7. B 8. D 9. C 1. E 18. A 19. A 1 Num campeonato de asa-delta, um participante se encontra a uma altura de 16m e vê o ponto de chegada a um ângulo de 6. Calcular a componente horizontal x da distância aproximada em que ele está desse ponto de chegada. 13 Quais valores k pode assumir para tornar possível a igualdade sen x = k 5? 14 Quais valores k pode assumir para tornar possível a igualdade cos x = k 9? 15 Determine o conjunto verdade da equação sen² (x) + sen (x) 1 = (Dica: veja que esta é uma equação do segundo grau). 16 Determine o conjunto verdade da equação sem x + cos x = Mostre sen² (x) + cos²(x) = 1. 9

10 Geometria plana Paralelismo: Uma reta ou um segmento de reta é paralelo a outro quando a distancia entre dois pontos (um de cada reta) for igual, sendo estes pontos, pertencentes a um seguimento perpendicular a ambas as retas. Isso deve ser válido para todo par de pontos das retas que seguirem esse perfil, porém, para se certificar basta analisar dois pares, veja abaixo na figura: 3 Dois ângulos são suplementares se a soma dos dois é igual a 18. Teorema de Tales O teorema de Tales afirma que, tendo duas retas paralelas e duas retas transversais a estas paralelas, os segmentos correspondentes formados pelas retas transversais, são proporcionais, observe: Perpendicularismo: Duas retas, semi-retas e/ou segmentos são perpendiculares entre si quando têm um ponto em comum e alem disso, o ângulo formado entre os dois é reto, ou seja, de 9 Congruência de figuras planas: Duas figuras planas são congruentes quando possuem lados e ângulos iguais. Semelhança de figuras planas: Duas figuras planas são semelhantes se possuem a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Semelhança de triângulos Existem alguns casos de semelhanças de triângulos, vamos ver alguns deles: AA: Se dois ângulos (por conseqüência três ângulos também) correspondentes de um triângulo são congruentes então os dois triângulos são semelhantes. LLL: Se dois triângulos possuem seus lados correspondentes, sendo proporcionais, então estes triângulos são semelhantes. LAL: Se dois triângulos possuem dois lados correspondentes semelhantes, de forma que estes dois lados formem entre si um ângulo correspondente ao do outro triângulo que seja congruente, existe também o caso de semelhança. Os casos citados acima são os principais critérios usados para verificar a semelhança entre triângulos. Observações: 1 - A soma dos ângulos internos de um triângulo é Dois ângulos são complementares se a soma dos dois é igual a 9. Daí o teorema de Tales diz que: AB = AE = AC BC ED AD Classificar triângulos quanto aos lados Triângulo isósceles: possui dois lados iguais e os dois ângulos formados com o lado diferente também são iguais. Triângulo eqüilátero: possui os três lados iguais e os três ângulos também. Triângulo escaleno: todos os lados diferentes. Algumas definições Polígono regular: um polígono é regular quando seus lados e ângulos são congruentes. Por exemplo, o quadrado, todos os seus ângulos internos medem 9 e os lados são todos de mesma medida. Um polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência, de forma que seus vértices estejam sobre a circunferência. Cuidado, nem todo polígono inscrito em uma circunferência é regular. Apótema: o segmento que liga o centro de um polígono regular a um lado, fazendo 9 com esse lado é dito apótema. Diagonal de um retângulo: A diagonal de um retângulo, ou quadrado, pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras. Corda: Segmento que une dois pontos de uma circunferência. Diâmetro: o diâmetro é um componente da circunferência, é uma corda que passa pelo centro. 1

11 Setor circular: é realmente o setor de um circulo, ou sejam uma parte dele, como se fosse uma fatia de uma pizza. Perímetros O perímetro de um polígono é simplesmente a soma de todos os seus lados, mas e o perímetro (na verdade chamado de comprimento) da circunferência? Existe uma formula que nos responde isso. Ou seja, para a área total da circunferência temos 36, para a área do setor circular temos X graus. É simplesmente uma comparação de áreas com graus. Outras fórmulas Cordas se interceptando dentro de uma circunferência: Fica válido nesse caso, dizer que: C =.π.r Observação: π vale aproximadamente 3,14. Nas respostas das questões, a não ser que seja realmente necessário, não é interessante gastar tempo substituindo a letra por esse valor. Áreas Área de um triângulo: a. d = c. b Secantes se interceptando fora de uma circunferência: A = b. h onde b é o tamanho da base e h o tamanho da altura do triângulo. Área de um quadrado: A = lado x lado Área de um retângulo: A = b. h onde b é o tamanho da base e h é o tamanho da altura do retângulo. Área de um polígono regular: veja que um polígono regular possui todos os lados iguais, portanto tente dividi-lo em triângulos e calcular a área de um deles, depois multiplicar pela quantidade de triângulos divididas. Como um polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência, dois dos lados desses triângulos citados serão do mesmo tamanho do raio da circunferência. Temos então triângulos isósceles. Fica valido nesse caso, dizer que: (a+b).b = (c+d).d Secante e tangente se interceptando fora da circunferência: Área de uma circunferência: A = π. r² onde r é o raio da circunferência. Área do setor circular: Para calcular a área de um setor circular basta fazer uma regra de três. Fica valido nesse caso, dizer que: a² = (b+c).c Ângulo inscrito e central: área da circunferência área do setor graus 11

12 Exercícios: 1 Mostre a fórmula da diagonal de um quadrado de lado a. Mostre a fórmula de área de um triangulo eqüilátero de lado a. 3 Um triângulo eqüilátero possui 6 cm de lado. Qual é o perímetro e a área deste triângulo? Fica valido nesse caso, dizer que: b = a 4 (UFU 7) Na figura abaixo, a área do triângulo ADE corresponde a % da área do quadrado ABCD. Mais definições Nos triângulos também podemos encontrar: Mediana: Mediana é o segmento que une o ponto médio de um lado ao seu ângulo oposto. O ponto de encontro das medianas é chamado baricentro. O tamanho do segmento do baricentro ao vértice é de /3 do tamanho total da mediana. Mediatriz: reta que sai de forma perpendicular do ponto médio do segmento, ou no caso, do lado do triângulo. Bissetriz: reta que divide o ângulo em dois iguais. Para que a área do triângulo EBC seja igual a 3cm², o lado do quadrado ABCD deve ser igual a A) 1cm. B) 1 cm. C) 5 3 cm. D) 5cm. 5 (UFU 6) Na figura abaixo, O é o centro da circunferência de raio 1 cm. Sabendo-se que ABCD é um quadrado e que alpha é igual a 6º, a área da região sombreada é igual a 1

13 A) ( π + 3) cm² B) ( π - 1-3) cm² C) ( π + 1-3) cm² D) ( π - 3) cm² 6 (UFU 4) Na figura abaixo o ângulo x, em graus, pertence ao intervalo A) B) 3 C) 5 D) 6 E) 9 1 No triângulo ADE da figura, em que B e C são pontos dos lados AD e AE, respectivamente, AB=AC, BC=BD e CD=CE. A) (º, 15º) B) (15º, º) C) (º,5º) D) (5º, 3º) 7 Da figura abaixo deduza (considerando as bases paralelas) a formula da área de um trapézio, usando as formulas para as áreas de retângulos e triângulos. A) x = 48 B) x = 5 C) x = 5 D) x = 54 E) x = 56 8 (UFU 4) Sabendo-se que, na figura abaixo, CD = 1 cm e BD = 3 cm, determine: Gabarito: 4. A 5. A 6. B 9. A 1. C A) os ângulos alpha e beta. B) a área do triângulo ABC. 9 (Fuvest 1) Na figura abaixo, tem-se que AD=AE, CD=CF e BA=BC. Se o ângulo EDF mede 8, então o ângulo ABC mede: 13

14 Geometria espacial Por dois pontos no espaço passa uma única reta e por três pontos não colineares um único plano. O que é um plano? Um conjunto de retas que podem ser concorrentes ou paralelas entre si. Indo mais alem, as retas são conjuntos de pontos, se um plano é um conjunto de retas, um plano também é um conjunto de pontos. Se dois planos diferentes se interceptam, a interseção é uma reta. Posições relativas entre retas Retas concorrentes: interceptam-se em um único ponto. Retas paralelas: já foram citadas anteriormente. Retas reversas: não são coplanares (não pertencem a um único plano). Retas ortogonais: não reversas e apresentam um ângulo reto entre si. Posições relativas entre retas e planos Concorrentes: uma reta e um plano são concorrentes quando possuem apenas um ponto em comum, pode-se dizer também que a reta é secante ao plano. Paralelos: uma reta é paralela a um plano quando ambos não possuem nenhum ponto em comum. Se o sólido possui ponta, por exemplo, o cone, ou uma pirâmide, basta fazer: 1/3 (área da base x altura) Se o sólido não possuir ponta, como o cubo, o paralelepípedo ou o cilindro, basta retirar da formula anterior o 1/3, ou seja, o volume é dado por: (área da base x altura) Note que alguns sólidos são formados por alguns mais simples, como por exemplo, o classiquissimo balão de São João, daqueles pequenos feito em escolas, aqueles de papel. Têm a forma de duas pirâmides, uma de cabeça para baixo e outra de cabeça para cima, dividindo a mesma base. Para calcular o volume de um sólido desse tipo, basta calcular o volume de uma das pirâmides de dobrar (considerando que as duas são iguais). Mas e o volume e área da esfera? E a área do cone? Vamos falar deles agora. Área de um cone Agora a pouco vimos que a área de um sólido geométrico é a soma das áreas de suas faces. A base de um cone é uma circunferência, cuja formula para a área já foi mencionada quando tratamos da geometria plana. Falta agora ver a área daquela parte que fica em volta. Perpendiculares: se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é concorrente ao plano. Posições relativas entre planos Planos concorrentes: dois planos são concorrente quando possuem apenas uma reta em comum. Planos paralelos: dois planos são paralelos se não possuem nenhuma reta em comum. Planos perpendiculares: dois planos são perpendiculares se algum deles contem uma reta perpendicular ao outro. Áreas e volumes Como calcular a área e volume de sólidos geométricos? Para isso precisamos usar os conceitos e formulas de áreas da geometria plana, que vimos anteriormente. Repare que não é tão difícil quanto parece. A área se resume em somar as áreas das faces do sólido. As faces são geralmente retângulos ou triângulos, salvo o cone, que veremos com mais calma. E o volume? Para todos os sólidos que iremos estudar, exceto a esfera, as formulas são fáceis. Na figura acima g é a geratriz do cone, é como se fizéssemos a projeção desta vista lateral em um plano, ficaria um triângulo, g é um dos lados desse triângulo. Observe que o cone estando aberto vira um setor circular, novamente, para calcular sua área basta fazer uma regra de três. Área e volume da esfera A = 4.π.r² V = 4.π.r² 3 14

15 Exercícios: 1 (UFU 6) Uma esfera maciça de ferro de raio 1 cm será fundida e todo o material derretido será usado na confecção de um cilindro circular e de um cone circular ambos, maciços com raio da base r cm e altura também r cm. Não havendo perda de material durante o processo, r será igual a 4 (UFU 4) Bóias de sinalização marítima são construídas de acordo com a figura abaixo, em que um cone de raio da base e altura r é sobreposto a um hemisfério de raio r. A) 4 cm. B) 8 cm. C) 5 cm. D) 1 cm. (UFU 5) Uma certa empresa dispõe de dois reservatórios, um com formato cônico e outro cilíndrico, ambos com o mesmo raio da base circular. O reservatório cônico está totalmente cheio de álcool e todo seu conteúdo será transferido para o reservatório cilíndrico, inicialmente vazio. O restante do reservatório cilíndrico será preenchido com gasolina. Sabendo-se que a altura do reservatório cilíndrico é igual a 1 m, e que a mistura resultante deve conter 3% de álcool e 7% de gasolina, a altura do reservatório cônico deve ser igual a A) 9 metros. B) 3 metros. C) 7 metros. D) 1 metro. 3 (UFU 4) Cubos são colocados uns sobre os outros, do maior para o menor, para formar uma coluna, como mostra a figura abaixo. Aumentando-se r em 5%, o volume da bóia é multiplicado por A) 8. B) 7/8. C) 9/4. D) 4. 5 Deduza a fórmula da diagonal do cubo usando o Teorema de Pitágoras. 6 (UFU 8) Dispõe-se de um cilindro maciço circular reto, feito de alumínio, cujo raio da base mede 4 cm e a altura 1 cm. Esse cilindro será derretido e com o material fundido serão fabricadas esferas de aço de raio cm. Supondo que nesse processo não ocorra perda de material, então o número de esferas a ser fabricadas, a partir do cilindro dado, é igual a: A) 13 B) 15 C) 14 D) 16 O volume do cubo maior é 1 m³ e o volume de cada um dos cubos seguintes é igual a 1/7 do volume do cubo sobre o qual ele está apoiado. Se fosse possível colocar uma infinidade de cubos, a altura da coluna seria igual a A) (7/6) m. B) m. C) 1,5 m. D) 4,5 m. Gabarito: 1. D. A 3. C 4. B 6. B 15

16 Análise combinatória Este conteúdo é tido por muitos como complicado e na verdade realmente não é tão fácil, muitas das vezes pela sua simplicidade. Por isso vamos tentar abordá-la da maneira mais didática possível. Iremos nos deparar com 3 tipos de situações: 1ª situação: Imagine que você vá ao cinema com seu (sua) namorado(a), as coisas estão muito paradas e o filme está muito chato, daí você olha para o lado e vê mais um tanto de gente e imagina... de quantas maneiras seria possível todos nós sentarmos nesta fileira? Ahh, agora sim as coisas ficam divertidas. Então vamos pensar, imaginando que naquela fileira estejam 1 poltronas, todas elas com pessoas. Vamos imaginar quando todos estavam entrando e as poltronas ainda estavam vazias. A primeira pessoa a chegar, teria quantas opções de lugar? 1 correto, pois não havia ninguém sentado até então. Pronto, a primeira pessoa já se sentou, aí lá vem a segunda, que da aquela clássica tropeçada na escada devido a pouca luz, quando ela chega a fileira, quantas opções restam? Por certo que são 9 opções. Bom, esse raciocínio continua, até que toda a fileira seja preenchida com a chegada da ultima pessoa e sua única opção, que por certo não será no meio. E daí!? E daí que tivemos uma seqüência decrescente de números: 1, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,, 1. E a resposta para a pergunta que você havia feito é justamente a multiplicação destes números, ou seja, = 1! (dez fatorial) Isso é o que chamam de permutação! ª situação: Pronto, imagine agora a mesma situação anterior, mas desta vez teremos 15 pessoas para 1 poltronas. Aí lascou, alguns vão rodar! Agora é como se ao invés das pessoas escolherem as poltronas, na verdade as poltronas escolheriam as pessoas, pois estas estão em menor quantidade, é como se fosse um sorteio. O sorteio funcionaria assim, para a primeira poltrona, quantas pessoas poderiam ganhar o direito de sentar nela? Se pensarmos um pouco, a resposta é 15. O mesmo acontece para a segunda poltrona, no caso, como uma pessoa já se sentou na primeira, então resta apenas 14 possibilidades. Isso se repete, assim como na situação anterior, mas quando chegar na ultima poltrona, teremos 6 possibilidades e não apenas uma, como ocorreu na primeira situação. Logo, sempre cinco pessoas ficarão de fora. Essa é a diferença entre permutação (caso anterior) e arranjo (este caso), ou seja, na permutação todos os elementos são usados enquanto no arranjo isso não acontece. Mas a forma de resolver é a mesma, multiplicando as possibilidades. 3ª situação: Existem muitas coisas clássicas nessa vida, por exemplo: uma manhã de domingo, frango no almoço, alguns desenhos, algumas séries... e... aquela brincadeira de dançar em volta da cadeira! É sobre ela que vamos falar... imagine, o quão perigoso pode ser aquele jogo em que se ouve uma música e quando a mesma para, todos correm para sentar nas cadeiras, aquilo lá sim, é danado! Então vamos imaginar uma aventura dessas, mas para tornar tudo mais emocionante teremos 3 cadeiras a menos que o número de pessoas. Vamos de novo imaginar 1 pessoas na brincadeira, portanto 7 cadeiras, quando a musica para, quantas são as possibilidades de grupos se sentarem? O importante é se sentar, não importa em que cadeira seja, portanto, não importa a ordem dos elementos nesse caso. Isso se classifica como uma permutação. Temos menos cadeiras do que pessoas e não importa a ordem que se sentem. É extremamente aconselhável o uso da fórmula: Resumindo: C 1 7 1! = 7!(1 7)! Nome Ordem Fórmula Permutação Importa P n! n = Arranjo Combinação Exercícios: Importa Não importa A n p C n p n! = ( n p)! n! = p!( n p)! 1 (ITA) Determine quantos números de 3 algarismos poder ser formados com 1,,3,4,5,6 e 7, satisfazendo a seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido. A) 4 B) 6 C) 8 D) 1 E) 1 (UFU - 3) Um sério problema enfrentado pelas autoridades de saúde é diagnosticar a chamada pneumonia asiática. Atualmente são conhecidos 7 sintomas dessa doença. Se em um paciente forem detectados 5 ou mais desses possíveis sintomas, a doença é diagnosticada. Diante disso, pode-se afirmar que o número total de combinações distintas dos 16

17 sintomas possíveis para que o diagnóstico da pneumonia asiática seja efetivado é igual a: A) 1 B) 9 C) 147 D) 1 3 (FUVEST) Uma lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Alem disso, 1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco;. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros na lotação é igual a A) 918 B) 115 C) 188 D) 41 E) (UFU 7) A prova de um concurso é composta somente de 1 questões de múltipla escolha, com as alternativas A, B,C e D por questão. Sabendo-se que, no gabarito da prova, não aparece a letra A e que a letra D aparece apenas uma vez, quantos são os gabaritos possíveis de ocorrer? A) B) C) D) (UFU 4) De quantas maneiras distintas um fazendeiro pode escolher, entre 1 vacas selecionadas de seu rebanho, 4 vacas e distribuí-las entre as 4 instituições de caridade de sua cidade, sendo uma vaga para cada instituição? A) 495 B) 1188 C) 198 D) 594 Gabarito: 1. E. B 3. E 4. D 5. B Progressão Aritmética Observe a seqüência abaixo: (, 5, 8, 11,...) Notemos que a diferença entre um termo qualquer dessa seqüência e seu antecedente é sempre igual a 3: Assim: 5 = = = 3 Progressão Aritmética (P.A) é uma seqüência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer ( a partir do segundo) e o tremo antecedente é sempre a mesma (constante). Essa constante é chamada de razão da P.A representada por r. Exemplos: (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7,...) é P.A de razão r =. (3,, 17, 14,...) é P.A de razão r = -3. (5, 5, 5, 5,...) é P.A de razão r =. A razão tem algumas particularidades como: r >, dizemos que a P.A é crescente r <, dizemos que a P.A é decrescente r =, todos os termos da P.A são iguais, ou seja, a P.A é constante. TERMO GERAL DA P.A. Considerando a P.A (a 1, a, a 3, a 4,..., a n ) de razão r. Temos: a - a 1 = r a = a 1 + r a 3 - a = r a 3 = a + r a 3 = a 1 + r a 4 a 3 = r a 4 = a 3 + r a4 = a 1 + 3r Assim: an = a1 + ( n 1). r Essa fórmula acima é conhecida como a fórmula do termos geral de uma P.A. Exemplo: Vamos calcular o º termo da P.A (6, 31, 36, 41,...): Para efetuarmos os cálculos é necessário que retiremos os dados necessários. Como: a 1 = 6 e r = 31 6 = 5 Utilizando a fórmula do termo geral caculemos o º termo da P.A. 17

18 a = 6 + ( 1). 5 a = a = a = 11 É fácil demonstrar por indução matemática que: Concluímos que o º termo dessa P.A é 11. NOTAÇÕES ESPECIAIS Para determinar uma P.A apartir de seus elementos utilizamos de algumas notações que facilitam a resolução de alguns exercícios. Para três termos em P.A, podemos escrever: ( x r, x, x + r ) Soma dos termos de uma P.G. A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por: Exemplo: Determine três números em P.A, sabendo que o elemento central é 4 e o produto entre eles é 8. Para efetuarmos os calculos é necessário que retiremos os dados: Como a P.A tem 3 termos ( x r, x, x + r ) e x = 4 (x r). x. (x + r) = 8. Então: (4 r). 4. (4 + r) = 8 r = +3 e r = -3 Assim iremos obter duas P.A Para r = +3 a P.A será ( 1, 4, 7) Para r = -3 a P.A será ( 7, 4, 1) SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A A fórmula que nos permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma P.A qualquer é preciso: Considere a P.A (a 1, a, a 3,..., a n -, a n 1,..., a n, ) Indiquemos a soma dos n primeiros termos por S n. Temos então: S n = a 1 + a + a a n + a n a n S n = a n + a n a n a 3 + a + a 1 Somando essas igualdades membro a membro, obtemos: ou Demonstração Essa fórmula pode ser deduzida do seguinte modo. Escreva: Multiplique por q: Subtraia a primeira soma da segunda, cancelando os termos repetidos: o que é equivalente a: Divida ambas os termos por: : e o resultado segue. Soma dos infinitos termos de uma P.G. A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando q < 1. Sua soma é: Progressão Geométrica Costuma-se denotar por a n n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial a 1 e sua razão q. A sucessão dos termos é obtida por recursão: 18