Universidade do Grande Rio Prof. José de Souza Herdy UNIGRANRIO. Clailton Costa Cordeiro

Transcrição

1 Universidade do Grande Rio Prof. José de Souza Herdy UNIGRANRIO Clailton Costa Cordeiro ANÁLISE E CLASSIFICAÇÃO DE ERROS DE QUESTÕES DE GEOMETRIA PLANA DA OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA DAS ESCOLAS PÚBLICAS DUQUE DE CAXIAS 2009

2 Livros Grátis Milhares de livros grátis para download.

3 Clailton Costa Cordeiro ANÁLISE E CLASSIFICAÇÃO DE ERROS DE QUESTÕES DE GEOMETRIA PLANA DA OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA DAS ESCOLAS PÚBLICAS Dissertação apresentada à Universidade do Grande Rio Prof. José de Souza Herdy, como parte dos requisitos parciais para obtenção do grau de mestre em Ensino das Ciências na Educação Básica. Área de concentração: Ensino de Matemática. Orientadora: Professora Doutora Clicia Valladares Peixoto Friedmann. Co-Orientador: Professor Doutor Renato da Silva. DUQUE DE CAXIAS 2009

4 CATALOGAÇÃO NA FONTE/BIBLIOTECA - UNIGRANRIO C794a Cordeiro, Clailton Costa. Análise e classificação de erros de questões de geometria plana da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas / Clailton Costa Cordeiro f.: il.; 30 cm. Dissertação (mestrado em Ensino das Ciências na Educação Básica) Universidade do Grande Rio Prof. José de Souza Herdy, Escola de Educação, Ciências, Letras, Artes e Humanidades, Orientadora: Prof.ª Clícia Valladares Peixoto Friedmann, Co- orientador: Renato da Silva. Bibliografia: f Educação. 2. Matemática. 3. Geometria Estudo e ensino. 4. Análise de erros (Matemática). 5. Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. I. Friedmann, Clicia Valladares Peixoto. II. Silva, Renato da. III. Universidade do Grande Rio Prof. José de Souza Herdy. IV. Título. CDD - 370

5

6 Aos meus pais, esposa e filhos, pela paciência e por entenderem minha ausência.

7 AGRADECIMENTOS À orientadora Profª Drª. Clícia Valladares Peixoto Friedmann, pela sua disponibilidade, paciência, consideração e confiança manifestados durante a realização deste trabalho. Ao co-orientador Prof. Dr. Renato da Silva pelas valiosas contribuições dadas a esta pesquisa. Aos meus demais professores do Mestrado da Unigranrio pelos ensinamentos. Aos meus colegas do mestrado que me incentivaram, em particular aos meus amigos de turma Gessé Ferreira, Wiliam Leal e José Carlos Gonçalves Gaspar (em especial), pela companhia durante os encontros no grupo de estudo fator essencial para que conseguisse concluir o mestrado. Aos professores doutores componentes da minha banca pela atenção e sugestões que ofereceram ao nosso trabalho. Ao professor de matemática Wilson Bispo dos Santos pela ajuda na aplicação das provas, aos alunos participantes da pesquisa e a professora Joana Passomides Rodrigues, diretora da escola onde foi realizada a pesquisa. A minha avó Carlinda (in memoriam) pelos ensinamentos que ajudaram a formar meu caráter e disciplina e aos meus tios José Carlos (in memoriam) e Maria da Conceição pelas boas conversas que tivemos durante a realização deste trabalho. A Deus, pela luz, segurança e força concedidas para conseguir trilhar mais esta etapa de minha vida. Por fim, agradeço a todos que direta ou indiretamente fizeram parte desta pesquisa e zas zpessoas zcujo znome znão zcitei, zsei zque znunca zconseguirei zagradecer za zaltura ze espero que me entenda e perdoe por não citá-la.

8 RESUMO Esta pesquisa busca analisar, identificar, classificar e quantificar os tipos de erros mais freqüentes em questões de geometria da primeira fase dos quatro anos de Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). As referidas questões, que originalmente eram aplicadas no formato múltipla escolha, foram modificadas e aplicadas de forma discursiva, para que fosse valorizado o processo de resolução e não somente o resultado. Vinte e oito alunos participaram da pesquisa, destes, vinte e cinco foram selecionados pelo mesmo método de classificação utilizado pela OBMEP para segunda fase e três foram convidados por serem considerados, por seus professores, os melhores alunos de suas respectivas turmas. Todos os participantes são estudantes do ensino médio de uma escola estadual do município de Nova Iguaçu (RJ). O objetivo geral da pesquisa é analisar as resoluções e tentativas de resoluções dos alunos e a partir destas apresentar sugestões de estratégias para que o professor possa: reforçar, modificar e inovar a sua forma de ensinar, identificar que tipo de questão os alunos têm mais dificuldades, que tipo de erro eles cometem com mais freqüência nas suas resoluções e propor soluções para os problemas encontrados e apresentados ao longo da análise para o Ensino de Geometria. A pesquisa apresenta aspectos quantitativos como qualitativos, portanto como define Creswell (2007, p. 34) este trabalho utiliza uma investigação de natureza mista. A classificação de erros utilizada na análise foi a de Radatz (1979), considerada clássica por Cury (2006) e utilizada como base em muitos estudos sobre o assunto, por isso utilizo a análise de erros como metodologia de pesquisa. Também serviram de base para esta pesquisa os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) e estudos de Cury. A análise baseia-se em minha experiência profissional, portanto outro profissional poderia indicar uma classificação diferente e é realizada de forma extensiva e não intensiva a fim de analisar a maior quantidade de questões e verificar a maior quantidade de tipos de erros. Nas considerações finais foram identificadas como maiores dificuldades encontradas nos processos de resolução dos alunos durante a análise: a interpretação de textos e a deficiência em conhecimentos prévios e apresentados os resumos das conclusões e sugestões feitas em cada questão. Palavras-chave: Análise de erros; Classificação de erros; Ensino de Geometria; OBMEP.

9 ABSTRACT The aim of this research is to analyse, identify, classify and quantify the most frequent types of errors in geometry in the first phase of the four years of Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). The geometry problems that first appeared in the multiple-choice format were modified and used as open questions in order to give value to the solving process and not only to the results obtained. Twenty-eight students were chosen to take part in this research: twenty-five were selected following the same classificatory method used by the OBMEP for the second phase and three others were invited to participate because they were considered, by their teachers, to be the best students in their classes. All participants are students of ensino médio of a state school in Nova Iguaçu a city in Rio de Janeiro. The general aim of this research is to analyse students solutions and tentative solutions and then present suggestions of strategies in order to help teachers reinforce, modify or innovate their way of teaching, identify in which type of problems students presented more difficulties, which type of error students were more frequent in their solutions to the problems presented all over the analysis to the Teaching of Geometry. The research presents quantitative as well as qualitative aspects, a mixed-up investigation as defined by Creswell (2007, p. 34). Radatz error classification (1979), considered by Cury (2006) as a classic one and used as basis for several studies concerning this subject, was used in the analysis as research methodology. The Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) and other studies of Cury also served as basis for this research. The analysis is based on my professional experience so, any other professional could indicate a different classification, and is performed in an extensive not intensive way in order to analyse the greatest number of geometry problems possible and check the greatest number of types of errors. The most impressive difficulties in the students process of finding solutions during the analysis were presented in my final remarks: understanding texts and the deficit in previous knowledge. I also presented the summaries of the conclusions and suggestions made to each geometry problem. Keywords: Error analysis, Error classification, Teaching of Geometry, OBMEP.

10 SUMÁRIO INTRODUÇÃO LEITURAS SOBRE O TEMA O ENSINO DE MATEMÁTICA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA SOLUÇÃO APONTADA O ENSINO DA GEOMETRIA COMO TUDO COMEÇOU: UM BREVE RETROSPECTO O ENSINO DA GEOMETRIA NOS DIAS DE HOJE: PRINCIPAIS PROBLEMAS E QUESTÕES TEÓRICAS TRATANDO E ESTUDANDO O ERRO A QUESTÃO DO ERRO SOB A NOVA PERSPECTIVA DA AVALIAÇÃO CLASSIFICAÇÃO DE ERROS ADOTADA PARA FINS DESTE TRABALHO 34 2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS NATUREZA DA PESQUISA SOBRE AS OLIMPÍADAS BRASILEIRAS DE MATEMÁTICA DAS ESCOLAS PÚBLICAS (OBMEP) HISTÓRICO DA REALIZAÇÃO DAS OBMEP COLETA DE DADOS ANÁLISE DAS QUESTÕES E CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS QUESTÃO 02 DE QUESTÃO 03 DE QUESTÃO 08 DE QUESTÃO 17 DE QUESTÃO 04 DE QUESTÃO 05 DE QUESTÃO 06 DE

11 3.8 QUESTÃO 04 DE QUESTÃO 08 DE CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXO A- PROVAS E QUESTIONÁRIOS APLICADOS ANEXO B- QUESTÕES SELECIONADAS PARA PESQUISA E SUAS SOLUÇÕES ANEXO C- TABELAS COM NÚMERO DOS ALUNOS QUE DEIXARAM QUESTÕES EM BRANCO, QUESTÕES SÓ COM RESPOSTAS E CORRETAS ANEXO D- TABELAS COM NUMERAÇÃO DAS QUESTÕES CONSIDERADAS DE GEOMETRIA, QUANTIDADES DE ACERTOS, QUESTÕES SEM PRODUÇÃO ESCRITA (EM BRANCO OU SEM JUSTIFICATIVA) E QUANTIDADE DE QUESTÕES PARA ANÁLISE ANEXO E- QUESTÕES EM ORDEM CRESCENTE DE ACERTOS ANEXO F- TABELA COM A CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS EM CADA QUESTÃO E A NUMERAÇÃO DOS ALUNOS DE ACORDO COM SEUS ERROS ANEXO G- PREMIADOS NO RIO DE JANEIRO E BAIXADA FLUMINENSE ANEXO H- RESOLUÇÃO DOS ALUNOS E ENTREVISTAS ANEXO H-1 Questão 02 de ANEXO H-2 Questão 03 de ANEXO H-3 Questão 08 de ANEXO H-4 Questão 17 de ANEXO H-5 Questão 04 de ANEXO H-6 Questão 05 de ANEXO H-7 Questão 06 de ANEXO H-8 Questão 04 de ANEXO H-9 Questão 08 de ANEXO I- COMENTÁRIOS DOS ALUNOS

12 10 INTRODUÇÃO Utilizo-me desta pesquisa para analisar, identificar, classificar e quantificar, de forma interpretativa, os tipos mais freqüentes de erros cometidos pelos alunos nas questões de geometria plana nas provas da primeira fase dos quatro anos da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Além disso, baseado em estudos e em minha experiência profissional, tento propor soluções pedagógicas para minimizar a ocorrência de tais erros. A idéia deste estudo surgiu em 2008 na terceira OBMEP. Na verdade, ela se origina de uma preocupação que tinha desde 2003 quando ingressei no ensino público, ao observar a reação espantosa da maioria dos alunos do terceiro ano do ensino médio, quando comuniquei que iriam ter aulas de geometria. Os mesmos alegaram nunca terem estudado a matéria, o que achei muito estranho, pois estavam concluindo o ensino médio. Com o tempo observei com mais atenção este fato, que foi confirmado em outras turmas de colégios diferentes da rede estadual do ensino fundamental e médio, principalmente quando participaram da primeira OBMEP, realizada em 2005, no meu primeiro ano como professor efetivo da rede estadual de ensino. Estas reações foram observadas também nos comentários feitos pelos alunos em um questionário que apliquei nesta pesquisa e que serão descritos e comentados ao longo deste estudo. Para compreender, analisar e investigar os procedimentos, processos e conceitos utilizados pelos alunos para resolverem questões de geometria da OBMEP, optei pela análise e classificação de erros como metodologia de pesquisa. Julguei também ser necessário estruturar este estudo em três capítulos, além das considerações finais e anexos. No primeiro capítulo, Leituras sobre o tema, apresento algumas leituras sobre o ensino da matemática, da geometria e análise e classificação de erros que servem como sustentação teórica a este trabalho. Essas leituras encontram-se distribuídas em cinco seções para melhor organização do capítulo. No capítulo dois, Procedimentos Metodológicos, escrevo sobre a natureza desta pesquisa, sobre a OBMEP, seu histórico e sua importância para educação matemática, relato como coletei os dados e justifico por que utilizo os procedimentos metodológicos de seleção e coleta desta pesquisa.

13 11 Utilizo-me do capítulo três, Análise das questões e classificação dos erros, para analisar as resoluções e tentativas de resoluções dos alunos, compreender de que maneira estes lidam com as informações contidas nos enunciados das questões e como as utilizam; analisar, classificar e inventariar os tipos de erros mais freqüentes; investigar por que alguns alunos às vezes não concluem a resolução de uma questão; e compreender os mecanismos de cálculos feitos pelos alunos e a linha de raciocínio seguida por eles para chegar a um resultado. Nas Considerações Finais são apresentadas algumas das dificuldades encontradas nos processos de resolução dos alunos durante a análise, sugestões de trabalho em sala de aula e o resumo das conclusões feitas em cada questão.

14 12 1 LEITURAS SOBRE O TEMA O objetivo deste capítulo é apresentar algumas leituras sobre o ensino da matemática, da geometria e análise de erros que servem como sustentação teórica a este trabalho. Também abordo o estudo de erros como ferramenta para o ensino e aprendizagem e atenho-me a classificação dos erros, para posterior análise de dados. Optei dividir o capítulo em cinco seções para facilitar a compreensão do leitor. Na primeira seção, trato do ensino e aprendizagem da matemática, sua importância na vida dos cidadãos inseridos na sociedade do conhecimento e da informação e trato um pouco das capacidades que as Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar citam como importantes. Na segunda seção, abordo a resolução de problemas como tendência apontada como ponto de partida para o ensino da matemática, especialmente da geometria. Na terceira parte, trato do ensino da geometria e seu abandono por docentes e escolas, tanto de ensino fundamental quanto médio. Contextualizo historicamente alguns aspectos da geometria e apresento como ela está hoje, bem como abordo alguns problemas e questões teóricas. Na quarta, faço um estudo de análise de erros, partindo de concepções mais clássicas sobre o conceito, passando pela avaliação, como era tratada e como é vista hoje após as reformas, ou tentativas de reformas, realizadas nas escolas em geral e justifico o conceito que utilizo de erro. Finalmente, apresento a classificação de erros que adoto para posterior análise de meus dados, o motivo da escolha da metodologia de pesquisa e da forma que foi realizada.

15 O ENSINO DE MATEMÁTICA...a matemática é o estilo de pensamento dos dias de hoje, a linguagem adequada para expressar as reflexões sobre a natureza e as maneiras de explicação (D AMBROSIO, 1998, p ). Compartilho com Cury (2007) a idéia de que a análise dos erros dos alunos, além de ser uma metodologia de pesquisa, pode se caracterizar também em uma metodologia de ensino, especialmente se for usada em sala de aula com a intenção de ser tornar trampolim para aprendizagem, como menciona Borasi (1985). A análise de erros se torna mais uma ferramenta para o ensino de matemática, pois faz com que os alunos detectem seus erros, questionem suas respostas e construam seu próprio conhecimento, além de servir como base diagnóstica de suas dificuldades de aprendizagem. Neste sentido, podemos pensar que o professor é o profissional que deve conduzir o aluno da melhor forma na construção do conhecimento e no diagnóstico das dificuldades. Os estudos sobre erros têm sido de grande valia para o ensino da matemática, especialmente a partir do último século quando houve um aumento significativo no número de pesquisas e publicações sobre o assunto. Trabalhos de pesquisadores como Radatz (1979, 1980), Borasi (1985, 1987, 1996), Rico (1995), Souza (2002), Esteban (2003), Buriasco (1999, 2004), Silva e Buriasco (2005), Garnica (2006), Fiorentini (2006), Pinto (2000), Perego (2006), Santos (2007), Cury (2004, 2006, 2007, 2008) dentre outros, forneceram subsídios teóricos para a área de Ensino de Matemática. Na sociedade em que vivemos hoje, faz-se necessário re-significar o ensino de matemática. A sociedade do conhecimento (RIVERO & GALLO 2004, p. 9) e da informação requer a formação de cidadãos que estejam, de uma maneira geral, mais preparados para interagir, manipular, absorver uma gama imensa de informação e transformá-la em conhecimentos úteis para o seu dia-a-dia. Numa sociedade na qual o conhecimento é a principal moeda de troca (RIVERO & GALLO 2004, p. 9), não é mais possível assumir aulas de matemática que acontecem seguindo um modelo predeterminado de ensino, no qual, o professor apresenta definições seguidas de exemplos e atividades de aplicação direta do conteúdo recém-apresentado. É preciso formar alunos que estejam aptos a perceber e enfrentar mudanças rápidas e constantes e intervir de forma criativa e crítica nos problemas de seu cotidiano.

16 14 Um ensino mais voltado para capacitação do aluno no enfrentamento de problemas do cotidiano deve se preocupar com a qualidade dos conhecimentos adquiridos, a memorização de algoritmos, definições, além de desenvolver no estudante seu senso critico, a cooperação entre pares menos e mais experientes e sua autonomia, o aluno é um ser que precisa pensar, não mero repetidor de fórmulas e padrões de solução de problemas apresentados e/ou impostos pelo professor. Em um estudo publicado em 1998, Gouvêa defende esse argumento: Alguns alunos decoram definições e teoremas não compreendidos, o que ficou retido, incapazes de aplicá-los nas atividades. Com isso permanecem desmotivados e têm geralmente um comportamento passivo em sala de aula (Ibid., p. 190) Entendo que o conhecimento apresentado como pronto e acabado, dificulta o desenvolvimento de habilidades apontadas como valiosas por muitos pedagogos e estudiosos da educação como: autonomia de pensamento, criticidade, reflexão sobre diversas formas de se chegar à resolução de um dado problema. O professor passa a ser visto como detentor de todo o conhecimento matemático e ao aluno cabe apenas copiar esse modelo, descartando estratégias de resolução de problemas antes já utilizadas por ele em sua vida fora da escola e que poderiam ser refinadas durante as aulas de matemática. Segundo Fiorentini (1995), a matemática é: [...] um saber vivo, dinâmico e que, historicamente, vem sendo construído, atendendo a estímulos externos (necessidades sociais) e internos (necessidades teóricas da ampliação dos conceitos). Esse processo de construção foi tortuoso. É obra de várias culturas e de mulheres e de homens que, movidos pelas necessidades concretas, construíram coletivamente a Matemática que conhecemos hoje (Ibid.,p. 31). A matemática fora de seus domínios se constituiu ao longo dos tempos como uma ferramenta para a solução de problemas cotidianos, científicos e tecnológicos Silva (2005, p. 14) e, conseqüentemente, promotora do desenvolvimento da humanidade. Para tal, é preciso repensar a forma como se planeja seu ensino. Segundo Silva (2005) a mecanização de processos sem compreensão dos mesmos, como treino de habilidades tem contribuído por acumular altos índices de reprovação em matemática. Tendo isto em mente, acredito

17 15 ser necessário buscar uma diversidade de atividades e mecanismos capazes de desenvolver nos alunos o pensamento lógico, crítico e aproveitar a capacidade criativa destes para lidar com o intenso volume de informações (que perpassam a vida tanto fora como dentro da sala de aula), e com a tecnologia que se faz cada vez mais presente na vida das pessoas. Segundo a mesma autora: Aspectos como o desenvolvimento de um pensamento criativo, crítico e lógico, bem como de capacidades para lidar com as informações e com a tecnologia que são necessárias para a vida na sociedade moderna acabam recebendo pouca ou nenhuma atenção (Silva; 2005, p. 10). Um outro aspecto a abordar quanto ao ensino da matemática, diz respeito à maneira como o professor vê seus alunos. Acredito que seja necessário entendêlos como sujeitos social, cultural e historicamente constituídos, que vêm construindo e acumulando conhecimentos muito tempo antes de chegarem às salas de aula, desde o seu nascimento. Sendo assim, de nada adiantaria propor atividades que não tivessem relação alguma com o contexto de vida destes alunos. É preciso que o professor de matemática entenda a necessidade de contextualizar 1 suas aulas e atividades, de desafiar o aluno, de basear o que ensina no conhecimento, nas informações que esses alunos trazem para a sala de aula e na experiência em resolver problemas que o aluno já adquiriu em sua trajetória de vida antes mesmo de estar inserido em um sistema educacional. Segundo Bertonha (apud Pereira, 2001): (...) um outro ponto, em relação à bagagem do aluno: - em vista que cada um traz para a sala de aula as suas experiências pessoais as informações recebidas de forma extra-escolar e os conhecimentos já adquiridos têm de ser considerados. (p. 22) Ao perceber a matemática como uma matéria inatingível, que não tem nada a ver com sua realidade, o aluno acaba se desestimulando e achando tudo muito complicado e difícil. Talvez este seja um dos pontos para comentários que muitos professores ouvem de seus alunos, tais como: Não gosto de Matemática., Matemática é difícil, dentre outros. A valorização do conhecimento prévio do aluno 1 Compreendo atividades contextualizadas como aquelas em que se resgatem e utilizam-se os conhecimentos prévios e as informações que o aluno traz do seu cotidiano como, por exemplo; jornais, revistas e receitas de bolo, criando um contexto que irá dar um "significado" ao tema em questão e propor assim um problema.

18 16 e o desenvolvimento de habilidades a partir do que o aluno tem como base é imprescindível para uma formação matemática de qualidade. Muitos professores, ao trabalharem os conteúdos de forma descontextualizada e sem estabelecer relações entre eles, parecem contribuir, mesmo sem perceber, com o mito de que a Matemática é uma disciplina difícil e feita para poucos (Silva, 2005, p. 16). Segundo Onuchic e Allevato (2004) as mudanças sugeridas pelo National Council of Teachers of Mathematics USA (NCTM) uma organização profissional, sem fins lucrativos e a principal organização para professores de Matemática desde a escola pré-primária à escola secundária nos Estados Unidos, influenciaram no Brasil em quase todos os aspectos do ensino e aprendizagem da Matemática, a criação dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCN). As Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar (NCTM 2, 1991) apontam algumas capacidades atuais que precisam ser desenvolvidas nos discentes: - aprender a dar valor à Matemática; - tornar-se confiante nas próprias capacidades; - tornar-se apto a resolver problemas de Matemática; - aprender a comunicar-se matematicamente e - aprender a raciocinar matematicamente. De acordo com tais Normas, o objetivo de levantar essas capacidades é fazer com que o docente de matemática repense a forma como planeja suas aulas, propondo um ensino mais significativo, identificando em seus alunos conhecimentos e estratégias conhecidas ou desenvolvidas e partir destes para o desenvolvimento de capacidades e habilidades que requeiram mais atenção e abstração sem a exigência de memorização de definições ou conceitos, ou seja, oferecer um ensino que todos os alunos necessitam para serem cidadãos produtivos no século XXI. Se não é dada a oportunidade a todos os alunos de aprender esta matemática, corremos o risco de criar uma elite intelectual e uma sociedade polarizada (NCTM, 1991, p.10). 2 Normas para Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar (1991) e Normas para Avaliação em Matemática Escolar (1999) do NCTM.

19 17 Para Rivero & Gallo (2004), o século XXI promete ser um período atravessado por um volume imenso de informações e conhecimentos, necessários ou não. Um período que exigirá dos cidadãos capacidade crítica para selecionar, gerir e digerir informações, que, conseqüentemente levará a constituição de uma sociedade que privilegiará a rápida tomada de decisões e a capacidade de pensamento lógico. Para que nossos alunos se sintam inseridos nesta sociedade, é necessário que o professor de matemática, desenvolva um ensino mais condizente com essa realidade. Frente a tudo isto, a matemática escolar precisa ser ensinada de forma a ampliar seu próprio significado fora da sala de aula, ou seja, o aluno precisa dispor de conhecimentos básicos para a sua vida. Por outro lado, o professor de matemática deve dar ênfase aos trabalhos em grupo realizados durante suas aulas. Entendo, após este breve estudo sobre o Ensino de Matemática, que para que este tenha mais validade para os alunos, é preciso que o professor aceite as diferenças individuais e valorize as diferentes estratégias empregadas pelos aprendizes para a solução de problemas. Enquanto professor da rede pública, municipal e estadual, sei o quanto é difícil identificar estratégias individuais num universo de 45 ou mais alunos em sala de aula. Mas entendo também que é preciso abrir espaço no planejamento para ouvir meus alunos e discutir com eles as estratégias utilizadas para a solução de problemas ou atividades. Propor um trabalho voltado para entender como os alunos utilizam seus conhecimentos matemáticos construídos tanto na sala de aula como fora dela em seus contatos com sua família, amigos e problemas matemáticos de seu cotidiano para resolver problemas pode facilitar o entendimento por parte do professor de como esses alunos abordarão questões matemáticas que lhes são apresentadas em sala de aula. 1.2 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA SOLUÇÃO APONTADA Como visto na seção anterior, muitos são os fatores que afetam o ensino da matemática. Frente a tudo isso, foram propostas algumas deliberações no intuito de facilitar a maneira como o ensino matemático é visto. Foram sugeridas algumas

20 18 alternativas como a Resolução de Problemas, a História da Matemática, a Modelagem, a Etnomatemática, e a Investigação Matemática, muitas destas ainda pouco conhecidas, devido à ausência de pesquisas significativas na área, ou interpretadas de modo equivocado por muitos professores brasileiros. Segundo Silva (2005, p. 19), de todas essas tendências, a mais utilizada e apontada pelos PCN/EM e NCTM como ponto de partida para o ensino matemático é a Resolução de Problemas. Os PCN/EM indicam como objetivos do ensino da matemática: Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo. Utilizar com confiança procedimentos de Resolução de Problemas para desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos (p. 85). Mas antes de ater-me especificamente na Resolução de Problemas, acredito ser necessário definir problema matemático. Segundo Dante (2005) um problema é qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-lo: e um problema matemático é qualquer situação que exija a maneira de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la (Ibid., p ). Silva (2005, p. 19) ressalta que o trabalho com problemas não deve ser entendido como uma forma de aplicação de conhecimentos e sim como uma oportunidade viável para o professor iniciar suas atividades com conteúdos. A utilização de Resolução de Problemas oferece ao docente a oportunidade de explorar os resultados obtidos e levantar as estratégias utilizadas pelos alunos para a obtenção dos resultados, ou seja, há a valorização do processo em detrimento ao produto. Perez (1989 apud PEREIRA 1991, p. 36), em um estudo com crianças carentes: sugere uma prática pedagógica com ênfase no aluno, no desenvolvimento de sua criatividade via Resolução de Problemas. Desta forma, pode-se generalizar, dizendo que o trabalho com a Resolução de Problemas favorece a possibilidade de mobilização de conhecimentos prévios; a elaboração de estratégias de resolução; leva ao desenvolvimento da compreensão de alguns conceitos; favorece a aplicação e a revisão de processos que já foram aprendidos ou apresentados; possibilita a comparação de resultados e propiciam uma análise mais profunda das respostas, ou seja, sua existência e adequação.

21 19 Entretanto, não basta que um professor de matemática opte simplesmente pela utilização da Resolução de Problemas como uma alternativa para tratar o ensino da matemática em sua sala de aula. Perez (1989 apud PEREIRA1991) traça um perfil desse profissional que trabalhará com a resolução de problemas: (...) deve ser competente, comprometido, com uma prática pedagógica. O mesmo deve assumir uma postura política de transformação da comunidade. Precisa ter claro para si que só há sentido em ensinar quando for capaz de se colocar à disposição do aluno, adaptar-se a sua linguagem e aos seus modos de socialização, proporcionando intensa relação dialógica professoraluno (p. 36). Um aspecto que deve ser levado em conta na estratégia de resolução de um problema no ensino é a perda de significado. Segundo Carraher et al (1998) [...] um problema não perde o significado para a criança porque usa uva ao invés de pitomba ou pitomba ao invés de uva como a fruta do exemplo. O problema perde o significado porque a resolução de problemas na escola tem objetivos que diferem daqueles que nos movem para resolver problemas de matemática fora da sala de aula. Perde o significado também porque na sala de aula também não estamos preocupados com situações particulares, mas com regras gerais, que tendem a esvaziar o significado das situações. Perde o significado também porque o que interessa à professora não é o esforço de resolução do problema por um aluno, mas a aplicação de uma fórmula, de um algoritmo, de uma operação, predeterminados pelo capítulo em que o problema se insere ou pela série escolar que a criança freqüenta (Ibid., p.22). Como professor de matemática, observo que primeiro, é preciso pensar se os problemas propostos são adequados à realidade dos alunos, a série e a idade destes, se eles fazem sentido. Se não está exigindo um nível de abstração que o aluno ainda não desenvolveu. Segundo, o problema apresentado e resolvido na escola precisa ter o mesmo objetivo daquele que o aluno terá de resolver em sua vida real. Não adianta nada propor um problema que exija alto grau de concentração e abstração do aluno se na vida real ele nunca precisará de tanto esforço para resolver um problema. Finalmente, o professor não precisa se preocupar o tempo todo com a memorização de regras gerais e com a aplicação correta ou não de

22 20 fórmulas. O aluno pode chegar a respostas por outros caminhos que precisam ser investigados. Outro aspecto importante recai na maneira como o problema é formulado. Isso influi muito no nível de interesse que o aluno dispensará para tal. Butts (1997) apresenta como o conjunto dos problemas pode ser dividido: a) exercícios de reconhecimento; b) exercícios algorítmicos; c) problemas de aplicação; d) problemas em aberto; e e) situações-problema. Segundo a descrição de Buriasco (2002, p.261), os exercícios de reconhecimento são aqueles que requerem do aluno apenas o reconhecimento ou lembrança de um fato ou de uma definição. Os exercícios algorítmicos podem ser resolvidos por meio do uso de um algoritmo, ou seja, um procedimento passo-apasso. Já os problemas de aplicação requerem mudança da linguagem escrita com palavras para uma linguagem matemática adequada de modo que se possam identificar e utilizar os algoritmos apropriados para a resolução dos mesmos. Os problemas em aberto demandam um conhecimento e contato matemático maior dos alunos, pois não apresentam no seu enunciado qualquer pista válida para sua resolução. As situações-problema, entretanto, são aquelas nas quais a primeira coisa que o aluno deve fazer é identificar o problema inerente, a partir da solução desta ele consegue manejar as próprias situações. A classificação apresentada tem como objetivo mostrar ao professor como os problemas podem ser graduados, exigindo capacidades mais simples dos alunos até aqueles que exigem um maior grau de abstração e conhecimento matemático. O importante é que o docente entenda que cada tipo de problema propicia certo grau de desenvolvimento no aluno e que é importante dar atenção a todos os tipos de problema, respeitando, é claro, o nível dos alunos, as operações de pensamento necessárias para a compreensão da situação apresentada no problema. Outro aspecto importante é valorizar problemas que desenvolvam o senso de criatividade dos estudantes, problemas que possibilitem estabelecer conexões entre conceitos aprendidos em sala de aula e o uso de diferentes estratégias para se chegar as mesmas soluções.

23 21 Pelo que foi abordado nesta seção, considero que a Resolução de Problemas é uma metodologia eficaz para a análise e classificação dos erros cometidos pelos alunos, pois possibilita que se valorize não só o produto do aluno, mas principalmente o processo desenvolvido por ele. Por esse motivo, facilita a exploração: dos conhecimentos prévios; de estratégias de resolução; de alguns conceitos; de processos que já foram aprendidos ou apresentados; de resultados e propiciam uma análise mais profunda das respostas. 1.3 O ENSINO DA GEOMETRIA Viana (2000) afirma que as formas geométricas presentes no cotidiano podem ser materializadas, vistas e apreciadas pelas crianças, mas, assim como na história da humanidade, a observação pura e simples não é capaz de levar os indivíduos a construir os conceitos geométricos envolvidos na construção de tais formas. Para tanto, é necessário que os indivíduos dominem uma imensa teia de conceitos matemáticos que não se restrinja a simples observação de formas. O ensino de Geometria será capaz de promover tal habilidade nestes alunos. Nesta seção, atenho-me um pouco a questões relacionadas ao ensino da Geometria, uma vez que o foco de meu trabalho é a análise de respostas de alunos a problemas de geometria plana. Para tal, traço um rápido perfil histórico do ensino da Geometria e abordo questões atuais, problemas e possíveis soluções relacionadas também ao ensino desta área de conhecimento COMO TUDO COMEÇOU: UM BREVE RETROSPECTO Várias teorias tentam explicar de que modo o estudo da Geometria surgiu. Uma das teorias mais conhecidas aponta que a geometria teria surgido com Euclides em 300 a.c. quando escreveu Os Elementos, obra composta por um conjunto de 13 volumes, apresentando uma síntese do conhecimento matemático da Grécia Antiga.

24 22 Segundo essa teoria, a Geometria teria surgido de forma organizada e lógica. Mas para Freudenthal (1973 apud VIANA, 2000), um estudioso da Geometria, esta área do conhecimento teria surgido bem antes de Euclides: quando o ser humano começou a organizar as suas experiências com o espaço, ou seja, quando o homem começou a perceber, reconhecer e comparar formas existentes na natureza ele, na verdade, já estava iniciando a conceituação básica da Geometria. Através da observação da natureza, os indivíduos passaram a perceber as regularidades e irregularidades das formas, construindo uma geometria intuitiva que depois, devido a estudos mais específicos, viria a se tornar a geometria cientifica. Segundo Engels (1975 apud VIANA, 2000), foi a necessidade e o contato com o trabalho que levou o homem a geometrizar o mundo. Aleksandrov (1974 apud VIANA, 2000) acrescenta que as formas geométricas já existiam na natureza, ou seja, eram anteriores a sua reprodução pelos homens em seus objetos do cotidiano. Concluindo, Guedes (1992 apud VIANA, 2000) aponta que a geometria teria nascido como uma ciência empírica ou experimental e depois se tornou uma ciência matemática. Para o mesmo autor, o homem teria descoberto as vantagens de uma determinada forma, ou seja, teria usufruído da regularidade e semelhanças de algumas formas já existentes na natureza para confeccionar objetos que seriam utilizados em seu dia-a-dia, facilitando assim seu trabalho ou vida doméstica. O fato do ser humano ter se apoderado destas formas reforça a consciência do homem sobre elas O ENSINO DA GEOMETRIA NOS DIAS DE HOJE: PRINCIPAIS PROBLEMAS E QUESTÕES TEÓRICAS Apesar dos PCN (1997) apontarem metas de execução do ensino da matemática, objetivando adequá-lo às novas demandas sociais, econômicas e culturais, várias pesquisas (PAVANELLO, 1995; VIANA, 2000) e avaliações oficiais (INAF, 2004; SAEB, 1999, 2001 e 2003) vêm mostrando o baixo desempenho dos alunos da Educação Básica nessa disciplina, em especial no que se refere aos conteúdos de Geometria.

25 23 Segundo Pavanello (1995), o desempenho insatisfatório dos alunos em relação à geometria decorre do abandono dessa área de conhecimento pela escola. As explicações dos matemáticos sobre os motivos que teriam levado à desenfatização do ensino de geometria basicamente a euclidiana nos diferentes graus de ensino concentram-se em torno de questões geralmente relacionadas com o rigor, à visualização e o que poderia chamar-se de subordinação da geometria à álgebra (ibid, 1989, p. 11). Isto se deve, em parte, ao fato de o professor não ter aprendido em sua formação escolar e profissional esse tipo de conhecimento e sentir-se incapacitado e inseguro para abordá-lo em aula. Outro ponto importante que deve ser levado em consideração é o fato de muitos professores de matemática reservarem o quarto bimestre do ano letivo para o ensino de geometria. Venho observando essa tendência, enquanto professor de matemática atuante na rede pública de ensino. Julgo que ela afeta negativamente as estatísticas quanto ao desempenho de nossos alunos nas avaliações oficiais. O que ocorre é que muitos fatores externos e independentes de nossa vontade tem reduzido este tempo destinado ao ensino da Geometria: greves, paralisações, festas, falta de luz, água, dentre outros. Encontro reforço para esta minha assertiva em um estudo realizado por Perez e citado por Pereira (2001, p. 35): há pouco ensino de Geometria em nível de 1º e 2º graus, quer seja por faltar tempo; por estar sempre no final dos planejamentos. O Ensino de Geometria acaba sendo esquecido. Às vezes ele chega a ser iniciado, mas seu trabalho é feito rápido demais e os alunos acabam não tendo tempo suficiente para entender os conceitos que se pretende ensinar. Segundo Bertonha, que realizou um trabalho nesta área com alunos da antiga 5ª série já apontava o mesmo problema: (...) o estudo de Geometria era importante, mas, como o programa de matemática, a cada série, é muito extenso, e os tópicos referentes à geometria são sempre finais, nem sempre é possível cumprir toda a programação devido ao curto espaço de dias letivos (1989, p. 2-3).

26 24 A dificuldade que os alunos apresentam em geometria também pode ser constatada nos dados coletados 3 presentes nas tabelas (Anexo E) de questões da OBMEP da primeira fase de A menor quantidade de acertos é, de fato, nas questões de geometria. Para reforçar ainda mais os argumentos desta seção cito um trecho da Revista do Professor de Matemática nº68 de 2009 que trata exatamente de uma questão de geometria plana presente na primeira fase da OBMEP de 2008, escrito por Suely Druck Diretora Acadêmica da OBMEP e também professora da Universidade Federal Fluminense (UFF). A segunda questão, aplicada na prova do nível 2, trata de Geometria, assunto que tem sido muito sacrificado, quando não completamente omitido das nossas salas de aula. O pouco, ou quase nenhum, tempo dedicado à Geometria em muitas escolas tem como conseqüência o baixo desempenho de nossos alunos em questões sobre o assunto, mesmo naquelas que só envolvem conhecimentos absolutamente elementares de Geometria. É comum nas provas da OBMEP os alunos confundirem perímetro com área ou, mesmo ainda, ignorarem o significado da palavra perímetro (2009, p. 97). Outro problema levantado em outros estudos se relaciona ao conteúdo presente ou não na grade curricular da maioria das escolas e como ele é entendido (VIANA, 2000). Muitas vezes os docentes não conseguem entender a definição ou escopo do conteúdo apresentado pelas unidades escolares ou nos livros didáticos. Partindo para um entendimento do que significa conteúdo, Coll (1998 apud VIANA, 2000) o define como o conjunto de conhecimentos ou formas culturais cuja assimilação e apropriação é considerada essencial para o desenvolvimento e socialização do aluno. Pozo (1998 apud VIANA 2000) defende que, no processo de apropriação do conhecimento, a aprendizagem deve ser significativa para o aluno. Os conteúdos, então, exercerão um papel importante na concretização das intenções educativas (POZO apud VIANA, 2000). Para Coll (1998 apud VIANA 2000), os conhecimentos escolares são compostos de fatos e conceitos, procedimentos e atitudes. No caso da matemática, penso que, os professores precisam entendê-los e dominá-los. Para o autor, os fatos constituem a informação de qualquer área de conhecimento, cientifica ou não. 3 Utilizei nesta tabela dados do colégio onde realizei a pesquisa como também de outro colégio público do município de Duque de Caxias, um total de mais de setecentos alunos de Ensino Médio.

27 25 Aprender conceitos, fatos e princípios, então, seria o mesmo que declarar coisas sobre as pessoas, objetos e acontecimentos, equivalendo a reconhecê-los, compreendê-los, relacioná-los estabelecendo novas conexões. Os procedimentos podem ser definidos como os passos por meio dos quais o pensamento é guiado durante uma ação. Dentre os procedimentos, merecem maior destaque aqueles que resultam de um curso de ações e decisões de ordem interna e que envolvem símbolos, representações, idéias, imagens, conceitos ou outras abstrações. Viana (2000) acrescenta a essa definição dizendo que os conceitos e procedimentos estão sempre em estreita vinculação. Assim, como os procedimentos e as atitudes, os conceitos são de fundamental importância para a aprendizagem da geometria. É importante que o professor de matemática tenha isso em mente quando pretende ensinar Geometria. Brito (1996 apud VIANA, 2000) assinala que a aprendizagem de conceitos desempenha um papel fundamental na construção de conhecimentos de um indivíduo e que o aprendizado de geometria nada mais é que estabelecer relações significativas numa extensa rede conceitual. Quanto mais entrelaçada maior a possibilidade de proporcionar ao aprendiz o domínio nessa área do conhecimento. Para Viana (2000), fazem parte do conhecimento de qualquer área os três tipos de conteúdos: conceitos, habilidades e atitudes e ressalta que para estudar as habilidades convém levar em consideração dois fatores: o primeiro se relaciona diretamente ao próprio conceito de habilidade e o outro está intimamente ligado à dimensão do conteúdo que realmente deveria ser ensinado nas escolas, neste caso geometria. Em relação ao primeiro fator, para que o aluno apresente um bom desempenho em uma atividade de matemática são importantes dois aspectos: a habilidade matemática e as condições psicológicas gerais, como atitudes positivas em relação à atividade, traços de personalidade, estado mental e um conjunto de conhecimentos, destrezas e hábitos previamente desenvolvidos (VIANA, 2000). Segundo o mesmo autor, para contextualizar as habilidades no ambiente escolar é importante questionar como a geometria é vista e considerada nos Ensinos Fundamental e Médio. Nessa perspectiva, Usiskin (1994 apud VIANA 2000) constatou que existem diferentes dimensões na maneira de se compreender e ensinar geometria e dependendo da dimensão dada ao ensino de geometria algumas habilidades podem se desenvolver mais em detrimento de outras. Segundo Hoffer (1981 apud VIANA 2000), o ensino de geometria nos Ensinos Fundamental e

28 26 Médio deve proporcionar oportunidades para que várias habilidades sejam desenvolvidas. Para tal, o autor descreve algumas habilidades geométricas, abaixo resumidas por mim, que deveriam ser desenvolvidas pela escola: a) Visual capacidade de ver objetos e representações e de deduzir transformações, reconhecer figuras diferentes de um desenho, estabelecer propriedades comuns de diferentes tipos de figuras e informações a partir de uma figura. b) Verbal se refere ao uso das palavras que designam conceitos e relações entre os conceitos. Pode ser desenvolvida partindo de análises de propriedades. c) Gráfica (de desenho) habilidade para desenhar formas, como saber medidas de seguimentos, ângulo reto, mediatriz, perpendicularismo, utilizar corretamente os instrumentos de desenhos como régua, transferidor, esquadro, régua não graduada e compasso. d) Lógica classificar figuras de acordo com suas semelhanças e diferenças, estabelecer propriedades, incluir classes, deduzir conseqüências com base em informações dadas e entender as limitações de hipóteses e teoremas. e) de aplicação aplicações práticas. Observo que o ensino da Geometria implicaria desenvolver estas habilidades desde muito cedo na vida do aluno. Quanto mais desenvolvidas estiverem, maior será seu poder de abstração, evitará buscar excessivo apoio no concreto, o que será mais detalhado ao longo de outras seções. Segundo outro estudo realizado por Viana (2000), essas habilidades podem ser aprendidas em conjunto com os conceitos geométricos que as acompanham. Para auxiliar o trabalho do profissional da matemática, o autor sugere procedimentos de geometria como construir figuras com ou sem régua e compasso, realizar medições, aplicar fórmulas para a solução de problemas, realizar planificações de figuras espaciais, compor e decompor figuras e realizar secções em figuras. Através do desenvolvimento da habilidade de planificação de figuras, os alunos mostram não apenas sua percepção visual da figura tridimensional, mas também a habilidade que já desenvolveram de reproduzir de maneira organizada as partes do todo de forma que essas partes possam ser reunidas novamente e reconstruir a figura no espaço. Nesse tipo de atividade estão envolvidos conceitos importantes como arestas, vértices e faces de figuras geométricas sólidas.

29 27... o que caracteriza o trabalho de Geometria nas séries iniciais é a predominância de concretização sobre a simbolização. Mais importante que definir e designar, como ações meramente repetidoras das palavras e proposições que o professor fala ou escreve, é observar, descrever, comparar, tocar, construir. Esta fase inicial se caracteriza por atividades ligadas à ação: o aluno manipula e constrói objetos das mais variadas formas para então analisar suas características físicas e geométricas. (CASTILLO, 1989 apud KALEFF, 1994, p.22) Penso que no trabalho inicial com a Geometria a ação sobre o objeto é essencial para compreensão de suas partes e pode favorecer processos de abstração posteriores. O pensamento visual tem sido muito valorizado no ensino da matemática principalmente através das recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais (MEC,1998, p.23), o problema é que os alunos demoram a sair da fase da concretização para a abstração o que dificulta a aprendizagem em geometria. Por isso, concordo com Hershkowitz (1996) quando afirma que, assim como ensinamos habilidades relativas a cálculos e à dedução, devemos trabalhar com a habilidade de visualizar figuras espaciais, ou seja, trabalhar com geometria desde as séries iniciais, para que não se torne uma surpresa ou cause medo quando vista pela primeira vez depois de alguns anos de escolaridade. Além do pensamento visual, os PCNs (1997, p.88-89), definem que o ensino de geometria deve abordar vários conteúdos, dentre eles: o reconhecimento de semelhanças e diferenças entre corpos redondos (esfera, cone, cilindro e outros), entre poliedros (como os prismas, as pirâmides e outros) e identificação de elementos como faces, vértices e arestas, a composição e decomposição de figuras tridimensionais, identificando diferentes possibilidades e a exploração das planificações de figuras tridimensionais como um trabalho inicial da Geometria. Tendo todas essas questões em mente, acredito que ao optar pelo estudo do erro, este possa se caracterizar em uma ferramenta pedagógica para analisar os problemas apontados sobre o ensino da geometria, gerar entendimentos e propostas diretamente voltadas para minimizar erros dos alunos ao resolverem problemas que envolvam a Geometria Plana.

30 TRATANDO E ESTUDANDO O ERRO Como tratado e observado ao longo deste capítulo, vários são os autores e pesquisadores que discutem e propõem novos objetivos para o Ensino da Matemática. Acredito que essas pesquisas se caracterizem, entre outros aspectos, em tentativas de melhorar os índices de aprovação tanto nas escolas de ensinos fundamental e médio como nas avaliações oficiais as quais estes alunos se submetem. Tais pesquisas tratam de novas interpretações para o currículo escolar, mudanças nos papéis desempenhados por professores e alunos em sala de aula, bem como novas metodologias de trabalho que venham a facilitar o trabalho e a inserção de nossos alunos no mundo matemático. Devido ao grande número de pesquisas sobre erro, passou-se a compreender melhor sua utilização enquanto ferramenta pedagógica em sala de aula. Segundo Silva (2005, p. 49), o erro adquire um significado pedagógico, ou seja, ele deixa de ser o vilão da história educacional, o motivo de punições, de apontamento do fracasso ou incapacidade do aluno, para ganhar status de ferramenta educacional. Ainda segundo a referida autora, através da análise dos erros é possível obter informações sobre como o aprendizado dos alunos está acontecendo, que mecanismos e habilidades lançam mão para chegar a soluções, mesmo que não adequadas. Sendo assim, nessa nova visão que se implementa aos poucos, esperase conceber o erro como um meio de desenvolvimento. É através dele que o aluno testa suas hipóteses, suas idéias de como chegar à resolução de um problema. Para tal, é importante que o professor entenda a situação que motiva o erro para depois procurar meios para ajudar o aluno a superá-lo. Vários autores já tratam o erro sob essa nova perspectiva. Segundo Luckesi (1990), [...] o erro poderia ser visto como fonte de virtude, ou seja, de crescimento. O que implicaria estar aberto a observar o acontecimento como acontecimento, não como erro; observar o fato sem preconceito, para dele retirar os benefícios possíveis. Uma conduta, em princípio, é somente uma conduta, um fato; ela só pode ser qualificada como erro, a partir de determinados padrões de julgamento (Ibid., p. 136).

31 29 O mesmo autor acredita que os erros devem servir também de ponto de partida para o desenvolvimento cognitivo. Sendo assim, muitos deles serão superados pelos alunos à medida que são identificados e compreendidos. Assim entendido, o erro [...] é visto e compreendido de forma dinâmica, na medida em que contradiz o padrão, para, subseqüentemente, possibilitar uma conduta nova em conformidade com o padrão ou mais perfeita que este (LUCKESI, 1990, p. 139). Passa a ser papel do professor, ajudar os alunos a entenderem por que não conseguiram chegar às respostas corretas, abolir, como dito anteriormente, a visão do erro como motivo para repreender os alunos e atribuir-lhes notas baixas. Tomar os erros como um tipo de índice de que o aluno não sabe fazer, não tem estudado e não como um índice de que o aluno sabe alguma coisa parcial, incorreta e que, portanto é preciso trabalhar com ele para, a partir daí, construir um conhecimento correto (BURIASCO, 2000, p.169) não faz com que os erros ganhem uma dimensão, um significado pedagógico maior. Outra questão importante e que alguns teóricos defendem é que muitos professores ainda ignoram que diferentes tipos de erros exigem diferentes ações. Assim como cada aluno utiliza estratégias e habilidades diferentes para desenvolver uma questão, erros também podem se apresentar de diferentes formas. Defendo, então, que a primeira coisa a fazer é o professor aprender a identificar os diferentes tipos de erros, distinguir qual a natureza de cada um deles, bem como que ações precisa realizar para explorá-los e que a exploração do erro serve também para o aperfeiçoamento do professor, fazer com que os alunos os entendam de forma a saná-los. De acordo com os PCN, quando [...] o professor consegue identificar a causa do erro, ele planeja a intervenção adequada para auxiliar o aluno a avaliar o caminho percorrido. Se, por outro lado, todos os erros forem tratados da mesma maneira, assinalando-se os erros e explicando-se novamente, poderá ser útil para alguns alunos, se a explicação for suficiente para esclarecer algum tipo particular de dúvida, mas é bem provável que outros continuarão sem compreender e sem condições de reverter a situação (BRASIL, 2001, p. 59). Trabalhar com os erros dos alunos pode ser um excelente exercício de reflexão sobre o que ele pensa de determinado assunto. Mas para que isso aconteça, é necessário que o docente esteja empenhado em criar oportunidades e

32 30 espaço para essas análises e discussões. Que o aluno seja incentivado e tenha a oportunidade de realizar tentativas, não se importando se elas estarão corretas ou não, pois elas não se caracterizarão em erros e sim em fonte de aprendizagem. Para Buriasco (2000), grande parte dos educadores matemáticos enfatiza que em lugar de ser protegido do erro, o aluno deveria ser exposto ao erro muitas vezes, ser encorajado a detectar e a demonstrar o que está errado, e por quê (Ibid., p. 169). O erro precisa ser encarado, tanto pelo professor como pelo aluno, como uma etapa a ser vencida, não como um obstáculo à aprendizagem. Nesse cenário entra em cena a re-significação e re-estruturação do papel da avaliação, que será tratada no próximo item que se faz necessário para que se possa entender melhor o novo enfoque dado ao erro A QUESTÃO DO ERRO SOB A NOVA PERSPECTIVA DA AVALIAÇÃO Cabe a observação de que a OBMEP não é uma prova de avaliação dos alunos da escola pública; ela premia alunos e escolas, conforme será exposto oportunamente. Entretanto nesta dissertação, eu a utilizei para verificar os erros cometidos pelos alunos e como tal, pode ser interpretada como uma forma de avaliação, conforme está definido por Luckesi (2002) que a avaliação pode ser caracterizada como uma forma de ajuizamento da qualidade do objeto avaliado, fator que implica uma tomada de posição a respeito do mesmo, para aceitá-lo ou transformá-lo (Ibid., p. 33). O importante é que eu saiba que esta avaliação, relacionada à análise de erros, contribuirá para a construção do conhecimento do aluno e do professor e em que medida isso ocorrerá e se é utilizada para buscar informações relevantes para refletir sobre a prática pedagógica. Nessa nova perspectiva, a avaliação serve para o aluno como reguladora de sua aprendizagem, orientando-o para que ele tenha autonomia para perceber suas dificuldades, analisá-las e descobrir caminhos e então superá-las. Para o professor, a avaliação serve para que ele possa repensar e reorientar a sua prática pedagógica, possibilitando-lhe entender e interferir nas estratégias utilizadas pelos

33 31 alunos. Assim pensada, a avaliação serviria mais aos interesses de professores e alunos do que aos do sistema. Segundo Silva (2005, p. 29) Nessa perspectiva, as funções do professor começam a ser modificadas, sendo que uma delas é concebida como a de mediador entre o aluno e o conhecimento, é quem propiciará atividades nas quais o aluno poderá levantar hipóteses, criar estratégias, bem como estabelecer conexões entre seus conhecimentos. Aqui, a responsabilidade do aprendizado do aluno não é apenas do professor, ela é partilhada pelos dois. A avaliação, assim entendida, dá ao erro uma nova dimensão: passa a ser interpretado como um caminho para buscar o acerto e, ao analisá-lo, o professor pode elaborar estratégias que auxiliem o aluno a refazer o caminho para encontrar a resposta correta. O erro perde o status de produto e torna-se produtivo e a avaliação passa a atribuir aos resultados encontrados um aspecto orientador. Pinho (2000) critica a avaliação classificatória e propõe uma outra acepção que valorize uma reflexão sobre o erro: [...] avaliação classificatória, em que o foco de atenção está voltado para o acerto da resposta, não sendo utilizado como um instrumento de reflexão, o erro provavelmente não será valorizado pelo professor. Em outra concepção de avaliação, mais preocupada com a formação do aluno em termos de aprendizagens significativas e duradouras, o erro deixa de ser apenas uma resposta a ser analisada: ele passa a ser uma questão desafiadora que o aluno coloca ao professor portanto, um elemento desencadeador de um amplo questionamento de ensino (Ibid., p ). Segundo Esteban (2002): O erro é considerado um importante elemento na tentativa de compreender a complexidade dos processos e de produzir práticas que incorporem os processos em sua complexidade. O erro dá pistas sobre os conhecimentos, práticas, processos, valores, presentes na relação pedagógica, embora freqüentemente invisíveis. O erro é portador de conhecimentos, processos, lógicas, formas de vida, silenciados e negados pelo pensamento hegemônico. A avaliação, nesta perspectiva, vai desafiando e desfiando o que se mostra para encontrar o que se oculta (ibid, p. 9).

34 32 Espera-se, que desta forma, a avaliação sirva como uma ferramenta diagnóstica da aprendizagem e das hipóteses que o aluno está testando antes de encontrar a solução correta para o problema. A avaliação encarada desta maneira torna-se uma fonte de informação, de reorientação. Para que a análise do erro se torne uma alternativa didática, o professor deve conhecer e buscar entender os erros cometidos pelo aluno nas atividades propostas, pois [...] quando um aluno comete um erro, ele expressa o caráter incompleto de seu conhecimento (PINTO, 2000, p.54). Para Hadji (1994, p. 125), se quisermos gerir o erro, para além do desempenho registrado, é preciso tentar determinar as razões que o originaram, e dizer o que ele revela a respeito dos conhecimentos já adquiridos ou não pelo aluno. Isso só será possível se o professor estiver atento ao que acontece em sala de aula, se vê o seu contexto de trabalho com um campo de investigação, buscando descobrir como seus alunos pensam ou por que tentam solucionar algo de determinada maneira em detrimento de outra. Ao conhecer o caminho que o aluno percorreu até a sua resolução, é possível que o professor entenda qual foi o sentido atribuído à resposta apresentada. A partir daí, o professor tem meios para repensar sua prática e reorganizar sua ação em sala de aula baseado na natureza das dificuldades constatadas. Outro ponto importante recai no aspecto afetivo que também motiva o aluno a tratar seu erro de uma determinada maneira e não de outra. Em um estudo realizado por Silva (2005, p. 35), a autora trata a questão de como o aluno lida com o erro. Para ela, se o professor pretende entender o erro visando o sucesso escolar do aluno, é necessário considerar que cada aluno trata seus erros de maneira particular. Para a referida autora, cada indivíduo estabelece um tipo de relação com eles: alguns alunos são indiferentes ao erro, isto é, fazem suas correções no caderno, substituindo a forma errada pela correta, mas não sabem efetivamente porque erraram Nesse caso, é imprescindível a intervenção do professor, até porque, acredito que este tipo de aluno nem sempre questiona o professor em relação a isso. É função deste, apresentar ao aluno em que parte de seu caminho ocorreu o deslize que o levou a resolução ou resposta incorreta. Seguindo a linha de raciocínio da referida autora, para outros alunos, o erro é um observável, ou seja, eles desenvolvem a consciência de que erraram e de por que erraram, seja por meio da verificação da resposta encontrada, ou de

35 33 outra forma de auto-correção. Neste caso, o papel do professor, é apenas acompanhar o caminho percorrido por esses alunos, ajudando-os quando necessário for Silva (2005, p. 35). Além de considerar as relações do aluno com o erro, é importante que o professor analise as suas possíveis causas. Isso favorece como ele tratará cada erro e também como lidará melhor com as diferenças em sala de aula. Para tal, é imprescindível que o professor conheça e compreenda o erro e tenham sempre em mente que o erro deve servir como ponto de partida para o avanço, pois sua compreensão é o passo fundamental para sua superação (LUCKESI, 1990, p.138) Sem sombra de dúvidas, a análise do erro também pode ser benéfica para o aluno na medida em que o professor o incentive a analisar sua própria produção. Se isto for feito, o aluno terá uma segunda oportunidade de identificar e compreender seus erros, podendo assim geri-los. Dentre os diversos fatores que contribuem para a ocorrência do erro, Silva (2005, p.36) aponta que um deles é a forma como os alunos dão sentido aos conteúdos trabalhados, às situações-problema apresentadas pelo professor e aos enunciados desses problemas. Entendo que quando o aluno se depara com um problema, ele tenta produzir significados embasados em lembranças que têm dos conteúdos estudados anteriormente, do sentido que atribuem a determinadas palavras/expressões em momentos de estudo ou em contexto que não o escolar e as suas experiências de vida. O sentido atribuído às palavras varia de acordo com a experiência pessoal de cada um deles, de sua cultura, de suas relações no mundo e com outras pessoas. Segundo a referida autora, é nesse momento que ocorre o erro. Uma proposta para a análise dos erros dos alunos recai no conhecimento do significado que cada aluno atribui ao que está tentando resolver, buscar entender o sentido que os alunos deram às atividades propostas, além de olhar para tudo o que eles produziram. De posse dessas informações, o professor de matemática terá mais chances e melhores condições de realizar uma intervenção que contribua efetivamente para o desenvolvimento do aluno.

36 CLASSIFICAÇÃO DE ERROS ADOTADA PARA FINS DESTE TRABALHO. Neste trabalho, a análise foi centrada em questões discursivas de forma a buscar subsídios para identificar quais conhecimentos os alunos já detêm em geometria plana. De acordo com Silva, essa seria uma forma produtiva de analisar os erros: [...] com informações sobre a produção escrita dos alunos, que apresentam tanto as suas dificuldades quanto suas possibilidades, é possível realizar uma intervenção que de fato contribua para o desenvolvimento dos alunos (SILVA, 2005 p. 106). A maneira como os dados foram coletados baseou-se também nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática - PCN, que consideram [...] fundamental que os resultados expressos pelos instrumentos de avaliação, sejam eles provas, trabalhos, registros das atitudes dos alunos [...] forneçam ao professor informações sobre as competências de cada aluno em resolver problemas, em utilizar a linguagem matemática adequadamente para comunicar suas idéias, em desenvolver raciocínios e análises e em integrar todos esses aspectos no seu conhecimento matemático (BRASIL, 1998, p.54). Os conteúdos serão analisados com base na importância da matemática no ensino médio e objetivos citados nos PCN-EM como metas a serem alcançadas ao término deste nível de ensino: compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral; aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas; analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas do conhecimento e da atualidade; desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo; utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos; expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática;

37 35 estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e o conhecimento de outras áreas do currículo; reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentos associados às diferentes representações; promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em relação às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação. (PCNEM, 2002, pág. 40) Opto pela análise de erros, pois concordo com Cury que ela possa se caracterizar numa metodologia de pesquisa, com abordagens distintas segundo os pesquisadores e as teorias que embasam essas investigações (CURY, 2003). A análise de erros também pode se caracterizar como uma metodologia de ensino, no momento em que são propostas atividades de exploração e análise conjunta dos erros, como fonte de construção de novos conhecimentos. Segundo Dalto (2007): A classificação dos erros pode ser uma importante atividade quando se deseja utilizar todo esse potencial para o processo de ensino e de aprendizagem de Matemática. Isso não quer dizer que é importante errar ou que o erro é essencial para que a aprendizagem possa ocorrer. É importante considerar que, como elemento que pode, naturalmente, aparecer durante o processo de ensino e de aprendizagem, o erro deve ser encarado, caso apareça, não apenas como um obstáculo ou como uma dificuldade, mas sim como um mecanismo que auxilie e promova a aprendizagem. (Ibid., p. 22) Cury e Del Puerto criam uma espécie de biblioteca de erros típicos, o que acredito ser útil, pois o professor pode partir desta para um melhor planejamento de suas aulas. Del Puerto e colaboradores (2006) aplicaram um teste a alunos de final do ensino médio e início de cursos universitários, tomando como modelo a classificação clássica de Radatz (1979), considerando que uma biblioteca de erros típicos pode ajudar o professor a planejar atividades que auxiliem os alunos em suas dificuldades (CURY, 2006, p. 4). Este trabalho não aborda a psicologia do erro, mas sim como a análise do erro se reflete sobre o professor, quais serão as possibilidades que vão surgir para ele reforçar, modificar e inovar a sua forma de ensinar, conforme Radatz (1979) afirma:

38 36 [...] considerações no diagnóstico e aspectos de causa dos erros podem dar ajuda especifica para os professores, permitindo integrar seu conhecimento do conteúdo do currículo com seus conhecimentos das diferenças individuais das crianças (Ibid., p. 170, tradução minha). Devido a todas as considerações feitas neste capítulo e principalmente nesta seção optei em utilizar a classificação de erros de Radatz, considerada clássica por Cury e usada como base para outras classificações presentes na maioria das pesquisas sobre o estudo dos erros de vários autores já citados anteriormente neste capítulo. A classificação dos erros creditada a Radatz (1979, p ) foi a seguinte: erros devido a dificuldades na linguagem: são apresentados na utilização de conceitos, vocabulário e símbolos matemáticos, e ao efetuar a passagem da linguagem corrente para linguagem matemática. erros devido a dificuldades para obter informação espacial (dificuldades em obter informação a partir de representações gráficas): aparecem na representação espacial de uma situação matemática ou um problema geométrico. erros devido a uma aprendizagem deficiente de fatos, habilidades e conceitos prévios (deficiência de pré-requisitos): são os cometidos por deficiências na manipulação de algoritmos, fatos básicos, procedimentos, símbolos e conceitos matemáticos. erros devido a associações incorretas ou a rigidez de raciocínio: são causados pela falta de flexibilidade no pensamento para adaptarse a novas situações; compreendem os erros por persistência, erros de associação, de interferência e de assimilação. erros devido à aplicação de regras ou estratégias irrelevantes: são produzidas por aplicação de regras ou estratégias semelhantes em diferentes conteúdos. (tradução minha)

39 37 2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Nesse momento do trabalho, faz-se necessário classificar minha pesquisa quanto a sua natureza, apresentar os objetivos, tanto geral quanto específicos, que esperava alcançar ao início desta análise. Apresento também um histórico da OBMEP para mostrar sua importância na área da matemática e finalmente apresento os procedimentos utilizados para a coleta dos dados para posterior análise. 2.1 NATUREZA DA PESQUISA Uma vez que se utilizaram métodos qualitativos e quantitativos para a coleta e análise de dados, esta pesquisa apresenta características de uma investigação de natureza mista, segundo a classificação citada por Creswell (2007, p. 34): Procedimentos de métodos quantitativos: predeterminado, perguntas baseadas em instrumentos, dados de desempenho, de atitude, observacionais e de censo, análise estatística. Procedimentos de métodos qualitativos: métodos emergentes, questões abertas, dados de entrevistas, de observação, de documentos e áudio visuais, análise de textos e de imagem. Procedimentos de métodos mistos: métodos predeterminados e emergentes, questões abertas e fechadas, formas múltiplas de dados contemplando todas as possibilidades, análise estatística textual. Para efeito deste trabalho, são utilizadas provas abertas 4 (discursivas), questionários com perguntas objetivas e abertas, entrevistas e uma análise estatística dos tipos de erros mais freqüentes. 4 Considerando que questões fechadas, também chamadas de questões de múltipla escolha ou objetivas, são aquelas que trazem juntamente com o seu enunciado as alternativas de resposta, por conseguinte, as questões abertas são todas aquelas que não são de múltipla escolha, que são subjetivas e podem ser chamadas de discursivas porque requerem que o resolvedor encontre uma resposta e mostre os caminhos que foram seguidos para chegar a ela (SILVA, 2005, p.11).

40 38 A pesquisa tem como objetivo geral: analisar as resoluções e tentativas de resoluções de alunos do ensino médio em geometria plana nas questões da OBMEP. E como objetivos específicos: compreender de que maneira os alunos lidam com as informações contidas nos enunciados das questões e como as utilizam; analisar, classificar e inventariar, os tipos de erros mais freqüentes; investigar por que alguns alunos às vezes não concluem a resolução de uma questão; e compreender os mecanismos de cálculos feitos pelos alunos e a linha de raciocínio seguida por eles para chegar a um resultado sem realizar o cálculo. O enquadramento dos erros cometidos pelos alunos seguirá o critério de classificação de Radatz, citado na quinta seção do primeiro capítulo, bem como na experiência pessoal enquanto professor dos ensinos fundamental e médio da rede pública estadual e municipal, que acompanha alguns processos da OBMEP há quatro anos. Cabe a observação de que outro profissional poderia tê-los classificado de outras maneiras. Analisar erros, mesmo tendo como base uma classificação teórica já conhecida e experiência docente pessoal é subjetivo. Para tal, se deve esclarecer que um erro cometido por um aluno na resolução de uma questão pode, seguindo essas classificações, envolver mais de um tipo de erro. De acordo com Radatz é muito difícil fazer uma separação definitiva entre as possíveis causas de um mesmo erro, o mesmo problema pode suscitar erros de diferentes fontes e o mesmo erro pode surgir de diferentes processos de resolução de problemas (1979, p.164). Quando isso ocorre, será feito um comentário a respeito. Foi escolhida uma análise extensiva das questões e não intensiva, ou seja, se optou por analisar o maior número de questões para verificar o maior número de tipos de erros, inclusive é apresentado um gráfico na última seção do capítulo três que facilita ao leitor um rápido acesso e visualização destes erros, bem como uma quantificação dos mesmos. Com o propósito de manter a fidedignidade dos dados, optou-se por não corrigir erros de acentuação, pontuação e concordância cometidos pelos alunos nas respostas dos questionários, entrevistas e suas justificativas nas provas. Estes não

41 39 se caracterizarão em empecilho para a leitura e compreensão dos dados pelo leitor, mas quando necessário será explicado em nota de rodapé. 2.2 SOBRE AS OLIMPÍADAS BRASILEIRAS DE MATEMÁTICA DAS ESCOLAS PÚBLICAS (OBMEP) O objetivo desta seção é tratar de algumas questões concernentes à OBMEP, sua criação, pressupostos teóricos, público alvo, regulamento e premiação considerados importantes para esta pesquisa. As informações foram retiradas do site oficial da OBMEP 5, exceto àquelas referentes à quantidade de premiados e inscritos na Baixada Fluminense que foi feita ao longo desse trabalho ao somar os dados dos alunos de cada município da região e calcular seus respectivos percentuais. De acordo com o Centro de Informações e Dados do Rio de Janeiro (CIDE), a Baixada Fluminense inclui os seguintes municípios da Região Metropolitana do Rio de Janeiro: Belford Roxo, Duque de Caxias, Guapimirim, Itaguaí, Japeri, Magé, Mesquita, Nilópolis, Nova Iguaçu, Paracambi, Queimados, São João de Meriti e Seropédica. A OBMEP foi inspirada no Projeto Numeratizar 6 do Estado do Ceará e criada a partir do desejo do Governo Federal de expandir para o país o sucesso obtido pelas Olimpíadas promovidas no Ceará e nas Olimpíadas de Fortaleza que também foi inspirada no mesmo projeto e fazia parte de oito subprojetos 7 que 5 As informações retiradas do site são referentes a 2008 e, portanto não constam premiações deste ano que não haviam sido liberadas no momento da coleta. Acessado em: agosto de Em 2003 o Governo do Estado do Ceará criou o Projeto Linguagem das Letras e dos Números Numeratizar e Leituralizar. O Projeto Numeratizar são Olimpíadas de Matemática em Escolas Públicas do Estado, as informações deste parágrafo foram retiradas do projeto Universidade- Escola disponível em: acessado em janeiro de ) Projeto Vivência Escolar (Projeto Rondon para a Matemática); 2) Projeto Adoção de Escolas (professores das IFES atuando junto a alunos e professores dos ensinos fundamental e médio in loco); 3) Projeto de Formação de Recursos Humanos em Matemática (formação de mestres e doutores para atuar no ensino superior e, licenciados para atuar nas escolas); 4) Projeto de Educação a Distância: Portal do Professor de Matemática (PPMat) e Matemática áudio-visual; 5) Projeto de Eventos; 6) Projeto de

42 40 formavam o Projeto Universidade-Escola da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). Tais projetos compuseram a primeira etapa do Plano Nacional para Matemática, proposto em 2004 pela SBM ao Ministério da Educação (MEC), que a aceitou, juntamente com o Ministério da Ciência e Tecnologia (MCT). A OBMEP é direcionada aos alunos do 6º ao 9º ano de escolaridade do ensino fundamental e aos estudantes do ensino médio de escolas públicas municipais, estaduais e federais de todo Brasil. As inscrições são voluntárias, ou seja, qualquer escola pública pode participar desde que os alunos estejam devidamente matriculados. Não há limites de participantes e as inscrições só podem ser realizadas pela Unidade Escolar através do site da OBMEP, pois não são aceitas inscrições individuais dos alunos. A participação na OBMEP é separada por níveis de escolaridade: no nível 1 participam alunos do 6º e 7º anos de escolaridade do ensino fundamental; no nível 2, alunos do 8º e 9º anos do ensino fundamental e nível 3 com alunos de todo ensino médio. No caso da Educação de Jovens e Adultos (EJA), os estudantes farão a prova correspondente ao nível que estiverem cursando no momento da inscrição, mesmo que tenham mudado de nível no fim do semestre. A OBMEP é realizada em duas fases. Na primeira fase, as inscrições são livres e as questões apresentadas são objetivas do tipo múltipla escolha. Na segunda fase, as questões são abertas (discursivas), e desta participam os 5% mais bem classificados na primeira fase de cada nível de escolaridade de cada escola pública na primeira fase. As provas, as soluções e os gabaritos da primeira fase da OBMEP são enviados às escolas pelos Correios com antecedência estipulada pelo cronograma da OBMEP. Caso as provas não cheguem até a data prevista, é feito contato com o professor responsável pela região ou com a própria OBMEP para a entrega do material. A correção e seleção dos estudantes que participarão da segunda fase são de responsabilidade de cada escola, enquanto que na segunda fase a correção e classificação dos premiados são de responsabilidade da OBMEP. A OBMEP premia alunos, professores, escolas e secretarias municipais e estaduais de educação. Essa premiação baseia-se exclusivamente no resultado das Distribuição de Material Bibliográfico; 7) Projeto de Olimpíadas de Matemática nas Escolas Públicas; 8) Projeto de Aprimoramento para Professores do Ensino Básico.

43 41 provas da segunda fase, ou seja, as notas da primeira fase não são utilizadas na classificação final, servem apenas para selecionar os 5% que passarão para segunda fase. A premiação dos alunos é feita da seguinte forma: trezentas medalhas de ouro, novecentas medalhas de prata, mil e oitocentas medalhas de bronze. Esses três mil alunos serão convidados a participarem do Programa de Iniciação Científica Júnior (PIC) e receberão bolsas no valor de R$ 100,00 do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) durante um ano. Além disso, serão concedidos certificados de Menção Honrosa a até trinta mil alunos, conforme regulamento. O Programa de Iniciação Científica (PIC) e também o acompanhamento das bolsas da OBMEP são de responsabilidade dos Coordenadores Regionais de Iniciação Científica (CRIC). São trinta e oito PIC com duração de um ano, distribuídos em 190 pólos por todo o Brasil, ou seja, cada coordenador é responsável por um ou mais pólos e cada pólo possui um professor orientador responsável por um grupo de alunos de determinada região ou sub-região em alguns estados. O professor orientador pode ou não ser da escola, à escolha da OBMEP. São premiados também cento e vinte e sete professores com curso de aperfeiçoamento no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). A premiação dos professores, bem como das escolas, está vinculada a dos alunos 8 e a premiação das Secretarias de Educação será feita de acordo com a média aritmética dos pontos das escolas a elas vinculadas e inscritas na segunda fase da OBMEP. As vinte e sete escolas municipais ou estaduais 9 que alcançarem o maior número de pontos em suas respectivas UF recebem um Kit 10 para exibição audiovisual composto de televisor e aparelho de DVD, como também livros para a composição de uma biblioteca básica em Matemática e Ciências. Kits semelhantes também são enviados as setenta e três escolas que obtiverem a maior pontuação 8 Da seguinte forma: 5 (cinco) pontos para cada aluno premiado com medalha de ouro; 4 (quatro) pontos para cada aluno premiado com medalha de prata; 3 (três) pontos para cada aluno premiado com medalha de bronze; 1 (um) ponto para cada aluno premiado com menção honrosa. 9 Um para cada Unidade da Federação (UF) 10 Obs.: Apenas escolas não recebedoras de prêmio similar (notebook e datashow) nas edições anteriores (OBMEP 2006 e OBMEP 2007) terão direito ao prêmio descrito. As escolas bicampeãs ou tricampeãs, nessa modalidade, receberão um troféu alusivo à sua premiação.

44 42 nacional entre as escolas municipais e estaduais, independentemente da UF e que não tenham sido premiadas entre as vinte e sete citadas anteriormente. A OBMEP é promovida pelo Ministério da Ciência e Tecnologia (MCT) e Ministério da Educação, com realização do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) e da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), responsáveis pela Direção Acadêmica. Os objetivos da OBMEP segundo seu regulamento são: Estimular e promover o estudo da Matemática entre alunos das escolas públicas. Contribuir para a melhoria da qualidade da Educação Básica. Identificar jovens talentos e incentivar seu ingresso nas áreas científicas e tecnológicas Incentivar o aperfeiçoamento dos professores das escolas públicas, contribuindo para a sua valorização profissional. Contribuir para a integração das escolas públicas com as universidades públicas, os institutos de pesquisa e sociedades científicas. Promover a inclusão social por meio da difusão do conhecimento. Portanto, a OBMEP não tem como objetivo e nem a intenção de avaliar o Ensino de Matemática das escolas públicas HISTÓRICO DA REALIZAÇÃO DAS OBMEP A primeira OBMEP foi realizada em 2005 com a participação de 10, milhões de alunos, escolas e cinco mil (93,5%) municípios. Em 2006, a 2ª OBMEP contou com 14, milhões de estudantes em todo o País, o que representou um aumento de quase 35% em relação ao ano de 2005, com 32, 655 mil escolas e 94,5% dos municípios brasileiros. Em 2007, a OBMEP contou com a participação de mais de 38 mil escolas com mais de dezessete milhões de inscritos de 98,13% dos municípios brasileiros. O estado do Rio de Janeiro teve 1824 escolas inscritas, o equivalente a 63,55% das

45 43 escolas do estado e alunos. Do total de alunos participantes, eram de 443 escolas dos municípios da região da Baixada Fluminense. O Estado do Rio de Janeiro obteve um total de premiações na OBMEP de 2007, sendo (5,36%) menções honrosas e 270 medalhas de ouro, prata e bronze, e deste total a Baixada Fluminense contribuiu com 160 menções honrosas e 17 medalhas. O desempenho do estado foi parecido com aquele conquistado na Olimpíada anterior (OBMEP 2006) em relação às premiações sendo (6,29%) menções honrosas. É importante observar o aumento de mais de 280% na quantidade de medalhas, que passaram de 71 para 270 em A Baixada Fluminense contribuiu em 2006 com 151 menções honrosas e 2 medalhas. O percentual das premiações do município de Nova Iguaçu em relação à região da Baixada Fluminense em 2005 foi de 30% e continuou o mesmo em 2007, mas a quantidade de premiados cresceu de 27 para 40 alunos, um aumento de 48%. Em 2007, Nova Iguaçu foi a cidade com a maior quantidade e percentual de premiados entre todos os municípios da região. Já em relação ao estado é o quinto município em quantidade de inscritos e o sexto em quantidade de premiados. Se focarmos o ensino médio, contexto de nossa pesquisa, este município foi o terceiro, ficando atrás somente da capital e Niterói em quantidade de premiados. Isto posto, pode-se salientar o quanto o município de Nova Iguaçu é importante no contexto do estado do Rio de Janeiro. O aumento na quantidade de premiados no Estado do Rio de Janeiro em relação a 2005, na primeira OBMEP, foi de 80,5%; já o crescimento do número de premiados na Baixada Fluminense em relação ao mesmo ano foi de 101,1%. Então vale ressaltar a melhoria na participação dos alunos desta região na OBMEP, uma vez que se pode observar que o número de inscritos nesse período aumentou 70%, que fica bem abaixo do aumento de 115,9% de alunos premiados na Baixada Fluminense. A quarta OBMEP, realizada no ano de 2008 contou com a participação de 18, milhões de estudantes, aumento expressivo em relação a 2005, pois representou mais de 74% de crescimento no número de inscritos em mais de 40 mil escolas de 98,72% dos municípios do Brasil. A quantidade de escolas inscritas no Estado do Rio de Janeiro aumentou para 1.967, equivalente a 68,5%, e da Baixada Fluminense continuou bem próximo

46 44 do número anterior, com 441 unidades escolares inscritas, o equivalente a 73% das escolas da Baixada Fluminense e 15% em relação ao total de escolas do Estado. A participação na OBMEP pelos municípios da região da Baixada Fluminense, em relação ao Estado do Rio de Janeiro e principalmente do Brasil vem evidenciar o reconhecimento e a valorização das Olimpíadas na educação e principalmente na educação matemática. Inclusive pelo estímulo e promoção ao estudo da Matemática, que é um dos objetivos da OBMEP, observados quando alguns alunos, já no início do ano letivo começam a perguntar se teremos olimpíada de matemática no ano corrente. 2.3 COLETA DE DADOS Esta seção de minha dissertação apresenta a maneira como os dados necessários para realização desta pesquisa foram coletados. Para tal, é descrito onde se coletaram os dados, a escola, os participantes, a prova da OBMEP utilizada para pesquisa, bem como o critério de seleção e formato de aplicação das questões utilizadas para análise, e a classificação dos tipos de erros que serão apresentadas em capítulo posterior. Esta pesquisa foi realizada em uma Escola Estadual do município de Nova Iguaçu, no bairro Rancho Novo, próximo ao centro. Nova Iguaçu é a maior cidade da região da Baixada Fluminense e limitada geograficamente pelos municípios do Rio de Janeiro, Mesquita, Belford Roxo, Duque de Caxias, Miguel Pereira, Japeri, Queimados e Seropédica, o que a torna uma cidade centro em relação à região da Baixada Fluminense. Devido a sua localização, a escola escolhida é receptora dos mais variados tipos de alunos, ou seja, alunos provenientes do centro da cidade, da periferia e de várias escolas municipais de Nova Iguaçu e municípios vizinhos que não oferecem ensino médio. Após analisar a pesquisa de Oliveira (2006) e matérias constantes em jornais de grande circulação, se conclui que a região do estado do Rio de Janeiro conhecida como Baixada Fluminense é a segunda mais populosa, com mais de três milhões de habitantes, superada apenas pela capital. A região ficou marcada pela existência de grandes problemas sociais, violência urbana, na sua maioria através

47 45 dos grupos de extermínio, pobreza e de ser composta por municípios dormitórios 11, o que dificulta o acompanhamento dos pais e responsáveis no processo de ensinoaprendizagem. A pesquisa foi realizada em uma escola de ensino regular que funciona em três turnos: ensino médio de manhã e à noite e ensino fundamental (6º ao 9º ano de escolaridade) à tarde. No ano da pesquisa, 2008, a escola funcionava com 360 alunos do ensino fundamental e 500 alunos do ensino médio. Por minha sugestão, a diretora aceitou que todos os alunos da escola fossem inscritos na primeira fase da OBMEP. Como tem acontecido nestes quatro anos de OBMEP, a primeira e segunda fase são realizadas sempre no segundo semestre letivo, respectivamente nos meses de agosto e novembro. A cada ano, a OBMEP divulga um calendário com todas as datas de sua programação. Em 2008 as inscrições iniciaram-se em abril e encerraram-se em maio, e os alunos participantes da pesquisa realizaram a primeira fase da OBMEP no dia vinte seis de agosto e a segunda fase em oito de novembro, um sábado, como tem acontecido em todos os anos. Toda a coleta de dados como, aplicação das novas provas, análise superficial (primeira análise) dos erros e entrevistas foram realizadas nos quatro últimos meses de 2008, para que depois fosse feita a seleção das questões que seriam avaliadas e a análise final dos erros. Neste estudo, foram selecionados vinte oito alunos do ensino médio. Destes, vinte e cinco haviam sido classificados para segunda fase da OBMEP do ano de 2008 por estarem dentro dos cinco por cento com melhor pontuação na primeira fase, conforme regulamento da OBMEP. Os outros três alunos, não se classificaram para a segunda fase, mas foram convidados a participar da pesquisa por serem considerados pelos respectivos professores de matemática os melhores alunos de três turmas. Como mencionado anteriormente, devido à localização geográfica, os vinte oito participantes desta pesquisa não eram todos oriundos da escola em questão: dezoito destes vieram de diferentes instituições do município. O fato de serem provenientes de diferentes contextos escolares e sociais e por terem sido 11 Termo utilizado para designar municípios que não empregam seus próprios moradores, sendo estes obrigados a se deslocarem, principalmente para a capital, para trabalhar. Devido a distância, muitas dessas pessoas chegam em casa muito tarde ou só retornam as suas residências nos fins de semana.

48 46 expostos aos mais variados tipos de professores e metodologias por estes empregadas, explica uma heterogeneidade benéfica para esta pesquisa, o que dá a ela maior credibilidade e confiança. Desses vinte e oito alunos participantes da pesquisa, dez desistiram na primeira fase, fato que será abordado em seção posterior. Os dezoito alunos restantes cujos dados serão utilizados para fins de análise, foram identificados por números de modo a não terem seus nomes divulgados e para facilitar o acesso, por parte do leitor, aos resultados da análise. Todos os participantes da pesquisa, ou seja, os vinte oito alunos mencionados anteriormente, foram convidados a resolver vinte e oito questões de geometria plana (Anexo A), que foram aplicadas de forma objetiva (múltipla escolha) na primeira fase dos quatro anos de OBMEP. A quantidade de questões de cada ano foi a seguinte: nove questões do ano de 2005, seis de 2006, sete de 2007 e seis de As referidas questões sofreram modificações no que concerne ao formato original da prova: as questões objetivas foram aplicadas de maneira discursiva (questões abertas), ou seja, não foram oferecidas as alternativas do formato múltipla escolha. Depois de modificadas, foram aplicadas em quatro provas separadas por cada ano da OBMEP. A mudança no formato de aplicação das questões encontra forte apoio nas palavras de Segura (2005, p. 38) quando se refere [ ] ao fato de as questões abertas (discursivas) permitirem a observação e a compreensão dos caminhos trilhados por quem as soluciona, e também (SILVA 2005, p.41) [ ] mostra-se relevante ressaltarmos que uma característica importante desse tipo de questão é [...] permitir que o aluno demonstre suas habilidades por meio da forma pela qual aborda a questão e do procedimento que utiliza para resolvê-la (BURIASCO; CYRINO; SOARES; 2004, p. 4). Com esse tipo de questão, é possível conhecermos como a produção escrita se configura e também quais relações as constituem, já que os registros que os alunos fazem, enquanto resolvem as questões, dão informações importantes sobre como entenderam e registraram suas idéias a respeito da situação proposta. Cada prova continha um questionário anexo com perguntas objetivas. Por meio das respostas, se buscou entender os motivos que levaram os alunos a não

49 47 responderem ou resolverem as questões. O questionário visava verificar se os alunos entenderam o enunciado e desenhos e se os assuntos teriam ou não sido abordados nas aulas de matemática. Além disso, as referidas perguntas também apresentavam espaço aberto para comentários dos alunos sobre cada questão, ou seja, se mesmo não resolvendo a questão, saberiam que caminho seguir para tal, se teriam somente esquecido as fórmulas ou teriam se perdido no meio da resolução do problema, bem como, comentários da prova em geral. O questionário teve como objetivo principal o de diminuir dúvidas que poderiam aparecer no momento da análise. Na primeira prova, dez alunos, já classificados para a segunda fase da OBMEP, alegaram não saber resolver nenhuma das questões que, como dito anteriormente, passaram a ser discursivas. Estes mesmos alunos levaram apenas cinco minutos para ler, tentar resolver e entregar a prova, fato que demonstrou total desinteresse dos mesmos com o trabalho, principalmente por ser considerado ínfimo o tempo despendido por eles para a realização das questões da prova. Quando indagados sobre o motivo do desinteresse, responderam que chutaram todas as questões da prova da primeira fase por isso foram aprovados para a segunda fase da OBMEP e agora, diante das questões discursivas, não faziam a menor idéia de como resolvê-las. Esses dez alunos desistiram de participar da pesquisa, pois alegaram não ter condições nenhuma de resolver as questões. Assim sendo, restaram dezoito alunos que resolveriam as três provas seguintes. Estes foram identificados através de números, para que em nenhum momento fosse mencionado o nome dos mesmos, ou seja, qualquer referência aos participantes da pesquisa é feita através de números para que se mantenha o sigilo e a confidencialidade de cada um. Após a realização das quatro provas com as questões selecionadas, foi feita uma análise superficial (primeira análise) das resoluções para que pudessem ser detectadas quais questões precisariam de entrevistas com os alunos. A opção por esse procedimento metodológico é compartilhada com Lüdke e André (1986, p. 34 apud SILVA, 2005, p.43), pois seu benefício é que: a grande vantagem da entrevista sobre outras técnicas é que ela permite a captação imediata e corrente da informação desejada, praticamente com qualquer tipo de informante e sobre os mais variados tópicos.

50 48 Ao agendar e realizar as entrevistas individuais com os participantes desta pesquisa pretendia entender melhor e de forma generalizada o tipo de raciocínio utilizado por cada participante no processo de resolução das questões. Outro ponto que vale a pena ressaltar é que as entrevistas individuais valorizam o processo de resolução de questões (parte mais importante desta análise), ou seja, o caminho tomado por cada aluno. As entrevistas foram essenciais para demonstrar o caminho percorrido por cada aluno, para destacar o fluxo de pensamento utilizado para se chegar a um tipo de resposta, estivesse esta correta ou não. Desta forma, as entrevistas são encaradas como Cury (2007, p.27) as vê; um procedimento [ ] que enfatiza a importância de se analisar o processo e não apenas o produto, como por exemplo, a resposta final de um exercício ou a alternativa assinalada em um teste de múltipla escolha. Das vinte e oito questões, nove foram selecionadas para uma análise mais profunda. O critério utilizado para seleção foi a quantidade de questões resolvidas consideradas corretas ou não, ou seja, foram selecionadas as questões em que mais de nove (cinqüenta por cento) alunos tentaram resolver ou mostraram o caminho das resoluções através dos questionários. As questões selecionadas e que são objeto de análise mais profunda desta pesquisa são as de número 02, 03, 08 e 17 da prova de 2005, 04 e 05 da prova de 2006, 06 de 2007 e 04 e 08 de A numeração de todas as questões consideradas de geometria plana que foram aplicadas, assim como as quantidades de acertos, questões sem produção escrita (em branco ou sem justificativa) e também a quantidade de questões para análise com a respectiva numeração dos alunos estão presentes no anexo C nas tabelas 1, 2, 3 e 4.

51 49 3 ANÁLISE DAS QUESTÕES E CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS Este capítulo dedica-se à análise das questões que os alunos erraram ou não apresentaram sua resolução completa e à classificação dos seus erros. Ao longo da análise são tecidos comentários sobre as respostas dadas tanto às entrevistas como aos questionários. Para facilitar o entendimento do leitor, é reapresentada, resumidamente, uma parte da base teórica que servirá para a análise dos dados descritos nesta seção da dissertação. Foi utilizada a seguinte classificação dos erros, creditada a Radatz (1979, p ): erros devido a dificuldades na linguagem: são apresentados na utilização de conceitos, vocabulário e símbolos matemáticos, e ao efetuar a passagem da linguagem corrente para linguagem matemática. erros devido a dificuldades para obter informação espacial (dificuldades em obter informação a partir de representações gráficas): aparecem na representação espacial de uma situação matemática ou um problema geométrico. erros devido a uma aprendizagem deficiente de fatos, habilidades e conceitos prévios (deficiência de pré-requisitos): são os cometidos por deficiências na manipulação de algoritmos, fatos básicos, procedimentos, símbolos e conceitos matemáticos. erros devido a associações incorretas ou a rigidez de raciocínio: são causados pela falta de flexibilidade no pensamento para adaptarse a novas situações; compreendem os erros por persistência, erros de associação, de interferência e de assimilação. erros devido à aplicação de regras ou estratégias irrelevantes: são produzidas por aplicação de regras ou estratégias semelhantes em diferentes conteúdos. (tradução minha) Antes de proceder à análise e classificação dos erros cometidos pelos alunos, serão feitas as seguintes considerações: O enquadramento dos erros cometidos pelos alunos, segundo o critério acima, baseou-se na minha experiência como professor. Outro profissional poderia tê-los classificados de outras maneiras. O erro cometido por um aluno na resolução de uma questão pode envolver mais de um tipo de erro. Quando isso ocorre, será feito um comentário.

52 50 A análise das questões é extensiva e não intensiva, ou seja, a opção foi analisar o maior número de questões para verificar o maior número de tipos de erros, inclusive por meio de um gráfico para quantificá-los. Esse capítulo reflete a minha experiência como professor, o que justifica a liberdade na utilização da primeira pessoa do singular nas observações a respeito das resoluções dos alunos, seus erros e conclusões. Os erros de acentuação, pontuação e concordância cometidos pelos alunos nas respostas dos questionários, entrevistas e suas justificativas nas provas, não foram corrigidos, mas quando necessário faço uma nota para facilitar o entendimento do leitor. Com o intuito de facilitar o entendimento do leitor da análise proposta, cabe lembrar que os diferentes níveis de escolaridade da prova da OBMEP se dividem da seguinte maneira: no nível 1, participam alunos do 6º e 7º anos de escolaridade do ensino fundamental; no nível 2, alunos do 8º e 9º anos do ensino fundamental e no nível 3, alunos de todo ensino médio. A análise será feita por questão. A resolução dos alunos não será colocada no corpo da dissertação, mas se encontra nos anexos indicados, caso o leitor queira esclarecer algum aspecto. 3.1 QUESTÃO 02 DE 2005: Uma folha de papel retangular, de 10 cm de largura por 24 cm de comprimento, foi dobrada de forma a obter uma folha dupla, de 10 cm de largura por 12 cm de comprimento. Em seguida, a folha dobrada foi cortada ao meio, paralelamente à dobra, obtendo-se assim três pedaços retangulares. Qual é a área do maior pedaço? Esta questão estava presente somente na prova do nível 3 da OBMEP. Dos dezoito alunos que compõem esta amostra, três acertaram a questão, seis

53 51 deixaram-na em branco e nove erraram ou não concluíram a questão. Todas as resoluções dos alunos, bem como seus desenhos, encontram-se no anexo H-1. Erros referentes à dificuldade na linguagem: O aluno 16 respondeu no questionário que não tinha entendido o enunciado da questão, mas pode-se observar por seu desenho que entendeu a primeira parte do enunciado que diz: Uma folha de papel retangular, de 10 cm de largura por 24 cm de comprimento, foi dobrada de forma a obter uma folha dupla, de 10 cm de largura por 12 cm de comprimento., pois realizou somente a primeira etapa da resolução. O aluno 04 realizou a primeira parte do enunciado, como o aluno 16 acima, e no questionário escreveu que usaria a fórmula da área do retângulo para resolver a questão a partir do ponto em que ele parou. É interessante observar que o aluno, apesar de não ter compreendido totalmente o enunciado e não ter concluído todas as etapas para a resolução da questão, chegou à resposta correta. Calculou, em um rascunho, a área de um retângulo, mas não do retângulo correto. Seguindo sua linha de raciocínio, posso afirmar que se a questão estivesse no formato múltipla escolha, ele a acertaria, ou seja, seu erro ficaria mascarado por uma resposta correta. O aluno 15 só realizou a primeira etapa, como fizeram os dois alunos acima, ou seja, desenhou a folha no formato retangular e realizou a primeira dobra. Não fez nenhum comentário sobre a questão. Pela análise que faço de sua resposta, suponho que não tenha entendido a parte final do enunciado da questão onde dizia: Em seguida, a folha dobrada foi cortada ao meio, paralelamente à dobra, obtendo-se assim três pedaços retangulares. Qual é a área do maior pedaço?. O aluno 09 demonstrou conhecimento sobre área do retângulo, cometeu erro no entendimento do enunciado, desconsiderando um pequeno trecho do mesmo: a folha dobrada foi cortada ao meio, paralelamente à dobra. O aluno cortou exatamente na dobra. O mesmo participante respondeu à entrevista: A metade da

54 52 folha dobrada em 3 pedaços obtendo três pedaços de larg. 4 e comp. 10, e área de 40 cm. O aluno 11 escreveu que não existe (área) 12 pois o retângulo só pode ser dividido em 2 partes e, no questionário, afirmou ser muito complicado resolver a questão e que não conseguiu entender muito bem o enunciado. Ao concluir a análise da questão, atribuo às dificuldades encontradas por esses alunos à existência de vários procedimentos concernentes às dobras feitas na folha de papel. Tais procedimentos dificultaram a passagem da linguagem corrente para linguagem matemática, bem como exigiram um nível de abstração geométrica muito grande da parte dos alunos. Um fato que pode corroborar tal afirmativa é que, no momento da aplicação da prova, eu, enquanto professor-avaliador, pude observar que a maioria dos alunos tentava realizar todas as dobras citadas na questão na folha da prova na tentativa de facilitar a visualização das etapas. Erros referentes à deficiência de pré-requisitos: O aluno 18 confundiu papel de formato retangular com o de formato triangular, realizou corretamente todos os procedimentos da questão com o formato incorreto e, por isso, não chegou à resposta desejada. Acredito que, por este aluno ser do curso noturno e, provavelmente, ter ficado muitos anos afastado da escola, ele tenha se esquecido ou confundido as definições de retângulo e triângulo, que envolvem um conteúdo que não é específico do ensino médio. Isto pode ter sido uma das causas do erro. O aluno 05 tentou desenhar o papel no formato retangular e realizou algumas dobras, conforme pedia a questão, mas interrompeu seu raciocínio. Afirmou no questionário anexo a sua prova que não entendeu o enunciado e não se lembrava da fórmula da área do retângulo, por isso não sabia como continuar a resolver a questão. Vale lembrar que quando este aluno afirma não ter entendido o enunciado da questão, eu poderia também classificar este tipo de erro como de dificuldade na linguagem, mas por sua produção escrita (desenho), observei que ele 12 Acréscimo meu para facilitar o entendimento.

55 53 estava no caminho correto para chegar à resolução da questão. Assim sendo, classifico esse erro, não como de falha no entendimento da linguagem, mas como um erro referente à deficiência de pré-requisitos. Acredito que o aluno não tenha dado continuidade à resolução porque não conseguia se lembrar da fórmula da área do retângulo. O aluno 14 entendeu o enunciado, pois realizou, por meio de desenhos, todas as etapas da questão. Indicou a parte da folha que teria o maior retângulo e as medidas corretas dos lados, mas não realizou os cálculos necessários para chegar ao valor da área. No questionário escreveu que não se lembrava da fórmula da área. Considero que esse aluno acertou parte da questão; ele indicou qual seria o maior pedaço da folha que daria o valor correto da área que é pedida no enunciado. Erro referente à aplicação de regras: O aluno 10 usou a fórmula da área de um triângulo onde era para ter sido usada a do retângulo, sem fazer nenhum desenho nem comentário, simplesmente aplicou a fórmula e coincidentemente chegou à resposta correta, o que indica, que se a questão estivesse originalmente no formato múltipla escolha, acertaria a resposta. Isto se caracterizaria num erro grave que ficaria mascarado por uma resposta correta. Quando perguntado na entrevista sobre o procedimento adotado, olhou sua resolução com mais calma e ficou em dúvida, fez então a seguinte pergunta: professor, essa fórmula não é da área do triângulo? Esclarecida a dúvida, respondeu na entrevista da seguinte forma troquei a fórmula do retângulo pela do triângulo. Esqueci de dividir o 10 pela metade, o que comprova a classificação feita. Concluo que o professor de matemática é, de certa forma, responsável pela maneira como os alunos entendem as questões. É fundamental que este profissional se preocupe, desde cedo, em oferecer questões e atividades que envolvam abstração, graduando-as progressivamente ao longo de todo o ensino fundamental. O planejamento de aulas pensado desta forma promoverá tanto o contato dos aprendizes com uma variedade enorme de questões que apresentam diversos níveis de abstração como com a linguagem utilizada neste tipo específico de questão.

56 54 Os erros citados acima, tanto referentes à deficiência de pré-requisitos quanto referente à aplicação de regras, podem ser atribuídos ao fato de que, em muitos casos, não se estuda geometria de forma concomitante com álgebra e aritmética, por isso tais conceitos e conteúdos caem no esquecimento ou talvez nunca tenham sido vistos pelos alunos. 3.2 QUESTÃO 03 DE 2005: Dois amigos partem ao mesmo tempo do ponto P e se afastam em direções que formam um ângulo de 60º, conforme mostra a figura. Eles caminham em linha reta, ambos com velocidade de 6 km/h. Qual será a distância entre eles 1 minuto após a partida? Esta questão estava presente somente na prova do nível 3 da OBMEP. Dos dezoito alunos que compõem esta amostra, nenhum acertou a resolução da questão, oito deixaram-na em branco e dez erraram ou não concluíram a questão. Todas as resoluções dos alunos, bem como seus desenhos encontram-se no anexo H-2. Erros referentes à dificuldade na linguagem: Os alunos 02, 03, 12, 13 e 16 resolveram a primeira parte da questão, ou seja, descobriram quanto cada um dos amigos tinha caminhado e julgaram que esta

57 55 seria a resposta final. Os mesmos ignoraram que a questão exigia determinar a distância entre os amigos. Mostraram com isso a dificuldade no entendimento do enunciado, que inclui, falta de concentração e atenção na leitura. Os alunos 02, 13 e 16 chegaram a um resultado aplicando regra de três simples, para isso fizeram algumas transformações, conforme é possível observar na seguinte resposta, dada pelo aluno 03 à entrevista: Porque eu passei 6 km para metros e 1 hora para 3600 segundos. E 1 minuto para 60 segundos. Os alunos 03 e 12 usaram, provavelmente, conceitos de física (distância = velocidade x tempo) e chegaram ao mesmo resultado dos demais. Por pura coincidência, todos os alunos dos três grupos analisados aqui chegaram à resposta correta, o que indica que se a questão estivesse ainda no formato múltipla escolha acertariam a resposta e com isso, o erro de vários alunos estaria mascarado. Todos os alunos acima julgaram que tinham terminado a resolução da questão quando encontraram o quanto cada amigo tinha caminhado. Não perceberam que deveriam continuar resolvendo a questão para descobrir a distância entre eles. O aluno 10 utilizou o mesmo método que os alunos 02, 13 e 16, mas errou na ordem das grandezas da regra de três, ou seja, fez as transformações corretamente, porém quando foi preparar a regra de três, em vez de escrever que 6000 metros correspondem a x metros, escreveu que 6000 metros estão para 60 segundos. O erro deste aluno poderia ser classificado como deficiência de prérequisitos, mas da mesma forma que seus colegas acima, ele resolveu a regra de três e não deu continuidade à questão, cometeu, portanto, o mesmo erro que eles, pois não observou que era pedida a distância entre os amigos. Uma análise superficial e rápida dos erros cometidos pelos alunos acima poderia me levar a uma classificação incorreta sobre o que realmente ocorreu. Devido à grande quantidade de estudantes que incidiram no mesmo tipo de erro, não os classificaria como falta de atenção pura e simplesmente, apesar desta ter contribuído para as respostas incorretas, os alunos demonstraram principalmente dificuldade em efetuar a passagem da linguagem corrente para linguagem matemática. O aluno 11 fez a seguinte afirmação no local destinado ao cálculo não havera distância porque os dois partem do mesmo lugar e na mesma velocidade.

58 56 No questionário disse não ter entendido bem a questão. Mostrou que entendeu o enunciado e também o desenho da questão, pois parece ter compreendido que os amigos estariam na mesma posição, mas desprezou no desenho e no enunciado a menção ao ângulo de 60º que distinguia a direção de cada um. Acredito, enquanto professor desse nível de ensino, que o erro de dificuldade na linguagem pode ser diminuído ao se trabalhar, desde o primeiro ano de escolaridade, com atividades que priorizem a interpretação do enunciado e o processo para se chegar à resposta com menos cálculos aritméticos e algébricos. Questões do tipo: calcule, resolva e arme e efetue devem ser evitadas. Para praticar os cálculos aritméticos e algébricos que são trabalhados em questões deste tipo, podemos, por exemplo, incluí-las dentro de um problema em vez de tratá-las isoladamente, como muitas vezes é visto. Erro devido a associações incorretas: Os alunos 15 e 18 responderam que a distância entre eles 1 minuto após a partida será de 360º, não fizeram nenhum comentário no questionário, foi necessária então uma entrevista na qual responderam; multipliquei 60º por 6 km e não souberam explicar por que fizeram isso. Erro devido a dificuldades para obter informação espacial: O aluno 14 transformou erradamente 6 km/h em 6000 metros e corretamente 1 minuto em 60 segundos. Apesar deste erro inicial, o aluno encontrou a distância correta percorrida por cada um dos amigos, como fez a maioria de seus colegas nesta questão. Parece que o aluno não entendeu o desenho, pois somou a distância entre eles como se tivessem caminhado em linha reta e em direção opostas, ou seja, como se tivessem formado um ângulo de 180º e não 60º, conforme consta na questão. O curioso é que no seu desenho ele coloca o valor correto do ângulo.

59 57 Diferentemente de todos os seus colegas, o aluno 14 demonstrou ter entendido o que o enunciado pedia: a distância entre os amigos, pelo que realizou no desenho e pelos cálculos. O que se observa, neste caso, é que ele cometeu dois erros que podem ser classificados de três formas: associação incorreta, pois o valor encontrado por ele só seria possível se o ângulo formado pelos amigos após a caminhada fosse de 180º; deficiência de pré-requisitos, quando errou na transformação de unidades de comprimento e, finalmente dificuldade em lidar com a representação espacial de uma situação matemática uma vez que não percebeu que os amigos não caminharam em direções opostas, o que poderia ter sido observado facilmente pelo desenho. Diante da análise dos erros desta questão, vejo como é importante trabalhar mais em sala de aula com figuras e representações geométricas e sempre oferecer atividades que ajudem os estudantes a relembrar os conceitos estudados anteriormente. Um planejamento mais detalhado e focado nessas questões, com certeza, melhoraria o entendimento de nossos alunos do que se espera deles em cada enunciado. 3.3 QUESTÃO 08 DE 2005: Uma formiga está no ponto A da malha mostrada na figura. A malha é formada por retângulos de 3 cm de largura por 4 cm de comprimento. A formiga só pode caminhar sobre os lados ou sobre as diagonais dos retângulos. Qual é a menor distância que a formiga deve percorrer para ir de A até B? Esta questão estava presente somente na prova do nível 3 da OBMEP. Dos dezoito alunos que compõem esta amostra, dois acertaram a questão, sete

60 58 deixaram-na em branco e nove erraram ou não concluíram a questão. A questão exige a utilização do Teorema de Pitágoras. Todas as resoluções dos alunos, assim como seus desenhos encontram-se no anexo H-3. Erros devido a associações incorretas ou a rigidez de raciocínio: O aluno 05 somou os lados do retângulo, mas não considerou que a menor distância entre os vértices do retângulo é a medida da diagonal. Acredito que ele optou por este cálculo pela facilidade que a questão oferecia, ou seja, ela já apresentava algumas medidas. O aluno utilizou-se delas para resolver a questão, ao invés de tentar encontrar o valor ou calcular a medida diagonal. Por isso, não teceu comentário algum no questionário sobre a necessidade de utilizar o Teorema de Pitágoras. Erros devido à deficiência de pré-requisitos: O aluno 03 indicou no desenho o menor caminho a ser percorrido e no questionário anexo escreveu que tentaria determinar a diagonal do retângulo, mas não disse como faria isso. Não foi possível saber se não lembrava da fórmula ou se não sabia qual fórmula deveria ser usada. Os alunos 14 e 16 chutaram e erraram a medida para diagonal do retângulo, ao invés de utilizar o Teorema de Pitágoras, mas souberam indicar no desenho o menor caminho a ser percorrido pela formiga por meio dos cálculos realizados com a medida errada da diagonal. O aluno 06 também chutou erradamente uma medida para diagonal do retângulo, depois somou as medidas de uma diagonal com uma largura e dois comprimentos e assim errou na escolha do menor caminho. Por este motivo seu erro pode ser classificado também como de dificuldade para obter informação espacial, pois o menor caminho para a formiga percorrer do ponto A até o ponto B, é feito por duas diagonais e um comprimento.

61 59 Os alunos 12 e 13 acertaram a resposta, mas a justificativa de como encontraram a medida da diagonal foi chute, o que se comprova na justificativa do aluno 13 2 cm metade do comprimento + 3 cm metade da largura, e o aluno 12 encontrou a resposta de forma puramente visual, com isso obtiveram 5 cm para medida da diagonal, que é a correta. Os alunos acertaram também a escolha do menor caminho a ser percorrido, o que indica que se a questão estivesse no formato de múltipla escolha, acertariam a resposta. Um erro grave que ficaria mascarado por uma resposta correta. O aluno 18 chutou as medidas das duas diagonais e escreveu que a sua soma com um dos comprimentos da figura é igual à soma das medidas das beradas (lados do maior retângulo), ou seja, três comprimentos e duas larguras. Por falta de atenção, somou errado essas medidas e encontrou 19 cm em vez de 18 cm. Mas o erro mais grave desse aluno não foi no momento de somar as medidas, que pode ter sido por pura falta de atenção, e sim quando afirmou que tanto faz ir pelas diagonais ou pelas beradas, pois ambas tem a mesma distâncias de 19 cm. Com essa explicação, o aluno demonstrou deficiência de conceitos prévios sobre o Teorema de Pitágoras bem como de noções de menor distância e dificuldades para obter informação espacial. Erros devido a dificuldades na linguagem: O aluno 02 utilizou corretamente o Teorema de Pitágoras para determinar a diagonal do retângulo, mas errou na hora de escolher o menor caminho a ser percorrido e somar as medidas. Ele deu a seguinte justificativa para o que fez; pois só pode caminhar pelos lados. Num primeiro momento, classifiquei este erro como dificuldade para obter informação espacial, mas depois da entrevista, observei que se caracterizava num erro de leitura ou desatenção. Os conteúdos exigidos nesta questão, tanto o Teorema de Pitágoras como noções de menor distância, são trabalhados, costumeiramente em sala de aula, nos níveis de ensinos fundamental e médio. Mesmo sabendo que a maioria dos alunos conhece e sabe enunciar o teorema, observei que dos dezoito alunos

62 60 apenas três conseguiram identificar que deveriam tê-lo aplicado para resolver a questão. Se esta questão fosse aplicada em uma aula sobre Teorema de Pitágoras ou se fosse mencionado, no corpo da questão, qual conteúdo que deveria ter sido aplicado para resolvê-la, é provável que a maioria dos alunos teria acertado. Isto demonstra o quanto é importante trabalhar questões contextualizadas 13 que acostumem os alunos a investigarem as possíveis formas para a resolução de questões, baseadas tanto no conteúdo que está sendo estudado no momento como relacionadas aos conhecimentos acumulados ao longo das aulas de matemática. 3.4 QUESTÃO 17 DE 2005: O topo de uma escada de 25 m de comprimento está encostado na parede vertical de um edifício. O pé da escada está a 7 m de distância da base do edifício, como na figura. Se o topo da escada escorregar 4 m para baixo ao longo da parede, qual será o deslocamento do pé da escada? Esta questão estava presente somente na prova do nível 3 da OBMEP. Dos dezoito alunos que compõem esta amostra, um acertou a questão, sete deixaram-na em branco e dez erraram ou não concluíram a questão. Todas as resoluções dos alunos, bem como seus desenhos encontram-se no anexo H Definida na nota de roda pé da primeira seção do primeiro capítulo.

63 61 Erros devido a dificuldades na linguagem: Os alunos 07 e 10 confundiram o enunciado e o desenho, entenderam que os 25m de comprimento da escada seria a altura considerada da base do edifício até onde ela estava encostada. Sem utilizar nem fazer nenhum outro desenho, realizaram os seguintes cálculos: 25 metros da altura menos 4 metros igual a 21 metros e concluíram 7 metros de distância da base menos 4 metros igual a 3 metros e afirmaram que este seria o deslocamento do pé da escada. Diminuíram a mesma medida na altura e na base do triângulo que foi formado pela escada, o prédio e o solo, o que pode ser percebido em uma das entrevistas dos alunos: como o topo da escada diminui 4 metros pensei que era pra diminuir 4 metros na base. Já os alunos 01, 05, 12, 14, 15 e 18 seguiram o raciocínio parecido com os alunos 07 e 10. Entenderam que, à medida que a altura onde a escada está encostada (quando escorregar), é diminuída de um certo valor, erradamente, é aumentada o mesmo valor na medida na base. O raciocínio dos alunos utiliza a idéia de proporcionalidade de forma indevida. O aluno 02 tentou aplicar uma regra de três como se estivesse trabalhando com semelhança de triângulos. Errou também quando pensou que o comprimento da escada (hipotenusa) fosse a altura da base do prédio até o topo da escada, conforme resposta à entrevista achei que o valor 25m era a altura. Aqui também está embutida a utilização de proporcionalidade de maneira indevida É interessante observar nesta questão que os alunos não perceberam que não haviam entendido o enunciado. Tendo como base uma visão superficial dos erros, classifico-os como dificuldade na linguagem, mas existem outras classificações possíveis. Caso eu analise tais erros de forma mais profunda, posso também classificá-los como dificuldade em obter informação espacial pelo fato de os alunos não terem entendido o desenho e confundido a altura da base do prédio até o topo da escada com o comprimento da mesma. Houve erros de aplicação de regras quando usaram a idéia de proporcionalidade e de semelhança de triângulos de forma indevida. Devido à grande variedade de erros cometidos, posso englobar todos na classificação como deficiência de conteúdo.

64 QUESTÃO 04 DE 2006: Uma tira de papel retangular é dobrada ao longo da linha tracejada, conforme indicado, formando a figura plana da direita. Qual o valor do ângulo x? Esta questão estava presente na prova do nível 2 e também na prova do nível 3 da OBMEP. Dos dezoito alunos que compõem esta amostra, dois acertaram a questão, oito deixaram-na em branco e oito erraram ou não concluíram a questão. Todas as resoluções dos alunos, bem como seus desenhos encontram-se no anexo H-5. Erros devido a dificuldades na linguagem e para obter informação espacial: Os alunos 01, 04, 13, 16, e 17 resolveram a questão seguindo a mesma linha de raciocínio e cometeram o mesmo tipo de erro. No primeiro momento, parecem não ter entendido o enunciado e os dois desenhos. Ignoraram completamente o segundo desenho e realizaram os cálculos tendo como base apenas o primeiro, antes do papel de formato retangular ser dobrado, conforme é mencionado no enunciado da questão. Ao fazerem os cálculos, tais alunos demonstraram conhecer o valor de um ângulo raso e como se opera com ângulos suplementares; fato que numa questão de múltipla escolha seria impossível perceber e não valorizaria parte do conhecimento acumulado pelo aluno ao longo de sua vida escolar.

65 63 Erros devido a dificuldades na linguagem, de associação incorreta e erros devido a dificuldades para obter informação espacial: O aluno 10 desenhou um triângulo e aplicou o conceito de soma dos ângulos internos de um triângulo sobre o primeiro desenho, mas não deu continuidade, ignorando o segundo desenho. Parece-me que não entendeu o enunciado e o segundo desenho, pois o ignorou completamente. Erros devido à deficiência de pré-requisitos e devido a dificuldades para obter informação espacial: O aluno 05 não justificou sua resposta com conceitos ou conteúdos matemáticos para os valores encontrados, ele simplesmente chutou e fez a seguinte afirmação na parte da prova reservada para os cálculos: quando corta da 75º mas quando dobra deve dar 50º. Ele arriscou valores de forma puramente visual, fato justificado pela resposta dada à entrevista Porque a tira do papel no meus calculos tinha 100º mais cortaram no meio 50º só que diminuiram então um lado ficou mais que o outro 75º. O aluno 15 utilizou o mesmo raciocínio de seu colega e encontrou o mesmo resultado, mas diferentemente daquele, justificou os valores com equações. Na verdade, acredito que o aluno também encontrou o resultado visualmente e depois tentou justificar, por meio de equações. Considero esta questão de entendimento e enunciado simples, pois apresenta texto de apenas duas linhas, ou seja, poucas etapas a serem seguidas (apenas uma dobra) para sua resolução, diferente de outras questões que estão sendo analisadas nesta pesquisa. Além disso, é uma das poucas questões que fazem parte da prova do nível 2 (para alunos do oitavo e nono anos de escolaridade). Mesmo assim, dos dezoito alunos de ensino médio participantes da pesquisa, apenas três acertaram a questão. Isso mostra, mais uma vez, que a deficiência dos alunos em geometria vai se acumulando desde os primeiros anos do ensino fundamental. Credito a maior dificuldade dos alunos no momento de

66 64 resolverem esta questão, ao entendimento do segundo desenho, pois não compreenderam a dobra realizada. Por esse motivo, classifico todos os erros cometidos nesta questão como dificuldades para obter informação espacial. 3.6 QUESTÃO 05 DE 2006: Os comprimentos dos lados do triângulo da figura são números inteiros. Junto a cada vértice aparece o produto dos comprimentos dos lados a ele adjacentes. Qual é o perímetro do triângulo? Esta questão estava presente somente na prova do nível 3 da OBMEP. Dos dezoito alunos que compõem esta amostra, dois acertaram a questão, quatro deixaram-na em branco e doze erraram ou não concluíram a questão. Todas as resoluções dos alunos, bem como seus desenhos encontram-se no anexo H-6. Erros devido à deficiência de pré-requisitos e devido a associações incorretas: O aluno 04 deixou a questão em branco, mas respondeu no questionário, na parte reservada para comentários, que Precisaria da fórmula (cateto oposto, adjacente, hipotenusa) para saber quanto valeria cada lado p/ depois somá-los. O aluno se referiu, talvez, ao Teorema de Pitágoras mesmo que não o tenha enunciado. O conteúdo mencionado por ele era inadequado para resolver essa questão. Cabe observar que no seu comentário, o aluno demonstrou ter a noção de perímetro.

67 65 Erros devido a dificuldades na linguagem: O aluno 10 se confundiu no enunciado, pois quando fala na questão números inteiros ele parece ter entendido inteiros consecutivos, pelo que foi demonstrado, tanto no seu desenho, como nos cálculos realizados, se apropriou ou inventou tal termo que não existem na questão. Daí em diante, o aluno se perdeu totalmente no restante da questão. Considerou vértices como se fossem lados e os somou para determinar o perímetro. Os alunos 02, 05, 07, 11, 12, 15, 16, 17 e 18 consideraram os vértices do triângulo como lados e os somaram para achar o perímetro, embora o enunciado da questão fosse claro: Junto a cada vértice aparece o produto dos comprimentos dos lados a ele adjacentes. A grande quantidade de alunos que incidiram no mesmo erro, indica a dificuldade de leitura e interpretação de texto, inclusive texto matemático o que corrobora a classificação como dificuldade de linguagem. O aluno 01 deixou a questão em branco, mas fez uma breve referência, na parte dos comentários, de como se determina o perímetro de um polígono. Quando escreveu somente soma dos lados, mostrou que sabia como encontrar o perímetro, mas não como determinar os lados do triângulo, talvez por não entender o enunciado ou por falta de conceitos prévios tais como sistema de equações do 1º grau ou múltiplos comuns, para aplicá-los na questão. O referido aluno demonstrou domínio parcial de conteúdos. Não classifiquei o que fez o aluno 06 em nenhum tipo de erro, pois ele deixou o espaço reservado para os cálculos em branco, mas no questionário respondeu, de maneira que pode ser considerada correta, da seguinte forma: Eu procuraria saber os múltiplos comuns de cada número e os somaria p/ saber o perímetro. Não mencionou por que razão não resolveu a questão, talvez tenha sido pelo fato de que não tinha certeza a respeito do que havia respondido no questionário ou pela demora em encontrar os múltiplos comuns. Como o aluno escreveu corretamente o que era para ter sido feito a fim de resolver a questão, não pude identificar e, posteriormente, classificar qual foi o erro cometido. Os procedimentos envolvidos para resolver esta questão, descritos nos dois últimos parágrafos, mostram se houve ou não domínio de alguns tópicos por parte dos alunos, independentemente de eles terem chegado ao resultado esperado.

68 66 Numa questão de múltipla escolha, tal domínio seria mascarado por uma resposta incorreta. Uma vez que o formato múltipla escolha encoberta o processo para se chegar a algumas respostas, seria impossível para um professor utilizar os erros ou acertos nesta questão como base no processo de ensino-aprendizagem dos conteúdos envolvidos. 3.7 QUESTÃO 06 DE 2007: José e seus parentes moram em algumas das cidades A, B, C, D e E, indicadas no mapa com as distâncias entre elas. Ele saiu de sua cidade e viajou 13 km para visitar seu tio, depois mais 21 km para visitar sua irmã e, finalmente, mais 12 km para ver sua mãe. Em qual cidade mora a mãe de José? Esta questão estava presente na prova do nível 2 como também na prova do nível 3 da OBMEP. Dos dezoito alunos que compõem esta amostra, um acertou a questão, sete deixaram-na em branco e dez erraram ou não concluíram a questão. Todas as resoluções dos alunos, bem como seus desenhos encontram-se no anexo H-7. Erros devido a dificuldades na linguagem: Os alunos 12, 14 e 16 erraram na justificativa, mas acertaram a resposta. Tiveram problemas na interpretação do enunciado da questão, pois em um trecho do

69 67 enunciado pede para se percorrer uma determinada distância e depois mais outra, e não somar distâncias, o que pode ser verificado pela resposta do aluno 16 à entrevista: José mora na cidade E e somei 13 mais o 8 que deu 21 no ponto A, quando era para ter percorrido 13 km (distância entre duas cidades) e depois mais 21 km. Os alunos 05, 15 e 17 deram justificativas erradas, semelhantes às dos colegas já citados anteriormente. No entanto, estes três erraram a resposta da questão por falta de atenção no último momento, quando foram somar os valores finais das distâncias. O aluno 05 foi o único a afirmar no questionário que não tinha entendido o enunciado. Os alunos 01, 04, 06 e 10 acertaram a resposta, mas também erraram a justificativa, porém não fizeram como os colegas citados nos parágrafos anteriores. Cometeram erros na interpretação do enunciado por falta de atenção ou concentração e desprezaram as distâncias percorridas quando mudaram de posição (cidade). Esses erros foram observados nas soluções dos alunos 01, 04 e 06 e na resposta do aluno 01 à entrevista: Primeiro pensei que José morasse na cidade E p/ ir à casa do tio C, voltei na cidade E p/ ir até a casa de sua irmã A. Ao invés de eu voltar na cidade E de novo, eu continuei na casa A para ir até a casa da mãe (para dar 12 km). Os alunos entenderam que José teria de voltar à casa de origem para percorrer a segunda distância e não perceberam que, na volta, estaria percorrendo mais alguns quilômetros. As maiores dificuldades encontradas pelos alunos nesta questão foram de interpretação do texto e de obedecer a seqüência dos passos propostos. Vale ressaltar que se esta questão estivesse no formato de múltipla escolha, sete dos dez alunos que tentaram resolvê-la, teriam acertado a resposta, embora tivessem cometido erros de interpretação e de raciocínio e suas justificativas estivessem erradas. Novamente, sem medo de ser redundante, afirmo que numa questão de múltipla escolha seria impossível perceber tais erros, pois eles ficariam mascados pela resposta correta. Portanto, no processo de ensino-aprendizagem não teria significado algum, uma questão como essa vinculada à múltipla escolha, tanto para alunos e principalmente, para que os professores pudessem minimizar e trabalhar com os erros e com os conteúdos exigidos na questão em sala de aula.

70 QUESTÃO 04 DE 2008: Com os quadradinhos de lado 1 cm, constrói-se uma seqüência de retângulos acrescentando-se, a cada etapa, uma linha e duas colunas ao retângulo anterior. A figura mostra os três primeiros retângulos dessa seqüência. Qual é o perímetro do 100º retângulo dessa seqüência? Esta questão estava presente somente na prova do nível 3 da OBMEP. Dos dezoito alunos que compõem esta amostra, quatro acertaram a questão, sete deixaram-na em branco e sete erraram ou não concluíram a questão. Todas as resoluções dos alunos, bem como seus desenhos encontram-se no anexo H-8. Erros devido a dificuldades na linguagem: Os alunos 01, 10, 15 e 17 interpretaram errado o enunciado e não o desenho. Todos utilizaram o mesmo raciocínio nas suas resoluções. A questão pede para acrescentar uma linha e duas colunas a um primeiro retângulo, o qual contém uma linha e uma coluna, até chegar ao centésimo retângulo. O problema é que os alunos não observaram que a partir da figura, teriam que iniciar o processo. Consideraram erroneamente que o primeiro retângulo possuía uma linha e nenhuma coluna. Dessa forma, generalizaram o raciocínio e obtiveram o centésimo retângulo, com cem linhas e duzentas colunas, o que pode ser observado na resolução do aluno 10. Provavelmente, os alunos não exploraram as figuras existentes na questão. Encontraram uma coluna a mais, e erraram na hora de calcular o perímetro. Mas, por outro lado, demonstraram conhecer o conceito de perímetro.

71 69 Os alunos 12 e 14 tiveram interpretações parecidas e erradas do enunciado e do desenho, consideraram que o centésimo retângulo fosse um quadrado com cem colunas e cem linhas. O aluno 04 enxergou corretamente que o primeiro retângulo só tinha uma coluna, ou seja, acertou a quantidade de colunas, mas errou, por desatenção, quando considerou que a quantidade de colunas era igual à quantidade de linhas, pois as linhas e as colunas não aumentavam nas mesmas proporções. Todos os alunos cometeram erros na mesma classificação. Penso que a principal causa dos erros nesta questão foi a dificuldade que os alunos tiveram em associar a linguagem corrente (enunciado) ao desenho e depois traduzir para uma linguagem matemática a seqüência que elaboraram. Houve pouca exploração dos desenhos, pois dos dezoito alunos participantes da pesquisa, apenas quatro deram continuidade na elaboração da seqüência dos retângulos a fim de validarem seus raciocínios, e destes quatro, dois acertaram a resposta. Vale destacar então a importância da utilização de desenhos nas resoluções de questões e no processo para obter uma expressão matemática para a seqüência. Embora a questão fosse de geometria, o aluno poderia utilizar a passagem para expressão algébrica. Parece-me que a maioria dos estudantes tem medo de lidar com desenhos e gráficos, por isso os utilizam pouco no momento em que deveriam explorá-los para facilitar e auxiliar na resolução de questões. Este problema pode ser minimizado se os professores derem mais atenção a questões que desenvolvam essas habilidades em seus alunos durante os primeiros anos de escolarização. 3.9 QUESTÃO 08 DE 2008: Uma tira retangular de cartolina, branca na frente e cinza atrás, foi dobrada como na figura, formando um polígono de 8 lados. Qual é o perímetro desse polígono?

72 70 Esta questão estava presente somente na prova do nível 3 da OBMEP. Dos dezoito alunos que compõem esta amostra, nenhum acertou a questão, sete deixaram-na em branco e onze erraram ou não concluíram a questão. A questão pede para encontrar o perímetro de uma tira retangular de cartolina depois de ser dobrada algumas vezes formando um polígono de oito lados, conforme os desenhos apresentados na questão. Todas as resoluções dos alunos, bem como seus desenhos encontram-se no anexo H-9. Erros devido a uma aprendizagem deficiente de pré-requisitos: O aluno 09 foi o único a aplicar corretamente o Teorema de Pitágoras em dois dos lados da figura, mas cometeu um erro de falta de atenção ou de manipulação de algoritmos quando fazia a fatoração de um número. Ele dividiu e também somou errado. Os erros cometidos por este aluno necessariamente não significam que ele errou a questão por completo, pois foi o único que aplicou os conteúdos exigidos e interpretou tanto o enunciado como o desenho de forma correta. Se esta questão estivesse originalmente no formato de múltipla escolha, este aluno talvez errasse a resposta. Da forma como foi aplicada (discursiva), eu, como professor, consideraria que o aluno, em parte, acertou a questão. Os alunos 02, 04, 05, 06, 07, 13 e 17 interpretaram o enunciado e o desenho corretamente, ou seja, eles sabiam que tinham que encontrar o perímetro, entenderam quais eram os lados do polígono após todas as dobras na tira retangular, e também encontraram corretamente as medidas de seis dos seus oito lados. O problema ocorreu no momento de identificar que deveriam aplicar o Teorema de Pitágoras em dois dos lados da figura. Nenhum dos alunos acima enxergou isso. Pela resposta à entrevista do aluno 05, é possível ver que tais medidas foram encontradas de forma puramente visual ou por comparação: Eu achei que era 14 cm porque um lado tinha 12 cm, e tinha um outro que era um pouco maior eu acho uns 2 cm então deu 14 cm. Com base no raciocínio usado pelos alunos para resolverem a questão, chego à conclusão de que eles, muitas vezes trazem para a sala de aula um saber

73 71 que ainda está em um nível muito impreciso. Sendo que essa é a uma das formas que eles encontram para resolver problemas no dia-a-dia. Como todos os alunos desta pesquisa são de ensino médio, entendo que a escola precisa prepará-los para o exercício da profissão, sendo que essa é uma de suas finalidades como consta em todo momento nos PCN e principalmente na Lei de Diretrizes e Base da Educação Nacional (LDB) no segundo inciso do artigo 35. Isso exige, em muitos casos; abstração, precisão de raciocínio, de cálculos, etc. Como professor; vejo a necessidade de se trabalhar em sala de aula a fim de que os alunos percebam que tal precisão é uma importante contribuição da matemática para suas vidas profissionais. Erros devido a dificuldades para obter informação espacial: Os alunos 12, 14 e 16 se enganaram na interpretação das dobras dos desenhos, e com isso realizaram a soma dos lados com as medidas erradas, mas mostraram que entenderam que deveriam encontrar o perímetro da figura e como isto seria feito. Nesta questão, verificar a exigência e a aplicabilidade do conhecimento de vários conteúdos, sendo que o principal foi o Teorema de Pitágoras, costumeiramente trabalhado em sala de aula, e com aplicações distintas para os níveis fundamental e médio. Mas mesmo sabendo que a maioria dos alunos conhece e sabe enunciar o teorema, dos dezoito alunos apenas um conseguiu visualizar sua aplicação. Se esta questão estivesse sendo trabalhada em uma aula como um exemplo de aplicação do Teorema de Pitágoras ou se fosse indicado qual conteúdo deveria ter sido aplicado para resolvê-la, possivelmente a maioria dos alunos teria acertado a questão, pois a grande dificuldade que muitos estudantes encontram é no momento de escolher quais conteúdos devem ser aplicados nas resoluções das questões. Relembro, então, a importância de atividades que envolvam mais de um conteúdo matemático para que os alunos investiguem quais formas de resolução podem ser aplicados nas questões e consigam utilizar conceitos aprendidos previamente em momentos diversos e não somente quando estão sendo estudados.

74 72 Para justificar melhor essa assertiva, acredito ser oportuno descrever um comentário que meu filho, aluno do 9º ano de uma das melhores escolas particulares do município de Nova Iguaçu, segundo resultados do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), com treze anos de idade, fez durante o desenvolvimento desta pesquisa e sem saber do que ela tratava. Antes de tirar dúvidas sobre uma questão de geometria plana que não era da OBMEP e sim do livro didático usado em seu colégio, afirmou que a questão era muito difícil, perguntei por qual razão ele achava isso e ele respondeu da seguinte forma: pai, é muito chato quando tem que usar um monte de coisas pra resolver uma questão, se referindo, é claro, à quantidade de conteúdos diferentes usados para resolvê-la. Este comentário reforça a conclusão feita por mim no parágrafo anterior: de que é muito difícil para os alunos aplicarem vários conteúdos para a resolução de uma mesma questão Gráfico da Classificação dos erros 50 Quantidade de Erros Erros devido à dificuldade na linguagem Erros devido à deficiência de prérequisitos Erros devido à dificuldade em obter informação espacial 5 Erros devido a associações incorretas ou rigidez de raciocínio 1 Erros devido à aplicação de regras ou estratégias irrelevantes Tipos de Erros Gráfico 1: Classificação de erros Depois de analisar e classificar as resoluções de cada aluno nas questões, obtive um total de 96 erros. Os dados do gráfico 1 mostram que os erros referentes a dificuldades na linguagem correspondem a 59%. Essa evidência pode indicar a deficiência dos alunos em interpretar textos, em seguir passos do enunciado e passar da linguagem corrente para linguagem matemática, inclusive em textos simples como foi percebido durante a análise e pelo comentário de um dos alunos Essas provas deveriam ter linguagens mais claras, porque na sala a gente aprende de uma maneira bem mais simples. Os erros devido à deficiência de pré-requisitos (22%) e em obter informação espacial (13%), juntos foram responsáveis por 35% dos erros. Esses

75 73 erros podem indicar a falta de uma seqüência de trabalho, de um planejamento que vise um trabalho progressivo entre séries, ou seja, um professor inicia o trabalho com geometria em um determinado ano letivo e outro profissional o interrompe. Os conteúdos deixam de ser trabalhados ou caem no esquecimento o que causa uma reação de medo, nos alunos, quando trabalhamos com desenhos e gráficos em sala de aula. Credito os 6% restantes dos erros a associações incorretas ou rigidez de raciocínio e à aplicação de regras ou estratégias irrelevantes a falta de atenção dos alunos por causa da pouca ocorrência dos mesmos. Os resultados demonstrados no gráfico reforçam as conclusões e sugestões realizadas ao longo deste capítulo em cada questão.

76 74 CONSIDERAÇÕES FINAIS Os resultados obtidos na pesquisa reforçam as conclusões feitas em cada questão e sugestões de trabalho em sala de aula que serão realizadas nesta seção. Mas, em particular defendo, antes de qualquer coisa, que sejam destinados tempos de aula, não professores, exclusivos para geometria e o trabalho com desenho geométrico desde as séries inicias. Tal necessidade foi sentida também por doze alunos, através de comentários (anexo I) como: Preciso de reforço para geometria para melhorar meu desempenho, ou por pedidos de aula de reforço de geometria e pelo posicionamento de alunos que reclamaram não estudar o assunto. Dois comentários chamaram mais minha atenção, pois já compartilhava deste pensamento antes mesmo desta pesquisa: Deveríamos fazer aula da disciplina geometria separada da matemática. Tem uma carência muito grande em geometria poderíamos ter aulas de reforço para melhor desempenho e Nós temos professores de matemática não de geometria. Deveriam preparar a gente melhor para essas provas. As dificuldades dos alunos já ficaram evidentes logo no início da pesquisa quando foram aplicadas vinte oito questões e apenas nove foram selecionadas, pois tiveram uma quantidade de resoluções consideráveis para análise, ou seja, dezenove questões tiveram pouca produção escrita, conforme pode ser visto nos anexos C e C-1. A questão 02 de 2005 exigia muita atenção na interpretação devido a vários procedimentos a serem seguidos, abstração geométrica e conhecimento de área do retângulo. Dos dezoito alunos participantes doze tentaram resolver, três acertaram e nove erraram. Cinco alunos cometeram erros referentes à dificuldade na linguagem, isto mostra a deficiência que têm em seguir passos e procedimentos e a necessidade de se apoiar no concreto, pois durante a prova tentaram realizar as etapas, referentes às dobras, na folha de prova. Três alunos cometeram erros referentes à deficiência de pré-requisitos, ao não se lembrarem da fórmula da área do retângulo. Talvez pela falta de um trabalho contínuo com geometria. Houve também um erro referente à aplicação de regras, pois o estudante utilizou a fórmula da área do triângulo no lugar da área do retângulo.

77 75 Também foi observada a troca da definição de retângulo pela do triângulo, ou seja, foi utilizado o desenho de um triângulo em vez de um retângulo, erro assustador para ser cometido por um aluno do ensino médio. Estas deficiências podem ser minimizadas com o trabalho de geometria de forma concomitante com álgebra e aritmética e com a utilização de figuras e representações geométricas. É interessante que o professor se preocupe em oferecer questões e atividades que envolvam abstração, e as gradue de acordo com cada ano de escolaridade. Assim, o aluno poderá ser capaz de resolver problemas que envolvam geometria sem ter a necessidade de buscar excessivo apoio no concreto, pois nesse nível de escolaridade o aluno já deve ter condições de abstrair. Na questão 03 de 2005 foram cobrados conhecimentos de transformações de unidades de comprimento e de tempo e conteúdos referentes aos lados e aos ângulos do triângulo eqüilátero. Mesmo a cobrança sendo feita sobre conhecimentos básicos de geometria nenhum aluno acertou a questão, oito não tentaram e dez erraram. Considero a questão de enunciado simples e de fácil entendimento, mas mesmo assim sete alunos cometeram erros devido à dificuldade na linguagem, dois de associações incorretas e um em obter informação espacial. Os dez alunos entenderam que teriam de transformar as unidades; apenas um que entendeu o enunciado e não interpretou o desenho corretamente, chegou perto de utilizar os conhecimentos sobre triângulos eqüiláteros, por isso não posso afirmar se saberiam ou não aplicar tais conhecimentos. Os conteúdos cobrados na questão 08 de 2005 são: de menor distância e o Teorema de Pitágoras, o enunciado é objetivo, claro e com poucas etapas, talvez por isso apenas um aluno tenha cometido erro de dificuldade na linguagem, acredito que por falta de atenção e não por dificuldade de interpretação. Os conteúdos cobrados são trabalhados costumeiramente em sala de aula, mas pela análise dos nove erros e considerando que sete foram em deficiência de pré-requisitos, credito o problema à dificuldade que os alunos têm em definir qual conteúdo deve ser aplicado. Na questão 17 de 2005 deveria ser aplicado duas vezes o teorema de Pitágoras e depois analisar a diferença entre os resultados. Dos dezoito alunos, sete deixaram em branco, um acertou e dez erraram. Os dez erros foram referentes a dificuldades na linguagem, mas alguns também em obter informação espacial, ou seja, com as duas classificações. Isto porque a questão exigia um desenho para a

78 76 primeira vez que deveria ser aplicado o teorema de Pitágoras e outro desenho, que deveria ser feito pelo aluno, para segunda aplicação. Vale ressaltar que todos acreditavam ter entendido completamente o enunciado. Na questão 04 de 2006 foi cobrado apenas o conhecimento da medida do ângulo raso e pouca interpretação do enunciado, pois continha um texto simples de duas linhas e dois desenhos mostrando as etapas a serem seguidas para que os alunos pudessem se apoiar para resolvê-la. O nível de cobrança da questão era baixo para alunos de ensino médio, inclusive porque ela estava presente também na prova dos oitavo e nono anos de escolaridade. Considero que esta foi a questão mais simples da pesquisa, porém teve apenas dois acertos e incríveis oito erros, todos em obter informação espacial. Todos os erros tiveram mais de uma classificação. Cinco alunos se equivocaram na interpretação, mas mostraram conhecer o valor do ângulo raso e como se opera com ângulos suplementares, portanto manifestaram dificuldade na linguagem, dois alunos apresentaram deficiência em conceitos prévios e um que cometeu os três tipos de erros. As maiores exigências da questão 05 de 2006 são de assuntos como números inteiros, múltiplos e sistemas de equações, referentes à álgebra e aritmética, por isso poderia não considerar esta questão como de geometria, mas como a pergunta era sobre o perímetro do triângulo a inclui na pesquisa. Após a análise notei que a maior dificuldade dos alunos foi em encontrar os lados do triângulo, pois os quatorze que tentaram resolver a questão sabiam como encontrar o perímetro, pelo que ficou demonstrado nos comentários. Onze alunos cometeram erros de dificuldade na linguagem, um de conceitos prévios e associações incorretas e apenas dois encontraram os lados do triângulo e acertaram a questão. Todos os dez erros da questão 06 de 2007 foram classificados como de dificuldade na linguagem. A questão estava presente na prova dos alunos do nível 2 e 3 e tinha como única cobrança o conteúdo de distância. Tal questão poderia ser considerada a mais simples da pesquisa, mas não a considerei desta forma devido a: necessitar da realização de vários procedimentos e pelo fato de que os números, da pesquisa em geral e principalmente nesta questão, comprovam a dificuldade que os alunos encontram em interpretar enunciados deste tipo. Causou-me surpresa que a questão 04 de 2008, que eu considerava uma das mais difíceis da pesquisa, devido a várias etapas, fosse, com quatro acertos, a que os alunos mais acertaram. Os sete erros cometidos foram de dificuldade na

79 77 linguagem. A questão cobrou apenas perímetro do retângulo como conteúdo e exploração dos desenhos. A dificuldade encontrada pelos alunos foi em associar a linguagem corrente aos três desenhos oferecidos e transformarem em linguagem matemática para darem continuidade à seqüência proposta. Houve pouca exploração dos desenhos, pois nenhum aluno que errou a questão os utilizou e apenas dois dos que acertaram parecem tê-los utilizado para validar seus raciocínios. Concluo a partir das dificuldades encontradas pelos alunos como é importante a utilização de desenhos e gráficos. A questão 08 de 2008 cobrou como conteúdo, novamente, o Teorema de Pitágoras e o perímetro de um polígono. Oito erros foram devidos a uma aprendizagem deficiente de pré-requisitos, ou seja, na manipulação de algoritmos ou na identificação de que conteúdo matemático deveria ser aplicado. Três alunos tiveram dificuldade em obter informação espacial, pois não entenderam as etapas realizadas nos desenhos e nenhum aluno acertou a questão. Posso utilizar um exemplo que aconteceu nesta pesquisa e que acontece no dia-a-dia. Numa das questões precisava ser usado o Teorema de Pitágoras, mas apenas um aluno enxergou sua aplicação depois que eu, como professor, disse o que era para usar veio a reação só isso. A seguir, exporei algumas das conclusões gerais a respeito da pesquisa efetuada, mas que se baseiam também na minha prática como professor de matemática da rede pública, interessado na melhoria do ensino de matemática, particularmente do ensino de geometria e na possível inclusão de meus alunos no processo de premiação da OBMEP, pois sei que a realidade de meus alunos é parecida com a de muitos outros estudantes que freqüentam escolas públicas em grandes centros urbanos. A maior quantidade de erros analisados recaiu sobre a dificuldade de linguagem. Observo que facilitaria na melhoria dessa deficiência se o professor propusesse uma maior utilização em sala de aula de problemas de aplicação que requerem mudança da linguagem escrita com palavras para uma linguagem matemática adequada de modo que se possam identificar e utilizar os algoritmos apropriados para a resolução dos mesmos Buriasco (2002, p.261). Segundo Butts (1997) esta é uma das formas que um problema matemático pode ser dividido. Uma preocupação surgiu em relação à formulação das questões da OBMEP para seleção dos alunos para segunda fase, pois na pesquisa observei que

80 78 os alunos realizaram os cálculos errados e chegaram à resposta correta, mesmo sem as alternativas e sem concluir a resolução. Verifiquei que grande parte dos alunos acertaria a resposta da questão, se ela estivesse no formato múltipla escolha, mesmo que os procedimentos e justificativas estivessem errados. O formato de múltipla escolha mascara e encobre os erros cometidos, tornando a seleção para a segunda fase pouco confiável, com o agravante de que é impossível que um professor possa utilizar os erros ou acertos como base no processo de ensinoaprendizagem dos conteúdos envolvidos. Outro aspecto que observei é que pelo fato da geometria plana não ser uma disciplina específica contida no currículo, e sim um desmembramento da matemática, como álgebra e aritmética, mas devido a sua fundamental importância, sob o ponto de vista histórico, teórico e aplicativo, torna-se imprescindível que o professor de matemática repense seu planejamento anual de forma a incluí-la, pelo menos, no início do terceiro bimestre e não deixá-la para o fim do ano letivo, como muitos profissionais fazem. O mais aconselhável, seria reservar parte dos tempos de aula e trabalhá-la durante todo o ano letivo. Infelizmente, o que ocorre é que, em muitos casos, o professor chega ao final do ano sem concluir todo o conteúdo proposto, seja pela falta de tempo ou pela falta de domínio do assunto. Esse descaso com a geometria traz conseqüências mais sérias, se for considerado o baixo desempenho de nossos alunos nos exames aos quais são submetidos como: IDEB, Prova Brasil, Nova Escola (somente no estado do Rio de Janeiro), dentre outros. Em relação à análise de erro como instrumento para a aprendizagem temse que, quando o aluno erra ele está, na verdade, pondo em ação seus conhecimentos prévios, testando hipóteses e possibilidades e esperando do professor feedback, positivo ou não, para que continue utilizando as habilidades já construídas ou opte por usar outros conhecimentos apresentados por seu professor. Este, por sua vez, precisa estimular a capacidade de seus alunos em construir e expor seu próprio conhecimento, organizando suas estratégias, criando e testando hipóteses. Dessa forma, o docente terá maiores chances de fazer com que seus alunos entendam que a matemática não é tão difícil como é estigmatizada. Concluo de minha pesquisa que o professor deveria aprender a identificar os diferentes tipos de erros cometidos pelos alunos, distinguir qual a natureza de cada um desses erros, bem como que ações precisa realizar para explorá-los a fim

81 79 de minimizar as deficiências no aprendizado e fazer com que os alunos entendam seus erros e como podem saná-los. Entendo também que a exploração dos erros deve servir para o aperfeiçoamento do professor, seja na sua metodologia de ensino, assim como despertar a necessidade de testar seus conhecimentos matemáticos.

82 80 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BERTONHA, R. A. O ensino de geometria e o dia-a-dia na sala de aula Dissertação de Mestrado. Campinas. SP. Faculdade de Educação. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática: ensino de primeira a quarta séries. 3. ed. Brasília, Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática: ensino de quinta a oitava séries. Brasília, BURIASCO, R. L. C. Avaliação em matemática: um estudo das respostas dos alunos e professores. Marília, Tese (Doutorado em Educação) - Universidade Estadual Paulista, Marília Algumas considerações sobre avaliação educacional. In: Estudos em Avaliação Educacional, São Paulo, n. 22, jul./dez Sobre a avaliação em matemática: uma reflexão. Educação em Revista, Belo Horizonte, v. 7, n. 36, dez CASTILLO, S. F. R (1989) Geometria até onde a vista alcança. Revista AMAE Educando. 203, p Belo Horizonte.apud KALEFF, A. M. (1994) Tomando o Ensino de Geometria em nossas mãos. A Educação Matemática em Revista, Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM), ano I, nº2 p CENTRO de Informações e Dados do Rio de Janeiro (CIDE). Rio de Janeiro. Disponível em < Acessado em: 04 de abril de CRESWELL, J. Projeto de pesquisa: métodos qualitativo, quantitativo e misto. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, CARRAHER, T.; CARRAHER, D.; SCHLIEMANN, A. Na vida dez, na escola zero. 10a. edição. São Paulo: Cortez, CURY, H. N. Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.

83 81 CURY, H. N. Análise de erros em disciplinas matemáticas de cursos superiores. Anais do III Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. Águas de Lindóia, Brasil: SBEM DALTO, J. O. A Produção Escrita em Matemática: análise interpretativa da questão discursiva de Matemática comum à 8ª série do Ensino Fundamental e à 3ª série do Ensino Médio da AVA/ p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Londrina, Londrina, D AMBROSIO, U. Educação matemática: da teoria à prática. 4ª ed. Campinas, SP: Papirus, Desafios da educação matemática no novo milênio. Educação Matemática em Revista, São Paulo, Ano 8, n. 11, dez DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de matemática. São Paulo: Atlas, DRUCK, S. Um pouco da OBMEP. Revista do Professor de Matemática (RPM). Rio de Janeiro, Nº 68, p , ESTEBAN, M. T. Avaliar: ato tecido pelas imprecisões do cotidiano. Disponível em: < Acesso em: 10 maio FIORENTINI, D. Alguns modos de ver e conceber o ensino da matemática no Brasil. Revista Zetetiké, Campinas, ano 3, n HADJI, C. A avaliação regras do jogo: das intenções aos instrumentos. 4. ed. Portugal: Porto Editora, LUCKESI, C. C. Avaliação da aprendizagem escolar: estudos e proposições. São Paulo: Cortez, 12. Edição LUCKESI, C. C. Prática escolar: do erro como fonte de castigo ao erro como fonte de virtude. In: LUCKESI, C. C. A construção do projeto de ensino e a avaliação. São Paulo: FDE, (Série Idéias, n.9).

84 82 NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS. Normas para o currículo e a avaliação em matemática escolar. Lisboa: Associação de Professores de Matemática e Instituto de Inovação Educacional, Normas para avaliação em matemática escolar. Lisboa: Associação de Professores de Matemática e Instituto de Inovação Educacional, OLIMPÍADA Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Rio de Janeiro. Disponível em < Acessado em: agosto de OLIVEIRA, D. S. Desigualdades Sócio-Espaciais e Vulnerabilidade Juvenil no Contexto Metropolitano: o Caso da Cidade de Nova Iguaçu p. Dissertação (Mestrado em Estudos Populacionais e Pesquisas Sociais, área de concentração, Produção e Análise da Informação Geográfica) da Escola Nacional de Ciências Estatísticas (Ence), Rio de Janeiro, ONUCHIC, L. de la R, ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, M. A. V. e BORBA, M.(org.) Educação matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, PAVANELLO, R. M. O abandono de ensino de geometria: uma visão histórica p. Dissertação de mestrado. Unicamp. Campinas. SP. Faculdade de Educação. PAVANELLO R. M. O Abandono do Ensino da Geometria no Brasil. Revista Zetetiké. Ano 1, no PEREIRA, M. R. O. A geometria escolar: uma análise dos estudos sobre o abandono de seu ensino p. Dissertação de Mestrado. PUC-SP Faculdade de Educação. PINTO, N. B. O Erro como Estratégia Didática. Campinas: Papirus, RADATZ, H. Error Analysis in Mathematics Education. Journal for Research in Mathematics Education v.10, n.2, p Maio, RIVERO, C. M. L.; GALLO, S. Apresentação. In: RIVERO, C. M. L.; GALLO, S. A formação de professores na sociedade do conhecimento. São Paulo: EDUSC, 2004.

85 83 SEGURA, R. O. Estudo da Produção Escrita de Professores em Questões Discursivas de Matemática p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) - Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Londrina, Londrina, SILVA, M. C. N. Do observável para o oculto: um estudo da produção escrita de alunos da 4ª série em questões de matemática. 123 p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Londrina, Londrina, VIANA, O. A. O Conhecimento Geométrico de Alunos do CEFAM sobre figuras Espaciais: Um estudo das habilidades e dos níveis de conceito. Dissertação de Mestrado, Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Educação, 2000.

86 84 ANEXO A- PROVAS E QUESTIONÁRIOS APLICADOS Questões da OBMEP de Uma folha de papel retangular, de 10 cm de largura por 24 cm de comprimento, foi dobrada de forma a obter uma folha dupla, de 10 cm de largura por 12 cm de comprimento. Em seguida, a folha dobrada foi cortada ao meio, paralelamente à dobra, obtendo-se assim três pedaços retangulares. Qual é a área do maior desses pedaços? 3. Dois amigos partem ao mesmo tempo do ponto P e se afastam em direções que formam um ângulo de 60º, conforme mostra a figura. Eles caminham em linha reta, ambos com velocidade de 6 km/h. Qual será a distância entre eles 1 minuto após a partida? 8. Uma formiga está no ponto A da malha mostrada na figura. A malha é formada por retângulos de 3 cm de largura por 4 cm de comprimento. A formiga só pode caminhar sobre os lados ou sobre as diagonais dos retângulos. Qual é a menor distância que a formiga deve percorrer para ir de A até B?

87 Uma parede de 3 metros de altura por 9 metros de comprimento foi inteiramente coberta com azulejos quadrados de 10 cm de lado. Foram usados dois tipos de azulejos: um totalmente branco e o outro preto e branco. A figura representa o padrão usado, a partir do canto inferior esquerdo da parede. Qual é a área da parede coberta com a cor branca? 13. Para cercar um terreno retangular de 60 metros quadrados com uma cerca formada por dois fios de arame foram usados 64 metros de arame. Qual é a diferença entre o comprimento e a largura do terreno? 14. Uma escola resolveu construir uma pista de corrida, formada por dois trechos retos de comprimento C e dois trechos semicirculares de raio igual a 10 metros, conforme indicado na figura (não se leva em conta a largura da pista). C 20 C Os alunos da escola propuseram cinco valores para C: 20 m, 25 m, 30 m, 35 m e 40 m. Para qual desses valores de C a soma dos comprimentos dos trechos retos está mais próxima da soma dos comprimentos dos trechos semicirculares?

88 Na casa de Manoel há uma caixa d água vazia com capacidade de 2 metros cúbicos. Manoel vai encher a caixa trazendo água de um rio próximo, em uma lata cuja base é um quadrado de lado 30 cm e cuja altura é 40 cm, como na figura. No mínimo, quantas vezes Manoel precisará ir ao rio até encher completamente a caixa d água? 17. O topo de uma escada de 25 m de comprimento está encostado na parede vertical de um edifício. O pé da escada está a 7 m de distância da base do edifício, como na figura. Se o topo da escada escorregar 4 m para baixo ao longo da parede, qual será o deslocamento do pé da escada? Escada A figura mostra um polígono ABCDEF no qual dois lados consecutivos quaisquer são perpendiculares. O ponto G está sobre o lado CD e sobre a reta que passa por A e E. Os comprimentos de alguns lados estão indicados em centímetros. Qual é o perímetro do polígono ABCG? D G C F 3 E 4 6 A 8 B

89 87 Não resolvi a questão, pois: 1) Não entendi o enunciado, da(s) questão (ões): )Não entendi o desenho, da(s) questão (ões): )Não entendi o assunto nas aulas de matemática, da(s) questão (ões): ) Se você não se lembrar da fórmula para resolver a(s) questão (ões), explique como seria resolvida a questão se soubesse a fórmula. Utilize o espaço abaixo. Caso o espaço não seja suficiente, explique no verso. Questão 2 Questão 3 Questão 8 Questão 12 Questão 13 Questão 14 Questão 17 Questão 18 5)Se o professor já resolveu alguma questão desta na sala de aula. Qual o número da questão? )Outros comentários:

90 88 Questões de No retângulo ao lado, A, B e C são pontos médios de seus lados e O é o ponto de encontro de suas diagonais. A área da região sombreada em relação à área do retângulo é: B A O C CÁLCULO: RESPOSTA:

91 89 4. Uma tira de papel retangular é dobrada ao longo da linha tracejada, conforme indicado, formando a figura plana da direita. Qual o valor do ângulo x? CÁLCULO: RESPOSTA:

92 90 5. Os comprimentos dos lados do triângulo da figura são números inteiros. Junto a cada vértice aparece o produto dos comprimentos dos lados a ele adjacentes. Qual é o perímetro do triângulo? CÁLCULO: RESPOSTA:

93 91 8. A figura mostra um círculo de área 36 cm 2 sobre o qual estão desenhados quatro triângulos eqüiláteros com um vértice comum no centro do círculo. Qual é a área da região sombreada? CÁLCULO: RESPOSTA:

94 Na figura os quatro círculos são tangentes e seus centros são vértices de um quadrado de lado 4 cm. Qual é o comprimento, em centímetros, da linha destacada? CÁLCULO: RESPOSTA:

95 No triângulo ABC, o comprimento dos lados AB, BC e CA, nessa ordem, são números inteiros e consecutivos. A altura relativa à BC divide este lado em dois segmentos de comprimentos m e n, como indicado. Quanto vale m - n? A B n m C CÁLCULO: RESPOSTA:

96 94 Não resolvi a questão, pois: 1) Não entendi o enunciado, da(s) questão (ões): ) Não entendi o desenho, da(s) questão (ões): ) Não entendi o assunto nas aulas de matemática, da(s) questão (ões): ) Se você não se lembrar da fórmula para resolver a(s) questão (ões), explique como seria resolvida a questão se soubesse a fórmula. Utilize o espaço abaixo. Caso o espaço não seja suficiente, explique no verso. Questão 1 Questão 4 Questão 5 Questão 8 Questão 12 Questão 19 5) Se o professor já resolveu alguma questão desta na sala de aula. Qual o número da questão? ) Outros comentários:

97 95 Questões de 2007 CÁLCULO: RESPOSTA:

98 96 CÁLCULO: RESPOSTA:

99 97 CÁLCULO: RESPOSTA:

100 98 CÁLCULO: RESPOSTA:

101 99 CÁLCULO: RESPOSTA:

102 100 CÁLCULO: RESPOSTA:

103 101 CÁLCULO: RESPOSTA:

104 102 Não resolvi a questão, pois: 1) Não entendi o enunciado, da(s) questão (ões): ) Não entendi o desenho, da(s) questão (ões): ) Não entendi o assunto nas aulas de matemática, da(s) questão (ões): ) Se você não se lembrar da fórmula para resolver a(s) questão (ões), explique como seria resolvida a questão se soubesse a fórmula. Utilize o espaço abaixo. Caso o espaço não seja suficiente, explique no verso. Questão 1 Questão 4 Questão 6 Questão 7 Questão 9 Questão 10 Questão 13 5) Se o professor já resolveu alguma questão desta na sala de aula. Qual o número da questão? ) Outros comentários:

105 103 Questões Com quadradinhos de lado 1 cm, constrói-se uma seqüência de retângulos acrescentandose, a cada etapa, uma linha e duas colunas ao retângulo anterior. A figura mostra os três primeiros retângulos dessa seqüência. Qual é o perímetro do 100º retângulo dessa seqüência? CÁLCULO: RESPOSTA:

106 A figura mostra um quadrado ABCD de lado 1 cm e arcos de circunferência DE, EF, FG e GH com centros A, B, C e D, respectivamente. Qual é a soma dos comprimentos desses arcos? CÁLCULO: RESPOSTA:

107 Ronaldo quer cercar completamente um terreno retangular de 900 m 2. Ao calcular o comprimento da cerca ele se enganou, fez os cálculos como se o terreno fosse quadrado e comprou 2 metros de cerca a menos que o necessário. Qual é a diferença entre o comprimento e a largura do terreno? CÁLCULO: RESPOSTA:

108 Uma tira retangular de cartolina, branca na frente e cinza atrás, foi dobrada como na figura, formando um polígono de 8 lados. Qual é o perímetro desse polígono? CÁLCULO: RESPOSTA:

109 O trapézio ABCD foi divido em dois retângulos AEGF e FGCD, um triângulo GHC e um trapézio EBHG. As áreas dos dois retângulos e do triângulo, em cm 2, estão indicadas na figura. Qual é a área do trapézio EBHG? CÁLCULO: RESPOSTA:

110 A figura mostra quatro círculos de raio 1 cm dentro de um triângulo. Os pontos marcados são pontos de tangência. Qual é o comprimento do menor lado desse triângulo? CÁLCULO: RESPOSTA:

111 109 Não resolvi a questão, pois: 1) Não entendi o enunciado, da(s) questão (ões): ) Não entendi o desenho, da(s) questão (ões): ) Não entendi o assunto nas aulas de matemática, da(s) questão (ões): ) Se você não se lembrar da fórmula para resolver a(s) questão (ões), explique como seria resolvida a questão se soubesse a fórmula. Utilize o espaço abaixo. Caso o espaço não seja suficiente, explique no verso. Questão 4 Questão 5 Questão 6 Questão 8 Questão 14 Questão 17 5) Se o professor já resolveu alguma questão desta na sala de aula. Qual o número da questão? ) Outros comentários:

112 110 ANEXO B- QUESTÕES SELECIONADAS PARA PESQUISA E SUAS SOLUÇÕES Questões da OBMEP de Uma folha de papel retangular, de 10 cm de largura por 24 cm de comprimento, foi dobrada de forma a obter uma folha dupla, de 10 cm de largura por 12 cm de comprimento. Em seguida, a folha dobrada foi cortada ao meio, paralelamente à dobra, obtendo-se assim três pedaços retangulares. Qual é a área do maior desses pedaços? 3. Dois amigos partem ao mesmo tempo do ponto P e se afastam em direções que formam um ângulo de 60º, conforme mostra a figura. Eles caminham em linha reta, ambos com velocidade de 6 km/h. Qual será a distância entre eles 1 minuto após a partida? 8. Uma formiga está no ponto A da malha mostrada na figura. A malha é formada por retângulos de 3 cm de largura por 4 cm de comprimento. A formiga só pode caminhar sobre os lados ou sobre as diagonais dos retângulos. Qual é a menor distância que a formiga deve percorrer para ir de A até B?

113 17. O topo de uma escada de 25 m de comprimento está encostado na parede vertical de um edifício. O pé da escada está a 7 m de distância da base do edifício, como na figura. Se o topo da escada escorregar 4 m para baixo ao longo da parede, qual será o deslocamento do pé da escada? 111

114 112 Questões da OBMEP de Uma tira de papel retangular é dobrada ao longo da linha tracejada, conforme indicado, formando a figura plana da direita. Qual o valor do ângulo x? 5. Os comprimentos dos lados do triângulo da figura são números inteiros. Junto a cada vértice aparece o produto dos comprimentos dos lados a ele adjacentes. Qual é o perímetro do triângulo?

115 Questões da OBMEP de