Andando na Superfície de resposta

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1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica - PPGEM Andando na Superfície de resposta Prof a Daniele Toniolo Dias F. Rosa danieletdias@utfpr.edu.br

2 Sumário Metodologia de superfície de resposta (a) Modelagem inicial (b) Como determinar o caminho de máxima inclinação (c) Localização do ponto ótimo A importância do planejamento inicial Um experimento com três fatores e duas respostas Planejamentos compostos centrais

3 Metodologia de superfícies de resposta A metodologia de superfícies de resposta (ou RSM, de Response Surface Methodology) é uma técnica de otimização baseada em planejamentos fatoriais que foi introduzida por G. E.P. Box nos anos cinquenta. A RSM tem duas etapas distintas modelagem e deslocamento-, que são repetidas tantas vezes quantas forem necessárias, com o objetivo de atingir uma região ótima da superfície investigada. A modelagem normalmente é feita ajustando-se modelos simples (lineares ou quadráticos) a respostas obtidas com planejamentos fatoriais ou com planejamentos fatoriais ampliados.

4 O deslocamento se dá sempre ao longo do caminho de máxima inclinação de um determinado modelo, que é a trajetória na qual a resposta varia de forma mais pronunciada. Exemplo numérico: Supondo que um pesquisador esteja avaliando o efeito de dois fatores, concentração de um reagente e velocidade de agitação, no rendimento de uma reação. Ele já sabe que o processo vem funcionando há algum tempo com os valores desses fatores fixados em 5% e rpm, e que os rendimentos médios são obtidos em torno de 68%. Agora ele gostaria de saber se não seria possível melhorar o rendimento, escolhendo outros níveis para os fatores.

5 (a) Modelagem inicial O º passo, para atacar o problema, é investigar a superfície de resposta em torno das condições habituais de funcionamento do processo, usando um: Planejamento fatorial de dois níveis com ponto central. Com três níveis podemos verificar se há ou não falta de ajuste para um modelo linear.

6 A Tabela 6. mostra a matriz de planejamento e os rendimentos observados experimentalmente em cada combinação de níveis. Ao todo foram realizados 7 ensaios com 3 repetições no ponto central.

7 Começaremos nossa análise admitindo que a superfície de resposta na região investigada é uma função linear dos fatores. Portanto a resposta pode ser estimada pela equação: yˆ b b x b 2, (6.) 2x em que b, b e b 2 são os estimadores dos parâmetros do modelo e x e x 2 representam os fatores codificados. É visto no Exercício 5.4, que os valores de b, b e b 2 podem ser obtidos pelo método dos mínimos quadrados. Neste caso a matriz X será dada por X. A ª coluna corresponde ao termo b, e as outras duas contêm os valores codificados dos fatores.

8 Teremos também y Seguindo o procedimento usual, calculamos X t 7 X 4 Usando a Eq. (5.2) temos então 4 e X t y b t X X t X y / 7 / / , 5,25 4,25 (6.2)

9 Dos três ensaios repetidos no ponto central, calculamos s 2 =2,33 como uma estimativa da variância das observações. Substituindo este valor na Eq. (5.3), obtemos uma estimativa da variância dos elementos do vetor b: X t X ˆ s 2 V b / 7 / 4 2,33 / 4,33,58.,58 Fazendo as raízes quadradas chegaremos aos erros padrão de b, b e b 2. Com eles e com as estimativas obtidas na Eq. (6.2) podemos finalmente escrever a equação do modelo ajustado: yˆ 68, 5,25x 4,25x2.,58,76,76 O tamanho relativamente pequeno dos erros indica que este modelo é significativo (para um tratamento quantitativo, veja os Exercícios 6.2 e 6.4). A análise da variância encontra-se na Tabela 6.2. (6.3)

10 Como o valor de MQ faj /MQ ep não é estatisticamente significativo (,42/2,34=,8), não há evidência de falta de ajuste. Tabela 6.2 ANOVA para o ajuste do modelo aos dados da Tabela 6.. (n=7, p=3 e m=5) Fonte de variação Soma Quadrática N o de g. l. Média Quadrática Regressão 82,5 p-= 2 9,25 Resíduos 5,5 n-p= 4,38 F. Ajuste,83 m-p= 2,42 Erro puro 4,67 n-m= 2 2,34 Total 88, n-= 6 % de variação explicada: 97,7% % máxima de variação explicável:97,52 yˆ b b R 2 =SQ R /SQ T coef. de determinação (SQ T SQ ep )/SQ T x b 2 x 2

11 Na região investigada, a superfície de resposta é descrita satisfatoriamente pela Eq. (6.3), que define o plano representado em perspectiva na figura abaixo. Plano descrito pela Eq. (6.3), y 68, 5,25x 4,25x. ˆ 2 Sentido ascendente v C

12 Exercícios 6., 6.2, 6.3 e 6.4

13 Podemos obter uma representação bidimensional da superfície modelada desenhando suas curvas de nível, que são linhas em que a resposta é constante. As curvas de nível de um plano são segmentos de retas. Por ex, se fizermos ˆ 7 y na Eq. (6.3) chegaremos à expressão: x2,24x,47, que descreve uma reta sobre a qual o valor de ŷ deve ser igual a 7, de acordo com o modelo ajustado. Fazendo o mesmo para outros valores de obteremos outras curvas de nível, que em conjunto darão uma imagem da superfície de resposta na região investigada (ver próxima Fig). Podemos ver claramente, tanto numa figura quanto na outra, que se trata de um plano inclinado obliquamente em relação aos eixos, e com sentido ascendente indo da direita para a esquerda. ŷ

14 Assim se desejarmos obter maiores rendimentos, devemos deslocar a região experimental para menores valores de x e maiores valores de x 2. Curvas de nível do plano descrito pela Eq Os valores entre parênteses são as respostas determinadas experimentalmente. O progresso será mais rápido se o deslocamento for realizado ao longo da uma trajetória perpendicular às curvas de nível, isto é, se seguirmos um caminho de máxima inclinação da superfície ajustada.

15 (b) Como determinar o caminho de máxima inclinação O caminho de máxima inclinação saindo do ponto central do planejamento está indicado pela linha tracejada na figura anterior. Ele pode ser determinado algebricamente a partir dos coeficientes do modelo. Para termos a máxima inclinação, devemos fazer deslocamentos ao longo dos eixos x 2 e x na proporção b 2 /b. Da Eq. 6.3 temos b 2 /b =4,25/(-5,25)=-,8, o que significa que para cada unidade recuada no eixo x devemos avançar,8 unidades ao longo do eixo x 2.

16 As coordenadas de vários pontos ao longo dessa trajetória estão na Tabela 6.3, tanto nas variáveis codificadas quanto nas unidades reais de concentração e velocidade de agitação. Tabela 6.3 Caminho de máxima inclinação para o modelo das figuras anteriores. Etapa x x 2 C(%) v(rpm) y(%) Centro, 5, 68, 66, 69 Centro+ -,8 45 8, 77 Centro+2-2,62 4 6,2 86 Centro+3-3 2, ,3 88 Centro+4-4 3, ,4 8 Centro+5-5 4,5 25 4,5 7 Obtida pela Eq (6.3) usando as codificações de máxima inclinação

17 Podemos traçá-lo usando o seguinte procedimento:. Escolhemos um dos fatores, digamos i, como base e mudamos seu nível numa certa extensão, para mais ou para menos, dependendo do sinal de seu coeficiente e do objetivo do experimento maximização ou minimização da resposta. Recomenda-se escolher o fator de maior coeficiente, em módulo, no modelo ajustado. Tipicamente, o seu deslocamento inicial é de uma unidade (na escala codificada). 2. Determinamos os deslocamentos dos outros fatores ji, em unidades codificadas, através de x j b b j i x i (6.4) 3. Convertemos os deslocamentos codificados de volta às unidades originais, e determinamos os novos níveis dos fatores.

18 Vejamos um exemplo com 3 fatores: Num estudo para avaliar a influência de alguns nutrientes na produção de quitina pelo fungo Cunninghamella elegans (Andrade et al., 2) utilizouse um planejamento fatorial 2 3 com os níveis da Tabela 6.4, cujos resultados se ajustaram ao modelo y ˆ 9,8 2,x 5,x2 2,5x 3, em que a resposta y é o teor de quitina produzido. Tabela 6.4 Níveis de um planejamento 2 3 com ponto central, para estudar como o teor de quitina produzido pelo fungo varia com as concentrações de glicose, asparagina e tiamina no meio de cultura. Fator Nível - + G(x ) D-glicose (g L - ) A(x 2 ) L-asparagina (g L - ) 2 3 T(x 3 ) Tiamina (mg L - ),2,5,8 (6.5)

19 Como os coeficientes do modelo são todos positivos e o objetivo do estudo era maximizar a produção de quitina, devemos aumentar os níveis de todos os fatores. Partindo do fator x 2 (o de maior coeficiente) teríamos, como deslocamentos para localizar o º ponto ao longo do caminho de máxima inclinação, 2 5 2,5 x, 4 x2 ( ) x3, bj Lembrando que: x j xi, yˆ 9,8 2,x 5,x2 2, 5x3 bi Nas unidades verdadeiras, onde o ponto central é dado por (G, A, T)=(4, 2,,5), isto corresponde às seguintes condições experimentais: G 4 x G 4,4 2 48gL A 2 x A 2 gl T,5 2 3 x T,5,5,3, mgl 3 65

20 Exercício 6.5 Imagine que, no exemplo da C. elegans, os pesquisadores tenham preferido tomar a concentração de glicose como fator de partida para determinar o caminho de máxima inclinação, com um deslocamento inicial de +25 gl - (note que estas são as unidades reais). Calcule as coordenadas do 3º ponto ao longo do novo caminho, e use a Eq. 6.5 para fazer uma estimativa do rendimento de quitina nessas condições.

21 Voltamos agora ao º exemplo. Tendo realizado a modelagem inicial e determinado o caminho de máxima inclinação, passamos à etapa de deslocamento ao longo desse caminho. E vamos realizando experimentos nas condições especificadas na Tabela 6.3. Com isso obtemos os resultados da última coluna da tabela, que também estão indicados na próxima figura.

22 Resultados dos ensaios realizados na trajetória de máxima inclinação da figura anterior. morro Inicialmente os rendimentos aumentam, mas depois do 3º ensaio começam a diminuir.

23 Podemos interpretar esses resultados imaginando que a superfície de resposta é como um morro. Pelos valores iniciais, começamos a nos deslocar ladeira acima, mas depois do 3º ensaio já estamos começando a descer o morro pelo lado oposto. É hora, portanto, de parar com os deslocamentos e examinar a região que apresentou melhores rendimentos. Para isso fazemos um novo planejamento, idêntico ao primeiro, porém centrado em torno do melhor ensaio, que é o terceiro (35 % e cerca de 25 rpm). A nova matriz de planejamento é apresentada na Tabela 6.5, juntamente com as novas respostas observadas.

24 Resultados de um novo planejamento 2 2 com ponto central. x e x 2 agora representam os valores das variáveis codificadas pelas equações x = (C-35)/5 e x 2 =(v-25)/. Ensaio C(%) v(rpm) x x 2 Y(%) O ajuste de um modelo linear aos dados da Tabela 6.5 resulta na equação yˆ 85,7,25x 2,25x2, (6.6),49,65,65 onde os erros padrão foram calculados a partir de uma estimativa conjunta da variância, combinando os ensaios repetidos dos dois planejamentos.

25 Em comparação com os valores dos coeficientes, os erros são bem mais importantes do que no caso da Eq. (6.3), e a dependência linear da resposta em relação a x e x 2 já não parece segura. Exercício 6.6 Use os erros dos coeficientes na Eq. 6.6 para calcular intervalos de 95% de confiança para, e 2. Esses parâmetros são estatisticamente significativos?

26 A Tabela 6.6, mostra que a situação agora é bem diferente. E o valor de MQ faj /MQ ep subiu para 34,46 que é maior que F 2,2 (9, no nível de 95 % de confiança). Portanto, na região onde o caminho de máxima inclinação indicou, o modelo linear não descreve a superfície de resposta. Tabela 6.6 ANOVA para o ajuste do modelo aos dados da Tabela 6.5. Fonte de variação Soma Quadrática N o de g. l. Média Quadrática Regressão 26,5 2 3,25 Resíduos 7,93 4 7,73 F. Ajuste 68, ,46 Erro puro 2, 2, Total 97,42 6 % de variação explicada: 27,2% % máxima de variação explicável:97,95 yˆ b b x b 2 x 2

27 (c) Localização do ponto ótimo Como o modelo linear não serve mais, devemos partir para um modelo quadrático, cuja expressão geral para duas variáveis é: ˆ 2 2 y b b x b2 x2 bx b22x2 b2xx 2. (6.7) Este modelo tem seis parâmetros, e o nosso planejamento tem apenas 5 níveis (5 diferentes combinações de valores da concentração e da velocidade de agitação). Como não é possível determinar as estimativas quando há mais parâmetros do que níveis, precisamos ampliar o planejamento. A ampliação pode ser feita de várias maneiras, sendo a mais comum a construção do chamado planejamento em estrela.

28 Para fazer um planejamento em estrela, acrescentamos ao planejamento inicial um planejamento idêntico, porém girado de 45 graus em relação à orientação de partida. O resultado é uma distribuição octogonal (ver figura abaixo). Planejamento em estrela para duas variáveis codificadas, correspondente à tabela 6.7. Os novos pontos, assim como os primeiros, estão a uma distância de 2 unidades codificadas do ponto central. Todos eles estão sobre uma circunferência de raio 2.

29 Valores já mostrados na Tabela 6.5. Coordenadas dos pontos em estrela.

30 O vetor y agora terá onze valores, e a matriz X terá dimensões X 6, com suas seis colunas correspondendo aos seis termos do modelo quadrático. Para obter as colunas referentes a x 2, x 2 2 e x x 2, elevamos ao quadrado ou multiplicamos as colunas apropriadas na matriz de planejamento da Tabela 6.7. Assim podemos escrever X y e

31 Resolvendo as Eqs. (5.2) (algoritmo para os coeficientes) e (5.3) (algoritmo para a variância dos coeficientes), obtemos: yˆ 89,,25x 2,36x2 2,8x 2,8x2,75xx,75,46,46,54,54, (6.8) Os erros padrão foram novamente calculados a partir de uma estimativa conjunta da variância, obtida de todos os ensaios repetidos, inclusive os da Tabela 6.. A nova análise da variância está na Tabela 6.8.

32 O valor de MQ faj /MQ ep agora é apenas,25, não havendo evidência de falta de ajuste do modelo quadrático. Isto quer dizer que o valor de,55 para a média quadrática residual total, MQr, também poderia ser usado como uma estimativa da variância, com cinco graus de liberdade. Tabela 6.8 ANOVA para o ajuste do modelo yˆ 2 2 b x b x b x aos dados da Tabela x2 Fonte de variação Soma Quadrática N o de g. l. Média Quadrática Regressão 44,5 5 28,83 Resíduos 2,76 5,55 =s 2 F. Ajuste,76 3,25 Erro puro 2, 2, Total 46,9 % de variação explicada: 98,2% % máxima de variação explicável:98,64 b b x b 2 x 2

33 (a) Superfície quadrática descrita pela Eq.(6.7). (b) Suas curvas de nível. O rendimento máximo (89,6%) ocorre em x =,5 e x 2 =-,37 (C=3 6% e v=2 rpm). Valor de acordo com a Eq. (6.8). E representa uma melhora de 32 % em relação ao valor de partida, que era 68 %.

34 Como localizamos a região do máximo, a investigação termina por aqui. Poderia ter acontecido, no entanto, que a superfície de resposta ajustada aos dados segundo planejamento fosse uma nova ladeira, em vez de pico. Nesse caso, deveríamos nos deslocar novamente, seguindo o novo caminho de máxima inclinação, e repetir todo o processo de modelagem deslocamento modelagem... Até atingir a região procurada. Na prática não deve haver muitas dessas etapas, porque o modelo linear se torna menos eficaz à medida que nos aproximamos de um ponto extremo, onde a curvatura da superfície evidentemente passará a ter importância.

35 Exercícios 6.7 e 6.8 Use os dados da Tabela 6.8 para calcular um valor que mostre que a Eq. 6.8 é estatisticamente significativa. Uma representação gráfica, embora seja sempre conveniente, não é necessária para localizarmos o ponto máximo de uma superfície de resposta. Isso pode ser feito derivando-se a equação do modelo em relação a todas as variáveis e igualando-se as derivadas a zero. (a) Use esse procedimento para a Eq. 6.8, para confirmar os valores citados no texto. (b) O que aconteceria se você tentasse fazer o mesmo com a Eq. 6.6? Por quê?

36 A importância do planejamento inicial Uma questão muito importante na RSM é a escolha da faixa inicial de variação dos fatores, que determinará o tamanho do primeiro planejamento e consequentemente a escala de codificação e a velocidade relativa com que os experimentos seguintes se deslocarão ao longo da superfície de resposta. Suponhamos, por ex., que na Tabela 6. tivéssemos escolhido para o segundo fator a velocidade de agitação - os limites de 95 e 5 rpm (ao invés de 9 e ). Essa decisão teria as seguintes consequências:

37 . O coeficiente de x 2 na Eq. 6.3 se reduziria de 4,25 para 2,25, porque a variação unitária em x 2 agora corresponderia, em unidades reais, a 5 rpm, e não mais a rpm. 2. Com este novo coeficiente teríamos, na Eq. (6.4), 2,25 x2 x,45x 5, Consequentemente, o deslocamento x 2 correspondente a x =- seria +,45, que equivaleria agora a v=+,455=,23 rpm. Ou seja: em termos da velocidade de agitação, cada deslocamento seria apenas um quarto do deslocamento do planejamento original. Quando chegássemos à etapa Centro+5, ainda estaríamos com uma velocidade de, rpm.

38 Se, ao contrário, tivéssemos preferido uma escala mais ampliada, evidentemente o deslocamento passaria a ser mais rápido. No entanto, também estaríamos correndo riscos. Dependendo da ampliação, poderíamos sair da região linear da superfície, ou mesmo encontrar o outro lado do morro já no º deslocamento, e assim perder a oportunidade de descobrir a direção do ponto ótimo. Como fazer, então para determinar a melhor escala?

39 Infelizmente a resposta não está em nenhum livro de estatística, porque depende de cada problema, e muitas vezes não pode ser conhecida a priori. Os pesquisadores devem apoiar-se em todo o conhecimento disponível sobre o sistema em estudo e procurar escolher deslocamentos nem tão pequenos que não produzam efeitos significativos na resposta, nem tão grandes que varram faixas exageradas dos fatores. Deve-se fazer os experimentos de forma sequencial e iterativa. Caso a análise dos primeiros resultados nos leve a fazer modificações nos planejamentos originais, o prejuízo será menor se não nos apressarmos em fazer muitos experimentos logo de saída.

40 Um experimento com três fatores e duas respostas Na metodologia de superfícies de resposta o número de fatores não é uma restrição, nem o número de respostas. A RSM pode ser aplicada a qualquer número de fatores, assim como pode modelar várias respostas ao mesmo tempo. Esta é uma característica importante, porque muitas vezes um produto ou processo tem de satisfazer mais de um critério, como digamos, apresentar o máximo de rendimento com o mínimo de impurezas, ou ter custo mínimo porém mantendo os parâmetros de qualidade dentro das especificações.

41 Para ilustrar essa flexibilidade da RSM, será apresentada uma aplicação real, cujo objetivo era a maximização simultânea de duas respostas distintas. R. A. Zoppi (Unicamp), realizou uma série de experimentos de síntese de polipirrol numa matriz de borracha de EPDM. O polipirrol é um polímero condutor mas é muito quebradiço, o que prejudica o seu uso em aplicações de interesse prático. O objetivo era conseguir um produto que tivesse ao mesmo tempo propriedades elétricas semelhantes às do polipirrol e propriedades mecânicas parecidas com as da borracha EPDM. EPDM Etileno Propileno Dieno

42 Os fatores escolhidos para o estudo foram o tempo de reação (t), a concentração do agente oxidante (C) e a granulometria das partículas do oxidante (P). O pesquisador (que não tinha instrução formal em técnicas de planejamento de experimentos) decidiu realizar 27 ensaios em quadruplicata, seguindo o planejamento fatorial 3 3 da Tabela 6.9. Para cada ensaio foram registrados o rendimento da reação e os valores de várias propriedades mecânicas do produto final, entre as quais o Módulo de Young.

43 A respostas são as médias e os desvios padrão dos quatro ensaios (em alguns casos três) realizados para cada combinação de níveis dos fatores, num total de 6 ensaios. Observe que o tamanho das partículas não é definido de forma precisa. Os 3 níveis representam intervalos granulométricos, e não tamanhos específicos.

44 Após a análise da Tabela 6.9 o pesquisador percebeu que, com 27 ensaios diferentes, pode-se ajustar uma função com até 27 parâmetros. As funções lineares e quadráticas de 3 variáveis são definidas por apenas quatro e dez parâmetros, respectivamente. Se as usarmos para modelar os dados da tabela, ainda teremos muitos graus de liberdade sobrando para estimar a falta de ajuste.

45 Os coeficientes do modelo e seu erros padrão foram calculados como de costume, por meio das equações 5.2 e 5.3. Para o Módulo de Young, o emprego do modelo linear resultou na equação Mˆ,3, t,74 C,5 P,,3,4,4,4 (6.9) enquanto o modelo quadrático produziu a Eq. 6.: Mˆ 2,86, t,74 C,6 P,2 t,44 C,5 P,7 tc, tp,8 CP.,9,4,4,4,7,7,7,7,5,5 2 2 (6.)

46 A análise da variância para os dois ajustes está na Tabela 6.. Os valores de MQ R /MQ r são 4,5 (linear) e 7,4 (quadrático). Comparando com F 3,2 =2,7 e F 9,96 =2,, no nível de 95% de confiança, vemos que os dois modelos são altamente significativo. Tabela 6. ANOVA- ajuste de modelos linear e quadráticos (em parênteses) aos valores de M dados na Tabela 6.9. Fonte de variação Soma Quadrática N o de g. l. Média Quadrática Regressão 37,34 (43,23) 3 (9) 2,45 (4,8) Resíduos 8,44 (2,55) 2 (96),88 (,28) F. Ajuste 6,76 (,87) 23 (7),29 (,5) Erro puro,68 79,23 Total 45,78 5 % de variação explicada: 8,56% (94,43) % máxima de variação explicável:96,33

47 Embora não pareça haver muita diferença entre os dois modelos, um exame mais detalhado da Tabela 6. mostra que devemos preferir o modelo quadrático. Enquanto para o modelo linear a razão MQ faj /Mq ep é igual a 2,6, valor bem superior a F 23,79 =,67, o modelo quadrático tem MQ faj /Mq ep =2,22, que está apenas um pouco acima de F 7,79 =,75. A diferença entre os modelos fica ainda mais evidente nos gráficos dos resíduos (próxima figura).

48 (a) Resíduos deixados pelo ajuste de um modelo linear aos valores do M dados na Tabela 6.9. (b) Resíduos deixados pelo ajuste de um modelo quadrático aos mesmos dados. (a) apresenta uma curvatura. Os valores passam de positivos para negativos e depois se tornam positivos novamente. (b) os resíduos parecem flutuar aleatoriamente em torno de (a) e (b) a variância residual aumenta com o valor da resposta.

49 A preferência pelo modelo quadrático é confirmada pelos valores dos coeficientes de C 2 e CP na Eq. (6.),,44 e -,8. Eles são significativamente superiores aos seu erros padrão e os dois termos devem ser incluídos no modelo. Como eles estão ausentes no modelo linear, o gráfico dos resíduos apresenta um comportamento sistemático. Após a validação estatística do modelo, podemos tentar interpretar a Eq. 6., para entender melhor o comportamento do Módulo de Young (propriedades mecânicas) das amostras em questão. Mˆ 2 2 2,86,t,74C,6P,2t,44C,5P,7tC,tP,8CP,9,4,4,4,7,7,7,7,5, 5

50 Os resultados mostram que o Módulo de Young só depende da concentração do oxidante e do tamanho de suas partículas (Exercício 6.). Nenhum dos termos envolvendo o tempo de reação é estatisticamente significativo. Numa primeira aproximação, portanto, podemos eliminar os termos em t, reduzindo o modelo a Mˆ,86,74 C,6 P,44 C,8 CP.,9,4,4,7,5 2 (6.) A forma da superfície de resposta gerada por esta expressão é revelada pela próxima figura. Trata-se de uma espécie de vale, situado quase perpendicular ao eixo das concentrações.

51 (a) Superfície de resposta descrita pela Eq. 6., que relaciona o Módulo de Young com a concentração e a granulometria do oxidante. (b) Curvas de nível para a superfície do item (a). Os valores entre parênteses são as respostas médias observadas.

52 Exercícios 6.9 e 6. Use os dados da Tabela 6. para calcular uma estimativa do erro experimental com mais de 79 graus de liberdade. Sabendo que a estimativa do erro padrão foi obtida a partir do valor de MQ ep na Tabela 6., determine, no nível de 95% de confiança, quais são os coeficientes estatisticamente significativos na Eq. (6.).

53 A utilidade da Eq. (6.) e da superfície é nos ajudar a prever que condições experimentais resultarão num valor de interesse para o Módulo de Young. A Tabela 6. mostra uma comparação dos valores médios observados com os valores previstos pela Eq. (6.). A concordância é muito boa. Erro médio absoluto não chega a 4 % da faixa de variação da Tabela 6.9.

54 Isto comprova que quase toda a variação observada nos valores do Módulo de Young pode ser explicada pelas mudanças feitas na concentração e na granulometria. Se o objetivo é obter um produto com um alto valor de M, a figuras anteriores indicam que devemos usar um nível de concentração de cinquenta partes por cem e partículas com granulometria mais fina >5 mesh (partículas menores). Caso o modelo possa ser extrapolado, podemos obter valores ainda maiores continuando a aumentar a concentração e a diminuir a granulometria das partículas.

55 Para obter pequenos valores de M devemos usar uma baixa concentração de oxidante, cerca de ppc. Nesse caso, o tamanho da partícula não tem importância. Todos os resultados experimentais obtidos com ppc estão no fundo do vale (granulometria varia sem afetar a resposta). Como o tempo de reação não alterou M, podemos usar qualquer valor entre 8 e 24 h. Se só estivermos interessados nesta resposta, não precisamos nos importar com o tempo.

56 Porém, os pesquisadores também queriam aumentar o rendimento da reação, e fizeram para ele um ajuste semelhante ao M. Daí resultou a equação: ˆ 2 R 9,24,93t 6,8C,47P,28C,26tC, onde somente aparecem os termos estatisticamente significativos. Nessa expressão o tempo é um fator importante. Todos os termos em t têm coeficientes positivos, o que significa que tempos mais longos produzirão maiores rendimentos. Colocando o tempo no seu valor máximo: ˆ 2 R,78,7C,47P,28C. (6.2) A superfície de resposta descrita por esta expressão está representada na próxima figura.

57 Superfície de resposta e curvas de nível para a Eq. 6.2, mostrando o rendimento após 24 h de reação, em função da concentração (C) e da granulometria do oxidante (P). Comparando com as anteriores podemos constatar que a região que produz altos M (canto inferior direito do gráfico de curvas de nível) também produz altos rendimento. E no fundo do vale: valores de M da ordem de,5 MPa correspondem a rendimentos baixos, de cerca de 5 %.

58 O planejamento descreveu adequadamente as superfícies de resposta na região estudada, mas poderíamos chegar às mesmas conclusões com um planejamento mais econômico. Inicialmente, poderíamos fazer um planejamento fatorial com apenas dois níveis e tentar demarcar uma região de fatores para um estudo mais detalhado. Dependendo dos resultados poderíamos: (a) ampliar o planejamento inicial com mais ensaios para transformá-lo num planejamento em estrela, ou (b) deslocar os experimentos para uma região mais promissora, a ser investigada com um novo fatorial. Entretanto os experimentos apresentados foram feitos de acordo com um planejamento sistemático, que permitiu caracterizar a influência dos fatores investigados. Esse modo de proceder é superior à maneira intuitiva que ainda prevalece em muitos laboratórios de pesquisa.

59 Planejamentos compostos centrais O planejamento em estrela é um exemplo de planejamento composto central para dois fatores.

60 Planejamentos compostos centrais Em geral, um planejamento composto central para k fatores, devidamente codificados como (x,..., x k ), é formado de três partes:. Uma parte chamada de fatorial (ou cúbica), contendo um total de n fat pontos de coordenadas x i =- ou x i =+, para todos os i=,...,k; 2. Uma parte axial (ou em estrela), formada por n ax =2k pontos com todas as coordenadas nulas exceto uma, que é igual a um certo valor (ou -); 3. Um total de n centr ensaios realizados no ponto central, onde, é claro, x =...x k =.

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62 Para realizar um planejamento composto central, precisamos definir como será cada uma dessas três partes. Precisamos decidir quantos e quais serão os pontos cúbicos, qual o valor de, e quantas repetições faremos no ponto central. No planejamento da Tabela 6.7, por exemplo, temos k=2. A parte cúbica é formada pelos quatro primeiros ensaios, a parte em estrela pelos quatro últimos (com 2 ), e existem três ensaios repetidos no ponto central. O caso de três fatores é mostrado na próxima figura, onde podemos perceber a origem da terminologia empregada para as três partes do planejamento.

63 Planejamento composto central para três fatores. As bolas cinzas são a parte cúbica os ensaios de um fatorial 2 3. As bolas pretas representam a parte em estrela. Parte axial, n ax =2k=6 Os pontos cúbicos são idênticos ao de um planejamento fatorial de dois níveis.

64 Na Tabela 6.7 usamos um planejamento fatorial completo, mas isso não seria estritamente necessário. Dependendo do número de fatores, poderia nem ser aconselhável, porque produziria um número de ensaios inconvenientemente grande. O total de níveis distintos num planejamento composto central é n fat + 2k +. Lembrando que n fat é o número de pontos da parte fatorial (ou cúbica) do planejamento. Portanto para fatorial da Tabela 6.7, nove níveis seriam suficientes.

65 O modelo quadrático completo para k fatores é dado pela Eq. 6.3, que contém (k+)(k+2)/2 parâmetros. y 2 ixi ii xi ij xi x j. i i i j j (6.3) Com dois fatores, temos 6 parâmetros. O planejamento da Tabela 6.7 tem 9 diferentes combinações de níveis, e a rigor poderíamos estimar todos os parâmetros do modelo usando apenas dois pontos cúbicos, correspondentes a uma das duas frações 2 2-.

66 Para um 2 2, a economia é muito pouca e dificilmente justificaria a destruição da simetria da porção cúbica. Entretanto, à medida que o número de fatores aumenta, escolher os pontos cúbicos como os de um planejamento fracionário e não de um planejamento completo torna-se cada vez mais indicado. Do ponto de vista da resolução, é recomendável usar um fatorial fracionário de resolução V, que permitirá estimar os efeitos principais e as interações de dois fatores com um confundimento relativamente baixo. Se decidirmos usar frações menores, porém, a escolha da fração apropriada não é trivial. Uma lista das frações mais adequadas pode ser encontrada em Wu e Hamada (2.), Capítulo 9.

67 k k, O valor de costuma ficar entre e. Quando como na Tabela 6.7, os pontos cúbicos e os pontos axiais ficam sobre a superfície de uma (hiper)esfera, e o planejamento é chamado de esférico. Na Tabela 6.7, por ex., todos os pontos periféricos estão sobre a mesma circunferência.

68 No outro extremo, quando =, os pontos axiais se localizam nos centros das faces do (hiper)cubo definido pela parte cúbica do planejamento. Este tipo de planejamento é vantajoso quando o espaço experimental é cúbico, o que ocorre de forma natural quando os fatores são variados independentemente uns dos outros. Tem ainda a vantagem de só precisar de três níveis dos fatores, o que pode ser de grande ajuda no caso de algum fator ser qualitativo.

69 k, Se escolhermos estaremos colocando os pontos em estrela cada vez mais distantes do ponto central, à medida que o número de fatores for crescendo. Essa escolha deve ser feita com muito cuidado, porque estaremos correndo o risco de deixar a região intermediária sem ser investigada. Com nove fatores, por ex., seria igual a 3. Não ficaríamos sabendo de nada sobre o comportamento da superfície de resposta no intervalo -3 ao longo de cada eixo.

70 Box e Hunter (957) propuseram o conceito de rotabilidade como critério para escolher o valor de. Um planejamento é chamado de rodável se a variância de suas estimativas, V yˆ, só depender da distância em relação ao ponto central, isto é, se a precisão da resposta prevista for a mesma em todos os pontos situados numa dada (hiper)esfera com centro no próprio centro do planejamento.

71 Coordenadas: centrais nulas e axiais iguais a k A Tabela 6.3 mostra como podemos construir planejamentos rodáveis para três (n ax =2k= 6) e quatro (n ax = 8) fatores.