Parte II. Estatística Experimental Medicina Veterinária. Faculadade de Ciências Agrárias e Veterinárias. Campus de Jaboticabal SP. Gener Tadeu Pereira

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1 MATERIAL DIDÁTICO Parte II Medicina Veterinária Faculadade de Ciências Agrárias e Veterinárias Campus de Jaboticabal SP Gener Tadeu Pereira º SEMESTRE DE 05

2 ÍNDICE AULA 7 DELINEAMENTO QUADRADO LATINO (DQL)...8 7º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL...43 AULA 8 EXPERIMENTOS FATORIAIS º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL...57 AULA 9 EXPERIMENTOS FATORIAIS: ANALISANDO UM FATORIAL A X B...6 9º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL...74 AULA 0 EXPERIMENTOS EM PARCELA SUBDIVIDIDA º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL...88 AULA EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - ANÁLISE DE MEDIDAS REPETIDAS NO TEMPO...90 AULA TRANSFORMAÇÃO DE DADOS...94

3 8 Aula 7 Delineamento Quadrado Latino (DQL). Introdução No delineamento Quadrado Latino os tratamentos são designados aos blocos de duas maneiras diferentes, geralmente designados por colunas e linhas. Cada coluna e cada linha é um bloco completo de todos os tratamentos. Portanto, em um DQL, três fontes de variação explicáveis são identificáveis: linhas, colunas e tratamentos. Um particular tratamento é designado somente uma vez em cada linha e cada coluna. Geralmente um dos blocos corresponde aos animais e o outro ao período. Cada animal receberá todos os tratamentos em diferentes períodos. O número de tratamentos (k) é igual ao número de linhas e colunas. O número total de observações é igual k. Se os tratamentos são designados por letras maiúsculas (A, B, C e D, etc.), então exemplos de Quadrados Latinos 3 x 3 e 4 x 4 são: A C B C A B A B D C C D B A B A C A B C C A B D D B A C C B A B C A B D C A B A C D D C A B A C D B Considere a seguinte situação (baseado em VIEIRA, 006, pág. 8): Um veterinário pretende comparar o efeito de três drogas no combate a uma doença em suínos. Os animais disponíveis são, no entanto, diferentes em raças e em pesos. Para fazer o experimento, o veterinário deve, primeiro organizar blocos de animais de mesma raça (em coluna) e depois organizar em peso (em linha). Na Figura abaixo: a raça está representada pela tonalidade da cor preta e o peso pelo tamanho. Então foram construídos blocos em colunas e linhas Construído o quadrado latino, sorteiam-se os tratamentos, mas cada tratamento só deve aparecer uma vez em cada coluna e uma vez em cada linha. Assim o sorteio dos tratamentos tem duas restrições: dentro de linhas e dentro de colunas Os DQL não são comuns na prática devido às restrições do delineamento. Notem, por exemplo, que linhas, colunas e tratamentos são, necessariamente, iguais em números. Mais ainda, o nº de observações é igual ao quadrado do nº de tratamentos. Considere este outro exemplo, extraído de Rao, P.V. Statistical research methods in the life science, pg 77: Em um estudo para comparar as

4 tolerâncias de gatos a quatro substâncias cardíacas (A, B, C, D) foi conduzida utilizando-se um DQL, no qual as linhas representavam quatro combinações de dois períodos (A.M., P.M.) e duas técnicas (I e II) e as colunas representam os dias nos quais as medidas foram feitas. A cada um dos 6 gatos foi administrada uma substância cardíaca a uma taxa fixada e a dose (taxa de infusão x tempo) na qual o efeito especificado foi observado foi anotado. Abaixo temos que mostra as respostas medidas em 0log(dose em μg). 9 Combinações de tempo e técnicas Dias 3 4 i.. i++ I,AM ( D ) ( B ) 3( A ) 4( C ) ++ 3,6 4,5 3,0 3,67 4,0 ++ I,PM ( B ) ( D ) 3( C ) 4( A ) ++,73 3,38 3,9 4,50 3,90 ++ II,AM 3 ( A ) 3( C ) 33( B ) 34( D ) ,45 4,09,66 3,5 3,7 II,PM 4 ( C ) 4( A ) 43( D ) 44( B ) 4++ 3,0 3,4 3,48 3,40 3, j ,64 4,76,45 5,08 54,93 + j Totais dos tratamentos: + + ( A ) 3 ( A ) + 4( A ) + 3 ( A ) + 4( A ) 3,0 + 4,50 + 3,45 + 3,4 4, + + ( B ) ( B ) + ( B ) + 33( B ) + 44( B ) 4,5 +,73 +,66 + 3,40, ( C ) 4 ( C ) + 3( C ) + 3( C ) + 4 ( C ) 3,67 + 3,9 + 4,09 + 3,0 4,5 + + ( D ) ( D ) + ( D ) + 34( D ) + 43( D ) 3,6 + 3,38 + 3,5+ 3,48 3,63 Notação: i + + soma das observações da i-ésima linha (i,,..., k); +i + soma das observações da j-ésima coluna (j,,..., k); + + ( t ) soma das observações do t-ésimo tratamento Organização dos arquivos: No excel: ex.xls No bloco de notas: ex.txt Linha coluna trat tx.inf TI_AM DIA D 3.6 TI_AM DIA B 4.5 TI_AM DIA3 A 3.0 TI_AM DIA4 C 3.67 TI_PM DIA B.73 TI_PM DIA D 3.38 TI_PM DIA3 C 3.9 TI_PM DIA4 A 4.50 TII_AM DIA A 3.45 TII_AM DIA C 4.09 TII_AM DIA3 B.66 TII_AM DIA4 D 3.5 TII_PM DIA C 3.0 TII_PM DIA A 3.4 TII_PM DIA3 D 3.48 TII_PM DIA4 B 3.40 linha coluna trat tx.inf TI_AM DIA D 3,6 TI_AM DIA B 4,5 TI_AM DIA3 A 3,0 TI_AM DIA4 C 3,67 TI_PM DIA B,73 TI_PM DIA D 3,38 TI_PM DIA3 C 3,9 TI_PM DIA4 A 4,50 TII_AM DIA A 3,45 TII_AM DIA C 4,09 TII_AM DIA3 B,66 TII_AM DIA4 D 3,5 TII_PM DIA C 3,0 TII_PM DIA A 3,4 TII_PM DIA3 D 3,48 TII_PM DIA4 B 3,40

5 30 Modelo matemático ijt µ + Li + C j + τ k + εijt i,,, k e j,,, k, t é o indice de identificação do tratamento usado na i ésima linha e j ésima coluna sendo: y ijk a observação que recebeu o k ésimo tratamento, na i ésima linha e na j ésima coluna ; µ é média geral comum a todas as observações; Lj é o efeito da i ésima linha; C é efeito da j ésima coluna; τ ε t j ijt é efeito fixo do t ésimo tratamento, e é o efeito do erro aleatório. 3 Suposições do modelo Neste modelo, supõem-se que: L são independentes N( 0, σ ) ; j L C C são independentes N( 0, σ ); j εit são independentes N( 0, σ ) ε, L, e C são mutuamente independentes. ijt i j t τ 0; 4 Hipótese estatística Podemos testar H 0 : τ 0, H t 0 : µ µ... µ t, ou H : nem todos os τ t 0 H : µ i µ j para i j Geralmente os testes de hipóteses com relação aos efeitos de linhas e colunas não são feitos por dois motivos: primeiro o interesse principal é testar os efeitos de tratamento, e o propósito usual de linhas e colunas é eliminar fontes estranhas de variação. 5 Participação da soma de quadrados Do quadro de representação das observações no DQL, podemos notar os seguintes desvios: Podemos identificar os seguintes desvios: y ijt y ++ +, como o desvio de uma observação em relação à média geral; y ijt y ++ +, como o desvio da média do t-ésimo tratamento em relação à média geral; y i + + y ++ +, como o desvio da média da i-ésimo linha em relação á média geral; y + j + y ++ + como o desvio da média da j-ésima coluna em relação á média geral; Então, podemos escrever a igualdade: t

6 ( ijt + ++ ) ( i ) + ( + j ) + ( ++ t +++ ) + ( ijt i j + ij ) a qual representa a a variação de uma observação em relação à média geral amostral como uma soma da variação da média da i-ésima linha em relação à média geral, com a variação da média da j-ésima coluna em relação à média geral, com a variação da média da j-ésima coluna em relação à média geral, com a variação da média do k-ésima tratamento em relação à média geral, e com a variação do erro experimental. Elevando-se ao quadrado os dois membros da identidade acima e somando em relação aos índices i e j, obtemos: k k i j ( ijk +++ ) k i ( + k i ++ k k i j t +++ ( ) ijk + k j ( i ++ + j +. + j ) ij + + k t + ou seja, a Soma de Quadrados do Total (SQT) é igual à Soma de Quadrados do efeito colocado nas linhas (SQL), mais a Soma de Quadrados do efeito colocado nas colunas (SQC), mais a Soma de Quadrados dos Tratamentos (SQTr), mais a Soma de Quadrados dos resíduos (SQR). Notem que existem k observações, então a SQT tem (k -) graus de liberdade. Existe k linhas, k colunas e k tratamentos, tal que cada uma das três soma de quadrados SQL, SQC e SQTr tem k- graus de liberdade. Finalmente, os graus de liberdade para SQR pode ser calculado pela diferença entre os graus de liberdade entre a SQT e soma dos graus de liberdade para linhas, colunas e tratamentos. ((k -)-(k-)-k-)-(k-)(k-)(k-)). Assim, os graus de liberdade associados a cada membro da equação acima fica: Total Linhas Colunas Tratamentos Resíduo ( k -) (k-) + (k-) + (k-) + (k-)(k-) 6 Quadrados médios Dividindo a SQL, SQC, SQTr e SQR pelos correspondentes graus de liberdade, obtemos, respectivamente o Quadrado Médio das Linhas (QML), o Quadrado Médio das Colunas (QMC), o Quadrado Médio de Tratamentos (QMTr) e o Quadrado Médio Resíduo (QMR), isto é, SQL SQC SQTr SQR QML, QMC e QMTr e QMR k k k ( k ) ( k ) 7 Estatística e região crítica do teste A estatística para o teste é QMTr F c, QMR a qual, deve ser próximo de se H 0 for verdadeira, enquanto que valores grandes dessa estatística são uma indicação de que H 0 é falsa. A teoria nos assegura que F c tem, sob H 0 distribuição F Snedecor com (k -) e (k-)(k-) graus de liberdade no numerador e no denominador, respectivamente. Resumidamente, indicamos: Fc ~ F( k (, k ) ( k ), α ), sob H 0. Rejeitamos H 0 para o nível de significância α se F >, c F( k,( k )( k ), α ) ( k ), +++ ) 3

7 sendo, F( k,( k )( k ), α ) o quantil de ordem ( α ) da distribuição F-Snedecor com (k -) e (k-)(k-) graus de liberdade no numerador e no denominador. 8 Quadro da análise de variância (ANOVA) Dispomos as expressões necessárias ao teste na Tabela abaixo, denominada de Quadro de Análise de Variância (ANOVA). Fonte de variação gl SQ QM F Linhas k - k i k ( k i Colunas k k j + j + ( ++ + Tratamentos k - Resíduo (k-)(k-) k t k r k ( k + + t ++ + ) ) ) SQL k SQC k SQTr k SQR ( k ) ( k QMTr QMR 3 TOTAL K k k i J k ( +++ ) ijt Pode-se provar que: E( QMR ) σ, ou seja, QMR é um estimador não viesado da variância σ ; k r E( QMTr ) σ + τ i, ou seja, QMTr é um estimador não ( k ) i viesado da variância σ se a hipótese H0 : τ τ... τ k 0 é verdadeira. 9 Detalhes computacionais Apresentaremos alguns passos que facilitam os cálculos das somas de quadrados da ANOVA. ( y ++ + ) Calcule a correção para a média CM ; k Calcule a Soma de Quadrados dos Totais (SQT) SQT k k i j y ijt CM ; Calcule a Soma de Quadrados Entre os Tratamentos (SQTr) k ++ t SQTr CM ; t k Calcule a Soma de Quadrados das Linhas (SQL) k i ++ SQL CM ; k j

8 33 Calcule a Soma de Quadrados de Colunas (SQC) k + j + SQC CM ; k j Calcule a Soma de Quadrados Residual (SQR) pela diferença, isto é, SQR SQT SQL SQC SQTr ; Calcule os Quadrados Médios Entre os Tratamentos (QMTr) e o Quadrado Médio Residual (QMR) SQL SQC SQTr SQR QML, QMC, QMTr e QMR k k k ( k ) ( k ) Calcule F c para tratamentos, linhas e colunas, ou seja, QMTr QML QMC FcTr, FL e FC QMR QMR QMR 0 Exemplo : Vamos considerar os dados do exemplo apresentado no item. Os cálculos para montar-mos o quadro da ANOVA são: k 4, e k N 6. Então Graus de liberdade: Total k N 6 5; Trat. k 4 3 Linhas k 4 3, Colunas k 4 3 e Re s ( k )( k ) ( 4 )( ) 8 ( 54,94) CM 88, SQT ( 3,6) + ( 4,5) ( 3,40) CM 9,87 88,586 3,6055 ( 4,) (,94) ( 4,5) ( 3,63) SQTr + + CM ,847 88,586 0,33 ( 4,0) ( 3,90) ( 3,7) ( 3,) SQL CM ,688 88,586 0,065 (,64) ( 4,76) (,45) ( 5,08) SQC CM , ,586,474 SQR SQT SQTr SQL SQC 3,6055 0,33 0,065,474, ,33 0,065,474 QMTr 0,077, QML 0,0355, QMC 0, ,8094 e QMR 0,305 6 QMTr 0,0874 QML 0,0355 FcTr 0,899 e FcL 0,59 QMR 0,3064 QMR 0,306 QMC 0,4758 FcC,5530 QMR 0,3064

9 34 Organizando estes resultados no Quadro da ANOVA, temos: Fonte de variação gl SQ QM F Linhas 3 0,065 0,0355 Colunas 3,474 0,4758 Tratamentos 3 0,33 0,0874 0,899 Resíduo 6,8384 0,305 TOTAL 5 3,6055 Das tabelas das distribuições F, temos que 4 76 e F O valor F ctr 0,899 é menor do que estes F( 3, 6, 0, 05 ), ( 3, 6, 0, 0 ), valores tabelados, então não rejeitamos a hipótese nula H 0 para um nível α 0, 05, ou 5% de probabilidade e concluímos que os dados não evidenciam uma diferença significativa entre as quatros drogas. Os dados também não evidenciam uma variação significativa entre os efeitos colocados nas linhas (p0,946) e nas colunas (p0,90). Seguindo o que alguns pesquisadores sugerem não consideraríamos os efeitos de linhas e colunas em futuros experimentos, tendo em vista que o valor do nível de significância para linhas e colunas é superior a 0,5. Script no R para a obtenção dos resultados acima # entrando com os dados pelo comando read.table( ) dados.ex <- read.table("exdql.txt",headertrue,dec",") # imprimindo as 6 primeiras linhas do arquivo head(dados.ex) # anexando o objeto dados.ex no caminho de procura attach(dados. ex) # estatísticas resumo de cada nível dos tratamentos e.desc<- tapply(tx.inf,trat,summary) e.desc # gráfico Box-plot para cada nível de trat boxplot(tx.inf~trat,col,xlab"tratamentos") # quadro da anova tx.inf.av<-aov(tx.inf~factor(linha)+factor(coluna)+factor(trat)) summary(tx.inf) # obtendo o residuo residuo <- resid(tx.inf.av) # teste de normalidade dos resíduos shapiro.test(residuo) # teste de homogeneidade das variâncias bartlett.test(tx.inf~factor(linha)+factor(coluna)+factor(trat))

10 35 # requerendo o pacote ExpDes require(expdes) # quadro da anova pelo ExpDes latsd(trat,linha,coluna,tx.inf,qualit) # retirando o objeto dados.ex do caminho de procura detach(dados.ex) Exemplo. Com o objetivo de estudar o efeito da idade da castração no desenvolvimento e produção de suínos, foi utilizado um delineamento em quadrado latino com 4 tratamentos envolvendo a castração aos 7 dias (C); aos dias (D); aos 56 dias (A) e suínos inteiros (B). A variação existente entre as leitegadas foi controlada pelas linhas do quadrado e a variação dos pesos dos leitões dentro das leitegadas foi isolada pelas colunas. Os ganhos de peso, em kg, ao final do experimento (5 dias) estão apresentados no quadro a seguir: Leitegada Classe de pesos dos leitões dentro das leitegadas 3 4 Totais 93,0 (A) 08,6 (B) 8,9 (C) 0 (D) 4,5 5,4 (B) 96,5 (D) 77,9 (A) 0, (C) 390,0 3, (C) 90,9 (A) 6,9 (D) 06,0 (B) 409,9 4 7,6 (D) 4, (C) 8,7 (B) 95,6 (A) 448,0 Totais 48, 44, 4,4 395,8 660,4 Quadro da ANOVA Fonte de variação gl SQ QM F Leitegadas 3 436,55 49,65 0,7 Classe 3 48,95 45,5, Tratamentos 3 93,57 304,5 4,4 Resíduo 6 43,00 68,83 TOTAL 5 9,07 Das tabelas das distribuições F, temos que F( 3, 6, 0, 05 ) 4, 76 e F( 3, 6, 0, 0 ) 9, 78. O valor F ctr 4,4 é menor do que estes valores tabelados, então não rejeitamos a hipótese nula H 0 para um nível α 0, 05, ou 5% de probabilidade e concluímos que a hipótese de que os efeitos de tratamento são todos nulos não é rejeitada, ou seja, os ganhos de peso dos leitões submetidos às diferentes idades de castração são todos iguais a 03,78. Script no R para a obtenção destes resultados # leitura dos dados pelo read.table dados.ex <- read.table("exdql.txt",headertrue) # imprimindo as 6 linhas iniciais do arquivo head(dados.ex) # anexando o objeto dados.ex3 no caminho de procura attach(dados.ex)

11 36 # estatísticas resumo dos dados do arquivo dados.ex e.desc<- tapply(peso,trat,summary) e.desc # gráfico Box-plot para cada nível de trat boxplot(peso~trat,col,xlab"tratamentos") # fazendo a análise diretamente pelo ExpDes # requerendo o ExpDes require(expdes) # quadro da anova latsd(trat,leitegada,classe,peso,qualit,mcomp"tukey") # retirando o objeto dados.ex do caminho de procura detach(dados.ex) Como contornar o problema do pequeno número de graus de liberdade do resíduo? Um problema que surge quando usamos o delineamento em quadrado latino com um número pequeno de tratamentos, é que o resíduo passa a ser estimado com um número pequeno de graus de liberdade. No quadro a seguir, apresentamos o número de graus de liberdade do resíduo no DQL para diferentes números de tratamentos: Número de tratamentos g.l. do resíduo RESPOSTA: Planejar mais de uma repetição do quadrado latino para conseguir um número satisfatório de graus de liberdade para o resíduo. Por exemplo, se k 4 tratamentos e queremos um número de g.l. para o resíduo superior a, devemos fazer pelo menos r repetições do Q.L. original. Solução : usar as mesmas linhas e mesmas colunas; QL C C C 3 C 4 QL C C C 3 C 4 L A B C D L D A B C L B C D A L C D A B L 3 C D A B L 3 B C D A L 4 D A B C L 4 A B C D Quadro da ANOVA resultante Causas de variação gl QL r Tratamentos k 3 Linhas k 3 Colunas k 3

12 37 Resíduo (k )[ r (k + ) 3] Total r k 3 Solução : usar as mesmas linhas com as colunas diferentes (ou mesmas colunas com linhas diferentes); QL C C C 3 C 4 QL C 5 C 6 C 7 C 8 L A B C D L D A B C L B C D A L C D A B L 3 C D A B L 3 B C D A L 4 D A B C L 4 A B C D Quadro da ANOVA resultante Causas de variação gl QL r Tratamentos k 3 Linhas k 3 Colunas (QL) r ( k ) 6 Resíduo (k )(r k ) 8 Total r k 3 Solução 3: usar linhas e colunas diferentes. QL C C C 3 C 4 QL C 5 C 6 C 7 C 8 L A B C D L 5 D A B C L B C D A L6 C D A B L 3 C D A B L 7 B C D A L 4 D A B C L 8 A B C D Quadro da ANOVA resultante Causas de variação gl QL r Tratamentos k 3 Linhas (QL)* r ( k - ) 6 Colunas (QL)** r ( k - ) 6 Resíduo (k ) [ k (k ) ]5 Total r k 3 (*) lê-se Efeito de linhas dentro de quadrado latino (**) lê-se Efeito de colunas dentro de quadrado latino Suponha que um experimentador esteja interessado em estudar os efeitos da atividade da estimulação hormonal folicular (follicle-stimulation hormone - FSH). Em vacas é medido em bio ensaios pesando-se o ovário (mg) de ratos imaturos. Duas variáveis conhecidas que influenciam no peso de ovários de ratos são: a constituição genética e o peso corporal. Acredita-se que o peso corporal é independente das diferenças genéticas, assim o delineamento quadrado latino (DQL) é adequado. Dois quadrados latinos 4 x 4 foram usados com as linhas ninhadas de ratos e colunas classes de peso corporal. O pesquisador considerou a diferença nos pesos corporais nos dois quadrados para preservar os graus de liberdade do erro experimental, dado que a amplitude do peso corporal era consistente de ninhada para ninhada, ou seja, o pesquisador repetiu o experimento considerando as mesmas classes de peso corporal.

13 (Solução ). QL C C C 3 C 4 Totais L (D) 44 (C) 39 (B) 5 (A) 73 L (B) 6 (A) 45 (D) 49 (C) 58 L 3 (C) 67 (D) 7 (A) 8 (B) 76 L 4 (A) 77 (B) 74 (C) 88 (D) 00 Totais QL C C C 3 C 4 Totais L 5 (B) 5 (C) 74 (A) 74 (D) 8 L 6 (D) 6 (A) 74 (C) 75 (B) 79 L 7 (A) 7 (D) 67 (B) 60 (C) 74 L 8 (C) 49 (B) 47 (D) 58 (A) Totais dos tratamentos: 563 (A), 465 (B), 54 (C), 533 (D) Cálculos: ( ) SQL 489, 69 ; 4 3 ( ) ( ) ( ) SQC 89, 09; ( ) SQTr 63, 59; 8 3 ( ) SQT , ; 3 SQR SQT SQTr SQC SQL 38,56; O quadro da ANOVA fica Causas de variação gl SQ QM F P QL 63,8 63,8 Tratamentos 3 63,59 0,53 9,9 0,0004 Linhas (QL) 6 489,69 85,8 38,6 Colunas 3 89,09 606,36 8,53 Resíduo 8 9 6, Total Das tabelas das distribuições F, temos que 3 6 e F O valor F ctr 9,9 é maior que estes F( 3, 8, 0, 05 ), ( 6, 8, 0, 0 ), valores tabelados, então rejeitamos a hipótese nula H 0 para um nível α 0, 0, ou% de probabilidade e concluímos que a hipótese de que os efeitos de tratamento são todos nulos é rejeitada, ou seja, nos pesos dos ovários de ratos imaturos (bio-ensaio para vacas) existe pelo menos dois tratamentos que diferem entre si quanto ao peso de ovários. Podemos usar o teste de Tukey para compararmos as médias dos tratamentos (note que temos 4 tratamentos e cada um deles aparece 8 vezes). Então, QMR,5 d. m. s. q( 4, 8, 0,05) 3,997 6,5 rk 8 Drogas A D C B Peso médio* (mg) 70,37 a 66,63 a 65,50 a 58,3 b

14 39 (* Médias seguidas pelas mesmas letras na coluna não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5%). Com base nos resultados apresentados na tabela anterior pode-se afirmar que os pesos de ovários tratados com as drogas A, D e C não diferem entre si e os pesos dos ovários tratados com as drogas C e B também não diferem entre si. As diferenças nos pesos de ovários estão entre as drogas A, D e C quando comparadas, individualmente, com a droga B. Organizando o arquivo de dados no Excel e no bloco de notas Arquivo de dados.xls (peso.xls) Arquivo de dados. txt (peso.txt) ql linha coluna trat put q l c D 44 q l c B 6 q l3 c C 67 q l4 c A 77 q l c C 39 q l c A 45 q l3 c D 7 q l4 c B 74 q l c3 B 5 q l c3 D 49 q l3 c3 A 8 q l4 c3 C 88 q l c4 A 73 q l c4 C 58 q l3 c4 B 76 q l4 c4 D 00 q l5 c B 5 q l6 c D 6 q l7 c A 7 q l8 c C 49 q l5 c C 74 q l6 c A 74 q l7 c D 67 q l8 c B 47 q l5 c3 A 74 q l6 c3 C 75 q l7 c3 B 60 q l8 c3 D 58 q l5 c4 D 8 q l6 c4 B 79 q l7 c4 C 74 q l8 c4 A 68 ql linha coluna trat put q l c D 44 q l c B 6 q l3 c C 67 q l4 c A 77 q l c C 39 q l c A 45 q l3 c D 7 q l4 c B 74 q l c3 B 5 q l c3 D 49 q l3 c3 A 8 q l4 c3 C 88 q l c4 A 73 q l c4 C 58 q l3 c4 B 76 q l4 c4 D 00 q l5 c B 5 q l6 c D 6 q l7 c A 7 q l8 c C 49 q l5 c C 74 q l6 c A 74 q l7 c D 67 q l8 c B 47 q l5 c3 A 74 q l6 c3 C 75 q l7 c3 B 60 q l8 c3 D 58 q l5 c4 D 8 q l6 c4 B 79 q l7 c4 C 74 q l8 c4 A 68 Script no R para a obgtenção dos resultados acima # leitura dos dados pelo read.table dados.ex3 <- read.table("exdql.txt",headertrue) # imprimindo as 6 linhas iniciais do arquivo head(dados.ex3) # anexando o objeto dados.ex3 no caminho de procura attach(dados.ex3) # gráfico Box-plot para cada nível de trat boxplot(peso~trat,col,xlab"tratamentos")

15 40 # quadro da anova put.av <-aov(put~factor(ql)+factor(linha)+factor(coluna)+factor(trat)) summary(put.av) # usando os recursos do pacote agricolae require(agricolae) put.tu <-HSD.test(put.av,"trat") # gráfico de barras com as letras do teste de Tukey bar.group(put.tu,ylimc(0,90),density0, col"brown", xlab"tratamentos",ylab"peso do Utero", main"teste de Tukey") # retirando o objeto dados.ex3 do caminho de procura detach(dados.ex3) Casualização dos tratamentos Suponha que queremos dispor os tratamentos A, B, C, e D sobre um quadrado latino 4 x 4 escolhemos aleatoriamente um dos quadrados padrões de tamanho 4. Suponha 3 4 A B C D B C D A 3 C D A B 4 D A B C selecionemos uma das permutações de,, 3, e 4. suponha, 4,, 3. Então 3 4 B C D A 4 D A B C A B C D 3 C D A B selecionemos uma outra das permutações de,, 3, e 4. suponha, 3, 4,. Então 3 4 B D A C 4 D B C A A C D B 3 C A B D Este é o delineamento escolhido.

16 3 Exemplos em qua as unidades experimentais são animais Neste tipo de experimento os próprios animais servem como um critério de classificação (linhas) e o tempo (colunas) é o outro, ou seja, medidas repetidas não aleatórias são obtidas de cada animal (pessoa) distribuídos a uma seqüência de tratamentos. Exemplo 4 O objetivo deste experimento foi testar o efeito de quatro diferentes suplementos (A, B, C, D) adicionados ao feno na engorda de novilhos. O experimento foi delineado em um experimento Quadrado Latino com quatro animais em quatro períodos de 0 dias. As ovelhas foram mantidas isoladas individualmente. Cada período consistia de 0 dias de adaptação e de 0 de medidas. Os dados apresentados abaixo são as médias de 0 dias. Novilhos Período N N N3 N4 0,0 (B) 0, (C) 8,5 (D),8 (A) 9,0 (C),3 (A), (B),4 (C) 3, (C), (B),8 (A),7 (D) 4 0,8 (A),0(D),0 (C),0 (B) Script no R para resolver este exemplo # leitura dos dados pelo read.table dados.ex4 <- read.table("ex4dql.txt",headertrue) # imprimindo as 6 linhas iniciais do arquivo head(dados.ex4) # anexando o objeto dados.ex4 no caminho de procura attach(dados.ex4) # estatísticas resumo dos tratamentos do arquivo dados.ex4 e.desc<- tapply(peso,trat,summary) e.desc # gráfico Box-plot para cada nível de trat boxplot(peso~trat,col,xlab"tratamentos") # fazendo a análise diretamente pelo ExpDes # requerendo o ExpDes require(expdes) # quadro da anova latsd(trat,periodo,novilho,peso,qualit,mcomp"tukey") # retirando o objeto dados.ex4 do caminho de procura detach(dados.ex4) 4 RESUMO:

17 4

18 43 7º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL ) Nos experimentos que tratam da produção de vacas leiteiras, a enorme variação entre os indivíduos exige um grande número de animais para a avaliação de diferenças moderadas. Qualquer esforço de aplicar vários tratamentos sucessivamente numa mesma vaca se complica pela diminuição do fluxo de leite, pela forma da curva de lactação e por uma correlação entre os erros e ijk. Estas dificuldades são controladas com o uso de vários pares de quadrados latinos ortogonais onde as colunas representam as vacas e as linhas os períodos sucessivos da lactação, e os tratamentos são aplicados as vacas nos vários estágios. Num experimento procurou-se verificar o efeito de diferentes tipos de tratamentos, e é apresentado somente um quadrado latino, sem nos preocuparmos com os efeitos correlacionados. Os tratamentos (,0 kg para cada 3,0 kg de leite produzido) foram os seguintes: A Ração comum B 75% de ração comum + 5% de rolão de milho. C 50% de ração comum + 50% de rolão de milho. D 75% de ração comum + 5% de farelo de soja. E 5% de ração comum + 75% de farelo de soja. Os valores da tabela correspondem a produção de leite (kg) por um período de seis semanas. Linhas Colunas (Vacas) Total (Período) B 38 E 46 A 40 C 44 D D 35 A 435 E 48 B 438 C E 34 B 44 C 395 D 48 A A 353 C 403 D 40 E 395 B C 30 D 38 B 4 A 43 E Total a) Formule as hipóteses estatísticas para os tratamentos e monte o quadro da análise de variância de acordo com um delineamento quadrado latino e conclua b) Aplique o teste de Tukey para localizar as diferenças entre as médias dos tratamentos. Represente as diferenças com as médias (média±se), seguidas de letras. d) Teste a normalidade dos erros e a homogeneidade das variâncias dos tratamentos. e) Defina os contrastes abaixo e teste-os através da técnica de decomposição dos graus de liberdade dos tratamentos (teste F planejado) e complemente o quadro da anova do item b) com estes contrastes: c) Existe efeito dos complementos adicionados à ração comum?; c) Qual complemento adicionado à ração comum é melhor: rolão de milho ou farelo de soja?; c3) Qual percentual de rolão de milho é melhor?; c4) Qual percentual de farelo de soja é melhor?; f) Calcular e interpretar os coeficiente de variação (CV) do experimento e o de determinação R do experimento. g) Com base nestas observações e nos resultados do item a) a utilização do delineamento em DQL é plenamente justificada?

19 44 ) Avaliação do efeito de anestésicos sobre o metabolismo animal é imprescindível ao cirurgião. Neste experimento são considerados 5 anestésicos e analisar variáveis como: frequência cardíaca,respiratória, pressão sanguínea, tempo efetivo de anestesia. Estas variáveis são muito instáveis com c.v. > 35,0 %. Existe uma reação muito diferente de animal para animal o que exigiria um número muito grande destes ( de 3 a 49 animais) para cada anestésico. Por outro lado estas respostas são de fluxo contínuo. Podemos testar todos os anestésicos, em ocasiões diferentes com intervalos de a 3 dias, no mesmo animal. Se um animal recebe todos os anestésicos, em sequência controlada, todos os demais deverão também recebê-los, mas cada um dos cachorros deverá estar submetido a um anestésico diferente, de modo que, em um mesmo dia, todos os cães e todos os anestésicos estejam sendo testados. Com este procedimento, o eventual efeito de dia poderá estar controlado. A maneira mais simples de se controlar o efeito de dia de experimentação (ou período) e o efeito de cães, é o efeito de controle local (blocos). Uma solução prática que leva em conta os dois tipos de blocagem (período e animal) é o croqui do delineamento quadrado latino (DQL) onde as letras representam um anestésico específico com os seguintes resultados sobre tempo efetivo de anestesia: Período Animal I II III IV A(4,9) E(4,77) B(7,9) D(9,99) C(6,93) D(4,88) B(8,53) A(8,9) C(8,95) E(8,5) 3 C(7,3) A(6,6) E(8,50) B(5,83) D(7,08) 4 E(6,67) C(5,00) D(5,40) A(7,54) B(9,6) 5 B(5,40) D(7,5) C(8,95) E(7,85) A(9,68) Aplique os mesmos itens da questão anterior.

20 45 Aula 8 Experimentos fatoriais Introdução Nos experimentos mais simples comparamos tratamentos ou níveis de um único fator, considerando que todos os demais fatores que possam interferir nos resultados obtidos se mantenham constantes. Por exemplo: quando comparamos tipos de drogas em animais experimentais, os demais fatores, como raça, idade, sexo etc., se mantêm constantes, isto é, devem ser os mesmos para todas as drogas estudadas. Entretanto, existem diversos casos em que vários fatores devem ser estudados simultaneamente. Nesses casos, utilizamo-nos dos experimentos fatoriais, que são aqueles nos quais são estudados, ao mesmo tempo, os efeitos de dois ou mais tipos de fatores ou tratamentos. Entenda-se por fator uma variável independente cujos valores (níveis do fator) são controlados pelo experimentador. Cada subdivisão de um fator é denominada de nível do fator e os tratamentos nos experimentos fatoriais consistem de todas as combinações possíveis entre os diversos fatores nos seus diferentes níveis. Por exemplo: num experimento fatorial podemos combinar doses de um antibiótico com 3 diferentes níveis de vitamina B. Neste caso teremos um fatorial x 3, com os fatores Antibióticos (A) e Vitamina (V), que ocorrem em níveis (A e A ) e 3 níveis (V, V e V 3 ), respectivamente, e os x 3 6 tratamentos são: A V A V A V 3 A V A V A V 3 Outro exemplo: num experimento fatorial 3 x podemos combinar 3 Doses de uma droga (D, D e D 3 ), Idades (I e I) e teremos 3x 6 tratamentos, que resultam de todas as combinações possíveis dos níveis dos 3 fatores, ou seja, D I D I D I D I D 3 I D 3 I Os experimentos fatoriais não constituem um delineamento experimental e sim um esquema orientado de desdobramento de graus de liberdade de tratamentos e podem ser instalados em qualquer um dos delineamentos experimentais já estudados (DIC, DBC e DQL, por exemplo). Em um experimento fatorial nos podemos estudar não somente os efeitos dos fatores individuais, mas também, se o experimento foi bem conduzido, a interação entre os fatores. Para ilustrar o conceito de interação vamos considerar os seguintes exemplos: Suponha que as médias dos 3 x 6 tratamentos deste último exemplo são apresentadas na tabela abaixo: Fator B - Idade Fator A-(Dose da Droga) I 0 I D D 0 5 D 5 5

21 46 Os seguintes aspectos importantes dos dados na Tabela acima devem ser destacados: Para ambos os níveis do fator B, a diferença entre as médias para quaisquer níveis do fator A é a mesma; Para todos os níveis do fator A, a diferença entre as médias para os dois níveis de B é a mesma; Uma terceira característica é notada por meio do gráfico. Notamos que as curvas correspondentes aos diferentes níveis de um fator são todas paralelas. Quando os dados da população possuem estas três características listadas acima, dizemos que não existe interação presente entre os fatores. A presença de interação entre os fatores pode afetar as características dos dados de várias formas dependendo da natureza da interação. Vamos ilustrar o efeito de um tipo de interação modificando os dados da tabela apresentada anteriormente Fator B: Idade Fator A: Dose da Droga I 0 I D D 0 0 D 0 5 Os seguintes aspectos importantes dos dados na Tabela acima devem ser destacados: A diferença entre as médias para qualquer dos dois níveis de A não é a mesma para ambos os níveis de B; A diferença entre as médias para ambos os níveis do fator B não é o mesmo nos níveis do fator A; As curvas dos fatores não são paralelas, como é mostrado nos gráficos abaixo;

22 47 Quando os dados da população exibem as características acima, dizemos que existe interação entre os dois fatores. Enfatizamos que o tipo de interação ilustrada acima é somente uma das dos muitos tipos de interação que podem ocorrer entre dois fatores. Em resumo, podemos afirmar que existe interação entre dois fatores se uma modificação em um dos fatores produz uma modificação na resposta em um dos níveis do outro fator diferente dos produzidos nos outros níveis deste fator. As vantagens de um experimento fatorial são: A interação dos fatores pode ser estudada; Existe uma economia de tempo e de esforço. Nos experimentos fatoriais todas as observações podem ser usadas para estudar o efeito de cada um dos fatores investigados. A alternativa, quando dois fatores são investigados, seria o de conduzir dois diferentes experimentos, cada um para estudar cada um dos dois fatores. Se isto é feito, as observações somente produzirão informações sobre um dos fatores, e o outro experimento somente fornecerá informação sobre o outro fator. Para se obter o nível de precisão dos experimentos fatoriais, mais unidades experimentais seriam necessárias se os fatores fossem estudados por meio de dois experimentos. Isto mostra que experimento com dois fatores é mais econômico que experimentos com fator cada um. Visto que os vários fatores são combinados em um experimento, os resultados têm uma grande amplitude de aplicação. Definições iniciais Vamos considerar um experimento fatorial x, com os fatores Antibiótico (A) e Vitamina B (B) nos níveis: a 0 (sem antibiótico) e a (com antibiótico); b 0 (sem Vitamina B ) e b (com vitamina B ), respectivamente, adicionados a uma dieta básica e os seguintes valores médios de ganho de peso (g) para os x 4 tratamentos: Fator B: Vitamina B Fator A: Dose do antibiótico b 0 b Médias a ,5 a ,5 Médias 3,0 38,0 30,5 A representação gráfica fica:

23 Definições: Efeito simples de um fator: como a medida da variação que ocorre com a característica em estudo (ganho de peso, neste exemplo) correspondente às variações nos níveis desse fator, em cada um dos níveis do outro fator. Efeito simples do antibiótico no nível 0 de vitamina B : A( dentro de b ) ab 0 a0b Efeito simples do antibiótico no nível de vitamina B : A ( dentro de b ab a0b ) Efeito simples da vitamina B no nível 0 de antibiótico : B ( dentro de a ) a0b a0b Efeito simples da vitamina B no nível de antibiótico : B a b a b 53 3 ( dentro de a ) Efeito principal de um fator: é uma medida da variação que ocorre com a característica em estudo, correspondente às variações nos níveis desse fator, em média, de todos os níveis do outro fator. A( dentro de b A ) + ( dentro de b ) + Efeito principal de A 4 B( dentro de a B 9 0 ) + ( dentro de a + ) Efeito principal de B 5 Efeito da interação entre os dois fatores: é uma medida da variação média que ocorre com a característica em estudo, correspondente às variações nos níveis de um fator, ao passar de um nível a outro do outro fator. A( dentro de b ) A 30 8 ( dentro de b ) 0 Efeito da interação A x B 6, ou ainda, B( dentro de a ) B( ) 9 dentro de a0 Efeito da interação de B x A 6, isto é, tanto faz calcular a interação A x B como a interação B x A As principais desvantagens dos experimentos fatoriais são: O número de tratamentos aumenta muito com o aumento do número de níveis e de fatores, tornando praticamente impossível distribuí-los em blocos casualizados, devido à exigência de homogeneidade das parcelas dentro de cada bloco. A análise estatística é mais trabalhosa (efeitos principais e interação de todos os fatores) e a interpretação dos resultados se torna mais difícil à medida que aumentamos o número de níveis e de fatores no experimento. 3 O modelo matemático O modelo de um experimento fatorial com dois fatores, num delineamento inteiramente casualizado com r repetições, pode ser escrito como: Sendo: y ijk µ + α + β + ( αβ ) + ε i j 0 0 ij ijk 48

24 y ikj é a k ésima resposta que recebeu o i ésimo nível do fatorα e o nível do fator β ; µ é uma cons tan te( média ) comum a todas as observações; α i é o efeito do i ésimo nível do fator α com i,..., a; β é o efeito do j ésimo nível do fator β com j,..., b; j 49 αβij é o efeito da int eração do i ésimo nível do fator α com o efeito do j ésimo nível do fator β; ε é o erro exp erimental associado à observação y com k,..., r ijk 4 Suposições do modelo As suposições associadas ao modelo; As observações de cada célula ab constituem uma amostra aleatória de tamanho r retirada de uma população definida pela particular combinação dos níveis dos dois fatores; Cada uma das ab populações é normalmente distribuída; Todas as populações têm a mesma variância; ε ijk ~ N( o, σ ) ; e os parâmetros αi, β j e( αβ ) ij satisfazem as condições a b a 0 ( ) b αi β j e αβ ij ( αβ ) ij 0. i j i Vale observar que a é o número de níveis do fator A, b é o número de níveis do fator B e r é o número de repetições de cada um dos ab tratamentos. No total temos abr unidades experimentais. 5 Hipóteses estatísticas As seguintes hipóteses podem ser testadas nos experimentos fatoriais. A hipótese de que não existe ou existe interação AB é equivalente às hipóteses H0 AB : ( αβ ) ij 0 vs HAB : ( αβ ) ij 0 com i,..., a e j,..., b ; De maneira análoga as hipóteses de que não existe efeito principal do fator A e B é a mesma que as hipóteses H0 A : α i 0 vs HA : α i 0 com i,..., a, H0B : β j 0 vs HB : β j 0 com j,..., b respectivamente. 6 Detalhes computacionais Apresentaremos alguns passos que facilitam os cálculos das somas de quadrados da ANOVA. O quadro abaixo mostra um possível arranjo dos dados de um experimento com os tratamentos em um arranjo fatorial x j ijk j ésimo

25 50 a a b b b b y y y y y y y y y r y r y r y r Pode-se montar o seguinte quadro auxiliar dos totais (r) b b Totais a a TOTAL Assim os cálculos do quadro da análise de variância são dados pelas seguintes expressões: Soma de Quadrados do Total (SQT) r a b ( +++ ) ( ++ + ) SQT ijk, sendo CM, sendo a e b ; k i j abr abr a Soma de Quadrados do fator A, SQ(A) SQ( A) i ++ CM ; br i b Soma de Quadrados do fator, B SQ(B) SQ( B) + j + CM ; ar j Soma de Quadrados da interação AxB, SQ(AxB)SQ(A,B)-SQ(A)- a b SQ(B) ou SQ( AxB ) ij CM, sendo a SQ(A,B) a soma de + r i j quadrado conjunta, que nos fatoriais com dois fatores é igual à SQTr; Soma de Quadrados do Resíduo (SQR) SQRSQT-SQ(A)-SQ(B)- SQ(AxB) ou SQR r a b k i j ijk 7 Quadro da anova Calculadas as SQ podemos montar o seguinte Quadro da ANOVA: r k ij Fonte de Variação g.l. SQ QM F Fator A a- SQ(A) QM(A)SQ(A)/(a-) QM(A)/QMR Fator B b- SQ(B) QM(B)SQ(B)/(b-) QM(B)/QMR Int A xb (a-)(b-) SQ(AxB) QM(A)SQ(AxB)/(a-)(b-) QM(AxB)/QMR Tratamentos ab- SQTr QMTrSQTr/(ab-) QMTr/QMR Resíduo ab(r-) SQR QMR+SQR/ab(r-) TOTAL abr- SQT

26 8 Estatística e região crítica do teste As estatísticas para os testes F da ANOVA são QM( A) QM( B ) QM( AxB ) FcA, FcB e FcAB, QMR QMR QMR a qual, deve ser próximo de se H 0 for verdadeira, enquanto que valores grandes dessa estatística são uma indicação de que H 0 é falsa. A teoria nos assegura que F ca tem, sob H 0 distribuição F Snedecor com (a -) e ab(r-)) graus de liberdade no numerador e no denominador, respectivamente. Resumidamente, indicamos: F F, sob H ca ~ ( a, ab( r ), α ) 0. Rejeitamos H 0 para o nível de significância α se F >, ca F( a, ab( r ), α ) sendo, F( a, ab( r ), α ) o quantil de ordem ( α ) da distribuição F-Snedecor com (a -) e ab(r-) graus de liberdade no numerador e no denominador. De modo análogo temos F cb. Para a interação A x B a F F, sob H cab ~ ( ( a )( b ), ab( r ), α ) e rejeitamos H 0 para o nível de significância α se F > F,, cab ( ( a )( b ), ab( r ), α ) sendo, F( ( a )( b ), ab( r ), α ) o quantil de ordem ( α ) da distribuição F- Snedecor com (a -)(b-) e ab(r-) graus de liberdade no numerador e no denominador respectivamente. 9 Exemplo Considere o esquema fatorial x ( dois níveis de antibiótico, dois níveis de vitamina B ) para estudar o aumento de peso (Kg) diário em suínos. a 0 sem antibiótico; a com 40 µg de antibiótico b 0 sem vitamina B ; b com 5 mg de vitamina B a 0 a Repetição b 0 b b 0 b,30,6,05,5,9,,00,56 3,08,9,05,55 Totais 3,57 3,66 3,0 4, Formato do arquivo.txt anti vitb trat g.peso ao b0 t.30 ao b0 t.9 ao b0 t.08 ao b t.6 ao b t. ao b t.9 a b0 t3.05 a b0 t3.00 a b0 t3.05 a b t4.5 a b t4.56 a b t4.55 Formato no Excel anti vitb trat g.peso ao b0 t.30 ao b0 t.9 ao b0 t.08 ao b t.6 ao b t. ao b t.9 a b0 t3.05 a b0 t3.00 a b0 t3.05 a b t4.5 a b t4.56 a b t4.55

27 Notem que neste caso o delineamento experimental foi o inteiramente casualizado com os tratamentos num esquema fatorial x, com 3 repetições Outra forma de apresentação dos dados Trat. Repetição Totais a 0 b 0,30,9,08 3,57 a 0 b,6,,9 3,66 a b 0,05,00,05 3,0 a b,5,56,55 4,63 Calculo das Soma de Quadrados: SQT (, 30 3, 57 SQTr 3 (, , ) ( 4, 96) , ) 0, 447; ( )( )( 3) 3, 6 30, 4, 63 ( 4, 96) , 44; ( )( )( 3) SQR SQT SQTr 0, 448 0, 44 0, 093, e então, podemos construir um primeiro quadro de análise de variância: Fonte de variação gl SQ QM F Tratamentos 3 0,44 0,398 38,3 Resíduo 8 0,093 0, TOTAL 0,447 Como F( 3, 8; 0. 0 ) 7, 59 podemos concluir que pelo menos duas médias de tratamentos diferem significativamente (p<0,0) entre si quanto ao ganho de peso diário de suínos. A continuação da análise pode envolver a comparação das médias dos tratamentos por meio de um dos procedimentos de comparações múltiplas conhecidos, como os testes de Tukey, Duncan, t- Student, Scheffé etc. Uma alternativa de análise mais simples e mais informativa, está baseada no esquema fatorial dos tratamentos. Utilizando o quadro com os totais das combinações dos níveis dos fatores A e B e as fórmulas apresentadas anteriormente, podemos construir um novo quadro de análise de variância que permitirá testar se existe interação entre os dois fatores e se cada um dos fatores tem efeito significativo sobre o desenvolvimento dos suínos. Quadro auxiliar com os totais das combinações dos níveis de antibióticos (a 0, a )e vitamina B b 0 b Totais a ,66 7,3 a 3,0 4,63 7,73 Totais 6,67 8,9 4,96 Assim, 7,3 7,73 4,96 SQ( A ) + 0,008;.( 3).( 3) 4.( 3) 6,67 8,9 4,96 SQ( B ) + 0,87; ( 3) ( 3) (4 3) SQ( AxB ) 0,44 0,008 0,87 0,78. 5

28 53 Notem que SQTr SQ(A) + SQ(B) + SQ(AxB) e que as somas de quadrados associadas ao total e ao resíduo permanecem inalteradas. O novo quadro da ANOVA fica: Fonte de variação gl SQ QM F Antibótico (A) 0,008 0,008 5,68 Vitamina B (B) 0,87 0,87 59,65 Int. AxB 0,78 0,78 47,3 Tratamentos (3) 0,44 0,37 37,33 Resíduo 8 0,093 0,00367 TOTAL 0,447 Da tabela apropriada, temos F (3, 8; 0,0) 7,59; F (, 8, 0,05) 5,3 ; F (, 8 ; 0,0),6 Comparando os valores calculados das estatísticas F, podemos concluir que: o teste para a interação AxB foi significativo (p < 0,0), indicando que o efeito da vitamina B na presença ou ausência de antibiótico é significativamente diferente. Como a interação AxB resultou significativa (veja o gráfico apresentado acima), as interpretações da significância dos testes dos efeitos simples de Antibiótico (A) e de Vitamina B (B) perdem o significado. Precisamos estudar a interação fazendo os seguintes desdobramentos: a) Desdobramento da interação AxB para estudar o comportamento dos fator A dentro de cada nível de vitamina B (b 0 e b ) : + + SQ( Adentro de b ) ( ) r ( r ) ( 6,67) ( 3,57 + 3,0 ) 0,0368, 3 ( 3) + + SQ( Adentro de b ) ( + ) + + r ( r ) ( 8,9) ( 3,66 + 4,63 ) 0,568 3 ( 3)

29 Assim, monta-se a seguinte análise de variância do desdobramento dos graus de liberdade da interação A x B para se estudar o efeito do antibiótico no ganho de peso diário de suínos na ausência e na presença da vitamina B. F.V. G.L. S.Q. Q.M. F Pr.Fc A 0,0368 0,0368 0, dentro de b 0 A 0,568 0,568 4,76 e-04 dentro de b Residuo 8 0,093 0,00367 A linha do resíduo é a mesma da ANOVA anterior. Comparando os valores calculados da estatística F com o valor tabelado 5 3 e F 3, conclui-se que o efeito do fator antibiótico no F(, 8; 0, 05 ), (, 8; 0, 0 ), peso diário de suínos no nível b 0 de vitamina B é significativo (p<0,05) e significativo (p<0,0) no nível b da vitamina B. Ou então, que: Quando se utiliza a dose b 0 de vitamina B existe uma diferença no peso diário dos suínos. A estimativa desta diferença é dado por A a b a b,03,9 0, Kg, e ela é ( dentro de b ) significativa pelo teste F da ANOVA do desdobramento, indicando que somente o efeito do antibiótico prejudica o peso diário dos suínos, em média de 0,6 kg. Quando se utiliza a dose b de vitamina B existe uma diferença no peso diário dos suínos. A estimativa desta diferença é dada por A ( dentro de b ) ab a0b,54, 0, 3 Kg é significativa pelo teste F da ANOVA do desdobramento, indicando que a combinação dos níveis a do antibiótico e b da vitamina B, favorece em média 0,3 kg o peso diário dos suínos. b) Desdobramento da interação AxB para estudar o comportamento dos fator B dentro de cada nível de antibiótico A (a 0 e a ) (como exercício preencher os espaços) ++ SQ( Bdentro de a ) ( ) 0 r ( r ) ( ) ( ) 3 ++ SQ( Bdentro de a ) ( ) r ( r ) ( ) ( ) 3 Assim, monta-se a seguinte análise de variância do desdobramento dos graus de liberdade da interação A x B para se estudar o efeito da vitamina B no ganho de peso diário de suínos na ausência e na presença de antibiótico: F.V. G.L. S.Q. Q.M. F B dentro de a 0 0,0035 0,0035 0,368 B dentro de a 0,3905 0, ,4045 Residuo 8 0,093 0,00367 (Concluir como no desdobramento anterior)

30 Podemos comparar as médias de peso diário de suínos dos antibióticos, para cada uma dos níveis de vitamina B, utilizando o Teste de Tukey (5%). Para tanto, calculamos: QMR QMR 0,00367 dms q( a, gl do resíduo: 0, 05 ) q(, 8 ; 0, 05 ) 3, 6 0, 40 r 3 3 Quadro auxiliar com as médias dos antibióticos para cada um dos níveis da vitamina B, b 0 b a 0,9 A, A a,03 B,54 B Obs.: médias seguidas pelas mesmas letras maiúsculas, nas colunas, não diferem entre si a 5% de probabilidade, pelo Teste de Tukey (fazer como exercício o teste de Tukey a 5%, para as linhas) Notação geral dos totais de um esquema fatorial x organizados em uma tabela x, do tipo: (r) b 0 b Totais a a TOTAL As fórmulas das Somas de Quadrados podem ser escritas de uma forma geral: +++ SQT ( ) ( a)( b)( r ) ( +++ ) SQTr ( ) ; r ( a)( b)( r ) ( +++ ) SQ( A) ( ) r ( a)( b)( r ) ( +++ ) SQ( B) ( ) ; r ( a)( b)( r ) SQ( A x B) SQTr SQ( A) SQ( B) Script no r para obter os resultados acima # entrada dos dados pelo comando read.table( ) dados.ex <- read.table("exfat.txt", headert) # imprimindo as 6 primeiras linhas do arquivo dados.ex head(dados.ex) # anexando o objeto dados.ex no caminho de procura attach(dados.ex) # calculo das interações - Quadros dos totais int.total <- tapply(g.peso, list(anti, vitb), sum) int.total # calculo dos totais marginais do fator vitamina B total.vitb<- tapply(g.peso,vitb,sum) total.vitb 55

31 56 # calculo dos totais marginais do fator antibiótico total.anti<- tapply(g.peso,anti,sum) total.anti # calculo das interações - Quadros das médias int.media <- tapply(g.peso, list(anti, vitb), mean) int.media # calculo das médias marginais do fator vitamina B media.vitb<- tapply(g.peso,vitb,mean)# calculo das médias do fator vitamina bibiótico media.vitb # calculo das médias marginais do fator antibiótico media.anti<- tapply(g.peso,anti,mean)# calculo das médias do fator vitb media.anti # anova sem o desdobramento do fatorial gpeso.av <- aov(g.peso~trat) summary(gpeso.av) # quadro da anova no esquema fatorial gpesofat.av <- aov(g.peso~anti+vitb+anti*vitb) summary(gpesofat.av) # gráfico da interação interaction.plot(vitb, anti, g.peso,col,lwd, ylab"médias",xlab"vitamina B", main"gráfico da Interação") # requerendo o pacote ExpDes require(expdes) fat.crd(anti, vitb, g.peso, quali c(true, TRUE), mcomp "tukey", fac.names c("antibiótico", "Vitamina B")) # dms do teste de tukey para antibiótico dentro de cada nível da vitamina dms<- qtukey(0.95,,8)*sqrt(anova(gpesofat.av)[4,3]/3) dms # retirando o objeto dados.ex do caminho de procura detach(dados.ex)

32 57 8º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL ) Num experimento fatorial ou x, no delineamento inteiramente casualizado, com 6 repetições, foram estudadas as influências de fatores (A: Antibiótico e B: Vitamina B ) sobre o ganho de peso diário em suínos. Os tratamentos utilizados foram: - a 0 v 0 - Testemunha sem antibiótico e sem vitamina B - a v 0-40 µ g de antibiótico 3- a 0 v - 5 mg de vitamina B 4- a v - 40 µ g de antibiótico + 5 mg de vitamina B. Os resultados do ganho de peso diários, em gramas, foram os seguintes: Tratamentos ª Rep. ª Rep. 3ª Rep. 4ª Rep. 5ª Rep. 6ª Rep. a 0 v a v a 0 v a v Usando o programa R, pede-se: a) Escreva o modelo matemático deste experimento. Quadro dos Totais Quadro das Médias b 0 b Totais b 0 b Médias a 0 a 0 a a Totais Médias b) Formule as hipóteses estatísticas para os fatores do fatorial e monte o quadro da análise de variância com desdobramento dos graus de liberdade dos tratamentos de acordo com o esquema fatorial x e preencha os espaços das fórmulas abaixo: CM 6 y ijk i j k + abr ( ++ ) abr ( ) r a b ( y ++ + ) SQT y ijk abr k i j SQ ( A) y i + + CM ) br [( ) + ( ]

33 58 SQ( B ) y + j + CM ar [ ) + ( ) ] ( SQ( A x B ) SQTr SQ( A ) SQ( B ), sendo SQTr ( r y + + y + + y + ) CM [ ) ( ) ] ( + + SQR SQT SQA SQB SQ(AxB) SQA QMA a SQ( AxB) ; QM( AxB) ( a )( b ) SQB ; QMB b SQR QMR abr ab F A F B QMA QMR QMB QMR valor de p valor de p QM( AxB) F AB QMR valor de p Complete o quadro da anova abaixo: F. V. gl SQ QM F p Antibótico (A) Vitamina B (B) Int. AxB Tratamentos Resíduo TOTAL Conclusões:

34 59 c) Caso a interação seja significativa, fazer o desdobramento da interação, estimando testando os efeitos simples dos efeitos dos antibióticos dentro de vitaminas e da vitamina dentro de antibióticos (teste da análise de variância), ou seja, preencha as fórmulas abaixo e o quadro da anova SQ( A dentro de b ) ( y r + + y + y + ) b( 0 r ) + ( ) [( ) + ( ) ] ( ) SQ( A dentro de b ) ( y r + + y + y + ) ( r + ( ) [( ) + ( ) ] ) ( ) A F.V. G.L. S.Q. Q.M. F p dentro de b 0 A dentro de b Resíduo Conclusões: Escrever as fórmulas para o desdobramento de B dentro de ao e B dentro de a, monte o quadro da anova abaixo y + + SQ Bdentro de a ) ( y + + y + ) ( 0 r ( a r ) SQ( B dentro de a ( ( ) y + + ) ( y + + y + ) r ( a r ) ( ( ) ) )

35 60 B F.V. G.L. S.Q. Q.M. F p dentro de a 0 B dentro de a Residuo Conclusões: d) Ainda com relação ao item c), dê uma estimativa dos efeitos simples de antibióticos e de vitaminas e conclua se eles são significativos. Aplique o teste de Tukey para localizar as diferenças entre as médias dos antibióticos dentro de vitaminas e das médias das vitaminas dentro de antibióticos Represente as diferenças com as médias, seguidas de letras. Tire as conclusões práticas para este ensaio. Esboce o gráfico da interação. dms q ( a, gl do resíduo: 0,05) QMR r b 0 b Médias a 0 a Médias Conclusões: a) Dê uma estimativa dos efeitos simples de antibióticos e de vitaminas. b) Teste a normalidade dos erros e a homogeneidade das variâncias dos tratamentos.